2015-2016高中数学 3.1.4空间向量运算的坐标表示导学案(无答案)新人教A版选修2-1

3.1.4 空间向量运算的坐标表示

【使用说明及学法指导】

1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；

2．小组合作，动手实践。

【学习目标】

1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；

2. 会用这些公式解决有关问题.

【重点】利用两个向量的基本公式解决立体几何中的问题．

【难点】空间向量的基本公式的应用

一、自主学习

1预习教材P 95~ P 97, 解决下列问题

复习1：设在平面直角坐标系中，A (1,3)，B (1,2)-，则线段︱AB ︱＝ . 复习2：已知()()3,2,5,1,5,1a b =-=- ，求：

⑴a ＋B. ⑵3a －b ； ⑶6a. ； ⑷a ·b .

2.导学提纲

1) 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，则｜a ｜＝

2) 两个向量的夹角公式：

设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，由向量数量积定义a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞，

又由向量数量积坐标运算公式：a ·b ＝ ，

由此可以得出：cos ＜a ,b ＞＝

① 当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 所成角是 ；

② 当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 所成角是 ；

③ 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a 与b 所成角是 ，

即a 与b 的位置关系是 ，用符合表示为 .

④ 设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则

⑴ a //b ⇔ a 与b 所成角是 ⇔ a 与b 的坐标关系

为 ；

⑵ a ⊥b ⇔a 与b 的坐标关系为 ；

3) 两点间的距离公式：

在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的长度为：_____________________.

4) 线段定比分点的坐标公式：

（1）在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的中点坐标为: .

（2）在空间直角坐标系中，平面中的定比分点坐标公式是否适用？已知点

111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，且PB AP λ=,则P 的坐标为：___________________.

二、典型例题

例1.1. 若a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则312123

a a a

b b b ==是//a b 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不不要条件 2. 已知()()2,1,3,4,2,a b x =-=- ，且a b ⊥ ，则x ＝ . 3. 已知()()1,0,0,0,1,1A B -,OA OB λ+ 与OB 的夹角为120°，则λ的值为（ ） A. 66± B. 66 C. 66- D. 6± 4. 若()()

2,2,0,3,2,a x b x x ==- ，且,a b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ）

A. 4x <-

B. 40x -<<

C. 04x <<

D. 4x > 5. 已知 ()()1,2,,,1,2a y b x =-= ， 且(2)//(2)a b a b +- ，则（ ） A. 1,13x y == B. 1,42

x y ==- C. 12,4x y ==- D. 1,1x y ==- 6. 已知a +b +c ＝0 ，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角,a b <> 为（ ）

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．以上都不对 7.已知()()1,1,0,1,0,2,a b

==- 且ka b + 与2a b - 互相垂直，则k 的值是（ ）

A. .1

B. 15

C. 35

D. 75 8. 若A (m ＋1，n －1,3)， B. (2m ,n ,m －2n )，C (m ＋3,n －3,9)三点共线，则m +n =

例2 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中

(1)点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余

弦值． (2)1111113

A B B E D F ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦值．

例3在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，190,1,2,6ABC CB CA AA ∠=︒===,点M 是1CC 的中点，求证：1AM BA ⊥.

变式：正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长为2，底面边长为1，点M 是BC 的中点，在直线1CC 上求一点N ，使得1MN AB ⊥

三、拓展训练

例4棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 1、O 2、O 3分别是平面A 1B 1C 1D 1、平面BB 1C 1C 、平面ABCD 的中心．

(1)求证：B 1O 3⊥PA ；

(2)求异面直线PO 3与O 1O 2所成角的余弦值；

(3)求PO 2的长．

变式：直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，AA 1＝2，N 是AA 1的中点．

(1)求BN 的长；

(2)求BA 1，B 1C 所成角的余弦值．

四、变式训练：课本第97页练习1-3题

五、课后巩固

1.课本第98页A 组5.6.7.8.9.10.11题

2..在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为D 1D 、BD 的中点，G 在棱CD

上，且CG ＝14

CD ，H 为C 1G 的中点， (1)求证：EF ⊥B 1C ；

(2)求EF 与C 1G 所成的角的余弦值；

(3)求FH 的长.