26.2.3 求二次函数的表达式
求二次函数的解析式优秀教案
§26.2.3求二次函数解析式（一）一、教学目标知识与技能目标：1．通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，理解二次函数的三种表达式.2. 能根据不同的条件正确选择表达式,利用待定系数法求二次函数的表达式.方法与过程目标：让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程，使学生掌握类比、转化等学习数学的方法.情感、态度与价值观：通过学习，让学生养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯。
从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣.二、教学重难点重点：求二次函数的函数关系式.难点：根据不同的条件正确选择表达式三、教学过程（一）问题引入1.问题：如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB）的薄壳屋顶．它的拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？2.揭示课题（二）温故而知新1.二次函数常见的几种表达方式①一般式②顶点式转化顶点坐标③交点式2.求函数表达式的常见方法是什么？用待定系数法求函数表达式的基本步骤有哪些？(三)探究新知例1．已知二次函数的图象过A（0，1），B（2，4），C（3，10）三点，求这个二次函数解析式.变式练习：已知某抛物线是由抛物线y=x2-x-2平移得到的，且该抛物线经过点A（1，1）， B（2，4），求其函数关系式.例2．已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的表达式．变式练习：已知某抛物线经过点（2， -1）和（ - 1，5）两点，且关于直线x= 1对称，求此二次函数的表达式.例 3.已知二次函数的图象与x轴交于(2,0) 、(-1,0)两点，且过点(0,-2)，求此二次函数的表达式.(四)能力提升抛物线的图像经过（0，0）与（12，0）两点，且顶点的纵坐标是3，求它的函数表达式.(五)课堂小结在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．（1）特殊的一般式：y=ax2，已知顶点经过原点.（2）一般式： y=ax2+bx+c ，已知三点坐标或三组值.（3）顶点式： y=a(x-h)2+k ，已知顶点坐标或对称轴或最值.（4）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)，已知抛物线与x轴的两个交点坐标，并经过另外一个点.(六)解决问题如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB）的薄壳屋顶．它的拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？(七)巩固练习1.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的表达式．①已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）；②已知抛物线的顶点是(－1, －2),且过点（1，10）；③已知抛物线过三点：(0, －2), （1，0）,（2，3）．2.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过三点：（－1，－1）、（0，－2）、（1，1）．①求这条抛物线所对应的二次函数表达式；②写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？3.将抛物线向下平移1个单位，再向右平移4个单位，求所得抛物线开口方向、对称轴和顶点坐标.4.如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系.求（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）有一辆宽2.8米，高3米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？(八)布置作业1. 巩固练习2.书第16页4.5题(九)教学反思3212+--=xxy。
26.2.3 求二次函数的表达式 公开课获奖课件
解：(1)∵抛物线 y＝13x2＋bx＋c 经过 A(－ 3，0)，B(0，
－ 3) 两 点 ， ∴ 13×（－ 3）2－ 3b＋c＝0， 解 得 c＝－3，
b＝－23 c＝－3.
3， ∴此抛物线所对应的函数关系式为
y
＝
1 3
x2
－
2 3 3x－3 (2)由(1)可得此抛物线的对称轴为直线 x＝ 3，顶
二、填空题(每小题 4 分，共 16 分) 12．已知抛物线 y＝x2＋mx－5 经过点(2，－3)， 则该抛物线的解析式为__y＝x2－x－5__． 13．已知抛物线与 x 轴交于点 A(－1，0)，B(1， 0)，与 y 轴交点的纵坐标为 1，则该抛物线的解析式为 __y＝－x2＋1__． 14．抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的顶点在 x 轴上，对称 轴是直线 x＝1，并且抛物线经过点(2，2)，则这条抛 物线的解析式为__y＝2(x－1)2__． 15．一个二次函数，当自变量 x＝－1 时，函数值 y＝2；当 x＝0 时，y＝－1；当 x＝1 时，y＝－2，那 么，这个二次函数的解析式为__y＝x2－2x－1__．
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四 首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外 迫强敌 ，内失 人和。 魏师至 ，方征 兵四方 ，未至 而城见 克。在 幽逼求 酒，饮 之，制 诗四绝 。后为 梁王詧 所害。 】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿 里，终 非封禅 时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼 蚁，一 旦损鲲 鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载 后，谁 畏轩辕 台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树 杏，空 得动耕 人。
B．2，－4
C．－2，4 D．－2，－4
9．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过(－1，2)，(0，1)，
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种基本方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
4.对称点式： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x 1、m)(x 2、m),则设成： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a 的值，再化成一般形式即可。
探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
26.求二次函数的表达式PPT课件(华师大版)
知识点 3 用交点式确定二次函数表达式
知3－讲
在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问 题时，使用交点式较为方便。设函数表达式为y=a(xx1)(x-x2) ，找到函数图象与x轴的两个交点，分别记横 坐标为x1和x2,代入公式，再有一个在抛物线上的点的坐 标，即可求出a的值.
知3－讲
再将(－2，0)代入求出a的值．
知2－讲
解： 设二次函数的表达式为y＝a(x－h)2＋k.
∵顶点坐标为
1,
9 2
,
9
∴y＝a(x－1)2－
. 2
把(－2，0)代入得：0＝a·(－2－1)2－
9,
解得a＝ 1 .
2
2
∴该二次函数的表达式为y＝
1
(x－1)2－ 9 ,
即y＝ 1 x2－x－4.
2
2
2
总结
知2－讲
设顶点式求二次函数的表达式，通常有以下三种情况： ①已知顶点坐标； ②已知对称轴或顶点的横坐标； ③已知二次函数的最大(小)值或顶点的纵坐标．
知2－练
1 求图象为下列抛物线的二次函数的表达式： (1)抛物线的顶点在原点，且抛物线经过点（2, 8); (2)抛物线的顶点坐标为（-1，-2)，且抛物线经过 点(1, 10).
知识点 2 用顶点式确定二次函数表达式
知2－讲
已知抛物线的顶点坐标、对称轴或函数的最值时， 通常运用顶点式y＝a(x－h)2＋k来确定二次函数的表 达式；
知2－讲
例2
已知一个二次函数图象的顶点坐标为
1,
9 2
,
且经过点(－2，0)．求该二次函数的表达式．
导引：由y＝于a已(x知－顶h)2点＋坐k，标从为而代1,入 9得2 y,＝a故(x可－设1)顶2－点9式, 2
完整版)二次函数公式汇总
完整版)二次函数公式汇总文章中存在的格式错误已被删除，以下是改写后的文章：求解二次函数的顶点、对称轴、解析式和与x轴的交点等问题，是二次函数的基本内容。
下面将对这些问题进行讲解。
1.求解抛物线的顶点和对称轴：抛物线的顶点是（h，k），对称轴是直线x=h。
其中，对称轴在y轴左侧。
2.用待定系数法求二次函数的解析式：二次函数的解析式有三种形式：一般式y=ax2+bx+c、顶点式y=a(x-h)2+k和交点式y=a(x-x1)(x-x2)。
这三种形式可以互相转化。
但只有当抛物线与x轴有交点时，解析式才可以用交点式表示。
3.求解二次函数的解析式：已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式y=ax2+bx+c；已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式y=a(x-h)2+k；已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式y=a(x-x1)(x-x2)。
4.求解抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点为A(x1,0)和B(x2,0)，则AB的长度为| x1-x2 |=| (x1+x2)/2 |。
5.求解点A(x1,y1)和点B(x2,y2)之间的距离：点A(x1,y1)和点B(x2,y2)之间的距离为√[(x1-x2)2+(y1-y2)2]。
6.求解直线的斜率：直线的斜率为k=tanα=(y2-y1)/(x2-x1)。
7.求解点P(x0,y0)到直线ax+by+c=0的距离：点P(x0,y0)到直线ax+by+c=0的距离为d=|ax0+by0+c|/√(a2+b2)。
8.平移口诀：对于二次函数的平移，上加下减，左加右减。
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达。
其中，关于x轴对称的解析式为y=-ax2-bx-c或y=-a(x-h)2-k，关于y轴对称的解析式为y=ax2-bx+c或y=a(x+h)2-k，关于原点对称的解析式为y=ax2+bx或y=a(x-h)2.当抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称时，解析式变为y=ax2-bx+c。
4、26.2(3) 特殊二次函数(y=a(x+m)2)的图像
当x=
– 2 时，y有最 小 值是
0
.
（9）抛物线y=a（x+2）2图像经过点A(-1,-1)
则A关于抛物线的对称轴对称的点B的
坐标是(-3,-1).
（10）抛物线的图像与x轴只有一个交点， 对称轴是直线x=2，与y 轴的交点是(0,3)，
3 2 y ( x 2) . 4
则此抛物线的解析式是
… … … …
-5
1 2 x 2
1 x 2 2 2
1 x 2 2 2
4.5
2
0.5
5
y
1 x 2 2 2
4
y
1 2 x 2
y
1 x 2 2 2
3
2
1
-8
-6
-4
-2 B
2
4
6
1 2 y x 2
顶点
向右平移2个单位
-1 -2 -3
1 2 y x 2 2
小结
拓展
回味无穷
二次函数y=a(x+m)² 的图像
(1) 图像都是抛物线 (2)是轴对称图形，对称轴是直线x = – m . (3)顶点坐标为（– m，0） (4) a>0时, 开口向上,顶点是抛物线的最低点，在对称轴左侧, y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,顶点是抛物线的最高点，在对称轴左侧, y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . (5) y=a(x+m)² (a≠0) 的图像可以看成y=ax² 的图像沿x轴整体左 (右)平移|m|个单位(当m>0时,向左平移;当m<0时,向右平移)
2
２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表： y=a(x+m)2 (a>0) 抛物线
如何求二次函数表达式
如何求二次函数表达式求二次函数表达式的问题是历年来的中考热点之一，为帮助同学们切实掌握求二次函数表达式的方法，这里笔者结合教学实例进行说明，与同仁们共同探讨，供同学们借鉴。
二次函数表达式主要有三种常见形式：一般式、顶点式、对称点式。
1．一般式y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0 )当已知抛物线上三个点的坐标时，通常设抛物线的表达式为一般式，再把已知三点坐标代入所设的一般式，建立关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，后代回所设表达式即可。
例1.抛物线过三点（0，1），（-1，-5），（3，-5），求抛物线的表达式分析：因已知抛物线上三个点的坐标，所以可设函数表达式为一般式解：设函数表达式为：y= ax2+bx+c,把三个点的坐标代入得c=1，a-b+c=-5,9a+3b+c=-5解之得a=-2，b=4，c=1所以该抛物线的表达式为：y=-2x2+4x+1跟踪练习：抛物线过三点（0，1）（1，3）（-1，1）答案：y=x2+x+12. 顶点式y=a（x-h)2+k（a、h、k为常数且a≠0），（h，k）为抛物线的顶点坐标。
当已知抛物线的顶点坐标或对称轴时，可以设表达式为顶点式，将题中剩余条件代入求出待定系数，再代回表达式，化为一般式即可。
例2．已知抛物线的顶点坐标是（1，-4），且过点（3，0）求其函数表达式。
分析：因题中给定的是抛物线的顶点坐标，所以可设顶点式来解。
解：设y=a(x-1)2-4，将点（3，0）代入得：4a-4=0所以a=1因此y=(x-1)2-4=x2-2x-3例3．已知抛物线的对称轴为直线x=1，且过点（0，-1），（3，2），求其函数表达式。
分析：因给定的是抛物线的对称轴，也就知道了顶点的横坐标，所以也可以把表达式设为顶点式。
解：设y=a（x-1)2+b，把（0，-1），（3，2）坐标代入得：a+b=-1，4a+b=2解之得a=1，b=-2所以函数表达式为：y=(x-1)2-2=x2-2x-1跟踪练习：1.抛物线的对称轴是直线x=1，函数有最大值4，且过点（0，3），求抛物线解析式2．抛物线的对称轴是直线x=-2,且过点（-1，3）（-4，0）答案：1.y=-x2+2x+3 2.y=-x2-4x3. 对称点式y=a（x-x1)（x-x2)+h（a、x1、x2、h为常数，且a≠0）（x1，h），（x2，h）是抛物线上的一对对称点。
26.2.3求二次函数的表达式——顶点式(教学设计)
26.2.3求二次函数的表达式——顶点式一、教材分析：本节内容是义务教育数学课程标准（华师版）九年级下册第一章《二次函数》第2节的第3个知识点《求二次函数的表达式》的第一课时。
本节课是在学习二次函数的表达式和图象性质的基础上的展现，目的为二次函数的实际应用奠基，是本章学习的关键点。
本节课既要承接上一节课的数形结合的数学思想，又要能够根据实际问题抽象数学模型，同时还要启迪学生的思维，引导和规范学生学习。
二、学情分析：学生已经学习了二次函数的一般式、顶点式和两根式表达式，二次函数的图象和性质，尤其对特殊类型的二次函数图象已有充分的认识，并初步具备了敢于探究与实践，乐于合作交流，善于总结提升的良好习惯，自主学习的愿望强烈，主动发展的意识浓厚。
教学目标：1、知识与技能：学生能够根据二次函数的图象和性质建立合适的直角坐标系，并会根据条件利用待定系数法，确定函数顶点式，求二次函数的表达式。
2、过程与方法：经历确定适当的直角坐标系以及根据点的坐标确定二次函数顶点式的思维过程，体会利用二次函数顶点式，求出二次函数表达式的思想方法。
3、情感、态度和价值观：能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学知识运用于实践，加强学生的理想教育，培养学生积极参与意识，加深学生在生活中学数学，将数学知识服务于生活的学习的理念，养成学生善于主动学习、乐于合作交流、学会总结提升的学习习惯，激发和调动学生学习的积极性和主动性，真正实现“和谐高效、思维对话”，培养学生的应用意识。
教学重点：用待定系数法确定二次函数顶点式，求二次函数表达式。
教学难点：根据问题设二次函数顶点式，求出函数解析式，解决实际问题。
三、教学过程（一）复习引入1.二次函数的一般式是什么?2.二次函数的顶点式是什么?（二）探究新知问题：如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线（曲线AOB）的薄壳屋顶．它的拱宽AB 为4m，拱高CO为 0.8m，试建立适当的直角坐标系,并写出这段抛物线所对应的二次函数关系式?就如何建立平面直角坐标系，让学生通过讨论、交流各自的想法，感受如何建立平面直角坐标系更为合理。
26.2.3求二次函数的表达式式
26.2.3求二次函数的表达式导学案学习目标1.会根据实际问题建立抛物线模型，建立适当的坐标系.2.能运用待定系数法求二次函数的表达式.学习策略1.独立思考，分组交流，促进理解.2.熟练掌握待定系数法的两种基本形式.学习过程一.复习回顾：1.用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。
若窗框的宽为xm，采光面积为ym2，写出y关于x函数表达式，并画出函数图像。
2.如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。
它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。
施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?二.新课学习：1.自学教材P21，回答以下问题：1、观察问题2中的图形的形状，是的一部分，它的对称轴在什么位置？2、要画出标准图形，必须要建立平面直角坐标系，分析图形，把原点建立的什么位置更方便？尝试建立坐标系，并结合已知求出抛物线的表达式.3、根据函数表达式画出函数图像.2.自学教材P22，回答以下问题：1、例6中已知点的坐标中有顶点坐标吗？若有我们应该根据抛物线的顶点坐标，把抛物线设为什么形式？2、运用待定系数法设为顶点式再代入另一点的坐标求出未知系数的值.即可确定函数解析式.自己尝试完成解答过程：3.在例7中，已知的点有有没有特殊位置？若都是一般的点，我就把抛物线设为一般形式： .再代入列出三元一次不等式组，进行求解.尝试自己求出抛物线表达式.三.尝试应用：1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，那么此函数的关系式是______。
如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是______。
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的关系式。
3．如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽46米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽43米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?四.自主总结：1.解决实际问题:①建立适当的坐标系；②求出函数表达式；③解决实际问题.2.待定系数法:①根据已知写出适当函数形式；②根据已知坐标或变量的值求出待定系数；③把所求待定系数的值代入设定形式，写出函数表达式.3.当已知顶点坐标时可以设为2)=+k；当已知任意三个点时可以设为y＝ax2＋bx＋c的形式.y-ax(h五.达标测试一．选择题（共3小题）1．一个二次函数，当x=0时，y=﹣5；当x=﹣1时，y=﹣4；当x=﹣2时，y=5，则这个二次函数的关系式是（）A．y=4x2+3x﹣5 B．y=2x2+x+5 C．y=2x2﹣x+5 D．y=2x2+x﹣52．已知二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的顶点坐标为M （2，﹣4 ），且其图象经过点A （0，0 ），则a，b，c的值是（）A．a=l，b=4，c=0 B．a=1，b=﹣4，c=0C．a=﹣1，b=﹣1，c=0 D．a=1，b=﹣4，c=83．已知抛物线的顶点为（﹣1，﹣2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（）A．y=3（x﹣1）2﹣2 B．y=3（x+1）2+2 C．y=3（x+1）2﹣2 D．y=﹣3（x+1）2﹣2二．填空题（共3小题）4．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）如图，回答：（1）这个二次函数的表达式是；（2）当x=时，y=3；5．与抛物线y=x2的形状和开口方向相同，顶点为（3，1）的二次函数解析式为．6．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象顶点为（﹣2，3），且过（﹣1，5），则抛物线的表达式为．三．解答题（共4小题）7．若二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣5，0），B（﹣1，0）．（1）求这个二次函数的关系式；（2）如果要通过适当的平移，使得这个函数的图象与x轴只有一个交点，那么应该怎样平移？向右还是向左？或者是向上还是向下？应该平移多少个单位？8．已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式．9．已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=1时，y有最大值为5，且它的图象经过点（2，3），求这个函数的关系式．10．已知二次函数经过（1，1），（﹣1，4），（0，3），求这个二次函数解析式．1.【分析】设二次函数的关系式是y=ax2+bx+c（a≠0），然后由当x=0时，y=﹣5；当x=﹣1时，y=﹣4；当x=﹣2时，y=5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可．【解答】解：设二次函数的关系式是y=ax2+bx+c（a≠0），∵当x=0时，y=﹣5；当x=﹣1时，y=﹣4；当x=﹣2时，y=5，∴c=﹣5①，a﹣b+c=﹣4②，4a﹣2b+c=5③，解由①②③组成的方程组得，a=4，b=3，c=﹣5，所以二次函数的关系式为：y=4x2+3x﹣5．故选A．2.【分析】设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2﹣4，然后把A （0，0 ）代入解析式得，0=a•（0﹣2）2﹣4，解得a的值即可得到二次函数的解析式，最后确定a，b，c的值．【解答】解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2﹣4，把A （0，0 ）代入解析式得，0=a•（0﹣2）2﹣4，解得a=1，∴二次函数的解析式为y=（x﹣2）2﹣4=x2﹣4x，所以a=1，b=﹣4，c=0．故选B．3.【分析】根据函数的顶点是（﹣1，﹣2），则设抛物线的解析式是：y=a（x+1）2﹣2，把（1，10）代入函数的解析式即可求得a的值，从而得出函数的解析式．【解答】解：设抛物线的解析式是：y=a（x+1）2﹣2，把（1，10）代入函数的解析式得：4a﹣2=10，解得a=3．则这条抛物线的表达式是：y=3（x+1）2﹣2．故选C4.【分析】（1）已知顶点坐标和函数图象经过原点，故设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣1（a≠0），然后把原点坐标代入来求a的值；（2）把y=3代入（1）中函数关系进行解答相应的x的值；（3）根据图示直接填空．【解答】解：（1）如图，抛物线的顶点坐标是（1，﹣1）．故设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣1（a≠0），又∵抛物线经过点（0，0），∴0=a（0﹣1）2﹣1，解得，a=1．故抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2﹣1．故填：y=（x﹣1）2﹣1；（2）由（1）知，y=（x﹣1）2﹣1，当y=3时，3=（x﹣1）2﹣1，解得，x=3或x=﹣1．故填：3或﹣1；5.【分析】由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣3）2+1，再根据二次项系数决定开口方向和开口大小得到a=，从而得到所求抛物线解析式．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2+1，因为抛物线y=a（x﹣3）2+1与抛物线y=x2的形状和开口方向相同，所以a=，所以所求抛物线解析式为y=（x﹣3）2+1．故答案为y=（x﹣3）2+1．6.【分析】抛物线y=ax2+bx+c的图象顶点为（﹣2，3），因而可以设函数的解析式是：y=a（x+2）2+3，又因为函数经过点（﹣1，5），代入抛物线中就可以求出函数的解析式．【解答】解：设函数的解析式是：y=a（x+2）2+3，把（﹣1，5），代入解析式得到a=2，因而解析式是：y=2（x+2）2+3即y=2x2+8x+11．7.【分析】（1）由题意二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣5，0），B（﹣1，0），把点代入二次函数的解析式，根据待定系数法求出函数的解析式．（2）把（1）求得的解析式化为顶点式，再根据平移的性质解答．【解答】解：（1）∵y=x2+bx+c，把A（﹣5，0），B（﹣1，0）代入上式，得∴，解得：，∴这个二次函数的关系式为：y=；（2）∵二次函数的关系式为：y==，∴顶点坐标为（﹣3，2），∴欲使函数的图象与x轴只有一个交点，应向下平移2个单位．8.【分析】由题意二次函数的顶点为（8，9），可以设函数的顶点式：y=a（x﹣8）2+9，然后再把点（0，1）代入函数的解析式，求出a值，也可以设出函数的一般式，根据待定系数法求出二次函数的解析式．【解答】解：方法一：∵顶点坐标为（8，9），∴设所求二次函数关系式为y=a（x﹣8）2+9．把（0，1）代入上式，得a（0﹣8）2+9=1，∴a=﹣．∴y=﹣（x﹣8）2+9，即y=﹣x2+2x+1．方法二：设所求二次函数关系式为y=ax2+bx+c．由题意，得，解得，∴所求二次函数关系式为y=x2+2x+1．9.【分析】由于当x=1时，y有最大值为5，即抛物线的顶点坐标为（1，5），则可设顶点式y=a（x﹣1）2+5，然后把（2，3）代入求出a即可．【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+5，把（2，3）代入得a×（2﹣1）2+5=3，解得a=﹣2，所以二次函数的解析式为y=﹣2（x﹣1）2+5=﹣2x2+4x+3．10.【分析】设一般式y=ax2+bx+c，再把点（1，1），（﹣1，4），（0，3）分别代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可．【解答】解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），根据题意得，解得．所以抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3．。
九年级数学26.2.3 求二次函数的表达式优秀课件
列表格的一局部：
x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15
①选取〔-3，0〕，〔-1，0〕，〔0，-3〕，
待定系数法 试求出这个二次函数的表达式.
步骤： 1.设： 〔表达式〕
解： 设这个二次函数的表达式是 y=ax2+bx+c,把〔-3，0〕，〔-1，0〕，
2.代：
〔0，-3〕代入y=ax2+bx+c得
解:∵该图象经过点〔2,3〕和(－1,－3)，
{ { 3=4a+c，
a=2，
∴
解得 －3=a+c，
c=－5.
关于y轴 对称
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
做一做
1.二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8) 和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点〔-2,8〕和〔-1,5〕，
{ 8=4a-2b，
∴ 5=a-b， 解得a=-1,b=-6.
∴ y=-x2-6x.
图象经过 原点
二 顶点法求二次函数的表达式
选取顶点〔-2，1〕和点〔1，-8〕，试求出这个 二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点 〔-2，1〕代入y=a(x-h)2+k得
y=a(x+2)2+1， 再把点〔1，-8〕代入上式得
例3 一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10) 三点，求这个二次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由
于这个函数经过点(0, 1)，可得c=1.
又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得
26.2.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 (2) 公开课一等奖课件
三、解答题(共 32 分) 17．(10 分)已知抛物线 y＝a(x＋2)2＋k 过点(1，－3)，且 其顶点的纵坐标为 3. (1)求抛物线的解析式； (2)画出函数的图象，写出抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)从图象上观察当 x 为何值时，y 随 x 的增大而增大？
解：(1)由题意有 k＝3，把(1，－3)代入 y＝a(x＋2)2＋3 2 2 2 得：－3＝a(1＋2) ＋3，a＝－ ，∴y＝－ (x＋2)2＋3 (2)图 3 3 象略．对称轴：直线 x＝－2，顶点坐标是(－2，3) (3)从图 象可以看出当 x＜－2 时，y 随 x 的增大而增大
二、填空题(每小题 4 分，共 16 分) 1 13．抛物线 y＝ (x－2)2＋5，当 x＝__2__时，y 有最__小 2 __值为__5__． 14．二次函数 y＝－3(x－2)2，当 x__＞2__时，y 随 x 的 增大而减小；当 x__＜2__时，y 随 x 的增大而增大． 15．将抛物线 C1 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单 位，得到抛物线 C2：y＝2(x＋2)2－6，则原抛物线 C1 的表达 式为__y＝2(x＋1)2－3__． 16．把二次函数 y＝(x－1)2＋2 的图象绕原点旋转 180° 后得到的图象的解析式为__y＝－(x＋1)2－2__．
【综合运用】 19．(12 分)如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将 球从 O 点正上方 2 m 的 A 处发出，把球看成点，其运行的高 度 y(m)与运行的水平距离 x(m)满足关系式 y＝a(x－6)2＋h.已 知球网与 O 点的水平距离为 9 m，高度为 2.43 m，球场的边 界距 O 点的水平距离为 18 m. (1)当 h＝2.6 时，求 y 与 x 的关系式；(不要求写出自变量 x 的取值范围) (2)当 h＝2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说 明理由．
2020-2021学年华东师大版数学九年级下册 26.2.3 求二次函数的表达式 教案
6.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质3.求二次函数的表达式教学目标【知识技能】1.会利用待定系数法求二次函数表达式.2.学会利用二次函数解决实际问题.【数学思考与问题解决】在解决实际问题的过程中体会二次函数的应用.【情感态度】体会实际解决问题的方法，为下一步探索打基础，培养热爱数学、勇于探索的精神.【重点难点】重点：掌握二次函数的一般式、顶点式和交点式，并能根据实际情景选择适当的式子来求二次函数的表达式.难点：熟记、区别并能灵活运用三种表达式，能利用待定系数法求二次函数的表达式.教学过程一、情境引入如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线AOB)的薄壳屋顶.它的拱宽AB为4m，拱高CO为0.8m.施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?(由此题引出新课——求二次函数的表达式)二、复习回顾根据下列条件，分别写出相应的函数表达式.1.y与x成正比，其图象过点P(2，1)；2.函数y=2kx+k的图象过点(2，-5)；3.一次函数的图象过点(1，2)、(-3，5).三、问题探究问题 解答上面的问题，运用了什么数学方法?运用这种数学方法的一般步骤是什么?说明：引导学生归纳用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤.【例1】 (教材第22页例7)一个二次函数的图象经过(0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的表达式.解:设所求二次函数的表达式为y=ax 2+bx+c ，由这个函数的图象经过(0，1)，可 4a+2b+1=4,得c=1.又由于其图象过(2，4)、(3，10)两点，可得9a+3b+1=10.解这个方程组，得a=23，b=-23. 因此，所求的二次函数的表达式为y=23x 2-23x+1. 说明：通常求二次函数的表达式，要列出三个方程；但如果一个二次函数的表达式只有一个或两个待定的系数，列出一个或两个方程即可，一般地，有几个待定的系数，就要列几个方程.此题是典型的根据三点坐标求其函数表达式，关键是：(1)熟悉待定系数法；(2)明确点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的表达式；(3)会解简单的三元一次方程组.【例2】 (教材第22页例6)一个二次函数的图象经过点(0，1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式.分析：二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)通过配方可得y=a(x-h)2+k 的形式称为顶点式，(h ，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数的表达式为：y=a(x-8)2+9.由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数的表达式，即可求出a 的值.请同学们完成本例的解答.思考：将题目改为当x=8时，y 取最大值9，且图象过点(0，1)，你能求出这个二次函数的表达式吗?说明：当题目中的条件与顶点坐标、对称轴方程、最大值、最小值有关时，一般将表达式设为y=a(x-h)2+k的形式.四、巩固练习1.教材第23页练习第1题.2.已知抛物线的顶点是(2，-4)，它与y轴的交点的纵坐标为4，求抛物线的表达式.3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(0，1)，B(-1，0)，C(1，0)，那么此函数的表达式是 .如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是______.4.已知抛物线的对称轴是直线x=2，且经过(3，1)和(0，-5)两点，求此抛物线的表达式.(用两种方法求解)五、拓展运用【例3】已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为2和3，与y轴交点的纵坐标是72，求这个二次函数的表达式.分析：本例中虽然没有直接给出图象上三个点的坐标，但根据坐标轴上点的坐标的特点可知，所求函数图象经过点(2，0)、(3，0)、(0，72)，从而可设一般式求解.学生独立完成.说明：(1)解题时，要注意挖掘题目中的隐含条件；(2)可视学生的实际情况介绍第三种解法：设二次函数的表达式为y=a(x-x1)(x-x2)=a(x-2)·(x-3)，其中x1、x2是图象与x轴交点的横坐标，把点(0，72)代入，即可求得a，从而求出表达式.【例4】解答情境引入中的问题.分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系，再设出函数表达式，然后根据这个表达式画出图形.解：如题目中图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x 轴，建立平面直角坐标系.这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数表达式为：y=ax2(a<0).(1)因为y 轴垂直平分AB ，并交AB 于点C ，所以CB=2AB =2m ，又因为CO=0.8m ，所以点B 的坐标为(2，-0.8). 因为点B 在抛物线上，将它的坐标代入(1)，得-0.8=a ×22，所以a=-0.2. 因此，所求函数的表达式是y=-0.2x 2.请同学们根据这个函数的表达式，画出模板的轮廓线.思考：(1)能不能以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂线为y 轴，建立平直角坐标系?让学生了解建立平面直角坐标系的方法不是唯一的，以A 点为原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系也是可行的.(2)若以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，你能求出其函数表达式吗?分析：按此方法建立平面直角坐标系，则A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，0)，OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC=CB ，AC=2m ，0点坐标为(2，0.8).即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)、(2，0.8)三点，求这个二次函数的表达式.二次函数的一般形式是y=ax 2+bx+c ，求这个二次函数的表达式，跟以前学过求一次函数的表达式一样，关键是确定a 、b 、c ，已知三点在抛物线上，所以它们的坐标必须满足所求的函数表达式；可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数.解：设所求的二次函数表达式为y=ax 2+bx+c.因为OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC=CB ，AC=2m ，拱高OC=0.8m ，所以O 点坐标为(2，0.8)，A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，0).由已知，函数的图象过(0，0)，可以得到c=0，又由于其图象过(2，0.8)、(4,0)， 4a+2b=0.8,可以得到16a+4b=0.解这个方程组，得a=-51，b=45.所以，所求的二次函数的表达式为y=-51x 2+54x. (3)请同学们根据这个函数的表达式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图象相同?(4)比较这两种建立平面直角坐标系的方式，你认为哪种建立平面直角坐标系的方式能使解决问题变得更简便?为什么?(第一种建立平面直角坐标系的方式能使解决问题变得更简便，这是因为所设函数表达式中的待定系数少，所求出的函数表达式简单，相应地作图象也容易)六、本课小结1.本节课你有哪些收获?可引导学生总结：(1)二次函数表达式常用的有三种形式：①一般式：______(a ≠0)；②顶点式：______(a ≠0)；③交点式：______(a ≠0).(2)用待定系数法求函数表达式，应注意根据不同的条件选择合适的函数表达式形式，要让学生熟练掌握配方法，并由此确定二次函数的顶点、对称轴，并能结合图象分析二次函数的有关性质.①当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y=ax 2+bx+c(a ≠0)形式；②当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y=a(x-h)2+k(a ≠0)形式；③当已知抛物线与x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为交点式y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0).2.你还有什么疑惑?七、作业必做题1.教材习题26.2第4题.2.教材第23页练习第2题.3.教材习题26.2第5题.选做题4.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，求这个二次函数的表达式.5.二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴的两交点的横坐标是-21，23，与y 轴交点的纵坐标是-5，求这个二次函数的表达式. 6.如图是抛物线形拱桥，已知水位在AB 位置时，水面宽46米，水位上升3米就达到警戒线CD ，这时水面宽43米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶.板书设计 求二次函数的表达式例1：一个二次函数的图象经过(0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的表达式.例2：一个二次函数图象经过点(0，1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式.例3：已知二次函数的图象与x 轴交点的横坐标分别为2和3，与y 轴交点的纵坐标为72，求这个二次函数的表达式.。
求二次函数的表达式
练
即
评析：
本题可采用一般式、顶点式和交点式求 解，通过对比可发现用顶点式和交点式求解 比用一般式求解简便。同时也培养学生一题 多思、一题多解的能力，从不同角度进行思 维开放、解题方法开放的培养。注重解题技 巧的养成训练，可事半功倍。
近年中考数学命题趋势，贴近学生生活，
倍 速
联系实际，把实际问题转化为数学模型，
课
培养学生分析问题、解决问题的能力，
时 学
增强学以致用的意识。
练
三、应用举例
例2、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度 OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。
（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是米时， 高米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。 船的高度指船在水面上的高度）。 解：（1）、由图可知：四边形ACBO是等腰梯形
解：设所求的解析式为
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0）
∴ ∴
又∵点（0，1）在图像上，
倍
∴
速
课
∴ a = -1
时 学
∴
练
即：
四、尝试练习
3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大 高度为，跨度为．一辆卡车车高3米，宽米，它能否通过 隧道？
分析：卡车能否通过，只要看卡 车在隧道正中间时，其车高3米是否 超过其位置的拱高。
倍 ∵A(-1,0)、B（3，0）和
速 课
C（1，4）在抛物线上，
时
学
∴
练
即
的图像如图所示，
三、应用举例
例1、已知二次函数 求其解析式。
解法二：顶点式
设解析式为
∵顶点C（1，4）， ∴ h=1, k=4.
数学二次函数公式
数学二次函数公式二次函数是数学中的一种重要函数类型，它的形式可以表示为：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$、$c$是实数，且$a\neq 0$。
二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。
它具有以下几个重要的特征：1. 判别式：$D = b^2 - 4ac$，判别式决定了二次函数的图像与$x$轴的交点的情况。
如果$D>0$，则函数有两个不同的实根，图像与$x$轴有两个交点; 如果$D=0$，则函数有一个重根，图像与$x$轴有一个交点; 如果$D<0$，则函数没有实根，图像与$x$轴没有交点。
2.最值点：如果$a>0$，则函数的图像开口向上，最值点是抛物线的最低点;如果$a<0$，则函数的图像开口向下，最值点是抛物线的最高点。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是$x=-\frac{b}{2a}$。
对称轴将抛物线分为两部分，两部分关于对称轴对称。
4. 零点：二次函数的零点是函数与$x$轴的交点，可以通过解二次方程$ax^2+bx+c=0$求得。
如果判别式$D>0$，则有两个不同的实根; 如果$D=0$，则有一个实根; 如果$D<0$，则没有实根。
5.增减性：二次函数在对称轴两侧的增减性不同。
当$a>0$时，函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增；当$a<0$时，函数在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减。
接下来，我们将详细讨论二次函数的各个特征。
首先，我们来研究二次函数的零点。
对于一般的二次方程$ax^2+bx+c=0$，我们可以使用求根公式：$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$这里的$\pm$代表取加号或减号，即可以求得两个不同的实根。
当$b^2-4ac>0$时，判别式为正，方程有两个不同的实根。
当$b^2-4ac=0$时，判别式为零，方程有一个重根。
当$b^2-4ac<0$时，判别式为负，方程没有实根。
求二次函数解析式的三种方法
求二次函数解析式的三种基本方法四川 倪先德二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1 (a ≠0)又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
∴a(0－4)2－1=3 ∴a=41 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=41x 2－2x+3。