高考数学(人教版)总复习“提高分”课时作业：3.6二倍角的三角函数(含答案解析)

第3章 第6节学科王
课时作业
一、选择题
1.＋
1＋cos 2α·cos2α
＋等于( )
A ．－sin α
B ．－cos α
C ．sin α
D ．cos α 【解析】 原式＝－sin 2α·cos2α
＋－
＝2sin α·cos α·cos2α2cos2α·sin α＝cos α.
【答案】 D
2．在△ABC 中，sin2A ＋cos2B ＝1，则cos A ＋cos B ＋cos C 的最大值为( )
A.5
4 B. 2
C ．1 D.3
2
【解析】 由sin2A ＋cos2B ＝1，得sin2A ＝sin2B ，
∴A ＝B ，故cos A ＋cos B ＋cos C ＝2cos A －cos 2A ＝
－2cos2A ＋2cos A ＋1.
又0＜A ＜π
2，0＜cos A ＜1.∴cos A ＝12时，有最大值3
2.
【答案】 D
3．函数y ＝2cos2x 的一个单调递增区间是( )
A ．(－π
4，π
4) B ．(0，π
2)
C ．(π
4，3π
4) D ．(π
2，π)
【解析】 函数y ＝2cos2x ＝1＋cos2x ，它的一个单调递增区间是(π
2，π)．
【答案】 D
4．(2013·中山模拟)已知角A 为△ABC 的内角，且sin 2A ＝－3
4，则sin A －cos A ＝(
)
A.72 B ．－72
C ．－12
D.12 【解析】 ∵A 为△ABC 的内角且sin 2A ＝2sin Acos A ＝－34
<0，∴sin A>0，cos A<0，∴sin A －cos A>0.
又(sin A －cos A)2＝1－2sin Acos A ＝74
. ∴sin A －cos A ＝
72. 【答案】 A
5．化简sin235°－
12cos 10°cos80°＝( ) A ．－2
B ．－12
C ．－1
D ．1
【解析】 sin235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°·sin 10°＝－12cos 70°12
sin 20°＝－1. 【答案】 C
6．(2013·太原模拟)化简sin 4α
4sin2⎝⎛⎭⎫π4＋αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( )
A ．sin 2α
B ．cos 2α
C ．sin α
D ．cos α
【解析】 4sin2⎝⎛⎭⎫π4＋αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝ 4cos2⎝⎛⎭⎫π4－αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝4sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2α，故原式＝2sin 2αcos 2α2cos 2α＝sin 2α.
【答案】 A
二、填空题
7．计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°
＝________. 【解析】 cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝－2sin240°＝2cos 50°2sin 40°＝ 2. 【答案】 2
8．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 【解析】 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，
可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3
. 【答案】 π3
9．已知1－cos 2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13
，则tan(β－2α)等于________． 【解析】 由1－cos 2αsin αcos α＝1得2sin2αsin αcos α
＝1， ∴tan α＝12
，从而tan(β－2α)＝tan(β－α－α) ＝－－tan α1＋－＝－13－121＋－1312＝－1.
【答案】 －1
三、解答题
10．求证：tan2x ＋1tan2x ＝＋1－cos4x .
【证明】 左边＝sin2x cos2x ＋cos2x sin2x
＝sin4x ＋cos4x sin2xcos2x ＝＋－2sin2xcos2x 14sin22x ＝1－12sin22x 14sin22x ＝1－12sin22x 18
－
＝8－4sin22x 1－cos 4x ＝4＋4cos22x 1－cos 4x
＝4＋＋1－cos 4x ＝＋1－cos 4x
＝右边．
∴tan2x ＋1tan2x ＝＋1－cos 4x .
11．已知函数f(x)＝tan ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，若f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos 2α，求α的大小． 【解】 (1)由2x ＋π4≠π2＋kπ，k ∈Z ，得x≠π8＋kπ2
，k ∈Z ，
所以f(x)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪
x≠π8＋kπ2，k ∈Z . f(x)的最小正周期为π2
. (2)由f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos 2α得tan ⎝⎛⎭
⎫α＋π4＝2cos 2α， 即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π4 ＝2(cos2α－sin2α)， 整理得sin α＋cos αcos α－sin α
＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)． 因为α∈⎝⎛⎭
⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0. 因此(cos α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12
. 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭
⎫0，π2， 所以2α＝π6，即α＝π12
. 12．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cos α，sin α)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2.若AC →·
BC →＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α
的值． 【解】 AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，si n α－3)，
由AC →·BC →＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，
∴sin α＋cos α＝23，∴2sin α·cos α＝－59
， ∴2sin2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α
＝2sin αcos α＝－59， 故所求的值为－59
. 四、选做题
13．(2013·河北衡水中等高三调考)如图所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM ＝R ，∠MOP ＝45°，OB 与OM 之间的夹角为θ.
(1)将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数．
(2)若R ＝3m ，求当θ为何值时，矩形ABCD 的面积S 有最大值？其最大值是多少？
【解】 (1)由题意可知，点M 为PQ 的中点，所以OM ⊥AD.设OM 与BC 的交点为F ，则BC ＝2Rsin θ，OF ＝Rcos θ.
AB ＝OF －12
AD ＝Rcos θ－Rsin θ 即S ＝AB·BC ＝2Rsin θ(Rcos θ－R sin θ)
＝R2(2sin θcos θ－2sin2θ)，θ∈⎝⎛⎭
⎫0，π4 (2)由(1)知S ＝R2(2sin θcos θ－2sin2θ) ＝2R2sin( 2θ＋π4
)－R2. 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则2θ＋π4∈⎝⎛⎫π4，3π4. 所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8
时，S 有最大值． Smax ＝(2－1)R2＝(2－1)×32＝9(2－1)．
故当θ＝π8
时，矩形ABCD 的面积S 有最大值9(2－1)m2.。