单位圆与周期性、诱导公式点评
单位圆与诱导公式教学设计及反思
单位圆与诱导公式教学设计及反思诱导公式沟通了任意角三角函数值与锐角三角函数值以及终边有特殊位置关系的角的三角函数值之间的联系．在求任意角的三角函数值，解决有关的三角变换等方面有重要的作用． 由角的终边的某种对称性，导致终边与单位圆的交点也具有相应的对称性，这样就产生了“α-”、“απ-2”、“απ±”等诱导公式，我们知道，απ-角的终边与α角的终边关于y 轴对称；απ+角的终边与α角的终边关于原点对称，α-，απ-2角的终边与α角的终边关于x 轴对称，所以απ-、απ+、α-、απ-2各角的三角函数值与α角的三角函数值的绝对值相同，符号由各角所在象限的原三角函数的符号来确定，诱导公式看起来很多，但是抓住终边的对称性及三角函数定义，明白公式的来龙去脉也就不难记忆了． 诱导公式可以帮助我们把任意角的三角函数化为锐角三角函数，在求任意角的三角函数值时起很大作用，但是随着函数计算器的普及，诱导公式更多地运用在三角变换中，特别是诱导公式中的α角可以是任意角，即R ∈α，它在终边具有某种对称性的角的三角函数变换中，应用广泛，如后续课中，画余弦曲线就是利用诱导公式把正弦曲线向左平移2π个长度单位而得到的．在教学中，提供给学生的记忆方法一定要重在理解、重在逻辑、重在思考，以达到优化思维品质的功效．用一句话归纳概括诱导公式一、二、三、四、五并能正确理解这句话中每一词语的含义，是本节教材的难点．讲清每一组公式的意义及其中符号语言的特征，并把公式与相应图形对应起来，是突破这个难点的关键．1.熟练掌握各组诱导公式及其推到过程；2.利用诱导公式可将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.过程与方法通过诱导公式的探究，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的化归思想方法.使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式.情感、态度与价值观通过诱导公式的探究，培养学生主动探究、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神.1、诱导公式的推导和运用.2、运用公式时，角该如何进行分解.-y)教学过程：一、复习引入：诱导公式一: ααsin )360sin(=︒⋅+kααcos )360cos(=︒⋅+k （其中Z ∈k ）用弧度制可写成απαsin )2sin(=+kαπαcos )2cos(=+k（其中Z ∈k ） 诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0º―360º之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0º―360º内找出与角α终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果这组公式可以统一概括为))(()2(Z ∈=+k f k f απα的形式，其特征是：等号两边是同名函数，且符号都为正由这组公式还可以看出，三角函数是“多对一”的单值对应关系，明确了这一点，为今后学习函数的周期性打下基础3．运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成︒=+︒80sin )280sin(πk ，3cos )3603cos(ππ=︒⋅+k 是不对的．二、讲解新课：公式二： 用弧度制可表示如下：αα-sin 180sin(=+︒） ααπ-sin sin(=+）αα-cos 180cos(=+︒） ααπ-cos cos(=+） 它刻画了角180º+α与角α的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：以角α终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）与角α的正弦值（或余弦值）是一对相反数．这是因为若设α的终边与单位圆交于点P( x ，y)，则角α终边的反向延长线，即180º+α角的终边与单位圆的交点必为P ´(-x ，-y)（如图4-5-1）．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin α=y ，cos α=x,sin(180º+α)=-y, cos(180º+α)=-x, 所以 :sin(180º+α)=-sin α，cos(180º+α)=-cos α．公式三： αα-sin sin(=-） ααcos cos(=-） 它说明角-α与角α的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等．这是因为，若没α的终边与单位圆交于点P(x ，y)，则角-α的终边与单位圆的交点必为P ´(x ，-y)（如图4-5-2）．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得 sin α=y ， cos α=x,sin(-α)=-y, cos(-α)=x,所以：sin(-α)= -sin α, cos(-α)= cos α公式二、三的获得主要借助于单位圆及正弦函数、余弦函数的定义．根据点P 的坐标准确地确定点P ´的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质．事实上，在图1中，点P ´与点P 关于原点对称，而在图2中，点P ´与点P 关于x 轴对称．直观的对称形象为我们准确写出P ´的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性．公式四： 用弧度制可表示如下：ααsin 180sin(=-︒） ααπsin sin(=-）αα-cos 180cos(=-︒） ααπ-cos cos(=-）公式五：αα-sin 360sin(=-︒） ααπ-sin 2sin(=-）ααcos 360cos(=-︒） ααπcos 2cos(=-）这两组公式均可由前面学过的诱导公式直接推出（公式四可由公式二、三推出，公式五可由公式一、三推出），体现了把未知问题化为已知问题处理这一化归的数学思想．公式的推导并不难，然而推导中的化归意识和策略是值得我们关注的．五组诱导公式可概括为：α+k ·360º（k ∈Z ），-α，180º±α，360º-α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．这里的“同名三角函数值”是指等号两边的三角函数名称相同；“把α看成锐角”是指α原本是任意角，这里只是把它视为锐角处理；“前面加上一个……符号”是指α的同名函数值未必就是最后结果，前面还应添上一个符号（正号或负号，主要是负号，正号可省略），而这个符号是把任意角α视为锐角情况下的原角原函数的符号．应注意讲清这句话中每一词语的含义，特别要讲清为什么要把任意角α看成锐角．建议通过实例分析说明．三、讲解范例：例1．下列三角函数值： （1）cos210º； (2)sin45π 分析：本题是诱导公式二的巩固性练习题．求解时，只须设法将所给角分解成180º+α或（π+α），α为锐角即可．解：（1）cos210º=cos(180º+30º)=－cos30º=－23； （2）sin 45π=sin(4ππ+)=－sin 4π=22 例2．求下列各式的值： （1）sin(－34π)；(2)cos(－60º)－sin(－210º) 分析：本题是诱导公式二、三的巩固性练习题．求解时一般先用诱导公式三把负角的正弦、余弦化为正角的正弦、余弦，然后再用诱导公式二把它们化为锐角的正弦、余弦来求． 解：（1）sin(－34π)=－sin(3ππ+)=sin 3π=23； （2）原式=cos60º+sin(180º+30º)=cos60º－sin30º=21－21=0 例3．化简 )180sin()180cos()1080cos()1440sin(︒--⋅-︒-︒-⋅+︒αααα 分析：这是诱导公式一、二、三的综合应用．适当地改变角的结构，使之符合诱导公式中角的形式，是解决问题的关键．解 略例4．已知cos(π+α)=－21，23π<α<2π，则 nqin(2π－α)的值是（ ）．（A ）23 (B) 21 (C)－23 (D)±23 分析：通过本题的求解，可进一步熟练诱导公式一、二、三的运用．求解时先用诱导公式二把已知条件式化简，然后利用诱导公式一和三把sin(2π－α)化成－sin α,再用同角三角函数的平方关系即可．事实上，已知条件即cos α=21，于是 sin(2π－α)=－sin α=－(－α2cos 1-)=2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23 因此选A四、课堂练习：1．求下式的值：2sin(－1110º) －sin960º+)210cos()225cos(2︒-+︒-答案：－2提示：原式=2sin(－30º)+sin60º－︒-︒30cos 45cos 2=－2选题目的：通过本题练习，使学生熟练诱导公式一、二、三的运用．使用方法：供课堂练习用．评估：求解本题时，在灵活地进行角的配凑，使之符合诱导公式中角的结构特点方面有着较高的要求．若只计算一次便获得准确结果，表明在利用诱导公式一、二、三求解三角函数式的值方面已达到了较熟练的程度．2．化简sin(－2)+cos(－2－π)·tan(2－4π)所得的结果是（ ）（A ）2sin2 (B)0 (C)－2sin2 (D) －1答案：C选题目的：熟练掌握诱导公式一、二、三及同角三角函数关系中商数关系的灵活运用． 使用方法：供课堂练习用．评估：本题不仅涉及了诱导公式一、二、三，而且还涉及了同角三角函数的关系，此外还出现了如“sin(－2)”这样的学生较为陌生的三角函数值，求解时若只计算一次便获得准确结果，表明在新知识的运用和旧知识的记忆方面都达到了较好的程度．五、小结 通过本节课的教学，我们获得了诱导公式．值得注意的是公式右端符号的确定．在运用诱导公式进行三角函数的求值或化简中，我们又一次使用了转化的数学思想．通过进行角的适当配凑，使之符合诱导公式中角的结构特征，培养了我们思维的灵活性．六、布置作业：1．求下列三角函数值：（1）45sinπ； (2)619cos π；(3))240sin(︒-；(4))1665cos(︒- 2．化简：)4(tan )3sin()2(cos )2tan()5cos()(sin 333παπαπααπαπα-----++- 3．当45πθ=时，)()2cos()2sin(])12(sin[])12(sin[z k k k k k ∈-++---++παπθπθπθ的值是____． 七、教学反思1、教学目标及设计的反思 通过本节内容的教学，使学生在掌握、、、角的正弦、余弦的诱导公式及其探求思路和公式的应用的基础上，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力.由角的终边的某种对称性，导致终边与单位圆的交点也具有相应的对称性，这样就产生了“”、“”、“”等诱导公式，我们知道，角的终边与角的终边关于y 轴对称；角的终边与角的终边关于原点对称，，角的终边与角的终边关于x 轴对称，所以、、、各角的三角函数值与角的三角函数值的绝对值相同，符号由各角所在象限的原三角函数的符号来确定，诱导公式看起来很多，但是抓住终边的对称性及三角函数定义，明白公式的来龙去脉也就不难记忆了．诱导公式可以帮助我们把任意角的三角函数化为锐角三角函数，在求任意角的三角函数值时起很大作用，但是随着函数计算器的普及，诱导公式更多地运用在三角变换中，特别是诱导公式中的角可以是任意角，即，它在终边具有某种对称性的角的三角函数变换中，应用广泛，如后续课中，画余弦曲线就是利用诱导公式把正弦曲线向左平移2π个长度单位而得到的． 在教学中，提供给学生的记忆方法重在理解、重在逻辑、重在思考，以达到优化思维品质的功效．始终把变换思想贯穿始终，注重将数学思想渗透于知识的传授之中，让学生了解对称变换思想在研究数学问题中的应用，初步形成用对称变换思想思考问题的习惯.在诱导公式α与2πα±的教学过程中经历对对称有关的图形进行观察、分析、操作、抽象概括，探索旋转变换的性质，探求如何运用“一个图形经旋转变换后都可以分解为两个轴对称变换的乘积”方法和过程，体验“以局部带整体”的作图思想方法，进一步发展学生对对称图形的欣赏和探索能力，使学生体会旋转变换在现实生活的意义，激发学生的数学学习兴趣，增强审美观念，培养学生的科学探究精神.2、教学方式上的反思在教学方式上采用自主探索，创造性解决问题，并激发学生积极主动参与课堂活动，提高学生学习数学的兴趣，使学生在活动过程中，积极探索发现.为了完成α与2πα±三角函数间的关系这一节的教学任务，我采用让学生自主学习的教学方法.面对这个问题，学生的兴趣立刻被触发了，求知欲也十分强烈，大家都跃跃欲试，争着进行推倒.当学生做完三道例题时，马上提出对于α与32πα±三角函数间的关系如何推导，这时课堂气氛十分热烈，学生的思维十分活跃，大家竞相发言，课堂高潮跌起.待同学们弄明白后，及时引导学生从特殊到一般，问α与,2k k Z πα±∈三角函数间的关系如何，最后总结出：“奇变偶不变,符号看象限”整个课堂得到升华.3、教学中存在的问题。
高中数学第一章三角函数1.4.4单位圆的对称性与诱导公式课时素养评价含解析北师大版必修
学习资料课时素养评价六单位圆的对称性与诱导公式(15分钟30分）1.cos 660°的值为( )A。
- B.C。
- D.【解析】选B.cos 660°=cos（360°+300°）=cos 300°=cos(180°+120°)=—cos 120°=—cos（180°—60°）=cos 60°=。
【补偿训练】sin 585°的值为 ( ）A。
— B.C。
-D。
【解析】选A。
sin 585°=sin(360°+225°)=sin(180°+45°）=-sin 45°=—。
2。
cos+sin的值为（)A. B.C. D。
+1【解析】选C。
原式=cosπ-sin=cos-sin=—cos+sin=.3。
已知sin=,则cos的值为（)A.- B。
C. D.—【解析】选D。
cos=cos=-sin=—.4.设函数f（x)(x∈R)满足f（x+π)=f（x）+sin x。
当0≤x<π时,f（x）=0,则f=( )A。
B。
C.0 D.—【解析】选A。
f= f+sin=f+sin+sin=f+sin+sin+sin=2sin+sin=。
5。
已知f（α)=，求f的值.【解析】因为f（α)==—cos α，所以f=—cos=-cos =—。
（30分钟60分）一、选择题(每小题5分,共25分）1。
已知sin=，则sin的值为( ) A.B。
-C。
D.-【解析】选D。
方法一:sin=sin=sin=—sin=—.方法二:sin=—sin=—sin=—.2。
下列三角函数中，与sin数值相同的是( )①sin；②cos;③sin；④cos;⑤sin(n∈Z）.A.①②B.①③④C.②③⑤D。
①③⑤【解析】选C。
①中,sin==②中，cos=cos=sin=sin;③中，sin=sin；④中，cos=cos=—cos≠sin;⑤中，sin=sin=sin.故②③⑤中的三角函数与sin的数值相同.3.已知cos（75°+α）=，则sin(α-15°）+cos（105°-α）的值是（）A.B。
浅谈三角函数与单位圆
，即xy =a tan浅谈三浅谈三角函数角函数与单位圆与单位圆三角函数是三角函数是高中数学高中数学的重要内容，对培养学生的数形结合能力以及严密的逻辑推理能力都起着很大的作用。
尤其是单位圆在研究三角函数方面起着灵魂的作用，让每一位数学教学者不得不另眼相待。
学者不得不另眼相待。
一、我对教材编排的一点看法：一、我对教材编排的一点看法：1、不同版本的教材对三角函数的内容编排有很大差异：人教A 版中，三角函数采用了版中，三角函数采用了 “单位圆定义法”。
“单位圆定义法”。
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x P(x，，y)y)，那么：，那么：，那么：（1）y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α=y =y；；（2）x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α=x =x；； （3）xy 叫做α的正切，记作tan α（x≠0）．（x≠0）．可以看出，当α=2pp +k (k∈Z)时，α的终边在y 轴上，这时点P 的横坐标x 等于0，所以xy=a tan 无意义．除此之外，对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．所以，正弦、余弦、正切都是以角为正弦、余弦、正切都是以角为自变量自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．”我们将它们统称为三角函数．”人教B 版教材采用的是终边定义法，即在角α的终边上任取一点P(x P(x，，y)y)，，P 到原点的距离为r ，比值xyr x r y ,,分别定义为角α的正弦函数、余弦函数和正切函数。
而在后续的内容中又加入了正弦线、余弦线、正的内容中又加入了正弦线、余弦线、正切线切线，并且得到了结论“角α的正弦和余弦分别等于角α的终边与单位圆的的终边与单位圆的交点交点的纵坐标和横坐标。
的纵坐标和横坐标。
””而α的正切没有进行明确说明，的正切没有进行明确说明，只是只是讲了正切线，并在图中标注了T(1,tan α)。
y O x p 2、结合教学实践，我认为两种版本均有一些缺憾。
单位圆与周期性、诱导公式点评
《单位圆与周期性，单位圆与诱导公式（一）》课例点评常老师这节课的内容是北师大版必修4第一章《三角函数》第4节的4.2单位圆与周期性和4.3单位圆与诱导公式（一）.
根据普通高中数学课程标准的要求，是借助单位圆推导出诱导公式，了解三角函数的周期性，这两节的内容既有区别，又有非常密切的联系.北师大版教材
4.2单位圆与周期性这节只有一个周期函数的定义，把这两个内容放在一节课里，既丰富了课堂内容，又使学生对三角函数的周期性和诱导公式的推导有了更深刻的理解.这节课的主要特点：
1．准确的把握了课程标准的要求和教材的编写意图．从教学目标的设置及课堂活动过程看，突出了对实例的感悟及诱导公式推导的过程，使学生较好的理解了函数的周期性的意义，并巧妙地落实了诱导公式的推导和应用，切实突出了本节的重点．
2．教学活动的系列问题设计与实施，充分的为学生的自主学习与合作学习提供良好的条件，创设合理的问题情境启发学生积极思考，不仅课堂活动严谨有序，强化了学生对知识形成过程的感知，而且为学生提供了科学的学习与研究问题方法的指导．
3．课堂学习小组活动的实施，有效的促进了学生的自主学习与合作学习，教师的点拨与精讲，既符合本节知识内容的特点，又在时机上把握的恰到好处，切实体现了课改对教师角色转变的要求．
4．充分利用多媒体平台辅助教学，不仅丰富了学生的直观感悟与经历，化解了教学难点，较好的提高了课堂教学的效益．
5.常老师的课突出的特点是教态亲切自然，课堂气氛融洽。
语言亲和，富有激情，能为学生营造出良好的学习环境。
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三角函数的诱导公式六公式
三角函数的诱导公式六公式三角函数的诱导公式是指由其中一函数的周期性及对应性质得出其他函数与该函数的关系。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在数学问题中，经常会遇到需要使用三角函数的诱导公式来简化问题或者求解方程的情况。
一、基本诱导公式1.正弦函数与余弦函数的关系正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数，在解决与周期性相关的问题时，它们经常会相互转化。
根据单位圆的性质，可以得出如下诱导公式：sin(x + π/2) = cos(x)cos(x - π/2) = sin(x)这个公式表示，将一个函数的自变量增加π/2，得到的函数与原函数的关系是，原函数的正弦函数等于新函数的余弦函数，原函数的余弦函数等于新函数的正弦函数。
2.正弦函数与余弦函数的平方和关系正弦函数和余弦函数的平方和可以表示为1，即：sin^2(x) + cos^2(x) = 1这个公式表示，对于任意一个自变量的值，它对应的正弦函数值的平方与余弦函数值的平方之和等于1、这个公式也成为三角函数的平方和公式。
3.正弦函数与余弦函数的和差关系正弦函数和余弦函数的和差关系可以表示为：sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)这个公式表示，将两个函数相加的正弦函数等于原来的两个函数相乘的正弦函数与余弦函数之和。
同理，余弦函数也有类似的关系。
二、扩展诱导公式基于基本诱导公式，可以进一步推导出正切函数、余切函数、割函数和余割函数与其他三角函数的关系。
1.正切函数与余切函数的关系正切函数和余切函数是一对相关的三角函数，它们的关系由基本诱导公式中正弦函数与余弦函数的关系得出：tan(x) = sin(x)/cos(x)cot(x) = cos(x)/sin(x)这个公式表示，正切函数等于正弦函数除以余弦函数，余切函数等于余弦函数除以正弦函数。
单位圆与周期性-高中数学知识点讲解
单位圆与周期性
1．单位圆与周期性
【知识点的知识】
周期性
①一般地，对于函数（f x），如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有
（f x T）＝（f x）（f x）T
，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数（f x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做（f x）的最小
正周期．
③函数，及函数；（其中为常数，且）
y＝Asi（n x ）x R y＝Aco（s x ）x R A、、 A 0，＞0
的周期T =2휋휔
．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数的单调区间时，应注意的符号，只有当时，才能把看作一个整体，代入y＝Asi（n x ）＞0 x
y＝sint
的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sinx，x[0，2 ]，y＝cosx，x[0，2 ]
的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．（）＝（）
f x T f x
2휋휋②利用公式：的最小正周期为|휔|，的最小正周期为|휔|．
y＝Asi（n x ）和y＝Aco（s x ）y＝ta（n x ）
③利用图象．图象重复的x 的长度．
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三角函数教学的主线——单位圆——课例《三角函数的诱导公式(一)》读后感
三角函数教学的主线——单位圆——课例《三角函数
的诱导公式(一)》读后感
《三角函数的诱导公式(一)》是一份有关三角函数教学的主线——单位圆的课例，本文是针对其的内容给出的读后感。
首先从整个课件的结构上来看，这份课件清楚的将单位圆的内容与三角函数之间的联系充分挖掘出来了。
从抽象概念上到实际应用，极其系统化的把所有可能的问题搞清楚，并且结合利用各种诱导公式，来系统化的解决这些问题，既深入浅出，又不失精辟，是一份非常称职的教学课件。
在内容方面，本份课件从“单位圆的定义及圆上坐标的求法”一直推导到“通过诱导焦点求三角函数的公式”，全面的讲解了这一内容。
从根据极坐标的定义，将三角函数拓展到极坐标，同时结合诱导公式，并给出了求解示意图，完备的论述了从圆上一点的极坐标到三角函数的表示的对应关系。
综上所述，同学们从中了解到三角函数与单位圆之间的联系，也大概知道了单位圆谱下的算法，以及学会用诱导公式求解三角函数。
这样一来，不仅掌握了“三角函数的定义”、“三角函数的函式图”和“三角函数的公式”，而且能够把这些概念化到实践之中，对同学们对这一内容的认识更深、更全面，不久以后，这些知识将会设身处地的落实到他们在学习及工作中。
最后，《三角函数的诱导公式(一)》的课件给人留下的印象是非常深刻的，它把三角函数和单位圆之间的联系完整系统的展示给了大家，并非常有条理地给出了解决问题的办法。
对了解圆形几何特征和学习三角函数有极大帮助，是系统深入学习三角函数的最佳资料。
单位圆与诱导公式二
±
2
的正弦(余弦)函数值,分别等于 α 的余弦(正弦)函数值,前
面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名改变
(正余互变),符号看象限”.
(2)把 α 看成锐角,实际上 α 可以为任意角.
(3)运用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的转化,
在三角恒等变形中,起到改变函数名称的作用.
(
Z 知识梳理
π
4
=
1
π
, 则 cos +
3
4
的值等于
)
2 2
A.
3
1
C.
3
2 2
B. −
3
1
D. −
3
(2)若 sin(π+α)+cos
) =
π
+
2
= −, 则 cos
3π
-
2
+ 2sin(6π −
.
-8-
第2课时
诱导公式五、六
题型一
题型二
题型三
M 目标导航
UBIAODAOHANG
IANLI TOUXI
π
2· ±
2
则这六组诱导公式也可以统一用口诀“奇变偶不变,符号看象限”来
π
2
记忆,即 k· ± (∈Z)的三角函数值,当 k 为偶数时,得 α 的同名三角
函数值;当 k 为奇数时,α 的正余互换,然后前面加上一个把 α 看成锐
角时原三角函数值的符号,口诀中的“奇”和“偶”指 k 的奇偶性.如
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
单位圆中三角函数值规律
单位圆中三角函数值规律引言三角函数是数学中常见的一类函数，其中最常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在数学中，我们通常将这些函数与单位圆联系起来，以便更好地理解它们的性质和规律。
单位圆是以原点为中心、半径为1的圆，可以帮助我们直观地看到三角函数的几何意义。
本文将探讨单位圆中三角函数的值规律。
单位圆中的角度表示单位圆中的角度可以用弧度或者度数来表示。
在单位圆中，角度的起点为右侧的正x轴，顺时针方向为正方向。
我们通常以弧度来表示单位圆中的角度，其中一个完整的圆周对应的角度为360度或者2π弧度。
正弦函数的计算方法正弦函数以sin(x)表示，其中x为角度。
在单位圆中，角度为x的点的纵坐标即为sin(x)的值。
因此，可以通过单位圆上的点来计算正弦函数的值。
例如，当角度为30度或者π/6弧度时，对应的点为(1/2, √3/2)，所以sin(30°) = sin(π/6) = √3/2。
余弦函数的计算方法余弦函数以cos(x)表示，其中x为角度。
在单位圆中，角度为x的点的横坐标即为cos(x)的值。
与计算正弦函数类似，可以通过单位圆上的点来计算余弦函数的值。
例如，当角度为45度或者π/4弧度时，对应的点为(√2/2, √2/2)，所以cos(45°) = cos(π/4) = √2/2。
正切函数的计算方法正切函数以tan(x)表示，其中x为角度。
在单位圆中，角度为x的点的纵坐标除以横坐标即为tan(x)的值。
因此，可以通过单位圆上的点来计算正切函数的值。
例如，当角度为60度或者π/3弧度时，对应的点为(1/2, √3/2)，所以tan(60°) = tan(π/3) = √3。
常见角度对应的三角函数值下表列出了一些常见角度对应的三角函数值：角度 (度) 角度 (弧度) 正弦值余弦值正切值0 0 0 1 030 π/61/2 √3/2√3/345 π/4√2/2√2/2 160 π/3√3/21/2 √390 π/2 1 0 无穷大从表中可以看出，0度对应的正弦值为0，余弦值为1，正切值为0。
单位圆在诱导公式教学中的应用
57[2014.6]中考是初中学习的一个终点，每一个学生都想在中考中取得一个好成绩。
数学是中考中一个非常重要的学科，要想在中考中取得好成绩，必须要制定有效的复习方法。
大家都知道，每年中考都是靠数学拉分的，要想升高中特别是重点高中，数学成绩的是非常重要的。
而要想取得一个好的数学成绩，一个好的复习方法必不可少。
针对数学学科的特点，我谈谈如何应对中考复习。
一、熟记概念，打稳基础学习数学离不开基本的概念、公理、定理、计算和证明等，学生要把数学概念通过读、抄加深印象，这能有效提高中考数学答题水平的复习。
特别是容易混淆的概念更要彻底搞清，不留隐患。
二、记错题，避再犯学生在平时做数学题中要及时记录错题，还要及时进行反思，并且用红笔做上标记，这样就能避免不必要的失分。
三、找联系，能贯通在做题中要注重发现题与题之间的内在联系，在哪道题中有这道题的影子，你是怎样解决的，这道题与那道题有哪些变化，要会通过观察比较，发现问题的规律，理解问题的本质，因为中考出题都是以教材为基础进行变形的。
特别是几何题中的辅助线的添法，大都是根据图形的性质而来的，在做题中一定特别记牢，边审题边分析。
四、数学思想、方法中考不仅仅考查基础知识，也考查数学思想方法。
常用的数学方法包括换元法、消元法、配方法、待定系数法、反证法等；常用的数学思想有转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、等量代换、分类讨论、类比思想等。
例如方程思想，是从分析问题的数量关系入手，通过设定恰当的未知数，把问题中出现的已知量与未知量的数量关系转化为方程、方程组或不等式，使问题得到解决。
考试时要能够从题目中找到等量关系，能够选择恰当的未知数，正确列出方程、方程组或不等式。
五、看动向，研试题（1）本市中考试题的新动向。
把近三年的一模、二模及中考试题进行比较，你就能掌握百分之七十的试题方向。
（2）归纳中考数学试题的特点：考查基础，注重过程，渗透思想，突出能力，强调应用，鼓励创新。
高中数学单位圆与诱导公式
高中数学单位圆与诱导公式
课题：单位圆与诱导公式1 .
主备：王红宁审核：复审：
一、预习及自主探索
1、由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同名三角函数值相等．
即公式一：。
思考：除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、
关于原点对称等，那么它们的三角函数有何关系呢？
2、角α的终边与角ˉα的终边关于x 轴对称，α与ˉα的三角函数值之间的关系为：
公式二：。
思考：角2π-α与角α的三角函数值之间关系如何？
3、角α的终边与角α±π的终边关于原点对称，α与α±π的三角函数值之间的关系为：
公式三：。
4、角α的终边与角π-α的终边关于y 称，α与π-α的三角函数值之间的关系为：
公式四：。
二、合作探究（识记内容及重点知识）
1、求下列三角函数值：
（1）sin 960 ；（2）)643cos(π；（3）)4
19cos(π-
2、利用单位圆，求适合cos 2
2-
=α的所有角
※3、化简
)2cos()2sin()
5sin()3cos(αππαπαπα-?-?+- 三、课堂知识反馈与巩固
四、学生知识小结和学习心得。
单位圆与周期性
注意:
(1)只有个别x的值满足，不能说是周期函数； (2)自变量加上的常数才算周期，比如：f(2x+T)=f(2x)，我们说f(2x)是周期函数，但 周期是T/2； (3)如果f(x)是周期函数，T为其周期，那么，x+kT也属于其定义域，也就是说，周期函 数的定义域是一个无限集； (4)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期， 一般我们所说的周期都是指最小正周期。事实上，如果T为周期，那么kT(k≠0)也是它 的周期. (5)部分函数虽然是周期函数，但是没有最小正周期，例如f(x)=c,(c为常数，x∈R). (6)定义域的变化会对函数的周期性长生一定的影响，例如f(x)=sinx,x ∈[0,10π]
一般地对于函数fx如果存在非零实数t对定义域内的任意一个x值都有我们就把fx称为果它所有的周期中存在一个最小的正数那么这个最小的正数就叫作f自变量加上的常数才算周期比如
单位圆与周期性
角 和角 5 的终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系?
4
4
y
O
r=1
x
相等
它们的正弦函数值有什么关系? 相等
角 2和 角 8呢?
例题分析
例1（1）若函数f(x)的定义域为 R，且对任意x ∈R,都有 f(x+4)=f(x),则f(x)的周期是 （）
（2）sinα= 1/3，则 sin(4π +α)=( )
例2已知函数f(x)是周期 为4的奇函数，且当0≤x≤2时， f(x)=x2,求f(-2015)的值。
正弦函数、余弦函数的一个重要性质是
终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值相 等。它是化简三角函数的一个重要公式。
周期性也是三角函数的一个重要性质， 最小正周期是它的主要特征。
4.3单位圆与诱导公式
4.3单位圆与诱导公式§4.3 三角函数的诱导公式(一)班级：__________姓名：__________ 编制人：赵海莉一、教材分析（一）学习目标1.利用三角函数的定义、单位圆及对称性推导出几组特殊角之间的三角函数关系，即诱导公式二、三、四，并会利用诱导公式进行化简、求值、证明。
2. 通过自主、合作、探究掌握公式的内涵及结构特征.3.通过公式的推导与应用提升观察能力、分析归纳能力、领会数形结合的数学思想和化归的思想。
（二）重难点1．能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式二，并由此探究相关的其他诱导公式．(难点)2．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简与证明问题．(重点)3．各种诱导公式的特征．(易混点)二、教学过程：（一）基础初探1．设α为任意角，终边上的点P的坐标为(x,y)，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系及对称P1的坐标.2.诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝__________，cos(α＋2kπ)＝________，tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z.(2)公式二：sin(π＋α)＝______，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.(3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________.(4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________.3.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)tan 210°＝33.()(2)对于诱导公式中的角α一定是锐角．()(3)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．()(4)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．()(5)任意角α与-α的终边与单位圆的交点关于x轴对称. ()(6)任意角α与π-α的终边与单位圆的交点关于y轴对称. ()（二）核心突破1.核心探究问题1:比较公式一和公式二，你能得出什么结论？问题2：.在正切函数的诱导公式中，α可以是任意角吗？问题3：α与α+k π(n ∈Z )的三角函数值的关系如何？利用诱导公式能否直接写出sin(k π＋α)的值？问题4：公式一～四都叫做诱导公式，他们分别反映了2k π＋α（k ∈Z ），π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？2. 核心点击在处理k π±α，k ∈Z 时，需要注意什么，如何理解“符号看象限”？（三）题组冲关1.求值（1）已知角求三角函数值例1 求值：sin315°sin （-1260°）+cos570°sin （-840°）（2）给式求值例2 已知cos(-α)=，求cos(+α)-sin 2(α-)的值.变式训练：已知方程sin （α-3π）=2cos （α-4π），求的值（3）.给值求值例3 已知tan （π+α）=3，求的值2. 化简例4 化简6π3365π6π)sin()cos(2)2cos(5)sin(ααπαπαπ--+-+-)2sin()cos(4)sin(3)cos(2απααπαπ-+-+--3222cos sin(2)cos(2)322cos ()cos()θπθπθπθθ+-+--+++-3. 证明恒等式例5 若k ∈Z ，求证：=-1点评：当三角函数的角中含有k π（k ∈Z ）时，不能直接应用诱导公式变形，需对k 分奇偶整数（或设k=2n 和k=2n+1，n ∈Z ）进行讨论，（四）分层训练、巩固拓展A 层1.用公式求下列三角函数值（1）0240cos =__________ （2）π65sin =__________； (3) tan （－30°）=_________ （4）01320cos =__________2. (A) 23- (B)21- (C) 21 (D) 23 B 层：1.已知3sin()5a π+=，那么sin(2)a π-的的值为______. 2. 已知cos(π＋x )＝31，则cos(π－x ) =_________. 3. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13，则sin β=_________:（五）总结提升，课后延伸1．总结四个公式的特点和记忆方法。
三角函数的诱导公式经典讲义
三角函数的诱导公式经典讲义三角函数的诱导公式是我们在学习和应用三角函数时经常用到的一个重要工具。
它能够帮助我们把一个三角函数表达式转化为其他三角函数的表达式，从而简化计算和推导过程。
本文将详细介绍三角函数的诱导公式的原理、推导过程以及常用应用。
一、诱导公式的原理诱导公式是基于三角函数的正负号周期性性质而得出的。
周期性是指三角函数在不同的角度上取值相同，而正负号则决定了函数的正负。
根据这些性质，我们可以利用一个固定的三角函数表达式来推导出其他角度上的三角函数表达式。
具体来说，我们可以通过利用已知的正弦函数和余弦函数的周期性关系，推导出其他三角函数的表达式。
例如，我们可以利用正弦函数的周期性关系：sin(x + 2π) = sin(x)，再结合勾股定理，推导出余弦函数的表达式：cos(x) = sin(x + π/2)。
这就是三角函数的诱导公式的基本思路。
二、常用的诱导公式1.正弦函数的诱导公式sin(x ± π/2) = ±cos(x)sin(x ± π) = ±sin(x)sin(x ± 2π) = sin(x)2.余弦函数的诱导公式cos(x ± π/2) = ±sin(x) cos(x ± π) = -cos(x) cos(x ± 2π) = cos(x) 3.正切函数的诱导公式tan(x ± π/2) = ±cot(x) tan(x ± π) = tan(x)tan(x ± 2π) = tan(x) 4.余切函数的诱导公式cot(x ± π/2) = ±tan(x) cot(x ± π) = -cot(x) cot(x ± 2π) = cot(x) 5.正割函数的诱导公式sec(x ± π/2) = ±csc(x) sec(x ± π) = -sec(x) sec(x ± 2π) = sec(x) 6.余割函数的诱导公式csc(x ± π/2) = ±sec(x) csc(x ± π) = -csc(x) csc(x ± 2π) = csc(x)三、诱导公式的推导过程下面我们以正弦函数和余弦函数的诱导公式为例，介绍具体的推导过程。
【高二】单位圆与诱导公式
【高二】单位圆与诱导公式
泗县三中教案、学案：单位圆与诱导公式1
高一数学学科单元圈与归纳公式1
授课时间撰写人时间
学习的重点是诱导对公式的记忆、理解和应用。
学习难点诱导公式的推导、记忆及符号的判断
学习目标
1.掌握π＋α、－α、π－α等诱导公式；
2.能熟练运用归纳公式进行简化和评价
教学过程
一、自主学习
1写出2kπ＋α的诱导公式.
sin（2kπ+）；cos（2kπ+）
2.sin(π＋α)=；cos(π＋α)=；
3.按照上述步骤推导出
口诀：奇变偶不变，符号看象限.（90度的奇数倍函数名称改变，90度偶数倍函数名称不变，“符号”是把任意角α看成锐角时，所在象限的三角函数值的符号.）
二、师生互动
例1求值：（1）sin225°；（2）cos；
（3） sin（－）；（4）cos（－）。
变式：求tan（－2040°）的值.
小结：使用归纳公式的格式；注意这些符号
例2化简.
练习1给定cos（π+x）=0.5，求cos（2π-x）的值
练2.化简：.
三次巩固练习
1.（）.
a、 b.c.b。
2.下列式子正确的是（）.
a、 b。
c.d.
3.简化=（）
a.b.
c、 d。
4..
5.Cos（π-x）=，然后Cos（-x）=
四课后反思
五次课后巩固练习
1.求证：.
2.给定sin（π+）=（第四象限角），求COS（π+）+Tan（-）的值。
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《单位圆与周期性，单位圆与诱导公式（一）》课例点评
常老师这节课的内容是北师大版必修4第一章《三角函数》第4节的4.2单位圆与周期性和4.3 单位圆与诱导公式（一）.
根据普通高中数学课程标准的要求，是借助单位圆推导出诱导公式，了解三角函数的周期性，这两节的内容既有区别，又有非常密切的联系.北师大版教材4.2单位圆与周期性这节只有一个周期函数的定义，把这两个内容放在一节课里，既丰富了课堂内容，又使学生对三角函数的周期性和诱导公式的推导有了更深刻的理解.这节课的主要特点：
1．准确的把握了课程标准的要求和教材的编写意图．从教学目标的设置及课堂活动过程看，突出了对实例的感悟及诱导公式推导的过程，使学生较好的理解了函数的周期性的意义，并巧妙地落实了诱导公式的推导和应用，切实突出了本节的重点．
2．教学活动的系列问题设计与实施，充分的为学生的自主学习与合作学习提供良好的条件，创设合理的问题情境启发学生积极思考，不仅课堂活动严谨有序，强化了学生对知识形成过程的感知，而且为学生提供了科学的学习与研究问题方法的指导．
3．课堂学习小组活动的实施，有效的促进了学生的自主学习与合作学习，教师的点拨与精讲，既符合本节知识内容的特点，又在时机上把握的恰到好处，切实体现了课改对教师角色转变的要求．
4．充分利用多媒体平台辅助教学，不仅丰富了学生的直观感悟与经历，化解了教学难点，较好的提高了课堂教学的效益．
5.常老师的课突出的特点是教态亲切自然，课堂气氛融洽。
语言亲和，富有激情，能为学生营造出良好的学习环境。