高二数学 逻辑联结词
高二数学 简单的逻辑联结词(1)
高二数学简单的逻辑联结词（1）1、通过数学实例，了解简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2、能正确地利用“或”、“且”、“非”表述相关的数学内容；3、知道命题的否定与否命题的区别、教学重点及难点：1、掌握真值表的方法；2、理解逻辑联结词的含义主要内容：1、一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作，读作“p且q”、2、一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作：，读作：p或q、注：逻辑联结词中的“或”相当于集合中的“并集”，它与日常用语中的“或”的含义不同、日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”，可以是两个都选，但又不是两个都选，而是两个中至少选一个，因此，有三种可能的情况、逻辑联结词中的“且”相当于集合中的“并集”即两个必须都选、3、一般地，对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作：p，读作“非p”或“p的否定”、“非”命题最常见的几个正面词语的否定：正面是都是至多有一个至少有一个任意的所有的否定不是不都是至少有两个一个也没有某个某些典型例题：例1:指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：（1）24既是8的倍数，也是6的倍数；（2）李强是篮球运动员或跳高运动员；（3）平行线不相交解：（1）中的命题是p且q的形式，其中p：24是8的倍数；q：24是6的倍数、（2）的命题是p或q的形式，其中p：李强是篮球运动员；q：李强是跳高运动员、（3）命题是非p的形式，其中p：平行线相交。
例2: 分别指出下列复合命题的形式（1）8≥7（2）2是偶数且2是质数；（3）不是整数；解：（1）是“”形式，：，：8=7；（2）是“”形式，：2是偶数，：2是质数；（3）是“”形式，：是整数；例3：写出下列命题的非命题：（1）p:对任意实数x，均有x2－2x+1≥0；（2）q：存在一个实数x，使得x2－9=0（3）“AB∥CD”且“AB=CD”；（4）“△ABC是直角三角形或等腰三角形”、解：（1）存在一个实数x，使得x2－2x+1＜0；（2）不存在一个实数x，使得x2－9=0；（3）AB不平行于CD或AB≠CD；（4）原命题是“p或q”形式的复合命题，它的否定形式是：△ABC既不是直角三角形又不是等腰三角形、课后练习1、命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是（）A、简单命题B、非p形式的命题C、p或q形式的命题D、p且q的命题2、命题“方程x2＝2的解是x＝是( )A、简单命题B、含“或”的复合命题C、含“且”的复合命题D、含“非”的复合命题3、若命题，则┐p（）A、B、C、D、4、命题“梯形的两对角线互相不平分”的形式为( )A、p或qB、p且qC、非pD、简单命题5、x≤0是指 ( )A、x<0且x＝0B、x>0或x＝0C、x>0且x＝0D、x<0或x＝06、对命题p：A∩＝，命题q：A∪＝A，下列说法正确的是（）A、p且q为假B、p或q为假C、非p为真D、非p为假7、用“或”“且”“非”填空，使命题成为真命题：（1）x∈A∪B，则x∈A__________x∈B；（2）x∈A∩B，则x∈A__________x∈B；（3）a、b∈R，a＞0__________b＞0，则ab＞0、8、分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空（1）命题“的值不超过2”是_________形式、（2）命题“方程（x-2）（x-3）=0的解是x=2或x=3”是_________形式、（3）命题“方程（x-2）2+（y-3）2=0的解是”是_________形式、9、把下列写法改写成复合命题“p或q”“p且q”或“非p”的形式：（1）（a－2）（a+2）=0；（2）；（3）a＞b≥0、10、在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p１是“第一次射击中飞机”，命题p２是“第二次射击中飞机”试用p１、p２以及逻辑联结词或、且、非(∨，∧，┐)表示下列命题：命题S：两次都击中飞机；命题r：两次都没击中飞机；命题t：恰有一次击中了飞机；命题u：至少有一次击中了飞机、参考答案：1、D2、B3、D4、C5、D6、D7、（1）或（2）且（3）且8、（1）非p （2）p或q （3）p且q9、（1）p：a－2=0或q：a+2=0；（2）p：x=1且q: y=2 （3）p：a＞b且q：b≥010、（1）（2）（3）（4）。
高二数学下第二讲 逻辑联结词与量词
第二讲逻辑联结词与量词一2011高考大纲1．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定请注意！本节也是高考的热点内容，尤其是逻辑联结词和含有量词命题的否定是重点，多以选择题形式出现，属基础题.二知识梳理2．全称量词和存在量词(1)全称量词有：一切，每一个，任给，用符号“∀”表示．存在量词有：有些，有一个，对某个，用符号“∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题；“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)，读作：“对任意x属于M，有p(x)成立”．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题(存在性命题)；”存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)，读作：”存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．三教材回归1．(课本P20,3题改编)已知命题p：若a，b都是偶数，则a＋b是偶数．命题p的否命题为____________________；命题p的否定形式┐p为________________．2．如果“┐(p∨q)”为假命题，则()A．p，q均为真命题B．p，q均为假命题C．p，q中至少有一个为真命题D．p，q中至多有一个为真命题3．若命题p：x∈A∩B，则┐p：()A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉B D．x∈A∪B4．已知命题p：∃m∈R，m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为()A．m≥2 B．m≤－2 C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2五典例分析题型一含逻辑连接词的命题及真假例1(课本P22练习改编)分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“┐p”形式的复合命题，并判断其真假．(1)p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线相等．(2)p：a∈{a，b，c}，q：{a} {a，b，c}．(3)p：不等式x2＋2x＋2>1的解集是R，q：不等式x2＋2x＋2≤1的解集为∅.探究1判断一个复合命题的真假往往用真值表，一般先确定复合命题的构成形式，然后根据简单命题的真假和真值表得出结论．在判断复合命题的真假，应记住：p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q 形式是“一真必真，全假才假”，┐p则是“与p的真假相反”．思考题1写出由下列各组命题构成的“p∧q”、“p∨q”、“┐p”形式的复合命题，并判断真假．(1)p：1是素数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同；q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．题型二全（特）称命题及真假判断例2 试判断以下命题的真假； (1)∀x ∈R ，x 2＋2＞0； (2)∀x ∈N ，x 4≥1； (3)∃x ∈Z ，x 3＜1； (4)∃x ∈Q ，x 2＝ 3；(5)∀x ∈R ，x 2－3x ＋2＞0； (6)∃x ∈R ，x 2＋1＝0；探究2 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．思考题2 指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假． (1)若a ＞0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x ＞0； (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1＜x 2，则tan x 1＜tan x 2； (3)∃T ∈R ，使|sin(x ＋T )|＝|sin x |； (4)∃x ∈R ，使x 2＋1＜0.题型三 含量词命题的否定例3 写出下列命题的“否定”，并判断其真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；(4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.探究3 (1)全(特)称命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而命题的否定则是直接否定结论即可．(2)要判断“┐p ”命题的真假，可以直接判断，也可以判断p 的真假，因为p 与┐p 的真假相对．思考题3 写出下列命题的否定并判断真假．(1)p ：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (2)p ：每一个非负数的平方都是正数；(3)p ：存在一个三角形，它的内角和大于180°； (4)p ：有的四边形没有外接圆； (5)p ：某些梯形的对角线互相平分．题型四 应用问题例4 已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，求实数a 的取值范围．【思路分析】(1)已知的两个命题是全称命题和特称命题．(2)根据“p∧q”是真命题来确定a的不等式，从而求出a的取值范围．探究4①含有逻辑连结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑连结词的命题成立的条件．②对全称命题可转化为恒成立问题．思考题4已知两个命题r(x)：sin x＋cos x＞m，s(x)：x2＋mx＋1＞0.如果对∀x∈R，r(x)∧s(x)为假，r(x)∨s(x)为真，求实数m的取值范围．【思路分析】由题意可知，r(x)与s(x)有且只有一个是真命题，所以可先求出对∀x∈R时，r(x)，s(x)都是真命题时m的范围，再由要求分情况讨论出所求m的范围．六课后小结①命题的否定与否命题的区别：否命题是既否定其条件，又否定结论；而命题p的否定即非p，是只否结论不否条件．②命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假；而否命题与原命题的真假无必然联系．③含一个量词的命题的否定，既要否定量词，又要否定结论．七高考在线1.（2011年北京高考）．若p是真命题，q是假命题，则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．┐p是真命题D．┐q是真命题2．（2011年安徽理7）命题“所有能被2整聊的整数都是偶数”的否定是（A）所有不能被2整除的数都是偶数（B）所有能被2整除的整数都不是偶数（C）存在一个不能被2整除的数都是偶数（D）存在一个能被2整除的数都不是偶数3．(2010年·辽宁高考)已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是()A．∃x∈R，f(x)≤f(x0) B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)4. (2010·湖南卷)下列命题中的假命题是()A．∀x∈R,2x－1＞0 B．∀x∈N*，(x－1)2＞0C．∃x∈R，lg x＜1 D．∃x∈R，tan x＝25. (2010年安徽高考文)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．6．(2010·安徽高考理)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是________．7.(2010年新课标全国卷)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(┐p1)∨p2和q4：p1∧(┐p2)中，真命题是________．八家庭作业一、选择题1．下列全称命题中假命题的个数()①2x＋1是整数(x∈R)；②对所有的x∈R，x>3；③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数；④任何直线都有斜率．A．1B．2 C．3 D．42．下列命题的否定是真命题的是()A．有些实数的绝对值是正数B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根3．(2011·皖南八校)下列命题中正确的是()A．对所有正实数t，有t<tB．不存在实数x，使x<4，且x2＋5x－24＝0C．存在实数x，使|x＋1|≤1且x2>0D．不存在实数x，使x3＋x＋1＝04．已知命题p：∀x∈R，x2＋x－6<0，则命题綈p是()A．∀x∈R，x2＋x－6≥0B．∃x∈R，x2＋x－6≥0C．∀x∈R，x2＋x－6>0D．∃x∈R，x2＋x－6<05．已知命题p：∃x∈R，mx2＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为()A．m≥2 B．m≤－2 C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2二、填空题6．命题“存在实数x0，y0，使得x0＋y0>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．7．(2011·江南十校联考)若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．8．已知：p：1x2－x－2>0，则┐p对应的x的集合为______________．9．设命题p ：若a >b ，则1a <1b ；命题q ：1ab<0⇔ab <0.给出下面四个复合命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③(┐p )∧(┐q )；④(┐p )∨(┐q )．其中真命题的个数有________个．三、解答题10．已知p ：∀x ∈R,2x >m (x 2＋1)，q ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0－m －1＝0，且p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．11．已知命题p ：|x 2－x |≥6; q ：x ∈Z ，若“p ∧q ”与“┐q ”同时为假命题，求x 的值．12．设命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2－x ＋14a )的定义域为R ；命题q ：不等式3x －9x ＜a 对一切正实数均成立．如果命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．答案 教材回归1 答案 否命题：若a 、b 不都是偶数，则a ＋b 不是偶数 否定形式：若a ，b 都是偶数，则a ＋b 不是偶数2.答案 C 解析 ┐(p ∨q )为假命题，则p ∨q 为真命题，所以，根据真值表，故选C.3.答案 B4.答案 B 解析 ∵p ∧q 为假命题⇔p ，q 中至少有一个为假命题，而命题p ：∃m ∈R ，m ＋1≤0为真命题，∴命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立必定为假命题，∴Δ＝m 2－4×1≥0⇒m≤－2或m≥2，又命题p：∃m∈R，m＋1≤0为真命题，∴m≤－1，综上知m ≤－2，故选B.典例分析例1【解析】(1)p∨q：菱形的对角线互相垂直或相等，为真命题．p∧q：菱形的对角线互相垂直且相等，为假命题．┐p：菱形的对角线不垂直，为假命题．(2)p∨q：a∈{a，b，c}或{a} {a，b，c}，为真命题．p∧q：a∈{a，b，c}且{a} {a，b，c}，为真命题．┐p：a∉{a，b，c}，为假命题．(3)p∨q：不等式x2＋2x＋2>1的解集为R或x2＋2x＋2≤1的解集为∅，为假命题．p∧q：不等式x2＋2x＋2>1的解集为R且x2＋2x＋2≤1的解集为∅，为假命题．┐p：不等式x2＋2x＋2>1的解集不是R，为真命题．思考题1 【解析】(1)p∨q：1是素数或是方程x2＋2x－3＝0的根，真命题．p∧q：1既是素数又是方程x2＋2x－3＝0的根，假命题．┐p：1不是素数，真命题．(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直，假命题．p∧q：平行四边形的对角线相等且互相垂直，假命题．┐p：有些平行四边形的对角线不相等，真命题．(3)p∨q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同或绝对值相等，假命题．p∧p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同且绝对值相等，假命题．┐p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号不相同，真命题．例2 【解析】(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0 .所以命题“∀x∈R，x2＋2＞0”是真命题．(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．(3)由于－1∈Z，当x＝－1时，能使x3＜1，所以命题“∃x∈Z，x3＜1”是真命题．(4)由于使x2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数．因此，没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x∈Q，x2＝3”是假命题．(5)假命题，因为只有x>2或x<1时满足．(6)假命题，因为不存在一个实数x使x2＋1＝0成立．思考题2 【解析】(1)、(2)是全称命题，(3)、(4)是特称命题．(1)∵a x＞0(a＞0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1＜x2，但tan0＝tanπ，∴命题(2)是假命题．(3)y＝|sin x|是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x∈R，x2＋1＞0，∴命题(4)是假命题．例3 【解析】 (1)┐p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14＜0，是假命题． 因为∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0恒成立．(2)┐q ：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．(3)┐r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0，是真命题，这是由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1＞0成立．(4)┐s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，是假命题，这是由于x ＝－1时，x 3＋1＝0.思考题3 【分析】 首先弄清楚是全称命题还是特称命题，再针对不同形式加以否定． 【解析】 (1) ┐ p ：存在末位数字是0和5的整数不能被5整除，假命题． (2) ┐ p ：存在一个非负数的平方不是正数，真命题．(3) ┐ p ：任何一个三角形，它的内角和不大于180°，真命题． (4) ┐ p ：所有的四边形都有外接圆，假命题．(5) ┐ p ：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题．例4 【解析】 由“p ∧q ”是真命题，则p 为真命题，q 也为真命题，若p 为真命题，a ≤x 2恒成立，∵x ∈[1,2 ]，∴a ≤1.若q 为真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2，综上所求实数a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1.思考题4 【解析】 ∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≥－2，∴当r (x )是真命题时，m ＜－ 2.又∵对∀x ∈R ，s (x )为真命题，即x 2＋mx ＋1＞0恒成立，有Δ＝m 2－4＜0，∴－2＜m ＜2.∴当r (x )为真，s (x )为假时，m ＜－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2， 当r (x )为假，s (x )为真时，m ≥－2且－2＜m ＜2，即－2≤m ＜2. 综上，实数m 的取值范围是m ≤－2或－2≤m ＜2.高考在线1 D 2． D3．答案 C 解析 由题知：x 0＝－b2a为函数f (x )图象的对称轴方程，所以f (x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f (x )≥f (x 0)，因此∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)是错误的，选C. 4．解析 对于选项B ，当x ＝1时，结论不成立，故选B. 5．答案 对任何x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0 6．答案 存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3解析 由定义知命题的否定为“存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3”7．答案 q 1，q 4解析 p 1是真命题，则┐p 1为假命题；p 2是假命题，则┐p 2为真命题；∴q 1：p 1∨p 2是真命题，q 2：p 1∧p 2是假命题，∴q 3：(┐p 1)∨p 2为假命题，q 4：p 1∧(┐p 2)为真命题． ∴真命题是q 1，q 4.家庭作业1．答案 C 解析 ①②④是假命题． 2．答案 B3．答案 C 解析 选项A 不正确，如t ＝14时，有t >t ；选项B 不正确，如x ＝3<4，而x 2＋5x －24＝0；选项D 不正确，设f (x )＝x 3＋x ＋1，f (－1)＝－1<0，f (0)＝1>0，故方程x 3＋x ＋1＝0在(－1,0)上至少有一个实数根．对于C ，x ＝－1时即满足条件，故选C.4．答案 B 解析 全称命题的否定为特称命题，选B.5．答案 A 解析 若p ∨q 为假命题，则p 、q 均为假命题，则┐p ：∀x ∈R ，mx 2＋1>0与┐q ：∃x ∈R ，x 2＋mx ＋1≤0均为真命题．根据┐p ：∀x ∈R ，mx 2＋1>0为真命题可得m ≥0，根据┐q ：∃x ∈R ，x 2＋mx ＋1≤0为真命题可得Δ＝m 2－4≥0，解得m ≥2或m ≤－2.综上，m ≥2.6．答案 ∃x 0，y 0∈R ，x 0＋y 0>1；∀x ，y ∈R ，x ＋y ≤1；假7．答案 －22≤a ≤2 2 解析 因为“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.8．答案 {x |－1≤x ≤2} 解析 p ：1x 2－x －2>0⇔x >2或x <－1 ∴┐p ：－1≤x ≤29．答案 2个 解析 p 假，q 真，故①④真 10．答案 －2≤m ≤－1解析 2x >m (x 2＋1)可化为mx 2－2x ＋m <0. 若p ：∀x ∈R,2x >m (x 2＋1)为真， 则mx 2－2x ＋m <0对任意的x ∈R 恒成立．当m ＝0时，不等式可化为－2x <0，显然不恒成立；当m ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧m <0，4－4m 2<0，∴m <－1. 若q ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0－m －1＝0为真，则方程x 2＋2x －m －1＝0有实根， ∴4＋4(m ＋1)≥0，∴m ≥－2. 又p ∧q 为真，故p 、q 均为真命题． ∴⎩⎪⎨⎪⎧m <－1，m ≥－2，∴－2≤m <－1. 11．答案 －1,0,1,2 解析 ∵“p 且q ”为假，∴p 、q 中至少有一个命题为假命题； 又“┐q ”为假，∴q 为真，从而知p 为假命题故有⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－x |＜6，x ∈Z 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6＜0，x 2－x ＋6＞0，x ∈Z得⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜3，x ∈R ，x ∈Z .∴x 的值为：－1,0,1,212．答案 0≤a ≤1 解析 若命题p 为真，即ax 2－x ＋14a ＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0Δ＜0，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞01－a 2＜0，∴a ＞1. 令y ＝3x －9x ＝－(3x －12)2＋14，由x ＞0得3x ＞1，∴y ＝3x －9x 的值域为(－∞，0)．∴若命题q 为真，则a ≥0.由命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，得命题p 、q 一真一假． 当p 真q 假时，a 不存在；当p 假q 真时，0≤a ≤1.。
高二数学-基本逻辑联结词-且与或
锦州一高中高二数学自主探究学案课题：基本逻辑联结词——“且”与“或”创设情境：图1 图2在图1所示的电路中串联一个灯泡和两个开关21,ss，图2是一个电路并联两个开关21,ss在什么情况下，上述两个电路中的灯泡才会亮？从中请你理解和体会逻辑联结词“且”和“或”的意义吗？学习任务：（一）1,逻辑联结词——且一般的，用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作，读作由“且”的含义，我们可以用“且”来定义集合A和集合B的；即=BA2，命题p∧q的真假判断方法：一般地，我们规定:当p，q都是真命题时，p∧q是；当p，q 两个命题中有一个命一句话概括：全真为真,有假即假（二）1,逻辑联结词——或一般的，用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作，读作由“或”的含义，我们可以用“或”来定义集合A和集合B的；即=BA2，命题p∨q的真假判断方法：一般地，我们规定:当p，q两个命题中有个命题是真命题时,p∨q是命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是命题.一句话概括：有真即真, 全假为假.对“且”的理解，可联想集合中的的概念，对“或”的理解，可考虑的概念。
例1，把下列各组命题用“且”联结组成新命题，并判断其真，假（1）p：lg0.1<0;q：lg11>0.（2）p:y=cosx是周期函数；q：y=cosx是奇函数例2，把下列各组命题用“或”联结成新命题，并判断他们的真假：（1）p：10=10；q：10<10.（2）P:RN⊆;q:RQ⊆.自主检测（一）基础知识——必会题1,由下列各组命题构成的“qp∨”，“qp∧”合命题均为真命题的是（）A.47:,944:>=+qpB.{}{}{}c b aaqcbaap,,:,,,:⊂∈C.的约数是是质数，128:15:qpD.不是质数是偶数2:,2:p q1 / 22 / 22,命题{},:φφ∈p 命题{}φφ⊂:q ，那么下列结论不正确的是 （ ） A. “q p ∨”为真 B. “q p ∧”为假C. “q p ∧”为真D. “q p ∨”和“q p ∧”均为真 3． 已知与是两个命题，给出下列命题：(1)．只有当命题p 与q 同时为真时，命题“q p ∨”才能为真； (2).只有当命题p 与q 同时为假时，命题“q p ∨”才能为假； (3).只有当命题p 与q 同时为真时，命题“q p ∧”才能为真； (4).只有当命题p 与q 同时为假时，命题“q p ∧”才能为假；其中真命题是 （ ） A.(3) B. (2)和(3) C.(2)和(4) D.(3)和(4) 4，0≠+y x 等价于 （ ） A.0y 0==且x B. 0y 0==或x C. 0y 0≠≠且x D. 0y 0≠≠或x5，设有两个命题：:p 关于x 的不等式0422>++x x 对一切R x ∈恒成立，:q 函数x a y )25(--=在R x ∈是减函数，若“q p 且”为真命题，则实数a 的取值范围是 （ ）A.（-2, 2）B.（-∞，2）C.(]2,-∞-D. (]2,∞-（二）能力拓展——选做题6，命题：方程012=-x 的解是“1±=x ”使用的逻辑联结词的情况是（ ）A.没有使用逻辑联结词“且”B.使用了逻辑联结词“且”C.使用了逻辑联结词“或”D.没有使用逻辑联结词“或”7，若把命题“B A ⊆”看成一复合命题，那么复合命题的形式是 ， 其中构成它的两个简单命题是8,以下判断中正确的是 （ ） A ．命题p 是真命题时，命题“q p ∧”一定是真命题 B ．命题“q p ∧”是真命题时，命题p 一定是真命题 C ．命题“q p ∧”是假命题时，命题p 一定是假命题 D ．命题p 是假命题时，命题“q p ∧”不一定是假命题9，下列命题中，既是“q p ∧”形式的命题，又是真命题的是 （ ）A ．10或15是5的倍数B ．方程的0432=--x x 两个根是-4和1 C ．方程012=+x 没有实数根D ．有两个角为︒45的三角形是等腰直角三角形10，分别用“q p ∧”“q p ∨”填空（1） 命题“集合B A ⊃”是 形式；（2） 命题”24)1(2≥+-x ”是 形式；（3） 命题“60是10与12的公倍数”是 形式。
高中数学第一章常用逻辑用语1.2基本逻辑联结词1.2.2“非”(否定)b11b高二11数学
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3．命题 p：“∃x∈R，x2＋1＜2x”的否定﹁p：________； ﹁p 为________命题．(填“真”“假”) 答案：∀x∈R，x2＋1≥2x 真
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4．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)p：y＝sin x 是周期函数； (2)p：3<2. 解：(1)﹁p：y＝sin x 不是周期函数．是假命题． (2)﹁p：3≥2.是真命题．
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命题的否定 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p：圆(x－1)2＋y2＝4 的圆心是(1，0)； (2)q：50 是 7 的倍数； (3)r：一元二次方程至多有两个解； (4)s：7<8.12/13源自2021第十页，共三十二页。
【解】 (1)“是”的否定词语为“不是”，利用命题的否定 的定义写出﹁p：圆(x－1)2＋y2＝4 的圆心不是(1，0)．因原 命题为真，故其否定为假． (2)﹁q：50 不是 7 的倍数．因原命题为假，故其否定为真． (3)“至多有两个”的否定词是“至少有三个”，利用命题 的否定的定义写出该命题的否定﹁r：一元二次方程至少有 三个解．因原命题为真，故其否定为假． (4)﹁s：7≥8.因原命题为真，故其否定为假．
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命题的否定的应用 已知命题 p：“至少存在一个实数 x∈[1，2]，使不 等式 x2＋2ax＋2－a>0 成立”为真，试求参数 a 的取值范围．
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【解】 由已知得﹁p：∀x∈[1，2]，x2＋2ax＋2－a≤0 成 立． 所以设 f(x)＝x2＋2ax＋2－a， 则ff（ （12） ）≤ ≤00， ， 所以14＋＋24aa＋＋22－－aa≤≤00，，
简单的逻辑联结词
简单的逻辑联结词高二数学学案一、学习目标：1.3简单的逻辑联结词p真真假假q真假真假非p假假真真p或q真真真假p且q真假假假使用时间：2021年11月23日编印者：段会茹审定者：赵国宾1、了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2、正确应用“或”、“且”解决问题。
3、掌握真值表并会用真值表解决问题。
二、自主学习：基本梳理1。
和(1)定义：一般地，用联结词“”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q.读作“．（2）当命题P和Q都是真命题时，P∧Q是真命题；当两个命题P和Q中只有一个为假时，P∧Q为假2．或(or)．（1）定义：一般来说，一个新命题是通过连接命题p和命题q与连词“”而获得的，并记录为p∨ 问：它被解读为“(2)当p，q两个命题中，只要有一个命题为真命题时，p∨q就为；当p，q两个命题都为假命题时，p∨q就为．3.不是(1)定义：一般地，对一个命题p，就得到一个新命题，记作p.读作“”或“”．（2）如果P是真命题，那么P必须是；如果P是一个假命题，那么P是。
4.复合命题真值表复合命题的真假可通过真值表加以判断：注：判断复合命题真实性的基本步骤是：（1）确定复合命题的构成形式（先找出逻辑连接词，再确定连接的简单命题）；（2）判断每个简单命题的真实性；（3）结合真值表推断复合命题的真假5．复合命题的否定．（1）命题的否定：“？P”是命题“P”的否定，与命题“P”的真或假相反。
（2）命题否定（P∧ q）：命题的否定（P∧ q）是吗∨ （3）命题的否定（P∨ q）：命题的否定（P∨ q）是吗∧? 6.常用词及其否定原词等于大于(＞)不大于(≤)小于(＜)是不是都是不都是不等于不小于(≥)至多有一个至少有两个有个至少有一至多有n个一个也没至少有n＋1个任意的任意两个所有的能不能某个某两个某些第3节简易逻辑连结词及全称存在量词1例1。
将下列命题与“and”连成一个新命题，判断其正确与否。
高二数学选修1-1第一章常用逻辑用语
常用逻辑用语一、命题及其关系考点：要点1．命题：一般地，把用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题．其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题．要点2．四种命题：(1)一般地，用p和q分别表示命题的条件和结论，用￢p和￢q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若￢p，则￢q；逆否命题：若￢q，则￢p．要点3.四种命题的关系：互为逆否的两个命题同真假.考点1. 命题及其真假推断：例1、推断下列语句是否是命题？若是，推断其真假并说明理由。
1）x>1或x=1；2）假如x=1，那么x=33)x2-5x+6=0； 4)当x=4时,2x＜0； 5)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?6)矩形莫非不是平行四边形吗? 7)矩形是平行四边形吗？；8)求证:若x∈R,方程x2-x+1=0无实根.解析：1）不是，x值不确定。
2）是，假命题3）不是命题.因为语句中含有变量x,在不给定变量的值之前,我们无法确定这语句的真假.同样如“2x＞0”也不是命题.4)是命题.它是作出推断的语言,它是一个假命题.5)不是命题.因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线平行作出推断,疑问句不是命题.6)是命题.通过反意疑问句对矩形是平行四边形作出了推断,它是真命题.7)不是.不是陈述句8)不是命题.它是祈使句,没有作出推断.如“把门关上”是祈使句,也不是命题.练一练： 1. 推断下列语句是不是命题。
（1）2+22是有理数；（2）1+1>2；（3）2100是个大数；（4）986能被11整除；（5）非典型性肺炎是怎样传播的？ （6）（6）x ≤3。
2. 推断下列语句是不是命题。
（1）矩形莫非不是平行四边形吗？ （2）垂直于同一条直线的两条直线平行吗？ （3）一个数不是合数就是质数。
（4）大角所对的边大于小角所对的边； （5）y+x 是有理数，则x 、y 也是有理数。
高二数学 简单的逻辑联结词(2)
高二数学简单的逻辑联结词（2）1、加深对“或”“且”“非”的含义的理解，2、能利用真值表判断含有复合命题的真假；学习重点及难点：判断复合命题真假的方法；主要内容：1、简单命题：不含有逻辑联结词的命题是简单命题2、复合命题：由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题3、复合命题的构成形式是：p或q(记作“p∨q” )； p且q(记作“p∨q” )；非p(记作“┑q” )4、“非p”形式的复合命题真假：当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真、p非p真假假真（真假相反）5、“p且q”形式的复合命题真假：当p、q为真时，p且q 为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。
pqp且q真真真真假假假真假假假假（一假必假）6、“p或q”形式的复合命题真假：当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q为假。
pqP或q真真真真假真假真真假假假（一真必真）注：1像上面表示命题真假的表叫真值表；2由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p 的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；3真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。
如：p 表示“圆周率π是无理数”，q表示“△ABC是直角三角形”，尽管p与q的内容毫无关系，但并不妨碍我们利用真值表判断其命题p或q 的真假。
4介绍“或门电路”“与门电路”。
或门电路（或）与门电路（且）典型例题：例1、判断下列命题的真假：（1）4≥3 （2）4≥4 （3）4≥5（4）对一切实数分析：（4）为例：第一步：把命题写成“对一切实数或”是p或q形式第二步：其中p是“对一切实数”为真命题；q是“对一切实数”是假命题。
第三步：因为p真q假，由真值表得：“对一切实数”是真命题。
例2、分别指出由下列各组命题构成的p或q、p且q、非p形式的复合命题的真假：（1）p：2+2=5；q：3>2（2）p：9是质数；q：8是12的约数；（3）p：1∈{1，2}；q：{1}{1，2}（4）p：{0}；q：{0}解：①p或q：2+2=5或3>2 ；p且q：2+2=5且3>2 ；非p：2+25、∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真、②p或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12的约数；非p：9不是质数、∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真、③p或q：1∈{1，2}或{1}{1，2}；p且q：1∈{1，2}且{1}{1，2}；非p：1{1，2}、∵p 真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假、④p 或q：φ{0}或φ={0}；p且q：φ{0}且φ={0} ；非p：φ{0}、∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假、课后练习1、如果命题p是假命题，命题q是真命题，则下列错误的是（）A、“p且q”是假命题B、“p或q”是真命题C、“非p”是真命题D、“非q”是真命题2、下列命题是真命题的有( )A、5>2且7<3B、3>4或3<4C、7≥8D、方程x2－3x+4=0的判别式Δ≥03、若命题p：2n－1是奇数，q：2n＋1是偶数，则下列说法中正确的是（）A、p或q为真B、p且q为真C、非p为真D、非p为假4、如果命题“非p”与命题“p或q”都是真命题，那么（ B ）A、命题p与命题q的真值相同B、命题q一定是真命题C、命题q不一定是真命题D、命题p不一定是真命题5、由下列各组命题构成的复合命题中，“p或q”为真，“p 且q”为假，“非p”为真的一组为( )A、p：3为偶数，q：4为奇数B、p：π<3，q：5>3C、p：a∈{a，b}，q：{a}{a，b}D、p：QR，q：N=Z6、在下列结论中，正确的是（）①为真是为真的充分不必要条件；②为假是为真的充分不必要条件；③为真是为假的必要不充分条件；④为真是为假的必要不充分条件；A、①②B、①③C、②④D、③④7、（1）如果命题“p或q”和“非p”都是真命题，则命题q的真假是_________。
高二数学 逻辑联结词与量词(文) 苏教版
高二数学逻辑联结词与量词（文）苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：逻辑联结词与量词二. 重点、难点：重点：理解简单的逻辑联结词或、且、非的含义，理解量词用含有一个量词的命题的否定．难点：含有一个量词的命题的否定．（二）概念与规律总结（1）命题的结构命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题．“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题．构成复合命题的形式：p或q（记作p∨q）；p且q（记作p∧q）；非p（记作┑q）．（2）命题的四种形式与相互关系原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若┑p则┑q；逆否命题：若┑q则┑p．原命题与逆否命题互为逆否，同真假；逆命题与否命题互为逆否，同真假．（3）命题的条件与结论间的属性“p⇒q”的含义有三条：p推出q；p是q 的充分条件；q是p的必要条件．（4）“或”、“且”、“非”的真值判断“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．（5）全称量词与存在量词全称量词：所有的，一切，全部，都，任意一个，每一个等；存在量词：存在一个，至少有一个，有个，某个，有的，有些等；全称命题p:∀x∈M，p（x）否定为⌝ p：∃x∈M，⌝p（x）存在性命题p：∃x∈ M，p（x）否定为⌝ p：∀x∈M，⌝ p（x）（6）反证法是间接证法的一种假设为真，即不成立，并根据有关公理、定理、公式进行逻辑推理，得出矛盾．因为公理、定理、公式正确，推理过程也正确，产生矛盾的原因只能是“假设为真”，由此假设不成立，即“为真”．【典型例题】例1. 概念辨析（1）分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题，并判断它们的真假：p：四边都相等的四边形是正方形，q：四个角都相等的四边形是正方形解：“p或q”：四边都相等的四边形是正方形或四个角都相等的四边形是正方形“p且q”：四边都相等的且四个角都相等的四边形是正方形“非p”：四边不都相等的四边形不是正方形．方法：分清命题的条件与结论，然后重新组合．（2）下列命题是全称命题的是，是存在性命题的是．①线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等②负数的平方是正数③有些三角形不是等腰三角形④有些菱形是正方形解：是全称命题的是①②，是存在性命题的是③④．判断方法就是判断它们有无全称量词与存在量词．（3）写出下列命题的否定①已知集合A ⊆B ，如果对于任意的元素x ∈A ，那么x ∈B ； ②已知集合A ⊆B ，存在至少一个元素x ∈B ，使得x ∈A ； 解：①否定为：∃x ∈A ， x ∉B②否定为：∀x ∈B ， x ∉A（4）若⌝A 是B 的充分不必要条件，则A 是⌝B 的…………………（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解：∵“⌝A ⇒B ”⇔“⌝B ⇒A ”∴选B ．方法总结：遇到有否定词的问题可以转化为它的等价命题，去掉否定词．例2. 若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0， x 2＋（a －1）x ＋a 2＝0， x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根．试求实数a 的取值范围．分析：三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根．先求出反面情况时a 的范围，则所得范围的补集就是正面情况的答案．解：设三个方程均无实根，则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--=<--=<+--=0)a 2(4a 40a 4)1a (0)3a 4(4a 162222221△△△，解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<->-<<<-0a 231a 1a 21a 23或，即－23<a<－1． 所以当a ≥－1或a ≤－23时，三个方程至少有一个方程有实根． 方法总结： “至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单．本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R ），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a 的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集．两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻．例3. 已知数列{a n }的前n 项S n ＝p n ＋q （p ≠0，p ≠1），求数列{a n }是等比数列的充要条件． 解：a 1＝S 1＝p ＋q当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1（p －1）∵p ≠0，p ≠1，∴)1p (p )1p (p 1n n ---＝p若{a n }为等比数列，则n1n 12a a a a +=＝p ∴qp )1p (p +-＝p ， ∵p ≠0，∴p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1 这是{a n }为等比数列的必要条件．下面证明q ＝－1是{a n }为等比数列的充分条件 当q ＝－1时，∴S n ＝p n －1（p ≠0，p ≠1），a 1＝S 1＝p －1当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －p n －1＝p n －1（p －1）∴a n ＝（p －1）p n －1 （p ≠0，p ≠1）2n 1n 1n n p )1p (p )1p (a a -----=＝p 为常数 ∴q ＝－1时，数列{a n }为等比数列．即数列{a n }是等比数列的充要条件为q ＝－1．方法归纳：1、本题重点考查充要条件的概念及学生解答充要条件命题时的思维的严谨性．2、以等比数列的判定为主线，本题的闪光点在于抓住数列前n 项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定．3、因为题目求的是充要条件，即有充分性和必要性两层含义，很容易忽视充分性的证明．4、技巧与方法 由a n ＝⎩⎨⎧≥-=-)2n (S S )1n (S 1n n1关系式去寻找a n 与a n ＋1的比值，但同时要注意充分性的证明．例4. 有六个人参加歌手新秀赛，组委会只设了一名特等奖，观众A 、B 、C 、D 四人对于谁能获得特等奖进行了如下猜想：A 说：不是1号就是2号能获特等奖；B 说：3号不可能获得特等奖；C 说：4、5、6号都不可能获得特等奖；D 说：能获得特等奖的是4、5、6号中的一人．从上表可以看出只有第3列是打了一个“√”，即一个人猜对了，故为C 猜对了，是3号获得了特等奖．方法总结：逻辑推理问题要抓住条件与结论进行推理，本题运用表格是一种很好的方法，通过表格一目了然看出哪种情况是符合题意的．在解题中要善于使用表格分析问题．例5. 函数f （x ）对一切实数x ，y 均有f （x ＋y ）－f （y ）＝（x ＋2y ＋1）x 成立，且f （1）＝0．（1）求f （0）的值；（2）当f （x ）＋2<log a x ， x ∈（0，12）恒成立，求a 的取值范围． 解：（1）令 x ＝1，y ＝0得f （1）－f （0）＝2，又f （1）＝0，∴f （0）＝ －2． （2）令y ＝0，得f （x ）＋2＝（x ＋1）x∴原命题转化为：x 2＋x<log a x ，对x ∈（0，12）恒成立． （x 2＋x ）的最大值≤log a x 的最小值．21log 2141a ≤+且0<a<1，∴1a 443<≤．方法总结：本题是全称命题，当然可以取任意一个量进行研究，因此这种方法叫赋值法．恒成立问题利用图象处理直观简洁．【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、选择题（每小题只有一个答案，每道题4分，共40分） 1. 下列语句中的简单命题是（ ）A. 3不是有理数B. ∆ABC 是等腰直角三角形C. 3x ＋2<0D. 负数的平方是正数 2. 命题：“方程x 2－2＝0的解是x ＝2±”中使用逻辑联结词的情况是（ ） A. 没有使用逻辑联结词 B. 使用了逻辑联结词“且” C. 使用了逻辑联结词“或” D. 使用了逻辑联结词“非” 3. “a 2＋b 2≠０”的含义是 （ ） A. a ，b 不全为0 B. a ，b 全不为0C. a ，b 中至少有一个为０D. a ，b 中没有０ 4. 如果命题“非p 为真”，命题“p 且q ”为假，那么则有（ ）A. q 为真B. q 为假C. p 或q 为真D. p 或q 不一定为真5.yx＞1的一个充分不必要条件是 （ ） A. x ＞y B. x ＞y ＞0 C. x ＜y D. y ＜x ＜0 6. 下列全称命题①末位是０的整数，可以被2整除；②不相交的两条直线是平行直线； ③偶函数的图像关于y 轴对称；④正四面体中两侧面的夹角相等； 其中真命题的个数为（ ）A. lB. 2C. 3D. 0 7. 已知集合A 、B ，全集∪，给出下列四个命题（ ）①若B A ⊆，则B B A = ； ②若B B A = ，则B B A = ； ③若)B C A (a ∈，则A a ∈； ④若)B A (C a ∈，则)B A (a ∈则上述正确命题的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 48. 给出命题：①若02x 3x 2=+-，则x ＝1或x ＝2； ②若3x 2<≤-，则0)3x )(2x (≤-+； ③若x ＝y ＝0，则0y x 22=+；④若*∈N y ,x ，x ＋y 是奇数，则x ，y 中一奇，一偶． 那么（ ）A. ①的逆命题为真B. ②的否命题为真C. ③的逆否命题为假D. ④的逆命题为假9. 下列命题中，真命题的个数为①对所有正数x ，x x < ②不存在实数x ，使x<4且x 2＋5x ＝24 ③存在实数x ，使得|x ＋1|≤1且x 2>4 ④3≥3A. 1B. 2C. 3D. 4 10. 给出下列四个命题：①有理数是实数； ②有些平行四边形不是菱形； ③∀x ∈R ，x 2－2x>0； ④∃x ∈R ，2x ＋1为奇数； 以上命题的否定为真命题的序号依次是（ ）A. ①④B. ①②④C. ①②③④D. ③二、填空题（每道题4分，共16分） 11. 分别用“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”填空：命题“非空集A B ⋂中的元素既是A 中的元素，也是B 中的元素”是 的形式；命题“非空集A ⋃B 中的元素是A 中元素或B 中的元素”是 的形式；命题“非空集C U A 的元素是U 中的元素但不是A 中的元素”是 的形式．12. 命题“若△ABC 是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 13. 命题“∃x ∈R ，x ≤1或x 2>4”的否定为 ．14. 设A ＝{x|x 2＋x －6＝0}，B ＝{x|mx ＋1＝0}，写出B A 的一个充分不必要条件__________．三、解答题（共44分）15. （本题满分16分）写出下列命题的非，并判断其真假 （1）p ：如果a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c ； （2）q ：等圆的面积相等，周长相等；（3）r ：任何三角形的外角都至少有两个钝角； （4）s ：∃x ∈Z ，x 2<1．16. （本题满分14分）求方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件．17. （本题满分14分）已知二次函数f （x ）＝ax 2＋x ．对于∀x ∈［0，1］，|f （x ）| ≤1成立，试求实数a 的取值范围． 【试题答案】二、填空题11. p 且q ，p 或q ，非p12. 若△ABC 有两个内角相等，则它是等腰三角形. 13. ∀x ∈R ，x>1且x 2≤4 14. m ＝0 三、解答题 15. 解：（1）⌝p ：如果a ，b ，c 成等差数列，则2b ≠a ＋c ；假……4'（2）⌝q ：存在一对等圆，它们的面积不相等，或周长不相等；假……8' （3）⌝r ：存在一个三角形，其外角最多有一个是钝角；假……12' （4）⌝s ：∀x ∈Z ，x 2≥1；假………16' 16. 解：当a ＝0时显然符合，………2'当a ≠0时，△≥0是有根的必要条件，正面用补集的方法求解， 显然方程不可能有根为0……4'故可在△≥0的大前提下求方程有两个正根的条件 由△≥0得，4－4a ≥0，得a ≤1．………6' φ∈⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-a 0a10a2，………10' 由补集法得a ≤1．………12'故方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a ≤1…………14'17. 解：|f （x ）| ≤1⇔－1≤f （x ） ≤1⇔－1≤ax 2＋x ≤1，x ∈[0，1] ①………4' 当x ＝0时，a ≠0，①式显然成立；………6'当x ∈（0，1）时，①式化为－2x 1－x 1≤a ≤2x 1－x1在x ∈（0，1）上恒成立．………8' 设t ＝x1，则t ∈[1，＋∞]，则有－t 2－t ≤a ≤t 2－t ，所以只须 ⎪⎩⎪⎨⎧=-≤-=--≥0)t t (a 2)t t (a m i n 2m a x 2………10' ⇒－2≤a ≤0，又a ≠0，故－2≤a ＜0……12'综上，所求实数a 的取值范围是[－2，0]…………14'。
逻辑连接词非、量词(高二数学)
逻辑连接词 非/量词1.（1）概念全析：①“非p ”命题也叫命题p 的否定.②“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”中的p,q 是命题,而“若p,则 q ” 中的p,q 可以是命题,也可以不是命题,或是其他语句.③逻辑中的“或”与日常生活中的“或”是有区别的:“或”在日常生活中通常有两种解释: “不可兼有” 和“可兼有”.例如：“今天晚上要有一个人在值班室接电话,你去或他去”(不可兼有),“今天下午要留人出黑板报,你留或他留”（可兼有）.在数学上一般采用“可兼有”,如x A ∈或x B ∈. 生活中如果说“苹果是长在树上或长在地里”,就觉得不妥，但在逻辑中却是可以的且是真命题.④举些生活例子说明逻辑联结词中“或”与“且”的意义.洗衣机在甩干时,如果“到达预定时间”或“机盖被打开”,就会停机,又如电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时,才会开启.（2）命题的否定与否命题的区别任何一个命题都有否定, 对于命题“若p,则 q ”的否定可表示为 , 命题“若p,则 q ”的否命题可表示为 . 2.全称量词与存在量词（1）全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词.表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等.通常用符号“x ∀”表示，读作“对任意x ”.（2）存在量词及表示:表示部分的量词称为存在量词.表示形式为“有一个”，“存在一个”,“有点”,“有些”等.通常用符号“x ∃”表示，读作“存在x ”.“对任意实数x ，都有02≥x ”可表示为 ; “存在有理数x ，使022=-x ” 可表示为 .（3）全称命题与存在性命题全称命题——含有全称量词的命题 ,一般形式 , 存在性命题——含有存在量词的命题, 一般形式 , 其中M 为给定的集合，)(x p 是关于x 的命题. （4）全称命题与存在性命题的真假的判断存在性命题)(,x p M x ∈∃为真，只要在给定的集合M 中找出一个元素x ，使命题)(x p 为真，否则为假；全称命题)(,x p M x ∈∀为真，必须对给定的集合的每一个元素x, )(x p 为真，但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个0x ，使)(0x p 为假.（5）含有一个量词的命题的否定 对含有一个量词的命题的否定的形式:",()"x M P x ∀∈的否定为 ",()"x M P x ∃∈的否定为[基础训练]1．对于下述命题p ，写出“p ⌝”形式的命题，并判断“p ”与“p ⌝”的真假：(1):p 91()A B ∈⋂（其中全集*U N =，{}|A x x =是质数，{}|B x x =是正奇数）.(2):p 有一个素数是偶数；.(3):p 任意正整数都是质数或合数； (4):p 三角形有且仅有一个外接圆. 2．写出下列命题的“p ⌝”命题：（1）正方形的四边相等。
高二数学--基本逻辑联结词--且与或
1锦州一高中高二数学自主探究学案课题：基本逻辑联结词——“且” 与“或” 创设情境：图1 图2在图1所示的电路中串联一个灯泡和两个开关21,s s ，图2是一个电路并联两个开关21,s s 在什么情况下，上述两个电路中的灯泡才会亮？从中请你理解和体会逻辑联结词“且”和“或”的意义吗？ 学习任务：（一）1,逻辑联结词——且一般的，用联结词“且”把命题p 和q 联结起来，就得到一个新命题，记作 ，读作由“且”的含义，我们可以用“且”来定义集合A 和集合B 的 ；即=B A2，命题p ∧q 的真假判断方法：一般地，我们规定:当p ，q 都是真命题时，p ∧q 是 ；当p ，q 两个命题中有一个命题是假命题时，p ∧q 是p q q p ∧真 真 真 假 假 真 假假一句话概括：全真为真,有假即假（二）1,逻辑联结词——或一般的，用联结词“或”把命题p 和q 联结起来，就得到一个新命题，记作 ，读作由“或”的含义，我们可以用“或”来定义集合A 和集合B 的 ； 即=B A2，命题p ∨q 的真假判断方法：一般地，我们规定:当p ，q 两个命题中有 个命题是真命题时,p ∨q 是 命题； 当p ，q 两个命题都是假命题时，p ∨q 是 命题.p q q p ∨ 真真 真 假 假 真 假假一句话概括：有真即真, 全假为假.对“且”的理解，可联想集合中的 的概念，对“或”的理解，可考虑 的概念。
例1， 把下列各组命题用“且”联结组成新命题，并判断其真，假 （1） p ：lg0.1<0;q ：lg11>0.（2） p:y=cosx 是周期函数；q ：y=cosx 是奇函数例2， 把下列各组命题用“或”联结成新命题，并判断他们的真假：（1） p ：10=10；q ：10<10.（2）（3） P:R N ⊆;q:R Q ⊆.自主检测（一） 基础知识——必会题1,由下列各组命题构成的“q p ∨”，“q p ∧”合命题均为真命题的是（ ）A.47:,944:>=+q pB.{}{}{}c b a a q c b a a p ,,:,,,:⊂∈C.的约数是是质数，128:15:q pD.不是质数是偶数2:,2:p q班级 小组 学号 姓名1S 2S2S 1S 教师寄语：莫找借口失败，只找理由成功百度文库 - 让每个人平等地提升自我22,命题{},:φφ∈p 命题{}φφ⊂:q ，那么下列结论不正确的是 （ ） A. “q p ∨”为真 B. “q p ∧”为假C. “q p ∧”为真D. “q p ∨”和“q p ∧”均为真 3． 已知与是两个命题，给出下列命题：(1)．只有当命题p 与q 同时为真时，命题“q p ∨”才能为真； (2).只有当命题p 与q 同时为假时，命题“q p ∨”才能为假； (3).只有当命题p 与q 同时为真时，命题“q p ∧”才能为真； (4).只有当命题p 与q 同时为假时，命题“q p ∧”才能为假；其中真命题是 （ ） A.(3) B. (2)和(3) C.(2)和(4) D.(3)和(4) 4，0≠+y x 等价于 （ ） A.0y 0==且x B. 0y 0==或x C. 0y 0≠≠且x D. 0y 0≠≠或x5，设有两个命题：:p 关于x 的不等式0422>++x x 对一切R x ∈恒成立，:q 函数x a y )25(--=在R x ∈是减函数，若“q p 且”为真命题，则实数a 的取值范围是 （ ）A.（-2, 2）B.（-∞，2）C.(]2,-∞-D. (]2,∞-（二）能力拓展——选做题6，命题：方程012=-x 的解是“1±=x ”使用的逻辑联结词的情况是（ ） A.没有使用逻辑联结词“且” B.使用了逻辑联结词“且” C.使用了逻辑联结词“或” D.没有使用逻辑联结词“或”7，若把命题“B A ⊆”看成一复合命题，那么复合命题的形式是 ， 其中构成它的两个简单命题是8,以下判断中正确的是 （ ） A ．命题p 是真命题时，命题“q p ∧”一定是真命题 B ．命题“q p ∧”是真命题时，命题p 一定是真命题 C ．命题“q p ∧”是假命题时，命题p 一定是假命题 D ．命题p 是假命题时，命题“q p ∧”不一定是假命题9，下列命题中，既是“q p ∧”形式的命题，又是真命题的是 （ ）A ．10或15是5的倍数B ．方程的0432=--x x 两个根是-4和1 C ．方程012=+x 没有实数根D ．有两个角为︒45的三角形是等腰直角三角形10，分别用“q p ∧”“q p ∨”填空（1） 命题“集合B A ⊃”是 形式； （2） 命题”24)1(2≥+-x ”是 形式； （3） 命题“60是10与12的公倍数”是 形式。
1.3 简单的逻辑联结词
(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0的两根的绝对值相等；
(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．
【例2】指出下列命题的真假．
(1)不等式|x＋2|≤0没有实数解；
年级
高二
学科
数学
课题
1.3简单的逻辑联结词
编制人
谭金国
审定人
高二数学备课组
知识目标
教学活动
基础知识—重点知
识—重难点知识
自学质疑—讨论领悟—展示分享—检测巩固—评价提升
1.了解联结词“且”“或”“非”的含义.
2.会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.
自学质疑
定义：
真值表
(1)若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为零；
(2)若x2＋y2＝0，则x、y全为零；
(3)等腰三角形有两个内角相等．
检测巩固
1、在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()
A．(非p)∨(非q)B．p∨(非q) C．(非p)∧(非q)D．p∨q
2、分别写出下列含有逻辑联结词的命题的形式，并判断其真假．
(1)等腰三角形顶角的平分线平分且垂直于底边；
(2)1或－1是方程x2＋3x＋2＝0的根；
(3)A⊈(A∪B)．
3、已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若命题“p∧q”与命题“非q”都是假命题，求实数m的取值范围．
江苏省徐州市高二数学《简单的逻辑联结词—或且非》学
备课时间第周周月日班级节次课题简单的逻辑联结词--------或且非总课时数第节教学目标1、了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，能利用“或”、“且”、“非”表述相关的数学内容；2、知道命题的否定与否命题的区别。
教学重难点1、逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义及复合命题的构成。
2、对“或”的含义的理解；教学参考教科书教师用书授课方法自学引导教学辅助手段多媒体专用教室教学过程设计教学二次备课一、自学评价：1、逻辑联结词：命题中的“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词2、命题的形式：p或q记作p∨qP并q 记作p∧q非ｐ记作⌝p注：⌝p表示命题p的否定。
二、数学应用例1、分别指出下列命题的形式，并判断其真假：⑴刘德华既是歌手又是演员；⑵王子成要么是班长要么是数学课代表；⑶平行线不相交.探究：判断上述命题的真假1．“p或q”形式的命题真假：p q P或q真真真真假真假真真假假假（一真必真）学生自学P10的内容，了解逻辑联结词及命题的构成教师可明确（1）含有逻辑联结词的命题叫复合命题，（2）不含逻辑联结词的命题是简单命题。
思考：命题的真假结果与命题的结构中的p和q的真假有什么联系吗？这中间是否存在规律？教师可举例说明命题p的否定与否命题的区别教学过程设计教学二次备课2．“p且q”形式的命题真假：p q p且q真真真真假假假真假假假假（一假必假）⌝p命题的真假：p 非p真假假真（真假相反）例2 写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”以及“非p”形式的命题并判断真假（1）p：3是正数，q：3是奇数（2）p：正方形是矩形， q：正方形是菱形（3）P：4>3， q：4=3达标检测（1）写出命题构成的“p或q”、“p且q”、以及“非p”形式的命题并判断真假p：x＝-2是方程x2＋x－2＝0的解，q：x＝1是方程x2＋x－2＝0的解．（2）若p是真命题，q是假命题，则下列命题中真命题有① p∧q是真命题② p∨q是假命题③⌝p是真命题④⌝q是真命题师生共同探究、归纳例3：判断下列命题的真假：（1）4≥ 3（2）4≥ 4（3）4≥5分析：只需判断p和q的真假。
高二数学选修2-1_拓展资料：用联系的思想学习逻辑联结词
用联系的思想学习逻辑联结词逻辑联结词“或、且、非”与集合的关系有着密切的关系，联系集合中的“并、交、补”集的概念对学习逻辑联结词很有帮助。
一、 “或”与“并集”集合}|{B x A x x B A ∈∈=或 中的“或”，它是指“A x ∈”、“B x ∈”其中至少一个是成立的：即A x ∈，且B x ∉；也可以A x ∉ ，且B x ∈；也可以A x ∈，且B x ∈．逻辑联结词中的“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一致的，它们都不同于生活用语中的“或”的含义，生活用语中的“或”表示“不兼有”，而我们在数学中所研究的“或”则表示“可兼有但不必须兼有”．由“或”联结两个命题p 和q 构成的复合命题“p 或q ”，在“p 真q 假”、“p 假q 真”、“p 真q 真”时，都真．例1 判断下列例题的真假（1）04≥ （2）54≥解：（1）命题“04≥”是由命题04:,04:>=q p 用“或”联结后构成的新命题，即q p ∨。
因为命题q 是真命题，所以q p ∨是真命题；（2）命题“44≥”是由命题54:,54:>=q p 用“或”联结后构成的新命题，即q p ∨。
因为命题p 是假命题，命题q 也是假命题，所以q p ∨是假命题；二、“且”与“交集”集合}|{B x A x x B A ∈∈=且 中的“且”，它是指“A x ∈”、“B x ∈”都要满足的意思：即x 既属于集合A ，同时又属于集合B ．用“且”联结两个命题p 与q 构成的复合命题“p 且q ”，当且仅当“p 真q 真”时，“p 且q ”真．例２ 写出由下列各组命题构成的 “p 且q ”形式的复合命题，并判断其真假：（1）p ：3是9的约数，q ：3是18的约数；（2）p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相垂直．解 （1）3是9的约数且是18的约数．此为真命题；（2）矩形的对角线相等且互相垂直．此为假命题；点评 判断“p 且q ”的真值时，可简称为“有假则假”．三、“非”与“补集”“非”有否定的意思，一个命题p 经过使用逻辑联结词“非”而构成一个复合命题“非p ”，当p 真时，则“非p ”假，当p 假时，则“非p 真．若将命题p 对应集合p ，则命题非p 就对应着集合p 在全集U 中的补集U P ．例3 写出下列各命题的否定，并判断其真假.（1）x y p sin :=是奇函数；（2）3)3(:2=-q解：（1）x y p sin : =⌝不是奇函数，假命题.（2）3)3(: 2=/-⌝q ,即3)3(: 2>-⌝q 或3)3(2<-，假命题.。
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问题:复合命题的三种基本形式是什么? (1)0.3是整数或实数; (2) 0.3是整数且实数; (3)0.3非整数. 对于复合命题真假的判断,我们可以结合如下 的真值表:
p
真 真 假 假
q
真 假 真 假
非p
假 假 真 真
P且q
真 假 假 假
P或q
真 真 真 假
(3)27是7的倍数或是9的倍数.
一般地,用逻辑联结词”或”把 命题p和命题q联结起来.就得到一个 新命题,记作
pq
规定:当p,q两个命题中有一个是真命题 时, p q 是真命题;当p,q两个命题中都是 假命题时, p q 是假命题.
当p,q两个命题中有一个是真命 题时, p q 是真命题;当p,q两个命 题都是假命题时, p q 是假命题.
补例3 已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不 等正根,命题q:方程x2+4(m-2)x+4=0无实根. 若 “p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求m 的取值范围.
注:如何写出一个命题的否定命题?
(1)一些正面词语的否定; (2)“p或q”,“p且q”形式命题的否定.
补例4 写出下列语句或命题的否定形式. (1)我们班同学的体育都达标了; (2)我们班的同学都是团员; (3)我们班的同学都不是市级三好学生； (4)a=±1; (5)X>0且x≠1; (6)对于任意的实数x,都有x2≥0; (7)存在非实数a,使得a<1.
开关p,q的闭合 对应命题的真假, 则整个电路的接 通与断开分别对 应命题 p q 的真与假.
p
q
例3
判断下列命题的真假
(1)2 2; (2)集合A是 A B 的子集或是 A B 的子集; (3)周长相等的两个三角形全等或面积 相等的两个三角形全等.
思考?
如果 p q 为真命题,那么 p
1.3简单的逻辑联结词
1.3.2
或(or)
复习
一般地,用逻辑联结词”且”把命 题p和命题q联结起来.就得到一个新 命题,记作 pq
规定:当p,q都是真命题时, p q 是真命题;当p,q两个命题中有一个
pq
命题是假命题时,
是假命题.
全真为真,有假即假.
思考?
下列三个命题间有什么关系?
(1)27是7的倍数; (2)27是9的倍数;
“非”命题对常见的几个正面词语的否定.
正面 否定 = ≠ > ≤ 是 都是 至多有 至少有 任意 所有 一个 一个 的 的 至少有 没有一 某个 某些 两个 个 不是 不都是
例4 写出下列命题的否定,并判断它 们的真假:
（）p： 1 y sin x是周期函数； （2）p：3 2； （3）p：空集是集合A的子集。
是真命题吗?反之,如果
那么
pq
q 一定
为真命题,
pq
一定是真命题吗?
注
逻辑联结词中的”或”相当于集合中的”并 集”,它与日常用语中的”或”的含义不同.日 常用语中的”或”是两个中任选一个,不能都选, 而逻辑联结词中的”或”,可以是两个都选,但 又不是两个都选,而是两个中至少选一个,因此, 有三种可能的情况.
(4)p:π是无理数 ; (5)p:等腰三角形的两个底角相等;
(6)q:等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合.
练习
1、判断下列命题的真假： （1）12是48且是36的约数； （2）矩形的对角线互相垂直且平分。 2、判断下列命题的真假 （1）47是7的倍数或49是7的倍数； （2）等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直。 3、写出下列命题的否定，然后判断他它们的真假：
2 2 （1）2+2=5； （2）3是方程x 9 0的根；（3） （-1） 1。
补例1 分别指出下列各组命题组成的“p或 q”,“p且q”,“非p”形式的复合命题的真假。 (1)p:2+2=5,q:3>2; (2)p:9是质数,q:8是12的约数; (3)p:1∈{1，2},q:{1}∈{1,2}. 补例2 指出下列复合命题的形式及构成复合 命题的简单命题,并判断复合命题的真假。 (1)非空集合A∩B的元素,既是集合A的元素,也 是集合B的元素. (2)5≥3. (3)梯形的中位线平行于两底且等于两底之和. (4)正数或0的平方根是实数.
逻辑联结词中的”且”相当于集合中的”交 集”,即两个必须都选.
1.3.3 非(not)
思考?
下列命题间有什么关系? (1)35能被5整除;
(2)35不能被5整除.
一般地,对一个命题p全盘否定,就得 到定” 若p是真命题,则 p 必是假命题;若 p是假命题,则 p 必是真命题.