2023届上海市杨浦区新高考高一数学下学期期末达标检测试题
2023-2024学年上海市杨浦区高一下册期中数学学情检测模拟试卷合集2套(含答案)
2023-2024学年上海市杨浦区高一下册期中数学质量检测模拟试题一、填空题1．已知某扇形的圆心角为3π，半径为3，则该扇形的弧长为______.【正确答案】π根据扇形的弧长公式l r α=直接计算出扇形的弧长.【详解】因为扇形的弧长l r α=，所以33l ππ=⨯=，故答案为.π2．已知()3,4P -为角α终边上一点，则sin cos αα+=______．【正确答案】15/0.2【分析】求出P 到原点的距离，利用任意角的三角函数的定义，求得sin α，cos α的值，再求出sin cos αα+即可.【详解】 ()3,4P -为角α终边上一点，5OP ∴=，则4sin 5α=，3cos 5α=-，431sin cos 555αα∴+=-=.故153．若41log 2x =，则x =__________.【正确答案】2【分析】将对数式化为指数式，由此求得x .【详解】由于41log 2x =，所以1242x ===.故24．已知集合{||1|3}A x x =-<，1|05x B x x -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = ________________.（结果用区间表示）【正确答案】(1,4)先求出集合A ，B ，再根据交集的定义即可求出.【详解】{}{}1324A x x x x =-<=-<< ，{}1|0155x B x x x x -⎧⎫=<=<<⎨⎬-⎩⎭，{}()141,4A B x x ∴⋂=<<=.故答案为.(1,4)5．已知10tan cot 3αα+=，则sin 2α=______．【正确答案】35/0.6【分析】由10tan cot 3αα+=得到2tan 110tan 3αα+=，再由22tan sin 2tan 1ααα=+求解.【详解】解：因为21tan 110tan cot tan tan tan 3αααααα++=+==，所以2222sin cos 2tan 33sin 22sin cos 2sin cos tan 1105ααααααααα====⨯=++，故356．函数223e xx y --=的严格减区间为______．【正确答案】(),1-∞/(],1-∞【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数求出单调递减区间作答.【详解】函数223e xx y --=的定义域为R ，令223u x x =--，函数223u x x =--在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，而函数e u y =在R 上是增函数，因此函数223e x x y --=在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以函数223e x x y --=的严格减区间为(,1)-∞.故(,1)-∞7．化简：()()()()()πsin 2πcos πtan()2cos πsin 3πcot αααααα-++---=______．【正确答案】1-【分析】根据给定条件，利用诱导公式化简作答.【详解】()()()()()πsin 2πcos πtan()sin (cos )(cot )21cos πsin 3πcot cos sin (cot )αααααααααααα-+-⋅-⋅-=-----⋅⋅-.故1-8．若锐角αβ、满足()35cos cos 513ααβ=+=-，，则cos β=______.【正确答案】3365【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin()αβ+，sin α的值，利用两角差的余弦公式即可计算得解．【详解】αQ 、β为锐角，(0,)αβπ∴+∈，5cos()13αβ+=-，3cos 5α=，12sin()13αβ∴+=，4sin 5α，5312433cos cos[()]cos()cos sin()sin ()13513565βαβααβααβα∴=+-=+++=-⨯+⨯=．故答案为3365．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++（b 为常数），则()1f -=______．【正确答案】3-【分析】根据给定条件，利用(0)0f =求出b ，再利用奇函数定义求出()1f -作答.【详解】R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()22xf x x b =++，则(0)10f b =+=，解得1b =-，所以()1(1)(221)3f f b -=-=-+⨯+=-.故3-10．若sin α及cos α是关于x 的方程22430x kx k --=的两个实根，则实数k 的值为________【正确答案】14【分析】根据韦达定理得到sin cos 2k αα+=，3sin cos 2kαα=-结合22sin cos 1αα+=列出关于k 的方程，由判别式0∆≥即可求解.【详解】因为sin α及cos α是关于x 的方程22430x kx k --=的两个实根，则4sin cos 22k k αα-+=-=，3sin cos 2kαα=-，因为()222sin cos sin cos 2sin cos αααααα+=++且22sin cos 1αα+=，所以234122k k ⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭，即24310k k +-=，解得：1k =-或14k =，因为方程22430x kx k --=有两个实根，所以()216830k k ∆=--≥，解得：32k ≤-或0k ≥，所以14k =，故答案为.1411．已知函数()()log 310,1a y x a a =-+>≠的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数11y x m n=+的图象上，其中0m >，0n >，则m n +的最小值是______．【正确答案】9【分析】根据对数函数图象与性质求出点A 的坐标，再借助“1”的妙用求出最小值作答.【详解】函数()()log 310,1a y x a a =-+>≠中，当31x -=，即4x =时，恒有1y =，因此点(4,1)A ，而点A 在一次函数11y x m n=+的图象上，则411m n +=，又0m >，0n >，于是414()()5529n m m n m n m n m n +=++=++≥+，当且仅当4n m m n =，即26m n ==时取等号，所以当6,3m n ==时，m n +取得最小值9.故912．函数()y f x =的定义域为[)(]1,00,1- ，其图象上任一点(),P x y 满足1x y +=．命题：①函数()y f x =一定是偶函数；②函数()y f x =可能既不是偶函数，也不是奇函数；③函数()y f x =可以是奇函数；④函数()y f x =是偶函数，则值域是[)1,0-或(]0,1；⑤若函数()y f x =值域是()1,1-，则()y f x =一定是奇函数．其中正确命题的序号是_________．（填上所有正确的序号）【正确答案】③⑤【分析】结合()f x 的奇偶性、值域等知识确定正确答案.【详解】由于()f x 的定义域是[)(]1,00,1- ，则0x ≠，1,11,1x y y x y +==-≠≠±，所以④错误.当1x =±时，1,10,0x y y x y +==-==，当100x y -<<⎧⎨>⎩时，1,1x y y x -+==+，当100x y -<<⎧⎨<⎩时，1,1x y y x --==--，当010x y <<⎧⎨>⎩时，1,1x y y x +==-+，当010x y <<⎧⎨<⎩时，1,1x y y x -==-，所以()f x 的图象有如下四种情况：（1）（2）（3）（4）根据图象可知③⑤正确，①②④故二、单选题13．已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数()f x 在[]0,1上单调递增，则()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，若()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，比如()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，但()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，故()f x 在[]0,1上的最大值为()1f 推不出()f x 在[]0,1上单调递增，故“函数()f x 在[]0,1上单调递增”是“()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ”的充分不必要条件，故选：A.14．已知θ为第二象限角，若sin sin 22θθ=-，则在2θ（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】C 【分析】由π2π2ππ,Z 2k k k θ+<<+∈，得到ππππ,Z 422k k k θ+<<+∈，再对k 赋值，根据sinsin 22θθ=-判断.【详解】解：因为θ为第二象限角，所以π2π2ππ,Z 2k k k θ+<<+∈，则ππππ,Z 422k k k θ+<<+∈，当=0k 时，ππ422θ<<，当=1k 时，5π3π422θ<<，因为sin sin 22θθ=-，所以sin 02θ<，所以2θ第三象限，故选;C15．若222b c bc a +-=，且tan tan b Bc C=，则ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【正确答案】D【分析】由222b c bc a +-=，利用余弦定理得到π3A =，再由tan tan bB c C=，利用正弦定理结合商数关系得到B C =判断.【详解】因为222b c bc a +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，因为(),,0,πA B C ∈，所以π3A =，又因为tan tan b Bc C =，所以sin sin cos sin sin cos B B C C C B=，即cos cos B C =，所以B C =，故ABC 是等边三角形，故选：D.16．若奇函数()f x 在[1,0]-上为单调递减函数，又,αβ为锐角三角形两内角，则A ．(sin )(sin )f f αβ>B ．(sin )(cos )f f αβ>C ．(sin )(cos )f f αβ<D ．(cos )(cos )f f αβ>【正确答案】C【分析】由“奇函数y ＝f （x ）在[﹣1，0]上为单调递减函数”可知f （x ）在[0，1]上为单调递减函数，再由“α、β为锐角三角形的两内角”可得到α+β2＞π，转化为22ππα-＞＞β＞0，两边再取正弦，可得1＞sinα＞sin （2π-β）＝cosβ＞0，由函数的单调性可得结论．【详解】∵奇函数y ＝f （x ）在[﹣1，0]上为单调递减函数∴f （x ）在[0，1]上为单调递减函数，∴f （x ）在[﹣1，1]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，∴α+β2＞π，∴22ππα-＞β＞0，∴1＞sinα＞sin （2π-β）＝cosβ＞0，∴f （sinα）＜f （cosβ），故选：C ．本题主要考查奇偶性和单调性的综合运用，还考查了三角函数的单调性，属中档题．三、解答题17．已知函数()()()22log 1log 1f x x x =+--.(1)求函数()f x 的定义域；(2)解不等式()0f x >.【正确答案】(1)()1,1-；(2){|01}x x <<.【分析】根据对数函数的定义域建立不等式组，求解即可；根据函数的单调性和定义域求解.【详解】（1）依题意有10,10,x x +>⎧⎨->⎩解得11x -<<，∴()f x 的定义域为()1,1-；（2）∵()0f x >，∴()()22log 1log 1x x +>-，∴11x x +>-，解得0x >，又∵11x -<<，∴01x <<.不等式()0f x >的解集为{|01}x x <<.18．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α、β的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，它们的终边与单位圆分别交于A 、B 两点，已知A 、B 两点的横坐标分别为10．(1)求sin α，sin β的值．(2)求()sin 2αβ+，()cos 2αβ+的值．【正确答案】(1)sin 10α=，sin 5β=；(2)()2s n 2i αβ+=，()cos 22αβ+=.【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义求出cos ,cos αβ，再利用平方关系求解作答.（2）利用（1）的结论，利用二倍角的正余弦公式、和角的正余弦公式求解作答.【详解】（1）依题意，cos ,cos 105αβ==，而,αβ为锐角，所以sin 10α===，sin β===.（2）由（1）知，cos 105αβ==，sin 10α=，sin 5β=，于是4sin 22sin cos 2555βββ==⨯=，223cos 22cos 12()155ββ=-=⨯-=，所以()sin 2sin cos 2cos si 345n 25αβαβαβ=+==+()34cos 2cos cos 2sin sin 255αβαβαβ+=-⨯⨯=19．设常数a ∈R ，函数()133xxf x a =⋅+.(1)若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；(2)当1a =-时，用定义证明()f x 在[]0,1上是严格单调减函数.【正确答案】(1)1a =-(2)证明见解析【分析】（1）根据函数()f x 是奇函数，由()()f x f x -=-求解；（2）利用函数的单调性定义求解.【详解】（1）解：由题意知：函数()f x 的定义域为R ，()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，即113333x xx x a a --⎛⎫⋅+=-⋅+ ⎪⎝⎭，即13333x xx x a a ⎛⎫+=-⋅+ ⎪⎝⎭，整理可得.()()1910xa ++=10,1a a ∴+==-；（2）任取[]12,0,1x x ∈，且12x x <，则()()()2112212112121212113313333133333333x x x x x x x x x x x x x x f x f x -⎛⎫-=-++-=-+=+- ⎪⋅⋅⎝⎭，因为1201x x ≤<≤，所以21330x x >>，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以()f x 在[]0,1上是严格单调减函数.20．某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为33ACB ππ⎛⎫∠= ⎪⎝⎭，墙AB 的长度为12米，（已有两面墙的可利用长度足够大），(1)若4ABC π∠=，求△ABC 的周长（结果精确到0.01米）；(2)为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积，△ABC 的面积尽可能大.如何建造能使得该活动室面积最大？并求出最大面积.【正确答案】(1)35.18米；(2)3ABC π∠=，ABC 最大面积为3【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理直接计算作答.（2）利用余弦定理建立关系，再借助均值不等式求解作答.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理sin sin sin AC BC ABABC BAC ACB==∠∠∠得：12sin 446sin3AC ππ==512sin1283(sin cos cos sin )62264646sin 3BC ππππππ==+=+，所以△ABC 的周长为12626635.18+≈(米).（2）在ABC 中，由余弦定理2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠得：22144AC BC AC BC +-⋅=，则221442AC BC AC BC AC BC +⋅=+≥⋅，即144AC BC ⋅≤，当且仅当AC BC =时取“=”，13sin 3632ABC S AC BC ACB AC BC =⋅∠=⋅≤ 所以当12AC BC ==，即ABC 是正三角形时，3ABC π∠=，ABC 面积取得最大值36321．已知函数2()sin 22cos 1f x x x =++，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.(1)求函数()y f x =的值域；(2)求函数()y f x =严格增区间；(3)若不等式()2()a f x a f x ⋅+≥对任意[0,]2x π∈恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)[1,2(2)π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)a ≥【分析】（1）首先化简函数，再代入函数的定义域，求函数的值域；（2）由（1）可知，ππ5π2444x ≤+≤，结合正弦函数的单调性，即可求解；（3）参变分离得()21()2()2f x a f x f x ≥=-++恒成立；转化为求函数的最值.【详解】（1）π()sin 2cos22)24f x x x x =++=++.因为[0,]2x π∈，所以ππ5π2444x ≤+≤，所以πsin(2)[42x +∈-，所以()f x的值域为[1,2+；（2）因为ππ5π2444x ≤+≤，又sin y x =在ππ[,]22-上严格增，所以当442πππ2x ≤+≤时，()f x 严格增，解得π08x ≤≤所以函数()y f x =的严格增区间为π[0,]8；（3）因为()20f x +>，所以不等式等价于()21()2()2f x a f x f x ≥=-++恒成立；即max21()2a f x ⎡⎤≥-⎢⎥+⎣⎦，因为()234f x ⎡+∈+⎣，，所以当()24f x +=+时，()()2f x f x +有最大值37；所以实数a的取值范围为a ≥2023-2024学年上海市杨浦区高一下册期中数学质量检测模拟试题一、填空题1．用弧度制表示与45︒角终边相同的角的集合为________．【正确答案】π2π,4k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 【分析】根据角度和弧度关系，以及终边相同角的关系，即可求解.【详解】因为π454︒=所以与45︒终边相同的角的集合是|2π,πZ 4k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.故π2π,4k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 2．已知角α的终边经过点4,3-（），则cos α=__________．【正确答案】－45【详解】试题分析：由已知，5r ==，所以由余弦函数的定义得44.55x cos r α-===-3．已知扇形的圆心角为23π，半径为5，则扇形的面积为______.【正确答案】253π【分析】利用弧长公式先求解弧长，再利用扇形的面积公式求解.【详解】因为扇形的圆心角为23π，半径为5，所以扇形的弧长210533l ππ=⨯=，所以面积11102552233S lr ππ==⨯⨯=.故答案为.253π本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，侧重考查数学运算的核心素养，属于基础题..4．已知tan 2α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【正确答案】-3【分析】根据正切的和角公式计算可得答案.【详解】∵tan 2α=，∴tan tan214tan 341211tan tan 4παπαπα++⎛⎫+==- ⎪-⨯⎝⎭-⋅，故-3.5．已知tan 2α=-，则()sin 5cos 2π3π3sin sin 2αααα+-=⎛⎫++ ⎪⎝⎭___．【正确答案】35-/－0.6【分析】诱导公式化简后，弦化切，再代入计算．【详解】因为tan 2α=-，所以()sin 5cos 2πsin 5cos tan 52533π3cos sin 3tan 3253sin sin 2αααααααααα+-++-+====--+-+--⎛⎫++ ⎪⎝⎭．故35-．6．函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期为________【正确答案】π【详解】试题分析：因为22()sin cos cos 2f x x x x =-=-，所以其最小正周期是2=π.2π三角函数周期7．函数)02πy x =≤≤的定义域为___．【正确答案】π5π[,]66【分析】由二次根式中被开方数非负及正弦函数性质可得．【详解】由题意2sin 10x -≥，1sin 2x ≥，又02x π≤≤，所以π5π66x ≤≤，故π5π[,]66．8．已知向量a 与b 的夹角为34π，且2,3a b == ，则a 与b 方向上的数量投影是___．【正确答案】【分析】根据数量投影的定义计算.【详解】由题意a 与b方向上的数量投影是cos ,3πcos ,2cos 4a b a b a b a a b b b⋅====故9．在△ABC 中，sin :sin :sin 5:7:9A B C =，则△ABC 的形状为___三角形．（填锐角、直角、钝角）【正确答案】钝角【分析】由正弦定理得边的关系，再由余弦定理确定最大角的大小，得三角形形状．【详解】因为sin :sin :sin 5:7:9A B C =，由正弦定理得::5:7:9a b c =，因此c 最大，从而C 角最大，设5,7,9a k b k c k ===，则2222222254981cos 0225710a b c k k k k C ab k k +-+-===-<⨯⨯，所以C 角为钝角，ABC 为钝角三角形，故钝角．10．如图，在ABC 中，D ，E 是线段BC 的两个三等分点，,()BC m m AD n n R AE =+∈ ，则m n -=_____．【正确答案】6-【分析】依题意可知33()BC DE AE AD ==-即可得解.【详解】据题设知，()3333BC DE AE AD AD AE ==-=-+．又BC mAD nAE =+．所以33,AD AE m AD n AE -+=+所以()()330m AD n AE ++-= ．又AD 与A E不共线，所以3,3,m n =-=所以6m n -=-．故6-11．设V 是已知平面M 上素有向量的集合，对于映射:,f V V a V →∈ ，记a的象为()f a ．若映射:f V V →满足：对所有a b V∈ 、及任意实数,λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+ ，则f 称为平面M 上的线性变换，现有下列命题：①设f 是平面M 上的线性变换，a b V ∈、，则()()()f a b f a f b +=+ ；②若e是平面M 上的单位向量，对a V ∈ ，设()f a a e =+ ，则f 是平面M 上的线性变换；③对a V ∈，设()f a a =- ，则f 是平面M 上的线性变换；④设f 是平面M 上的线性变换，a V ∈，则对任意实数k 均有()()f ka kf a = ．其中的真命题是______（写出所有真命题的编号）．【正确答案】①③④【分析】取1λμ==，可判断①；取,0k λμ==，可判断④；根据线性变换的定义验证即可判断②③.【详解】取1λμ==，可知①为真；因为()f a a e =+ ，所以()f a b a b e λμλμ+=++ ，()()()()()f a f b a e b e a b e λμλμλμλμ+=+++=+++，当1λμ+≠时，()()()f a b f a f b λμλμ+≠+，所以②为假；因为()f a a =- ，所以()()f a b a b λμλμ+=-+ ，()()f a f b a b λμλμ+=-- ，所以()()()f a b f a f b λμλμ+=+，故③正确；取,0k λμ==，可知④为真.故①③④12．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______．【正确答案】13【分析】根据()f x 的对称轴，以及其单调性，初步求得ω的取值范围，再对取值进行验证，即可求得结果.【详解】由题意可得362k ωππππ+=+，Z k ∈，则31k ω=+，Z k ∈．因为()f x 在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以34162T ππ-≤，所以8T π≥，即28ππω≥，解得16ω≤，则3116k +≤，即5k ≤．当5k =时，()2sin 166f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，所以5k =，即16ω=不符合题意；当4k =，即13ω=时，()2sin 136f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以4k =，即13ω=符合题意，故ω的最大值是13．故答案为.13本题考查三角函数中的参数范围问题，解决问题的关键是充分挖掘函数对称性和单调性，属困难题.二、单选题13．已知a ，b 是两个不平行的向量，若向量a tb -与向量2a b + 平行，则实数t 等于（）A ．－12B ．－1C ．0D ．－2【正确答案】A【分析】由平面向量共线定理求解．【详解】向量a tb - 与向量2a b +平行,则存在实数k ,使得(2)a tb k a b -=+ ,即2a tb ka kb -=+ ，又a ，b是两个不平行的向量，所以12k t k =⎧⎨-=⎩，解得1212k t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故选：A ．14．为了得到函数3sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需要将函数3sin(2)y x =的图像（）A ．向左平移6π个单位B ．向左平移12π个单位C ．向右平移6π个单位D ．向右平移12π个单位【正确答案】B【分析】由三角函数的平移变换求解即可【详解】解：函数3sin(2)y x =的图像向左平移12π个单位得3sin 212y x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3sin(2)6x π=+.故选：B15．为测量A ，B 两地之间的距离，甲同学选定了与A ，B 不共线的C 处，构成△ABC ，以下是测量数据的不同方案：①测量∠A ，|AC |，|BC |；②测量∠A ，∠B ，|BC |；③测量∠C ，|AC |，|BC |；④测量∠A ，∠B ，∠C ．要求甲同学选择的方案能唯一确定A ，B 两地之间的距离，这样方案的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【正确答案】B【分析】根据正弦定理、余弦定理分析三角形解的个数．【详解】选择方案①，由正弦定理得sin sin BC AC A B=，sin sin AC A B BC =，B 角可能有两解，从而AB不一定能唯一确定；选择方案②，∠A ，∠B 确定后C ∠是确定的，由正弦定理可得AB 是唯一的；选择方案③，直接由余弦定理求解，AB 是唯一的；选择方案④，三角形只有三个角的大小，没法求得边长，不唯一，因此可选择方案有②和③两个．故选：B ．三、解答题16．在△ABC 中，G 满足0GA GB GC ++=，过G 的直线与AB ，AC 分别交于M ，N 两点．若(0),(0)AM m AB m AN n AC n =>=>，则3m n +的最小值为（）A ．116B ．116C ．1112+D 【正确答案】D【分析】由向量的线性运算性质得G 是三角形的重心，由此可用,AM AN 表示出AG，由三点共线得出113m n+=，再利用基本不等式求得最小值．【详解】延长AG 交BC 于D ，因为0GA GB GC ++=，所以G 是ABC 的重心，从而D 是BC 中点，又(0),(0)AM m AB m AN n AC n =>=>，2211111()3323333AG AD AB AC AB AC AM AN m n==⨯+=+=+ ，因为,,M G N 三点共线，所以11313m n +=，即113m n+=，11113143()(3)(4(43333n m m n m n m n m n +=++=++≥+=3n m n m =，即39m =，13n =时等号成立，所以3m n +故选：D ．17．已知1a = ，2b = ，(1)若a 与b的夹角为120°，求a b + ；(2)若a b -与a 垂直，求a 与b 的夹角.【正确答案】(2)π3【分析】（1）利用数量积去求a b +的值；（2）先求得a 与b 的夹角夹角的余弦值，再去求a 与b的夹角.【详解】（1）a b +=（2）由a b -与a 垂直，可得()0a b a -⋅= ，则()21a b a⋅== 则1cos ,2a b a b a b ⋅==⋅，又[],0,π∈ a b ，则π,3a b =即a 与b 的夹角为π318．三角比内容丰富，公式很多．若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘．现有如下两个恒等式：（1）cos2cos88sin47sin133+= （2）cos5cos85sin50sin130+根据以上恒等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明．【正确答案】()()()cos 90cos sin 45sin 135αααα-+=+-，证明见详解.【分析】观察结构猜想等式，利用三角恒等变换证明即可.【详解】猜想()()()cos 90cos sin 45sin 135αααα-+=+- 证明：由诱导公式可得()()()cos 90sin ,sin 135sin 45αααα-=-=+，所以()()()()cos 90cos sin cos sin cos sin cos 45cos sin 45sin 45sin 135sin 45ααααααααααα-+++==++-+19．如图，某渔船在海上A 处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北θ方向上有一个小岛C 可躲避恶劣天气，在小岛C 的正北方向有一航标灯D 距离小岛25海里，渔船向小岛行驶50海里后到达B 处，测得45DBC ∠=︒，25BD =海里.（1）求A 处距离航标灯D 的距离AD ；（2）求cos θ的值.【正确答案】（1）AD =海里；（2）cos 1θ=.【分析】(1)利用余弦定理,即可求解.（2）利用正弦定理，即可求解.【详解】解析：（1）∵50AB =，25BD =，45DBC ∠=︒，∴由余弦定理得2222cos1355000AD AB BD AB BD =+-⋅︒=，∴AD =海里，（2）90BCD θ∠=︒+，由正弦定理得()sin 90sin 45BD DC θ=︒+︒，∴()sin 45cos sin 901BD DCθθ︒=︒+==.20．已知函数()22cos sin cos 1f x x x x =+-.(1)把f （x ）表示为()sin (0,0,0π)A x A ωϕωϕ+>><<的形式，并写出函数()y f x =的振幅和初始相位；(2)求函数()y f x =的单调递增区间；(3)记函数()y f x =在ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的值域为A ，若3,3,(0)2a a A a ⎡⎤-⊆>⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)振幅为2，初始相位为π6；(2)πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；(3)20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦公式恒等变形即可求解；（2）利用整体法求函数的单调递增区间；（3）利用函数单调性求出()y f x =的值域，再利用集合之间的关系求解即可.【详解】（1）()22cos sin cos 1f x x x x =+-πcos 222sin 26x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,由此可知()y f x =的振幅为2，初始相位为π6；（2）令πππ2π22π262k x k -≤+≤+，k ∈Z ，解得ππππ36k x k -≤≤+，k ∈Z ，则函数()y f x =的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（3）因为ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ2π2,633x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为函数sin y t =在区间ππ,32⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，在π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()max π2sin 22f x ==，()min π2sin 3f x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以()y f x =的值域为⎡⎤⎣⎦，又因为3,3,(0)22a a a ⎡⎤⎡⎤-⊆>⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以32320a a a ⎧≤-⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩，解得203a <≤，即实数a 的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.21．定义有序实数对(a ,b )的“跟随函数”为()()sin cos R f x a x b x x =+∈．(1)记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f (x )，若()[]0,0,2πf x x =∈，求满足要求的所有x 的集合；(2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f (x )，若函数()()[],0,2πg x f x x x =∈与直线y k =有且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围；(3)已知3a =，若有序数对(a ,b )的“跟随函数”()y f x =在0x x =处取得最大值，当b 在区间变化时，求0tan 2x 的取值范围．【正确答案】(1)π5π{,}44；(2)[1,2)；(3))⎡-⎣【分析】（1）写出解析式()f x ，解方程()0f x =即可；（2）由题意求得()cos g x x x =+，可分类讨论去掉绝对值符号，并化简函数式，然后作出函数()g x 的图象，结合函数图象可得结论；（3）写出()f x ，利用辅助角公式得出0x （00sin ,cos x x 的值），然后利用二倍角的正切公式、商数关系化简函数式，利用函数单调性和不等式的性质得出其取值范围．【详解】（1）由题意()sin cos 0f x x x =-=，sin cos x x =，tan 1x =，ππ+(Z)4x k k =∈，又[0,2π]x ∈，所以π4x =或5π4，即所求集合为π5π{,}44；（2）由题意()cos f x x =，则()cos g x x x =+，[0,π]x ∈时，1π()cos 2(cos )2sin(26g x x x x x x =+=+=+，(π,2π]x ∈时，1π()cos 2(cos )2sin()26g x x x x x x ===--，作出函数()y g x =，[]0,2πx ∈的图象，如图，()f x 在π[0,3和5π[π,]3上递增，在π(,π)3和5π(,2π]3上递减，max ()2f x =，(0)(2π)1f f ==，由图象可知，12k ≤<时，函数()()[],0,2πg x f x x x =∈的图象与直线y k =有且仅有四个不同的交点，所以k 的范围是[1,2)；（3）由题意()2sin cos f x x b x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=sin ϕ=易知π2π,Z 2x k k ϕ+=+∈时，max ()f x =0π2π(Z)2x k k ϕ=+-∈，0πsin sin(2π)cos 2x k ϕϕ=+-=，同理0cos sin x ϕ=，000sin cos tan cos sin x x x ϕϕ==，2002222202222cos 42tan 2sin cos sin 4tan 2cos 41tan sin cos 1sin 44b x b x b x b b ϕϕϕϕϕϕϕϕ+====----++244b b =-44b b =-，b ∈时，函数4y b b =-是增函数，因此4,b b ∞⎛-∈- ⎝，从而)44b b ⎡∈-⎣-，即)0tan 2x ⎡∈-⎣．关键点点睛：本题解题关键是利用新定义“伴随函数”得出函数()f x 的表达式，然后利用三角函数性质求解．对于函数()sin cos f x a x b x =+一般借助辅助角公式进行变形，即()sin cos sin()f x a x b x x ϕ=++，其中cos ϕ=sin ϕ=．。
2023-2024学年上海市黄浦区高一(下)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年上海市黄浦区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共4小题，共14分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知2+i(i 是虚数单位)是实系数一元二次方程x 2+px +q =0的一个根，那么p ，q 的值分别是( )A. p =−4，q =5B. p =−4，q =3C. p =4，q =5D. p =4，q =32.已知函数y =f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)=x +sinx ，当x <0时，f(x)的表达式为( )A. x +sinxB. −x−sinxC. −x +sinxD. x−sinx3.若对任意实数x 都有3sinx−4cosx =5sin(x +φ)，则角φ的终边在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.设θ∈R ，若对任意的x 1∈[0,π2]，都存在x 2∈[0,π2]，使得sin(x 2+θ)=cos(x 1−π6)成立.则θ可以是( )A. π4B. 5π12C. 7π12D. 3π4二、填空题：本题共12小题，共42分。
5.若扇形的圆心角为π4，半径为4，则其弧长为______．6.已知向量a =(−1,−1)，设m ∈R ，向量b =(1,m)，若b //a ，则m = ______．7.若sin(π2−α)=12，则cos (−α)= ______．8.在梯形ABCD 中，AD =12BC ，设AC =a ，BD =b ，若用a 、b 的线性组合表示AB ，则AB = ______．9.若sinα+cosα=32，则sin2α= ______．10.若向量a =(3,4)，b =(−1,2)，则〈a ,b〉= ______．11.设0≤φ<π，若函数y =tan (x +φ)的定义域为{x|x ≠kπ+π3,k ∈Z}，则φ的值为______．12.某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A 和B.某日两个观测点的林场人员都观测到C 处出现火情.在A 处观测到火情发生在北偏西40°方向，而在B 处观测到火情在北偏西60°方向.已知B 在A 的正东方向10km 处，那么火场C 与A 距离约为______km.(结果精确到0.1km)13.若tanαtanβ=12，则cos (α−β)cos (α+β)= ______．14.已知点A 的坐标为(43,1)，若将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为______．15.i 为虚数单位，若复数z 1和复数z 2满足|z 1−1−i|≤1，z 2=z 1i ，则|z 2|的最大值为______．16.已知平面非零向量a 、b 、c 的模均为λ(λ∈R)，若〈a ，b〉=π3，a ⋅c =2，b ⋅c =4，则λ= ______．三、解答题：本题共5小题，共44分。
2024届上海市杨浦高中高一数学第二学期期末学业质量监测试题含解析
2024届上海市杨浦高中高一数学第二学期期末学业质量监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知实数满足250x y ++=,的最小值为( )AB ．5C．D2．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移m (0)m >个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数()g x 的图象,若对任意的x ∈R 均有()12g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立,则m 的最小值为（ ）A ．2324π B ．1112π C ．12πD ．24π3．若角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(2,3)P ，则2sin 2sin αα-=（ ）A ．513B ．513-C ．313D ．313-4．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a ++等于()A．1B．1-C．3+D．3-5．在直角梯形ABCD 中，//,90AB CD D ︒∠=，2,AB CD M =为BC 的中点，若(,)AM AD AB λμλμ=+∈R ，则λμ+=A ．1B ．54C ．34D ．236．若关于x 的一元二次不等式的解集为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．B ．C ．D ．7．数列{}n a 的通项1(1)n a n n =+，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(1)0n x y n +++=在y 轴上的截距为（ ）A ．-10B ．-9C ．10D ．98．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若362,6,S S ==则9S =（ ） A ．18B ．14C ．10D ．229．阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为( )A ．85B ．1311C ．2113D ．13810．某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为 A ．5、10、15B ．3、9、18C ．3、10、17D ．5、9、16二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
(试卷合集4份)2023届上海市杨浦区高一数学下学期期末达标检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移6π个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则()f x 的图象（ ） A ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于直线512x π=对称 C ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．关于直线12x π=对称2．已知圆1C ：22x y a +=关于直线l 对称的圆为圆2C ：222230x y x ay ++-+=，则直线l 的方程为 A ．2450x y -+=B ．2450x y ++=C ．2450x y --=D ．2450x y +-=3．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ） A ．15B ．25C ．825D ．9254．已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ）． A ．79-B ．29- C ．29D ．795．设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{|15}x x ∈-≤≤R6．在区间[–1，1]上任取两个数x 和y ，则x 2+y 2≥1的概率为（ ） A ．14π- B ．128π-C ．18π-D ．124π-7．某班现有60名学生，随机编号为0，1，2，…，59.依编号顺序平均分成10组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第7组中随机抽取的号码为（ ） A ．41B ．42C ．43D ．448．如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为（ ）海里/小时．A ．26B ．46C ．86D ．1669．如图是某个正方体的平面展开图，1l ，2l 是两条侧面对角线，则在该正方体中，1l 与2l （ ）A ．互相平行B ．异面且互相垂直C ．异面且夹角为3π D ．相交且夹角为3π 10．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．1811．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1020S =，2015S =，则30S =( ) A ．10B ．20C ．30-D ．15-12．已知数列{}n a 满足120n n a a ++=，21a =，则数列{}n a 的前10项和10S 为（ ） A ．()104213- B ．()104213+ C ．()104213-- D ．()104123-- 二、填空题：本题共4小题13．函数1arccos ,[,1]2y x x =∈-的值域是________．14．已知向量sin ,cos36a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),1b k =，若a b ，则k =__________． 15．已知sin α+cosα=15，则sin2α=__ 16．已知函数*sin ()()sin n nxf x n N x=∈，关于此函数的说法：①()()n f x n N *∈为周期函数；②()()n f x n N *∈有对称轴；③π(0)2，为()()n f x n N *∈的对称中心；④*()()n f x n n N ≤∈；正确的序号是 _________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020学年上海市杨浦区新高考高一数学下学期期末达标检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()()2lg 311f x x x=++-的定义域是（ ） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭2．在天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水的概率为”，这是指（ ）A ．明天该地区有的地方降水，有的地方不降水B ．明天该地区降水的可能性为C ．气象台的专家中有的人认为会降水，另外有的专家认为不降水D ．明天该地区有的时间降水，其他时间不降水3．点(1,2)P -到直线kx y k 0--=（k ∈R ）的距离的最大值为 A ．22B 2C ．2D ．324．函数2sin cos y x x =+，当x ϕ=时函数取得最大值，则cos ϕ=（ ）A 5B 25C ．23D ．135．若实数x ，y 满足约束条件0{2020y x y x y ≥-+≥+-≥，则2z x y =-的取值范围是（ ）A ．[]44，- B ．[]24-，C ．[)4-+∞，D ．[)2，-+∞ 6．若a b >，则下列不等式成立的是( ) A ．11a b> B ．11a b< C ．33a b > D ．22a b >7．连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．238．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为（） A ．22B 3C 32D 319．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2离心率为3过F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为( )A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=10．已知cos 4θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．7-B ．7C ．17-D ．1711．棱柱的侧面一定是（ ） A ．平行四边形B ．矩形C ．正方形D ．菱形12．已知()3sin 5αβ-=，()3cos 5αβ+=-，且,2παβπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则cos 2β的值为（ ） A ．2425B ．1C ．45-D ．1-二、填空题：本题共4小题13．已知2(log )270f x x =+，那么(0)(1)(6)f f f +++=__________．14．用数学归纳法证明“()*1111,12321nn n N n ++++<∈>-”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，则不等式左边增加的项数共__项15．在△ABC 中，点M ，N 满足2,AM MC BN NC ==，若MN x AB y AC =+，则x ＝________，y ＝________.16．已知向量(2,2),(8,6)a b ==-，则cos ,a b =___________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
上海市杨浦区2020年新高考高一数学下学期期末达标检测试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知圆22220x y x y a++-+=截直线20x y++=所得弦的长度为4，则实数a的值是() A．2-B．4-C．6-D．8-2．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A．AB DC=B．AD AB AC+=C．AB AD BD-=D．0AD CB+=3．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于（）A．AC B．A1D1C．A1D D．BD4．已知函数()f x是定义在R上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增.若实数a满足21(3)(3)af f-≥，则a的最大值是（）A．1 B．12C．14D．345．已知奇函数．．．()2sin()(0,02)f x xωϕωϕπ=+><<满足44f x f xππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的取值不可．．能．是（）A．2 B．4 C．6 D．106．设1122511,,7241a b c log--⎛⎛⎫⎪⎫===⎝⎝⎭⎪⎭，则（）A．a b c>>B．c a b>>C．b a c>>D．a c b>>7．设变量,x y满足约束条件2239x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y=+的最大值是（）A．7 B．5 C．3 D．2m R ∈点A 到直线l 的距离均为定值，则点B 关于直线l 的对称点1B 的坐标为（ ）A ．()0,2B ．211,55⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()2,3D ．2,35⎛⎫ ⎪⎝⎭9．若=(2,1), =(1,0)a b ，则32a b +的坐标是 ( )A ．()53，B ．()43，C ．()83，D ．()01-，10．某校高一年级有男生540人，女生360人，用分层抽样的方法从高一年级的学生中随机抽取25名学生进行问卷调查，则应抽取的女生人数为 A ．5B ．10C ．4D ．2011．在等比数列{}n a 中，11a =-，()57248a a a a +=+，则数列{}n a 的前六项和为（ ） A ．63B ．－63C ．－31D ．3112．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 二、填空题：本题共4小题13．已知函数()|log 1(0,1)a f x x a a =-≠，若1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则12341111x x x x +++=__________． 14．已知向量()3,1a =，b =()21,k k -，//a b ，则=k _________. 15．直线120kx y k -+-=与圆:C ()2213x y -+=的位置关系是______. 16．已知数列{}n a 中112a =，且当n *∈N 时()12n n na n a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2023~2024学年高一下学期期末考试数学必刷卷03(19题新高考新结构)(提升卷)
高一数学下学期期末考试必刷卷03（19题新高考新结构）（提升卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别是()()2,1,1,3--，则21z z 的模是（）A ．5B 5C ．2D 22．如图，一个水平放置的平行四边形ABCD 的斜二测画法的直观图为矩形A B C D ''''，若4A B ''=，3B C ''=，则在原平行四边形ABCD 中，AD =（）A ．3B ．32C ．62D ．93．从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（）A ．0.8B ．0.675C ．0.74D ．0.824．已知在ABC 中，2a b =，1sin 3B =，则sin sin22C B A--=（）A ．103B ．103-C ．23D ．23-5．如图，在下列四个正方体中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 不平行与平面MNQ 的是（）A．B．C ．D ．6．已知ABC 是边长为4的等边三角形，AB 为圆M 的直径，若点P 为圆M 上一动点，则1PA PC ⋅+的取值范围为（）A ．[]0,16B ．[4,8]-C ．[2,16]-D ．[3,13]-7．为了普及党史知识，某校举行了党史知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p ，乙同学答对每题的概率都为()q p q >，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为12，恰有一人答对的概率为512.则甲、乙两人共答对至少3道题的概率是（）A ．512B ．49C ．23D ．348．如图一，矩形ABCD 中，2,BC AB AM BD =⊥交对角线BD 于点O ，交BC 于点M ，现将ABD △沿BD 翻折至A BD ' 的位置，如图二，点N 为棱A D '的中点，则下列判断一定成立的是（）A ．BD CN ⊥B ．A O '⊥平面BCDC ．//CN 平面A OM'D ．平面A OM '⊥平面BCD二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。
2023~-2024学年高一下学期期末考试数学必刷卷02(19题新高考新结构)(基础卷)
高一数学下学期期末考试必刷卷02（19题新高考新结构）（基础卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复平面内复数z 所对应的点为()2,1--，则i z +=（）A 5B ．2C 2D ．12．如图所示，梯形A B C D ''''是平面图形ABCD 用斜二测画法得到的直观图，22A D B C ''''==，1A B ''=，则平面图形ABCD 中对角线AC 的长度为（）A 2B 3C 5D ．53．在平行四边形ABCD 中，15,,56BE BC DF DC M == 是线段EF 的中点，则AM = （）A ．1325AB AD + B ．1223AB AD+C ．112123AB AD + D ．113125AB AD+4．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变史，最多相差一两天．”中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑，现从五月、六月、七月这六个节气中任选两个节气，则这两个节气恰在同一个月的概率为（）A ．12B ．13C ．15D ．1105．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积为222S a b c =+-，则tan C 的值为（）A ．14B ．12C ．2D ．46．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB AD AA ===，且E 为1DD 的中点，则直线1BD 与AE 所成角的大小为（）A ．π3B ．π4C ．π6D ．5π67．为了提高学生锻炼身体的积极性，某班以组为单位组织学生进行了花样跳绳比赛，每组6人，现抽取了两组数据，其中甲组数据的平均数为8，方差为4，乙组数据满足如下条件时，若将这两组数据混合成一组，则关于新的一组数据说法错误的是（）A ．若乙组数据的平均数为8，则新的一组数据的平均数一定为8B ．若乙组数据的方差为4，则新的一组数据的方差一定为4C ．若乙组数据的平均数为8，方差为4，则新的一组数据的方差一定为4D ．若乙组数据的平均数为4，方差为8，则新的一组数据的方差一定为108．在三棱锥S ABC -中，底面ABC 是边长为3的等边三角形，3SA =23SB =的表面积为21π，则二面角S AB C --的余弦值为（）A ．12-B ．12C ．13-D ．13二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。
上海市杨浦高中2024届数学高一下期末学业质量监测模拟试题含解析
上海市杨浦高中2024届数学高一下期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知,A B 为锐角，且满足tan tan tan A B A B ++=，则cos()A B +=（ ）A ．B ．12C ．D ．12-2．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是( ) A ．若m α⊥，n α⊥，则//m n B ．若//m n ，//m α，则//n αC ．若m a ⊂，n β⊂，则,m n 是异面直线D ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n3．若等差数列{}n a 的前10项之和大于其前21项之和，则16a 的值（） A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不能确定4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *++∈＜.若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值为8S B ．n S 的最小值为8S C ．n S 的最大值为7S D ．n S 的最小值为7S5．不等式2320x x -+-≥的解集是 A ．{|2x x >或1}x < B ．{|2x x ≥或1}x ≤ C ．{|12}x x ≤≤D ．{|12}x x <<6．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =，3A π=，sin 2sin C B =，则ABC 的周长为（ ）A ．3+B ．3+C ．3+D ．3+7．已知过点()3,1A的直线l 的倾斜角为60︒，则直线l 的方程为（ ）A ．340x y +-=B ．320x y --=C ．340x y ++=D ．320x y -+=8．直线2y x =-与圆226480x y x y ++-+=相交于点,A B ，则AB =（ ）A ．355B ．455C ．5D ．6559．设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且3 cos 4a C csin A =，已知ABC ∆的面积等于10，4b =，则a 的值为（ ） A ．233B ．283C ．263D ．25310．已知变量，满足约束条件则的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
【精选3份合集】上海市杨浦区2019-2020学年高一数学下学期期末达标检测试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(),1-∞B ．12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，2．函数1lgy x=的大致图像是下列哪个选项（ ） A ． B ．C ．D ．3．已知函数f ：R +→R +满足：对任意三个正数x ，y ，z ，均有f （3xyz xy yz zx ++）3f x f y f z ++=（）（）（）.设a ，b ，c 是互不相等的三个正数，则下列结论正确的是（ ） A ．若a ，b ，c 是等差数列，则f （a ），f （b ），f （c ）一定是等差数列 B ．若a ，b ，c 是等差数列，则f （1a ），f （1b ），f （1c ）一定是等差数列 C ．若a ，b ，c 是等比数列，则f （a ），f （b ），f （c ）一定是等比数列 D ．若a ，b ，c 是等比数列，则f （1a ），f （1b ），f （1c）一定是等比数列 4．定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则式子π2πtancos 43⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．－1B ．12 C ．1D ．325．设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若b α⊂，//c α，则//c b B ．若b α⊂，//b c ，则//c α C ．若c α⊂，αβ⊥，则c β⊥D ．若c α⊂，c β⊥，则αβ⊥6．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,2221,2b ac AB =+边上的中线长为2,则ABC ∆面积的最大值为（ ） A ．2B ．22C ．23D ．47．变量,x y 满足2000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，目标函数2z x y =+，则z 的最小值是（ ）A ．12-B ．0C ．1D ．-18．在直角ABC 中，AB AC ⊥，线段AC 上有一点M ，线段BM 上有一点P ，且::2:1CM AM PB MP ==，若2AB CM ==，则AP BC ⋅=（ ）A ．1B ．23-C ．143D ．239．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若60A =，1b =，3ABC S ∆=,则a 的值为( ) A ．4B 13C ．2D 2110．将函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移6π个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为（ ） A ．2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．2sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C．sin2y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭D．sin42y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭11．在ABC∆中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若60B=︒，2b ac=，则ABC∆一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形12．()200000002021tan39cos50cos127cos40cos37,sin56cos56,21tan39a b c-=+=-=+，则,,a b c的大小关系是（）A．a b c>>B．b a c>>C．c a b>>D．a c b>>二、填空题：本题共4小题13．102,238的最大公约数是________．14．如图是一个三角形数表，记,1n a，,2n a，…，,n na分别表示第n行从左向右数的第1个数，第2个数，…，第n个数，则当2n≥，*n N∈时，,2n a=______.15．如图，缉私艇在A处发现走私船在方位角45︒且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度沿方位角105︒的方向逃窜，缉私艇立即以每小时14海里的速度追击，则缉私艇追上走私船所需要的时间是__________小时.16．如果()*12nS n n=++⋅⋅⋅+∈N，()*32232,111nnnS SST n nS S S=⨯⨯⋅⋅⋅⨯∈---N≥，则2017T的值为________（用分数形式表示）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
上海市杨浦区2023届新高考高一数学下学期期末达标检测试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，“A B >”是“cos cos A B <”的 ( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件2．某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如右图所示，甲、乙的平均数分别为为x 甲、x 乙，方差分别为2s 甲，2s 乙，则（ ）A ．22x x s s >>甲乙甲乙，B ．22x x s s ><甲乙甲乙，C ．22x x s s 甲乙甲乙，D ．22x x s s <<甲乙甲乙，3．已知网格纸的各个小格均是边长为一个单位的正方形，一个几何体的三视图如图中粗线所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．8πB ．72ππC ．82ππD ．62ππ+4．已知a,b,R c ∈,且a b >,0c >,则( ) A ．ac bc >B ．ac bc <C ．22a b >D ．22a b <5．下面一段程序执行后的结果是（ ）2a = *2a a =2a a =+ PRINT a ENDA ．6B ．4C ．8D ．106．已知函数()23sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．54π B ．34π C ．2π D ．3π 7．若a ＜b ，则下列不等式中正确的是（ ） A ．a 2＜b 2B ．11a b＜C ．a 2+b 2＞2abD ．ac 2＜bc 28．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1a =（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．29．已知下列各命题：①两两相交且不共点的三条直线确定一个平面：②若真线a 不平行于平面a ，则直线a 与平面a 有公共点：③若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线： ④若两个二面角的两个面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补. 则其中正确的命题共有（ ）个 A ．4B ．3C ．2D ．110．各棱长均为a 的三棱锥的表面积为（ ）A ．2B ．2C 2D ．211．一元二次不等式()()120x x -+<的解集为（ ）A ．2{1}x x x ｜＜-或＞ B ．1{2}x x x ｜＜-或＞ C ．21{}x x ｜-＜＜ D ．21{}x x ｜-＜＜ 12．为了得到函数sin 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin2y x =的图象（ ） A ．向右平移4π个单位长度 B ．向左平移4π个单位长度 C ．向右平移2π个单位长度 D ．向左平移2π个单位长度 二、填空题：本题共4小题13．已知三棱锥P －ABC ，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝2，AC ＝BC ＝1，则三棱锥P －ABC 外接球的体积为__ .14．若一个圆锥的高和底面直径相等且它的体积为23π，则此圆锥的侧面积为______. 15．设扇形的半径长为2cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 16．若为等比数列的前n 项的和，，则=___________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2023届上海市浦东新区新高考高一数学下学期期末调研试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，则A ．的最小正周期为，最大值为B ．的最小正周期为，最大值为C ．的最小正周期为，最大值为D ．的最小正周期为，最大值为2．已知z 是z 的共轭复数，若复数1222iz i-=++，则z 在复平面内对应的点是（ ） A ．(2,1)B ．(2,1)-C ．(2,1)-D ．(2,1)--3．函数2()sin 223cos 3f x x x =+-，()cos(2)2 3 (0)6g x m x m m π=--+>，若对任意1[0,]4x π∈，存在2[0,]4x π∈，使得12()()g x f x =成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．4(1,)3B ．2(,1]3C ．2[,1]3 D ．4[1,]34．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） A ．310B ．15C ．110D ．1205．函数()23sin cos 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值为( ) A ．34-B ．14-C ．14D ．126．《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A ．1631B ．1629C ．12D ．8157． 过点P(－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 间的距离为( ) A ．4B ．2C ．D ．8．在四边形ABCD 中，//,,45AD BC ADAB BCD，90BAD ∠=︒，将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，如图，则在三棱锥A BCD -中，下列结论正确的是（ ）A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC9．已知等比数列{}n a 中，12a =，且有24674a a a =，则3a =( )A ．1B ．2C ．14D ．1210．下列函数中同时具有性质：①最小正周期是π，②图象关于点5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数的是（ ） A ．sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭11．已知在ABC 中，()sin sin cos cos sin A B A B C +=+⋅，则ABC 的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形D ．直角三角形12．如图所示，在直角梯形BCEF 中，∠CBF=∠BCE=90°，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，AD ∥BC ，且AB=DE=2BC=2AF （如图1），将四边形ADEF 沿AD 折起，连结BE 、BF 、CE （如图2）．在折起的过程中，下列说法中正确的个数（ ）①AC ∥平面BEF ；②B 、C 、E 、F 四点可能共面；③若EF ⊥CF ，则平面ADEF ⊥平面ABCD ； ④平面BCE 与平面BEF 可能垂直 A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题 13．用数学归纳法证明不等式“11119 (123310)n n n n ++++>+++（1n >且*n N ∈）”的过程中，第一步：当2n =时，不等式左边应等于__________。
2023届上海市松江区新高考高一数学下学期期末学业水平测试试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知圆1C ：22x y a +=关于直线l 对称的圆为圆2C ：222230x y x ay ++-+=，则直线l 的方程为 A ．2450x y -+=B ．2450x y ++=C ．2450x y --=D ．2450x y +-=2．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥3．在ABC ∆中，若45A =°，60B =°，2a =．则b = A ．B 2C 3D ．264．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1a =，2b =，2c =，则cos B =( ) A ．16B ．13C ．14D ．235．已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边,若45,30B C =︒=︒2则a =( ) A ．624B ．622C ．624D ．6226．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，3a =4b =，则B =（ ）A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒C ．30B =︒D ．60B =︒73cos 0x x +=的解集是（ ） A ．{|,}x x k k Z π=∈ B ．{|2,}6x x k k Z ππ=-∈C ．{|,}6x x k k Z ππ=-∈D ．{|,}6x x k k Z ππ=+∈8．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,sin sin sin sin 1cos2b ac A B B C B =+=-，则角B =（ ） A ．4πB ．3π C ．6π D ．512π 9．设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．21n n S a =-B ．32n n S a =-C ．43n n S a =-D ．32n n S a =-10．若0a b >>，下列不等式一定成立的是（ ） A ．22a b <B ．2a ab <C ．11a b< D ．1b a<11．设()()132,2log 21,2x xe xf x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()2f f =（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．012．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+，且()y f x =的图象向左平移()0m m >个单位后所得的图象关于坐标原点对称，则m 的最小值为（ ） A ．3π B ．6π C ．12πD ．512π 二、填空题：本题共4小题13．在ABC ∆中，2a =，3b =，c =，则ABC ∆的面积等于______. 14．已知()214732lim6752n a n n n →∞⎡⎤++++-⎣⎦=--，则a =15．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____. 16．求22222sin 1sin 2sin 3sin 88sin 89︒︒︒︒︒＋＋＋＋＋的值为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2023-2024学年上海市高一下学期期末阶段练习数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年上海市高一下册期末阶段练习数学试题一、单选题1．已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（）A ．AO OD =B ．2AO OD= C ．3AO OD = D ．2AO OD= 【正确答案】A【详解】O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，∴2OB OC OD +=，且20OA OB OC ++= ，∴0OA OD +=，即AO OD = ，故选A.2．已知复数11z i=+，则复数·z i 在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】B【详解】分析：利用复数的除法运算得z 和z ，从而得解.详解：复数()()11i 1111122z i i i i -===-++-，则1122z i =+.所以11·22z i i =-+.在复平面上对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限.故选B.点睛：本题考察了复数的除法运算和共轭的定义及在复平面对于点的问题.3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则“a b =”是“cos cos a A b B =”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据“cos cos a A b B =，得出222sinAcosA sinBcosB sin A sin B A B A B π===+=，，，，根据充分必要条件的定义可判断．【详解】∵ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，，acosA bcosB sinAcosA sinBcosB =∴= ，，222sin A sin B A B A B π=∴=+=，，，,a b ∴=或222,a b c +=∴根据充分必要条件的定义可判断：“a b =”是“cos cos a A b B =”的充分不必要条件．故选A本题考查了解三角形，充分必要条件的定义，属于中档题．4．已知向量sin ,16a πα→⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(4,4cos b α→=，若a b →→⊥，则4sin 3απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（）A ．4B ．14-C D ．14【正确答案】B【分析】根据题意，由a b →→⊥得出0a b →→= ，根据平面向量垂直的坐标公式，两角和与差的正弦公式和辅助角公式化简得出1sin 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，最后利用诱导公式化简4sin 3απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即可求出结果.【详解】解：由题可知，sin ,16a πα→⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(4,4cos b α→=，由于a b →→⊥，则0a b →→= ，即4sin 4cos 06παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，6cos αα∴+，1sin 34πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，41sin sin sin 3334ππαπααπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.本题考查三角函数化简求值，平面向量垂直的坐标公式，以及两角和与差的正弦公式，辅助角公式和诱导公式的应用，考查运算能力.二、填空题5．已知R m ∈，复数i 11i 2m +-+的实部和虚部相等，则m 等于__________.【正确答案】120.5【分析】先化简复数，再利用复数的实部和虚部相等求解.【详解】解：复数()()()()i 1i i 111i 1i 21i 1i 222+-+--=-=+++-m m m m，因为复数i 11i 2m +-+的实部和虚部相等，所以122m m -=，解得12m =，故126．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________.【正确答案】35-【详解】解：∵sin θ45=-＜0，tan θsin cos θθ=＞0，∴cos θ35==-．故35-7．若π3sin(+θ)=25，则cos2θ=_________．【正确答案】【详解】试题分析：∵π3sin(+θ)=25，∴3cosθ=5，∴27cos2θ=2cos θ1=25－－，故答案为.诱导公式；二倍角的余弦.8．规定运算a b ad bc c d=-，若i12i i 2z =--，设i 为虚数单位，则复数z =__________.【正确答案】1i-【分析】根据新定义运算直接列方程求解.【详解】因为规定运算a b ad bc cd=-，且i12i i 2z =--，所以2i(i)12i z --=-，222i z =-，得1i z =-，故1i-9．设复数z 满足(23)64z i i -=+（其中i 为虚数单位），则z 的模为_______【正确答案】2【分析】先由复数的除法运算，根据题意，得到2z i =，进而可得复数的模.【详解】因为(23)64z i i -=+，所以()()()()642364122612223232349i i i i z i i i i ++++-====--++，因此2z =.故答案为.2本题主要考查复数的除法运算，以及求复数的模，熟记除法运算法则，以及复数模的计算公式即可，属于基础题型.10．设向量()1,1a x =- ，()1,3b x =+ ，则“2x =”是“//a b r r”的__________条件.【正确答案】充分不必要【分析】利用共线向量定理，结合充分条件和必要条件的定义分析判断即可.【详解】当//a b r r时，(1)(1)3x x -+=，解得2x =或2x =-，所以当2x =时，//a b r r一定成立，而当//a b r r时，2x =不一定成立，有可能2x =-，所以“2x =”是“//a b r r”的充分不必要条件，故充分不必要11．已知向量a ，b 满足2b = ，a 与b 的夹角为60︒，则b 在a上的数量投影__________.【正确答案】1【分析】根据平面向量数量积的几何意义求解即可.【详解】因为2b = ，a 与b的夹角为60︒，所以b 在a 上的数量投影为1cos 60212b ︒=⨯= ，故112．设A 、B 为锐角三角形的两个内角，则复数()()cot tan i tan cot z B A B A =-+-对应点位于复平面的第__________象限.【正确答案】二【分析】由题知2A B π+>，进而得sin cos 0A B >>,sin cos 0B A >>，()cos 0A B +<，再根据复数的几何意义求解.【详解】解：因为A ,B 为锐角三角形的两个内角,所以2A B π+>,即2A B π>-,所以sin cos 0A B >>,sin cos 0B A >>，()cos 0A B +<，所以()cos cos sin cos cos sin sin cot tan 0sin cos sin cos sin cos A B B A A B A B B A B A B A B A+--=-==<,()cos sin cos sin sin cos cos tan cot 0cos sin sin cos sin cos A B B A A B A BB A B A A B A B+--=-==->,所以复数()()cot tan i tan cot z B A B A =-+-对应点(cot tan ,tan cot )B A B A --在第二象限.故二13．已知：1sin cos 5αα+=，0απ<<，则cos 2α=__________.【分析】由1sin cos 5αα+=，两边平方得到242sin cos 025αα=-<，进而求得sin cos αα-，两式联立得到sin ,cos αα，再利用三角恒等变换求解.【详解】解：由1sin cos 5αα+=，两边平方得：11+2sin cos 25αα=，即242sin cos 025αα=-<，因为2απ<<π，所以sin 0,cos 0αα><，所以7sin cos 5αα-===，两式联立得43sin ,cos 55αα==-，所以cos 2α=14．已知向量()1,1a =- ，()1,2b = ，向量c 满足()c b a +⊥ ，()//c a b - ，则c = __________.【正确答案】()2,1【分析】设(),c x y =，由向量垂直和平行的坐标表示可构造方程组求得,x y ，由此可得结果.【详解】设(),c x y = ，则()1,2c b x y +=++ ，()1,1c a x y -=-+ ，由()c b a +⊥ ，()//c a b - 得：()()120211x y x y ⎧+-+=⎪⎨-=+⎪⎩，解得：21x y =⎧⎨=⎩，()2,1c ∴= .故答案为.()2,115．判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是__________.①1a =，b =，45B = ；②a =，b =30A = ；③6a =，20b =，30A = ；④5a =，60B = ，45C = .【正确答案】①④【分析】利用正弦定理解三角形即可确定①②③中的三角形的个数；根据三角形全等的判定可知④正确.【详解】对于①，由正弦定理得：sin 12sin 2a B Ab ==，b a > ，B A ∴>，即045A <<o o ，30A ∴= ，则三角形有唯一解，①正确；对于②，由正弦定理得：1sin 2sin b A B a=b a > ，B A ∴>，即30150B << ，60B ∴= 或120 ，则三角形有两解，②错误；对于③，由正弦定理得：120sin 52sin 63b AB a⨯===，B 无解，③错误；对于④，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，④正确.故①④.16．函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅= ____.【正确答案】6【详解】试题分析：由图可知(2,0)A ，(3,1)B ，∴()(5,1)(1,1)6OA OB AB +⋅=⋅=.正切型函数的图象与平面向量的数量积运算.【方法点睛】本题主要考查了正切型函数的图象与平面向量的数量积运算，属于中档题.本题解答的关键观察图象发现,A B 分别是函数tan()42y x ππ=-y轴右侧的第一个零点和函数值为1的点，即可求得,A B 的坐标，进而求得向量(),OA OB AB +的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.三、解答题17．已知复数()227656i 1a a z a a a -+=+--+（R a ∈）.试求实数a 分别为什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.【正确答案】(1)6(2)()()(),11,66,-∞--+∞ (3)1a =【分析】（1）根据题意得256010a a a ⎧--=⎨+≠⎩，再解方程即可；（2）结合题意得256010a a a ⎧--≠⎨+≠⎩，再解不等式即可；（3）结合题意得2256010760a a a a a ⎧--≠⎪+≠⎨⎪-+=⎩，再求解即可.【详解】(1)解：因为()227656i 1a a z a a a -+=+--+（R a ∈）为实数，所以256010a a a ⎧--=⎨+≠⎩，解得6a =，所以，当6a =时，z 为实数.(2)解：因为()227656i 1a a z a a a -+=+--+（R a ∈）为虚数，所以256010a a a ⎧--≠⎨+≠⎩，解得1a ≠-且6a ≠.所以，当()()(),11,66,a ∈-∞--+∞ 时，z 为虚数.(3)解：因为()227656i 1a a z a a a -+=+--+（R a ∈）为纯虚数，所以，2256010760a a a a a ⎧--≠⎪+≠⎨⎪-+=⎩，解得1a =.所以，当1a =时，z 为纯虚数.18．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-（R x ∈）.求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上的最大值和最小值.【正确答案】T π=，()f x 的最大值为2，最小值为-1.【分析】先化简函数为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质求解.【详解】解：函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-，cos2=+x x ，2sin 26π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x ，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的最大值为2，最小值为-1.19．已知向量()3,4OA =- ，()6,3OB =- ，()5,3OC m m =--- .(1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值；(2)若ABC ∠为锐角，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)12(2)311,,422∞⎛⎫⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据向量运算得()3,1AB =uu u r ，()1,BC m m =--- ，进而结合向量共线的坐标表示求解即可；（2）结合题意得0BA BC ⋅>uu r uu u r 且BA 与BC不共线，再根据数量积运算与共线的坐标表示求解即可.【详解】(1)解：因为()3,4OA =- ，()6,3OB =- ，()5,3OC m m =---，所以()3,1AB OB OA =-= ，()1,BC OC OB m m =-=---，因为A ，B ，C 三点共线，所以AB 与BC共线，所以()310m m -++=，解得12m =.所以实数m 的值12(2)解：因为向量()3,4OA =- ，()6,3OB =- ，()5,3OC m m =---，所以()3,1BA OA OB =-=-- ，()1,BC OC OB m m =-=--- ，因为ABC ∠为锐角，所以0BA BC ⋅>uu r uu u r 且BA 与BC 不共线，即()330310m m m m ++>⎧⎨-+≠⎩，解得34m >-且12m ≠，所以，实数m 的取值范围是311,,422∞⎛⎫⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20．ABC 中内角,,A B C的对边分别为,,a b c ，向量(2sin ,a B = ，2(cos 2,2cos1)2B n B =- ，且a n ．(1)求锐角B 的大小；(2)如果2b =，求ABC 的面积ABC S 的最大值．【正确答案】(1)3B π=；【分析】（1）先由平面向量的坐标运算结合a n得，2sin cos sin 2B B B B ==，求得tan 2B =（2）由（1）及余弦定理可得，2240a c ac +--=，然后由基本不等式得出4ac ≤，进而得出ABC 的面积的最大值．【详解】(1)(2sin ,a B = ，2(cos 2,2cos1)2B n B =- ，且a n ，22sin (2cos 1)22BB B ∴⋅-=，即2sin cos sin 22B B B B ==，tan 2B ∴=，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2(0,)B π∴∈，223B π∴=，即3B π=．(2)由（1）得3B π=，2b =，由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=得：2240a c ac +--=，又222a c ac +≥，代入上式得：4ac ≤（当且仅当2a c ==时等号成立），1sin 2ABC ac B S ∴==≤ 当2a c ==时等号成立），则ABC S21．如图，要计算西湖岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两点，现测得AD CD ⊥，10km AD =，14km AB =，60BAD ∠=︒，135BCD ∠=︒，求两景点B 与C 的距离（精确到0.1km ）.1.414=1.732=2.236=.【正确答案】4.2km【分析】在ABD △中，结合余弦定理得BD =，cos ADB ∠=CDB △中，利用正弦定理解三角形即可求得答案.【详解】解：根据题意，在ABD △中，10km AD =，14km AB =，60BAD ∠=︒，所以由余弦定理得：2222cos 156BD AD AB AB AD BAD =+-⋅∠=，即BD =；所以，222cos 226DB DA AB ADB DB DA +-∠==⋅，因为AD CD ⊥，所以2CDB ADB π∠+∠=，所以sin cos CDB ADB ∠=∠=所以，在CDB △中，135BCD ∠=︒，BD =，sin cos CDB ADB ∠=∠=所以，sin sin BC BDCDB BCD =∠∠，即sin 4.2sin 22BD CDB BC BCD∠==∠.所以，景点B 与C 的距离大约为4.2km。
上海市上海中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题及答案
上海市上海中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知复数12z i =+，i 为虚数单位，则Re Im z z −= ．2．已知点()2,3A ，()6,3B −，若点P 满足3AB AP =，则点P 的坐标为 ．3．已知复数z满足(12)34z i i +=+ (i 为虚数单位)，4．若非零向量a 、b ，满足a b = ，()2+⊥ a b b ，则a 与b的夹角为 .5．在正方体1111ABCD A B C D −中，AC 与BD 交于点O ，则直线1BC 与直线1OD 的夹角为 .6．已知复平面上平行四边形ABCD 的顶点()2,1A −−，()7,3B ，()12,9C ，(),D x y 按逆时针方向排列，则向量AD所对应的复数为 ．7．设11()()()()11n ni i f n n i N i+−=+∈−+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是 .8．已知向量(a = ，且a ，b 的夹角为π3，()()234a b a b +⋅−=，则b 在a方向上的投影向量等于 .9．如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥底面,,//,2,1ABCD AD AB AB DC AD DC AP AB ⊥====，若E 为棱PC 上一点，满足BE AC ⊥，则PEEC= ．10．已知复数12sin z θ=，()212cos i z θ=+，i 为虚数单位，若π6π5,2θ∈，复数1z ，2z 对应的向量分别为a ，b，存在θ使得等式()()0a b a b λλ−⋅−= 成立，则实数λ的取值范围为 ．11．如图，在ABC ∆中，,,D E F 分别为BC,CA,AB 上的点，且35CD BC =，12EC AC =，13AF AB =.设P 为四边形AEDF 内一点（P 点不在边界上），若13DP DC DE λ=−+，则实数λ的取值范围为12．已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，||6,||8AB AC ==，(,)AO AB AC R αβαβ=+∈，若21sin ()2A t αβ⋅+−（t 为实数）有最小值，则参数t 的取值范围是 .二、单选题13．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥B ．若m α ，m β ，n αβ= ，则m n ∥C ．若αβ⊥，n αβ= ，则m n ⊥，则m β⊥D ．若m n ∥，n ⊂α，则m α14．已知O 为ABC 所在平面内一点，D 是AB 的中点，动点P 满足()()1OP OD OC λλλ=−+∈R ，则点P 的轨迹一定过ABC 的（ ）A ．内心B ．垂心C ．重心D ．AC 边的中点15．如图，在矩形ABCD 中，E F 、分别为边AD BC 、上的点，且3AD AE =，3BC BF =，设P Q 、分别为线段AF CE 、的中点，将四边形ABFE 沿着直线EF 进行翻折，使得点A 不在平面CDEF 上，在这一过程中，下列关系不能．．成立的是（ ）A ．直线//AB 直线CD B ．直线AB ⊥直线PQC ．直线//PQ 直线EDD ．直线//PQ 平面ADE16．已知2k +个两两互不相等的复数1212,,,,,k z z z w w ，满足12124w w w w −=−，且{}1,3j a w z −∈，其中1,2j =；1,2,,a k = ，则k 的最大值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6三、解答题17．已知4a = ，3b =r ，()()23261a b a b −⋅+=． (1)求a 与b的夹角； (2)求2a b + ． 18．如图，P 为平面ABCD 外一点，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，1==PA AB ，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(1)当点E 为BC 中点时，求证：//EF 平面PAC ； (2)求证：无论点E 在边BC 的何处，都有PE AF ⊥． 19．已知关于x 的实系数一元二次方程290x mx ++=.(1)若复数z是该方程的一个虚根，且4z z +=−，求m 的值；(2)记方程的两根为1x 和2x ，若12x x −=，求m 的值. 20．利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对()12,z z （其中12,z z ∈C ）视为一个向量，记作()12,z z α=．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量()12,z z α=，()''12,z z β=的数量积定义为一个复数，记作a β⋅ ，满足'2'112z z z z αβ⋅=+ ，复向量α的模定义为α=(1)设()1i,i α=−，()3,4β=，i 为虚数单位，求复向量α、β的模；(2)设α、β是两个复向量，�已知对于任意两个平面向量()11,a x y =，()22,b x y = ，（其中1212,,,x x y y ∈R ），a b a b⋅≤ 成立，证明：对于复向量α、β，a αββ⋅≤也成立；�当a αββ⋅= 时，称复向量α与β 平行．若复向量()1i,12i α=+− 与()i,z β= 平行（其中i 为虚数单位，z C ∈），求复数z ． 21．如图，已知O 是边长为1的正ABC 的外心，12,,,n P P P 为BC 边上的1n +等分点，12,,,n Q Q Q 为AC 边上的1n +等分点，12,,,n L L L 为AB 边上的1n +等分点．(1)当2023n =时，求122023OC OP OP OP OB +++++ 的值；(2)当4n =时．�求j k OA AQ OA AL ⋅+⋅的值（用含j ，k 的式子表示）；�若{}|1,,4,,,k i i j j k M m m OP OQ OQ OL OL OP i j k i j k ==⋅+⋅+⋅≤≤∈N，分别求集合M 中最大元素与最小元素的值．参考答案：1．1−【分析】根据i 12z =+，确定其实部和虚部，即可求得答案. 【详解】由复数i 12z =+，可知其实部和虚部分别为1和2 ,故Re Im 121z z −=−=−， 故答案为：1− 2．10,13【分析】设(,)P x y ，根据条件得到(4,6)AB =− ，(2,3)AP x y =−−，再利用向量相等即可求出结果.【详解】设(,)P x y ，因为()2,3A ，()6,3B −，所以(4,6)AB =− ，(2,3)AP x y =−− ，又3AB AP =， 所以3(2)43(3)6x y −= −=− ，解得10,13x y =，所以点P 的坐标为10(,1)3. 故答案为：10(,1)3.3【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：由(12)34z i i +=+，得34(34)(12)11212(12)(12)55i i i z i i i i ++−===−++−，【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．4．120 /23π 【分析】设a 与b 的夹角为θ，根据a b =，()2+⊥ a b b ，由数量积的定义和运算律求解. 【详解】解：设a 与b的夹角为θ， 因为a b = ，()2+⊥a b b ，所以2(2)2cos 0θ+⋅=+= a b b a b b ， 所以1cos 2θ=−，因为0180θ≤≤ ， 所以120θ= ， 故答案为：120 5．30【分析】通过平移，转化所求线线角为1AD O ∠，再根据等边三角形的性质即可求解. 【详解】解：如图所示，连接111,,AD OD CD ,又因为11//,BC AD所以直线1BC 与直线1OD 的夹角即为1AD O ∠,又1AD C 为等边三角形，O 为AC 中点， 所以1OD 平分角1AD O ∠，所以130AD O ∠=. 故答案为：30 .6．56i +/65i +【分析】根据题意，利用向量的对应关系求出点D 的坐标，进一步求出向量AD所对应的复数．【详解】复平面上平行四边形ABCD 的顶点(2,1),(7,3),(12,9),(,)A B C D x y −−按逆时针方向排列，如图，则有AB DC =，而(9,4),(12,9)AB DC x y ==−− ，则有(9,4)(12,9)x y =−−，得12994x y −=−= ，解得35x y = = ，故D 的坐标为(3,5)，则向量(5,6)AD =，所以对应的复数56i z =+． 故答案为：56i +． 7．8【解析】化简得到()()()n ni f n i =+−，计算结合复数乘方的周期性得到{}{}|()2,0,2x x f n ==−，得到答案.【详解】()()()()()()()()22111()()()()()1111111n nn n n n i i i f n i i i i i i i i i −+−=+=+−+−=+−++−+， ()()00(0)2i f i =+−=，()()11(1)0i f i =+−=，()()22(2)2i f i =+−=−，()()33(3)0i f i =+−=，()()44(4)2i f i =+−=，根据n i 的周期性知{}{}|()2,0,2x x f n ==−，子集个数为328=.故答案为：8.【点睛】本题考查了复数的运算，集合的子集，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，周期性的利用是解题的关键. 8．1(4【分析】根据所给条件利用向量数量积运算求出||b →，再由投影向量的定义求解即可.【详解】(a = ，||2a →∴=，()()222π232||3||82||cos 3||43a b a b a a b b b b →→→→→→+⋅−=−⋅−=−−=， ||1b →∴=，b ∴ 在a方向上的投影向量为π111||cos (3224||a b a →→→⋅=×=.故答案为：1(49．13【分析】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，通过解三角形求得:AF FC 的值，也即求得PEEC的值. 【详解】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，故AC EF ⊥，由于PA AC ⊥，所以//EF PA .由于AD CD =，所以π4DAC BAC ∠=∠=.在直角三角形ABF 中，π1,4AB BAF =∠=，所以AFAB =AC =:1:3AF FC =.根据前面证得//EF PA ，可得::1:3PE EC AF FC ==.【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定，考查线面垂直的证明，考查简单的解特殊角三角形的知识.属于基础题. 10．22【分析】由题得出(2sin ,aθ ，()1,2cos b θ=r ，化简()()0a b a b λλ−⋅−=，得出2π2sin 31λθλ −= + ，要使()()0a b a b λλ−⋅−= 成立，即使2π2sin 31λθλ−=+ 成立，求出πsin 3θ−的范围，即可求出λ的范围.【详解】由题知，(2sin ,a θ，()1,2cos b θ=r ，12sin 4sin 2a b θθθθ ⋅=−=π4sin 3θ−，，由()()0a b a b λλ−⋅−=， 得()22210a b a b λλλ+−+⋅=， 化简得2π2sin 31λθλ−=+， 因为π6π5,2θ∈ ，所以π2π,3π6θ −∈ ，π1sin ,132θ−∈，因为存在θ使得等式()()0a b a b λλ−⋅−=成立，所以存在θ使得2π2sin 31λθλ−=+成立， 所以212121λλ≤≤+，解得22λ≤≤故答案为：22 11．14(,)23【分析】取BD 中点M,过M 作MH//DE 交DF,AC 分别为G,H,则由,,P C E 可知,P 点在线段GH 上运动（不包括端点）,求出端点G,H 对应的λ即可求解. 【详解】取BD 中点M,过M 作MH//DE 交DF,AC 分别为G,H,如图：则由13DP DC DE DE DM λλ=+=−+可知,P 点在线段GH 上运动（不包括端点） 当P 与G 重合时，根据413389DP tDF DC tDE DE t DC λ==−=++−,可知12λ=，当P 与H 重合时,由,,P C E 共线可知113λ−+=，即43λ=，结合图形可知14(,)23λ∈. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，加法平行四边形法则，三点共线，数形结合的思想方法，属于难题. 12．3315(,)1616−【分析】首先求得,AO AB AO AC ⋅⋅ ，进而用cos A 表示出,αβ，由此化简21sin ()2A t αβ⋅+−，结合二次函数的性质，列不等式，解不等式求得t 的取值范围. 【详解】先求,AO AB AO AC ⋅⋅：如图所示，设D 是线段AB 的中点，由于O 是三角形ABC 外接圆的圆心，故OD AB ⊥，所以211cos ,1822AO AB AB AO AO AB AB AB AB ⋅=⋅⋅=⋅== ，同理可得211cos ,3222AO AC AC AO AO AC AC AC AC ⋅=⋅⋅=⋅== .由于(,)AO AB AC R αβαβ=+∈u u u ru u u ru u u r故221832AO AB AB AB AC AO ACAC AB AC αββα ⋅=+⋅= ⋅=+⋅= ，即43cos 268cos 3A A βααβ+= += ，解得2234cos 6sin 43cos 8sin A AA A αβ− = − =，将上式代入21sin ()2A t αβ⋅+−并化简得2123cos cos 238A t A −+ ，由于1cos 1A −<<，依题意2123cos cos 238A t A−+ 有最小值，结合二次函数的性质可知当233811122t −+−<−<×时，2123cos cos 238A t A−+ 有最小值.由233811122t −+−<−<×解得33151616t −<<.故答案为：3315(,)1616−.【点睛】本小题主要考查平面向量的数量积的运算，考查圆的几何性质，考查方程的思想，考查二次函数在给定区间上有最小值问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题. 13．B【分析】若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n ⊂α，A 错；由线面平行的性质可判断B 正确；由面面垂直的性质定理判断C 错；由线面平行的判定定理即可得出D 错. 【详解】对于A ，若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n ⊂α，故A 错误； 对于B ，若m α ，m β ，过m 作平面与α，β分别交于直线a ，b ， 由线面平行的性质得m a ，m b ，所以a b ， 又b β⊂，a β⊄，所以a β∥，又n ⊂α，n αβ= ，所以a n ∥，所以m n ∥，故B 正确； 对于C ，由面面垂直的性质定理可得， 当m α⊂时，m β⊥，否则不成立，故C 错误；对于D ，若m n ∥，n ⊂α，则m α 或m α⊂，故D 错误.故选：B14．C【分析】由动点P 满足()1OP OD OC λλ=−+ ，且11λλ−+=，得到,,P C D 三点共线，进而得到答案.【详解】由动点P 满足()()1R OP OD OC λλλ=−+∈ ，且11λλ−+=， 所以,,P C D 三点共线，又因为D 为,A B 的中点，所以CD 为ABC 的边AB 的中线，所以点P 的轨迹一定过ABC 的重心.故选：C.15．C【分析】画出翻折之后的立体图形，根据点线面之间的位置关系以及平行与垂直的相关定理，可以证明或证伪相关命题.【详解】翻折之后如图所示：�因为3AD AE =，3BC BF =，所以//AB EF 且//EF CD ，因此//AB CD ，故选项A 成立；�连接FD ，因为P Q 、分别为FA FD 、的中点，所以//PQ AD ，又因为AB AD ⊥，所以AB PQ ⊥，故选项B 成立；�因为//PQ AD ，∩=ED AD D ，所以PQ 与ED 不平行，故选项C 不成立；�因为//PQ AD ，且PQ ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以//PQ 平面ADE ，故选项D 成立.故选：C16．C【分析】设12,(,,,),a bi c di a b c d R ωω=+=+∈从而可得22()()4,a c b d −+−=即12,ωω对应平面内距离为2的点，从而利用数学结合求解即可.【详解】设12,(,,,),a bi c di a b c d R ωω=+=+∈ 12124w w w w −=− ,∴1212()()4w w w w −−=, 即[()()][()()]4,a c b d i a c b d i −−−⋅−+−=化为22()()4,a c b d −+−=故12,ωω对应平面内距离为2的点，如下图中F G 、,{}1,3j a w z −∈,a z 与12,ωω对应点的距离为1或3,构成了点A B C D E 、、、、共5个点，故k 的最大值为5.故选：C.【点睛】方法点睛：(1)本题是复数的综合应用，考查的主要是复数的模的几何意义的应用．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，利用复数的模的几何意义进行求解． 17．(1)23π； (2)7.【分析】（1）根据题意先求出a b →→⋅，进而根据平面向量的夹角公式求出答案；（2）将|2|a b →→+1）求出答案.【详解】（1）因为||4a →=，||3b →=，23261a b a b →→→→ −⋅+= 所以22426361a a b a b b →→→→→→+⋅−⋅−=，即41643961a b →→×−⋅−×=，所以6a b →→⋅=−，设,a b →→的夹角为θ，则61cos 432||||a b a b θ→→→→⋅−===−×， 因为[]0,θπ∈，所以23πθ=. （2）由（1）知6a b →→⋅=−，所以|2|a b →→+=7=.18．(1)详见解析.(2)详见解析.【分析】（1）根据中位线平行于底边知，//EF PC ,利用线面平行的判定定理即可证明； （2）先证明出AF ⊥平面PBC ,即可证明出结论.【详解】（1） 点F 是PB 的中点,当点E 为BC 中点时，可得//EF PC ，又EF ⊄平面,PAC PC ⊂平面,PAC∴//EF 平面PAC .（2）,PA AB = 点F 是PB 的中点,,AF PB ∴⊥又PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ,PA BC ∴⊥,又四边形ABCD 是矩形，,BC AB ∴⊥又,PA AB A ∩=BC ∴⊥平面,PAB AF ⊂平面PAB ,BC AF ∴⊥又,PB BC B ∩=AF ∴⊥平面,PBC 又PE ⊂平面PBC ,,AF PE ∴⊥∴无论点E 在边BC 的何处，都有PE AF ⊥.19．(1)－2 (2)±±【分析】（1）利用2z z z =⋅，结合韦达定理可求解.（2）分讨论方程的两根为实根还是虚数根两种情况讨论，结合韦达定理可求解.【详解】（1）解：因为29z z z =⋅=，所以3z =，因为4z z +=−，所以1z =−，所以1z =+，由韦达定理可得2m z z −=+=，所以2m =−；（2）解：若方程的两根为实数根，则12x x −=解得m =±若方程的两根为虚数根，则设1i x a b =+，2i,,R x a b a b =−∈，可得122x x b −==则1x a =，2x a =，21239x x a +，所以26a =，所以a =由韦达定理可得12m x x −=+=±，所以m =± 此时2360m ∆=−<，满足题意，综上，m =±±20．(1)||α= ，||5β=(2)�证明见解析；�31i 22z =−【分析】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可；（2）�利用模长公式和复数的三角不等式，以及a b a b ⋅≤ 的坐标表示，即可证明结论成立；�根据�中等号成立的条件，结合题意即可求出z 和z 的值．【详解】（1）因为(1i,i)α=− ，所以()(1i)1i i i (1i)(1i)i (i)213αα⋅=−−+⋅=−++⋅−=+= ，可得α 的模为||α=因为(3,4)β= ，所以3344334425ββ⋅=×+×=×+×= ，所以β 的模为||5β=； （2）因为()()''1212,,,z z z z αβ== ，所以''1122z z z z αβ⋅=+ ，由复数的三角不等式''''''112211221122z z z z z z z z z z z z +≤+=+， 由a b a b ⋅≤，得1≤，所以1212x x y y +≤αβ=， 综上所知，||||||.a a ββ⋅≤�考虑�中等号成立的条件知，对于复数的三角不等式，复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数k ，使得''1122kz z z z =， 若复向量()1i,12i α=+− 与()i,z β= 平行，则(1i)i 31i 12i 55k z k +⋅ ==+ −，中等号成立的条件，应有''1221z z z z =， 则|12i ||i ||1i |z −==+ 结合31i 55z k =+ ，得，解得52k =； 所以53131i i 25522z =+=+ ，所以31i 22z =−． 21．； (2)�510j k −−；�最大值为225−，最小值为1350−. 【分析】（1）根据,,i B P C 共线，将i OP u u u r 用OB OC ，u u u r u u u r 表示，求和后再求模长；（2）（i ）根据数量积定义计算；（ii ）将i j j k k i OP OQ OQ OL OL OP ⋅+⋅+⋅ 用,,i j k 表示，依次视为,,i j k 的函数讨论单调求最值.【详解】（1）当2023n =时，12023120242024OP OB OC =+ ，22022220242024OP OB OC =+ ，……，20231202320242024OP OB OC =+ ， 122023202320221122023()()202420242024202420242024OP OP OP OB OC ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 2023202322OB OC +u u u r u u u r 1220232023202322OC OP OP OP OB OB OB OC OC ∴+++⋅⋅⋅++++=+u u u r u u u r u u u r u u u u u r u u u u u r u u u r u u u r u r u u u r 20252OB OC +u u u r u u u r 又ABC 为等边三角形，且边长为1，O 为外接圆的圆心，OB ∴,120OB OC =o u u u r u u u r ，222221122()23OB OC OB OC OB OC ∴+++⋅++− ，则OB +12202320252OB OC OP OP OP OB ∴+++⋅⋅⋅+++=u u u r u u u r u u u r u u u u u r u u u r u u r u （2）�ABC 为等边三角形，O 为外接圆的圆心，30OAB OAC ∴∠=∠= ， 则,150j AQ OA =o u u r u u u u r ，,150k AL OA =o u u r u u u r ，又4n =，,j k Q L ∴分别为,AC AB 的5等分点，又1ACAB ==， 55,5jk j k AQ AL −∴==； cos150cos150j k j k OA AQ OA AL OA AQ OA AL ∴⋅+⋅=⋅+⋅ 555((55101010j k j k j k −−−−×+×=−−= �2()()i j i j i j i j OP OQ OC CP OC CQ OC OC CP OC CQ CP CQ ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅ ， 155cos150cos150cos 6035555i j i j i j OP OQ −−∴⋅=+× 155115355552650i j i j i ij −−−=××=−+； 同理可得：15650j k j jk OQ OL −⋅=−+ ；15650k i k ki OL OP −⋅=−+ ； 15()()250i j j k k i i j k ij jk ik OP OQ OQ OL OL OP ++−++∴⋅+⋅+⋅=−+ ； 令()()5515()()1250250j k i j k jk i j k ij jk ik S −−++−++−++=−+=−+ 1）当5j k +≥时，1i =时，()()max 5454411250250j k jk k j k S ++−+−+=−+=−+， 4k ≤ ，4j ∴=时取最大值， 则()max 54441422505025k k S +−+=−+=−=−； 4i =时，()()min 2020111250250j k jk k j k S ++−+−+=−+=−+， 1k ≥ ，4j ∴=时取最小值，则()min 204113125050k k k S +−+−−=−+=， 则当4k =时，min 1350S =−； 2）当5j k +<时，4i =时，()()max 2020111250250j k jk k j k S ++−+−+=−+=−+， 1k ≥ ，1j ∴=时取最大值，则max 1201422505025k k S +−+=−+=−=−； 1i =时，()()min 5454411250250j k jk k j k S ++−+−+=−+=−+， 4k ≤ ，1j ∴=时取最小值，则min 193250k S +=−+， 则当1k =时，min 1121325050S =−+=−； 综上所述：i j j k k i OP OQ OQ OL OL OP ⋅+⋅+⋅ 的最大值为225−，最小值为1350−． 【点睛】关键点点睛：求5()()i j k ij jk ik ++−++的最值利用函数的单调性求最值，先整理为()()55j k i j k jk −−++−的形式，视为关于i 的一次函数， 讨论5j k −−的正负确定单调性，确定在1i =或4i =时取得最值，类似的，下一步再视为关于j 的一次函数求最值，最后再视为关于k 的一次函数求最值.。
2023-2024学年上海市杨浦高一下学期开学考试数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年上海市杨浦高一下册开学考试数学试题一、填空题1．已知1,,9G 成等比数列，则等比中项G =__________.【正确答案】3±【分析】根据等比中项得到219G =⨯，解得答案.【详解】已知1,,9G 成等比数列，则219G =⨯，3G =±.故3±2．函数()[]21,1,11f x x x =∈-+的值域为__________.（结果用区间表示）【正确答案】1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】[]1,1x ∈-，则[]211,2x +∈，得到()[]21,1,11f x x x =∈-+的值域.【详解】[]1,1x ∈-，则[]211,2x +∈，故()[]21,1,11f x x x =∈-+的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果2n S n =，则公差d =__________.【正确答案】2【分析】由等差数列的求和公式可得出关于公差d 的等式，解之即可.【详解】根据题意，由等差数列的求和公式，可得()22111222n n n dd d S na n a n n -⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭，所以1122dd a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩.故答案为.24．已知等腰三角形的周长为1，把该三角形腰长y 表示为底边长x 的函数，则该函数为y =__________.（要求：写出解析式和自变量的取值范围）【正确答案】11022x y x -⎛⎫=<< ⎪⎝⎭【分析】根据题意21x y +=，102x <<，得到函数关系式.【详解】根据题意：21x y +=，2y x >，故102x <<，则函数为11022x y x -⎛⎫=<< ⎪⎝⎭.故11022x y x -⎛⎫=<< ⎪⎝⎭5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则lim n n S →∞=__________.【正确答案】1【分析】由等比数列求和公式得出n S ，再求极限.【详解】由题意可知，111,22a q ==，11122111212nn nS ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==--.1lim lim(112n nn n S →∞→∞=-=故16．利用二分法计算函数()ln 7f x x x =-+在区间()9,10的零点，第一次操作后确认在()9,9.5内有零点，那么第二次操作后确认在区间__________内有零点.【正确答案】()9,9.25【分析】利用二分法的定义即可求解.【详解】由题意可知，取区间()9,9.5的中点199.59.252x +==，()ln997ln 920.2009f =-+=-≈>，()ln9.259.257ln 9.25 2.250.0309.25f =-+=-≈-<，所以()()99.250f f ⨯<，所以第二次操作后确认在区间()9,9.25内有零点.故答案为.()9,9.257．已知函数()[],2,2y f x x =∈-是在定义域[]22-,上严格增的奇函数，若()()2223220f a a f a +-+-<，则实数a 的取值范围是__________.【正确答案】)(1,1- 【分析】根据定义域、奇偶性和单调性得到2222223222222322a a a a a a ⎧-≤+-≤⎪-≤-≤⎨⎪+-<-+⎩，解不等式组即可得到a 的取值范围.【详解】函数()[],2,2y f x x =∈-是在定义域[]22-,上严格增的奇函数，()()2223220f a a f a +-+-<，即()()222322f a a f a +-<-+，所以2222223222222322a a a a a a ⎧-≤+-≤⎪-≤-≤⎨⎪+-<-+⎩，解得)(1,1x ∈ .故)(1,1 8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若399,36a S ==，则当n S 取到最大值时n =__________.【正确答案】6【分析】由399,36a S ==得出15,142d a =-=，再由求和公式结合二次函数的性质求解即可.【详解】由112993636a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得15,142d a =-=.即21(1)561244n n n S na d n n -=+=-+.因为函数256144y x x =-+的对称轴为614 6.1524x =-=-⨯.故当6n =时，n S 取到最大值.故69．已知函数()()22,0ln 1,0x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩,若()f x ax ≥,则a 的取值范围是__________.【正确答案】[2,0]-【分析】分0x >，0x =和0x <三种情况进行讨论，在计算过程中可通过去掉绝对值进行运算，即可得到答案【详解】当0x >时，由|()|f x ax ≥，得()0f x ax -≥，即ln(1)0x ax +-≥，因为当0x >时，ln(1)0x +>，所以ln(1)0x ax +-≥，则ln(1)1e e e ax a x x ax x +≥⇒+≥=⋅在()0,∞+上恒成立，当0a >，由于指数函数=e x y 的增长速率远远比一次函数1y x =+要快，所以易得1e e e ax a x x +≥=⋅在()0,∞+上不恒成立，舍去，当0a ≤，ln(1)0,0x ax +>≤，故ln(1)x ax +≥在()0,∞+上恒成立；当0x =时，()00f a ≥⨯恒成立；当0x <时，由|()|f x ax ≥，得()f x a x ≤，即22x x a x-+≤，化简得2x a --≤，即2x a -≤，而22x -<-，故2a ≥-，综上可得20a -≤≤，故答案为.[]2,0-10．已知数列{}n a 满足：11a =，211,2,4,6,8,1,3,5,7,9,n n n a n a n a -+=⎧⎪⎪=⎨=⎪⎪⎩，若3019k a =，则k =__________.【正确答案】238【分析】根据数列{}n a 的递推公式，分析可知，当n 为偶数时，1n a >，当()1n n >为奇数时，()110,1n n a a -=∈，则k 为偶数，由3019k a =往回推，然后根据11a =以及{}n a 的递推公式逐项递推可得出k 的值.【详解】由题设知，()0n a n *>∈N ，又因为11a =，且当n 为偶数时，1n a >，当()1n n >为奇数时，()110,1n n a a -=∈，因为30119k a =>，所以，k 为偶数，由3019k a =往回推可得30111981138523121191911118833322→→→→→→→→→→→→，即1236714282913258312223338a a a a a a a a =⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=5859118119238118191130811111919a a a a a ⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=.因此，238k =.故答案为.238关键点点睛：解本题的关键在于根据数列的递推公式进行逆向推导，确定数列的值取目标值时的推导过程，然后逐项推导可得k 的值.二、单选题11．若[]x 表示不大于x 的最大整数，则函数()[]12f x x x =--的零点个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【正确答案】D 【分析】取12x k =+，Z k ∈，[]=x k ，此时()11022f x k k =+--=，得到答案.【详解】取12x k =+，Z k ∈，则[]=x k ，此时()[]1110222f x x x k k =--=+--=，即函数()[]12f x x x =--的零点是12k +，Z k ∈，有无数个.故选：D12．用数学归纳法证明：()2222222112213n n n +++++++=（n 为正整数）从k 到1k +时，等式左边需增加的代数式是（）A ．22(1)k k ++B ．222(1)k k k +++C ．2(1)k +D ．21k +【正确答案】A【分析】取1n k =+和n k =带入左式相减得到答案.【详解】等式左边需增加的代数式是：()()222222222222122111221k k k k +++++++⎡⎤++⎣+++-⎦+++ 22(1)k k =++.故选：A13．已知()y f x =是定义在[]3,4上的严格减函数，若()32f =，()40f =，那么其反函数()1y f x -=是（）A ．定义在[]0,2上的严格增函数B ．定义在[]0,2上的严格减函数C ．定义在[]3,4上的严格增函数D ．定义在[]3,4上的严格减函数【正确答案】B【分析】求出函数()1y f x -=的定义域，利用函数与其反函数单调性相同可得出结论.【详解】因为()y f x =是定义在[]3,4上的严格减函数，若()32f =，()40f =，则当34x ≤≤时，()02f x ≤≤，因为函数()y f x =在定义域[]3,4上的单调性与其反函数()1y f x -=在定义域[]0,2上的单调性相同，故函数()1y f x -=是定义在[]0,2上的严格减函数.故选：B.14．定义在正整数集上的函数()122100100f x x x x =-+-++- ，其最小值是（）A ．99010B ．99050C ．99080D ．99160【正确答案】C【分析】计算出()f x 的解析式中绝对值的个数，利用倒序相加法可知在()2f x 中，最中间的两项为7171x x -+-和7171x x -+-，利用绝对值三角不等式可知，当71x =时，()f x 取最小值，然后计算出()71f 即可.【详解】因为函数()f x 的解析式中绝对值的个数为()100110012310050502+++++=，设a b ≥，则()()x a x b x a x b a b -+-≥---=-，当且仅当b x a ≤≤时，等号成立，()122100100f x x x x =-+-++- ，①()10010099991f x x x x =-+-+- ，②①+②可得()21100210021001001f x x x x x x x x x =⎡-+-⎤+⎡-+-⎤+⎡-+-⎤++⎡-+-⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，因为()17070505012702485252522+⨯+++==<=，()17171505012712556252522+⨯+++==>= ，所以，在()2f x 中，最中间的两项为7171x x -+-和7171x x -+-，所以，由绝对值三角不等式可得()()()()()21001100210021001f x ≥-+-+-++- 当且仅当71x =时，等号成立，所以，()()()()()()min 711711271271717110010071f x f ==⨯-+⨯-++⨯-++- ()()()()22222212707112707273100727310071=+++⨯-+++++++-+++⨯ 1764903511679521651417707499080=-+-=.故选：C.关键点点睛：解本题的关键在于将绝对值两两配对，确定最中间两项，结合绝对值三角不等式求解.三、解答题15．已知函数()11f x x =--，[]0,2x ∈.(1)请用分段表示法把该函数写为(),01,12x f x x ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩的形式；(2)画出()f x 的大致图象并写出()f x 的单调区间.【正确答案】(1)(),012,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩(2)作图见解析，函数()f x 的增区间为[]0,1，减区间为[]1,2【分析】（1）分01x ≤≤、12x <≤两种情况化简函数()f x 的解析式即可；（2）根据（1）中函数()f x 的解析式可作出函数()f x 的图象，利用函数()f x 的图象可写出函数()f x 的增区间和减区间.【详解】（1）解：当01x ≤≤时，()()1111f x x x x x =--=--=-=，当12x <≤时，()()111122f x x x x x=--=--=-=-，所以，(),012,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩.（2）解：作出函数()f x的图象如下图所示：由图可知，函数()f x 的增区间为[]0,1，减区间为[]1,2.16．已知数列{}n a 满足.()117,3122n n a a a n -==-≥(1)求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；(2)求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S 的表达式.【正确答案】(1)证明见解析；(2)11333,22n nn n na S +-+=+=；【分析】（1）由等比数列的定义证明即可；（2）由（1）得出数列{}n a 的通项公式，再由等差和等比的求和公式计算n S .【详解】（1）由题意可知131,1n n a a n +=-≥，1111313()2223111222n n n n n n a a a a a a +----===---所以数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以3为首项，公比为3的等比数列.（2）由（1）可知，132n n a -=，即132n n a =+前n 项和13(13)331322n n n n n S +--+=+=-.17．已知a ∈R ，函数()21f x ax x=+，()(),00,x ∈-∞⋃+∞.(1)判断()f x 的奇偶性，并证明你的判断；(2)当12a ≥时，判断()f x 在区间[)1,+∞上的单调性并证明你的判定.【正确答案】(1)当0a =时()f x 为奇函数；当0a ≠时()f x 为非奇非偶函数；证明见解析；(2)严格增函数，证明见解析；【分析】（1）判断出当0a =时()f x 为奇函数；当0a ≠时()f x 为非奇非偶函数，然后利用函数奇偶性的定义可证得结论成立；（2）判断出当12a ≥时，()f x 在区间[)1,+∞上为增函数，然后任取1x 、[)21,x ∈+∞且12x x >，作差()()12f x f x -，因式分解并判断()()12f x f x -的符号，结合函数单调性的定义可得出结论.【详解】（1）解：当0a =时()f x 为奇函数；当0a ≠时()f x 为非奇非偶函数，证明如下：当0a =时，()1f x x=，()(),00,x ∈-∞⋃+∞，()()1f x f x x-=-=-，此时函数()f x 为奇函数；当0a ≠时，()21f x ax x=+，()(),00,x ∈-∞⋃+∞，对任意的0x ≠，()21f x ax x-=-，则()()f x f x -≠，()()f x f x -≠-，此时函数()f x 为非奇非偶函数.综上所述，当0a =时()f x 为奇函数；当0a ≠时()f x 为非奇非偶函数，（2）解：当12a ≥时，()f x 在区间[)1,+∞上为增函数，证明如下：任取1x 、[)21,x ∈+∞且12x x >，()()()()221212121212121211x x f x f x ax ax a x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+- ⎪⎝⎭⎝⎭()()121212121ax x x x x x x x +--⎡⎤⎣⎦=，因为121x x >≥，12a ≥，则121x x >，122x x +>，所以，120x x ->，所以，()12121ax x x x +>，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以，当12a ≥时，函数()f x 在[)1,+∞上为增函数.18．某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与时刻x （时）的关系为()23214x f x a a x =-+++，[)0,24x ∈，其中a 是与气象有关的参数，且102a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．若用每天()f x 的最大值为当天的综合污染指数，并记作()M a ．（1）令21xt x =+，[)0,24x ∈，求t 的取值范围；（2）求()M a 的表达式，并规定当()2M a ≤时为综合污染指数不超标，求当a 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．【正确答案】（1）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）答案见解析，50,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）当0x =时，得到0=t ；当024x <<时，11t x x =+，利用对勾函数性质可求得10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，取并集得到结果；（2）由（1）可将()f x 化为()33034231442a t t a g t t a a t a a t ⎧-+≤≤⎪⎪=-++=⎨⎪++<≤⎪⎩，得到()g t 的单调性后，可知最大值在0=t 或12t =处取得；分别在104a ≤≤和1142a <≤两种情况下确定()g t 的最大值，即()M a ，由()2M a ≤得到不等式，解不等式求得结果.【详解】（1）当0x =时，0=t 当024x <<时，11t x x=+12x x+≥ （当且仅当1x x =，即1x =时取等号），又0x →时，1x x +→+∞[)12,x x∴+∈+∞110,12t x x ⎛⎤∴=∈ ⎥⎝⎦+综上所述：10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知：令21x t x =+，则10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当10,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()33034231442a t t a f x g t t a a t a a t ⎧-+≤≤⎪⎪==-++=⎨⎪++<≤⎪⎩，，当[]0,t a ∈时，()g t 单调递减；1,2t a ⎛⎤∈ ⎝⎦时，()g t 单调递增又()3034g a =+，1524g a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()110222g g a ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭①当104a ≤≤时，1202a -≤()1524M a g a ⎛⎫∴==+⎪⎝⎭由()2M a ≤得：34a ≤10,4a ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦②当1142a <≤时，1202a ->()()3034M a g a ∴==+由()2M a ≤得：512a ≤15,412a ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦综上所述：当50,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，综合污染指数不超标本题主要考查了利用给定函数模型求解实际问题，涉及到函数值域的求解、根据函数性质求解不等式等知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．数列{}n a 中，已知()12121,,n n n a a a a k a a ++===+对任意*N n ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S .(1)若15,2a k ==，求数列{}n a 的通项公式；(2)若11,2a k ==-，求2023S 的值；(3)是否存在实数a 和k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项1,m m a a +，2m a +按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有实数a 和k 的值；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)43n a n =-；(2)-2021；(3)存在，12a =-或22,5a k =-=-；【分析】（1）确定{}n a 是等差数列，得到11a =，214d a a =-=，再求出通项公式；（2）求出33a =-，确定321n n n n a a a a ++++=+，()32023121011S a a a =++，计算得到答案；（3）根据条件，可得1112,,m m m m m m a a a a a a -+++===，考虑1m a +，m a ，2m a +分别为等差中项三种情况，计算得到答案.【详解】（1）()1211,22n n n k a a a ++==+，即122n n n a a a ++=+，所以{}n a 是等差数列，又11a =，公差21514d a a =-=-=，所以43n a n =-；（2）当11,2a k ==-时，()1212n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--，所以()211n n n n a a a a ++++=-+，所以()32211n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+，又2132a a a =--，所以33a =-，所以()123202313232021011120222021a a a a a a a S =+++=++=-=- .（3）数列{}n a 是等比数列，则{}n a 公比1121211,,,m m m m m m a q a a a a a a a a -+++==≠===，若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，112m m m a a a +-=+，即221a a =+，解得1a =（舍去）；若m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，112m m m a a a -+=+，即22a a =+，解得2a =-（1a =舍去），此时11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++；若2m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，112m m m a a a +-=+，即221a a =+，解得12a =-（1a =舍去），此时11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++，综上所述，12a =-或22,5a k =-=-.。
上海市杨浦区2024届高三下学期二模质量调研数学试卷(解析版)
杨浦区2023学年度第二学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷一、填空题1.已知集合()0,4A =，()1,5B =，则A B = ________.【答案】()1,4A B = 2.抛物线28y x =的准线方程为________.【答案】2x =-3.计算2i3i -=+________（其中i 为虚数单位）.【答案】1122i-4.已知1sin 3α=，则cos 2α=________.【答案】2217cos 212sin 1239αα⎛⎫=-=-⨯=⎪⎝⎭5.已知二项式()101x +，其展开式中含2x 项的系数为________.【答案】110r r r T C x +=，令2r =，21045C =6.各项为正的等比数列{}n a 满足：12a =，2312a a +=，则通项公式为n a =________.【答案】22231112602a a a q a q q q q +=+=⇒+-=⇒=或3q =-（舍），故112n nn a a q-==7.正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AB 与1DC 所成角的大小为________.【答案】4π8.若函数()()21,0,,0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则函数()y f x =，()0,x ∈+∞的值域为________.【答案】当()0,x ∈+∞时，()1()()2112xx f x g x -⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭，所以值域为()0,19.设复数1z 与2z 所对应的点为1Z 与2Z ，若11i z =+，21i z z =⋅，则12Z Z =________.10.有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有________种.【答案】125460C P =11．某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于32米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为________.4(21)404821123n m n +-==⨯⨯，因为n 和21m n +-中一个奇数一个偶数，故可能综上所述：134根占用场地面积最小.12.已知实数a 满足：①[)0,2a π∈；②存在实数(),2b c a b c π<<<，使得a ，b ，c 是等差数列，cos b ，cos a ，cos c 也是等差数列.则实数a 的取值范围是________.【答案】设公差为m ，由题意：2cos cos cos a b c =+⇒2cos()cos cos()b m b b m -=++⇒cos()cos cos()cos()b m b b m b m --=+--⇒二、选择题13.下列函数中，在区间()0,+∞上为严格增函数的是（）A.()ln f x x =-B.()1f x x =- C.()12xf x =D.()1f x x=-【答案】D14.已知实数a ，b ，c ，d 满足：0a b c d >>>>，则下列不等式一定正确的是（）A.a d b c +>+B.ad bc> C.a c b d+>+ D.ac bd>【答案】C15.某区高三年级3200名学生参加了区统一考试.已知考试成绩X 服从正态分布()2100,N σ（试卷满分为150分）.统计结果显示，考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为（）A.350B.400C.450D.500【答案】B16.平面上的向量a 、b 满足：3a = ，4b =，a b ⊥ .定义该平面上的向量集合{},A x x a x b x a x b =+<+⋅>⋅.给出如下两个结论：①对任意c A ∈ ，存在该平面的向量d A ∈ ，满足0.5c d -=②对任意c A ∈ ，存在该平面向量d A ∉ ，满足0.5c d -=则下面判断正确的为（）A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①正确，②正确D.①错误，②错误【答案】C 设(,)x m n = ，(3,0)a = ，(0,4)b =，2222(3)(4)6870m n m n m n ++<++⇒--<①340x a x b m n ⋅>⋅⇒->②三、解答题17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，P 为圆锥顶点，O 为底面中心，A，B ，C 均在底面圆周上，且ABC △为等边三角形.（1）求证：平面POA ⊥平面PBC ；（2）若圆锥底面半径为2，高为，求点A 到平面PBC 的距离.【答案】（1）连结AO 交BC 于点M ，PO BC AO BCBC PO AO O ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪=⎩面POA ，又BC ⊂面PBC ，所以平面POA ⊥平面PBC ；（2）作AH PM ⊥，又BC AH ⊥，BC PM M = ，则AH ⊥平面PBC .又1MO =，22PO =，3PM AM ==，得22AH =，所以点A 到平面PBC 的距离为22.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知()()sin 0f x x ωω=>.（1）若()y f x =的最小正周期为2π，判断函数()()2F x f x f x π⎛⎫=++⎪⎝⎭的奇偶性，并说明理由；（2）已知2ω=，ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若03f A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2a =，3b =，求c 的值.【答案】（1）由2T πω=知：1ω=，此时()()sin sin sin cos 22F x f x f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()()sin()cos()sin cos 2cos 0F x F x x x x x x -+=-+-++=≠；()()sin()cos()sin cos 2sin 0F x F x x x x x x --=-+---=-≠，所以()F x 非奇非偶（2）2ω=，则()sin 2f x x =，2sin(2)033f A A ππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以6A π=，由正弦定理得：3sin sin sin sin 4a b c B A B C ==⇒=，若B 为锐角，若B为钝角，19.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题6分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图：（1）求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分数；（2）独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率；（3）根据工人完成生产任务的工作时间，两种生产方式优秀与合格的人数填入下面的2×2列联表：第一种生产方式第二种生产方式总计优秀合格总计根据上面的2×2列联表，判断能否有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异？（22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++.其中n a b c d=+++，()2 3.8410.05Pχ≥≈）.（3）第一种生产方式第二种生产方式总计优秀21012合格181028总计202040差异20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点为()0,1A ，离心率2e =，过点()2,1P -的直线l 与椭圆Γ交于B ，C 两点，直线AB 、AC 分别与x 轴交于点M 、N .（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知命题“对任意直线l ，线段MN 的中点为定点”为真命题，求AMN △的重心坐标；（3）是否存在直线l ，使得2AMN ABC S S =△△？若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程；若不存在，请说明理由.（其中AMN S △、ABC S △分别表示AMN △、ABC △的面积）20x y +=21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）函数()y f x =、()y g x =的定义域均为R ，若对任意两个不同的实数a ，b ，均有()()0f a g b +>或()()0f b g a +>成立，则称()y f x =与()y g x =为相关函数对.（1）判断函数()1f x x =+与()1g x x =-+是否为相关函数对，并说明理由；（2）已知()e xf x =与()g x x k =-+为相关函数对，求实数k 的取值范围；（3）已知函数()y f x =与()y g x =为相关函数对，且存在正实数M ，对任意实数x ∈R ，均有()f x M ≤.求证：存在实数(),m n m n <，使得对任意(),x m n ∈，均有()()12024f xg x +≥-.【答案】（1）若()y f x =与()y g x =不为相关函数对，则()()0f a g b +≤且()()0f b g a +≤，则()()()()0f a g b f b g a +++≤，所以只要()()()()0f a g b f b g a +++>即可当()1f x x =+，()1g x x =-+时，()()()()111140f a g b f b g a a b b a +++=+-+++-+=>，所以函数()1f x x =+与()1g x x =-+是相关函数对；（2）因为()e xf x =与()g x x k =-+为相关函数对，所以e e 20a ba b k -+-+>令()xt x e x =-，()1xt x e '=-，当0x >时，()0t x '>；当0x <时，()0t x '<，所以0x =是极小值点，()1t x ≥，所以e e 2220a b a b k k -+-+>+≥，所以1k ≥-。
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一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在正方体1111ABCD A B C D -中，与棱1AA 异面的棱有（ ） A ．8条B ．6条C ．4条D ．2条2．某小吃店的日盈利y （单位：百元）与当天平均气温x （单位：℃）之间有如下数据：x /℃2- 1-1 2 y /百元5 4 2 21对上述数据进行分析发现，y 与x 之间具有线性相关关系，则线性回归方程为（ ）参考公式：121,()ni ii nii x y nxyb a y bx x x ==-==--∑∑A ． 2.6y x =-+B ． 2.8y x =-+C ．2 2.6y x =-+D ．2 2.8y x =-+3．如图，,A B 两点为山脚下两处水平地面上的观测点，在,A B 两处观察点观察山顶点P 的仰角分别为,αβ，若1tan 3α=，45β=，且观察点,A B 之间的距离比山的高度多100米，则山的高度为（ ）A ．100米B ．110米C ．120米D ．130米4．已知圆关于直线成轴对称图形，则的取值范围A ．B ．C ．D ．5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A c B b =，7sin 4B =，57ABC S =△b =（ ） A ．23B ．27C 15D 146．在一段时间内，某种商品的价格x （元）和销售量y （件）之间的一组数据如下表： 价格x （元） 4 6 8 10 12 销售量y （件）358910若y 与x 呈线性相关关系，且解得回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率0.9b ∧=，则a ∧的值为（ ） A ．0.2 B ．-0.7 C ．-0.2 D ．0.77．一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积为（ ）A ．1232+B ．1262+C ．932+D ．962+8．执行下图所示的程序框图，若输出的0y =，则输入的x 为（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．0或e9．已知点P 为圆22: 1O x y +=上一个动点，O 为坐标原点，过P 点作圆O 的切线与圆221:2819O x y x y +--=相交于两点A,B ，则PAPB的最大值为（ ） A ．322+B ．5C ．37+D ．1433+ 10．若点()1,1A a a -+，(),B a a 关于直线l 对称，则l 的方程为（ ） A ．10x y -+= B ．10x y +-= C ．2210x y -+=D ．220x y +-=11．在等差数列{}n a 中，如果14736939,27a a a a a a ++=++=，则数列{}n a 前9项的和为( ) A ．297B ．144C ．99D ．6612．已知向量(),1a k =-，()3,4b =-，如果向量2a b +与3a b -平行，则实数k 的值为（ ） A ．14B ．34C ．14-D ．34-二、填空题：本题共4小题 13．设为第二象限角，若，则__________．14．圆225x y+=的一条经过点()2,1-的切线方程为______．15．已知在数列{}n a中，11a=，()11n nna n a+=+，则数列{}n a的通项公式______．16．设{}n a是公比为q的等比数列，1q>，令1(1,2,)n nb a n=+=，若数列{}n b有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q= .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．若数列{}n b满足：对于Nn*∈，都有2n nb b d+-=（为常数），则称数列{}n b是公差为d的“隔项等差”数列．（Ⅰ）若，{}n c是公差为8的“隔项等差”数列，求{}n c的前15项之和；（Ⅱ）设数列{}n a满足：1a a=，对于Nn*∈，都有12n na a n++=．①求证：数列{}n a为“隔项等差”数列，并求其通项公式；②设数列{}n a的前项和为，试研究：是否存在实数，使得成等比数列（）?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．18．如图，已知等腰梯形ABCD中，1//,2,2AD BC AB AD BC E===是BC的中点，AE⋂BD M=，将BAE∆沿着AE翻折成1B AE∆，使平面1B AE⊥平面AECD．（Ⅰ）求证：1CD B DM⊥平面；（Ⅱ）求二面角1D AB E--的余弦值；（Ⅲ）在线段1B C上是否存在点P，使得//MP平面1B AD，若存在，求出11B PB C的值；若不存在，说明理由．19．（6分）某工厂共有200名工人，已知这200名工人去年完成的产品数都在区间[2,22]（单位：万件）内，其中每年完成14万件及以上的工人为优秀员工，现将其分成5组，第1组、第2组第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6)，[6,10)，[10,14)，[14,18)，[18,22]，并绘制出如图所示的频率分布直方图.（1）选取合适的抽样方法从这200名工人中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数； （2）现从（1）中25人的样本中的优秀员工中随机选取2名传授经验，求选取的2名工人在同一组的概率.20．（6分）某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的化学成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50,60)，[60,70)，…，[]90,100后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求出这60名学生中化学成绩低于50分的人数；（2）估计高二年级这次考试化学学科及格率（60分以上为及格）；（3）从化学成绩不及格的学生中随机调查1人，求他的成绩低于50分的概率． 21．（6分）已知集合{}{}2|230,|4,1xA x x xB y y x =--<==≤. （Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若集合()C A B Z =⋂⋂，写出集合C 的所有子集. 22．（8分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，3B π=，13b =，3c =，D 为BC 的中点.（1）求AD 的长；（2）求sin ADB ∠的值.参考答案一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C 【解析】 【分析】在正方体12条棱中，找到与1AA 平行的、相交的棱，然后计算出与棱1AA 异面的棱的条数. 【详解】正方体共有12条棱，其中与1AA 平行的有111BB CC DD 、、共3条，与与1AA 相交的有1111AD AB A D A B 、、、共4条，因此棱1AA 异面的棱有11344--=条，故本题选C.【点睛】本题考查了直线与直线的位置关系，考查了异面直线的判断. 2．B 【解析】 【分析】计算出x ，y ，把数据代入公式计算，即可得到答案． 【详解】由题可得：2101205x --+++==，54221= 2.85y ++++=，5110402210i i i x y ==--+++=-∑，50xy =，521()4101410i i x x =-=++++=∑ ；所以51521510110()i ii ii x y xyb x x ==--===--∑∑， 2.8a y bx =-=，则线性回归方程为 2.8y x =-+； 故答案选B 【点睛】本题考查线性回归方程的求解，考查学生的计算能力，属于基础题． 3．A【解析】 【分析】设山的高度为x ，求出AB=2x ，根据2100AB PC x x x -=-==，求出山的高度. 【详解】设山的高度为x ，如图，由45β=，有BC x =.在Rt APC ∆中，33tan PCAC PC x α===，有32AB AC BC x x x =-=-=，又由观察点,A B 之间的距离比山的高度多100m ， 有2100AB PC x x x -=-==. 故山的高度为100m . 故选A 【点睛】本题主要考查解三角形的实际应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】根据圆关于直线成轴对称图形得，根据二元二次方程表示圆得，再根据指数函数的单调性得的取值范围． 【详解】 解：圆关于直线成轴对称图形，圆心在直线上，，解得又圆的半径，，故选：D ． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．利用正弦定理化简sin 5sin 2A c B b =，再利用三角形面积公式，即可得到,a c，由sin B =，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案． 【详解】 由于sin 5sin 2A c B b=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即52a c =由于在ABC中，sin B =，ABC S =△1sin 2ABCS ac B ==联立521sin 2sin a c ac B B ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：5a =，2c = 由于B为锐角，且sin B =，所以3cos 4B ==所以在ABC 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=，故b = 故答案选D 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题． 6．C 【解析】 【分析】由题意利用线性回归方程的性质计算可得a 的值. 【详解】 由于468101285x ++++==，35891075y ++++==，由于线性回归方程过样本中心点(),x y ，故：70.98a =⨯+， 据此可得：0.2a =-. 故选C. 【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质及其应用，属于中等题.数形结合，还原出该几何体的直观图，计算出各面的面积，可得结果. 【详解】 如图BCD ∆为等腰直角三角形，AO ⊥平面BCD根据三视图，可知2,3AO BC BD ===3432,DC AD AC ===点A 到BC 2235222⎛⎫+= ⎪⎝⎭点A 到BD 2235222⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以193322BCD S ∆=⋅⋅=， 1322322ACD S ∆=⋅=15153224ABD ABC S S ∆∆==⋅⋅=故该棱锥的全面积为915322123224+⨯=+故选：A 【点睛】本题考查三视图还原，并求表面积，难点在于还原几何体，对于一些常见的几何体要熟悉其三视图，对解题有很大帮助，属中档题. 8．C【解析】 【分析】根据程序框图,分两种情况讨论,即可求得对应的x 的值. 【详解】当输出结果为0y =时.当0x ≤,则0x y xe ==,解得0x = 当0x >,则ln 0xy x==,解得1x= 综上可知,输入的0x =或1x= 故选:C 【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,指数方程与对数方程的解法,属于基础题. 9．A 【解析】 【分析】作1O M AB ⊥交AB 于M ，连接,OP 设1O M x =，得BM =，MP =，进而P B P A =，换元m =n =1=1nm n m n m n PA PB m++=--，通过求得nm的范围即可求解【详解】作1O M AB ⊥交AB 于M ，连接,OP OPAB设1O M x =，则BM =，MP =∴P B P A =取m =n =∴1=1nm n m nm n PA PB m++=--. 显然(0,1)nm∈易知n m ==令1010t x x t =-⇒=+，2n m =≤，当且仅当8t 等号成立；此时12111112nPA m n n PmB m +==-+-+---∴max13PA PB ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭ 故选A 【点睛】本题考查圆的几何性质，切线的应用，弦长公式，考查函数最值得求解，考查换元思想，是难题 10．A 【解析】 【分析】根据A ，B 关于直线l 对称，直线l 经过AB 中点且直线l 和AB 垂直，可得l 的方程. 【详解】由题意可知AB 中点坐标是2121,22a a -+⎛⎫⎪⎝⎭， (1)1(1)AB a a k a a -+==---，因为A ，B 关于直线l 对称，所以直线l 经过AB 中点且直线l 和AB 垂直， 所以直线l 的斜率为11l ABk k -==， 所以直线l 的方程为212122a a y x +--=-， 即10x y -+=， 故选：A. 【点睛】本题考查直线位置关系的应用，垂直关系利用斜率之积为1-求解，属于简单题. 11．C 【解析】试题分析：14739a a a ++=，369a a a 27，∴a 4=13,a 6=9,S 9=1946()9()922a a a a +⨯+⨯==99考点：等差数列性质及前n 项和点评：本题考查了等差数列性质及前n 项和，掌握相关公式及性质是解题的关键． 12．B 【解析】 【分析】根据坐标运算求出2a b +和3a b -，利用平行关系得到方程，解方程求得结果. 【详解】由题意得：()223,6a b k +=+-，()39,11a b k -=-()()2//3a b a b +- ()()112369k k ∴+=--，解得：34k = 本题正确选项：B 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示问题，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题 13．【解析】 【分析】 先求出，再利用二倍角公式求的值.【详解】因为为第二象限角，若，所以.所以.故答案为【点睛】本题主要考查同角三角函数的平方关系，考查二倍角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 14．250x y -+=根据题意，设P 为()2,1-，设过点P 圆的切线为l ，分析可得P 在圆上，求出直线OP 的斜率，分析可得直线l 的斜率2k =，由直线的点斜式方程计算可得答案． 【详解】根据题意，设P 为()2,1-，设过点P 圆的切线为l ， 圆的方程为225x y +=，则点P 在圆225x y +=上， 则1122OP K ==--， 则直线l 的斜率2k =，则直线l 的方程为()122y x -=+，变形可得250x y -+=， 故答案为250x y -+=． 【点睛】本题考查圆的切线方程，注意分析点与圆的位置关系． 15．n a n = 【解析】 【分析】通过变形可知11n n a n a n++=，累乘计算即得结论． 【详解】∵（n+1）a n ＝na n+1，∴11n n a n a n++=， ∴11n n a n a n -=-，1212n n a n a n ---=-，…，2121a a =，n 2≥（）累乘得：11n a na =，n 2≥（） 又∵a 1＝1， ∴a n ＝n ， 故答案为：a n ＝n ． 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，利用累乘法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 16．9-【详解】考查等价转化能力和分析问题的能力,等比数列的通项,{}n a 有连续四项在集合{}54,24,18,36,81--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为32q =-，6q = -9. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。