人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径课件 (1)

3、圆是不是轴对称图形？对称轴是谁？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几 次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径
所在直线都是它的对称轴．
●O
思考
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
要点归纳：
根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直 线来说，如果具备：
① 经过圆心
② 垂直于弦 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对的优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧 那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他 三个结论。
即：有2就有3
讲解 垂径定理的应用
例3: 半径为５的圆中，有两条平行弦 AB 和CD，并且AB =６,CD=８，求AB 和CD间的距离.
C
.E
D
O
A FB (1)
A FB
C
.E D
O
(2)
做这类问题是，思考问题一定要 全面，考虑到多种情况.
巩固训练
(1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为
30 °,求弦 AB 的长.
直径是不是弦？弦是不是直径？ 圆中最长的弦是？
3、优弧与劣弧
小于半圆的弧（如图中的 ⌒AC）叫做劣弧；
大于半圆的弧（用三个字母表示，
⌒ 如图中的 ABC）叫做优弧.
B
O·
A
C
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条 弧，每一条弧都叫做半圆．
赵州石拱桥
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧 形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的 距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
小
结 1、从知识上学习了什么？
圆的轴对称性；垂径定理
２、从方法上学习了什么？
（１）垂径定理和勾股定理结合。 （２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线
——过圆心作垂直于弦的线段； ——连接半径。
• 例2 : 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O 是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且 OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
37.4
C
AD 1 AB 1 37.4 18.7, 7.2
2
2
OD OC DC R 7.2.
A 18.7 D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 (R 7.2)2.
解得 R≈27.9（m）.
R R-7.2
O
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
例1 如图，已知在⊙O中， 弦AB的长为8cm，圆心O到
A
AB的距离为3cm，求⊙O的
半径。
E
B
.
O
解 A ： 1
A 2 A E B O A 2 + O 2 = A E 5 E
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD, 那么C到AB的距离等1于㎝或9㎝
A
B
•
O
24.1.2 垂直于弦的直径
———（垂径定理）
1、什么是轴对称图形？举例
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互 相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
2、什么是中心对称图形？举例
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形 能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图 形。
垂径定理经常和勾股定理结合使用。
课堂讨论
①
根据已知条件进行推导： ②
③ ④ ⑤
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦
① ③
② ④ ⑤
① ④
③ ② ⑤
④平分弦所对优弧 ① ⑤平分弦所对劣弧 ⑤
③② ④③ ②
① ④ ⑤
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧。
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。
是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦
的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半
径(精确到0.1m).
如图，用 A表B示桥拱，A所B在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 A相B交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是A的B中点，CD就是拱高.
由题设知 AB 37.4,CD 7.2,
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为B M, M
A
N,且OM=2,0N=3,则A6B= , AC=4 ,OA= 13
ON C
5．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且 相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证四边形ADOE是正方形．
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
弧：Ａ⌒Ｃ＝Ｂ⌒Ｃ ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ A
C
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E B
D
想一想： 条件 CD为⊙O的直径 CD⊥AB
C
结论
AE=BE ⌒⌒ AC=BC ⌒⌒ AD=BD
.O
垂径定理：
A
E
B 垂直于弦的直径平分弦，
D
并且平分弦对的两条弧。
C
O
6O
A 30°
B
E
M
A
B
C
(2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分,
交点为 M , 求 弦 AB 的长.
（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米，
桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 4
米。
C
A
·D B O
课堂小结:
C
A
E
A
.O
B
O.
A
E C
D
B
M D B
.O
N
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥 (如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对
24.1 圆
（第2课时）
1、圆的概念
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个
端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的 距离等于定长r 的点的集合．
如何从集合的角度 对圆进行描述？
B
O·
2、弦
A
C
连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦，
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
解决有关弦的问题，经常是过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
课
堂 请围绕以下两个方面小结本节课：
小
结 1、从知识上学习了什么？
圆的轴对称性；垂径定理
２、从方法上学习了什么？
（１）垂径定理和勾股定理结合。 （２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线
——过圆心作垂直于弦的线段； ——连接半径。
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.
若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
A
O
┌E
D
D
600
C
B
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽 AB = 600mm，求油的最大深度.
A
O
┌E
D
D
600
C
A B
D
600
B
O ø650
C
课
堂 请围绕以下两个方面小结本节课：
解:连接OC.
设弯路的半径为Rm,则OF (R 90)m.
OE CD,
C
CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
E 根据勾股定理,得 OC 2 CF 2 OF 2 ,即
F
●
O
R2 3002 R 902.
D 解这个方程, 得R 545. 这段弯路的半径约为545m.
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧．
·O
题设
｝ （1）直径
（2）垂直于弦
结论 A
E
B
｛（3）平分弦
D
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
① CD是直径 可推得 ② CD⊥AB
③AE=BE,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
垂径定理三种语言
• 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
可推得
②CD⊥AB, ⌒⌒
④AC=BC,
⌒⌒ ⑤AD=BD.
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
D
B
O
C
A
C BC D
A
O
C
B
O
练习1
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等
的线段或相等的圆弧.
D
A
B
E
A
O
A
E
C A
CE
O
B B
C
O
O
E
C
D
AE
B
B
D
O
D D
O
AE
B
C
练习 2
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
C
A M└ ●O
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
B
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
⌒AD
⌒
=BD.
D
CD为直径 条件
CD⊥AB
CD平分弦AB 结论 CD平分弧ACB
CD平分弧ADB
C
推论：平分弦（不是直径）
的直径垂直于弦，并且平
·O
分弦所对的两条弧．
M
A
B
D
推论：
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
O
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm 。 A
E
B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
O
距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。
A
E
B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E
B
A
B
.
O.
O
E AC
D
B
方法归纳:
解决有关弦的问题时，经常连接半径； 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为 应用垂径定理创造条件。