最新76空间直线及其方程汇总
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cos s 1 s 2
s1 s2
s1
L1
L2
s2
m1m2n1n2p1p2
m12n12p12 m22n22p22
高等数学
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例5 求直线
L1:x11y4z1 3 和
L2:
xy2 z 2 2 1
的夹角.
解:
s22,2,1,
cos s1 s2 9 2 , π .
s1 s2
若与 :xyz0垂直
1 1 1 0 1
L
得平面 yz10
所以投影直线为
y x
z y
1 z
0 0
L
高等数学
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二、直线的对称式方程与参数方程
1 对称式方程
s 方向向量：如果一个非零向量平行于一条已知直线，
该向量叫做直线的方向向量. 注:
L
① 直线上任一向量都平行于其方向向量;
(1) L1L2 s1s2 m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 0
(2) (3)
LL11,/L/2L2重 合 s 1//sm21 mnm112
n1 pn12
p1 p2
求出与L 平行的向量
② 求s
的方法
取 L 上两点 A、B, 则可取s AB
n1
n2
③ s n1 , s n 2 , 则可取 sn1n2
高等数学
s
1 2
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设直线 L 过 M 0x0,y0,z0,一个方向向量 sm,n,p,
求直线的方程.
M x,y,z L则 M 0 M ( x x 0 , y y 0 , z z 0 ) s ,
i jk
s n1 n2 1 1 1 4i j 3k , 2 1 3
所以直线 的对称式方程为：
x
y 1 4
z
5 4
4 1 3
高等数学
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来自百度文库、两直线的夹角
两直线方向向量的夹角(通常取锐角)叫做两直线的夹角.
设直线 L 1 , L 2 的方向向量分别为
s2m 2,n2,p2
(2)L//sn A m B n C p 0 （特例：L）
例6 求过点 2,0,3
垂直的平面方程.
且与直线
x2y4z70 3x5y2z10
ij k
解: s 1 2 4 16i 1 4 j 11k n 3 5 2
所求平面为: 1 6 x 2 1 4 y 1 1 z 3 0
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小结：
1 空间直线方程
一般式
A1xB1yC1zD10 A2xB2yC2zD2 0
对称式
参数式
x y
x0 y0
mt nt
z z 0 p t
高等数学
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2 直线与直线的关系
直线
L1:
xx1yy1zz1,
m1
n1
p1
直线 L2:xm 2x2y n2y2z p2z2,
当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直线
的夹角 称为直线与平面的夹角.
设直线 L 的方向向量为 sm,n,p 平面 的法向量为 nA,B,C则
sL
n
sin
或
cos(s,n)sin
s n
AmBnCp
sn
m2n2p2 A2B2C2
高等数学
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注：(1) Ls//n A B C mn p
18 3 2
4
注：(1) L1L2 s1s2 m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 0
(2)
L1//L2
s1//s2
m1 m2
n1 n2
p1 p2
(3)
L1,L2 重合
m1 m2
n1 n2
p1 p2
且有一个公共点.
高等数学
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四、直线与平面的夹角
当直线与平面垂直时,规定其夹角为
从而 xx0 yy0 zz0
mn
p
直线的对称式方程 ( 或点向式方程 )
注: m,n, p不同时为零时, 叫做直线的一组方向数,
s 向量 的方向余弦叫直线的方向余弦.
①若
m 0, n 、p 0,
x x0 y y0 z z0
垂直于 x 轴
n
p
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类似地
所以所求直线方程为 x x 1 y y1 z z 1 . x 2 x1 y2 y1 z2 z1
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2 参数方程 设 xx0 yy0 zz0 t ,
mn p
得
xx0mt yy0nt 直线的参数方程 常用于求点的坐标
zz0pt
例3 求直线 x 12y13z 24与平面
y y0
x x0 z z0
m
p
z z0
xx0 yy0
mn
垂直于 y 轴
②若
mn0,
p
0,
x x0 y y0
z 任意
垂直于 z 轴 垂直于 xoy 平面
例2 求过点 M1x1,y1,z1和 M2x2,y2,z2的直线方程.
解: 取 s M1M2 x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1
76空间直线及其方程
高等数学
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例1 求直线
x yz 10 L: x yz 10
在平面
:xyz0
上的投影直线的方程.
解: 过直线 L 的平面束方程为
x y z 1 x y z 1 0
即 1 x 1 y 1 z 1 0
即 1 6 x 1 4 y 1 1 z 6 5 0
高等数学
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例7 求过点
M2,1,3且与直线
l:x1y1 z 3 2 1
垂直相交的直线方程.
解: 先作一过点 M 且与已知直线垂直的平面
3 x 2 2 y 1 z 3 0
再求已知直线与该平面的交点 N ,
x3t1
令 x1y1z t 3 2 1
y2t 1
zt
M
Nl
代入得 t 3 , 7
交点
N
2 7
, 13 , 7
3 7
,
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M2,1,3,N7 2,173,7 3
MN
172,
6, 7
24 7
6 7
2,1,4,
所求直线方程为 x2y1z3. 2 1 4
高等数学
2 x y z 6 0的交点.
解: 设 x2t, y3t, z42t,
代入平面方程得 t 1 所以交点坐标为 1,2,2
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例4 用对称式方程表示直线
xyz10 2xy3z40
解:
令x 0 0,
则
y0
1 4,z0
5, 4
得点
0
,
1 4
,
5 4
,
s n 1 1,1,1, s n2 2,1,3,
s1 s2
s1
L1
L2
s2
m1m2n1n2p1p2
m12n12p12 m22n22p22
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例5 求直线
L1:x11y4z1 3 和
L2:
xy2 z 2 2 1
的夹角.
解:
s22,2,1,
cos s1 s2 9 2 , π .
s1 s2
若与 :xyz0垂直
1 1 1 0 1
L
得平面 yz10
所以投影直线为
y x
z y
1 z
0 0
L
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二、直线的对称式方程与参数方程
1 对称式方程
s 方向向量：如果一个非零向量平行于一条已知直线，
该向量叫做直线的方向向量. 注:
L
① 直线上任一向量都平行于其方向向量;
(1) L1L2 s1s2 m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 0
(2) (3)
LL11,/L/2L2重 合 s 1//sm21 mnm112
n1 pn12
p1 p2
求出与L 平行的向量
② 求s
的方法
取 L 上两点 A、B, 则可取s AB
n1
n2
③ s n1 , s n 2 , 则可取 sn1n2
高等数学
s
1 2
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设直线 L 过 M 0x0,y0,z0,一个方向向量 sm,n,p,
求直线的方程.
M x,y,z L则 M 0 M ( x x 0 , y y 0 , z z 0 ) s ,
i jk
s n1 n2 1 1 1 4i j 3k , 2 1 3
所以直线 的对称式方程为：
x
y 1 4
z
5 4
4 1 3
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来自百度文库、两直线的夹角
两直线方向向量的夹角(通常取锐角)叫做两直线的夹角.
设直线 L 1 , L 2 的方向向量分别为
s2m 2,n2,p2
(2)L//sn A m B n C p 0 （特例：L）
例6 求过点 2,0,3
垂直的平面方程.
且与直线
x2y4z70 3x5y2z10
ij k
解: s 1 2 4 16i 1 4 j 11k n 3 5 2
所求平面为: 1 6 x 2 1 4 y 1 1 z 3 0
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小结：
1 空间直线方程
一般式
A1xB1yC1zD10 A2xB2yC2zD2 0
对称式
参数式
x y
x0 y0
mt nt
z z 0 p t
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2 直线与直线的关系
直线
L1:
xx1yy1zz1,
m1
n1
p1
直线 L2:xm 2x2y n2y2z p2z2,
当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直线
的夹角 称为直线与平面的夹角.
设直线 L 的方向向量为 sm,n,p 平面 的法向量为 nA,B,C则
sL
n
sin
或
cos(s,n)sin
s n
AmBnCp
sn
m2n2p2 A2B2C2
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注：(1) Ls//n A B C mn p
18 3 2
4
注：(1) L1L2 s1s2 m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 0
(2)
L1//L2
s1//s2
m1 m2
n1 n2
p1 p2
(3)
L1,L2 重合
m1 m2
n1 n2
p1 p2
且有一个公共点.
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四、直线与平面的夹角
当直线与平面垂直时,规定其夹角为
从而 xx0 yy0 zz0
mn
p
直线的对称式方程 ( 或点向式方程 )
注: m,n, p不同时为零时, 叫做直线的一组方向数,
s 向量 的方向余弦叫直线的方向余弦.
①若
m 0, n 、p 0,
x x0 y y0 z z0
垂直于 x 轴
n
p
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类似地
所以所求直线方程为 x x 1 y y1 z z 1 . x 2 x1 y2 y1 z2 z1
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2 参数方程 设 xx0 yy0 zz0 t ,
mn p
得
xx0mt yy0nt 直线的参数方程 常用于求点的坐标
zz0pt
例3 求直线 x 12y13z 24与平面
y y0
x x0 z z0
m
p
z z0
xx0 yy0
mn
垂直于 y 轴
②若
mn0,
p
0,
x x0 y y0
z 任意
垂直于 z 轴 垂直于 xoy 平面
例2 求过点 M1x1,y1,z1和 M2x2,y2,z2的直线方程.
解: 取 s M1M2 x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1
76空间直线及其方程
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例1 求直线
x yz 10 L: x yz 10
在平面
:xyz0
上的投影直线的方程.
解: 过直线 L 的平面束方程为
x y z 1 x y z 1 0
即 1 x 1 y 1 z 1 0
即 1 6 x 1 4 y 1 1 z 6 5 0
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例7 求过点
M2,1,3且与直线
l:x1y1 z 3 2 1
垂直相交的直线方程.
解: 先作一过点 M 且与已知直线垂直的平面
3 x 2 2 y 1 z 3 0
再求已知直线与该平面的交点 N ,
x3t1
令 x1y1z t 3 2 1
y2t 1
zt
M
Nl
代入得 t 3 , 7
交点
N
2 7
, 13 , 7
3 7
,
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M2,1,3,N7 2,173,7 3
MN
172,
6, 7
24 7
6 7
2,1,4,
所求直线方程为 x2y1z3. 2 1 4
高等数学
2 x y z 6 0的交点.
解: 设 x2t, y3t, z42t,
代入平面方程得 t 1 所以交点坐标为 1,2,2
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例4 用对称式方程表示直线
xyz10 2xy3z40
解:
令x 0 0,
则
y0
1 4,z0
5, 4
得点
0
,
1 4
,
5 4
,
s n 1 1,1,1, s n2 2,1,3,