最新76空间直线及其方程汇总
空间直线及其方程
M( x, y, z) L,
z s
L
有 M0M （x x0, y y0, z z0）
且 M0M// s
M0 o
M
y
即 x x0 y y0 z z0 x
m
n
p
直线的对称式方程 或点向式方程
说明:
在直线方程中某些分母为零时, 其分子也
理解为零.
例如
x2 y z5 002
再求已知直线与该平面的交点N, L
过M,N的直线L即为所求直线.
M
求交点：
L1
N
把已知直线化为参数方程
n1
x 3t 1
直线与平面的位置关系：
(1) L A B C . mn p
(2) L // Am Bn Cp 0.
例4 求过点(1,－2 , 4) 且与平面 垂直的直线方程.
解 取已知平面的法向量
n (2, 3, 1)
(1,－2 , 4)
n
为所求直线的方向向量.
则直线的对称式方程为
s1 s2 s1 s2
| m1m2 n1n2 p1 p2 |
m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
(2)
L1 //
L2
m1 n1 m2 n2
p1 , p2
一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线．
1 : A1 x B1 y C1z D1 0
2 :
A2 x B2 y C2z D2
0
z
空间直线及其方程
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1
y
2t
1.
z t
高等数学七⑥
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代入平面方程得 t 3 , 交点 N (2 ,13 , 3)
7
77 7
取所求直线的方向向量为 MN
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
空间直线的一般方程 x
z 1
2
L
o
2/28
y
高等数学七⑥
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1、方向向量
如果一非零向量平行于
一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．
2、直线的方程
z s
L
M
M0
M0( x0 , y0 , z0 ), M( x, y, z),
o
y
M L,
M0M// s
x
s {m, n, p}, M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
高等数学七⑥
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x x0 y y0 z z0mn Nhomakorabeap
直线的对称式方程
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
x 1 4t
参数方程
y
t
.
z 2 3t
高等数学七⑥
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例 2 一直线过点 A(2,3,4)，且和y 轴垂直相
空间直线及其方程
x1，y2，z2．
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
P
L
M
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
解 先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面 的方程为
直线L 的平面束方程．
通过直线L：
A1x A2 x
B1 y C1z D1 0, B2 y C2 z D2 0
的平面束方程
A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0．
L
例7
求直线
x y z 1 0, x y z 1 0
的方程．
在平面xyz0上的投影直线
与L的方向向量 s 平行．所以两向量的对应坐标成比例，由于
M 0M {xx 0，yy 0，zz 0}， s{m，n，p}， 从而有
z
s
M
x x0 y y0 z z0 ，
M0
m
n
p
此方程组就是直线 L 的方程，叫做 直线的对称式方程或点向式方程．
O
y
x
方向数： 直线的任一方向向量的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向
条直线的方向向量． z
确定直线的条件：
当直线L上一点M0(x0，y0，x0)
s
和它的一方向向量 s{m，n，p}
M0
为已知时，直线L的位置就完全确定了．
O
y
x
直线的对称式方程：
设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量 s {m, n, p}
空间直线及其方程
因此所求直线的方程为
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例7.6.3 求过 的交点且方向向量为
解：所给直线的参数方程为
与平面2x＋y＋z－6=0
的直线
x = 2 + t, y =3+t, z=4+2t, 代入平面方程中，得 2(2+t) + (3+t) + (4+2t)－6=0. 解得t =－1. 把求得的t值代入直线的参数方程中即，得 所求交点的坐标为 故所求直线方程为
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(2) 直线 l 的任一方向向量
直线的一组方向数, 而向量
角的余弦称为直线的方向余弦
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2. 直线的对称式方程与参数方程
已知直线上一点 任取直线上一点 和方向向量
则
即 向量式参数方程
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所以 坐标式参数方程
解: 先在直线上找一点.
令 x = 1, 代入直线方程得
解得
是直线上一点 .
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再求直线的方向向量
交已知直线的两平面的法向量为
因为直线与两平面的法向量垂直,所以可取
故所给直线的对称式方程为 参数式方程为
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所以投影直线的方程为
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x 5 y z 0, 例 7.6.7 求 通 过 直 线 且与平面 x z 4 0 π x 4 y 8 z 1 2 成0 角的平面． 4 解： 设所求的平面为 ( x 5 y z ) ( x z 4) 0 ，
7.6空间直线方程
二、线面间的位置关系
1. 两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 锐角
x − x1 y − y1 z − z1 直线 L1 : , = = m1 n1 p1 x − x2 y − y2 z − z 2 直线 L2 : , = = m2 n2 p2
A1 x + B1 y + C1z + D1 = 0
(1)
( A : A2 = B1 : B2 = C1 : C2 不成立) 1
(不唯一) 不唯一)
z
Π1
L
y
x
o
Π2
过直线 L 的平面有无穷多张 , 交面式方程只是其中 的两张 , 其余的平面是 : ( 称为过直线 的 称为过直线L 平面束 )
( A x + B1 y + C1z + D ) + µ( A2 x + B2 y + C2z + D2 ) = 0 1 1
第六节 空间直线及其方程
空间曲线的一般方程、参数方程． 空间曲线的一般方程、参数方程．
F( x, y, z) = 0 G( x, y, z) = 0
(t x = x(t ) y = y(t ) z = z(t )
一、空间直线方程
1. 一般式方程 直线可视为两平面交线， 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
2 13 3 因此 N ( , ,− ) 7 7 7
取所求直线的方向向量为 MN
2 13 3 12 6 24 MN = { − 2, − 1,− − 3} = {− , ,− }, 7 7 7 7 7 7
所求直线方程为
x − 2 y −1 z − 3 . = = 2 −1 4
空间直线与平面的方程
空间直线与平面的方程空间中的几何问题涉及到直线和平面的方程，这是解决问题的基础。
本文将介绍空间直线与平面的方程及其应用场景。
一、空间直线的方程空间中的直线可以由参数方程来描述，即通过给定的参数来确定直线上的点。
一条空间直线可以用以下形式的参数方程表示：x = x_0 + aty = y_0 + btz = z_0 + ct其中，(x_0, y_0, z_0) 是直线上的一点，而 a、b、c 是直线的方向向量的三个分量。
t为参数，代表直线上的任意一点。
这样的参数方程可以覆盖直线上的所有点。
二、空间平面的方程类似于直线，空间中的平面也可以通过一般方程或者点法向式方程来描述。
平面的一般方程形式为 Ax + By + Cz + D = 0，其中 A、B、C 是平面法向量的三个分量，(x, y, z) 是平面上的任意一点，D 是常数项。
通过给定 A、B、C 和 D 的值，可以确定一个唯一的平面。
如果已知平面上的一个点 P_0 和法向量 N，我们可以使用点法向式方程来表示平面方程。
点法向式方程的形式为：N · (P - P_0) = 0其中，N 是法向量，·表示向量的点积，(P - P_0) 是平面上的任意一点向量。
三、空间直线与平面的关系空间中的直线和平面可能有不同的关系。
下面介绍几种常见的情况：1. 直线在平面内或与平面重合：当直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线将与平面相交于一点，或者直线与平面重合。
根据直线的参数方程和平面的一般方程或点法向式方程，我们可以求解出直线与平面的交点或者判断直线是否与平面重合。
2. 直线与平面平行：当直线的方向向量与平面的法向量平行但不重合时，直线与平面平行。
在这种情况下，直线与平面没有交点。
根据直线的参数方程和平面的一般方程或点法向式方程，我们可以得到判断直线与平面平行的条件。
3. 直线与平面相交于一点：当直线的方向向量既不与平面法向量垂直，也不与平面法向量平行时，直线与平面将相交于一点。
空间直线的方程与相交关系
空间直线的方程与相交关系空间直线是三维空间中最基本的几何概念之一。
在数学中，我们可以通过方程来描述直线的性质和相交关系。
本文将介绍空间直线的方程表示及其相交关系。
一、点向式和参数方程空间直线常用的表达方式有点向式和参数方程。
1. 点向式空间直线的点向式方程可以用一个点P和一个方向向量v来表示。
设直线上一点为P(x1, y1, z1)，方向向量为v(a, b, c)，则该直线的点向式方程为：(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c)其中t为参数，表示直线上的任意一点。
2. 参数方程空间直线的参数方程可以通过将点向式方程中的变量表示成参数的形式得到。
设直线上一点为P(x1, y1, z1)，方向向量为v(a, b, c)，则该直线的参数方程为：x = x1 + aty = y1 + btz = z1 + ct其中t为参数，表示直线上的任意一点。
二、直线的相交关系在空间中，两条直线可以存在不同的相交关系。
下面将介绍常见的相交关系。
1. 相交于一点如果两条直线有且只有一个交点，称这两条直线相交于一点。
例如，考虑直线L1和L2，L1的点向式方程为(x, y, z) = (1, 2, 3) +t(2, -1, 1)，L2的点向式方程为(x, y, z) = (-1, 0, 1) + s(1, 1, 1)。
我们可以通过求解方程组来确定两条直线的交点：1 + 2t = -1 + s，2 - t = s，3 + t = 1 + s。
解方程组得到s = 1，t = 1，代入直线L1或L2的参数方程中可以得到交点为P(3, 1, 4)。
2. 平行不重合如果两条直线有相同的方向向量，但不重合于同一条直线上，称这两条直线平行不重合。
例如，考虑直线L1的点向式方程为(x, y, z) = (1, 2, 3) + t(2, -1, 1)，直线L2的点向式方程为(x, y, z) = (-1, 0, 1) + t(2, -1, 1)。
空间直线及其方程
7.8 空间直线及其方程7.8.1空间直线方程的几种形式1．空间直线的一般式方程空间直线L 可看作是两个平面π与π的交线（图7.37）设有平面1π： 01111=+++D z C y B x A 和平面2π： 02222=+++D z C y B x A若},,{1111C B A n =与},,{2222C B A n =不平行，则平面1π与平面2π相交，那么空间直线L 上的点的坐标同时满足平面1π与平面2π的方程，即满足方程组⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A （1）反过来，若点M 不在直线上，则它的坐标不可能即满足平面1π的方程，又满足平面2π的方程，所以M 的坐标不满足方程组（1），因此直线L 可用方程组（1）来表示，称方程组为空间直线的一般方程或交面式方程.由于通过直线L 的平面有无数个，其中任何两个平面方程的联立都表示直线L 的方程,因此空间直线的方程不是唯一的，例如方程组⎩⎨⎧==00y x 与⎩⎨⎧=-=+0y x y x 都表示z 轴。
2，空间直线的点向式方程假如已知一点和一个不为零的向量},,{p n m s =那么通过已知点且平行于已知向量的直线在空间的位置就可以完全确定，已知非零向量s 叫做直线的方向向量.设空间直线通过点),,(0000z y x M ，且直线的方向向量为（图7.38）,下面求直线的方程.在直线L 上任取一点),,(z y x M ,由题意知,向量M 0与s 平行,而},,{0000z z y y x x M M ---= 所以pz z n y y m x x 000-=-=- (2) 即在直线上L 的点的坐标满足方程（2）.反过来若M 不在直线上，则M M 0与不平行，从而点M 的坐标不满足（2），所以（2）式就是我们所求的直线L 的方程，称（2）为直线的点向式方程或标准式方程或对称式方程.方程（2）中如果p n m ,,三数中有一个为零或两个为零,如0=m ,此时式子pz z n y y x x 0000-=-=- 应理解为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=p z z n y y x x 000若0==n m ,此时式子 pz z y y x x 00000-=-=- 应理解为 ⎩⎨⎧==0y y x x若一直线通过两点),,(1111z y x M ,),,(2222z y x M ,则此直线的方向向量可取为 },,{12121221z z y y x x M M ---==于是通过21,M M 两点的直线方程为121121121z z z z y y y y x x x x --=--=-- (3)我们称（3）式为直线的两点式方程.若设t pz z n y y m x x =-=-=-000,则得到 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 (4)方程组（4）称为空间直线的参数式方程，其中t 为参数.例1求过点)3,2,1(-,方向向量}2,1,2{-=的直线方程. 解 代入(2)式得直线的点向式方程; 231221-=-+=-z y x 它的参数方程是:⎪⎩⎪⎨⎧+=--=+=t z t y t x 23221也可以写成两面交线的形式:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-+=-23121221z y y x 或⎩⎨⎧+-=++=+-342421z y y x例2一直线通过点)2,0,1(-M ，且垂直于平面032=+-z y x ，求此直线的对称式方程和参数方程.解 所求直线与一平面垂直，则直线的方向向量与平面的法向量平行，故可取}3,1,2{-==,代入（2）式得直线的对称式方程为:321021+=--=-z y x 直线的参数方程为:⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=+=t z t y t x 3221直线方程的几种形式之间可以互化，由标准方程可写出一般式方程和参数方程.下面的例子说明直线的一般方程可以化为标准方程.例3用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x （5） 解 求直线的标准方程，需要求出直线上一个点和直线的方向向量.首先求直线上一点),,(000z y x ，方程（5）中两个方程三个未知数，可有无穷多组解，任意选定000,,z y x 中的一个为已知，例如可以取10=x ,代入方程（5）得 ⎩⎨⎧=--=+632z y z y解这个二元一次方程组得2,000-==z y ，于是求出)2,0,1(0-M 为直线上一点. 其次求出直线的方向向量,因为所求直线是平面1π:01=+++z y x 及平面2π:0432=++-z y x 的交线,所以直线同时垂直于1π与2π的法向量，故可取}3,1,4{1121--=-=⨯=n n代入（2）式得直线的对称式方程为：32141-+=-=-z y x 令 t z y x =-+=-=-32141即得所给直线的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=t z t y tx 3241注意在本题中也可以用另一种方法得对称式方程，例如再设01=x 代入方程（5）得⎩⎨⎧=++-=++04301z y z y解之得45,4111-==z y ，因此又得直线上的另一点)45,41,0(1-M ，由于向量10M M 平行于直线，因此可取}43,41,1{10-==M M ，于是所求直线方程为4324111+==--z y x 即32141+==--z y x 7.8.2两直角的夹角空间两直线可相交也可不相交，两直线的夹角是指两直线的方向向量的夹角.设有两条直线:1L :111111p z z n y y m x x -=-=- 1L :222222p z z n y y m x x -=-=- 它们的方向向量分别为},,{1111p n m s =、},,{2222p n m s =，于是计算两直线之间夹角θ的公式为222222212121212121cos pn m pn m p p n n m m ++++++==θ （6）由此得到若直线1L 与直线2L 互相垂直，即1s 垂直于2s 的充分必要条件是 0212121=++p p n n m m若直线1L 与直线2L 平行，即1s 平行于2s 的充分必要条件是212121p p n n m m == 例4求两直线121123--=+=-z y x 和112713+=+=+z y x 间的夹角. 解 代入公式（6）得21121)1(121)1(2112cos 222222=++-++⨯-+⨯+⨯==θ 所以 3πθ=或π32.例5直线⎪⎩⎪⎨⎧+=-=+=tz t y t x 22332与⎪⎩⎪⎨⎧+=-==t z t y t x 25416平行还是垂直?解 两直线的方向向量分别为}1,2,3{1-=s 和}2,4,6{2-=,显然1s 与2s 平行,所以,两直线平行.必须注意,若两条直线的方向向量平行,则两直线平行.若两直线的方向向量不平行,则两直线或相交或为异面直线，须区别这两种情形.7.8.3直线和平面的夹角直线和它在平面上的投影直线所成的两邻角中的任何一个均可定义为直线与平面的夹角θ(图7.39).这两个角互为补角，它们的正弦相等，我们不妨规定20πθ≤≤.设直线L:pz z n y y m x x 000-=-=- 平面π: 0=+++D Cz By Ax求它们的夹角，直线L 的方向向量},,{p n m =，平面π的法向量},,{C B A =，s 与n 的夹角为θπ-2或θπ+2，又因为)2cos()2cos(sin θπθπθ+=-=，而)2cos()2cos(θπθπ+=-=所以 222222sin pn m CB A Cp Bn Am ++++++=θ （7）特别，若直线L 垂直于平面π，即平行于，其充分必要条件是pC n B m A == 若直线L 与平面π垂直，即垂直于，其充分必要条件是 0=++Cp Bn Am图7.39例6 当B A ,为何值时，平面086=+++z By Ax 与直线314321+=-+=+z y x 垂直. 解 平面的法向量为}6,,{B A n =,直线的方向向量为}3,4,2{-=s ,若直线与平面垂直必有3642=-=B A 解得 8,4-==B A例7 求过点)4,2,1(-且与平面0432=--+z y x 垂直的直线方程.解 由于所求直线与平面0432=--+z y x 垂直,所以直线的方向向量s 与向量}1,3,2{-=n 平行,故可取}1,3,2{-==n s ,所求直线的方程为143221--=+=-z y x 总结上两节对平面和直线的讨论可知，建立平面和直线方程的条件是，对于直线只须知道其通过的一个点和它的方向向量，对于平面，只须知道其通过的一个点和它的法向量，建立方程时，若给出的是其它条件，应设法找出一个点并得到直线的方向量，或平面的法向量，求两直线或两平面的夹角都归结为求方向向量或法向量的夹角，它们互相垂直或平行的条件也就是两向量垂直或平行的条件.习题7-81． 求过点)1,2,3(和)3,3,4(的直线方程.2．求过点)3,0,2(-且与直线⎩⎨⎧-=-+=+-1253742z y x z y x 垂直的平面方程.3．求过点)2,1,3(-且通过直线321121-=-+=-z y x 的平面方程. 4．求满足下列条件的直线方程 （1）过点)3,1,4(-且平行于直线5123-==-z y x ;（2）经过点)4,4,3(-，方向角为πππ32,4,3; （3）过)4,2,0(且与两平面23,12=-=+z y z x 平行（4）过点)2,0,1(-且与平面0643=+-+z y x 平行，又与直线才垂直？？？？？？？？？？. 5．试确定下列各组中直线与平面间的关系.（1）3224,37423=--=-+=-+z y x zy x ; （2）8723,723=+-=-=z y x z y x ;（3）3,431232=++--=+=-z y x z y x .6．求直线⎩⎨⎧=+-=+-1239335z y x z y x 与直线⎩⎨⎧=++=-+18832322z y x z y x 的夹角的余弦.7．求点)0,2,1(-在平面012=+-+z y x 上的投影.8．求点)2,1,3(-P 到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.。
空间直线方程
(1) (2)
A1x + B1 y + C1z + D1 + λ( A x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0,(3) 2
(A1 + λA )x + (B1 + λB2 ) y + (C1 + λC2 )z + (D + λD2 ) = 0, (4) 2 1
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例5.求直线
将 x0 = 2y0, z0 = −y0 代入上式 , 得
9 − 6 15 3 ∴ AB = ( , , − ) = (3, − 2, −5) 7 7 7 7 A(1 2,1) , 由点法式得所求直线方程 L2 x −1 y − 2 z −1 = = B(x0, y0, z0 ) 3 −2 −5
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第六节 空间直线及其方程
一、空间直线方程 二、线面间的位置关系
第七章 七
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一、空间直线方程
1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
z
(不唯一)
Π1
L
y
x
o
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Π2
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2. 对称式方程 已知直线上一点 M0 (x0, y0, z0 )和它的方向向量 设直线上的动点为 M(x, y, z) 则 故有
在平面
上的投影直线方程. x + y + z +1= 0 的平面束方程为 解:过直线 x − y + z +1= 0
7(6)空间直线及其方程
解令
x2 1
y3 1
z4 2
t
x 2 t y 3t z 4 2t
代入平面方程, 得
2 ( 2 t ) ( 3 t ) ( 4 2 t ) 6 0 t 1 再代入
得 x 1, y 2 , z 2 .
2
2
2
两直线的夹角公式
17
空间直线及其方程
两直线的位置关系: (两直线垂直、平行的条件)
L 1 : s 1 ( m 1 , n 1 , p 1 ), L2 : s2 ( m 2 , n2 , p2 )
(1 ) (2)
L 1 L 2 m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 0 , L1
令
x x0
m n x x 0 mt 故 y y 0 nt z z pt 0
直线的参数方程
直线方程的几种形式可以互相转换.
4
空间直线及其方程
x x0 m
过两点作直线
y y0 n
z z0 p
例 求过两点M1(1,2,3),M2(2,6,5)的直线方程. 解 向量 M 1 M 2 与直线平行
则直线的一个方向向量为:
M 1M
2
( x 2 x 1 , y 2 y1 , z 2 z1 )
于是对称式方程可写成:
x x1 x 2 x1 y y1 y 2 y1 z z1 z 2 z1
6
空间直线及其方程
例 一直线过点 A ( 2 , 3 , 4 ), 且和 y 轴垂直相交
3 8 z 3 x 2 y 0 1 0 x ,y 7 7 z 2x y 0 2 0
7-6第六节 空间直线及其方程
所求平面和已知平面夹角为π/3,则(n·n1)= π/3或2 π/3 因为n·n1=|n||n1|cos(n·n1),n1=2i+j-√5k,我们得到
高 等 数 学 电 子 教 案
2A + B − 5C A2 + B2 + C2
2
1 C=0 2A + B 1 = → = 22 +1+ 5 2 10( A2 + B2 ) 2
两直线的方向向量分别为S1和S2
i S1 = 1
j 2
k i j k −1 = i − 2 j − 3k .S2 = 2 −1 1 = − j − k 1 1 −1 1
1 −1
学 数
S1 = {1, −2, −3}, S 2 = {0, −1, −1}
于平面和直线平行由,即平面的法向量和两直线方向向量垂直
5 2 7
=
5 2 7
ϕ = cos −1 故两直线的夹角为
高 等 数 学 电 子 教 案 四 直线与平面的夹角
n L φ θ π 1,定义: 直线与它在平面上的投影直线的夹角 θ(0≤θ≤π/2)叫做直线与平面的夹角. 设直线L的方程是 x − x0 y − y0 z − z0 = = . m n p
学 数
和直线 L2 : x − x2 = y − y2 = z − z2 . m2 n2 p2
高 等 数 学 电 子 教 案
它们的方向向量为
n1 = {m1, n1, p1}; n2 = {m2 , n2 , p2}
根据两向量的夹角余弦公式,可得到直线L1和 L2 的夹角余弦
公式
cosϕ =
m1m2 + n1n2 + p1 p2 m +n + p
空间直线及其方程
x −2 y − 3 z −4 = = =t 解 令直线方程 1 1 2
得 x=2+t y=3+t z=4+2t （ 1） 代入平面π方程， 代入平面π方程， 2+t +(3+t)+(4+2t)得 2（2+t）+(3+t)+(4+2t)-6=0 整理得5t= 5,即t=5t=整理得5t=-5,即t=-1 t=- 代回方程组（ 将t=-1代回方程组（1）有x=1,y=2,z=2. 即点（ 即点（1，2，2）为该直线与已知平面的交点
cosϕ =
m m2 + n1n2 + p1 p2 1 m +n + p
2 1 2 1 2 1
m +n + p
2 2 2 2
2 2
两个结论： 两个结论：
1 若 线 1与 2平 ， 有 、 直 L L 行 则
m n p 1 1 1 L // L ⇔ = = 1 2 m n p 2 2 2
2 若 线 1与 2垂 ， 有 、 直 L L 直 则
M0
s s1
L1
因 s平 s1可 s = {2,1,-5}; 为 行 取
又因为直线L过点M0 (4,-1,3)， 又因为直线 过点 ， 故，所求直线方程L为： 所求直线方程 为
x −4 y +1 z −3 = = 2 1 −5
直线与平面位置关系两个结论： 直线与平面位置关系两个结论：
1.若直线 与平面π平行， n⊥s， 1.若直线 L与平面π平行，则 n⊥s，于是
L//π ⇔mA+nB+ pC = 0
L // π图示 图示
x − x0 y − y0 z − z0 = = L： m n p
空间解析几何直线及其方程
物理现象建模
解析几何可以用于建立物理现象的数学模型， 如力学、电磁学、光学等领域的模型。
空间解析几何的应用 解析几何在几何图形研究中的应用
三维建模
解析几何在计算机图形学中广泛应用于三维建模，通过坐标系和方程可以构建各种形状 的三维模型。
光照和阴影
解析几何可以用于计算光照和阴影效果，使三维模型更加逼真。
04
直线与平面的关系
直线与平面的位置关系
直线与平面相交
直线与平面有且仅有一个 公共点，即直线上的所有 点都在平面外。
直线与平面平行
直线与平面没有公共点， 即直线上的所有点都在平 面内或平面外。
直线与平面重合
直线上的所有点都在平面 上，即直线是平面的子集。
直线与平面垂直的条件
如果直线的方向向量与平面的法向量 正交，则直线与平面垂直。
坐标平面
与三个坐标轴分别平行的 三个平面，即$xOy$平面、 $yOz$平面和$zOx$平面。
向量与向量的模
定义
向量是由起点和终点确定的，表 示有方向的线段。向量的模表示 该线段的长度。
模的计算
向量的模等于起点和终点之间的 距离，记作$| vec{AB} | = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$。
几何图形的性质研究
解析几何通过引入坐标系和方程，可以方便地研究几何图形的性质，如面积、周长、形状等。
几何变换
解析几何中的坐标变换可以应用于几何图形的变换，如平移、旋转、缩放等，有助于理解图形的变换 规律。
空间解析几何的应用 解析几何在几何图形研究中的应用
运动轨迹计算
解析几何可以用于计算物体在空间中的运动 轨迹，如行星的运动轨迹、抛物线的运动轨 迹等。
《高等数学》第七章 6空间直线及其方程
1,3,10.
4,1,1
131,3,1.
在L1上任取一点(3,0,-6),
则1： ( x 3) 3( y 0) (z 6) 0
即 x 3 y z 9 0,
L1
1
x 3y z 9 0
L:
4
x
y
z
1
. 0
L
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x 3y z 9 0
4 x
y
z
1
. 0
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L
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例7
求直线
2x L1 3x
4y z 0 y90
在平面 : 4x y z 1 内的投影直线L的方程.
解法取二s1：n先12求,s14,11的n方3程1,,31,1,00
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二、线面间的位置关系
1. 两直线的夹角
两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)
设直线 L1 , L2 的方向向量分别为
则两直线夹角 满足
cos s1 s2
s1 s2
L1
s1
L2
s2
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 n12 p12 m22 n22 p22
交已知直线的两平面的法向量为
s n1 , s n2 s n1 n2
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i jk
s n1 n2 1 1 1 (4, 1, 3) 2 1 3
故所给直线的对称式方程为 x 1 y
空间直线方程
C1z C2z
D1 D2
0 0
先在直线上任取一点。再求直线的方向向量。 uur
1 : A1 x B1 y C1z D1 0 nuu1r (A1, B1,C1) 2 : A2 x B2 y C2z D2 0 n2 ( A2 , B2 ,C2 )
x x
y 2z 2y z
1 1
0 0
的直线方程。
uur
uur
解 由题意有：nr1 r(1,1ur, 2), n2 (1, 2, 1)
r uur uur i j k
s n1 n2 1 1 2
1 2 1
r1 i
2 r 1 2 ur 1 1
定义 空间直线可看成两平面的交线．
1 : A1 x B1 y C1z D1 0 z 1
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
2
A1 x B1 y C1z D1 0
A2
x
B2
y
C2z
D2
0
L
o
y
x 空间直线的一般方程
二、空间直线的点向式方程与参数方程
上的投影。
-2
解 公共部分体在xoy坐标面的投-1影为圆面 0
x2 y2 ax2
1 2
y0
2 1.5
1
0.5
公共部分体在xoz坐标面的-02投-1影为
1
圆
x2 z2 a2
4 0 1
2
y0
-2 -1 0
1
2
2 1.5
空间曲线直线及方程
5. 直线的平面束方程
x y z 1 0
例9 求L : x y z 1 0在Π : x y z 0的投影直线
解：分析：关键是找过L且垂直于Π的平面Π0
由平面束方程, 设 Π0： y z 1) ( x y z 1) 0 (x
即： (1 ) x (1 ) y ( 1) z ( 1) 0 Π0 Π n0 n n0 n 0
1 (1 ) 1 (1 ) 1 ( 1) 0 1
即：Π0 : y z 1 0
x 1 y 2 z L: 0 1 1
例 7
2 x y z 4 0 Π1 将L： 化为对称式、参数式 x y z 1 0 Π2
x 1 或： y 2 t —参数式 z t
例 7 2： 由原式消去z得：x 1 0 解法
第五节
空间曲线及其方程 空间直线及其方程
一、一般方程
空间曲线的一般方程为：
F ( x, y, z ) 0 是一条空间曲线 (7) G( x, y, z ) 0
即：可以看成是空间两条曲 面的交线： S1：F ( x, y, z ) 0, S2：G( x, y, z ) 0
*
注：空间曲线的方程不 唯一！
二、直线及其方程
1. 直线的一般方程
A1 x B1 y C1 z D1 0 — Π1 L： A2 x B2 y C2 z D2 0 — Π2
注：同一条直线可以用不同的相交平面得到。
—相交平面族
图略！
设直线L // s ，且过点M 0 ( x0 , y0 , z0 ), s (m, n, p)
空间及其直线方程省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
因所求直线与两平面旳法向量都垂直
取
s n1 n2 {4,1,3},
对称式方程 x 1 y z 2 , 4 1 3
x 1
z 2 3t
解题思绪: 先找直线上一点;
再找直线旳方向向量.
三、两直线旳夹角
定义 两直线旳方向向量旳夹角.（锐角）
直线 L1 : 直线 L2 :
(2)
L1 //
L2
m1 m2
n1 n2
p1 , p2
例如，直线 L1 : 直线 L2 :
s1 {1,4, 0}, s2 {0,0,1},
s1
s2
0,
s1 s2 ,
即 L1 L2 .
例2. 求下列两直线旳夹角
L1 :
x 1 y z 3 1 4 1
L2 :
x y2 z 2 2 1
所以对于任何一种 值，方程(13)旳系数：
A1 λA2、B1 λB2、C1 λC2 不全为零， 从而方程(13)表达一种平面， 若一点在直线L上，则点旳坐标必满足方程(a),因而 也满足方程(b)，故方程(b)表达经过直线L旳平面，
而且对于不同旳 值，方程(b)表达经过直线L
旳不同旳平面.
代入得与所给平面垂直旳平面(称为投影平面)旳方程为
2y 2z 2 0 即 y z 1 0
所以投影直线旳方程为
y z 1 0, x y z 0.
内容小结
1. 空间直线方程
一般式
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
对称式 x x0 y y0 z z0
o
y
M L,
M0M // s
x
s {m, n, p}, M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
D76空间直线37143
而 AB (x0 1, y0 2, z0 1) L1 3(x0 1) 2( y0 2) (z0 1) 0
将 x0 2 y0 , z0 y0 代入上式 , 得
AB ( 9 , 6 , 15) 3 (3, 2, 5)
77 7 7
由点法式得所求直线方程
A(1,2,1)
x 1 y 2 z 1 3 2 5
x0 y0
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3. 参数式方程
设 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
得参数式方程 :
x x0 mt y y0 nt z z0 pt
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例1.用对称式及参数式表示直线
解:先在直线上找一点.
令 x = 1, 解方程组
故所求直线方程为 x 1 y 2 z 1 3 2 5
方法2 利用所求直线与L2 的交点 .
设所求直线与L2的交点为 B(x0 , y0 , z0 ),
则有
x0 2
y0
z0 1
即
x0 2 y0 , z0 y0
A(1,2,1) L2
B(x0 , y0 , z0 )
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面的法向量为 n, 则所求直线的方向向量 s s1 n , n
因原点 O 在 L2 上, 所以
A
i jk n s2 OA 2 1 1 3 i 3 j 3k O
L2 s2
121
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待求直线的方向向量
i jk
s s1 n 3 2 1 3(3 i 2 j 5 k) 3 3 3
ns L
sn
Am Bn C p
空间直线点向式方程
空间直线点向式方程空间直线是指在三维空间中的一条直线。
空间直线的点向式方程是用一个已知点和一个方向向量表示直线的方程。
本文将围绕空间直线的点向式方程展开讨论。
一、空间直线的定义空间直线是指在三维空间中的一条直线，它由无穷多个点组成。
空间直线具有无限延伸性，并且在三维空间中的任意两点都可以确定一条唯一的直线。
二、点向式方程的定义点向式方程是一种表示空间直线的方法，它使用一个已知点和一个方向向量来确定一条直线。
点向式方程的一般形式为：P = P0 + t·V其中，P是直线上的任意一点，P0是直线上的已知点，V是直线的方向向量，t是参数。
三、点向式方程的意义点向式方程通过已知点和方向向量的组合，可以确定一条直线在三维空间中的位置和方向。
通过改变参数t的值，可以得到直线上的所有点。
四、点向式方程的求解方法1. 确定已知点P0和方向向量V：已知直线上的两个不重合点A和B，可以通过向量AB得到方向向量V，再确定一个已知点P0。
2. 构建点向式方程：根据已知点P0和方向向量V，使用点向式方程的一般形式P = P0 + t·V构建方程。
3. 求解参数t：通过给定的条件，可以求解参数t的值，从而确定直线上的点。
五、点向式方程的应用点向式方程在几何学和物理学中有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，可以使用点向式方程来表示和绘制三维模型中的直线。
在物理学中，可以使用点向式方程来描述物体在三维空间中的运动轨迹。
六、点向式方程与其他表示方法的转换点向式方程与其他表示方法之间可以进行相互转换。
例如，可以通过已知点和方向向量求解参数t，从而得到直线的对称式方程和标准式方程。
同时，也可以通过直线的对称式方程和标准式方程来确定已知点和方向向量。
七、示例分析以一个具体的例子来说明点向式方程的应用：已知直线L过点A(1, 2, 3)且平行于向量V(2, 1, -1)，求直线L的点向式方程。
解：已知直线L过点A(1, 2, 3)且平行于向量V(2, 1, -1)，可以得到直线L的方向向量为V(2, 1, -1)。
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例6 求过点 2,0,3
垂直的平面方程.
且与直线
x2y4z70 3x5y2z10
ij k
解: s 1 2 4 16i 1 4 j 11k n 3 5 2
所求平面为: 1 6 x 2 1 4 y 1 1 z 3 0
即 1 6 x 1 4 y 1 1 z 6 5 0
高等数学
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例7 求过点
M2,1,3且与直线
l:x1y1 z 3 2 1
垂直相交的直线方程.
解: 先作一过点 M 且与已知直线垂直的平面
3 x 2 2 y 1 z 3 0
再求已知直线与该平面的交点 N ,
2 x y z 6 0的交点.
解: 设 x2t, y3t, z42t,
代入平面方程得 t 1 所以交点坐标为 1,2,2
高等数学
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例4 用对称式方程表示直线
xyz10 2xy3z40
解:
令x 0 0,
则
y0
1 4,z0
5, 4
得点
0
,
1 4
,
5 4
,
s n 1 1,1,1, s n2 2,1,3,
cos s 1 s 2
s1 s2
s1
L1
L2
s2
m1m2n1n2p1p2
m12n12p12 m22n22p22
高等数学
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例5 求直线
L1:x11y4z1 3 和
L2:
xy2 z 2 2 1
的夹角.
解:
s22,2,1,
cos s1 s2 9 2 , π .
s1 s2
从而 xx0 yy0 zz0
mn
p
直线的对称式方程 ( 或点向式方程 )
注: m,n, p不同时为零时, 叫做直线的一组方向数,
s 向量 的方向余弦叫直线的方向余弦.
①若
m 0, n 、p 0,
x x0 y y0 z z0
垂直于 上页 下页 返回 结束
类似地
x3t1
令 x1y1z t 3 2 1
y2t 1
zt
M
Nl
代入得 t 3 , 7
交点
N
2 7
, 13 , 7
3 7
,
高等数学
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M2,1,3,N7 2,173,7 3
MN
172,
6, 7
24 7
6 7
2,1,4,
所求直线方程为 x2y1z3. 2 1 4
高等数学
求出与L 平行的向量
② 求s
的方法
取 L 上两点 A、B, 则可取s AB
n1
n2
③ s n1 , s n 2 , 则可取 sn1n2
高等数学
s
1 2
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设直线 L 过 M 0x0,y0,z0,一个方向向量 sm,n,p,
求直线的方程.
M x,y,z L则 M 0 M ( x x 0 , y y 0 , z z 0 ) s ,
当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直线
的夹角 称为直线与平面的夹角.
设直线 L 的方向向量为 sm,n,p 平面 的法向量为 nA,B,C则
sL
n
sin
或
cos(s,n)sin
s n
AmBnCp
sn
m2n2p2 A2B2C2
高等数学
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注：(1) Ls//n A B C mn p
y y0
x x0 z z0
m
p
z z0
xx0 yy0
mn
垂直于 y 轴
②若
mn0,
p
0,
x x0 y y0
z 任意
垂直于 z 轴 垂直于 xoy 平面
例2 求过点 M1x1,y1,z1和 M2x2,y2,z2的直线方程.
解: 取 s M1M2 x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1
若与 :xyz0垂直
1 1 1 0 1
L
得平面 yz10
所以投影直线为
y x
z y
1 z
0 0
L
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二、直线的对称式方程与参数方程
1 对称式方程
s 方向向量：如果一个非零向量平行于一条已知直线，
该向量叫做直线的方向向量. 注:
L
① 直线上任一向量都平行于其方向向量;
i jk
s n1 n2 1 1 1 4i j 3k , 2 1 3
所以直线 的对称式方程为：
x
y 1 4
z
5 4
4 1 3
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三、两直线的夹角
两直线方向向量的夹角(通常取锐角)叫做两直线的夹角.
设直线 L 1 , L 2 的方向向量分别为
s2m 2,n2,p2
所以所求直线方程为 x x 1 y y1 z z 1 . x 2 x1 y2 y1 z2 z1
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2 参数方程 设 xx0 yy0 zz0 t ,
mn p
得
xx0mt yy0nt 直线的参数方程 常用于求点的坐标
zz0pt
例3 求直线 x 12y13z 24与平面
(1) L1L2 s1s2 m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 0
(2) (3)
LL11,/L/2L2重 合 s 1//sm21 mnm112
n1 pn12
p1 p2
18 3 2
4
注：(1) L1L2 s1s2 m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 0
(2)
L1//L2
s1//s2
m1 m2
n1 n2
p1 p2
(3)
L1,L2 重合
m1 m2
n1 n2
p1 p2
且有一个公共点.
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四、直线与平面的夹角
当直线与平面垂直时,规定其夹角为
76空间直线及其方程
高等数学
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例1 求直线
x yz 10 L: x yz 10
在平面
:xyz0
上的投影直线的方程.
解: 过直线 L 的平面束方程为
x y z 1 x y z 1 0
即 1 x 1 y 1 z 1 0
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小结：
1 空间直线方程
一般式
A1xB1yC1zD10 A2xB2yC2zD2 0
对称式
参数式
x y
x0 y0
mt nt
z z 0 p t
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2 直线与直线的关系
直线
L1:
xx1yy1zz1,
m1
n1
p1
直线 L2:xm 2x2y n2y2z p2z2,