差分方程组稳定性理论若干定理的推广
差分方程简介
42
29
7
10
c11 52 ,c12 52 ,c13 52 ,c21 52
故:an
1 52
42 29 n 7 n2
1n 10 2n
52
No. 10
定理3: 差分方程an b1an1 b2an2 bkank 0,bk 0 的特征方程 xk b1xk1 bk 0 的特征根出现一对共轭复根
5
n
No. 8
定理2：差分方程的特征方程有相异实根
x1,
x
,
2
...,
x
,
t
重数依次为：m1,m
2,...,m
t
且：m1+m2+...+mt=k,则方程的通解为：
a c n x c n x m1
j1 n m2
j1 n ...
n
1j
1
2j
2
j 1
j 1
c n x mt
j1 n
tj
j 1
c 为常数。 ij
盘移到空桩B或C上，但要求一次只能移动一个盘且移
动过程中，始终保持大盘在下，小盘在上，移动过程
中桩A也可利用，设移动n个盘的次数为 立关于的差分方程。
an
，试建
No. 2
解： 先将A上的n-1个盘按题设要求移到C上，
这需要移动 an1 次，再将A上的最大盘移到B
上，这需要一次，最后将C上的n-1个盘按要
an an* an
其中 an* 是对应齐次差分方程的通解，
an是非齐次差分方程的特解。
如何求非次差分方程的特解 an
参照常微分非齐次方程的解法.
No. 13
例3:
差分方程简介
差分方程简介
汇报人：
contents
目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势 、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该 模型可能不适用于所有经济情况。
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公式法
公式法的原理
01
通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述 。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率 ，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果 等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况 。
热传导方程差分格式的收敛性和稳定性【文献综述】
文献综述信息与计算科学热传导方程差分格式的收敛性和稳定性在实际研究物理问题过程中, 往往能给出问题相应的数学表达式, 但是由于实际物理问题的复杂性, 它的解却一般不容易求出. 由此计算物理应运而生, 计算物理是以计算机为工具, 应用数学的方法解决物理问题的一门应用性学科, 是物理、数学和计算机三者结合的交叉性学科. 它产生于二战期间美国对核武器的研究, 伴随着计算机的发展而发展.计算物理的目的不仅仅是计算, 而是要通过计算来解释和发现新的物理规律. 这一点它与传统的实验物理和理论物理并无差别, 所不同的只是使用的工具和方法. 计算物理早已与实验物理和理论物理形成三足鼎立之势, 甚至有人提出它将成为现代物理大厦的“栋梁”.在一个物理问题中一个数值解往往比一个式子更直观, 更有价值. 在实际求解方程时, 除了一些特殊的情况下可以方便地求得其精确解外, 在一般情况下, 当方程或定解条件具有比较复杂的形式, 或求解区域具有比较复杂的形状时, 往往求不到, 或不易求到其精确解. 这就需要我们去寻找方程的近似解, 特别是数值近似解, 简称数值解. 这里主要研究的是热传导方程.有限差分法是微分方程和积分微分方程数值解的方法. 其基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替, 这些离散点称作网格的节点;把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似, 积分用积分和来近似, 于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组, 即有限差分方程组, 解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解. 然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解.热传导的差分法是求解热传导方程的重要方法之一. 对于差分格式的的求解, 我们首先要关注差分格式的收敛性和稳定性. 对于一个微分方程建立的各种差分格式, 为了有实用意义, 一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程, 即相容性要求. 一个差分格式是否有用, 就要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解, 即收敛性的概念. 此外, 还有一个重要的概念必须考虑, 即差分格式的稳定性. 因为差分格式的计算过程是逐层推进的, 在计算第n ＋1层的近似值时要用到第n 层的近似值 , 直到与初始值有关. 前面各层若有舍入误差, 必然影响到后面各层的值, 如果误差的影响越来越大, 以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖, 这种格式是不稳定的, 相反如果误差的传播是可以控制的, 就认为格式是稳定的. 只有在这种情形, 差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解. 由Lax 等价定理告诉我们, 对于各适定的线性的初值问题, 对相容性的差分逼近来说, 稳定性则是差分方程的解收敛于微分方程的解的充分必要条件. 收敛是差分方程的本质要求, 稳定是差分方程的基本特性, 对于计算的问题来说, 数值稳定性事差分格式必须要具备的条件, 一个不稳定的差分格式, 即使其他方面有很多的优点, 也是不能用来计算的. 可见由于收敛性和稳定性的重要性, 对于他们的研究是非常具有价值的.热传导方程： 2222222.u u u u a t x yz ⎛⎫∂∂∂∂=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 一维热传导方程的初边值问题： 22200120(0,0),()(0),(),()(0).t x x l u u a x l t t x u x x l u t u t t ϕμμ===⎧∂∂==<<>⎪∂∂⎪⎪ =<<⎨⎪⎪⎪ = =>⎩ 用n j u , n j u t ∂⎛⎫ ⎪∂⎝⎭, 及22n ju x ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭分别表示初边值问题的解(,)u x t 及其偏导数(,)u x t t ∂∂及22(,)u x t x ∂∂在点(,)j n x t 之值, (,)j n x t 表示求解区域内网格节点. 当初边值问题的解在区域内部适当光滑时, 对任一区域内部的节点(,)j n x t 利用泰勒展开公式, 然后化简得到显示差分格式：1112200220,()()(1,,1),(),()(0,1,2,).n n nn n j j j j j j n n J U U U U U a t x U j x j J U n t U n t n ϕμμ++-⎧--+-=⎪∆∆⎪⎪=∆=⋅⋅⋅-⎨⎪⎪⎪=∆=∆=⋅⋅⋅⎩ 这里由于差分方程的解U 与原初边值问题的解u 一般是不同的, 故用不同的记号表示.明显的用上式近似热传导方程的初边值问题, 所忽略掉的项, 即截断误差是2()(())O t O x ∆+∆. 记22()t a x λ∆=∆ 其隐式格式： 111110012(12),()(1,,1),(),()(0,1,2,).n n n n j j j j j n n J U U U U U j x j J U n t U n t n λλλϕμμ+++-+⎧-++-=⎪⎪=∆=⋅⋅⋅-⎨⎪=∆=∆=⋅⋅⋅⎪⎩ 其中22()t a x λ∆=∆.参考文献[1] 谷超豪, 李大潜, 陈恕行等. 数学物理方程[M ]. 北京: 高等教育出版社, 2002.[2] 刘盾. 实用数学物理方程[M ]. 重庆: 重庆大学出版社, 1996.[3] 张锁春. 抛物型方程定解问题的有限差分数值计算[M ]. 北京: 科学出版社, 2010.[4] (美)哈伯曼. 实用偏微分方程[M ]. 北京: 机械工业出版社, 2007.[5] 陆金甫, 关治. 偏微分方程数值解法[M ]. 北京: 清华大学出版社, 2003.[6] K. W. Morton, D. F. Mayers. 偏微分方程数值解[M ]. 北京: 人民邮电出版社, 2006.[7] 戴嘉尊, 邱建贤. 微分方程数值解法[M ]. 南京: 东南大学出版社, 2002.[8] 徐琛梅. 一类非线性偏微分方程差分格式的稳定性分析[J ]. 江西科学, 2008,27(3) :227~230.[9] 张天德, 张希华, 王玮. 偏微分方程差分格式的构造[J]. 山东工业大学学报, 1997,26(2) :245~246.[10] P. Darania and A. Ebadian. A method for the numerical solution of integrodifferentialequations [J]. Applied Mathematics and Computation , 2007, 188(1): 657~668.[11] Yang Zhang. A finite difference method for fractional partial differential equation [J].Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009, 215(2):524~529.。
差分方程及其稳定性分析
差分方程及其稳定性分析随着科技的不断发展和应用，数学作为一门基础学科，得到了越来越广泛的应用。
其中，差分方程作为一种离散化的微积分，被广泛地运用于电子、天文、生物、经济等领域中的模型计算和分析。
本文将介绍差分方程的基本概念和常见类型，以及如何对其进行稳定性分析。
一、差分方程的基本概念差分方程是指在内插点上的函数值之间的关系方程，其通常形式为：$$x_{n+1} = f(x_n)$$其中，$x_{n}$ 表示第 $n$ 个内插点的函数值，$f$ 是描述$x$ 的随时间变化关系的任意函数。
当然，差分方程还可以有更多的变量和函数，形式也可以更加复杂。
二、差分方程的类型根据差分方程的形式和特征，可将其分为以下几种类型：1、线性差分方程线性差分方程的一般形式为：$$x_{n+1} = ax_n+b$$其中，$a,b$ 为常数，$x_n$ 为第 $n$ 个内插点的函数值。
线性差分方程的求解可以采用常数变易法、特征方程法、生成函数法等多种方法。
2、非线性差分方程非线性差分方程是指其中的关系函数 $f$ 不是线性函数。
一般来说，非线性差分方程更难于求解。
3、线性递推方程线性递推方程是指卷积和形式的一类差分方程。
其形式为：$$x_{n+k} = a_1x_{n+k-1} + a_2x_{n+k-2} + \cdots + a_kx_n$$其中，$a_1,a_2,\cdots,a_k$ 为常数。
三、稳定性分析差分方程作为一种离散化的微积分，常常代表系统的动态演化过程。
因此，判断差分方程的解在过程中是否保持稳定性非常重要。
下面将介绍两种常见的差分方程稳定性分析方法。
1、线性稳定性分析法线性稳定性分析法是指对线性差分方程的解进行稳定性分析。
对于一般型的线性差分方程：$$\Delta x_{n+1} = a\Delta x_n$$其中，$\Delta x_n = x_{n+1} - x_n$，$a$ 为常数。
通过求解特征方程 $r-1=ar$，求得 $a$ 的值，便可判断差分方程解的稳定性。
差分方程的基本知识(3)
差分方程模型的理论和方法1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。
通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。
差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。
通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。
实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。
差分方程模型有着非常广泛的实际背景。
在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。
可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。
3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。
或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。
在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。
cauchy—peano存在定理的推广
cauchy—peano存在定理的推广Cauchy-Peano存在定理（又称Peano-Kuratowski存在定理）说明了在满足适当条件的情况下，给出的微分方程组有一定的解。
该定理可以看作是一种框架，实际的解的存在取决于使用的条件。
Cauchy-Peano存在定理被广泛用于分析一个特定的系统，如果系统满足Cauchy-Peano存在定理的条件，就能确定微分方程组有一定的解。
它也可以用来分析非线性系统，因为它能够处理住和非线性方程组。
Cauchy-Peano存在定理作为一种数学理论，它是由Augustin Louis Cauchy于1823年提出，当时他发表了他的微分方程组研究结果，一年后Karl Weierstrass提出了明确的条件来确定微分方程组的解的存在性。
此后，Peano提出的一步优化的存在定理成为最新的成果，被广泛用于微分方程组的解存在性的分析。
Cauchy-Peano存在定理的推广是指，其实Cauchy-Peano的存在定理不仅仅可以用于微分方程。
它也可以用于一般的动力系统分析以及差分方程和积分方程组的求解。
这是因为存在定理可以提供一个框架，以便识别系统有解的条件以及如何从易于求解的特定方程式中推导出系统的解。
Cauchy-Peano存在定理的推广还可以把它应用到这些系统中一些更复杂的情况，比如多变量函数的分析，即可以同时解决多个方程组。
如果系统中变量的数量超过20个，就会变得非常困难，而存在定理的应用可以使整个系统的解决变得更加容易。
因此，我们可以总结出，Cauchy-Peano存在定理的推广即将其应用到更为广泛的情况，以确定动力系统有解的条件及如何解决复杂的方程组。
Cauchy-Peano存在定理的推广已经成为一种重要的数学理论，它可以更有效地with complex equation systems，从而给出解的存在性的结论。
雷布津斯基定理名词解释
雷布津斯基定理名词解释雷布津斯基定理又称简单贝塞尔定理，是数学的一个经典定理。
雷布津斯基定理又称简单贝塞尔定理。
雷布津斯基在《应用泛函分析学教程》中有以下一段话：“一切微分方程都可用差分方法或迭代方法求解。
对于高阶方程更是如此，当时并未发现这种方法有什么特殊之处，它们只不过是一些改变符号和使用有限的技巧的一般方法而已，现在，人们终于意识到了这一点，因而把它们从所谓的‘无穷级数’中分离出来。
”对于一元二次齐次线性微分方程组，由基尔霍夫定律知道： f(x)=0，方程组的通解是由a、 b、 c三点确定的向量；通解中的各元素之和等于零，即；代入一次齐次线性微分方程的通解中，可得到：，从已知的函数，雷布津斯基定理也有一个有趣的推广，是关于差分和迭代的定理：设有一个方程f(x)=x^2+2x-1，由于方程只含有一个未知函数，故只需作差分变换就可以得到原方程f'(x)=x^2-2x-1的通解。
这个通解就是差分方程的解。
其中，称为差分方程的原方程的“通解”。
是差分方程的一般解。
8、边界值问题是指某个函数，在区间上可导，但在该区间两侧的邻域内不一定可导。
9、利用极值解的对称性可得到极大值和极小值，又称为取极值。
10、泊松过程是最重要的齐次线性微分方程的解。
对于任意n次方程，如果f(n)>0，则称f(n)x为“泊松过程”。
例如，当n=0时，x是非零解；当n=1时， x是常数。
又如，当n=-1时， x是负的；当n=0时， x是正的。
11、函数可导的充分必要条件是存在一个定义在( 0， +∞)上的邻域A，使得每一点P对于A的每一点都有，并且，即：。
12、由雷布津斯基定理知道，一个微分方程的解具有连续性和可微性，因而其解能够无条件地逼近。
本章后续1、二阶方阵的欧拉方法()也叫拉格朗日乘子法，这是处理欧几里得空间形式系统的第一个重要方法，至今仍被广泛地采用。
其基本思想是：将矩阵变换成适当的阵，并对该阵作拉格朗日乘子，以使矩阵满足齐次线性微分方程组的通解的性质。
差分方程模型的稳定性分析
O175.11306052104Stability analysis of difference equation model分类号学号密级10722公开题目（中、英文）差分方程模型的稳定性分析作者姓名指导教师学科门类提交论文日期专业名称学校代码成绩评定党臭燕数学与应用数学王振华二零一六年六月理学咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）摘要微分方程是研究数学的一个重要分支，是本科期间我们必须掌握的基本知识，而本文我们研究的是一个递推关系式，也称差分方程。
它是一种离散化的微分方程，是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来建立模型的。
而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见，比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定，又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。
而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。
本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法，随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程，进而研究线性差分方程的稳定性，最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。
关键字：差分方程；差分方程模型；平衡点；稳定性差分方程模型的稳定性分析AbstractDifference equation is also called recursive equation,it is to describe the relationship between the number of objective things of a kind of important mathematical model.And the use of the differential equation model of the solution can be found everywhere in life.Such as cobweb model in the free market economy is to use the difference equation analysis when the economic stability,and as the financial problem of pension insurance breed difference equation is used to analysis the actual investment value.This paper gives the judge the stability of difference equation to judge method,then in the same group of sheep and grass under the environment of interaction analysis for the model a process,the number of the population change,in turn,study the stability of the linear difference equation.In the end,one practical model to better explain the stability of difference equation.Key words:Difference equation;Difference equation model;Balance point; Stability咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）目录摘要 (I)Abstract (II)目录 (III)引言 (1)1、差分方程的定义及其分类 (1)（1）差分算子： (1)2.差分方程的求解与稳定性判断方法: (2)（1）差分方程的求解： (2)（2）.差分方程的平衡解稳定性判断方法： (4)3.差分方程模型的应用： (4)3.1模型：种群模型 (4)3．11模型的引入与假设 (4)3．12线性差分方程模型的建立与求解 (5)3．13生态模型的平衡点及稳定性分析: (7)总结 (10)参考文献 (11)附录 (12)谢辞 (13)差分方程模型的稳定性分析咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）引言随着科学技术的不断发展，将数学思想融入实际生活解决社会问题变得非常普遍。
差分方程离散系统的z域分析法稳定性
0 对 应s平面的虚轴 z平面为单位圆
j j1
1 0
S平面
0 对应s左半平面 z平面为单位圆内
0 对 应s右 半 平 面 z平 面 为 单 位 圆 外 Z平面 Im
F(s) a s( s a )
求Z变换
解： F( s ) 1 - 1
s sa
f ( t ) 1 - e-at
F(
z
)
Z[
f
(
t
)]
1 1- z-1
-
1-
1 e -aT z -1
( 1 - e-aT ( 1 - z-1 )( 1 -
)z - 1 e-aT z -1
)
(
z
( 1 - e-aT )z - 1 )( z - e-aT
15
u( t )
1
0
uh( t )
1
0T
1 0 -1
零阶保持器的传递函数：
u( t )
零阶 uh ( t )
保持器
零阶保持器的单位脉冲响应可表示 为二个单位阶跃信号的叠加。
uh( t ) 1( t ) - 1( t - T )
单位脉冲响应的拉氏变换就是零阶
保持器的传递函数。
Gh (
s
)
1 s
n0
Z反变换为 Z -1 [ F ( z )] f ( t )
18
关于Z变换的几点说明：
Z变换的无穷级数表达式与信号在采样时刻的取值一一对
应。
F ( z ) f ( nT )z-n
差分格式的稳定性与收敛性
差分格式的稳定性与收敛性1 基本概念所谓稳定性问题是指在数值计算过程中产生的误差的积累和传播是否受到控制.在应用差分格式求近似解的过程中，由于我们是按节点逐次递推进行，所以误差的传播是不可避免的，如果差分格式能有效的控制误差的传播，使它对于计算结果不会产生严重的影响，或者说差分方程的解对于边值和右端具有某种连续相依的性质，就叫做差分格式的稳定性.差分格式的收敛性是指在步长h 足够小的情况下，由它所确定的差分解m u 能够以任意指定的精度逼近微分方程边值问题的精确解()m u x .下面给出收敛性的精确定义：设{}m u 是差分格式定义的差分解，如果当0h → 并且m u x →时，有()0m u u x -→，则称此格式是收敛的.2 差分方程的建立对于二阶边值问题'''()(),,(),(),Lu u q x u f x a x b u a u b αβ⎧≡-+=<<⎨==⎩ (1) 其中()q x 、[](),,()0.f x C a b q x ∈≥将区间[],a b 分成N 等份，记分点为,0,1,,,m x a mh m N =+=⋅⋅⋅ 这里步长b a h N-=.利用泰勒公式，得''1121[(()2()()]()m m m m m u x u x u x u x R h+--+=- (2) 其中 2(4)11(),(,)12m m m m m h R u x x ξξ-+=-∈(3) 把式(2)代入式(1)中的微分方程，有1121()[(()2()()]()()h m m m m m m L u x u x u x u x q x u x h+-≡--++ ()m m f x R =+ (4) 略去余项m R ，便得到(1)式中的微分方程在内部节点m x 的差分方程；再考虑到式(1)中的边界条件，就得到边值问题(1)的差分方程11201(2)()(),,,,h m m m m m m m N L u u u u q x u f x a x b h u u αβ+-⎧≡--++=<<⎪⎨⎪==⎩(5) 解线性代数方程组(5)，得()m u x 的近似值m u .01,,,N u u u ⋅⋅⋅称为边值问题(1)的差分解.从上面的推导过程可以看出，在节点m x 建立差分方程的关键是在该点用函数()u x 的二阶中心差商代替二阶导数，最后用差分算子h L 代替微分算子L 就产生差分方程(5).记 ()()()m m h m R u Lu x L u x =-，称()m R u 是用差分算子h L 代替微分算子L 所产生的截断误差.由式(2)，二阶中心差商代替二阶导数所产生的截断误差m R ，从式(4)和式(5)可以得出(())m h m m R L u x u =-，m R 称为差分方程（5）的截断误差.3 讨论差分方程组(5)的解的稳定性与收敛性引理3.1(极值原理) 设01,,,N u u u ⋅⋅⋅是一组不全相等的数，记01{,,,}N S u u u =⋅⋅⋅，11(),1,2,,1,h m m m m m m m L u a u b u c u m N -+=++=⋅⋅⋅- (6) 其中0,0,0,.m m m m m m b a c b a c ><<≥+(1) 若0(1,2,,1)h m L u m N ≤=⋅⋅⋅-，则不能在121,,,N u u u -⋅⋅⋅中取到S 中正的最大值；(2) 若0(1,2,,1)h m L u m N ≥=⋅⋅⋅-，则不能在121,,,N u u u -⋅⋅⋅中取到S 中负的最小值.证 首先用反证法证明(1).假设在121,,,N u u u -⋅⋅⋅中取到S 中正的最大值，记为M ,那么{}0max 0m m NM u ≤≤=>，由于S 中的数不全相等，一定存在某个(11)i i N ≤≤-,使得i u M =,并且1i u -与1i u +中至少有一个小于M .于是11()h i i i i i i i L u a u bu c u -+=++11i i i i i b M a u c u -+=++()0i i i b M a c M >++≥这与0h i L u ≤矛盾，从而（1）得证.同理可证明(2).现在运用极值原理论证差分方法的稳定性及收敛性.定理3.2 差分方程组(5)的解m u 满足{}111max ,()()max ,1,2,,1,2m m m m m N u x a b x f m N αβ≤≤-≤+--=⋅⋅⋅- (7) 证 把方程组 00,1,2,,1,,h m N L u m N u u αβ==⋅⋅⋅-⎧⎨==⎩和 0,1,2,,1,0h m m N L u f m N u u ==⋅⋅⋅-⎧⎨==⎩的解分别记为(1)m u 和(2)m u ，其中差分算子h L 由式(5)定义，则方程组(5)的解m u 为(1)(2)m m m u u u =+ (8)由极值原理可知 {}(1)max ,,1,2,,1m u m N αβ≤=⋅⋅⋅-. (9)接下来再估计(2)m u ，考虑差分方程11201(2),1,2,,1,0m m m N v v v M m N h u u +-⎧--+==⋅⋅⋅-⎪⎨⎪==⎩(10)其中 {}0max m m NM f ≤≤= 容易验证该微分方程是从边值问题'',()()0v M v a v b ⎧-=⎨==⎩ (11) 得到的，而在此边值问题的解是 ()()()2M v x x a b x =--. 因为()v x 是x 的二次函数，它的四阶导数为零，从式(2)、(3)看到()v x 在点m x 的二阶中心差商与''()m v x 相等，因此差分方程(10)的解等于边值问题(11)的解，即()()()02m m m m M v v x x a b x ==--≥. 另一方面，(2)(2)(2)(2)00()0,0,h m m h m h m m m m N N L v u L v L u q v M f v u v u ±=±=+±≥±=±=由极值原理可知 (2)0,m mv u ±≥ 即 (2)()(),1,2,, 1.2m m m m M u v x a b x m N ≤=--=⋅⋅⋅-(12) 综合式(8)、(9)、(12)就得到式(7).定理3.2表明差分方程(5)的解关于边值问题(1)的右端项和边值问题是稳定的，亦即当f 、α、β有一个小的改变时，所引起的差分解的改变也是小的.定理3.3 设()u x 是边值问题(1)的解，m u 是差分方程(5)的解，则22(4)()()max (),1,2,, 1.96m m a x b b a u x u h u x m N ≤≤--≤=⋅⋅⋅-(13) 证 记 ()m m m u x u ε=-，由式(3)、(4)、(5)可知0,1,2,,1,0,h m m N L R m N εεε==⋅⋅⋅-⎧⎨==⎩ 其中m R 由式(3)定义.从定理3.2得111()()max 2m m m m m N x a b x R ε≤≤-≤-- 22(4)()max ().96a xb b a h u x ≤≤-≤ 式(13)给出了差分方程(5)的解的误差估计，而且表明当0h →差分解收敛到原边值问题的解，收敛速度为2h .4 小结收敛性和稳定性是从不同角度讨论差分法的精确情况，稳定性主要是讨论初值的误差和计算中的舍入误差对计算结果的影响，收敛性则主要讨论推算公式引入的截断误差对计算结果的影响.使用既收敛有稳定的差分格式才有比较可靠的计算结果，这也是讨论收敛性和稳定性的重要意义.参考文献[1] 李瑞遐、何志东.微分方程数值方法,上海：华东理工大学出版社[2] 黄明游、冯果忱.数值分析（下册）北京：高等教育出版社，2008[3] 杨大地、王开荣.数值分析.北京：科学出版社，2006[4] 袁东锦.计算方法——数值分析.南京：南京师范大学出版社.2007[5] 李清扬等.数值分析(第4版).武汉：华中科技大学出版社.2006。
差分方程的稳定性
Ｙ （ ｋ＋１ ） ＝Ｇ （ ｋ ， Ｙ （ Ｉ ｊ ｝ ）＋ （ ）
一
Ｇ （ ｋ ， （ ｋ ） ）垒 Ｆ （ ｋ ， Ｙ （ ｋ ） ） Ｙ （ ｋ＋１ ） ＝Ｆ（ ｋ ， Ｙ （ ｋ ） ） （ ２ ）
所以方程组（ １ ）的解 （ ｋ ） 的稳定性等价于
零 解 的稳 定性．
ｌ ， （ ｋ ） ＝Ｘ（ ｋ ）一 （ ｋ ） 则方 程组 （ １ ）就化 为
要 条件是 ｒ （ Ａ）≤ １ ， 且 Ｉ Ａ Ｉ ＝１ 的特征 根只对 应
简 单 的初 等 因子． 定理 ３ 若ｒ （ Ａ ） ＞１ ， 则 差分 方程组 （ ４ ） 的 零解 是不稳 定 的．
Ｙ （ ｋ＋１ ） ＝厂 （ Ｙ （ 后 ） ）
定理 ６ ：
６ 。：
（ ６ ）
其中 则还有如下
ｃ。 ＝
ｌ ａ 口 ｏ ａ 口 。 ｎ ｌ ， ６ 。 ＝ ｌ １ 。 ７ ， ０ ｝ ， … ， ａ ０ Ｉ ｌ ６ ： ： 。 ： ｌ ， ｃ ＝ Ｉ ： 。 ｌ ， … ，
考虑常系数线性差分方程组
Ｉ ， （ ｋ＋１ ）＝Ａ ｔ （ ｋ ） 其 中 是 Ｘ ｎ阶 常数矩 阵． （ ４ ）
（ ｋ ）＝ｆ
．
Ｉ ，
ｒ ｇ 。 （ 后 ， （ 后 ） ， …， （ 后 ） ） ］
Ｌ ｘ （ 后 ） ｊ
Ｇ （ ｋ ， Ｘ （ ｋ ） ）＝Ｉ
１ ｒ （ Ａ） ＜ １时 ， 方程组 （ ５ ）的零 解 渐 近 稳
定； ２ ｒ （ Ａ ） ＝１ 时， 且对 应矩 阵 Ａ的模为 １ 的特
征根 只有 简单 的初 等 因子 时 ， 方程组 （ ５ ） 的零 解 是
稳定 的．
高等数学教学中差分方程的经济学拓展
高等数学教学中差分方程的经济学拓展随着经济学的发展，越来越多的经济现象需要通过数学方法进行分析和研究。
差分方程作为数学方法之一，可以描述经济系统中的动态变化和规律。
在高等数学教学中，差分方程也成为了重要的内容之一。
本文将从差分方程在经济学中的应用、差分方程在高等数学教学中的地位等方面进行探讨，并结合具体的例子进行说明。
一、差分方程在经济学中的应用差分方程是描述数列中相邻两项之间的关系的方程。
在经济学中，许多经济现象都可以用数列来描述，例如经济增长、通货膨胀、利率等。
差分方程可以用来描述这些现象的变化趋势和规律。
1. 经济增长经济增长是经济学中的一个重要概念，它描述的是一个国家或地区在一定时间内生产总值的增长情况。
经济增长可以用差分方程来描述。
假设一个国家的经济增长率为g，初始时刻的生产总值为y0，那么在下一个时刻，生产总值为y1=y0(1+g)。
同样，下一个时刻的生产总值为y2=y1(1+g)=y0(1+g)2。
以此类推，可以得到一个差分方程：y(t+1)=y(t)(1+g)其中，t表示时刻，y(t)表示时刻t的生产总值。
这个差分方程描述了在每个时刻，生产总值都会增加一个比例g。
2. 通货膨胀通货膨胀是指物价水平的持续上涨。
在经济学中，通货膨胀可以用价格指数来描述。
价格指数是一个数列，它表示某一商品或服务的价格在不同时期的变化情况。
假设某一商品的价格指数为p，初始时刻的价格为p0，那么在下一个时刻，价格为p1=p0(1+r)，其中r表示通货膨胀率。
同样，下一个时刻的价格为p2=p1(1+r)=p0(1+r)2。
以此类推，可以得到一个差分方程：p(t+1)=p(t)(1+r)其中，t表示时刻，p(t)表示时刻t的价格指数。
这个差分方程描述了在每个时刻，价格指数都会增加一个比例r。
3. 利率利率是指银行贷款或存款的利息率。
在经济学中，利率可以用复利公式来描述。
假设某一银行的利率为r，初始时刻的本金为P0，那么在下一个时刻，本金为P1=P0(1+r)。
差分方程稳定性
差分方程的稳定性
本节主要是介绍差分方程稳定性的知识 差分方程的平衡点及其稳定性的慨念与微分方程 的有关概念是一致的 ，例如一阶线形常系数差 分方程： （1） x k +1 + ax k = b , k = 0 ,1,... 的平衡点由 解得：
/ *
当 | f ( x ) |> 1
时，对于方程（11）， x *是不稳定的
的平衡点的稳定性和方程（7）相同
（10）
二阶方程的上述结果可以找到n阶线 形方程，即稳定平衡的条件是特征 方程—— n 次代数方程的根 λ i ( i = 1, 2 ,..., n ) 均有 | λ i |< 1 考虑到高阶方程和方程组的相互转化， 这个条件与（5）、Байду номын сангаас6）给出的结论是 一致的。
最后讨论一阶非线形差分方程
x k = ( a ) k x 0 , k = 1, 2 ,...
所以立即可知当且仅当
（3）
| a |< 1
（4）
时方程（2）的平衡点（从而方程（1）的平衡点） 才是稳定的
顺便指出， 顺便指出，
对于 n 维向量 x ( k ) 和 n × n 常数 矩陈 A 构成的方程组
x(k + 1) + Ax(k ) = 0
x k +1 = f ( x k )
的平衡点的稳定性
（11）
其平衡点 x *由代数方程 x = f ( x )解出。 为分析 x *的稳定性，将方程（ 11）的 右端在 x *点作泰勒展开，只取一 次项 （11）近似为
1微分方程与差分方程稳定性理论
如果 tlim x(t ) x0 , 则称平衡点P0是稳定的.
t
lim y(t ) y0 ,
下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别 准则. 设 f ( P0 ) f ( P0 ) f ( P0 ) g ( P0 ) x y p , q g ( P0 ) g ( P0 ) y x x y
微分方程定性分析
一般提法：不去积分给定的微分方程, 而根 据 方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整 个区域内的分布状态. 基本任务：考虑在有限区域内积分曲线的形状， 或研究当时间无限增大时, 积分曲线的性态. 研究对象：驻定系统 若微分方程组
dxi fi ( x1 , x2 , , xn ), i 1, 2,, n dt
2 2
微分方程的定性分析
随着科学技术的发展，常微分方程定性分析 在各个学科领域已成为必不可少的数学工具， 也是数学建模的必备基础理论. 一. 微分方程定性理论的基本任务和 主要研究方法 极少情况下，能够用初等函数或初等函 数的积分表示微分方程的解. 解 求微分方程的数值解 决 方 对微分方程进行定性分析 法
二阶常系数线性差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = r, 其中a, b, r为常数.
当r = 0时, 它有一特解 x* = 0； 当r ≠ 0, 且a + b + 1≠ 0时, 它有一特解 x*=r/( a + b +1). 不管是哪种情形, x*是其平衡点. 设其特征方
程
2 + a + b = 0 的两个根分别为 =1, =2.
来代替.
dx f ( x0 )( x x0 ) dt
差分分方程稳定性
若 lim x k x ,
* k
则称平衡点 x 是稳定的（渐进稳定);否则称
*
x 是不稳定的（不渐进稳定）。
*
(1)的平衡点的稳定性可转化为
x k 1 a x k 0, k 0,1, (2)
(2)的平衡点 ( x * = 0 ) 的稳定性问题。
方程(2)的解为
xk ( a ) x0 ,
A的 特 征 根 i ( i 1, 2, , n ) 均 有
(6 )
即均在复平面的单位圆内。这个结果可将A转化为对角阵得到。
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二阶线性常系数差分方程的平衡点及稳定性
考察
x k 2 a1 x k 1 a 2 x k 0,
*
k 0,1,
(7 )
* f ( x ) 1
(1 3)
时，对于非线性方程(11) x * 是稳定的。当
* f ( x ) 1
(1 4 )
*
时，对于非线性方程(11) x 是不稳定的。
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1 1, 2 1,
ห้องสมุดไป่ตู้
(9 )
(7)的平衡点才是稳定性的。
与一阶线性方程一样，非齐次方程
x k 2 a1 x k 1 a 2 x k b , k 0,1, (1 0 )
的平衡点的稳定性与(7)相同。
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n阶线性方程稳定性的相关结论可由二阶方程的上述结 果推广得到： n阶线性方程稳定平衡点的条件是特征根 （n次代数方程的根） i ( i 1, 2, n ) 均 有 i 1。
2.4_差分方程的相容性、收敛性和稳定性
• Lax定理：对于适定和线性的初值问题微分方程，若逼近它的差分方程和它
是相容的，则差分方程稳定性是差分方程收敛性的充分和必要条件。
• Lax定理可以形象地表示为：
稳定性
微分方程线性的、适定的 差分方程相容性
收敛性
• 计算实践表明，差分方程相容性是比较容易证明的，证明差分方程稳定性 也是有不少方法，而差分方程收敛性证明一般是比较麻烦的。Lax定理告诉 我们只要证明了差分方程稳定性，则该差分方程一定是收敛的，因此，我 们可以利用Lax定理通过证明差分方程稳定性来证明差分方程收敛性。
假定只有在节点（xj，tn）上存在误差
n j
，其他各节点的计算
误差为零，则若取r=0.8，则 n j 10 1 0 .8 10 n j0 3 .3 1 720 5 n j 。
由此可以看出，这个计算误差必定会将差分方程精确解原来面
目完全淹没了，所求得差分方程数值解已经没有任何意义了，
因此，FTFS差分方程是不稳定的。
不是同时趋近于0或并不趋近于0，
而是趋近于某值，或结论并不是对每个点 x j , t都n 成立，则差分方
程就不满足相容性条件，差分方程也就不逼近于微分方程。
③
相容性条件不仅要求差分方程截断误差R
n j
趋近于0，而且要求差分方
程定解条件截断误差r
n j
也同时趋近于0。
④ 差分格式有两种不同形式的相容性，即无条件相容和有条件相容。
u n j 1 u n j u x n j x 1 2 x 2 u 2 n j x2 1 6 x 3 u 3 n j x 3( x4)
u n j 1 u n j u x n j x 1 2 x 2 u 2 n j x2 1 6 x 3 u 3 n j x3( x4)
差分方法稳定性介绍
要证： 0, 0, 与t , x无关， 使得当 V
j 1 J 1 0 2 j
, 成立
V
j 1
J 1
n 2 j
T , n 0,1, 2,，N . t
为此构造解 n sin mj x , m非负， 待定， 代入得
n +1 sin mj x =(1 2 ) n sin mj x
非正则内点：相邻四个网格点不全 是内点。
可用临近边界点的值近似
一般区域上的调和方程求解
u g ( x) u ( x)
u ( xi 1 , y j ) 2u ( xi , y j ) u ( xi 1 , y j )
2
h u ( xi , y j 1 ) 2u ( xi , y j ) u ( xi , y j 1 ) k (i 1, , m; j 1, , n)
网格划分
uij u( xi , y j ) u(ih, jk ), 0 i m, 0 j n h a / m, k b / n
五点差分格式
Ui, j 1 k 2 U i 1, j U i 1, j h 2 U i , j 1 U i , j 1 2 h2 k 2
偏微分方程求精确解
参考书:
1. 数学物理方程与特殊函数, 杨奇林编, 清 华大学出版社 2.数学物理方程,欧维义编,吉林大学出版社
3. 谷超豪等，数学物理方程（第二版），高 等教育出版社，2002
4. Practical Partial Differential Equation(实用偏微分方程,第一版)), R. Haberman著, 2005.5
n sin m( j +1)x n sin m( j 1)x sin m( j +1)x sin m( j 1)x (1 2 ) sin mj x 2 mx 1 4 sin 2 1 1 2
拉克斯等价定理
拉克斯等价定理：
拉克斯等价性定理(Lax equivalence theorem )揭示差分方程相容性、稳定性与收敛性三者之间关系的重要定理。
该定理表述为：对于适定的线性偏微分方程组初值问题，一个与之相容的线性差分格式收敛的充分必要条件是该格式是稳定的。
该定理以美国数学家拉克斯(Lax , P. D.)命名，利用这一定理，可把困难的收敛性研究转化成对相容性与稳定性的讨论。
在数值分析中，拉克斯等价性定理是偏微分方程数值解的有限差分法的基本定理。
它表明，对于一个良好的线性初始值问题的一致的有限差分法，当且仅当它是稳定的时候，该方法是收敛的。
定理的重要性在于，尽管有限差分法的解与收敛偏微分方程是一致的，但通常难以确定，因为数值方法是由递推关系定义的，而微分方程涉及可微的功能。
然而，有限差分方法近似正确的偏微分方程的要求是直接验证的，并且稳定性通常比收敛更容易显示（并且在任何情况下都需要显示舍入误差不会破坏计算）。
因此，收敛通常通过拉克斯等价定理来表示。
在这种情况下的稳定性意味着在迭代中使用的矩阵的矩阵范数最多是一致的，称为（实用的）Lax-Richtmyer稳定性。
通常，为了方便而采取冯·诺依曼的稳定性分析，尽管冯·诺依曼稳定仅在某些情况下意味着Lax-Richtmyer的稳定性。
这个定理是由于彼得·拉克斯。
有时被称为Lax-Richtmyer定理，彼得·拉克斯（Robert Lax）和罗伯特·里奇特（Robert D. Richtmyer）
之后。
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证 明 ： 因 为 叫（ ）正 定 ， 存 在 ∈ Ｋ ， 得 ： 故 使
叫（ ）
由条 件 （ ） ： １得
（【 ） ｌ ｌ ｉ． Ｘ
收 稿 日期 ： ０ ２ ０ — ２ ． ２ ０ — ２ ２
基 金 项 目 ： 东 省 自然 科 学 基 金 （ 号 ： ７ ５ ｌ ） 曲阜 师 范 大 学 校 基 金 （ ０ １ 资 助项 目 山 编 Ｑ９ Ａｏ １ 及 ６ ２０）
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第 ３ Ｏ卷 第 ３期
２０ ０ ２年 ８月
河 南师 范 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｎ Ｎｏ ｍａ ｉｅ ｓ ｙ （ ｔ ｒ ｌ ｉｔｅ ｏ ｒ ａ Ｈｅ ａ ｒ ｌＵｎｖ ｒｉ Ｎａｕ ａ ｅｗ ） ｏ ｔ Ｓｃ
差 分 方 程 组 的 稳 定 性 还 没 有 一 些 推 广 的 结 果 ， 文 将 稳 定 性 理 论 基 本 定 理 中 的 函数 Ｖ（ ， ）的 限 制 放 宽 ， 本 ｒｚ 使 △ ｚｚ 不 必满 足 负定 的条 件 ， 可得 到相 应 的结论 ． （ ， ） ． 也 引 理 １ 若 ： （ ， ） ｇ（）＋ ｈ ｚ （ ， ） ｇ ｚ ， （）非 负 ， 有 ： △ ｚｚ ． ｚ ． （） ｚｚ ， （） ｈ ｚ ． ． ． ． 则
由条 件 （ ） 可设 ： ［ ＋ ， ｒ ］ Ｍ ，Ｍ ＞ ｏ ， ￡ ｏ， ２， Ⅱ １ ｚ ） （ （ ）Ｖ ＞ 对 （） ｏ， 由条件 （ ） 知 ： ￡＞ 又 ２可 存在 ７ １ 。， 使
∑ｇｒ＜ （ ）
设 方 程 （． ） 解 为 ： １１的 Ｘ— ｘ（ ，ｏＸ ）， ｒｔ，ｏ
０ ． Ｏ ３ Ⅳ ０ ３ ．
Ａｕｇ．２ ２ ００
文 章 编 号 ： ０ ０ ２ ６ ２ ０ ） ３—０ １ — ０ １ ０ — ３ ７（ ０ ２ ０ ０５ ３
差 分 方 程 组 稳 定 性 理 论 若 干 定 理 的 推 广
徐 润 任 安 忠 ，
（． １ 曲阜 师 范 大 学 数 学 系 ， 东 曲阜 ， ７ １ ５ ２ 三 门峡 职 业 技 术 学 院 ， 南 三 门 峡 ， ７ ０ ０ 山 ２ ３ ６ ；． 河 ４２ ０）
（ ） Ｖ（ ， １ ｒ ）一 ０ ｒ ） （ （ ， 叫 ）常 正 ， 中 ｗ （ ）正 定 ，０ ｒ Ｘ）连 续 且 ０ ｒ Ｘ 其 ｘ （， （，） １；
（ △ （ 【 三ｇｚ＋＾ｚＶｒ ）其中：（ ， ｚ非负， ２ ｚ ）ｌ 三 （ ） ． 【 三 ． （ （ ， ， ｌ ） ． ， ） ｇｚ ＾ ． ． （ ） ） ∑ ｇｒ收 Ⅱ ［＋ （ ］ （ 敛， １ ｒ ） ）
摘 要 ： 本文 在文献［ ］ Ｅ Ｊ １ ～ ３ 的基础 上， Ｌａ ｕ ｏ 对 ｉ ｎ ｖ函数 （ ， ）的限制作 了改进 ， ｐ ｒｚ 推广 了扰动微分方 程零解
稳 定 性 的若 干 判 定 定 理 ．
关键 词 ： 稳定 ； 一致稳定 ； 全局渐近稳 定
中图分 类号 ： １５５ ０ ７．
１ 一 １
“（． ｚ）： “（。 １ （ ￡ ）１ １＋ ｈ（ ） ｆ ）＋
ｆ ｆ “
ｇ（ ） １ ￡
。
（ １＋ ｈ（ ）） 走
ｔ＝ ｔ ０
＾ ｆ １ 一 ＋
由 比较 定 理 可 知 引 理 １的 结 论 成 立 ．
定 理 １ 若 在域 （． ） 存 在 函数 （ ， １ ２上 ｚ ）， 足 ： ． 满
（． ） １ ２ （． ） １ ３
ＶＸ 。∈ Ｒ ，。 ０ （． ） ｔ ，１ １ 的解 Ｘ ｚｔ，。 存 在 且 唯一 ， Ｅ ， ｏ （， Ｘ ） ．。 Ｒ 一 ０ ＋ ｏ）， 总假设 （）＝ ０是 （ ． ） ｚ ． １ １ 的解 ． 在文 献 ［ ］ ， 分 方程 组 稳定 性 定理 要求 Ｌａ ｕ ｏ １中 差 ｉ ｎ ｖ函数 ｋ ｒ ） （ ， 定等 条 件 ， 这些 条件 较 强 ， 在 关 于 ｐ Ｖ（ ， 【＿ 负 １ 但 现
（． １ ｚ）三 ｚ＋ ， 三ｇ（ ）＋ （ ｚ ． １＋ ｈ ｚ ） （． （． Ｖ ｚ ｚ） ） ，
考虑 差分 方 程 ：
“ ｚ＋ １ （ ． ）＝ ｇ（）＋ （ ｚ ． １＋ ｈ ｒ ） （ ） （）“ ｒ
此方 程为 线性 非 齐次 差分 方 程 ， 由常 ｌ作 者 简 介 ： 徐 润 （ ９ ６ ） 女 ， １ ６ ￣ ， 山东 充 州 人 ． 阜 师 范 大 学 副 教 授 曲
．
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河南师范大学学报 （ 自然科 学 版 ）
２０ 年 ０ ２．
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研究 差 分方 程组 ：
文 献标 识 码 ： Ａ
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件
证 明 ： △ （ ， ｇ（． 由 ｚ ｚ） ． ｚ ）＋ ｈ（． （．ｚ）得 ： ｚ ｚ ） ，