山西省山西大学附中高一数学上学期期中试题

山西省山西大学附中高一数学上学期期中试题高一年级数学试题考查时间：90分钟 考查内容：必修1第一章、第二章部分一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1．已知集合{}2|230A x x x =--≤，{}|21xB y y ==+，则A B =（ ）A ．∅B ．(]1,3C ．(]0,3D ．()1,+∞2．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是 ( ) A．12()(0)x x =-≥ B13(0)x x =≤ C．340)xx -=>D．130)xx -=≠3．已知32121=0.3log 22a b c -⎛⎫== ⎪⎝⎭，，，则a ，b ，c 的大小关系（ ）A．B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>4．函数213log (32)y x x =-+的单调递减区间为（ ） A ．()2,+∞B ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭5．若()f x 是偶函数，且对任意12,x x (0,)+∞且12x x ≠，都有，则下列关系式中成立的是（ ）A ．123()()()234f f f >->B ．132()()()243f f f >->C ．312()()()423f f f >->D ．321()()()432f f f ->>6．若函数()31f x ax bx =++在[],m n 上的值域为[]2,4，则()32g x ax bx =+-在[],n m --上的值域为（ ）A ．[]4,2--B ．[]6,3--C ．[]1,1-D ．[]5,3--7．已知函数(0xy a a -=>且1a ≠）是增函数，那么函数1()log 1af x x =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()()1,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．516B ．54C ．52D ．59．不等式1432160x x +-⋅->的解集为（ ） A ．{}|3x x > B ．{}|8x x > CD ．{|28}x x -<<10．奇函数()f x 在区间(),0-∞上单调递减，且()10f -=，则不等式(1)(1)0x f x --<的解集是（ ） A ．(,0)(2,)-∞+∞B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(,0)(1,2)-∞D ．(,1)(1,2)-∞-二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．函数的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是_____.12．函数()()2112log 1xf x x =-+的定义域为__________（结果用区间表示）.13．已知函数对于任意实数x 满足条件，若，则.14．已知函数2152(1)()24log (1)a a x x x f x xx -⎧+-<⎪=⎨⎪≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，则实数a 的取值范围为_____． 15．若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有； ②对于定义域上的任意12x x ，，当12x x ≠时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中： ①，②，③，④，能被称为“理想函数”的有_____________（填相应的序号）.三．解答题（本题共4大题，共40分） 16.求值： （1（2）已知，且,求17．已知()f x 是二次函数，且满足(0)2,(1)()23f f x f x x =+-=+. （1）求函数()f x 的解析式.（2）设，当[1,)x ∈+∞时，求函数()h x 的最小值.18．定义在[4,4]-上的奇函数()f x ，已知当[4,0]x ∈-时，1()()43x xaf x a =+∈R ． （1）求()f x 在[0,4]上的解析式． （2）若[2,1]x ∈--时，不等式11()23x x m f x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围．19．已知函数．（1）若函数，求函数的值域；（2）若关于的方程有实根，求实数m 的取值范围.山西大学附中2019~2020学年高一第一学期期中考试数学评分细则一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1.B2.C3.D4.A5.A6. D7. D8.A9.A 10．A 二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11.12.()1,0- 13．-2 14. 532a ≤≤ 15.③④16.求值：（3（4）已知，且,．【答案】（1）-3（2）1-17．已知()f x 是二次函数，且满足(0)2,(1)()23f f x f x x =+-=+ （1）求函数()f x 的解析式（2）设，当[1,)x ∈+∞时，求函数()h x 的最小值【答案】（1）2()22f x x x =++（2）()2min 52,(2)21,(2)t t h x t t t -≤⎧=⎨-++⎩＞ 18．定义在[4,4]-上的奇函数()f x ，已知当[4,0]x ∈-时，1()()43x xaf x a =+∈R ． （1）求()f x 在[0,4]上的解析式．（2）若[2,1]x ∈--时，不等式11()23x x m f x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）()34x xf x =-；（2）17m 2≥.19．已知函数()()2log 21x f x =+．（1）若函数()()()2log 21xg x f x =--，求函数的值域；（2）若关于x 的方程()[],0,1f x x m x =+∈有实根，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）值域为(),0-∞；（2）[]2log 31,1m ∈- 解析：1．已知集合{}2|230A x x x =--≤，{}|21xB y y ==+，则A B =（）A ．∅B ．(]1,3C ．(]0,3 D ．()1,+∞【答案】B【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集和指数函数的值域求得. 【详解】由已知解得[]()1,3,1,A B =-=+∞， 所以(]1,3AB =，故选B.【点睛】本题考查一元二次不等式的解集、指数函数的值域和集合的交集运算，属于基础题. 2．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是 ( )A ．12()(0)x x =-≥ B 13(0)x x =≤C ．340)xx -=>D ．130)x x -=≠【答案】C 【解析】 【分析】利用根式与分数指数幂的关系化简计算即可。

【详解】12(0)x x =-≥，故A 错13x =，当时，故B 错130)xx -=≠，故D 错 所以选C 【点睛】本题考查根式与分数指数幂的化简计算，属于基础题。

3．已知32121=0.3log 22a b c -⎛⎫== ⎪⎝⎭，，，则a ，b ，c 的大小关系（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性与1作比较可以得出a 与b 的大小关系，通过对数函数的图像性质可以得到0c <，得到最终的结果. 【详解】由指数函数和对数函数图像可知：32121(0,1),0.31,log 202a b c -⎛⎫=∈=>=< ⎪⎝⎭，则a b c ，，的大小关系是：b a c >>. 故选：D ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．函数213log (32)y x x =-+的单调递减区间为（ ） A ．()2,+∞ B ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先求函数213log (32)y x x =-+的定义域，再由复合函数的内外函数同增异减的性质判断单调区间 【详解】因为213log (32)y x x =-+，所以2320x x -+>，解得1x <或2x >令232t x x =-+，因为232y x x =-+的图像开口向上，对称轴方程为32x = ， 所以内函数232t x x =-+在()2,+∞上单调递增， 外函数13log y t =单调递减，所以由复合函数单调性的性质可知函数213log (32)y x x =-+的单调递减区间为()2,+∞故选A. 【点睛】本题考查复合函数的单调性，解题的关键是掌握复合函数单调性同增异减的方法，属于一般题。

5．若()f x 是偶函数，且对任意12,x x ∈(0,)+∞且12x x ≠，都有()()21210-f x f x x x -<，则下列关系式中成立的是（ ）A ．123()()()234f f f >->B ．132()()()243f f f >->C ．312()()()423f f f >->D ．321()()()432f f f ->>【答案】A 【解析】 【分析】由于对任意的x 1，x 2∈（0，+∞），都有()()21210-f x f x x x -<，可得函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减，即可得出． 【详解】∵对任意的x 1，x 2∈（0，+∞），都有()()21210-f x f x x x -<， ∴函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减，又∵123234<<， ∴123234f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞＞， 又∵f （x ）是偶函数，∴f （﹣23）＝f （23）． ∴123234f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞＞． 故选：A ． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性的应用，属于基础题．6．若函数()31f x ax bx =++在[],m n 上的值域为[]2,4，则()32g x ax bx =+-在[],n m --上的值域为（）A ．[]4,2-- B ．[]6,3--C ．[]1,1-D ．[]5,3--【答案】D 【解析】 【分析】构造函数h （x ），根据函数的奇偶性及对称性即可求解． 【详解】函数()31f x ax bx =++在[m,n]上的值域为[2,4]，设h （x ）＝3ax bx +=()1f x -，则h （x ）在[m,n]上的值域为[1,3]， 且满足h （﹣x ）＝()()3a xb x -+-=-h （x ），∴h （x ）是定义域R 上的奇函数；∴h （x ）在[-n,-m]上的值域为[-3, -1] 又g （x ）＝h （x ）-2，∴g （x ）在[-n,-m]上的值域为[-5, -3] 故选：D ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用问题，构造函数是解题的关键，是基础题．7．(0xy a a -=>且1a ≠）是增函数，那么函数1()log 1af x x =+的图象大致是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数(0xy a a -=>且1a ≠）的单调性判断底数a 的范围，得到函数()log a f x x=的图象，再利用图象平移得到函数1()log 1a f x x =+的图象． 【详解】 解；∵xy a-=可变形为1()xy a=，若它是增函数，则11a>， 01a ∴<<，∴()log a f x x =为过点（1，0）的减函数，∴()log a f x x =-为过点（1，0）的增函数，∵1()log 1a f x x =+图象为()log a f x x =-图象向左平移1个单位长度， ∴1()log 1a f x x =+图象为过（0，0）点的增函数，故选：D ．【点睛】本题考查了指对数函数的单调性，以及图象的平移变化，做题时要认真观察．8．已知函数()()1,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．516B ．54C ．52D ．5【答案】A 【解析】 【分析】先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值. 【详解】22221114log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222244416log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22216log 516log 5log 116522161615log 0,log 2255216f⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫>∴====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选A. 【点睛】本题考查分段函数和对数运算，属于中档题. 9．不等式1432160x x +-⋅->的解集为（ ） A ．{}|3x x >B ．{}|8x x >C ．{8x x ，或}2x <- D ．{|28}x x -<<【答案】A 【解析】 【分析】将原不等式左边因式分解，由此求解出不等式的解集. 【详解】由1432160x x +-⋅->得()2262160xx -⋅->，()()22280x x+->，由于220x +>恒成立，故280x ->，即322,3xx >>.故选A. 【点睛】本小题主要考查因式分解法解不等式，考查指数不等式的解法，属于基础题.10．奇函数()f x 在区间(),0-∞上单调递减，且()10f -=，则不等式(1)(1)0x f x --<的解集是（ ） A ．(,0)(2,)-∞+∞ B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．(,0)(1,2)-∞D ．(,1)(1,2)-∞-【答案】A 【解析】 【分析】根据函数()f x 为奇函数，以及(),0-∞上的单调性，判断出()0,∞+上的单调性，求得()1f 的值，对x 分为1,10,01,1x x x x <--<<<<>四种情况讨论，由此求得不等式()0x f x ⋅<的解集，进而求得(1)(1)0x f x --<的解集.【详解】由于函数()f x 为奇函数，且在(),0-∞上递减，故在()0,∞+上递减，由于()()110f f =--=，所以当1x <-或01x <<时，()0f x >；当10x -<<或1x >时，()0f x <.所以当1x <-或1x >时()0x f x ⋅<.故当11x -<-或11x ->即0x <或2x >时，(1)(1)0x f x --<.所以不等式(1)(1)0x f x --<的解集为(,0)(2,)-∞+∞.故本小题选A. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查函数变换，考查含有函数符号的不等式的解法，属于中档题.12．函数()()21log 1f x x =+的定义域为__________（结果用区间表示）。