2019年高中数学北师大版必修五达标练习：第3章 §3-3.2 基本不等式与最大(小)值含解析

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北师大版高中数学必修五本章练测：第三章不等式(含答案解析).docx

高中数学学习材料唐玲出品第三章不等式（数学北京师大版必修5）8.已知不等式（x+y ）(1ax y+)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（） A.2 B.4 C.6 D.89.满足不等式y 2-x 2≥0的点（x ，y ）的集合（用阴影表示）是（）10.如果正数a ，b ，c ，d 满足a+b =cd =4，那么（） A .ab ≤c+d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 B .ab ≥c+d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 C .ab ≤c+d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一D .ab ≥c+d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一11.设，且a b （a 、b 、），则M 的取值范围是（） A . ，18B . ［，1）C .［，）D .［8，+∞）12.对于满足等式x 2+（y-1）2=1的一切实数x 、y ，不等式x+y+c ≥0恒成立，则实数c 的取值范围是（）A .（-∞，0］B .，+∞） C .-1，+∞） D .［1，+∞）13.不等式2242x x +-≤12的解集为 . 14.若不等式x 22a xa ＞0对x恒成立，则关于t 的不等式a 2t 1＜at22t 3的解集为 .15.设x ，y ，z ，则x 2y z的最大值是 .16.函数y =1x a -（a ＞0，a ≠1）的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny-1=0（mn ＞0）上，则1m +1n的最小值为 .三、解答题（共74分）17.（12分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏目的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：）能使矩形广告的面积最小？第17题图18.（12分）不等式（m 2-2m-3）x 2-（m-3）x-1<0对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.19.（12分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元才能使可能的盈利最大？20.（12分）已知二次函数f（x）满足f（-2）=0，且2x≤f（x）≤242x+对一切实数x都成立.（1）求f（2）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）设b n=1()f n，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n＞43(3)nn+.21.（12分）已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a b22b2a2a2b2＞6a b 22.（14分）某村计划建造一个室内面积为72 m2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？第三章不等式（数学北京师大版必修5）答题纸得分：一、选择题二、填空题13． 14． 15． 16．三、计算题17．18.19.20.21.22.第三章不等式（数学北京师大版必修5）参考答案一、选择题1.D 解析： y2x是增函数，而0＜b ＜a ＜1，1＜2b ＜2a＜2 .2.D 解析：∵ t a b a b b ，∴ t ≤s .3.C 解析：依题意得x ， x x x 或 x ， x x x ，所以 x ，x 或或-1≤x -1x -1，故选C.4.A 解析：不等式组可化为x y ＞0，xy ＞0，0 x 2，或 xy ＜0，xy ＜0，0 x 2，在平面直角坐标系中作出符合上面两个不等式组的平面区域，如图中的阴影部分所示， ∴ 不等式组x y xy ＞0，0 x 2表示的平面区域为三角形.5.D 解析：∵ x ＞2，∴ f （x ）=x + 1x 2=x -2+1x 2+2≥2 x21x 2+2=4，当且仅当 x 21x 2，即x3时等号成立.故选D.6.C 解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由34,34x y x y +=⎧⎨+=⎩得交点A 的坐标为（1，1），又B ，C 两点的坐标分别为（0，4），，43，故S △ABC12 43×1 43. 7.B 解析：特殊值法.令a =7，b =3，c =1，满足a ＞b ＞c ＞0， ∴2log (11)1+＞2log (31)3+＞2log (71)7+.8.B 解析：不等式 x y1a x y + ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则1+a+y axx y+≥a+1≥9，∴2-4（舍去），∴ 正实数a 的最小值为4.9.B 解析：取测试点（0，1）可知C ，D 错；再取测试点（0，-1）可知A 错，故选B .又cd ≤2()4c d +，故 ≥4，所以ab ≤c+d ，当且仅当a =b =c =d =2时，等号成立.故应选A .11.D 解析：M≥12.C 解析：令x θ，y θ，则 x y θ θ θπ4∴ x y max -1.∵ x y 恒成立，故c ≥ x y max -1，故选C.13. x x 解析：依题意得x x ≤-1 x x ≤0 x ∈［-3，1］.14.（-2，2）解析：由x 22a x a ＞0对x 恒成立得Δ 4a24a ＜0，即0＜a ＜1，函数yax是上的减函数，∴ 2t 1＞t22t 3，解得-2＜t ＜2.15.222解析： x22y 2z2222 21 22xy z 2x 22y 2z 21122xy z 2.16.4 解析：由题意知（，），∴ n ，∴ n ， ∴n17.解：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab =9 000.① 广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a ＞0，b ＞0.广告的面积 a b ab b a a b ≥ a b 18 500+2 ab 24 500.当且仅当25a =40b 时等号成立，此时b =58a ，代入①式得a =120，从而b =75，即当a =120，b =75时，S 取得最小值24 500.故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告的面积最小. 18.解：若m 2-2m-3 0，则m -1或m 3.当m -1时，不合题意；当m 3时，符合题意.若m 2-2m-3≠0，设f （x ）=（m 2-2m-3）x 2-（m-3）x-1，则由题意得，22230,230,m m m m m ∆2⎧--<⎨=[-(-3)]+4(--)<⎩解得-15<m<3.综上可得，-15<m≤3.19.解：设投资人分别用x，y万元投资甲，乙两个项目，由题意得，10,0.30.1 1.8,0,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数为z x y第19题答图上述不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，作直线x y，并作平行于直线l0的一组直线x y z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M，此时z最大，这里点M是直线x与直线 x y的交点.解方程组10,0.30.1 1.8,x yx y+=⎧⎨+=⎩得4,6,xy=⎧⎨=⎩此时，z=4+0.5×6=7（万元）.∴当x，y时，z取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能使可能的盈利最大.20.（1）解：∵2x≤f（x）≤242x+对一切实数x都成立，∴4≤f（2）≤4，∴f（2）=4.（2）解：设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），∵f（-2）=0，f（2）4，∴424,1, 42024.a b c ba b c c a++==⎧⎧⇒⎨⎨-+==-⎩⎩∵ax2+bx+c≥2x，即ax2-x+2-4a≥0，∴ a a a，∴a 14，c2-4a1，故f（x）=24x+x+1.（3）证明：∵b n1()f n24(2)n+＞4(2)(3)n n++412n+13n+，∴S n b1+b2+…+b n＞41314141512n+13n+=4× nn21.证明：∵ b222b， a b222a b①同理b2a22a b，②a2b22a b. ③∵a，b，c是不全相等的正数，∴b222b，2a22a，a2b22a b三式中不能全取“＝”，∴①②③三式相加，得a b22b2a2 a2b2＞6a b.22.解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则ab=72，蔬菜的种植面积S=（a-4）（b-2）=ab-4b-2a+8=80-2(a+2b)≤80-.当且仅当a=2b，即a，b=6时，S max=32.答：矩形温室的边长分别为6 m，12 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是32 m2.。

(常考题)北师大版高中数学必修五第三章《不等式》测试题(有答案解析)

一、选择题1．若正数x ，y 满足21y x+=，则2x y +的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D ．82．已知()()22log 1log 24a b -++=，则+a b 的最小值为（） A ．8B ．7C ．6D ．33．若x ､y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为（）A ．5B ．4C ．2D4．不等式112x x ->+的解集是（）． A ．{}|2x x <-B ．{}|21x x -<<C ．{}|1x x <D ．{}|x x ∈R5．若正数x ，y 满足35x y xy += ，则43x y + 的最小值为（） A ．275B ．245C ．5D ．66．下列函数中最小值为4 的是（） A ．4y x x=+ B ．4sin sin y x x=+（0πx << ） C ．343xx y -=+⨯D ．lg 4log 10x y x =+7．对于任意实数a ，b ，若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（） A ．11a b 8．若a ，b 是任意实数，且a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2>b 2B ．1b a< C ．lg(a －b )>0D ．11()()33ab<9．已知集合{}24120A x x x =--≤，{}440B x x =->，则AB =（）A ．{}12x x <≤B ．{}2x x ≥-C ．{}16x x <≤D ．{}6x x ≥-10．已知实数x ,y 满足210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩,则221z x y =--的取值范围是( )A ．5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭11．设,,a b c ∈R ，且a b >，则（） A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b >12．如果0a b >>，0t >，设b M a =，b t N a t+=+，那么（） A ．M N C ．MND ．M 与N 的大小关系和t 有关二、填空题13x =______. 14．若x ，y 满足约束条件0202x y x y y -≤⎧⎪-≥⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值是_________.15．若实数x ，y 满足不等式组2025040x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则1x y x ++的取值范围为_____.16．已知正数a ，b 满足(1)(1)1a b --=，则4a b +的最小值等于________.17．已知变量,x y 满足约束条件04010x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，若目标函数(0)z ax by a b =+>>的最小值为1，则28a b+的最小值为__________． 18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23ABC π∠=，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且2BD =，则3a c +的最小值为___________.19．已知实数,x y 满足11y x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值是________________.20．某港口的水深y （米）随着时间t （小时）呈现周期性变化，经研究可用sincos66y a t b t c ππ=++来描述，若潮差（最高水位与最低水位的差）为3米，则+a b的取值范围为_______．三、解答题21．给出下面三个条件：①函数()y f x =的图象与直线1y =-只有一个交点；②函数(1)f x +是偶函数；③函数()f x 的两个零点的差为2，在这三个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数()f x 的解析式确定问题：二次函数2()f x ax bx c =++满足(1)()21f x f x x +-=-，且___________(填所选条件的序号).（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若函数()()(21)3232xxg x t f =--⨯-有且仅有一个零点，求实数t 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 22．已知函数2()(21)f x ax a x c =-++，且(0)2f =. （1）若()0f x <的解集为{|28}x x <<，求函数()f x y x=的值域；（2）当0a >时，解不等式()0f x <. 23．解关于x 的不等式2(41)40ax a x -++>.24．已知实数x ，y 满足不等式组204030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，求目标函数23z x y =-的最值及相应的最优解．25．已知函数2()(3)2f x ax a x =+-+（其中a ∈R ）. （1）当a ＝－1时，解关于x 的不等式()0f x <；（2）若()1f x ≥-的解集为R ，求实数a 的取值范围. 26．已知函数2()3f x x ax a =-++. （1）当7a =时，解不等式()0f x >；（2）当x ∈R 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由21y x +=，对2x y +乘以21y x+=，构造均值不等式求最值 .【详解】22242248x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当421xy xy y x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，∴min 28x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．2．B解析：B 【分析】由对数运算可得出()()1216a b -+=，利用基本不等式可求得+a b 的最小值. 【详解】因为()()22log 1log 24a b -++=，即()()2log 124a b -+=⎡⎤⎣⎦，所以，()()1216a b -+=且有10a ->，20b +>，由基本不等式可得()()128a b -++≥=，所以，7a b +≥，所以(1)(2)16a b -+=，且10a ->，20b +>，当且仅当124a b -=+=时等号成立. 因此，+a b 的最小值为7. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．C解析：C【分析】由不等式组作出可行域，如图,目标函数22xy +可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线2x y +=的距离平方，根据点到直线的距离公式可得选项. 【详解】由不等式组做出可行域如图，目标函数22xy +可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y +=的距离的平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y +=的距离为22d ==，所以所求最小值为2. 故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.4．A解析：A 【解析】分析：首先对原式进行移项、通分得到302x ->+，之后根据不等式的性质可得20x +<，从而求得不等式的解集.详解：将原不等式化为1202x x x --->+，即302x ->+，即302x <+，则有20x +<，解得2x <-，所以不等式102x x ->+的解集为{}|2x x <-，故选A. 点睛：该题是一道关于求不等式解集的题目，解答该题的关键是熟练掌握分式不等式的解法，属于简单题目.解析：A 【解析】正数x ，y 满足35x y xy +=,则13155y x+=，()13492743433355555x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭故答案为A.点睛：这个题目考查的是含有两个变量的表达式的最值的求法，解决这类问题一般有以下几种方法，其一，不等式的应用，这个题目用的是均值不等式，注意要满足一正二定三相等；其二，二元化一元，减少变量的个数；其三可以应用线线性规划的知识来解决，而线性规划多用于含不等式的题目中．6．C解析：C 【解析】 A. 4y x x=+，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故A 的最小值不为4； B ．令2440110sinx t y t y tt（，），，＜，=∈∴=+'=- 因此函数单调递减，5y ∴＞，不成立．C ．4y ≥=，当且仅当0x =时取等号，成立．D ．01x ∈（，）时，330x log x log ，＜，不成立．故选C ．7．C解析：C 【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，当2a =，2b =-时，11a b>，故A 错误；对于B ，当1a =，2b =-时，22a b <，故B 错误；对于C ，由不等式的性质可得C 正确；对于D ，当1a =，1b =-时， a bb a=，故D 错误；故选C. 8．D解析：D 【详解】试题分析：A 中1,2a b ==-不成立，B 中1,12a b =-=-不成立，C 中0,1a b ==-不成立，D 中由指数函数单调性可知是成立的解析：C 【分析】根据不等式的解法，求得集合{}26A x x =-≤≤，{}1B x x =>，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}2412026A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}4401B x x x x =->=>，根据集合交集的概念与运算，可得{}16A B x x ⋂=<≤. 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于基础题.10．D解析：D 【分析】画出可行域，根据目标函数的截距，利用数形结合，即可求出z 的取值范围. 【详解】作出可行域如下：由221z x y =--得12zy x +=-，平移直线12zy x +=-，由平移可知当直线12zy x +=-，经过点C 时，直线12zy x +=-的截距最小，此时z 取得最大值，由210x x y =⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即(2,1)C -，此时2214215z x y =--=+-=，可知当直线12zy x +=-，经过点A 时，直线12zy y x +==-的截距最大，此时z 取得最小值，由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1(3A ，2)3代入221z x y =--得125221333z =⨯-⨯-=-，故5[3z ∈-，5)故选：D ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于中档题．11．D解析：D 【分析】结合不等式的性质、特殊值判断出错误选项，利用差比较法证明正确选项成立. 【详解】A 选项，当0c ≤ 时，由a b >不能得到ac bc >，故不正确；B 选项，当0a >，0b <（如1a =，2b =-）时，由a b >不能得到11a b<，故不正确； C 选项，由()()22a b a b a b -=+-及a b >可知当0a b +<时（如2a =-，3b =-或2a =，3b =-）均不能得到22a b >，故不正确；D 选项，()()()233222324b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-⋅++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为,a b 不同时为0，所以223024b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，所以可由a b >知330a b ->，即33a b >，故正确.故选：D 【点睛】本小题主要考查不等式的性质以及差比较法，属于中档题.12．A解析：A 【分析】对M 与N 作差，根据差值的正负即可比较大小. 【详解】()()()()()b a t a b t t b a b b t M N a a t a a t a a t +-+-+-=-==+++，因为0a b >>，所以0b a -<，又0t >，所以0a t +>，所以()()0t b a a a t -<+，即0M N -<，所以M N <. 故选：A 【点睛】本题主要考查作差法比较大小，考查学生的化简分析能力，属于常规题型.二、填空题13．4【分析】将所给式子变形为然后利用基本不等式求解即可【详解】因为所以当且仅当即时等号成立故答案为：4【点睛】关键点睛：此题的解题关键是将所给式子变形为从而满足基本不等式成立的条件最后计算求解解析：4 【分析】11=+-，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】11≥，111615=-≥=-=，1=4x =时，等号成立. 故答案为：4. 【点睛】11，从而满足基本不等式成立的条件，最后计算求解.14．10【分析】作出不等式组对于的平面区域利用数形结合即可得到结论【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由则平移直线由图象可知当直线经过点时直线在轴上的截距最大此时最大由解得此时故答案为：10【点解析：10 【分析】作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由32z x y =+，则322z y x =-+，平移直线322zy x =-+，由图象可知当直线322zy x =-+，经过点A 时，直线322z y x =-+，在y 轴上的截距最大，此时z 最大，由20y x y =⎧⎨-=⎩，解得(2,2)A ，此时322210max z =⨯+⨯=，故答案为：10．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．15．【分析】作出不等式组对应的平面区域然后化简目标函数利用不等式的几何意义利用线性规划的知识进行求解即可【详解】解：实数满足不等式组的可行域如图三角形的三边及其内部部分：它的几何意义是可行域内的点与连线解析：5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】作出不等式组对应的平面区域，然后化简目标函数，利用不等式的几何意义，利用线性规划的知识进行求解即可. 【详解】解：实数x ，y 满足不等式组2025040x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，的可行域如图，三角形ABC 的三边及其内部部分：111x y y x x+++=+，它的几何意义是可行域内的点与()0,1D -连线的斜率加1，由图象知BD 的斜率最小，CB 的斜率最大，由4020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得()1,3C ，此时DC 的斜率：3141+=，由25040x y x y --=⎧⎨+-=⎩得()3,1B ，此时BD 的斜率：11233+=，则1x y x ++的取值范围为是5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题． 16．9【分析】将已知等式变形为然后利用乘1法将进行变形利用基本不等式即可求得【详解】因为所以即又ab 为正数所以当且仅当时等号成立故的最小值等于故答案为：9【点睛】本题考查利用基本不等式求最值关键是将已知解析：9【分析】将已知等式变形为111a b +=，然后利用“乘1法”将4a b +进行变形，利用基本不等式即可求得.【详解】因为(1)(1)1a b --=，所以0ab a b --=，即111a b+=.又a ，b 为正数，所以11444(4)14529b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+⋅=⎪⎝⎭，当且仅当3a =，32b =时，等号成立. 故4a b +的最小值等于9. 故答案为：9 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，关键是将已知条件适当变形，得到111a b+=，以便利用“乘1法”，利用基本不等式求4a b +的最小值.利用基本不等式求最值要注意“正、定、等”的原则.17．【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域因为直线的斜率为由可得因为直线的斜率为-1所以当直线过点时取得最小值1可得利用基本不等式可得详解：画出不等式组表示的平面区域为及其内部如图由可得点当直线过点时解析：【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域，因为直线(0)z ax by a b =+>>的斜率为a kb =-，由0a b >>可得10a k b-<=-<，因为直线40x y +-=的斜率为-1，所以当直线z ax by =+过点(1,1)B 时，取得最小值1．可得1a b +=．282828()()10b a a b a b a b a b+=++=++，利用基本不等式可得2828281010218b a b a a b a b a b+=++≥+⨯=．详解：画出不等式组表示的平面区域为ABC ∆及其内部，如图．由100y x y -=⎧⎨-=⎩ 可得点(1,1)B ．当直线z ax by =+过点(1,1)B 时，取得最小值1．所以1a b +=．所以28282828()()101018b a b a a b a b a b a b a b+=++=++≥+⨯=．当且仅当2810,0b aa ba ba b⎧=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩即12,33a b==时，上式取“=”号．所以28a b+的最小值为18.点睛：⑴线性规划问题应先画出平面区域，求(0)z ax by a b=+>>的最值时，当0b>时，直线z ax by=+越向上平移，z取值越大；当0b<时，直线z ax by=+越向上平移，z取值越小；⑵用基本不等式求最值时，和定积最大，积定和最小．若,a b m m+=为常数，则111111()()(2)b aa ba b m a b m a b+=++=++，然后利用基本不等式求最值即可．18．【分析】根据面积关系建立方程关系结合基本不等式1的代换进行求解即可【详解】如图所示则的面积为即∴∴当且仅当即时取等号所以a+3c的最小值为8+4故答案为：8+4【点睛】本题考查基本不等式的应用考查三解析：843+【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可.【详解】如图所示，则ABC的面积为111sin1202sin602sin60222ac a c=⋅+⋅︒︒︒，即22ac a c=+，∴1112a c+=.∴3(3)a c a c+=+1132242(423)843c aa c a c⎛⎫⎛⎫+⨯=⨯++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当33843c aa ca c⎧=⎪⎨⎪+=+⎩即2232233ac⎧=+⎪⎨=+⎪⎩时取等号.所以，a+3c的最小值为8+43.故答案为：8+43.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查三角形的面积公式和角平分线性质的应用，考查分析和计算能力，属于基础题.19．【分析】画出可行域再分析直线取最大值的最优解即可【详解】由约束条件作出可行域如图联立目标函数由图可知过A时直线在y轴上的截距最小z有最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了线性规划求最大值的问题考查解析：12【分析】画出可行域，再分析直线2z x y=-取最大值的最优解即可.【详解】由约束条件11y xx yy≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩作出可行域如图，联立11(,)122y xAx y=⎧⇒⎨+=⎩．目标函数22z x y y x z=-⇒=-由图可知，过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为12．故答案为：12【点睛】本题主要考查了线性规划求最大值的问题，考查运算求解能力和数形结合思想，属于基础题.20．【分析】由已知结合辅助角公式可求然后结合基本不等式即可求解【详解】由题意可知（为辅助角）由题意可得故由解得故答案为【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质及基本不等式在求解最值中的应用属于中档题解析：22⎡-⎢⎣⎦【分析】由已知结合辅助角公式可求2294a b +=，然后结合基本不等式22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可求解.【详解】由题意可知sin cos 666y a t b t c t c πππθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，（θ为辅助角）由题意可得3=，故2294a b +=，由2229228a b a b ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，解得22a b -≤+≤，故答案为22⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于中档题.三、解答题21．(1). 2()2f x x x =-；(2). 16m ≤- (3). 12t >或12t -= 【分析】(1).首先根据(1)()21f x f x x +-=-求得,a b 的值，再根据① ② ③ 解得c 的值；(2). 将任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立问题转化为2()m f t ≤-在[]2,3t ∈-上恒成立的问题，从而转化为最值问题进行求解；(3).将问题转化为方程()(21)220m t f m ---=有且仅有一个正实根，接着对参数进行分类讨论即可.【详解】(1)因为二次函数2()f x ax bx c =++满足(1)()21f x f x x +-=-又22(1)()(1)(1)2f x f x a x b x c ax bx c ax a b +-=++++---=++，所以212x ax a b -=++，221a a b =⎧∴⎨+=-⎩解得：12a b =⎧∴⎨=-⎩因为二次函数2()2f x x x c =-+选① ：因为函数()y f x =的图象与直线1y =-只有一个交点，所以2(1)11f c -=+=- 0c ∴=；选② ：因为函数(1)f x +是偶函数,所以22(1)=(1)2(1)1f x x x c x c ++-++=+-,所以c 取任意值.选③ ：设 12,x x 是函数()f x 的两个零点，则122x x -=，由韦达定理可知：12122,x x x x c +==所以122x x -=解得：0c ；综上：()f x 的解析式为2()2f x x x =-.(2) 因为对任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立, 32(log )m f x ∴≤-，[]31,27,log 2,39x x ⎡⎤∈∴∈-⎢⎥⎣⎦令3log t x =，原不等式等价于2()m f t ≤-在[]2,3t ∈-上恒成立min (2())2(2)16m f t f ∴≤-=--=-,所以实数m 的取值范围为16m ≤-.(3) 因为函数()()(21)3232x x g x t f =--⨯-有且仅有一个零点，令30x m =>，所以方程()(21)220m t f m ---=有且仅有一个正实根，因为2()2f x x x =-即2(21)420t m tm ---=有且仅有一个正实根，当21=0t -即12t =时，220m --=解得1m =-不合题意；当210t ->即12t >时， 2(21)420t m tm ---=表示的二次函数对应的函数图像是开口向上的抛物线，又恒过点(0,2)-，所以方程2(21)420t m tm ---=恒有一个正实根;当210t -<即12t时，要想2(21)420t m tm ---=有且仅有一个正实根，只有()21682102021t t t x t⎧=+-=⎪⎨=>⎪-⎩对解得：t =，综上：实数t 的取值范围为12t >或12t -=. 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．22．（1）91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）答案见解析. 【分析】（1）由()0f x <的解集转化为2和8是方程2(21)20ax a x -++=的两根，求得18a =，得出()12584f x x x x =+-，再分0x >和0x <两种情况，结合基本不等式，即可求解；（2）由题意，得到(1)(2)0ax x --<，分类讨论，即可求得不等式的解集. 【详解】（1）由题意，函数2()(21)f x ax a x c =-++，且(0)2f c ==，所以2()(21)2f x ax a x =-++，因为()0f x <的解集为{|28}x x <<，即2和8是方程2(21)20ax a x -++=的两根，所以228c a a ⨯==，所以18a =，所以()12584f x y x x x ==+-，当0x >时，125518444x x +-≥=-，当且仅当4x =时等号成立；当0x <时，12512559848444x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=--+--≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当4x =-时等号成立. 故函数()f x y x =的值域城为91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. （2）由2()(21)2(1)(2)0f x ax a x ax x =-++=--<，因为0a >时，分三种情况讨论：①当12a <，即12a >时，1()02f x x a <⇒<<； ②当12a =，即12a =时，无解； ③当12a >，即102a <<时，1()02f x x a<⇒<<，综上所述，当12a >时，不等式()0f x <的解集为1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当12a =时，不等式()0f x <的解集为∅；当102a <<时，不等式()0f x <的解集为1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式；（2）当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.23．答案见解析【分析】由题意可知，2(41)40ax a x -++>可化为(1)(4)0ax x -->，再对a 进行分类讨论，比较根的大小，即可得答案；【详解】由题意可知，2(41)40ax a x -++>可化为(1)(4)0ax x --> （1）当0a =时，不等式化为40x -<，解得4x <，（2）当10a <时，不等式化为()140x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得14x a <<，（3）当104a <<时，不等式化为1(4)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得1x a <或4x >，（4）当14a =时，不等式化为2(4)0x ->，解得4x ≠，（5）当14a >时，不等式化为1(4)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得4x <或1x a >，综上所述，0a =时，不等式的解集为(,4)-∞ 0a <时，不等式的解集为1,4a ⎛⎫⎪⎝⎭； 14a >时，不等式的解集为1,(4,)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭； 14a =时，不等式的解集为(,4)(4,)-∞+∞； 104a <<时，不等式的解集为1(,4),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭; 【点睛】本题考查含参一元二次不等式的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查运算求解能力，求解时注意讨论的依据是比较根的大小.24．在35x y =⎧⎨=⎩时，取得最小值min 9z =-，在31x y =⎧⎨=⎩时，取得最大值max 3z =．【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界），由2=030x y x -+⎧⎨-=⎩得()3A ，5，由+4=030x y x -⎧⎨-=⎩得()31B ，，由2=0+40x y x y -+⎧⎨-=⎩得()13C ，，作直线:230l x y -=，向上平移直线l ，z 减小，当l 过点()3A ，5时，z 取得最小值23359⨯-⨯=-；向下平移直线l ，z 增大，当l 过点()31B ，时，z 取得最大值23313⨯-⨯=；所以目标函数23z x y =-在35x y =⎧⎨=⎩时，取得最小值min 9z =-，在31x y =⎧⎨=⎩时，取得最大值max 3z =．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题方法是作出可行域，作出线性目标函数对应的直线，平移直线求得最优解，如果目标函数不是线性的，则可根据其几何意义求解，如直线的斜率、两点间的距离等，属于中档题．25．（1）(62)(62)-∞--+∞，，；（2）962962a -+≤【分析】（1）当0a =时，解一元二次不等式求得不等式()0f x <的解集.（2）化简不等式()1f x ≥-，对a 分成0a ≠和0a >两种情况进行分类讨论，结合一元二次不等式恒成立，求得实数a 的取值范围.【详解】（1）当1a =-时，由()0f x <得，2420x x --+<，所以2420x x +->，所以不等式的解集为(62)(62)-∞-+∞，，；（2）因为()1f x ≥-解集为R ，所以2(3)21ax a x +-+-≥在R 恒成立，当0a =时，得321x -+-≥，不合题意；当0a ≠时，由2(3)30ax a x +-+≥在R 恒成立，得()203120a a a >⎧⎪⎨--≤⎪⎩，所以99a -+≤【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题. 26．（1）(,2)(5,)-∞⋃+∞；（2）[2,6]-.【分析】（1）当7a =是，解一元二次不等式求得不等式()0f x >的解集.（2）利用判别式列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）当7a =时，不等式为27100x x -+>，即(2)(5)0x x -->，∴该不等式解集为(,2)(5,)-∞⋃+∞ .（2）由已知得，若x ∈R 时，230+++≥x ax a 恒成立，24(3)0a a ∴∆=-+≤，即(2)(6)0a a +-≤，∴a 的取值范围为[2,6]-.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.。

高中数学必修5(北师版)第三章不等式3.3 基本不等式(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案

，即 x =
1 1 时，f (x) 取得最大值． 6 12
设 a, b, c ∈ R，求证：a2 + b 2 + c 2 ⩾ ab + bc + ca ．证明：因为 a2 + b 2 ⩾ 2ab ，b 2 + c 2 ⩾ 2bc，c 2 + a2 ⩾ 2ca ，所以
某种汽车，购车费用是 10 万元，每年使用的保险费、汽油费约为 0.9 万元，年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元．问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？解：设使用 x 年时，年平均费用 y 最少．由于“年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元”，可知汽车每年维修费构成以 0.2 万元为首项，0.2 万元为公差的等差数列．因此汽车使用 x 年的总维修费用为
(a2 + b 2 ) + (b 2 + c 2 ) + (c 2 + a2 ) ⩾ 2ab + 2bc + 2ca,
2
+
2
+
2
⩾
+
+
当且仅当 a = b = c 时，等号成立，所以 a2 + b 2 + c 2 ⩾ ab + bc + ca ．
3.均值不等式的实际应用描述：利用基本不等式解决实际问题的一般步骤： ①正确理解题意，设出变量，一般可以把要求最大（小）值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大值或最小值； ④正确写出答案．例题：建造一个容积为 8 m 3 ，深为 2 m 的长方形无盖水池，如果池底的造价是每平方米 120 元，池壁的造价是每平方米 80 元，求这个水池的最低造价．解：设水池的造价为 y 元，池底的长为 x m ，则宽为

北师大版高中数学必修5《三章不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》赛课导学案_13

3．2基本不等式与最大(小)值●三维目标1．知识与技能会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，会用基本不等式解决实际问题．通过探究实例过程，领悟利用不等式求简单的最大(小)值问题所满足的条件．3．情感、态度与价值观通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯，培养学生的探索精神．●重点难点重点：用基本不等式解决简单的最值问题．难点：用基本不等式求最值的使用条件．●教学建议在用基本不等式求最值时，要讲清楚使用条件：“一正、二定、三相等”．课本P91例2就是对这三个应用条件的很好的阐释．有些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式解决如例3中若x<0则需要变形方可利用基本不等式求最值．●教学流程创设问题情境，提出问题：如何通过基本不等式求f(x)＝x(1－x)(0<x<1)的最值？⇒引导学生回答问题，理解利用基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，掌握用基本不等式解决最值问题⇒通过例1及变式训练，使学生掌握基本不等式求最值⇒通过例2及互动探究，使学生掌握求有约束条件的最值⇒通过例3及变式训练，使学生掌握基本不等式解决实际问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第59页)已知函数f(x)＝x(1－x)(0<x<1)，该函数有最大值还是最小值？能否通过基本不等式求它的最值？【提示】最大值；能．∵0<x<1，∴1－x>0，又∵a＋b2≥ab，∴ab≤(a＋b2)2，∴x(1－x)≤(x＋1－x2)2＝14，当且仅当x＝1－x，即x＝12时，f(x)有最大值14.已知x、y都是正数(对应学生用书第59页)(1)已知x >0，求函数y ＝x x 的最小值；(2)已知0<x <13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．【思路探究】 (1)利用分式的性质拆开，构造ax ＋bx 形式，再利用基本不等式；(2)转化为括号内外x 的系数互为相反数即保证和为定值时，再使用基本不等式．【自主解答】 (1)∵y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4x ＋5≥24＋5＝9，当且仅当x ＝4x 即x ＝2时等号成立．故y ＝x 2＋5x ＋4x (x >0)的最小值为9.(2)法一 ∵0<x <13，∴1－3x >0. ∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13[3x ＋（1－3x ）2]2＝112.当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立． ∴当x ＝16时，函数取得最大值112.法二∵0<x<13，∴13－x>0.∴y＝x(1－3x)＝3·x(13－x)≤3·(x＋13－x2)2＝1 12，当且仅当x＝13－x，即x＝16时，等号成立．∴当x＝16时，函数取得最大值112.1．应用基本不等式的条件：“一正、二定、三相等”，在求最值时必须同时具备，解答本题易漏掉等号成立的条件．2．此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一个难点，它需要一定的灵活性和技巧性．常用技巧有“拆项”、“添项”、“凑系数”、“常值代换”等．已知x＜54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值．【解】∵x＜54，∴5－4x＞0，∴y＝4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3＝－[(5－4x)＋15－4x]＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x即x＝1时等号成立，∴当x＝1时，y max＝1.已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求1a＋1b的最小值．【思路探究】思路一：利用“1”的整体代换求解：即把1a＋1b看作⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b×1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ×(a ＋2b )，化简后利用基本不等式求解．思路二：将式子1a ＋1b 中的1用a ＋2b 代换后，利用基本不等式求解．【自主解答】法一 1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·(a ＋2b ) ＝1＋2b a ＋a b ＋2＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22b a ·ab＝3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝a b a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1b ＝1－22时等号成立．∴1a ＋1b 的最小值为3＋2 2.法二 1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝1＋2b a ＋ab ＋2 ＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝a b a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1b ＝1－22时，等号成立，∴1a ＋1b 的最小值为3＋2 2.1．本题在解答中要注意使1a ＋1b 取最小值所对应a 、b 的值也要一并解出来． 2．解含有条件的最值问题，常结合要求最值的式子，采用“配”、“凑”的方法，构选成基本不等式的形式，从而得出最值．本例中，如何求ab 的最大值？【解】法一 ab ＝12a ·(2b )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22＝18，当且仅当⎩⎨⎧a ＋2b ＝1a ＝2b，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝14时，ab 取得最大值18.法二 ∵a ＋2b ＝1，∴1＝a ＋2b ≥2a ·（2b ），即ab ≤122，∴ab ≤18，当且仅当⎩⎨⎧a ＝2b a ＋2b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝14时，ab 取得最大值18.某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图3－3－3，设池塘所占总面积为S 平方米．图3－3－3(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．【思路探究】根据题中变量，认真分析图形，构建函数关系式，利用基本不等式求最值．【自主解答】 (1)由图形知，3a ＋6＝x ， ∴a ＝x －63.S ＝(1 800x －4)·a ＋2a (1 800x －6) ＝a (5 400x －16) ＝x －63(5 400x －16)＝1 832－(10 800x ＋16x3)．即S ＝1 832－(10 800x ＋16x3)(x >0)． (2)由S ＝1 832－(10 800x ＋16x 3)，得S ≤1 832－210 800x ·16x 3＝1 832－2×240＝1 352，当且仅当10 800x ＝16x3时等号成立，此时，x ＝45，即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米．1．根据已知，列出关系式是解答本题的关键．2．利用基本不等式解决实际问题要遵循以下几点：①在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量之间的关系，初步确定用怎样的函数模型；②建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值；④回到实际问题中，检验并写出正确答案．北京市有关部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解】 (1)由题意 y ＝920v v 2＋3v ＋1 600＝920（v ＋1 600v ）＋3≤9202v ·1 600v ＋3＝92083，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时取等号． ∴y max ＝92083≈11.1(千辆/小时)， ∴当车速v ＝40千米/小时时，车流量最大为11.1千辆/小时． (2)由题意：920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v－25)(v－64)＜0，解得25＜v＜64.∴当车辆平均速度大于25千米/小时且小于64千米/小时时，车流量超过10千辆/小时．(对应学生用书第61页)忽视基本不等式的条件致误求函数y＝1－2x－3x的值域．【错解】函数可化为y＝1－(2x＋3 x)．∵2x＋3x≥22x·3x＝2 6.当且仅当2x＝3x，即x＝±62时取等号．∴y＝1－(2x＋3x)≤1－2 6.∴函数的值域为(－∞，1－26]．【错因分析】利用基本不等式求最值时，忽视了各项为正的条件．【防范措施】利用基本不等式求最值时一定注意应用条件“一正、二定、三相等”．【正解】函数可化为y＝1－(2x＋3 x)．①当x>0时，2x＋3x≥22x·3x＝2 6.当且仅当2x＝3x，即x＝62或x＝－62(舍)时等号成立．∴y＝1－(2x＋3x)≤1－2 6.②当x<0时，y＝1＋(－2x)＋(－3 x)．∵－2x＋(－3x)≥2（－2x）·（－3x）＝26，y≥1＋2 6.当且仅当－2x＝－3x时，即x＝62(舍)．若x＝－62时等号成立．∴函数的值域为(－∞，1－26]∪[1＋26，＋∞)．1．利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用基本不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境．2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到，若取不到，必须利用函数的单调性去求函数的最值．(对应学生用书第61页)1．下列函数中最小值为4的是()A．y＝x＋4 xB．y＝sin x＋4sin x(0＜x＜π)C．y＝3x＋4·3－xD．y＝lg x＋4log x10【解析】A不满足正数，B取不到等号成立，D不满足正数，C正确．【答案】C2．若实数a、b满足a＋b＝2，则2a＋2b的最小值为()A.2B．22C．2D．4【解析】由基本不等式得，2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝4.【答案】 D3．设x ，y ∈N ＋满足x ＋y ＝20，则lg x ＋lg y 的最大值为________．【解析】 ∵x ，y ∈N ＋，∴20＝x ＋y ≥2xy ， ∴xy ≤100，∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2，当x ＝y ＝10时取“＝”．【答案】 24．已知x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1y ＝1.求x ＋2y 的最小值．【解】 x ＞0，y ＞0，8x ＋1y ＝1， ∴x ＋2y ＝(8x ＋1y )(x ＋2y )＝10＋x y ＋16yx ≥10＋2x y ·16yx ＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x ，即⎩⎨⎧x ＝12y ＝3时，等号成立，故当x ＝12，y ＝3时，(x ＋2y )min ＝18.(对应学生用书第113页)一、选择题 1．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( ) A ．2 B ．a C.2aa －1D ．3 【解析】 a ＞1，∴a －1＞0，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝3.【答案】 D2．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( ) A ．3 B ．－3 2 C ．3－2 3 D ．－1【解析】 ∵x ＞0，∴y ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x ＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，且x ＞0，即x ＝33时，等号成立．【答案】 C3．(2013·鹤岗高二检测)若x ＞0，y ＞0，且1x ＋4y ＝1，则x ＋y 的最小值是( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12【解析】 x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋y x ＋4x y ＋4 ＝5＋y x ＋4xy ≥5＋2y x ·4xy ＝5＋4＝9.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋4y ＝1y x ＝4x y ，即⎩⎨⎧x ＝3y ＝6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.【答案】 C4．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为( )A ．50B ．25 3C ．50 3D ．100【解析】设矩形的长和宽分别为x 、y ，则x 2＋y 2＝100. 于是S ＝xy ≤x 2＋y 22＝50，当且仅当x ＝y 时等号成立．【答案】 A5．(2013·宿州高二检测)若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b 的最小值是( ) A.14 B ．1 C ．4 D ．8【解析】由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0，得⎩⎨⎧a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．【答案】 C 二、填空题6．(2013·广州高二检测)若x >0，则x ＋2x 的最小值是________．【解析】 x ＋2x ≥2x ·2x ＝22，当且仅当x ＝2时，等号成立．【答案】 2 27．(2013·南京高二检测)若log m n ＝－1，则3n ＋m 的最小值是________．【解析】 ∵log m n ＝－1， ∴mn ＝1且m >0，n >0，m ≠1. ∴3n ＋m ≥23mn ＝2 3.当且仅当3n ＝m 即n ＝33，m ＝3时等号成立．【答案】 2 38．函数y ＝log 2x ＋log x (2x )的值域是________．【解析】 y ＝log 2x ＋log x 2＋1.由|log 2x ＋log x 2|＝|log 2x |＋|log x 2|≥2|log 2x |·|log x 2|＝2，得log 2x ＋log x 2≥ 2或log 2x ＋log x 2≤ －2， ∴y ≥ 3或y ≤ －1.【答案】 (－∞ ，－1]∪ [3，＋∞ ) 三、解答题9．当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值．【解】 y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－(3－2x 2＋83－2x )＋32，∵当x <32时，3－2x >0， ∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2 ·83－2x ＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数有最大值－52.10．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是多少？【解】法一 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8， ∴y ＝8－x 2x ＋2＞0，∴0＜x ＜8.∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2（x ＋1）·9x ＋1－2＝4.当且仅当x ＋1＝9x ＋1时“＝”成立，此时x ＝2，y ＝1.法二 ∵x ＞0，y ＞0，∴8＝x ＋2y ＋2xy ＝x ＋2y ＋x ·2y ≤x ＋2y ＋(x ＋2y 2)2，即(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0， ∴[(x ＋2y )＋8][(x ＋2y )－4]≥0， ∴x ＋2y ≥4，当且仅当x ＝2y 时取等号．由x ＝2y 且x ＋2y ＋2xy ＝8，得x ＝2，y ＝1，此时x ＋2y 有最小值4. 11．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了旧城拆建工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x ＋784x ＋3－118(千元)，其中x 表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)【解】设城建公司获得的附加效益为y 千元，由题意得 y ＝2x －(6x ＋784x ＋3－118)＝118－(4x ＋784x ＋3) ＝118－[4(x ＋3)＋784x ＋3－12] ＝130－[4(x ＋3)＋784x ＋3] ≤130－24（x ＋3）·784x ＋3＝130－112＝18(千元)，当且仅当4(x ＋3)＝784x ＋3，即x ＝11时取等号．所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．(教师用书独具)某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．【思路探究】审题、理解题意―→ 建立相应的函数解析式，标出定义域―→ 在定义域内求出函数的最小值―→ 回到实际问题，检验作答【自主解答】设该厂x (x ∈N ＋)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 1元．∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，∴x 天饲料的保管与其他费用共是6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝3x 2－3x (元)．从而有y 1＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8 ＝300x ＋3x ＋357≥417.当且仅当300x ＝3x ，即x ＝10时，y 1有最小值．即10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．利用基本不等式解决实际问题的一般思路如下：(1)在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量间的关系，初步确立用怎样的函数模型．(2)建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值．(4)回到实际问题中，检验并写出正确答案．从等腰直角三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．【解析】设两个正方形边长分别为a ，b ，则由题可得a ＋b ＝1，且13≤a ，b ≤23，S ＝a 2＋b 2≥2×(a ＋b 2)2＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．【答案】错误!。

高中数学必修5(北师版)第三章不等式3.2(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案

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1 < x + 1 < 3 或 − 3 < x + 1 < −1,
解得 0 < x < 2 或 −4 < x < −2，故原不等式的解集为
{x | 0 < x < 2 或 − 4 < x < −2}.
解不等式： x + |2x − 1| < 3 ．解：因为 x + |2x − 1| < 3 ，所以 |2x − 1| < 3 − x，等价于
所以原不等式的解集为{x | x < −2 或 1 < x < 2}．
5.无理不等式的解法描述：无理不等式一般地，根号下含有未知数的不等式称为无理不等式．例题：解不等式 √4x − x 2 < x ．解：原不等式等价于不等式组
− − − −− −
⎧ 4x − x2 ⩾ 0 ⎨x > 0 ⎩ 4x − x2 < x2
高中数学必修5(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章不等式 3.2 一元二次不等式
一、知识清单
一次不等式的解法高次不等式的解法二次不等式的解法无理不等式的解法分式不等式的解法绝对值不等式的解法
二、知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ讲解
1.一次不等式的解法描述：一元一次不等式的概念不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 ，像这样的不等式叫做一元一次不等式．例题：解下列不等式：（1）2x + 1 ⩾ −x − 5 ；（2）−2x − 3 < 7 ；（3）ax + 1 < 0．解：（1）因为 2x + 1 ⩾ −x − 5 ，所以 3x ⩾ −6 ，即 x ⩾ −2，故原不等式的解集为 {x|x ⩾ −2} ；（2）因为 −2x − 3 < 7 ，所以 −2x < 10，即 x > −5，故原不等式的解集为 {x|x > −5} ；（3）因为 ax + 1 < 0，所以 ax < −1 ．当 a = 0 时，原不等式的解集为 ∅；

2019-2020新学练考数学同步必修五北师大课件：第三章§3-3.2 基本不等式与最大(小)值

法二：设矩形栏目的高为 a cm，宽为 b cm，则 ab＝9 000，其中 a>0，b>0. 易知广告牌的高为(a＋20)cm，宽为(2b＋25)cm. 广告牌的面积 S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18 500＋25a＋40b≥18 500＋2 25a·40b＝24 500，当且仅当 25a＝ 40b 时等号成立，此时 b＝58a，代入 ab＝9 000 得 a＝120，b＝75. 即当 a＝120，b＝75 时，S 取得最小值 24 500. 故当广告牌的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小．
利用基本不等式求最大值或最小值的注意事项 (1)x，y 一定都是正数． (2)求积 xy 最大值时，应看和 x＋y 是否为定值；求和 x＋y 最小值时，应看积 xy 是否为定值． (3)等号是否能够成立．以上三点可简记为“一正、二定、三相等”．
1.(1)已知 t>0，则函数 y＝t2－4tt＋1的最小值为________． (2)设 0<x≤2，则函数 f(x)＝ x（8－2x）的最大值为________．
2.(1)已知 m，n＞0，且 m＋n＝16，则12mn 的最大值为________． (2)已知 x＞0，y＞0，lg x＋lg y＝1，求2x＋5y的最小值．解：(1)因为 m，n＞0 且 m＋n＝16，所以由基本不等式可得 mn≤m＋2 n2＝1262＝64. 当且仅当 m＝n＝8 时，mn 取到最大值 64. 所以12mn 的最大值为 32.故填 32.
【解析】 (1)因为 x>2，所以 x－2>0，所以 y＝x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2 ≥2 （x－2）·x－4 2＋2＝6，当且仅当 x－2＝x－4 2，即 x＝4 时，等号成立．所以 y＝x＋x－4 2的最小值为 6.

高中数学必修五北师大版 3.2 基本不等式与最大(小)值作业(含答案)3

第3章 3.2(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若a ，b ∈R 且a ＋b ＝0，则2a ＋2b 的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析： ∵2a ＞0,2b ＞0，∴2a ＋2b ≥22a ·2b＝22a ＋b ＝2，当2a ＝2b ，即a ＝b ＝0时取等号．答案： A2．设a ＞0，b ＞0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.14解析：因为3a ·3b ＝3，所以a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2ba ·ab ＝4，当且仅当b a ＝ab ，即a ＝b ＝12时，“＝”成立，故选B.答案： B3．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)、B (1,1)两点的直线上，那么2x ＋4y 的最小值为() A ．3 B ．4 2C. 2 D ．2解析：直线AB 的方程为：x ＋2y ＝3.点P (x ，y )坐标适合上述方程，则2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝42，当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时等号成立．答案： B4．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析： ∵a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，∴(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ≥(2xy )2xy＝4. 答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．解析：每年购买次数为400x次． ∴总费用＝400x·4＋4x ≥26400＝160，当且仅当1600x＝4x ，即x ＝20时等号成立．答案： 206．若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析： a ≥x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3 又x ＋1x≥2 ∴1x ＋1x ＋3≤15 ∴a ≥15答案： a ≥15三、解答题(每小题10分，共20分)7．(1)求函数y ＝1x －3＋x (x ＜3)的最大值； (2)求函数y ＝x (a －2x )(x >0，a 为大于2x 的常数)的最大值．解析： (1)∵x >3，∴y ＝1x －3＋x ＝1x －3＋(x －3)＋3＝－⎣⎡⎦⎤(3－x )＋13－x ＋3≤－2＋3＝1 当且仅当3－x ＝13－x，即x ＝2时取等号．∴y max ＝1.(2)∵x >0，a >2x ，∴y ＝x (a －2x )＝12·2x ·(a －2x ) ≤12·⎣⎡⎦⎤2x ＋(a －2x )22＝a 28，当且仅当x ＝a 4时，取等号， ∴y max ＝a 288．已知a >0，b >0，ab ＝a ＋b ＋3，求：(1)ab 的最小值；(2)a ＋b 的最小值．解析： (1)∵a >0，b >0，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3∴(ab )2－2ab －3≥0， ∴ab ≥3或ab ≤－1(舍去)，∴ab ≥9.等号成立的条件是a ＝b 且ab ＝9，即a ＝b ＝3，故ab 的最小值为9.(2)∵a >0，b >0，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 ∴ab ＝a ＋b ＋3≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0∴a ＋b ≥6或a ＋b ≤－2(舍去)当且仅当a ＝b 且a 2－2a －3＝0即a ＝b ＝3时取等号．∴当a ＝b ＝3时，a ＋b 取得最小值6.尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)某几何体的三视图如图所示，求a ＋b 的最大值及当a ＋b 取最大值时，这个几何体的体积．。

高中数学北师大版必修五课件：第3章 §3-3.2 基本不等式与最大值

思想方法
分类讨论思想求函数的值域
求函数 y＝x22＋x 1的值域．【解】当 x＞0 时，y＝x22＋x 1＝x＋2 1x，
因为 x＋1x≥2，所以 0＜x＋2 1x≤1，所以 0＜y≤1，当且仅当 x＝1 时取等号．
当 x＜0 时， y＝x22＋x 1＝x＋2 1x＝－[（－x）2＋（－1x）]. 因为 x＜0，所以－x＞0，所以(－x)＋（－1x）≥2，所以 0＜（－x）＋2 （－1x）≤1，所以－1≤x＋2 1x＜0，所以－1≤y＜0，当且仅当 x＝－1 时，取等号．当 x＝0 时，y＝0，所以函数 y 的值域为[－1，1]．
【解】法一：设矩形广告牌的高为 x cm，宽为 y cm，则每栏的高和宽分别为(x－20)cm，y－225cm，其中 x>20，y>25，则两栏面积之和为 2(x－20)×y－225＝18 000，由此得 y＝1x8－02000 ＋25，所以广告牌的面积 S＝xy＝ x1x8－02000＋25＝1x8－00200x＋25x，整理得 S＝3x6－0 02000＋25(x－20)＋18 500.
法二：设矩形栏目的高为 a cm，宽为 b cm，则 ab＝9 000，其中 a>0，b>0. 易知广告牌的高为(a＋20)cm，宽为(2b＋25)cm. 广告牌的面积 S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18 500＋25a＋40b≥18 500＋2 25a·40b＝24 500，当且仅当 25a＝ 40b 时等号成立，此时 b＝58a，代入 ab＝9 000 得 a＝120，b＝75. 即当 a＝120，b＝75 时，S 取得最小值 24 500. 故当广告牌的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小．

高中数学北师大版必修5 第三章3.2 基本不等式与最大(小)值作业2 Word版含解析

,[学生用书单独成册])[.基础达标]．函数()＝＋＋在(－∞，－]上( )．无最大值，有最小值．无最大值，有最小值－．有最大值，有最小值－．有最大值－，无最小值解析：选.因为≤－，所以()＝＋＋＝－＋≤－＋＝－，当且仅当－＝－，即＝－时，等号成立．所以()有最大值－，无最小值，故选.．设＞，＞，若是与的等比中项，则＋的最小值为( )．．．解析：选是与的等比中项⇒·＝⇒＋＝⇒＋＝.因为＞，＞，所以≤＝⇒≤.所以＋＝＝≥＝.当且仅当＝＝时，等号成立．．已知＞，＞，则＋＋的最小值是( )．．．．解析：选.因为＞，＞，所以＋≥，当且仅当＝时取等号，所以＋＋≥＋≥＝，当且仅当＝＝且＝时，取等号．故＋＋的最小值为.．点(，)是直线＋－＝上的动点，则代数式＋有( )．最大值．最小值．最大值．最小值解析：选.因为点(，)在直线＋－＝上，所以＋＝.所以＋＝＋≥＝＝＝.当且仅当＝，即＝，＝时，等号成立．所以代数式＋有最小值.．已知＞，＞，＋＝，则＝＋的最小值是( )．．解析：选.因为＋＝，所以＝＝＋＝＋＋＋≥＋＝＋＝，当且仅当＝，＝时等号成立．．已知，＞且＋＝，则＝＋＋＋的最小值为．解析：＋＋＋＝＋＋＋＝＋≥＋＝，当且仅当＝＝时等号成立．答案：．建造一个容积为，深为的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为元和元，那么水池的最低总造价为元．解析：设水池的总造价为元，长方体底的一边长为，由于底面积为，所以另一边长为．那么＝×＋×·＝＋≥＋×＝(元)．当＝，即底为边长为的正方形时，水池的总造价最低，为元．答案：．若实数、满足＋＋＝，则＋的最大值是．解析：＋＋＝(＋)－＝，所以(＋)＝＋≤＋.所以(＋)≤.所以＋≤.当且仅当＝＝时等号成立．答案：．求下列函数的最小值．()设，都是正数，且＋＝，求＋的最小值；()设＞－，求＝的最小值．解：()＋＝＝(＋)＝≥(＋)＝.当且仅当＝时等号成立，即＝.所以＝.又因为＋＝，得＝，＝.所以当＝，＝时，＋取得最小值为.()因为＞－，所以＋＞.设＋＝＞，则＝－，于是有＝＝＝＋＋≥＋＝，当且仅当＝，即＝时取等号，此时＝.所以当＝时，函数＝取得最小值为..围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元.设利用的旧墙的长度为(单位：)，修建此矩形场地围墙的总费用为(单位：元)．()将表示为的函数；()试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用．解：()设矩形的另一边长为，则＝＋(－)＋·＝＋－.由已知＝，得＝，所以＝＋－(＞)．()因为＞，所以＋≥＝.所以＝＋－≥，当且仅当＝时，等号成立．即当＝时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是元．[.能力提升]．已知＞，＞，＋＋＝，则＋的最小值是( )．．解析：选.因为＋＋＝，所以＝＞.所以＜＜.所以＋＝＋·＝(＋)＋－≥－＝.当且仅当＋＝，即＝时，取“＝”号，此时＝，＝.．在区间上，函数()＝＋＋(，∈)与()＝在同一点取得相同的最小值，那么()在区间上的最大值是( )．．解析：选()＝＝＋＋≥，当且仅当＝时，等号成立，即当＝时取最小值，所以()的对称轴是＝，所以＝－.再把(，)代入即得＝.所以()＝－＋，易得在上的最大值是()＝－＋＝.．在×□＋×□＝的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上和．解析：设两数为，，即＋＝，又＋＝＝≥×(＋)＝，当且仅当＝，且＋＝，即＝，＝时，等号成立．答案：。

北师大版高中数学必修五练习第3章3.2基本不等式与最大(小)值第2课时

第2课时利用基本不等式求最值及实际应用题课时过关·能力提升1.若x>1,则函数y=x +1x +16xx 2+1的最小值为( ) A.16 B.8C.4D.非上述情况x>1,设t=x +1x >2,∴原函数可变为y=t +16t ≥2√16=8,当且仅当t=4时,等号成立.2.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( ) A.60件B.80件C.100件D.120件f (x ), 则f (x )=800+x8·x ·1=800+x≥2√800·x=20.当且仅当800=x ,即x=80时,等号成立.3.某工厂第一年年产量为A ,第二年的增长率为a ,第三年的增长率为b ,这两年的平均增长率为x ,则( ) A.x =a+b2B.x ≤a+b2 C.x >a+bD.x ≥a+bA (1+a )(1+b )=A (1+x )2,即(1+a )(1+b )=(1+x )2,则(1+x )2=1+(a+b )+ab ≤1+(a+b )+(a+b 2)2=(1+a+b 2)2,即1+x ≤1+a+b 2,故x ≤a+b2.4.已知x>0,y>0,x ,a ,b ,y 成等差数列,x ,c ,d ,y 成等比数列,则(a+b )2的最小值是()A.0B.1C.2D.4{a +b =x +y ,cd =xy ,故(a+b)2cd =(x+y)2xy=x2+y2+2xyxy=x2+y2xy+2.∵x>0,y>0,∴x2+y2xy+2≥2+2=4,当且仅当x=y时,等号成立.5.某商场的某种商品的年进货量为1万件,分若干次进货,每次进货的量相同,且需运费100元,运来的货物除出售外,还需租仓库存放,一年的租金按一次进货时的一半计算,每件2元,为使一年的运费和租金最省,每次进货量应为()A.500件B.1 000件C.2 500件D.5 000件x件,总费用为y元,由y=10000×100x +x2×2≥2√1000000x·x=2 000,当且仅当x=x,即x=1 000时,等号成立,此时y最小.6.设x,y∈R,a>1,b>1,若a x=b y=2,a2+b=4,则2x +1y的最大值为()A.1B.2C.3D.4a x=b y=2,∴x=log a2,y=log b2.∴2 x +1y=2log2a+log2b=log2a2b.∵a2+b=4,a>1,b>1,∴a2+b=4≥2√a2b,即a2b≤4,当且仅当a=√2,b=2时,等号成立.∴2 x +1y=log2a2b≤log24=2,即2x+1y的最大值为2.故选B.7.已知不等式(x+y)(1x +ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值是()A.2B.3C.4D.92x+y)(1x +ay)=1+a+yx+axy≥1+a+2√yx·axy=1+a+2√a=(√a+1)2.∵不等式(x+y)(1x +ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,∴(√a+1)2≥9,即√a+1≥3.∴√a≥2,a≥4,即正实数a的最小值为4.故选C.8.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总费用之和最小,则x=吨.400x,所以总费用为400x·4+4x≥2√6400=160,当且仅当1600x=4x,即x=20时,等号成立.故x=20.9.建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为元.★10.设0<x<2,求函数f(x)=√3x(8-3x)的最大值,并求相应的x值.试问当0<x<43时,原函数f(x)有没有最大值?当0<x≤1时,f(x)有没有最大值?若有,请你求出来;若没有,请你说明理由.0<x<2,∴8-3x>0.∴f(x)=√3x(8-3x)≤√(3x+8-3x2)2=4,当且仅当3x=8-3x,即x=43时,等号成立,∴函数f(x)的最大值为4,此时x=43.又f(x)=√-9x2+24x=√-(3x-4)2+16,当0<x<43时,f(x)是增加的;当x>43时,f(x)是减少的,∴当0<x<43时,函数f(x)没有最大值,当0<x≤1时,有最大值f(1),且f(1)=√15.★11.某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积)f(x)元,则f(x)=560+48x+2160×100002000x=560+48x+10800x(x≥10,x∈N),故f(x)=560+48x+10800x≥560+2√48x·10800x=2 000,当且仅当48x=10800x,即x=15时,等号成立.因此,当x=15时,f(x)取得最小值f(15)=2 000.即为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15层.。

高中数学北师大版必修五达标练习：第3章 §3-3.2 基本不等式与最大(小)值含解析

[A 基础达标]1．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( ) A ．3B ．3－2 2C ．3－2 3D ．－1解析：选C.y ＝3－3x －1x＝3－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取等号． 2．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为( ) A ．－3B ．3C ．4D ．－4解析：选B.因为x ＋1x －1＋5 ＝(x －1)＋1x －1＋6 ≥2（x －1）·1x －1＋6＝8. 所以log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3，所以y min ＝3. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( )A ．16B ．25C ．9D ．36解析：选B.(1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋x ）＋（1＋y ）22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋（x ＋y ）22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y 即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25，故选B.4．已知x ＞1，y ＞1且xy ＝16，则log 2x ·log 2y ( )A ．有最大值2B ．等于4C ．有最小值3D ．有最大值4解析：选D.因为x ＞1，y ＞1，所以log 2x ＞0，log 2y ＞0.所以log 2x ·log 2y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋log 2y 22 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 2（xy ）22＝4，当且仅当x ＝y ＝4时取等号．故选D.5．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝( ) A ．－3B ．2C ．3D ．8 解析：选 C.y ＝x －4＋9x ＋1＝(x ＋1)＋9x ＋1－5，因为x >－1，所以x ＋1>0，所以y ≥2（x ＋1）·9x ＋1－5＝2×3－5＝1.当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立，即a ＝2，b ＝1，所以a ＋b ＝3.6．已知x ，y >0且x ＋y ＝1，则p ＝x ＋1x ＋y ＋1y的最小值为________．解析：x ＋1x ＋y ＋1y＝x ＋x ＋y x ＋y ＋x ＋y y＝3＋⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ≥3＋2＝5，当且仅当x ＝y ＝12时等号成立．答案：57．周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为________．解析：设直角三角形的两条直角边边长分别为a 、b ，则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取“＝”，所以直角三角形面积S ≤14，即S 的最大值为14. 答案：148．若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________．解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，所以1a ＋2b ＝1，因为a >0，b >0，所以2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋2b )＝4＋b a ＋4a b≥4＋2b a ·4a b ＝8，当且仅当b a ＝4a b，即a ＝2，b ＝4时等号成立，所以2a ＋b 的最小值为8.答案：89．求下列函数的最小值．(1)设x ，y 都是正数，且1x ＋2y＝3，求2x ＋y 的最小值； (2)设x ＞－1，求y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1的最小值．解：(1)2x ＋y ＝3（2x ＋y ）3＝13⎝⎛⎭⎫1x ＋2y (2x ＋y ) ＝13⎝⎛⎭⎫y x ＋4x y ＋4≥13(24＋4)＝83. 当且仅当y x ＝4x y时等号成立，即y 2＝4x 2. 所以y ＝2x .又因为1x ＋2y ＝3，得x ＝23，y ＝43. 所以当x ＝23，y ＝43时，2x ＋y 取得最小值为83. (2)因为x ＞－1，所以x ＋1＞0.设x ＋1＝t ＞0，则x ＝t －1，于是有y ＝（t ＋4）（t ＋1）t ＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t ＋5＝9，当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1. 所以当x ＝1时，函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1取得最小值为9. 10.桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 最大，则x ，y 的值各为多少？解：(1)由题可得，xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋6＝3a ＋6，S ＝(x －4)a ＋(x －6)b ＝(3x －16)a ＝(3x －16)y －63＝1 832－6x －163y (x ＞6，y ＞6，xy ＝1 800)． (2)法一：S ＝1 832－6x －163y ≤1 832－26x ×163y ＝1 832－480＝1 352，当且仅当6x ＝163y ，xy ＝1 800，即x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值1 352.法二：S ＝1 832－6x －163×1 800x＝1 832－⎝⎛⎭⎫6x ＋9 600x ≤1 832－26x ×9 600x ＝1 832－480＝1 352，当且仅当6x ＝9 600x，即x ＝40时取等号，S 取得最大值．此时y ＝1 800x＝45. [B 能力提升]11．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则实数m 的最大值为( ) A ．8B ．7C ．6D ．5 解析：选C.由已知，可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1，所以2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.12．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．解析：a 4＋4b 4＋1ab ＝a 3b ＋4b 3a ＋1ab ，由基本不等式得，a 3b ＋4b 3a ＋1ab≥2a 3b ×4b 3a ＋1ab＝4ab ＋1ab ≥4，当且仅当a 3b ＝4b 3a ，4ab ＝1ab同时成立时等号成立．答案：413．已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)．(1)求xy 的最小值；(2)求x ＋y 的最小值．解：由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)因为x ＞0，y ＞0，所以3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1，所以3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0.所以(3xy ＋1)(xy －1)≥0.所以xy ≥1，所以xy ≥1.当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．所以xy 的最小值为1.(2)因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，所以3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0，所以[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0.所以x ＋y ≥2.当且仅当x ＝y ＝1时取等号．所以x ＋y 的最小值为2.14．(选做题)如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB ＝2米，AD ＝1米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于9平方米，则DN 的长应在什么范围内？(2)当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值．解：(1)设DN 的长为x (x >0)米，则|AN |＝(x ＋1)米，因为|DN ||AN |＝|DC ||AM |，所以|AM |＝2（x ＋1）x，所以S 矩形AMPN ＝|AN |·|AM |＝2（x ＋1）2x. 由S 矩形AMPN >9，得2（x ＋1）2x>9，又x >0，所以2x 2－5x ＋2>0，解得0<x <12或x >2. 即DN 的长的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)．(单位：米) (2)由(1)知矩形花坛AMPN 的面积为y ＝2（x ＋1）2x ＝2x 2＋4x ＋2x ＝2x ＋2x ＋4≥2·2x ·2x＋4＝8(x >0)．当且仅当2x ＝2x即x ＝1时，矩形花坛AMPN 的面积最小，最小值为8平方米．。

2019高中数学北师大版必修5课时作业：第3章不等式 24 Word版含答案

§24 基本不等式的应用时间：45分钟满分：80分班级________ 姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．若实数a 、b 满足a ＋b ＝2，则2a＋2b的最大值为( ) A. 2 B ．2 2 C ．2 D ．42．设x 、y 满足x ＋4y ＝40且x 、y 都是正数，则lg x ＋lg y 的最大值为( ) A ．40 B ．10 C ．4 D ．23．设M ＝(1a －1)(1b －1)(1c－1)，且a ＋b ＋c ＝1，其中a ，b ，c 均为正实数，则M 的取值范围是( )A ．[0，18)B ．[18，1)C ．[1,8)D ．[8，＋∞)4．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋4y的最小值为( )A ．6B ．9C ．12D ．155．设a >0，b >0.若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A. 8B. 4C. 1D. 146．下列各函数中，最小值为2的是( ) A. y ＝x ＋1xB. y ＝sin x ＋1sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，x 2C. y ＝x 2＋3x 2＋2D. y ＝x ＋1x二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知非负实数a ，b 满足2a ＋3b ＝10，则3b ＋2a 的最大值是________． 8．已知a ，b ∈R ＋，如果ab ＝36，那么a ＋b 的最小值为________；如果a ＋b ＝18，那么ab 的最大值为________．9．若不等式axx 2－x ＋1≤1对x >0恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：(共35分，其中第10小题11分，第11、12小题各12分) 10．已知x >0，y >0，lg x ＋lg y ＝1，求2x ＋5y的最小值．11.一个直角三角形的周长为2p.(1)求其斜边长的最小值；(2)求其直角边的和的最大值；(3)求其面积的最大值．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总收入之和？并求出此时商品的每件定价．一、选择题1．D 由基本不等式得，2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b＝4.2．D ∵x ，y ∈R ＋，∴40＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，∴xy ≤100.∴lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg100＝2.等号在x ＝4y ＝20，即x ＝20，y ＝5时成立． 3．D ∵M ＝(a ＋b ＋c a －1)(a ＋b ＋c b －1)(a ＋b ＋cc－1) ＝(b a ＋c a )(a b ＋c b )(a c ＋b c)≥2bca 2·2ac b 2·2abc 2＝8， ∴M ∈[8，＋∞)．4．B (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y＝x ·1x ＋4x y ＋y x ＋y ·4y ＝1＋4＋4x y ＋y x≥5＋24x y ·yx＝9.5．B 解法1：因为3a ·3b＝3，所以a ＋b ＝1， ∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4.解法2：因为3a·3b＝3，所以a ＋b ＝1， 1a ＋1b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋b a ·ab＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等式成立，故选B.6．D 对于A ，不能保证x >0，对于B ，不能保证sin x ＝1sin x，对于C ，不对保证x 2＋2＝1x 2＋2，对于D ，y ＝x ＋1x≥2.二、填空题 7．2 5解析：利用a 2＋b 2≥ a ＋b 22得10＝2a ＋3b ≥ 2a ＋3b22，∴2a ＋3b ≤20＝2 5.8．12 81解析：根据不等式a ＋b ≥2ab ＝236＝12，得a ＋b 的最小值为12；根据ab ≤a ＋b2＝9，即ab ≤81，得ab 的最大值为81.9．(－∞，1] 解析：∵x >0，由ax x 2－x ＋1≤1得a ≤x ＋1x －1，x ＋1x－1≥2－1＝1，∴a ≤1.三、解答题10．解法一：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得x >0，y >0，且xy ＝10. 则2x ＋5y ＝2y ＋5x 10≥210xy10＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝5x ，xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立．解法二：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得x >0，y >0，且xy ＝10，2x ＋5y ≥22x ·5y＝21010＝2(当仅仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝5y ，xy ＝10.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，时，取等号)．11．设直角三角形的直角边为a ，b ，斜边为c ＝a 2＋b 2.由题意a ＋b ＋c ＝2p . (1)由a ＋b2≤a 2＋b 22＝c2，∴(a ＋b )≤2c ，∴2c ＋c ≥2p ，c ≥2p2＋1＝2p (2－1)．∴斜边长的最小值为2p (2－1)．(2)由a ＋b2≤a 2＋b 22＝c2，c ≥22(a ＋b )， ∴2p ＝a ＋b ＋c ≥a ＋b ＋22(a ＋b )＝2＋22(a ＋b )， ∴a ＋b ≤4p2＋2＝(4－22)p ，即两直角边的和的最大值为(4－22)p .(3)∵a ＋b ＋c ＝2p ，即a ＋b ＋a 2＋b 2＝2p ，∴2p ≥2ab ＋2ab ＝(2＋2)ab ，ab ≤(6－42)p 2，12ab ≤(3－22)p 2，所以三角形面积的最大值为(3,22)p 2.12．(1)设每件定价为t 元，依题意，有⎝⎛⎭⎪⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)， ∴a ≥10.2.当该商品明年的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．。

2020-2019学年北师大版数学必修5课件：第三章 3.2 基本不等式与最大(小)值

2．若将题(2)条件“x＜54” 改为“14＜x＜54”，求函数 y＝(4x－1)(5－4x)的最大值．解析：因为14＜x＜54，所以 4x－1＞0，5－4x＞0，所以(4x－1)(5－4x)≤4x－1＋2 5－4x 2＝4，当且仅当 4x－1＝5－4x，即 x＝34时，取等号，所以 y＝(4x－1)(5－4x)的最大值为 4.
4 α·sin
α＝4，因为
sin
α≠2，即 sin α＋sin4 α≥2 sin α·sin4 α＝4 中的等号不能取得，所以 sin α＋sin4 α不可
能取到 4.
2．y＝x＋1x的最小值是 2 吗？提示：不是．只有当 x＞0 时，才能得到结论其最小值是 2.当 x＜0 时，有 y＝x＋1x≤
2．当 x＜0 时，能用基本不等式求4x＋x 的最值吗？怎样求？提示：能.4x＋x＝－－4x＋（－x）≤－2×2＝－4. 3．如果给出的条件不满足基本不等式的应用条件时，怎样用基本不等式求最值？提示：先变形，后应用．
4．已知 x，y 都是正数，若 x＋y＝s(和为定值)，那么 xy 有最大值还是最小值？如何求？提示：xy 有最大值．由基本不等式，得 s＝x＋y≥2 xy，所以 xy≤s42.当 x＝y 时，积 xy 取得最大值s42.
方法技巧利用基本不等式求函数最值的方法 1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即 (1)一正：符合基本不等式a＋2 b≥ ab成立的前提条件，a＞0，b＞0； (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可． 2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项和配凑因式．

2019年高二数学北师大版必修5 第三章3.2 基本不等式与最大(小)值作业 Word版含解析

[学业水平训练]1．已知a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝4，那么ab ( ) A ．有最大值2，有最小值－2 B ．有最大值2，但无最小值 C ．有最小值2，但无最大值 D ．有最大值2，有最小值0解析：选A.这里没有限制a ，b 的正负，则由a 2＋b 2＝4，a 2＋b 2≥2|ab |，得|ab |≤2，所以－2≤ab ≤2，可知ab 的最大值为2，最小值为－2.2．若x >4，则函数y ＝x ＋1x －4( )A ．有最大值－6B ．有最小值6C ．有最大值－2D ．有最小值2 解析：选B.∵x >4，∴x －4>0，∴y ＝x ＋1x －4＝(x －4)＋1x －4＋4≥2＋4＝6.当且仅当x －4＝1x －4，即x ＝5时，取“＝”号． 3．已知x 、y 为正实数，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为( ) A.14 B.18 C.116D.132解析：选C.∵x 、y 为正实数，∴x ·y ＝14x ·4y ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y 22＝116，当且仅当x ＝4y 且x ＋4y ＝1，即x ＝12，y ＝18时取等号．4．点P (x ，y )是直线x ＋3y －2＝0上的动点，则代数式3x ＋27y 有( ) A ．最大值8 B ．最小值8 C ．最小值6 D ．最大值6 解析：选C.∵点P (x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上， ∴x ＋3y ＝2.∴3x ＋27y ＝3x ＋33y ≥23x ·33y ＝23x ＋3y ＝232＝6.当且仅当x ＝3y ，即x ＝1，y ＝13时，等号成立．∴代数式3x ＋27y 有最小值6.5．将一根铁丝切割成三段，做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A ．6.5 mB ．6.8 mC ．7 mD ．7.2 m解析：选C.设两直角边分别为a 、b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m )．故选C. 6．已知x ，y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．解析：(1)因为x ，y 都是正数，且xy ＝15，由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝215.当且仅当x ＝y ＝15时，取等号．(2)因为x ，y 都是正数，且x ＋y ＝15，由基本不等式得xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1522＝2254.当且仅当x ＝y ＝7.5时，取等号．答案：(1)215 (2)22547．一批救灾物资随26辆汽车从某市以v 千米/时的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400千米，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v202千米，那么这批物资全部到达灾区，最少需要________小时．解析：从第一辆车出发到最后一辆车到达目的地共需要的时间y ＝400v ＋25×⎝⎛⎭⎫v 202v＝400v＋25v 400≥2400v ×25v400＝10.当且仅当v ＝80时，等号成立．答案：108．有下面四个推导过程： ①∵a ，b ∈(0，＋∞)， ∴b a ＋a b≥2b a ·ab＝2； ②∵x ，y ∈(0，＋∞)， ∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ； ③∵a ∈R ，a ≠0， ∴4a＋a ≥24a·a ＝4； ④∵x ，y ∈R ，xy <0， ∴x y ＋y x ＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－x y ＋⎝⎛⎭⎫－y x ≤－2⎝⎛⎭⎫－x y ⎝⎛⎭⎫－y x ＝－2.其中正确推导过程的序号为________．解析：从基本不等式成立的条件考虑．∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ，ab∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①推导正确；虽然x ，y ∈(0，＋∞)，但当x ∈(0，1)时，lg x 是负数，y ∈(0，1)时，lg y 是负数，故②的推导过程是错误的；③的推导过程中a ∈R ，不符合基本不等式的条件，故4a＋a ≥24a·a ＝4是错误的．对于④，由xy <0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将x y ＋yx 提出负号后，⎝⎛⎭⎫－x y ，⎝⎛⎭⎫－y x 均变为正数，符合基本不等式的条件．故正确．答案：①④9．设x >0，求证：x ＋22x ＋1≥32.证明：∵x >0，∴x ＋12>0，∴x ＋22x ＋1＝x ＋1x ＋12＝x ＋12＋1x ＋12－12≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－12＝32.当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立． 10．用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图所示)，设容器高为h 米，盖子边长为a 米．(1)求a 关于h 的解析式；(2)设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？并求出V 的最大值．(求解本题时，不计容器厚度)解：(1)设h ′是正四棱锥的斜高，由题设，得⎩⎨⎧a 2＋4·12h ′a ＝2，h 2＋14a 2＝h′2，消去h ′，解得a ＝1h 2＋1(a >0)．(2)由V ＝13a 2h ＝h3（h 2＋1）(h >0)，得V ＝13⎝⎛⎭⎫h ＋1h .而h ＋1h ≥2h ·1h＝2. 所以V ≤16，当且仅当h ＝1h ，即h ＝1时，等号成立．故当h ＝1米时，V 有最大值，V 的最大值为16立方米．[高考水平训练]1．在区间⎣⎡⎦⎤12，2上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )与g (x )＝x 2＋x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值是( )A.134 B ．4 C ．8D.54解析：选B.g (x )＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1≥3，当且仅当x ＝1时，等号成立，即当x ＝1时取最小值3，所以f (x )的对称轴是x ＝1，所以b ＝－2.再把(1，3)代入即得c ＝4.所以f (x )＝x 2－2x ＋4，易得在⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值是f (2)＝4－4＋4＝4.2．若实数a ，b ，c 满足2a ＋2b ＝2a ＋b ，2a ＋2b ＋2c ＝2a＋b ＋c，则c 的最大值是__________．解析：∵2a ＋2b ＝2a ＋b ， ∴2a ＋b ＝2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ，即2a ＋b ≥22a ＋b .∴2a ＋b ≥4.又∵2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c ，∴2a ＋b ＋2c ＝2a ＋b ·2c ，即2c ＝2a ＋b ()2c－1. ∴2c 2c －1＝2a ＋b ≥4，即2c 2c －1≥4，∴4－3×2c 2c －1≥0， ∴2c ≤43，∴c ≤log 243＝2－log 23，∴c 的最大值为2－log 23.答案：2－log 233．(1)若x 、y ∈R ＋，且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值；(2)若x >－1，求y ＝x 2＋3x ＋3x ＋1的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ， ∵x 、y ∈R ＋，∴2y ＋8x＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2xy ＝10＋2⎝⎛⎭⎫4y x ＋x y ≥10＋2×24y x ·xy＝18. 当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18. (2)法一：y ＝x 2＋3x ＋3x ＋1＝（x ＋1）2＋x ＋2x ＋1＝（x ＋1）2＋（x ＋1）＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1＋1.∵x >－1，∴x ＋1>0.∴y ＝(x ＋1)＋1x ＋1＋1≥2＋1＝3. 当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，函数有最小值3.法二：令x ＋1＝t ，则x ＝t －1.∴y ＝x 2＋3x ＋3x ＋1＝（t －1）2＋3（t －1）＋3t＝t 2＋t ＋1t ＝t ＋1t ＋1.∵x >－1，∴t ＝x ＋1>0. ∴y ＝t ＋1t＋1≥2t ·1t＋1＝3. 当且仅当t ＝1t，即t ＝1，即x ＝0时，函数有最小值3.4．某工厂拟建一座平面图为矩形，面积为200 m 2，高度一定的三段污水处理池(如图)．由于受地形限制，其长、宽都不能超过16 m ，如果池的外壁的建造费单价为400元/m ，池中两道隔墙的建造费单价为248元/m ，池底的建造费单价为80元/m 2，试设计水池的长x 和宽y (x >y )，使总造价最低，并求出这个最低造价．解：设污水池长为x m ，则宽y ＝200x m ，且0<x ≤16，0<200x ≤16，x >200x，设总造价为Q (x )，则Q (x )＝400(2x ＋2×200x )＋248×2×200x ＋80×200＝800(x ＋324x)＋16 000≥1 600 x ·324x ＋16 000＝44 800.当且仅当x ＝324x (x >0)，即x ＝18时取等号，∴44 800不是最小值．又∵0<x ≤16，0<200x ≤16，x >200x，∴102<x ≤16，而Q (x )在(102，16]上单调递减， ∴Q (x )≥Q (16)＝800(16＋32416)＋16 000＝45 000(元)．故水池长为16 m ，宽为12.5 m 时，其总造价最低，最低造价为45 000元．。

2019-2020学年度北师大版高中数学必修五学案：第三章 3.2 基本不等式与最大(小)值

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度北师大版高中数学必修五学案：第三章 3．2基本不等式与最大（小）值______年______月______日____________________部门学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一基本不等式及变形思考使用基本不等式证明：≤(a>0，b>0)，并说明什么时候等号成立．梳理以下是基本不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件．当a>0，b>0时，有____________ ；当且仅当________时，以上三个等号同时成立．知识点二用基本不等式求最值思考因为x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号．所以当x＝1时，(x2＋1)min＝2.以上说法对吗？为什么？梳理基本不等式求最值的注意事项(1)x，y必须是________；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为________；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为________；(3)等号成立的条件是否满足．使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值．如果都不是定值，可能出错．类型一基本不等式与最值例1 (1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；(2)设0<x<，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；(3)已知x>2，求x＋的最小值；(4)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．跟踪训练1 (1)已知x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；(2)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值；(3)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．类型二基本不等式在实际问题中的应用命题角度1 几何问题的最值例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？跟踪训练 2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？命题角度2 生活中的最优化问题引申探究若受车辆限制，该厂最少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？跟踪训练3 一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时．1．已知x≥，则f(x)＝有( )A．最大值B．最小值54C．最大值1 D．最小值12．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A．6.5 m B．6.8 mC．7 m D．7.2 m3．设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于( )A．0 B．4 C．－4 D．－24．已知0<x<1，则f(x)＝2＋log2x＋的最大值是________．1．用基本不等式求最值(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋(p>0)的单调性求得函数的最值．2．求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．答案精析问题导学知识点一思考∵a>0，b>0，∴＋≥2>0，∴≤，即≤(a>0，b>0)，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立．梳理≤≤≤a＝b知识点二思考错．显然(x2＋1)min＝1.x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号．仅说明抛物线y＝x2＋1恒在直线y＝2x上方，仅在x＝1时有公共点．梳理(1)正数(2)定值定值题型探究例1 解(1)当x>0时，x＋≥2 ＝4，当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时取等号．∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2时取得最小值4.(2)∵0<x<，∴3－2x>0，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤23－2x,2)))2＝.当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．∵∈.∴函数y＝4x(3－2x)(0<x<)的最大值为.(3)∵x>2，∴x－2>0，∴x＋＝x－2＋＋2≥2 x－2·\f(4,x－2))＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．∴x＋的最小值为6.(4)方法一∵x>0，y>0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16，当且仅当＝，又＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.方法二由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)．由＋＝1可知x>1，y>9，∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2x－1y－9)＋10＝16，当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时上式取等号，故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.跟踪训练1 解(1)∵x>0，∴f(x)＝＋3x≥2＝12，当且仅当3x＝，即x＝2时取等号，∴f(x)的最小值为12.(2)∵x<3，∴x－3<0，∴f(x)＝＋x＝＋x－3＋3＝－＋3≤－23－x)＋3＝－1，当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号．∴f(x)的最大值为－1.(3)方法一由2x ＋8y －xy ＝0，得y(x －8)＝2x.∵x>0，y>0，∴x－8>0，y ＝， ∴x＋y ＝x ＋＝x ＋2x －16＋16,x －8) ＝(x －8)＋＋10≥2 x－8×\f(16,x －8))＋10＝18.当且仅当x －8＝，即x ＝12时，等号成立． ∴x＋y 的最小值是18.方法二由2x ＋8y －xy ＝0及x>0，y>0，得＋＝1. ∴x＋y ＝(x ＋y)⎝⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝＋＋10≥2 ＋10＝18.当且仅当＝，即x ＝2y ＝12时等号成立． ∴x＋y 的最小值是18.例2 解 (1)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则xy ＝100，篱笆的长为2(x ＋y) m. 由≥，可得x ＋y≥2， 2(x ＋y)≥40.当且仅当x ＝y ＝10时等号成立．所以这个矩形的长，宽都为10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m. (2)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2(x ＋y)＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m2. 由≤＝＝9，可得xy≤81，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．所以这个矩形的长，宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2.跟踪训练2 解设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为 m. 又设水池总造价为y 元，根据题意，得y ＝150×＋120×(2×3x＋2×3×)＝240 000＋720×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x≥240 000＋720×2 x ·1 600x＝297 600(元)，当且仅当x ＝，即x ＝40时，y 取得最小值297 600.所以水池底面为正方形且边长为40 m 时总造价最低，最低总造价为297 600元．例3 解设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨．由题意可知，面粉的保管及其他费用为3×[6x＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x(x ＋1)．设平均每天所支付的总费用为y 元，则y ＝[9x(x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋＋10 809 ≥2 ＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x ＝，即x ＝10时，等号成立．所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．引申探究解设x1，x2∈[15，＋∞)，且x1＜x2.则(9x1＋＋10 809)－(9x2＋＋10 809) ＝9(x1－x2)＋900(－) ＝(x1－x2)⎝⎛⎭⎪⎫9－900x1x2 ＝(x1－x2). ∵15≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞225， ∴(x1－x2)＜0，即y ＝9x ＋＋10 809在[15，＋∞)上为增函数．∴当x ＝15，即15天购买一次面粉，每天支付的平均费用最少．跟踪训练3 8解析设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝＝＋16v400≥2 ＝8(小时)，当且仅当＝，即v ＝100时，等号成立，所以这批货物全部运到B 市，最快需要8小时．当堂训练1．D 2.C 3.C 4.2－2 5。

2019高中数学北师大版高二必修5_第三章3.1_基本不等式_作业_word版含解析.doc

[学业水平训练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b≥2 答案：D2．若实数a 、b 满足0<a 2ab ，∴2ab <12.∵a 2＋b 2>2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝2×14＝12，又0<a p ＋q 2 D ．s ≥p ＋q 2 解析：选B.由已知得(1＋s %)2＝(1＋p %)(1＋q %)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p %＋1＋q %22＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋p %＋q %22，于是1＋s %≤1＋p %＋q %2. 故s ≤p ＋q2.4．(2013·高考福建卷)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[－2，0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 解析：选D.∵2x ＋2y ≥22x ＋y ，2x ＋2y ＝1， ∴22x ＋y ≤1， ∴2x ＋y ≤14＝2－2， ∴x ＋y ≤－2，即(x ＋y )∈(－∞，－2]．5.已知a ，b 都是正数，设M ＝a b ＋b a ，N ＝a ＋b ，则( ) A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．M ≥N解析：选D.∵a >0，b >0，∴b >0， a b ＋b ≥2a ，b a ＋a ≥2b . 于是a b ＋b ＋b a ＋a ≥2a ＋2b . 故a b ＋b a ≥a ＋b ，即M ≥N . 6．已知a ，b ，x ，y 都是正实数，且1a ＋1b ＝1，x 2＋y 2＝8，则ab 与xy 的大小关系是________．解析：∵1a ＋1b ≥2ab，∴ab ≥4. 而x 2＋y 2≥2xy ，则xy ≤4.∴ab ≥xy .答案：ab ≥xy7．若a >1，01，01，03)，则M 与N 的大小关系是________．解析：∵x >3，∴x －3>0，∴M ＝x －3＋1x －3＋3≥2（x －3）·1x －3＋3＝5，又∵1－x 2<0，∴N ＝51－x 2<5即N <5.∴M >N .答案：M >N9．已知f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，当x 1≠x 2时，比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22与f （x 1）＋f （x 2）2的大小．解：∵f (x )＝a x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝a x 1＋x 22，12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12(ax 1＋ax 2)． ∵a >0且a ≠1，x 1≠x 2，∴ax 1>0，ax 2>0，且ax 1≠ax 2，∴12(ax 1＋ax 2)> ax 1·ax 2＝a x 1＋x 22，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<12[f (x 1)＋f (x 2)]． 10．已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .证明：∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ac .于是2(a ＋b ＋c )≥2ab ＋2bc ＋2ca ，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .∵a ，b ，c 为不全相等的正实数，等号不成立，∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .[高考水平训练]1．(2014·亳州检测)已知0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中正确的是( )A ．log 2a >0B ．2a －b <12C ．2b a ＋a b <12D ．log 2a ＋log 2b <－2解析：选D.∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，∴0<a <12ab ，∴ab <14.又∵log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )，∴log 2a＋log 2b <log 214，即log 2a ＋log 2b <－2，故选D. 2．已知a >0，b >0，a ＋b ＝4，则下列各式中正确的是________．①1a ＋1b ≤14；②1a ＋1b ≥1；③ab ≥2；④1ab≥1. 解析：由a >0，b >0，知a ＋b 2≥ab ，又a ＋b ＝4，∴ab ≤4，∴1ab ≥14，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，即1a ＋1b ≥1.答案：②3．设a >0，b >0且满足ab ＝a ＋b ＋3，求a ＋b 的取值范围．解：∵a ＋b ＋3＝ab ≤（a ＋b ）24，∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0.又∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥6.4．已知a 、b ∈R ＋，a ＋b ＝1.求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1.∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，∴1ab ≥4.∵a ＋b 2≤ a 2＋b 22，∴a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ＋1b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋21ab 22≥252.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．。

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[A 基础达标]
1．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x
的最大值是( ) A ．3
B ．3－2 2
C ．3－2 3
D ．－1 解析：选C.y ＝3－3x －1x ＝3－⎝
⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取等号． 2．函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫x ＋
1x －1＋5(x>1)的最小值为( ) A ．－3
B ．3
C ．4
D ．－4 解析：选B.因为x ＋
1
x －1＋5 ＝(x －1)＋1
x －1＋6
≥2（x －1）·1
x －1＋6＝8. 所以log 2⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3，所以y min ＝3. 当且仅当x －1＝1
x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A ．16
B ．25
C ．9
D ．36
解析：选B.(1＋x)(1＋y)≤⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤（1＋x ）＋（1＋y ）22 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋（x ＋y ）22＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫2＋822＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y 即x ＝y ＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B.
4．已知x ＞1，y ＞1且xy ＝16，则log 2x ·log 2y( )
A ．有最大值2
B ．等于4
C ．有最小值3
D ．有最大值4
解析：选D.因为x ＞1，y ＞1，
所以log 2x ＞0，log 2y ＞0.
所以log 2x ·log 2y ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫log 2x ＋log 2y 22 ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤log 2（xy ）22＝4，当且仅当x ＝y ＝4时取等号．
故选D.
5．已知函数y ＝x －4＋
9
x ＋1(x>－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝( )
A ．－3
B ．2
C ．3
D ．8
解析：选C.y ＝x －4＋9x ＋1＝(x ＋1)＋9x ＋1
－5，因为x>－1，所以x ＋1>0，所以y ≥2（x ＋1）·9
x ＋1－5＝2×3－5＝1.当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立，即a ＝2，b ＝1，所以a ＋b ＝3.
6．已知x ，y>0且x ＋y ＝1，则p ＝x ＋1x ＋y ＋1y
的最小值为________．解析：x ＋1x ＋y ＋1y
＝x ＋x ＋y
x ＋y ＋x ＋y y
＝3＋⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫y x ＋x y ≥3＋2＝5，当且仅当x ＝y ＝12时等号成立．答案：5
7．周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为________．
解析：设直角三角形的两条直角边边长分别为a 、b ，则
2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22
时取“＝”，所以直角三角形面积S ≤14，即S 的最大值为14
. 答案：14
8．若直线x a ＋y b ＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________．。