2018高考数学(文)复习：2013-2017高考分类汇编 第十章第5节 直线与圆锥曲线 Word版含解析

第十章 圆锥曲线第五节 直线与圆锥曲线题型126 直线与圆锥曲线的位置关系2013年1. (2013天津文18）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，离心率为3，过点F且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3． (1) 求椭圆的方程；(2) 设A ， B 分别为椭圆的左右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若··8AC DB AD CB +=，求k 的值．2.（2013山东文22）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）A ，B 为椭圆C 上满足AOB △的面积为4的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P ，设OP tOE =，求实数t 的值．3. (2013安徽文21）已知椭圆()2222:1>>0x y C a b a b+=的焦距为4，且过点p .（1）求椭圆C 的方程； （2）设()()0a a a a Qx y x y ≠，，为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点(A Q ，连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点C 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QC ，问这样作出的直线QC 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由.2014年1.（2014湖北文8）设,a b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过()2,A a a ，()2,B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x yθθ-=的公共点的个数为（ ）.A ． 0B ．1C ．2D ．32.（2014大纲文22）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线y =4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程.2015年1.（2015安徽文20）设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A的坐标为(),0a ，点B 的坐标为()0,b ，点M 在线段AB 上，满足2BMMA =，直线OM的斜率为10.（1）求E 的离心率e ； （2）设点C 的坐标为()0,b -，N 为线段AC 的中点，求证：MN AB ⊥.1.分析（1）由2BM MA =且(),0A a ，()0,B b ，可得2,33a b M ⎛⎫⎪⎝⎭.又因为OM的斜率为10，所以32103ba =，根据椭圆的性质，即可求出离心率；（2）由题意可知N 点的坐标为,22a b ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以5MN b k a =，AB b k a =-，推出1MN AB k k =- ，即可证明结果.解析 （1）由2BM MA =，且(),0A a ，()0,B b ，可得2,33a b M ⎛⎫⎪⎝⎭.又因为OM33b=，则2215b a =，即22215a c a -=，亦即2245c a =，得e =.（2）由题意可知N 点的坐标为,22a b ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以532232MN b bb k a a a +==-，AB b k a =-， 所以2215515MNAB b k k a =-=-⨯=-，所以MN AB ⊥.2. (2015北京文20)已知椭圆22:33C x y +=，过点()1,0D且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于两点M .（1）求椭圆C 的离心率；（2）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（3）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由.2. 解析（1）椭圆22:33Cx y +=即2213xy+=，离心率3c e a ===. （2）若AB 垂直于x 轴，则AB 所在的直线方程为1x =，不妨设A ⎛ ⎝⎭，1,3B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.又()2,1E ，1311AEk -==--，直线AE 所在的方程为：()1123y x ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，联立直线AE 与直线3x =的方程，得3,23M ⎛- ⎝⎭，233131BM k -+==-，故直线BM 的斜率是1. （3）由（2）知，当AB 垂直于x 轴时，直线BM 的斜率为1，且1DE k =，得BM DE k k =，故直线BM 与直线DE 平行.若直线AB 不垂直于x 轴时，直线BM 与直线DE 也保持平行的位置关系. 下面来进行验证，即验证1BM k =. 设()11,Ax y ，()22,B x y ，1112AE y k x -=-，直线AE 的方程为()111122y y x x --=--， 令3x =，得1113,12y M x ⎛⎫-+⎪-⎝⎭，12121123BM y y x k x -+--=-，要证明1BM k =，只需证明1221122y y x x --=--，即()()()112211222y x y x x ---=--， 1122112222230y x y y x x x x -+-+-+=()*联立直线():1AB y k x =-与椭圆方程()22133y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩， 消y 建立关于x 的一元二次方程得()2222316330k x k x k +-+-=，212221226313331k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩. 将()*式整理得()()()1122112211212230k x x k x k x x x x x --⋅-+--+-+=()()()()1212211310k x x k x x k -++---=将12x x +，12x x 代入上式的左边得：()()()()2222336211313131k k k k k k k --⋅+-⋅--=++()()()()2221213113131k k k k k k -+----=+()32299333131k k k k k -+---=+ ()()()22233133131031k k k k k +-+--==+右边.因此，直线BM 的斜率为1，说明直线BM 与直线DE 的位置关系是平行.3.（2015江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x ya b+=()0a b >>的离心率为2，且右焦点F 到直线2:a l x c =-（其中c 3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程．3.解析 （1）由题意得232a c cc e a ⎧+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，故a =，即222a c =，从而1c =，a =1b =，故椭圆的标准方程为2212x y +=． （2）解法一（正设斜率）：若AB 的斜率不存在时，则AB 方程为1x =，此时AB =，易知此时32CP AB =≠，不满足题意； 当AB 的斜率为0时，此时亦不满足题意；因此AB 斜率存在且不为0，不妨设AB 斜率为k ，则AB 方程()1y k x =-， 不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线AB 与椭圆，即()22221x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩⇒()()2222124220k x k x k +-+-=， 因为点()1,0F 在椭圆内，故0∆>恒成立，所以212221224122212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，故12A B x =-==)22112k k +=+， 又1PCk k=-，21222212C x x k x k +==+，故C P x PC -=222212k k ⎫=+⎪+⎭= 因为2PC AB=)22112k k +=+，2=，即()(22231k +=，整理得424296188k k k k ++=+，即42210k k -+=，即()2210k -=， 解得1k =±，从而直线AB 方程为10x y --=或10x y +-=．解法二（反设）：由题意，直线AB 的斜率必不为0，故设直线方程为1x my =+， 不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，与椭圆联立22122x my x y =+⎧+=⎨⎩，整理得()222210m y my ++-=，因为点()1,0F 在椭圆内，故0∆>恒成立，故1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，因此12AB y y =-==)2212m m +=+， 则C 点的纵坐标为12222y y mm +=-+， 于是C 点的横坐标为222122m m m m ⎛⎫-+= ⎪++⎝⎭， 又CP AB ⊥，故CP k m =-， 所以2CP =+= 因为2PC AB =)2212m m +=+， 化简得()()222381m m +=+，即42210m m -+=，化简得21m =，计算得1m =±，从而直线AB 方程为10x y --=或10x y +-=.2016年1.（2016浙江文19）如图所示，设抛物线()220y px p =>的焦点为F，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于1AF -.（1）求p 的值；（2）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.1.解析 （1）因为抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到准线2px =-的距离，由已知条件得12p=，即2p =. （2）由（1）知抛物线的方程为24y x =，()1,0F ，可设()2,2A t t ，0t ≠，1t ≠±.由题知AF 不垂直于y 轴，可设直线:1AF x sy =+，()0s ≠，由241y x x sy ⎧=⎨=+⎩消去x 得2440y sy --=，故124y y =-，所以212,B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又直线AB 的斜率为221t t -，故直线FN 的斜率为212t t --，从而直线()21:12t FN y x t-=--，直线2:BN y t =-，所以2232,1t N t t ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭. 设(),0M m ，由A ，M ，N 三点共线得：222222231t t t t t m t t +=+---，整理得22222211t m t t ==+--，(0t ≠，1t ≠±)，此函数为偶函数，且()0,1和()1+∞，上单调递减，分析知0m <或2m >. 所以点M 的横坐标的取值范围是()(),02-∞+∞.2.（2016全国乙文20）在直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，联结ON 并延长交C 于点H .（1）求OH ON；（2）除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？请说明理由. 2.解析 （1）如图所示，由题意不妨设0t >，可知点,,M P N 的坐标分别为()0,M t ，2,2t P t p ⎛⎫⎪⎝⎭，2,N t t p ⎛⎫⎪⎝⎭， 从而可得直线ON 的方程为y x p t =，联立方程22p x ty pxy ⎧==⎪⎨⎪⎩，解得22x t p =，2y t =.即点H 的坐标为22,2t t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而由三角形相似可知22H N OH y tON y t ===.（2）由于()0,M t ，22,2t H t p ⎛⎫⎪⎝⎭，可得直线MH 的方程为22ty t x t p-=， 整理得2220ty px t --=，联立方程222202ty y px t px--==⎧⎪⎨⎪⎩，整理得22440ty y t -+=，则2216160t t ∆=-=，从而可知MH 和C 只有一个公共点H .2017年1.（2017全国1文20）设A ，B 为曲线2:4x C y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB的方程.1.解析 （1）不妨设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22121244ABx x k x x -=-()()12121214x x x x x x -+=-()121=14x x +=，即直线AB 的斜率为1． （2）设200,4x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由24x y =的导函数2x y '=知C 在M 处的切线斜率为012x k ==， 所以02x =，故()2,1M．因为AM BM ⊥，易知,AM BM 的斜率存在且不为0，因此1AM BM k k ⋅=-，即()()2212121211144222216x x x x x x --⋅=++--()1212124116x x x x =+++=-⎡⎤⎣⎦① 设直线AB 的方程为y x b =+，与抛物线联立得2140x x b --=， 所以10b ∆=+>，故1b >-，由根与系数的关系知121244x x x x b+=⎧⎨=-⎩，代入①式得()1461211b -+=-，解得7b =，符合题意，因此直线AB 的方程为7y x =+．评注 此题AM BM ⊥这一条件，也可以转化成向量数量积为0，利用坐标的来解决，但用向量法计算得到1b =-或7，注意联立后保证10b ∆=+>．2.（2017江苏卷17）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线12,l l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．2.解析 （1）设椭圆的半焦距为c ，由题意21228c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，因此b ==，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=． （2）由（1）知()11,0F -，()21,0F ．设()00,P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>．当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符． 当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为001y x -． 因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y --，直线2l 的斜率为001x y --，从而直线1l 的方程为()0011x y x y +=-+① 直线2l 的方程为()0011x yx y -=--② 联立①②，解得20001,x x x y y =-=-，所以20001,x Q x y ⎛⎫- ⎝-⎪⎭．因为点Q 在椭圆上，由对称性得20001x y y =±-，即22001x y -=或22001x y +=．又点P 在椭圆E 上，故2200143x y +=． 由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得00x y ==220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解． 因此点P的坐标为⎝⎭．题型127 弦长与面积及最值问题2013年1.（2013湖北文22）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上， 短轴长分别为2m ，2n （m n >），过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为,,,.A B C D 记mnλ=，BDM △和ABN △的面积分别为1S 和2S ． (1) 当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；(2) 当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．2. (2013重庆文21） 如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率2e =，过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于AA '，两点，4AA '=.（1）求该椭圆的标准方程；（2）取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P P '，，过P P '，作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外，求PP Q '△的面积S 准方程.第22题图3. (2013湖南文20）已知1F ，2F 分别是椭圆15:22=+y x E 的左、右焦点1F ，2F 关于直线02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点. （1）求圆C 的方程；（2）设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b .当ab 最大时，求直线l 的方程.2014年1.（2014新课标Ⅱ文10）X:\高中数学\高考真题\2014\2014年高考理科数学真题\作者：曹亚云设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交C 于,A B 两点，则AB =（ ）B.6C.12D.2.（2014四川文10）已知F 为抛物线2yx =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO △与AFO △面积之和的最小值是（ ）.A.2B.3C.83.（2014陕西文20）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>经过点)3,0(，离心率为21，左、右焦点分别为()10F c -，，()20F c ，. （1）求椭圆的方程； （2）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于A ，B 两点，与以12FF 为直径的圆交于,C D 两点，且满足AB CD =求直线l 的方程.4.（2014湖南文20）如图所示，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(00)x y C a b a b -=>>，和椭圆222222222:+1(0)y x C a b a b =>>均过点13P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. （1）求12C C ，的方程；（2）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且OA OB AB +=？证明你的结论.5.（2014四川文20） 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点为()2,0F -，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，T 为直线3x =-上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q .当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积.6.（2014山东文21）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，直线y x =被椭圆C.（1）求椭圆C 的方程；（2）过原点的直线与椭圆C 交于,A B 两点（,A B 不是椭圆C 的顶点）. 点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点. （i ）设直线,BD AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；（ii ）求OMN △面积的最大值.6. （2014浙江文22）已知ABP △的三个顶点都在抛物线2:4C x y =上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，3PF FM =； （1）若3PF =，求点M 的坐标； （2）求ABP △面积的最大值.2015年1.（2015全国I 文5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线 2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =（ ）.A. 3B. 6C. 9D. 121.B 解析28y x =的焦点为()2,0，准线方程为2x =-.由E 得右焦点与28y x =的焦点重合，可得2c =.又12c a =，得4a =，212b =，所以椭圆方程为2211612x y +=. 当2x =-时，()22211612y -+=，得3y =±，即6AB =.故选B. 2.（2015全国I 文16）已知F 是双曲线C ：2218y x -=的右焦点，P 是C 的左支上一点， (A ，当APF △周长最小时，该三角形的面积为．2. 解析 由题意作图，如图所示.由双曲线的定义知，122PF PF a -==.所以12PF PF =+. 又APFC AF AP PF =++△，所以12APF C AF AP PF =+++△，所以当点A ，P ，1F 在同一条直线上时，周长取得最小值.1AF所在直线方程为)3y x =+，同理直线AF的方程为)3y x =--.联立)22318y x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，解得(2,P -. 则(),d P AF ==又15AF ==，所以1152PAF S =⨯=△3.（2015湖南文20）已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1y x C a b+=()0a b >>的一个焦点，1C与2C 的公共弦长为过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC 与BD 同向. （1）求2C 的方程； （2）若AC BD =，求直线l 的斜率.3.解析 （1）由21:4C xy =知其焦点F 的坐标为()0,1，因为F 也是椭圆2C的一个焦点，所以221a b -=； ① 又1C与2C 的公共弦长为1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为21:4C xy =，由此易知1C 与2C 的公共点的坐标为32⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以229614a b +=， ② 联立①②得229,8a b ==，故2C 的方程为22198y x+=. （2）如图所示，设()()()()11223344,,,,,,,Ax y B x y C x y D x y ，因AC 与BD 同向，且AC BD =，所以AC =BD ，从而3142x x x x -=-，即3412x x x x -=-，于是()()223434121244x x x x x x x x +-⋅=+-⋅③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=，由12,x x 是这个方程的两根，12124,4x x k x x +=⋅=-④由221189y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()229816640k x kx ++-=，而34,x x 是这个方程的两根，3434221664,9898k x x x x k k +=-⋅=-++， ⑤ 将④,⑤代入③，得()()232222164641619898k k k k ⨯+=+++.即()()()22222169116198k k k ⨯++=+所以()2298169k +=⨯，解得4k =±，即直线l的斜率为4±4.（2015天津文19）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点为B ，左焦点为F ，离心（1）求直线BF 的斜率；（2）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ），故点B 且垂直于BF 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线PQ 与x 轴交于点M ，PM MQ λ=.（i ）求λ的值；（ii）若sin PM BQP ∠，求椭圆的方程. 4．分析（1）先由5c a = 及222a b c =+，得2a b c ==，，直线BF 的斜率()020b bk c c-===--；（2）(ⅰ)先把直线BF ，BQ 的方程与椭圆方程联立，求出点P ，Q 横坐标，可得PM MQλ=7.8M P P Q MQx x x x x x -===- （2）先由|sin =9PM BQP ∠，得15=||sin =||sin 73BP PQ BQP PM BQP ∠∠=，由此求出1c =，故椭圆方程为221.54x y += 解析 （1）(),0Fc -，由已知ca =及222a b c =+，可得2a b c =， ，又因为()0Bb ， ，故直线BF 的斜率()020b bk c c-===--. （2）设点()()(),,,P P Q Q M M P x y Q x y M x y ，， ，（i ）由（1）可得椭圆方程为2222154x y c c+= ，直线BF 的方程为22y x c =+ ，两方程联立消去y 得2350x cx +=， 解得53P cx =-.因为BQ BP ⊥， 所以直线BQ 方程为122y x c =-+ ，与椭圆方程联立消去y 得： 221400x cx -=，解得4021Q cx =.又因为PM MQλ=， 及0M x = 得7.8M P P Q MQx x x x x x λ-===- （ii ）由（i ）得78PM MQ=，所以777815PM PM MQ ==++， 即157PQ PM =，又因为sin 9PM BQP ∠=， 所以sin BP PQ BQP =∠15sin 73PM BQP =∠=. 又因为4223P P y x c c =+=-，所以3BP ==，1c ==，所以椭圆方程为22 1.54x y +=5.（2015浙江文19）如图所示，已知抛物线2114C y x =：，圆222(1)1C x y ：+-=， 过点()()00P t t >，作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点.(1)求点A ，B 的坐标；(2)求PAB △的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点. 5.解析 (1)设AP ：()y kx t =-，联立214y x=，得2104x kx kt -+=， 由0∆=得k t =，所以2x t =，2y t =，所以()22A t t ，.设()00Bx y ，，则BP ：()()00111x x y y +--=，所以0011txy +-=，所以00y tx =①又OB 中点0022x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在直线2PC ：1xy t +=上，所以00222x y t +=② 由式①式②得0221t x t =+，20221t y t =+.所以2222211t t B t t ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，. (2)B 到AP的距离2d ==，12AB x =-=所以23111222PABS AB d t t =⋅==△， 椭圆方程为221.54x y += 6.（2015湖北文22）一种画椭圆的工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且 1DN ON ==，3MN =，当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直 角坐标系.(1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线l 与两定直线1l ：20x y -=和2l ：20x y +=分别交于P ，Q 两点.若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ △的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由.图1 图26.解析(1)因为||||||314OM MN NO +=+=…，当M N ，在x 轴上时，等号成立； 同理||||||312OM MN NO -=-=…，当D O ，重合，即MN x ⊥轴时，等号成立. 所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为221.164x y +=(2)（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l ：1()2y kx m k =+≠±， 由22416y kx m x y =+⎧⎨+=⎩， 消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以()()2222644144160k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ①又由20y kx m x y =+⎧⎨-=⎩，可得21212m m P k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，；同理可得21212m m Q k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，. 由原点O 到直线PQ的距离为d =和P Q PQ x -，可得22111222222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将式①代入式②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128814141OPQ k S k k ∆⎛⎫+⎛⎫==+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭； 当2104k <…时，2224128811414OPQ k S k k ∆⎛⎫+⎛⎫==-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. 因2104k <...，则20141k <- (22214)-…，所以2281814OPQ S k ∆⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭…，当且仅当0k =时取等号. 所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.7. (2015山东文21)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为，且点12⎫⎪⎭，在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A B ，两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（i ）求||||OQ OP 的值；（ii ）求ABQ △面积的最大值.7. 解析 （1）由题意知223114a b +=，又2a =，解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）由（1）可得椭圆E 的方程为221164x y +=. （ⅰ）设()00,Px y ，OQOPλ=，由题意知()00,Q x y λλ--.因为220014x y +=，又()()22001164x y λλ--+= ，即22200144x y λ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.所以2λ=，即2OQ OP=.（ii ）过点Q 作QH AB ⊥交AB 的延长线于点H ，过点O 作OE AB ⊥交AB 于点E .连接OA ，OB ，如图所示.设()11,Ax y ，()22,B x y ，将y kx m =+代入椭圆E 的方程， 可得()2221484160kxkmx m +++-=，由0∆>，可得22416m k <+. ①则有122814km x x k+=-+,212241614m x x k -=+.所以12214x x k -=+，因为直线y kx m =+与y 轴交点的坐标为()0,m ，所以OAB △的面积：1212S m x x =-===.设2214m t k=+，将直线y kx m =+代入椭圆C 的方程， 可得()222148440k x kmx m +++-=，由0∆…，可得2214m k +…. ②由①②可知01t <…，S ==当且仅当1t =，即2214m k=+时取得最大值由（i ）并结合图形可知，3ABQ ABO S S =△△，所以ABQ △面积的最大值为2016年1.（2016江苏21 C ）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长.1.解法一（求点）：直线l0y -=，椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=，联立22014y y x --=⎨+=⎪⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩或17x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.因此167AB ==.解法二（弦长）：直线l方程化为普通方程为y =椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=，不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，联立得2244y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩y 得27610x x --=，3628640∆=+=>恒成立，故12126717x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以12AB x =-167==.解法三（几何意义）：椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=， 直线恒过点()1,0，该点在椭圆上，将直线的参数方程()112x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数代入椭圆的普通方程，得2214142t ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得27404t t +=，故10t =，2167t =-.因此12167AB t t =-=.2.（2016上海文21）双曲线2221y x b-=()0b >的左、右焦点分别为12,F F ，直线l 过2F 且与双曲线交于,A B 两点.（1）若l 的倾斜角为2π，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b =l 的斜率存在，且4AB =，求l 的斜率.2.解析（1）由已知()1F，)2F，不妨取x =，则2y b =，由题意122F F A =，又12F F =，22F A b=，所以2=，即()()42223443220b b b b --=+-=，解得b =因此渐近线方程为y =.（2）若b =2213y x -=.设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与双曲线方程()22233y k x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩， 消y 得()()222234430k x k x k -+-+=，所以230k -≠，且()()422164343k kk∆=+-+()23610k =+>，由2122212243433k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，得()()()2212223613k x x k +-=-，故AB =()21226143k x k +=-==-，解得235k =.故l 的斜率为.2017年1.（2017北京卷文19）已知椭圆C 的两个顶点分别为()20A -，，()20B ，，焦点在x 轴上，离心率为． （1）求椭圆C 的方程；（2）D 为x 轴上一点，过点D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过点D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：BDE △与BDN △的面积之比为4:5．1.解析 （1）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，根据题意有2a c e a=⎧⎪⎨==⎪⎩，解得c =则1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设()0,0x D ，如图所示，有220014x y +=，00(,)M x y -，00(,)N x y ，(2,0)A -，).0,2(B 另设).(:0x x k y l -=由题设知，直线AM ⊥直线l ，即1)2(000-=----⋅x y k ，()00020x ky y +=>，所以直线l 的方程为()0002x y x x y +=-，直线BN 的方程为()0022y y x x =--. 解法一：122N l DENN l DEBB l B l DE d S d S d DE d ----⋅⋅==⋅⋅△△2020022000001144442(2)x y y x x x x y -=====--+⋅-.所以45BDE DEB BDN DEB DEN S S S S S ==+△△△△△，因此，BDE △与BDN △的面积之比为.5:4解法二:设(),E x y ，联立方程()()00000222x y x x y y y x x +⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得0042545x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，0041452152EE BDEBDNN N y BD y y S S y y BD y ⋅====⋅△△.所以BDE △与BDN △的面积之比为.5:42.（2017山东卷文21）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的离心率为2，椭圆C 截直线1y =所得线段的长度为（1）求椭圆C 的方程； （2）动直线():0l y kx mm =+≠交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M .点N 是点M 关于O 的对称点，圆N 的半径为NO . 设D 为AB 的中点，DE ，DF 与圆N 分别相切于点E ，F ，求EDF ∠的最小值.2.解析（1）由椭圆的离心率为2，得()222=2a a b -，又当1y =时，2222=-a x a b，得2222-=a a b ，所以2=4a ，2=2b .因此椭圆方程为22142+=x y . (2) 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立方程22=++2=4y kx mx y ⎧⎪⎨⎪⎩， 得()222214240k x kmx m +++-=，由0∆>，得2242m k <+ .且122421km x x k +=+，因此122221m y y k +=+，所以222,2121km m D k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 又()0,N m -，所以2222222121km m ND m k k ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()2242241321m k k k ++=+， 因为NF m =，所以()()()2422222224318312121k k ND k NFkk+++==+++.令283,3t kt =+…，故21214t k ++=.所以()22216161+1112ND tt NFt t==++++. 令 1y t t =+，所以211y t '=-.当 3t …时，0y '>，从而1y t t=+在[)3+∞，上单调递增. 因此1103y t t =+…，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =，所以 221+3=4NDNF…，12ND NF …. 设2EDF θ∠=，则1sin 2NFND θ=… ，所以θ的最小值为6π.从而EDF ∠的最小值为3π，此时直线l 的斜率为0. 综上所述，当0k =，()()0,2m ∈时，EDF ∠取得最小值为3π. 3.（2017天津卷文20）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为(),0F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为()0,c ，EFA △的面积为22b .（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，32FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，//PM QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c . （i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程.3. 解析 （1）由题意，有()2221222EFA b a c S c a c -=+==△，则2220c ac a +-=，2110c c a a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得01<-=ac（舍去）或21=a c，即椭圆的离心率为21.（2）（i ）由题意，(),0Fc -，设直线FP 的方程为c my x -=，则直线FP 的斜率为m1. 因为(0)A a ，，)0(c E ，，所以直线AE 的方程为1=+cya x . 由（1）知，21=a c ，2a c =，则直线AE 的方程为12=+cyc x ，即022=-+c y x . 联立直线FP 与直线AE 的方程，解得(22)232m c x m c y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，则(22)322m c c Q m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，.又因为(0)F c -，，32FQ c =，所以222(22)33222m c c c c m m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2340m m -=.所以0m =（舍去）或34=m ，所以直线FP 的斜率为431=m . （ii ）由（1）知，2a c =，则c b 3=，故椭圆方程可以表示为1342222=+cy c x .由（i ）得直线FP 的方程为c y x -=34，即0343=+-c y x . 联立22223430143x y c x y cc -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得0136722=-+c cx x ，解得713c x -=（舍去）或c x =，则32c P c ⎛⎫⎪⎝⎭，， 故FP =25c ， 于是有5322c c PQ FP FQ c =-=-=. 因为直线PM与Q N 间的距离为c， 所以FPPM ⊥，FP QN ⊥，所以339t a n 248c c QN FQ QFN =⋅∠=⨯=， 所以2127232FQN c S FQ QN ==△. 同理得27532FPMc S =△，则2222775273323232F P M F Q N P Q N Mc c c S S S c =-=-=△△四边形，即c c 22=，解得0=c （舍去）或2=c ， 故椭圆的方程为1121622=+y x . 4.（2017浙江卷21）如图所示，已知抛物线2xy =.点1124A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，3924B ⎛⎫⎪⎝⎭，，抛物线上的点(),Px y 1322x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜＜，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q . （1）求直线AP 斜率的取值范围； （2）求PA PQ⋅的最大值.4..解析（1）设直线AP 的斜率为k ，已知1124A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，(),P x y ，则21114411222y x k x x x --===-++. 因为1322x -<<，所以111x -<-<，所以直线AP 斜率的取值范围是()1,1-.（2）因为直线AP ⊥BQ ，且3924B ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以直线BQ 的方程为91342y x k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，联立直线AP 与BQ 的方程1102493042kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩，解得点Q 的横坐标是()224321Q k k x k -++=+.因为)11,112PA k k =+=+-<<，2(1)1Q k k PQ x -+=-=，11k -<<，所以()()311,11PA PQ k k k ⋅=--+-<<， 令()()()311,11f k k k k =--+-<<， 因为()()()2421f k k k '=--+，当112x -<<时，()0f k '>，当112x <<时，()0f k '<，所以()f k 在11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，因此当12k =时，PA PQ ⋅取得最大值2716. 题型128 中点弦问题2015年1.（2015全国II 文20）已知椭圆C ：(222210x y a ba b+=>>上.(1)求C 的方程.(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M.直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.1. 分析(1)由题意可得2a =，则22421a b +=，可得28a = ，24b =.由此可得C 的方程；(2)设直线l 的方程为y kx b =+ ，代入(1)所得的方程，联立得：()222214280kx kbx b +++-=，所以1222221M x x kbx k +-==+，M M y kx b =+， 22+1M b y k =于是有12M OM M y k x k ==-.所以12OM k k ⋅=-，即为定值. 解析 (1)2=，22421a b +=，解得28a =，24b =.所以C 的方程为22184x y +=. (2)设直线l ：()00y kx bk b =+≠≠，，()11A x y ，， ()22B x y ，，()M M M x y ，.将 y kx b =+代入22184x y +=得()22221+4280k x kbx b ++-=. 故1222221M x x kb x k +-==+，221M M by kx b k =+=+ . 于是直线OM 的斜率12M OMM y k x k ==-，即12OM k k ⋅=-. 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.评注 解析几何是高考必考内容之一，在命题时多从考查各种圆锥曲线方程中的基本量关系及运算，在直线与圆锥曲线关系中.一般用方程的思想和函数的观点来解决问题，并会结合中点坐标，方程根与函数关系来求解.2016年1.（2016四川文20）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点12P ⎫⎪⎭在椭圆E 上. （1）求椭圆E 的方程； （2）设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅1.解析 （1）由已知得，2.a b =又椭圆()222210x y a b a b +=>>过点12P ⎫⎪⎭，故2213414b b +=，解得2 1.b = 所以椭圆E 的方程是22 1.4x y += （2）设直线l 的方程为()102y x m m =+≠，1,1()A x y ，22(,)B x y . 由方程组221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得222220x mx m ++-=①方程①的判别式为242m ∆=-（），由0∆>，即220m ->，解得m <<由①得，122x x m +=-，21222x x m =-. 所以点M 坐标为,2m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线OM 的方程为12y x =-， 由方程组221412x y y x⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得2C ⎛ ⎝⎭，2D -⎭.所以)()252224MC MD m m m ⋅=-⋅=-. 又()()()22221212121211544416MA MB AB x x y y x x x x ⎡⎤⎡⎤⋅==-+-=+-=⎣⎦⎣⎦()()2225544222164m m m ⎡⎤--=-⎣⎦.所以=MA MB MC MD ⋅⋅.2.（2016江苏22）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线()2:20C y px p =>.（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --；②求p 的取值范围.2.解析 （1）因为:20l x y --=，所以l 与x 轴的交点坐标为()2,0，即抛物线的焦点为()2,0，所以22p=，故28y x =.（2）解法一：①设点()11,Px y ，()22,Q x y ，则由21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，得21122222y x py x p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故12221212222PQ y y p k y y y y p p -==+-， 又因为,P Q 关于直线l 对称，所以1PQ k =-，即122y y p +=-，所以122y y p +=-，又因为PQ 中点一定在直线l 上， 所以12122222x x y y p ++=+=-，故线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --； ②因为中点坐标为()2,p p --，所以122212122422y y p y y x x pp +=-⎧⎪+⎨+==-⎪⎩，即1222212284y y p y y p p +=-⎧⎨+=-⎩， 所以12212244y y p y y p p+=-⎧⎨=-⎩，即关于y 的二次方程222440y py p p ++-=有两个不等根， 因此()()2224440p p p ∆=-->，解得40,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 解法二：设点()11,P x y ，()22,Q x y ，线段PQ 的中点()00,M x y ，因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为1-， 则可设其方程为y x b =-+.①由22y px y x b⎧=⎨=-+⎩消去x 得2220y py pb +-=，（*）因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12y y ≠，从而()()22420p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（*）的两根为1,2y p =-±1202y y y p +==-. 因为()00,Mx y 在直线l 上，所以02x p =-.因此，线段PQ 的中点坐标为()2,p p --.②因为()2,M p p --在直线y x b =-+上，所以()2p p b -=--+，即22b p =-.由①知20p b +>，于是()2220p p +->，所以43p < 因此p 的取值范围为40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.题型129 平面向量在解析几何中的应用2016年24.（2016天津文19）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F，右顶点为A ，已知113||||||e OF OA FA +=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠=∠，求直线l 的斜率.24.解析 （1）由113e OF OA FA+=，即113()cc a a a c +=-，可得2223a c c -=. 又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为221.43x y +=（2）设直线l 的斜率为(0)k k ≠，则直线l 的方程为(2)y k x =-，设(,)B B B x y ，由方程组22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y ， 整理得2222(43)1616120k x k x k +-+-=，解得2x =或228643k x k -=+， 由题意得228643B k x k -=+，从而21243Bk y k -=+. 由（1）知(1,0)F ，设(0,)H H y ，有(1,)H FH y =-，2229412,4343k k BF k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，由BF HF ⊥，得0BF HF ⋅=，所以222124904343Hky k k k -+=++，解得29412H k y k-=.由MOA MAO ∠=∠，得M 为OA 的垂直平分线与l 的交点，所以()1,M k -.由HM l ⊥，得1HMl k k ⋅=-，即2941211k kk k -+⋅=--，得238k =，解得4k =-或4k = 题型130 定点问题2017年1.（2017全国2卷文20）20.设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =. （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .1.解析（1）如图所示，设(),P x y ，(),0N x ，()1,M x y . 由2NP NM =知，1y，即1y =又点M 在椭圆2212x y +=上，则有22122x y +=，即222x y +=.（2）设())3,,Q t P θθ-，则有()()23,t OP PQ θθθθ⋅=⋅-=222cos sin 2sin 1θθθθ--+-=，即sin 30θθ--=.椭圆C的左焦点()1,0F -.又()()23,FP OQ t θθ⋅=+⋅-3sin 0θθ=--=，所以FP OQ ⊥.所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .题型131定值问题2013年18.（2013江西文20）椭圆22221:(0)x y a C a b b =>>+的离心率2e =， 3.a b +=（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，,,A B D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N 直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明2m k -为定值.2014年1.（2014江西文20）如图所示，已知抛物线2:4C xy =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交。