第3讲 选择题、填空题的解题技巧

B．a1a8<a4a5
D．a1a8＝a4a5
取特殊数列1，2，3，4，5，6，7，8，显然只有
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【例4】 对于不同的直线m，n和不同的平面α，β，γ，有如下
四个命题： ①若m∥α，m⊥n，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥n，则
n∥α；③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；④若m⊥α，
使 f(x)特殊化，可设 f(x)＝xg(x)，其中 g(x)是周期为 1 的 奇函数，再将 g(x)特殊化，可设 g(x)＝sin2πx，则 f(x)＝ 5 xsin 2πx，经验证 f(x)＝xsin 2πx 满足题意，则 f 2＝0.
答案
B
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数形结合法解选择题 [技巧概述]
根据题设条件作出所研究问题的有关曲线或有关图形，
借助于几何图形的直观性得出正确的结论，这种解题方法叫 数形结合法，有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何 意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作 法、形状、位置、性质及特征，便可得出结论．
m∥n，n⊂β，则α⊥β.其中真命题的个数是 A．1 解析 B．2 C．3 ( )． D．4
本题可借助特殊图形求解．画一个正方体作为模型
(如图)设底面ABCD为α.
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(1)当A1B1＝m，B1C1＝n，显然符合①的条件，但结论不 成立； (2)当A1A＝m，AC＝n，显然符合②的条件，但结论不成 立； (3)与底面ABCD相邻三个面可以两两垂直，但任何两个
→ → → → → → → ＋FB＋FC＋FD＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＋|FD|＝4p ＝16.
答案
D
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【例3】 如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列， 公差d≠0，那么 ( )．
A．a1a8>a4a5
C．a1＋a8>a4＋a5 解析 答案 1×8<4×5成立． B
答案
B
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【例2】 已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向
量c满足(a－c)· (b－c)＝0，则|c|的最大值是
A．1
解析 且 a⊥b. → → CA ＝ a－ c ， CB ＝ b－ c ，且 (a － c)· (b－ c)＝0.所以，当 OC 为直径时， |c|max＝ 2.
答案 B
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【例 3】 已知函数 fM(x)的定义域为实数集 R(M 是 R 的非空 真子集)， 满足
1， x∈ M， fM(x)＝ 若 0， x∉ M，
R 的两个非空真子集
fA∪B（x）＋1 A，B 满足 A∩B＝∅，则 F(x)＝ 的值 fA（x）＋fB（x）＋1 域为
系下分别作出函数y＝f(x＋1)＝－cos πx和y＝g(x＋1)＝
|log2|x||的图象，如图，由偶函数的性质可知，四个交点 关于y轴对称，所以此时所有交点的横坐标之和为0，所 以函数f(x)＝cos πx与函数g(x)＝|log2|x－1||的图象所有交 点的横坐标之和为4，选B.
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A．(－1，0)∪(0，1)
C．(－1，0)∪(1，＋∞) 解析 答案 满足题意，排除B. C
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0，1)
取a＝2验证满足题意，排除A，D，取a＝－2验证不
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【例3】 如图所示，已知正六边形
P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量
2 A.0， 3 1 2 C. ， ，1 2 3
(
B． {1}
1 D. ， 1 3
)．
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解析 因为 A⊆(A∪ B)，B⊆ (A∪ B)，实数 x 与集合 A，B，A ∪ B 的关系共有三种情况： ①若 x∈ A，则必有 x∈ (A∪ B)，又 A∩ B＝∅，故 x∉ B，根据 fA∪B（ x）＋ 1 1＋ 1 定义，得 F(x)＝ ＝ ＝ 1； fA（ x）＋ fB（ x）＋ 1 1＋ 0＋ 1 ②若 x∈ B，则必有 x∈ (A∪ B)，又 A∩ B＝∅，故 x∉ A，根据 fA∪B（ x）＋ 1 1＋ 1 定义，得 F(x)＝ ＝ ＝ 1； fA（ x）＋ fB（ x）＋ 1 0＋ 1＋ 1 ③若 x∉ A 且 x∉ B，显然 x∉ (A∪ B)，根据定义，得 F(x)＝ fA∪B（ x）＋ 1 0＋ 1 ＝ ＝ 1. fA（ x）＋ fB（ x）＋ 1 0＋ 0＋ 1 综上，函数 F(x)的值域中只有一个元素 1，即函数 F(x)的值 域为 {1}，故选 B.
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[典例讲解]
【例1】 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选
一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名 代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的
函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)
可以表示为
x A．y＝ 10 x＋ 4 C．y＝ 10 x＋ 3 B．y＝ 10 x＋ 5 D．y＝ 10
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[典例讲解]
【例1】 设a，b为两条直线，α，β为两个平面，且a⊄α，a⊄β，则 下列结论中不成立的是 ( )． A．若b⊂β，a∥b，则a∥β B．若a⊥β，α⊥β，则a∥α C．若a⊥b，b⊥α，则a∥α D．若α⊥β，a⊥β，b∥a，则b∥α 解析 对于选项A，若有b⊂β，a∥b，且已知a⊄β，所以根据线 面平行的判定定理，可得a∥β.故选项A正确．对于选项B，若 a⊥β，α⊥β，则根据空间线、面的位置关系，可知α⊂α或 a∥α，而由已知可知a⊄α，所以a∥α.故选项B正确．对于选项 C，若a⊥b，b⊥α，所以a⊂α或a∥α.而由已知a⊄α，所以a∥α. 故选项C正确．对于选项D，由a⊥β，b∥a，可得b⊥β.又 α⊥β，所以b⊂α或b∥α.故不能得到b∥α.所以选项D错误． 答案 D
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【例2】 对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1，2，…)是{an}为递
增数列”的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 ( )．
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 由 an＋ 1>|an|≥ an，即 an＋1>an. ∴数列 {an}是递增数列． 反过来，{an}是递增数列，知 an＋1>an.不一定有 an＋1>|an|， 1 n 1 1 如递增数列 － 中， a1＝－ ， a2＝－ ， a2>|a1|不成立． 2 4 2 因此“ an＋1>|an|” 是 “{an}为递增数列”的充分不必要条件．
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[典例讲解]
【例1】 函数f(x)＝cos πx与函数g(x)＝|log2|x－1||的图象所有
交点的横坐标之和为 A．2 B．4 C．6 ( D．8 )．
解析
将两个函数同时向左平移1个单位，得到函数y＝
f(x＋1)＝cos π(x＋1)＝cos(πx＋π)＝－cos πx，y＝g(x＋1) ＝|log2|x||，则此时两个新函数均为偶函数．在同一坐标
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[典例讲解]
【例1】 若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(
1 1 A. < a b a b C. 2 > c ＋1 c2＋1 B．a2>b2 D．a|c|>b |c|
)．
解析
取a＝1，b＝0，排除A，取a＝0，b＝－1，排除
B；取c＝0，排除D.
都不平行；
(4)由面面垂直的判定定理可知，④是正确的． 只有④正确，故选A. 答案 A
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排除法解选择题 [技巧概述]
当题干提供的信息较少或结论是一些具体的数字时，我
们可以从选择支入手，通过分析、推理、计算、判断，逐一 排除，最终得出正确选项．
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答案
B
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特殊值代入法解填空题
[技巧概述]
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案
是一个定值时，我们只需把题中的参变量用特殊值(或特殊 函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊模 型等)代替之，即可得到结论．为了保证答案的正确性，在 利用此方法时，一般应多取几个特例．
(
)．
B．2
C. 2
D.
→ → 如图所示，OA＝a，OB＝b，