2016年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题及答案

2016年全国高中数学联赛赛区预赛试题及答案

一、填空题（本大题共10个小题，每小题8分，共80分）

1.函数()

f x =的定义域是 ．

答案：()10,100.

解：()2

lg 3lg 20,1lg 2,10100.x x x x -+-><<<< 2.设实数,x y 满足62,1x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩

向量()()2,,1,1a x y m b =-=-，若//a b ，则实数m

的最小值为 ．

答案： 2.-

解：因为()()2,,1,1a x y m b =-=-，所以

211

x y m -=-，2.m y x =- 在条件621x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩

下，求得2m y x =-的最小值为 2.-

3.设a 、b 都为大于零的常数，01x <<，则22

1a b x x

+-的最小值为 ． 答案：()2

.a b + 解：设()()22

,0,11a b f x x x x

=+∈-，则 ()()()()

()()()

()()()

222222

22222222111111.1b x a x a b f x x x x x bx a x bx a x x x a b x a b a x a x x --'=-+=----+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-+--+⎡⎤⎡⎤⎣

⎦⎣⎦=-

1）当a b ≠时，

()()()

()()

22222222111.1a a a b x x a b a b f x x x a a b x x b a b a x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭'=-⎛⎫ ⎪⎛⎫--- ⎪ ⎪+⎝⎭ ⎪-⎝⎭=-， 因为,a b 都为正数，所以当0,a x a b ⎛

⎫∈ ⎪+⎝⎭时，()0f x '<；当,1a x a b ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭

时，()0.f x '>故函数()f x 在a x a b

=+处取得最小值 ()222.1a a b f a b a a a b a b a b

⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭-++ 2）当a b =时，

()22

1a a f x x x

=+-， ()()

222122.1a x f x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=- 因为a 为正数，所以当10,

2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>．故函数()f x 在12

x =处取得最小值 ()222214.11

2122

a a f a a a ⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭- 综上所述，当01x <<时，221a

b x x

+-的最小值为()2.a b + 4.运行如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为 ．

答案：2

5.已知函数()3f x x =对应的曲线在点()(),k k a f a ()*

k N ∈处的切线与x 轴的交点为()1,0k a +，若11a =，则

(310

10213f f f a +++=⎛⎫- ⎪⎝⎭ ．

答案：

3． 6.已知点P 在曲线x y e =上，点Q 在曲线ln y x =上，则PQ 的最小值是 ．

7.设*m N ∈，2log m 的整数部分用()F m 表示，则()()()121024F F F ++

+的值是 ． 答案：8204.

8.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两的端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有 种．

答案：72.

9.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0ω>使()f x x ω

≤对一切实数x 均成立，则称函数()f x 为“条件约束函数”．现给出下列函数：①()4f x x =；②()22f x x =+；

③()2225

x f x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有()()12124.f x f x x x -≤-

其中是“条件约束函数”的序号是 （写出符合条件的全部序号）． 答案：①③④．

10.已知线段AB 是半径为2的球O 的直径，C 、D 两点在球O 的球面上，

2,CD AB CD =⊥，45135AOC ≤∠≤，

则四面体ABCD 的体积的取值围是 ．

答案：4.3⎡⎢⎣⎦

二、解答题（本大题共3小题，共70分）

11.（本小题满分20分）已知数列{}n a 中，1211,,4

a a ==且 ()

()112,3,4,.n n n a n n a +-==-

（1）设()11n n

b n a =-，球数列{}2n n b ≥的通项公式； （2）求证：对一切*n N ∈，有217.6n

k k a =<∑ 解：（1）()()1111,2,3,4,,n

n n n a a a n n a +-===-

∴当2n ≥时，()()111.111

n n n n n a n a n a n a n +-==---- 两边同时除以n ，得

()()1111,11n n na n a n n +=--- 1111n n b b n n +⎛⎫∴-=-- ⎪-⎝⎭

()12121111 111k n k n k k k k n b b -+-==⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪--⎝

⎭⎝∴-⎭-=∑∑ *2211321, 2.1,.111n n n b b n b b n N n n n -⎛⎫⎛⎫∴-=--≥∴=--+=∈ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭

（2）证明：当2k ≥时，()()()2211

111,34313343132k a k k k k k ⎛⎫=

<=- ⎪----⎝⎭-