2014中考复习第14讲_二次函数
2014中考复习备战策略_数学PPT第14讲_二次函数
∴当 x＝45 时，函数有最大值， y 最大值＝ 40 500， 即当底面的宽为 45 cm 时，抽屉的体积最大，最大 为 40 500 cm3.
方法总结 常利用二次函数的知识解决以下几类问题： 最大利 润问题、求几何图形面积或体积 的最值问题、拱桥问 题、运动型几何问题、方案设计问题等.
温馨提示 一般式、顶点式、交点式是二次函数常见的表达 式， 它们之间可以互相转化 .将顶点式、 交点式去括号、 合并同类项就可转化为一般式；把一般式配方、因式 分解就可转化为顶点式、交点式 .
考点六
二次函数的应用
二次函数的应用包括两个方面： (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系； (2)用二次函数解决最大化问题 (即最值问题)，用 二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围； (3) 利 用 二 次 函 数 的 图 象 求 一 元 二 次 方 程 的 近 似解．
方法总结 抛物线的变换不改变图象的形状和开口大小， 只改 变位置和开口方向，故可通过确定顶点坐标、开口方向 确定变换前后的解析式.
考点五
二次函数 y＝ ax2＋bx＋ c(a≠0)的图象与
a，b， c 的关系
例 5 (2013· 广安 )已知二次函数 y＝ ax ＋ bx＋ c 的图 象如图所示，对称轴是直线 x＝ 1.下列结论：① abc>0； ② 2a＋b＝0； ③b － 4ac<0； ④ 4a＋2b＋ c>0.其中正确的 是( ) A．①③ C．②④ B ．只有② D．③④
2
考点二
二次函数的图象和性质
二次函数 y＝ax ＋bx＋ c 函数 (a，b， c 为常数，a≠0) a<0 a>0
2
图象
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 函数 (a，b，c 为常数，a≠0) a<0 抛物线开口向 开口 上，并向上无限 延伸 对称轴是 x＝－ 对称轴、顶点
2014中考复习《二次函数》精
【本讲知识要点】一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如 的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质：3. ()2y a x h =-的性质：4. ()2y a x h k =-+的性质：（顶点式）5．二次函数2y ax bx c =++的性质（一般式）a ＞0函数图像参考：三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，前者是由后者配方得到的，反之后者是由前者展开得到的，这里22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，或（,bc a-）、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.2-32y=-2x 22y=3(x+4)2(x-2)2y=3x 2y=-2(x-3)2五、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a （a ≠0）决定2y ax bx c =++图象的开口方向以及图象的开口大小①当0a >时，抛物线开口向上。
第14讲二次函数与一元二次方程不等式常考考点(原卷版)
第14讲 二次函数与一元二次方程不等式常考考点【考点分析】考点一：一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如20(0)ax bx c ++>≥或20(0)ax bx c ++<≤(其中a ，b ，c 均为常数，)0a ≠的不等式都是一元二次不等式．考点二：二次函数的零点一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数2y ax bx c =++的零点.考点三： 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.24b ac ∆=-0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅①20(0)ax bx c a ++>≠在R x ∈上恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩恒成立②20(0)ax bx c a ++<≠在R x ∈上恒成立00.a <⎧⇔⎨∆<⎩题型一：解不含参数的一元二次不等式解题思路：①当二次项系数为正时，考虑大于取两边，小于取中间①数轴标根，穿针引线【精选例题】【例1】设x ∈R ，则2x <是220x x -<的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例2】一元二次不等式()20x x ->的解集为（ ）A ．()2,0-B ．()0,2C ．()(),20,-∞-⋃+∞D ．()(),02,-∞+∞【例3】一元二次不等式()()120x x -+>的解集为（ ）A ．()(),21,-∞-+∞B ．()2,1-C ．()(),12,-∞-+∞D ．1,2【例4】使“2560x x +-<”成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．51x -<<B ．52x -<<C ．71x -<<D ．72x -<<【跟踪训练】1.不等式24x x <的解集为（ ）2．不等式2560x x -+>的解集为（ ）A ．{|23}x x <<B ．{|2}x x <C ．{|3}x x >D ．{2|x x <或3}x > (2,)⎫+∞⎪⎭ 12),3⎛-+∞ ⎝题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇【精选例题】【例2】已知关于x的不等式22430(0) x ax a a-+<>的解集为()12,x x，则1212ax xx x++的最小值是（）A B．C D．A．-2B．-1C．1D．2【例4】已知不等式20ax bx c++<的解集为{|1x x<或}3x>，则下列结论正确的是（）【跟踪训练】)()2,+∞2.已知关于x的不等式230ax bx++>，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）．不等式2ax bx++3.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则下列选项中正确的是（ ）题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 【精选例题】【例1】若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-【例2】解关于x 的不等式: ()22110ax a x a -+++<.【例3】已知条件p ：2780x x --<，条件q ：22210x x m -+-≤（其中0m >），若p 是q 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()0,8 B ．()0,∞+ C ．()0,2 D ．[]28,【例4】解关于x 的不等式()222R ax x ax a ≥-∈-．【例5】设函数()()()221,R f x ax a x b a b =-++∈.(1)若不等式()0f x <的解集为()1,2，求a ，b 的值；(2)若4b =，求不等式()0f x >的解集.【跟踪训练】1.已知关于x 的不等式()()230a b x a b +-<+的解集为34x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭．(1)写出a 和b 满足的关系；(2)解关于x 的不等式()()()222120a b x a b x a ---->++．2.解关于x 的不等式：220ax x a -+<.3.设()212y ax a x a =+-+-．(1)命题:p x ∃∈R ，使得2y <-成立．若p 为假命题，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()()2121ax a x a a a +-+-<-∈R ．题型四：不等式的恒成立问题 【精选例题】【例1】“31m -<<”是“不等式()()21110m x m x -+--<对任意的x ∈R 恒成立”的（ ）条件A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【例3】已知命题p ：“R x ∃∈，210x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围为（ ）. A ．(],2-∞B ．()2,2-C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．[]22-,【例4】不等式()()2242120a x a x -+--<的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,2-B ．(]1,2-C ．()2,1-D ．[]1,2-【例5】已知a ＞b ，关于x 的不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在实数0x ，使得20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-最小值为_________．【跟踪训练】1.已知不等式2440mx mx +-<对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是（ ）2.若不等式22253x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,4-B ．()[),25,-∞-⋃+∞C ．()[),14,∞∞--⋃+D ．[]2,5-4.（多选题）下列条件中，为 “关于x 的不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立”的充分不必要条件的有（ ） A ．04m ≤< B ．02m << C ．14m << D ．16m -<<5.已知命题“R x ∀∈，214(2)04x a x +-+>”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(][),04,-∞+∞ B ．[]0,4 C ．[)4,+∞ D ．()0,47.若对任意R x ∈，2222224x ax bx c x x +≤++≤-+ 恒成立，则ab 的最大值为_________．。
九年级数学总复习课件：第14课时二次函数的图象及性质
∵点M为对称轴上一点， ∴OM=BM， ∴OM+AM=BM+AM=AB， 则此时OM+AM最小， 过A点作AN⊥x轴于点N，在Rt△ABN中， AB＝ AN 2 BN 2 42 42 4 2 ， 因此OM+AM最小值为 4 2 .
类型二 二次函数的图象与性质 例2已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象 如图所示，
（３）若已知抛物线与ｘ轴的两个交点或是
一个交点和对称轴，要想到用两点式来求抛 物线的解析式，即设抛物线的解析式为： y=a(x-x1)(x-x2)；2.代入点坐标：用待定系数 法将已知点坐标代入相应的解析式中，得到 关于待定系数的方程（组）；3.求解：解方 程（组），求出待定系数的值，从而得出函 数的解析式.
抛物线与x轴有一个
二次函数
交点( b , 0 ),x= b
2a
2a
y=ax2+bx+c(a b2-4ac＝0 是方程ax2+bx+c=0的
≠0)，若y=0 时，得一元 二次方程 ax2+bx+c=0
两个相等的实数根，
即x1＝x2＝
b 2a
抛物线与x轴没有交
点，即方程 b2-4ac ＜0
ax2+bx+c=0没有实数
3.二次函数的平移 由于抛物线的开口方向与开口大小均由二
次项系数a确定，所以两个二次函数如果a相 等，那么其中一个图象可以由另一个图象平 移得到.
移动方向
平移后的解析 式
简记
向左平移 y=a(x-h+m)2+k 左加
m个单位
向右平移
y=a(x-h)2+k
y=a(x-h-m)2+k m个单位
14待定系数法求二次函数解析式(讲+练)【7种题型】
22.1.5待定系数法求二次函数解析式 二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．题型1：一般式求二次函数解析式-一个或两个参数未知1.若抛物线y ＝x 2+bx +c 的对称轴为y 轴，且点P （2，6）在该抛物线上，则c 的值为（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．4题型2：一般式求二次函数解析式-a 、b 、c 未知2.二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象过点A （﹣1，8）、B （2，﹣1），与y 轴交于点C （0，3），求二次函数的表达式．题型3：顶点式求二次函数解析式3.已知抛物线的顶点是A（2，﹣3），且交y 轴于点B（0，5），求此抛物线的解析式.【变式3-2】已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.题型4：交点式求二次函数解析式4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式．题型5：综合-待定系数法与二次函数的性质5.已知：二次函数的图象经过点A(−1，0)，B(0，−3)和C(3，12)．（1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点D的坐标；（2）设点M(x1，y1)，N(1，y2)在该抛物线上，若y1≤y2，直接写出x1的取值范围．题型6：综合-待定系数法求最短距离6.如图，已知抛物线y=1a(x−2)(x+a)（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．【变式6-1】如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．题型7：综合-三角形面积7.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点。
中考复习第14课时二次函数的图象与性质二课件
第14课时┃ 二次函数的图象与性质（二）
►
检测考点2
二次函数的平移
2． [2013· 贵州] 将二次函数 y＝x2 的图象向右平移 1 个单位， 再向上平移 3 个单位，所得图象的关系式为( A ) A. C. y＝(x－1)2＋3 y＝(x－1)2－3 B. D. y＝(x＋1)2＋3 y＝(x＋1)2－3
＋m＝0.解得 m＝3. (2)二次函数关系式为 y＝－x2＋2x＋3，令 y＝0，得－x2＋ 2x＋3＝0.解得 x＝3 或 x＝－1.∴点 B 的坐标为(－1，0)． (3)∵S△ABD＝S△ABC，点 D 在第一象限，∴点 C，D 关于二 次函数的对称轴对称．∵由二次函数关系式可得其对称轴为 x ＝1，点 C 的坐标为(0，3)，∴点 D 的坐标为(2，3)．
没有
实根；
(3)当抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴无交点时，方程 ax2＋bx＋c 实根.
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第14课时┃ 二次函数的图象与性质（二）
考点2
抛物线的平移
抛物线 y＝(x＋2)2－3 可以由抛物线 y＝x2 平移得到，则下 列平移过程正确的是( B ) A.先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B.先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 C.先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 D.先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位
化为顶点式 y＝a(x－h)2＋k，a 是不变的，然后根据变化后的顶 点坐标，直接写出关系式，也可以始终遵循左加右减(在自变量 x 后)，上加下减(在因变量后)的原则进行，这样做的好处是直 接成了一般式，而且对于一次函数的平移也可以解决.
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初三数学(2014)二次函数知识点复习总结
二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x -1 o x 0 x 0 1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴交点的纵坐标是－32（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
由抛物线的位置确定系数的符号例1 （1）二次函数2y ax bx c =++的图像如图1，则点),(ac b M 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图2所示，•则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个(1) (2)【点评】弄清抛物线的位置与系数a ，b ，c 之间的关系，是解决问题的关键．例2.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点(-2，O)、(x 1，0)，且1<x 1<2，与y 轴的正半轴的交点在点(O ，2)的下方．下列结论：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a -b+1>O ，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D ．4个 答案：D会用待定系数法求二次函数解析式例3.已知：关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=3的一个根为x=2，且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( )A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D ．(3，2) 答案：C例4、已知抛物线y=12x 2+x-52．（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长．【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。
备战 中考数学基础复习 第14课 二次函数的应用课件（33张ppt）
cm;
(2)如图③,动点M重新从点A出发,在矩形边上按原来的速度和 方向匀速运动,同时,另一个动点N从点D出发,在矩形边上沿着 D→C→B的方向匀速运动,设动点N的运动速度为v(cm/s).已知 两动点M,N经过时间x(s)在线段BC上相遇(不包含点C),动点M, N相遇后立即同时停止运动,记此时△APM与△DPN的面积分别 为S1(cm2),S2(cm2). ①求动点N运动速度v(cm/s)的取值范围; ②试探究S1·S2是否存在最大值,若存在,求出S1·S2的最大值并确定运动时间x 的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)设y与销售单价x之间的函数解析式为:y=kx+b,将点
(60,100),(70,80)代入一次函数解析式得: 180007600kkbb，
解得
k b
2 ,
220
故函数的解析式为y=-2x+220;
(2)设药店每天获得的利润为W元,由题意得: W=(x-50)(-2x+220)=-2(x-80)2+1 800, ∵-2<0,函数有最大值, ∴当x=80时,W有最大值,此时最大值是1 800, 故销售单价定为80元时,该药店每天获得的利润最大,最大利润为1 800元.
第14课 二次函数的应用
【知识清单】 一、列二次函数解应用题 1.列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法 是一致的,不同的是,学习了二次函数后,表示量与量的关系的代数式是含有两 个变量的等式.对于应用题要注意以下步骤: (1)审清题意,弄清题中涉及哪些量,已知量有几个,已知量与变量之间的基本 关系是什么,找出等量关系(即函数关系). (2)设出两个变量,注意分清自变量和因变量,同时还要注意所设变量的单位要 准确.
14年中考数学复习(二)：二次函数二
页眉内容专题二：二次函数知识要点扫描归纳一 二次函数的基本概念1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二 二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：结论：上加下减。
总结：3.()2y a x h =-的性质：结论：左加右减。
4.三 二次函数图象的平移 1平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：四 二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。
请将2y ax bx c =++配成()2y a x h k =-+。
总结：从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五 二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六 二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十 二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.考点回放1 二次函数的解析式1.将二次函数2x y =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 。
2014届中考第一轮课件(第14讲二次函数的图像及其性质)
a>0
a<0
抛物线有最高点，当x
最值
b 抛物线有最低点，当x＝－ 时， y b 2a ＝－ 时， y有最大 2a 2 4ac－ b 有最小值，y最小值＝ 4ac－ b2 4a 值，y最大值 ＝ 4a
越小，a 越小，抛物线的，抛物线的开口
1 5 ∴ 所求抛物线的关系式为y＝－ x2－2x＋ . 2 2
第14讲┃ 归类示例
9 －2， 2
解法二 ：∵由解法一知抛物线的顶点为P 式，
，可设顶点
9 设y＝a(x＋2) ＋ ，把x＝1，y＝0代入，得 2
2
9 0＝a(1＋2) ＋ ， 2
2
1 1 9 2 ∴a＝－ .∴y＝－ (x＋2) ＋ ， 2 2 2 1 2 5 即y＝－ x －2x＋ . 2 2
1.一般式
2.顶点式
第14讲┃ 考点聚焦
若已知二次函数图象与x轴的两个交点 的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二 次函数为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三 3.交点式 点(m，n)的坐标(其中m、n为已知数) 或其他已知条件代入，求出待定系数a， 最后将解析式化为一般形式
第14讲┃ 归类示例
a的特性
常数项c 的 意义
c是抛物线与y轴交点的纵坐标，即x＝0时，y＝c
第14讲┃ 考点聚焦 考点3 用待定系数法求二次函数的解析式 方法 适用条件及求法 若已知条件是图象上的三个点，则设所 求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，将已知三 个点的坐标代入，求出a、b、c的值 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称 轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次 函数为y＝a(x－h)2＋k，将已知条件代入， 求出待定系数，最后将解析式化为一般 形式
2014年中考总复习课件二次函数公开课
A．最大值－5
B．最小值－5
D．最小值－6 C．最大值－6 3.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点 情况是( C )
A 无交点
C 有两个交点
B 只有一个交点
D不能确定
4．下列二次函数中，图象以直线 x＝2 为对称轴，且经过 点(0,1)的是( C ) A．y＝(x－2)2＋1 C．y＝(x－2)2－3 B．y＝(x＋2)2＋1 D．y＝(x＋2)2－3
考点 2
确定二次函数的关系式
1 .(2010 年浙江金华)已知二次函数 y＝ax2＋bx－3 的图 象经过点 A(2，－3)，B(－1,0). (1)求二次函数的解析式； (2)填空：要使该二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，应 把图象沿 y 轴向上平移________个单位．
4a＋2b－3＝－3， 解： (1)由已知， 有 a－b－3＝0， 4a＋2b＝0， 即 a－b＝3，
1. 自变量的最高次数是2。
2. 二次项的系数a≠0。 3. 二次函数解析式必须是整式。
二次函数的几种表现形式及图像
y ax (a 0)
2
y
y ax c(a 0) 2 y a( x h) (a 0)
2
o
x
y a( x h) k (a 0) 2 y ax bx c(a 0)
1、已知抛物线上的三个普通点，通常设解析 y=ax2+bx+c(a≠0) 式为________________
2、已知抛物线顶点坐标（h, k）和一个普 通点，通常设抛物线解析式为 2+k(a≠0) y=a(x-h) _______________
2014年中考数学一轮复习讲义：二次函数的应用
2014年中考数学一轮复习讲义：二次函数的应用【考纲要求】1．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题．2.建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题，求二次函数的解析式是解题关键【命题趋势】二次函数应用是中考的重点内容，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.【知识梳理】知识点一：利用二次函数解决实际问题：利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.题型分类、深度剖析：考点一：二次函数的应用：【例1】我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P＝－1100(x－60)2＋41(万元)．当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q ＝－99100(100－x )2＋2945(100－x )＋160(万元)． (1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少；(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少； (3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？解：(1)当x ＝60时，P 最大且为41万元，故五年获利最大值是41×5＝205(万元)． (2)前两年：0≤x ≤50，此时因为P 随x 的增大而增大，所以x ＝50时，P 值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2＝80(万元)．后三年：设每年获利为y 万元，当地投资额为x 万元，则外地投资额为(100－x )万元，所以y ＝P ＋Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1100x －602＋41＋⎝⎛⎭⎪⎫－99100x 2＋2945x ＋160＝－x 2＋60x ＋165＝－(x －30)2＋1 065，表明x ＝30时，y 最大且为1 065，那么三年获利最大为1 065×3＝3 195(万元)，故五年获利最大值为80＋3 195－50×2＝3 175(万元)．(3)有极大的实施价值．方法总结 运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：1．列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．2．在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值． 触类旁通1 一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x 倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x 倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x 倍(本题中0＜x ≤11)．(1)用含x 的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为__________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为__________元；(2)求今年这种玩具的每件利润y (元)与x 之间的函数关系式；(3)设今年这种玩具的年销售利润为w 万元，求当x 为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润＝(每件玩具的出厂价－每件玩具的成本)×年销售量． 考点二：二次函数综合题：【例2】（2013• 德州压轴题）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，OA=1，tan ∠BAO=3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 、B 、C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．BAO=，解得：﹣解得：﹣+2，．触类旁通2（2013泰安压轴题）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M 点的坐标．。
第14讲 二次函数
当x=
b 时, 2a 4ac b 2 最大值为 4a
当x=
【即时应用】 ＞-2 1.y=x2+4x-1的顶点坐标为(_______)，当x_____时，y随x的增 -2，-5
大而增大.
小 2 2.对于二次函数y=3x2-12x+13，当x=__时，函数y有最___值， 其值为__. 1 y轴(或x=0) 3.函数y=x2+3的对称轴为___________.
∴当x=3时，y=9+3b+c≤0
①②联立解得：c≥3,故选B.
②，
4.(2012·泰州中考)如图，在平面直角坐
标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A，
C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数 y=2 2 x +bx+c的图象经过B，C两点. 3
(1)求该二次函数的解析式；
(2)结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围.
一、二次函数的有关概念 1.定义 二次 如果函数的解析式是自变量的_____多项式,这样的函数称为二 次函数. 2.形式 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) (1)一般式:_____________________________; y=a(x-h)2+k (h,k) (2)顶点式:___________,其中顶点坐标是______.
【解析2，2). ∵二次函数y=- 2 x2+bx+c的图象经过B，C两点，
3 ∴c=2，2b+c= 14 ，∴b= 4 ， 3 3 ∴二次函数的解析式为y= 2 x 2 4 x 2 . 3 3 2 2 4 (2)令y=0，则 x x 2 =0，解得x=-1或x=3， 3 3
(沪科版)中考数学总复习课件【第14讲】二次函数的实际应用
第13讲┃二次函数的图象和性质
(3) 当 0＜x≤2 时，w＝10x2＋40x＋480＝10(x＋2)2＋ 440，此时 x ＝2 时，w 最大＝600. 当 2＜x≤4 时，w＝－ 10x ＋80x ＋480＝－10(x－4) ＋ 640，此时 x ＝4 时，w 最大＝640. 当 4＜ x＜6 时，w＝－5x ＋30x＋600＝－5(x－ 3) ＋645，此时，w ＜640，∴x＝4 时，w 最大＝640. 答：该公司每年国内的销售量为 4 千件，国外的销售量为 2 千件 时，可使公司每年的总利润最大，最大利润为 64 万元．
2
第13讲┃二次函数的图象和性质
某小商场以每件 20 元的价格购进一种服装，先试销一周， 试销期间每天的销量 t(件)与每件的销售价格 x(元)如下表所示：
x(元) 38 36 34 32 30 28 26
t(件)
4
8
12
16
20
24
28
第14讲┃二次函数的实际应用
假定试销中每天的销售量 t( 件 ) 与每件的销售价格 x(元 )
＝ － 9t2 ＋
14400＋(－9t2 ＋360t)＝－ 9t2＋14400(30≤t≤ 40) .
第13讲┃二次函数的图象和性质
(3) 当 W＝－9t2 ＋480t(0≤t≤30)时， 80 ∵a＝－9<0，对称轴为直线 t＝ ， 3 ∴当 t ＝27 时 W 有最大值 6399 ， 当 W＝－9t ＋14400(30≤t≤40)时， ∵a＝－9<0，对称轴为 y 轴， ∴t＝ 30 时，W 最大值 ＝－9×302＋ 14400＝6300，∴第 27 天日销售利 润最大，为 6399 万元．
2014年中考二次函数专题复习
二次函数专题复习考点1：二次函数的图象和性质一、考点讲解： 1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为二次函数．2．二次函数的图象及性质：⑴ 二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．y=a(x －h)2＋k 的对称轴是x=h ，顶点坐标是（h ，k ）。
⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线．顶点为（－2b a ，244ac b a -），对称轴x=－2b a ；当a ＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而增大，x ＜－2ba ，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而减小，x ＜－2b a ，y 随x 的增大而增大．注意：分析二次函数增减性时，一定要以对称轴为分界线。
首先要看所要分析的点是否是在对称轴同侧还是异侧，然后再根据具体情况分析其大小情况。
解题小诀窍：二次函数上两点坐标为（y x ,1），（y x ,2），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线221x x x +=。
⑶ 当a ＞0时，当x=－2b a 时，函数有最小值244ac b a -；当a ＜0时，当 x=－2b a 时，函数有最大值244ac b a -。
3．图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ），形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同． 注意：二次函数y=ax 2 与y =－ax 2 的图像关于x 轴对称。
2013-2014中考数学专题复习学生版第十四讲 二次函数的图象和性质
第十四讲 二次函数的图象和性质【基础知识回顾】一、二次函数的定义：一般地如果y= （a 、b 、c 是常数a≠0）那么y 叫做x 的二次函数【名师提醒： 二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是 关 于 自 变 量x 的 二 次 式，x 的 最 高 次 数 是 ， 按 一次排列 2、强调二次项系数a 0】二、二次函数的同象和性质：1、二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的同象是一条 ，其定点坐标为 对称轴式2、在抛物y=kx 2+bx+c(a≠0)中：①、当a>0时，y 口向 ，当x<ab2-时，y 随x 的增大而 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，②、当a<0时，开口向 当x<ab2-时，y 随x 增大而增大，当x 时，y 随x 增大而减小【名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点 1、y=ax 2 ,对称轴 定点坐标2、y= ax 2 +k ，对称轴 定点坐标3、y=a(x-h) 2对称轴 定点坐标4、y=a(x-h) 2 +k 对称轴 定点坐标 】 三、二次函数同象的平移【名师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可】四、二次函数y= ax 2+bx+c 的同象与字母系数之间的关系：a:开口方向 向上则a 0,向下则a 0 ｜a ｜越大，开口越 b:对称轴位置，与a 联系一起，用 判断b=0时，对称轴是c:与y 轴的交点：交点在y 轴正半轴上，则c 0负半轴上则c 0，当c=0时，抛物点过 点【名师提醒：在抛物线y = ax 2+bx+c 中，当x=1时，y= 当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c 和a-b+c 的符号】 【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例1 （2012•常州）已知二次函数y=a （x-2）2+c （a ＞0），当自变量x 、3、0时，对应的函数值分别：y 1，y 2，y 3，，则y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（ ） A ．y 3＜y 2＜y 1 B ．y 1＜y 2＜y 3 C ．y 2＜y 1＜y 3 D ．y 3＜y 1＜y 2点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大． 对应训练1．（2012•衢州）已知二次函数y=12-x 2-7x+152，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y1考点二：二次函数的图象和性质例2 （2012•咸宁）对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．点评：本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象与几何变换、抛物线与x轴的交点，综合性较强，体现了二次函数的特点．对应训练2．（2012•河北）如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=12（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系例3 （2012•玉林）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，则正确的结论是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．对应训练3．（2012•重庆）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=12 ．下列结论中，正确的是（）A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b考点四：抛物线的平移例4 （2012•桂林）如图，把抛物线y=x2沿直线y=x个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（）A．y=（x+1）2-1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x-1）2+1 D．y=（x-1）2-1点评：此题主要考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出A点坐标，掌握抛物线平移的性质：左加右减，上加下减．对应训练4．（2012•南京）已知下列函数①y=x2；②y=-x2；③y=（x-1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有（填写所有正确选项的序号）．4．①③【聚焦山东中考】1．（2012•泰安）二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限2．（2012•济南）如图，二次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）A．y的最大值小于0 B．当x=0时，y的值大于1C．当x=-1时，y的值大于1 D．当x=-3时，y的值小于03．（2012•菏泽）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数ayx在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．4．（2012•泰安）设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2 5．（2012•烟台）已知二次函数y=2（x-3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=-3；③其图象顶点坐标为（3，-1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（2012•日照）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2-4ac＞0；②2a+b＜0；③4a-2b+c=0；④a：b：c=-1：2：3．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④7．（2012•泰安）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A ．y=3（x+2）2+3B ．y=3（x-2）2+3C ．y=3（x+2）2-3D ．y=3（x-2）2-3 8．（2012•潍坊）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋转位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x 度的范围是18≤x≤90），（1）请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y 升与旋钮角度x 度的变化规律？说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？（3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气量．【备考真题过关】一、选择题1. ．(2013•昭通)已知二次函数y ＝ ax 2＋bx ＋c （a ≠ 0）的图象如图5所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．a ＞0B ．3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根C ．a ＋b ＋c ＝0D ．当x ＜1时，y 随x 的增大而减小2.（2013•包头）已知二次函数y =ax 2+bx +c （c ≠0）的图像如图所示，下列结论 ①b <0 ；②4a +2b +c <0； ③a —b +c >0； ④（a +b )²<b ² 其中正确的结论是（ ）x ＝1xy O-1A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③④ 3. ( 2013•牡丹江)抛物线y=2ax +bx+c (a ＜0)如图所示，则关于x 的不等式2ax +bx+c ＞0的解集是（ ）A.x ＜2B.x ＞-3C.-3＜x ＜1D.x ＜-3或x ＞1 4. （2013•怀化）下列函数是二次函数的是（ ）A ．y ＝2x ＋1B ． y ＝－2x ＋1C ．y ＝x 2＋2D ． y ＝12x －2 5. （2013•岳阳）二次函数2=++y ax bx c 的图象如图所示，对于下列结论：①<0;a ②<0;b ③0;>c ④20;+=b a ⑤0++<a b c ．其中正确的个数是（ ） A ．１个 B ．２个 C ．3个D ．4个6.(2013•鄂州)下列命题正确的个数是( )x 的取值范围为x≤1且x≠0.②我市生态旅游初步形成规模，2012年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学计数法表示为3.03×108元.③若反比例函数my x=(m 为常数)，当x ＞0时，y 随x 增大而增大，则一次函数y =-2 x + m 的图像一定不经过第一象限.④若函数的图像关于y 轴对称，则函数称为偶函数，下列三个函数：y =3，y =2x+1，y =x 2中偶函数的个数为2个.A ．1B ．2C ．3D ．47. (2013•鄂州)小轩从如图所示的二次函数y = ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab > 0；②a ＋b ＋c < 0；③b ＋2c ＞0；④a-2b ＋4c ＞0；⑤32a b =。
初三总复习第14课时__二次函数的图象及性质
当x＝1时，y＝a＋b＋c 当x＝－1时，y＝a－b＋c 若a＋b＋c＞0，即x＝1时，y＞0 若a－b＋c＞0，即x＝－1时，y＞0
知识清单
考点3 二次函数图象的平移
1. 平移步骤： (1)将抛物线解析式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k， 确定其顶点坐标； (2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h，k) 即可．
题型训练
2．已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m，0)， 则代数式m2－m＋2 016的值为( D ) A．2 014 B．2 015 C．2 016 D．2 017
题型训练
方法点拨
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标就是 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．这里要注意 两点：一是抛物线与x轴的交点的横坐标与方程解的 联系，二是与一元二次方程的这两个解对应的抛物 线与x轴的两个交点关于对称轴对称．在已知抛物线 的对称轴和其中一个交点的坐标时，根据对称性， 可以便捷地求出另一个交点的坐标．
2．当抛物线与x轴只有一个公共点时，该公共点的横 坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数 根．
3．当抛物线与x轴没有公共点时，对应的一元二次方 程没有实数根．
真题再现
1．(2016怀化)二次函数y＝x2＋2x－3的图象的开口方向、
顶点坐标分别是( A )
A．开口向上，顶点坐标为(－1，－4)
B．开口向下，顶点坐标为(1，4)
称轴的右侧，即当x ＞ b 时，y随x的
2a
增大而减小，简记为
“左增右减”
知识清单
续表 函 数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
抛物线有最低点，且当 抛物线有最高点，且
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解：(1)解法一：∵抛物线 y＝－x ＋bx＋c 经过点 A(3,0)，B(－1,0)，将这两点分别代入抛物线解析式中，
－9＋3b＋c＝0， b＝2， 得 解得 ∴抛物线的解析式 －1－b＋c＝0. c＝3.
2
为 y＝－x2＋2x＋3.
考点二
二次函数的图象和性质
二次函数 y＝ ax ＋ bx＋ c 函数 (a， b， c 为常数， a≠ 0) a>0 a<0
2
图象
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二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c 函数 (a， b， c 为常数， a≠ 0) a>0 a<0
抛物线开口向 抛物线开口向 开口 上，并向上无限 下，并向下无限 延伸 延伸
2
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3.设交点式： y＝ ax－ x1x－ x2a≠ 0，若已知二
次函数的图象与 x 轴的交点坐标为 x1， 0， x2， 0时， 可设交点式求解析式，最后化为一般式.
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考点四
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2.当 x＝1 时，函数 y＝a＋b＋c.当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴上方时，a＋b＋c＞0；当图象上横坐 标 x＝1 的点在 x 轴上时，a＋b＋c＝0；当图象上横坐 标 x＝1 的点在 x 轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图 象上横坐标 x＝－1 的点判断 a－b＋c 的符号.
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(2)顶点式：y＝a(x－h) ＋k(a≠0)，它直接显示二 次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中 x1，x2 是图象与 x 轴交点的横坐标．
2
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方法总结 抛物线的变换不改变图象的形状和开口大小， 只改 变位置和开口方向，故可通过确定顶点坐标、开口方向 确定变换前后的解析式.
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考点五
二次函数 y＝ ax2＋bx＋ c(a≠0)的图象与
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1 2 【点拨】 解法一：抛物线 y ＝ x － 1 的顶点坐标为 2 (0，－1)，将点(0，－1)先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位所得到的点为(1，－3)，所以平移后抛物线的解析式 1 为 y＝ (x－1)2－3.故选 B.解法二：根据抛物线平移的规律 2 “左加右减自变量， 上加下减常数项”可得平移后的解析式 1 1 2 为 y＝ (x－1) －1－2，即 y＝ (x－1)2－3.故选 B. 2 2 【答案】 B
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注意：当 x＝ 1 时， y＝ a＋b＋ c；当 x＝－ 1 时， y＝ a－ b＋ c.若 a＋b＋ c＞0，即当 x＝ 1 时， y＞ 0； 若 a－ b＋ c＞0，即当 x＝－ 1 时， y＞ 0.
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二次函数的应用包括两个方面： (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系； (2)用二次函数解决最大化问题 (即最值问题)，用 二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围； (3) 利 用 二 次 函 数 的 图 象 求 一 元 二 次 方 程 的 近 似解．
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考点一
求抛物线的顶点、对称轴、最值
2
例 1 (2013· 镇江)二次函数 y＝x －4x＋5 的最小值是 ( ) A．－1 B．1
2
C．3
2
D．5
【点拨】∵y＝x －4x＋5＝ (x－2) ＋1，∴当 x＝2 时，二次函数 y＝x －4x＋5 的最小值是 1.故选 B. 【答案】 B
考点二 比较
二次函数的图象与性质及函数值的大小
例 2 (2013· 襄阳)二次函数 y＝－x2＋bx＋c 的图象
如图所示，若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，
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且 x1＜x2＜1，则 y1 与 y2 的大小关系是( A．y1≤y2 C．y1≥y2 B．y1＜y2 D．y1＞y2
2
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3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标， 则设交点式 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 将第三点的坐标 或其他已知条件代入，求出待定系数 a，最后将解析式 化为一般式．
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2
2
∴抛物线的顶点坐标为(1,4)．
4×－1×3－2 2 解法二：∵x＝－ ＝1，y＝ 2×－1 4×－1 ＝4，
2
∴抛物线的顶点坐标为(1,4)．
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方法总结 1.设一般式： y＝ ax ＋ bx＋ ca≠0，若已知图象上 的任意三个点，则设一般式求解析式 . 2.设顶点式：y＝ ax－ h 2＋ ka≠ 0，若已知抛物线 的顶点坐标或对称轴与最值时，则可设顶点式求解析 式，最后化为一般式 .
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考点四 二次函数图象的平移 任意抛物线 y＝a(x－ h)2＋k 可以由抛物线 y＝ ax2
经过平移得到，具体平移方法如下：
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温馨提示 二次函数图象间的平移可看作是顶点间的平移， 因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函 数图象间的平移 .
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第14讲
二次函数
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考点一
二次函数的定义
2
1．一般地，如果 y＝ax ＋bx＋c(a，b，c 是常数， a≠0)，那么 y 叫做 x 的二次函数． 2．二次函数的三种基本形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)；
2
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方法总结 解决此类题目可以先把二次函数 y＝ax2＋bx＋c 配 方为顶点式 y＝ax－h2＋k 的形式，得到：对称轴为 x＝h、最值为 y＝k、顶点坐标为h，k；也可以直接利 用公式求解.
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考点五
二次函数解析式的求法
2
1．一般式：y＝ax ＋bx＋c(a≠0) 若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出 a，b， c 的值．
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2．顶点式：y＝a(x－h) ＋k(a≠0) 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大 值或最小值，则设顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已 知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一 般式．
2
2
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【点拨】 由抛物线开口向上，得 a ＞ 0. 由对称轴在 y 轴右侧， 得 b＜0.由抛物线与 y 轴交于正半轴， 得 c＞0.∴abc b ＜0，∴①错误；由对称轴－ ＝1，得－b＝2a，即 2a＋b 2a ＝0，∴②正确；由抛物线与 x 轴有两个交点，得 b2－4ac ＞0，∴③错误；由抛物线的对称性可得，当 x＝2 时，y ＞0，即 4a＋2b＋c>0，∴④正确．故选 C. 【答案】 C
)
【点拨】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是 x＝1，当 x＜1 时，y 随 x 的增大而增大．∵x1＜x2＜1，
∴y1＜y2.故选 B.
【答案】 B
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方法总结 当二次函数的解析式与已知点的坐标中含有未知 字母时， 可以用如下方法比较函数值的大小： 1用含有 未知字母的代数式表示各函数值，然后进行比较； 2在相应的范围内取未知字母的特殊值， 采用特殊值法 求解；3根据二次函数的性质，结合函数图象比较.
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温馨提示 一般式、顶点式、交点式是二次函数常见的表达 式， 它们之间可以互相转化 .将顶点式、 交点式去括号、 合并同类项就可转化为一般式；把一般式配方、因式 分解就可转化为顶点式、交点式 .
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考点六
二次函数的应用
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考点三
用待定系数法求二次函数的解析式