对数函数及其性质---习题
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
返回目录
【解析】(1)∵函数y= log 1 x
在(0,+∞)上递减,又∵ 4 6 5 7
4 6 log 1 log 1 ∴ 2 5 2 7
2
,
.
(2)借助y= log 1 x 及y= log 1 x 的图象,tx 如图所示,在(1,+∞)内,前者在后者的下方, ∴ log 1 3 log 1 3 .
∴y=loga(a-ax)<logaa=1,
∴函数的值域为{y|y<1}. 【评析】求函数的值域一定要注意定义域对它的影响, 然后利用函数的单调性求之,当函数中含有参数时,有 时需要讨论参数的取值.
返回目录
求值域: (1)y=log2 (x2-4x+6);
1 (2) y log 2 2 . - x 2x 2
2
间是 -
, 2 4
.
返回目录
(2)先求此函数的定义域,由μ=2x2-5x-3>0得(2x+1)(x1 3)>0,得x< - 或x>3. 2 1 2-5x-3在 (-,- 上为减函 ) 易知y=log0.1μ是减函数,μ=2x 2 数,即x越大,μ越小,∴y=log0.1u越大;在(3,+∞)上函 数μ为增函数,即x越大,μ越大,∴y=log0.1μ越小.
进入
学点一
学点二 学点三 学点四 学点五
学点六
学点七 学点八
对数与指数的关系
ab N , b log a N
指数函数与对数函数的关系
由指数函数y a x x log a y, 一般用y表示函数, 用x表示自变量,上式变为y=log a x 对数函数. 指数函数与对数函数从对应的关系理解,是一种 逆对应关系.像这样具有逆对应关系的两个函数 称为互为反函数. 例如:求函数y 2 x 1的反函数 y 1 解:由y 2 x 1得x , x、y互换得 2 2 x 1 y 为函数y 2 x 1的反函数. 2 2
在y轴的右侧,过定点(1,0) 当x>0且x→0时,图象趋 当x>0且x→0时,图象趋 近于 y轴正半轴. 近于 y轴负半轴.
在(0,+∞)上是减函数. 在(0,+∞)上是增函数.
y∈(0,+∞) 当0<x<1时, 函数值的 当 x=1 时,; y=0 变化规律 y<0. 当 x>1 时,
当
0<x<1
返回目录
(2)由
16-4x>0
x+1>0
x+1≠1
得
x<2
x>-1
x≠0.
∴-1<x<0或0<x<2. ∴函数的定义域是(-1,0)∪(0,2). 【评析】求函数定义域实质上就是据题意列出函数成立的不等 式(组)并解之,对于含有对数式的函数定义域的求解,必须 同时考虑底数和真数的取值条件,在本例(2)(4)中还用到 指数、对数的单调性.
指数函数图像与对几何画板.lnk数函数的图像的关系
x
x
-3
-2wenku.baidu.com
-1
0
1
2
3
1/8 y2
1/4
1/2
1
2
4
8
x
1/4 1/2 1 -1 0
2 1
4 2
8 3
16 4
y log 2 x -2
fx = 2x log x gx = log 2 hx = x
8
6
4
y=f(x)
2
-10
-5
5
10
-2
-4
-6
-8
13、对数函数的图象和性质
a>1 0<a<1
图 象
(1)定义域: (0,+∞)
性 (2)值域: R 质 (3)过点, (1,0) 即x=1时,y=0
(4)在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
1.对数函数的概念 函数 y=logax(a>0,且a≠1)
叫做对数函数.
2
2 5
返回目录
(2)要使函数有意义,必须且满足 2x+3>0 x-1>0 3x-1>0 解得 x> x>1
1 x> 3 2 x 3
3 2
3x-1 0
因此,函数的定义域为 (1,+∞) .
返回目录
学点三
求值域
求下列函数的值域: (1)y log 1
2
(-x 2 - 4x 12);
返回目录
已知x满足不等式-3≤ log 1 x ≤ 的最大值和最小值.
1 ,即 2
2
1 ,求函数f(x)= 2
x x (log 2 ) (log 2 ) 4 2
2 ∵-3≤ log 1 x ≤ ≤x≤8, 2 1 ∴ ≤log2x≤3, 2 1 3 ∵f(x)=(log2x-2)· 2x-1)=(log2x- )2 (log , 4 2 3 1 ∴当log2x= ,即x=2 2 时,f(x)有最小值- .
2 5
3
2
5
log (3)由对数函数的性质知, 1 0.3 >0, log 2 0.8 <0,
∴ log 1 0.3 > log 2 0.8 .
3
返回目录
【评析】比较两个对数值的大小,常用方法: (1)当底数相同,真数不同时,用函数的单调性来比 较; (2)当底数不同而真数相同时,常借助图象比较,也 可用换底公式转化为同底数的对数后比较; (3)当底数与真数都不同时,需寻求中间值比较.
返回目录
学点六
求变量范围
已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1). (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围; (2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围. 【分析】若f(x)的定义域为R,则对一切x∈R,f(x)有意义; 若f(x)值域为R,则f(x)能取到一切实数值. 【解析】(1)要使f(x)的定义域为R,只要使 μ(x)=ax2+2x+1的值恒为正值, ∴
时,y<0;
当x=1时, y=0 ; 当x>1时, y>0 .
返回目录
学点一
比较大小
比较大小: 4 6 log 1 ,log 1 ; (1) 7 2 5
2
(2) 1 3, log
2
log 1 ; 3
5
log (3) 1 0.3, log 2 0.8 .
3
【分析】从对数函数单调性及图象变化规律入手.
返回目录
求下列函数的定义域: (1) y= log 0.8x - 1 ;
2x - 1
(2)y log 3x-1
2x 3 . x 1
(1)要使函数有意义,必须且只需
x>0 log0.8x-1≥0 即 x>0 x≤0.8
2x-1≠0, x≠ 1 , 1 2 4 ∴0<x≤ 且x≠ . 2 5 1 1 4 因此,函数的定义域是 0, , .
返回目录
学点二
求定义域
求下列函数的定义域:
y (1)
log 0.5 (4x - 3);
y log x1 (16 - 4 x ). (2)
【分析】注意考虑问题要全面,切忌丢三落四. 【解析】(2)由log0.5(4x-3)≥0 4x-3>0得0<4x-3≤1, 3 ∴ 4 <x≤1. 3 ∴函数的定义域是 4 ,1 .
∴0<-x2-4x+12≤16.
∵y=log 1 x在(0,16]上是减函数, ∴函数的值域为[-4,+∞).
(2)∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,
又∵x2-2x-3>0,且y=log 1 x在(0,+∞)上是减函数,
∴y∈R,
2
∴函数的值域为实数集R.
返回目录
(3)令u=a-ax, ∵u>0,a>1,∴ax<a,x<1, ∴y=loga(a-ax)的定义域为{x|x<1}, ∵ax<a,且ax>0,u=a-ax<a,
返回目录
比较下列各组数中两个值的大小:
(1) log 2 3.4, log 2 8.5 ;
(2) log 0.31.8, log 0.3 2.7 ; (3) loga 5.1, loga 5.9 (a>0,且a≠1).
返回目录
(1)考查对数函数y=log2x,因为它的底数2>1,所以它在 (0,+∞)上是增函数,于是log23.4<log28.5. (2)考查对数函数y=log0.3x,因为它的底数满足0<0.3<1, 所以它在(0,+∞)上是减函数,于是log0.31.8>log0.32.7. (3)对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小 于1,而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大,因此, 要对底数a进行讨论: 当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,于是 loga5.1<loga5.9; 当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,于是 loga5.1>loga5.9.
∴原函数的单调增区间为 1 ,单调减区间为 ( , ) (3,+∞). 2 【评析】复合函数单调区间的求法应注意三点:一是抓 住变化状态;二是掌握复合函数的单调性规律;三是注 意复合函数的定义域.
返回目录
已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1). (1)求f(x)的定义域; (2)讨论函数f(x)的单调性. (1)由ax-1>0得ax>1,当a>1时,x>0;当0<a<1时,x<0. ∴当a>1时,f(x)的定义域为(0,+∞);
=(log3x+3)2-3.
∵函数f(x)的定义域为[1,9], ∴要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有定义,必须
返回目录
1≤x2≤9
1≤x≤9.
∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1.
令u=log3x,则0≤u≤1.
又∵函数y=(u+3)2-3在[-3,+∞)上是增函数, ∴当u=1时,函数y=(u+3)2-3有最大值13. 即当log3x=1,即x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)有最 大值为13. 【评析】求函数的值域和最值,必须考虑函数的定义 域,同时应注意求值域或最值的常用方法.
(x 2 - 2x - 3);
(2) y log
1 2
(3)y=loga(a-ax)(a>1). 【分析】复合函数的值域问题,要先求函数的定义域, 再由单调性求解.
返回目录
【解析】(1)∵-x2-4x+12=-(x2+4x)+12
=-(x+2)2+16≤16,
又∵-x2-4x+12>0,
1 ∴y≥log 16=-4. 2 2
1 1 ∴ log 2 ≥ log 2 2 - x 2x 2 1 3 ∴函数的值域是 log 2 , 3
1. 3
,
返回目录
学点四
求最值
已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大 值及当y取最大值时x的值. 【分析】要求函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值,首先要 求函数的解析式,然后求出函数的定义域,最后用换 元法求出函数的值域. 【解析】∵f(x)=2+log3x, ∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2) =log32x+6log3x+6
又∵当log2x=3,即x=8时,f(x)有最大值2,
1 ∴f(x)min=4
2
4
,f(x)max=2.
返回目录
学点五
求单调区间
求下列函数的单调区间:
2 (1)f(x)= log 1 (-2x x 6) ; 2
(2)f(x)=log0.1(2x2-5x-3).
【分析】复合函数的单调性,宜分解为两个基本函数后解决. 1 2+x+6=-2 (x ) 2+ 49 . 【解析】(1)令t=-2x 8 4 3 ∵由-2x2+x+6>0知- <x<2,
(1)∵x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,又∵y=log2x在(0,+∞)上是增 函数, ∴log2(x2-4x+6)≥log22=1. ∴函数的值域是[1,+∞). (2) ∵-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3,
1 1 ∴ <0或 - x 2 2x 2 ≥ 2 - x 2x 2
∴当x∈ - , 时,随x的增大t的值增大,从而log 1 t的值减 2 4 2 小;
1 当x∈ 4 ,2 时,随x的增大t的值减小,从而log 1 t的值增大. 2 1 ∴函数y=log 1 (-2x2+x+6)的单调增区间是 ,2 ,单调减区 4 3 1 2 3 1
2.对数函数的图象和性质. 图在下一页 3.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)与指数函数y=ax(a>0,且a≠1) y=x 反函数 互为 .它们的图象关于 对称.
返回目录
函数 a的取值
y=logax (a>0,a 1) 0<a<1 a>1
(0,)
定义域
值域
R
图象
图象 特征 单调性
当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,0).
a x1 a x 2 , (2)当a>1时,设0<x1<x2,则1<
a x1-1< a x 2-1, 故0<
a x 2-1). ∴f(x1)<f(x2), 即loga(a -1)<loga(
x1
故当a>1时,f(x)在(0,+∞)上是增函数.
同理,当0<a<1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.