《金版新学案》高三数学一轮复习高效测评卷 第五章 数 列 理 北师大版
《金版新学案》高三数学一轮复习 框图随堂检测 文 北师大版
用心 爱心 专心 1 2011《金版新学案》高三数学一轮复习 框图随堂检测 文 北师大版
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．下列判断不正确的是(
)
A ．画工序流程图类似于算法的流程图，要先把每一个工序逐步细化，按自上向下或自左到右的顺序
B ．在工序流程图中可以出现循环回路，这一点不同于算法流程图
C ．工序流程图中的流程线表示相邻两工序之间的衔接关系
D ．工序流程图中的流程线都是有方向的指向线
【答案】 B
2．如图是《集合》的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在( )
A ．“集合的概念”的下位
B ．“集合的表示”的下位
C ．“基本关系”的下位
D ．“基本运算”的下位
【解析】 由子集概念知应属于集合间的基本关系．故选C.
【答案】 C
3．图中关于函数、函数的定义域、函数的值域、函数的对应法则的结构图正确的是(
)。
《金版新学案》高三数学一轮复习 数列求和随堂检测 文 北师大版
2011《金版新学案》高三数学一轮复习 数列求和随堂检测 文 北师大版(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．数列9,99,999,9 999…的前n 项和等于( )A ．10n －1 B.109(10n －1)－n C.109(10n －1) D.109(10n －1)＋n 【解析】 a n ＝10n －1，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n －1)＝(10＋102＋…＋10n )－n ＝10(10n －1)9－n. 【答案】 B2．设函数f(x)＝x m ＋ax 的导函数f′(x)＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f(n)(n∈N )的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1D.n ＋1n【解析】 f′(x)＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a＝1，m ＝2，∴f(x)＝x(x ＋1)，1f(n)＝1n(n ＋1)＝1n －1n ＋1，用裂项相消法求和得 S n ＝n n ＋1，故选A. 【答案】 A3．设a n ＝－n 2＋17n ＋18，则数列{a n }从首项到第几项的和最大( )A ．17B ．18C ．17或18D ．19【解析】 令a n ≥0，得1≤n≤18.∵a 18＝0，a 17＞0，a 19＜0，∴到第18项或17项和最大．【答案】 C4．已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若{log 2a n }是公差为－1的等差数列，且S 6＝38，那么a 1的值是( ) A.421 B.631C.821D.2131【解析】 由题知：log 2a n －log 2a n －1＝－1，∴log 2a n a n －1＝－1，即a n a n －1＝12， ∴{a n }是以a 1为首项，12为公比的等比数列，∴S 6＝a 1[1－(12)6]1－12＝38，∴a 1＝421. 【答案】 A5．数列a n ＝1n(n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．9【解析】 数列的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n(n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910，∴n＝9， ∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0.令x ＝0，得y ＝－9，∴在y 轴上的截距为－9.【答案】 B6．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2009＋a 2010＞0，a 2009·a 2010＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )A ．4017B ．4018C ．4019D ．4020【解析】 ∵a 1＞0，a 2009＋a 2010＞0，a 2009·a 2010＜0，且{a n }为等差数列， ∴{a n }表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且a 2009是绝对值最小的正数，a 2010是绝对值最小的负数(第一个负数)，且|a 2009|＞|a 2010|.∵在等差数列{a n }中，a 2009＋a 2010＝a 1＋a 4018＞0，S 4018＝4018(a 1＋a 4018)2＞0， ∴使S n ＞0成立的最大自然数n 是4018.【答案】 B二、填空题(每小题6分，共18分)7．已知f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，－n ，n 为偶数，若a n ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a 1＋a 2＋…＋a 2 008＝________.【解析】 当n 为奇数时，a n ＝f(n)＋f(n ＋1)＝n －n －1＝－1.当n 为偶数时， a n ＝－n ＋n ＋1＝1.∴a 1＋a 2＋…＋a 2 008＝0.【答案】 08．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n(n∈N ＋)，则a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝________.【解析】 令n ＝1得a 1＝4，即a 1＝16，当n≥2时，a n ＝(n 2＋3n)－[(n －1)2＋3(n －1)]＝2n ＋2，所以a n ＝4(n ＋1)2，当n ＝1时，也适合，所以a n ＝4(n ＋1)2(n∈N ＋)．于是a n n ＋1＝4(n ＋1)， 故a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝2n 2＋6n. 【答案】 2n 2＋6n9．(20008年四川卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为______．【解析】 方法一：∵ ⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ S 4＝4a 1＋6d≥10S 5＝5a 1＋10d≤15⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －2a 1－3d≤5a 1＋2d≤3⇒d≤1又∵S 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3≤15⇒a 3≤3⇒a 4≤4. 故a 4的最大值为4.方法二：本题也可利用线性规划知识求解．由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋6d≥105a 1＋10d≤15⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋3d≥5，a 1＋2d≤3. a 4＝a 1＋3d.画出可行域⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋3d≥5a 1＋2d≤3，求目标函数a 4＝a 1＋3d 的最大值，即当直线a 4＝a 1＋3d 过可行域内(1,1)点时截距最大，此时a 4＝4.【答案】 4三、解答题(共46分)10．(15分)已知等差数列{a n }中，S n 是它前n 项和，设a 6＝2，S 10＝10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若从数列{a n }中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n 项，…，按取出的顺序组成一个新数列{b n }，试求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】 (1)设数列{a n }首项，公差分别为a 1，d.则由已知得a 1＋5d ＝2 ①，10a 1＋10×92d ＝10 ② 联立①②解得a 1＝－8，d ＝2，所以a n ＝2n －10(n∈N ＋)(2)b n ＝a 2n ＝2·2n －10＝2n ＋1－10(n∈N ＋)，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝4(1－2n )1－2－10n ＝2n ＋2－10n －4 11．(15分)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n∈N ＋，满足关系式2S n ＝3a n －3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的通项公式是b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，前n 项和为T n ，求证：对于任意的正整数n ，总有T n ＜1.【解析】 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝3a n －3，2S n －1＝3a n －1－3(n≥2). 故2(S n －S n －1)＝2a n ＝3a n －3a n －1即a n ＝3a n －1(n≥2)故数列{a n }为等比数列，且q ＝3又当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，∴a 1＝3∴a n ＝3n (n≥2)而a 1＝3亦适合上式∴a n ＝3n (n∈N ＋)(2)证明：b n ＝1n(n ＋1)＝1n －1n ＋1所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＜1 12．(16分)过点P(1,0)作曲线C ：y ＝x 2(x∈(0，＋∞))的切线，切点为M 1，设M 1在x轴上的投影是点P 1.又过点P 1作曲线C 的切线，切点为M 2，设M 2在x 轴上的投影是点P 2，….依此下去，得到一系列点M 1，M 2…，M n ，…，设它们的横坐标a 1，a 2，…，a n ，…，构成数列为{a n }．(1)求证：数列{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)令b n ＝n a n，求数列{b n }的前n 项和S n . 【解析】 (1)证明：对y ＝x 2求导数，得y′＝2x ，切点是M n (a n ，a n 2)的切线方程是y－a n 2＝2a n (x －a n )．当n ＝1时，切线过点P(1,0)，即0－a 12＝2a 1(1－a 1)，得a 1＝2；当n ＞1时，切线过点P n －1(a n －1,0)，即0－a n 2＝2a n (a n －1－a n )，得a n a n －1＝2 所以数列{a n }是首项a 1＝2，公比为2的等比数列．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n∈N(2)当k ＝2时，a n ＝2n ，b n ＝n 2n ，数列{b n }的前n 项和 S n ＝12＋222＋323＋…n 2n ， 同乘以12，得12S n ＝122＋223＋324＋…＋n 2n ＋1， 两式相减，得12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1 ＝1－12n －n 2n ＋1， 所以S n ＝2－n ＋22n .。
《金版新学案》高三数学一轮复习 简单的三角恒等变换随堂检测 理 北师大版
(2)设α∈(0，π)，f ＝ ，求sin α的值．
【解析】 (1)∵f(x)＝sin 2x＋cos 2x，
∴f ＝sin ＋cos ＝1.
(2)∵f ＝sin α＋cos α＝ .
∴sin ＝ ，cos ＝± .
sinα＝sin
＝ × － × ＝ .
∵α∈(0，π)，∴sinα＞0.故sinα＝ .
∵θ∈ ，∴－1＜sin θ＜－ ＜cos θ＜0.
∴cos θ－sin θ＞0，cos θ＋sin θ＜0.
∴原式＝cos θ－sin θ＋cos θ＋sin θ＝2cos θ.
【答案】 D
3．若△ABC中，sin B·sin C＝cos2 ，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等边三角形
【答案】 A
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．若 ＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
【解析】 ∵ ＝ ＝3，∴tan α＝2.
又tan(α－β)＝2，
∴tan(β－2α)＝tan
＝－tan
＝－ ＝ .
【答案】
8．若锐角α、β满足(1＋ tan α)(1＋ tan β)＝4，则α＋β＝________.
【答案】 A
5．定义运算 ＝ad－bc若cos α＝ ， ＝ ，0＜β＜α＜ ，则β等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 依题设得：
sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝ .
∵0＜β＜α＜ ，∴cos(α－β)＝ ，
又∵cos α＝ ，∴sin α＝ .
sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
数列专题试卷
《金版新学案》高三一轮总复习[B师大]数学文科高效测评卷(五)第五章数列—————————————————————————————————————【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)题号123456789101112答案只有一项是符合题目要求的)1．已知实数列－1，x，y，z，－2成等比数列，则xyz等于()A．－4B．±4C．－2 2 D．±2 22．已知数列{a n}的前三项依次为－2,2,6，且前n项和S n是不含常数项的二次函数，则a100等于()A．394 B．392C．390 D．3963．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3·a9＝2a52，a2＝1，则a1等于()A.12B.22C. 2 D．24．已知不等式x2－2x－3＜0的整数解构成等差数列{a n}，则数列{a n}的第四项为() A．3 B．－1C．2 D．3或－15．已知等比数列{a n}中，有a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于()A．2 B．4C．8 D．166．等比数列{a n}中，公比q＞1，且a1＋a6＝8，a3a4＝12，则a6a11等于()A.12B.16C.13D.13或167．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2(当n 为奇数时)，－n 2(当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 2008．(2011·广东深圳)数列{a n }前n 项和为S n ，已知a 1＝13，且对任意正整数m ，n 都有a m＋n＝a m ·a n ，若S n ＜a 恒成立，则实数a 的最小值为( ) A.12 B.23 C.32D ．29．数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝7，当n ≥1时，a n ＋2等于a n ·a n ＋1的个位数字，则a 2 010＝( ) A ．1 B ．3 C ．7D ．910．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1≤13，S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为( ) A ．3 B ．4 C ．－7D ．－511．某小区现有住房的面积为a 平方米，在改造过程中政府决定每年拆除b 平方米旧住房，同时按当年住房面积的10%建设新住房，则n 年后该小区的住房面积为( )A ．a ·1.1n －nbB ．a ·1.1n －10b (1.1n －1)C ．n (1.1a －1)D ．1.1n (a －b )12．等差数列{a n }的公差d 不为0，S n 是其前n 项和，给出下列命题： ①若d ＜0，且S 3＝S 8，则S 5和S 6都是{S n }中的最大项； ②给定n ，对于一切k ∈N ＋(k ＜n )，都有a n －k ＋a n ＋k ＝2a n ； ③若d ＞0，则{S n }中一定有最小的项； ④存在k ∈N ＋，使a k －a k ＋1和a k －a k －1同号． 其中正确命题的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)题 号第Ⅰ卷第Ⅱ卷总 分二171819202122得分13．设等比数列{a n}的前n项和为S n.若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.14．若数列{a n}满足关系a1＝2，a n＋1＝3a n＋2，该数列的通项公式为________．15．已知公差不为零的等差数列{a n}中，M＝a n·a n＋3，N＝a n＋1·a n＋2，则M与N的大小关系是________．16．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)记等差数列{a n}的前n项和为S n，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求S n.18．(12分)在公差为d(d≠0)的等差数列{a n}和公比为q的等比数列{b n}中，a2＝b1＝3，a5＝b2，a14＝b3，(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)令c n＝ba n，求数列{c n}的前n项和T n.19．(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意正整数n都有a n是n与S n的等差中项．(1)求证：a n＝2a n－1＋1(n≥2)；(2)求证：数列{a n＋1}为等比数列；(3)求数列{a n}的前n项和S n. 【解析方法代码108001070】20．(12分)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a＞0，x∈R)有且只有一个零点，数列{a n}的前n项和S n＝f(n)(n∈N＋)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设c n＝1－4a n(n∈N＋)，定义所有满足c m·c m＋1＜0的正整数m的个数，称为这个数列{c n}的变号数，求数列{c n}的变号数．21.(12分)设曲线y＝x2＋x＋2－ln x在x＝1处的切线为l，数列{a n}的首项a1＝－m(其中常数m 为正奇数)，且对任意n ∈N ＋，点(n －1，a n ＋1－a n －a 1)均在直线l 上．(1)求出{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n (n ∈N ＋)，当a n ≥a 5恒成立时，求出n 的取值范围，使得b n ＋1＞b n 成立． 【解析方法代码108001071】22．(14分)已知数列{a n }满足a 1＝76，S n 是{a n }的前n 项和，点(2S n ＋a n ，S n ＋1)在f (x )＝12x ＋13的图象上，正数数列{b n }中，b 1＝1，且(n ＋1)b n ＋12－nb n 2＋b n ＋1b n ＝0(n ∈N ＋)． (1)分别求数列{a n }和{b n }的通项公式a n 和b n ；(2)若c n ＝a n －23b n，T n 为c n 的前n 项和，n ∈N ＋，试比较T n 与1的大小． 【解析方法代码108001072】答案：卷(五)一、选择题1．C ∵xz ＝(－1)×(－2)＝2，y 2＝2， ∴y ＝－2(正不合题意)， ∴xyz ＝－2 2.2．A 易知{a n }是等差数列，a 1＝－2，d ＝4， ∴a 100＝a 1＋99d ＝394，故选A.3．B 由a 3·a 9＝2a 52知a 12·q 10＝2a 12·q 8， ∵q ＞0，∴q 2＝2，即q ＝2，a 1＝a 2q ＝12＝22.4．D 由x 2－2x －3＜0及x ∈Z 得x ＝0,1,2. ∴a 4＝3或－1.故选D.5．C ∵a 3a 11＝a 72＝4a 7，a 7≠0， ∴a 7＝4，∴b 7＝4. ∵{b n }为等差数列， ∴b 5＋b 9＝2b 7＝8，故选C.6．C 依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 6＝8，a 1·a 6＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a 6＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，a 6＝2.(∵q ＞1，∴舍去)所以a 6a 11＝1q 5a 1a 6＝13C. 7．B 由题意，a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.故选B.8．A 由于a m ＋n ＝a m ·a n ，令m ＝1得a n ＋1＝a 1·a n ，{a n }为等比数列，S n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝12⎭⎫1－13n ＜12，∴a ≥12，故选A. 9．D 由题意得a 3＝1，a 4＝7，a 5＝7，a 6＝9，a 7＝3，a 8＝7，a 9＝1，则a 1＝a 7，a 2＝a 8.连续两项相等，所以{a n }的周期为6，则a 2 010＝a 335×6＝a 6＝9，故选D.10．B 由⎩⎪⎨⎪⎧a 4－3d ≤13，4a 4－6d ≥10，5a 4－5d ≤15得⎩⎪⎨⎪⎧a 4－3d ≤13， ①－2a 4＋3d ≤－5， ②a 4－d ≤3， ③ 由①②③得－8≤a 4≤4.故选B.11．B 特殊值法验证，取n ＝1分不清，n ＝2时，按实际意义a n ＋1＝a n ·1.1－b ，a 1＝a ·1.1－b ，则a 2＝a ·1.12－1.1b －b ，对选项验证，只有B 满足，故选B.12．B 因为{a n }成等差数列，所以其前n 项和是关于n 的二次函数的形式且缺少常数项，d ＜0说明二次函数开口向下，又S 3＝S 8，说明函数关于直线x ＝5.5对称，所以S 5、S 6都是最大项，①正确；同理，若d ＞0，说明{a n }是递增的，故{S n }中一定存在最小的项，③正确；而②是等差中项的推广，正确；对于④，a k －a k ＋1＝－d ，a k －a k －1＝d ，因为d ≠0，所以二者异号．二、填空题13．解析： 设等比数列的公比为q ，则由S 6＝4S 3知q ≠1， ∴S 6＝1－q 61－q ＝4(1－q 3)1－q .∴q 3＝3.∴a 1q 3＝3，即a 4＝3.答案： 314．解析： ∵a n ＋1＝3a n ＋2两边加上1得，a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴{a n ＋1}是以a 1＋1＝3为首项，以3为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝3·3n －1＝3n ， ∴a n ＝3n －1. 答案： a n ＝3n－115．解析： 设{a n }的公差为d ，则d ≠0. M －N ＝a n (a n ＋3d )－[(a n ＋d )(a n ＋2d )] ＝a n 2＋3da n －a n 2－3da n －2d 2 ＝－2d 2＜0，∴M ＜N . 答案： M ＜N16．解析： 由题中数表知：第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成等差数列，所以第n 行第n ＋1列的数是：n 2＋n .答案： n 2＋n 三、解答题17．解析： 设数列{a n }的公差为d ，依题设有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1(a 3＋1)＝a 22，a 1＋a 2＋a 3＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧a 12＋2a 1d －d 2＋2a 1＝0，a 1＋d ＝4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－4.因此S n ＝12n (3n －1)或S n ＝2n (5－n )．18．解析： (1)由条件得：⎩⎪⎨⎪⎧3＋3d ＝3q 3＋12d ＝3q 2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2q ＝3，∴a n ＝2n －1，b n ＝3n(2)由(1)得，∴c n ＝ba n ＝b 2n －1＝32n －1 ∵c n ＋1c n ＝32n ＋132n －1＝9，c 1＝3， 所以{c n }是首项为3，公比为9的等比数列． ∴T n ＝3(1－9n)1－9＝38(9n－1)19．解析： (1)证明：∵a n 是n 与S n 的等差中项， ∴2a n ＝n ＋S n ①于是2a n －1＝n －1＋S n －1(n ≥2)② ①－②得2a n －2a n －1＝1＋a n ， ∴a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，(2)证明：当n ≥2时，由a n ＝2a n －1＋1得a n ＋1＝2(a n －1＋1)， ∴a n ＋1a n －1＋1＝2.当n ＝1时，2a 1＝1＋S 1即2a 1＝1＋a 1， ∴a 1＝1，a 1＋1＝2.所以{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列． (3)∵a n ＋1＝2·2n －1＝2n ， ∴a n ＝2n－1，∴S n ＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n .20．解析： (1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0，∴a ＝0或a ＝4. 又由a ＞0得a ＝4，f (x )＝x 2－4x ＋4. ∴S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)，2n －5 (n ≥2).(2)由题设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3(n ＝1)，1－42n －5 (n ≥2，n ∈N ＋). 由1－42n －5＝2n －92n －5可知，当n ≥5时，恒有a n ＞0. 又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，c 5＝15，即c 1·c 2＜0，c 2·c 3＜0，c 4·c 5＜0， ∴数列{c n }的变号数为3.21．解析： (1)由y ＝x 2＋x ＋2－ln x ，知x ＝1时，y ＝4. 又y ′|x ＝1＝⎝⎛⎭⎫2x ＋1－1x | x ＝1＝2，∴直线l 的方程为y －4＝2(x －1)，即y ＝2x ＋2.又点(n －1，a n ＋1－a n －a 1)在l 上， ∴a n ＋1－a n ＋m ＝2n .即a n ＋1－a n ＝2n －m (n ∈N *)， ∴a 2－a 1＝2－m ， a 3－a 2＝2×2－m ， …a n －a n －1＝2×(n －1)－m ，则a n －a n －1＋a n －1－a n －2＋…＋a 2－a 1＋a 1＝a n ＝2×(1＋2＋…＋n －1)－(n －1)m －m ＝n 2－n －nm ＋m －m ＝n 2－(m ＋1)n .∴通项公式为a n ＝n 2－(m ＋1)n (n ∈N ＋)． (2)∵m 为正奇数， ∴m ＋12为正整数， 由题意知a 5是数列{a n }中的最小项， ∴m ＋12＝5.∴m ＝9. 令f (n )＝b n ＝n 3－(m ＋1)n 2＝n 3－10n 2. 则f ′(n )＝3n 2－20n ， 由f ′(n )＞0，n ＞203(n ∈N ＋)，即n ＞203(n ∈N ＋)时，f (n )单调递增，即b n ＋1＞b n 成立， ∴n 的取值范围是n ≥7，且n ∈N ＋.22．解析： (1)∵点(2S n ＋a n ，S n ＋1)在f (x )＝12x ＋13的图象上，∴S n ＋1＝12×(2S n ＋a n )＋13，∴a n ＋1＝12a n ＋13，∴a n ＋1－23＝12⎝⎛⎭⎫a n －23，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以a 1－23＝76－23＝12为首项，以12∴a n －23＝12·⎝⎛⎭⎫12n －1，即a n ＝23＋12n ，∵(n ＋1)b n ＋12－nb n 2＋b n ＋1b n ＝0(n ∈N ＋)， ∴[(n ＋1)b n ＋1－nb n ](b n ＋1＋b n )＝0， ∵b n ＞0，∴(n ＋1)b n ＋1＝nb n ， ∵b 1＝1， ∴b n b n －1·b n －1b n －2·b n －2b n －3·…·b 2b 1 ＝n －1n .n －2n －1 (1)2， ∴b n ＝1n.(2)∵c n ＝a n －23b n ，∴c n ＝n2n ，∴T n ＝12＋2×122＋3×123＋…＋n ×12n ，①∴12T n ＝122＋2×123＋3×124＋…＋n ×12n ＋1，② ①－②得12T n ＝12＋122＋123124＋…＋12n －n 2n ＋1，∴T n ＝2－12n －1－n2n ，∴T n －1＝1－12n －1－n 2n ＝2n－2－n2n ＝1－2＋n 2n当n ＝1时，T 1＝12＜1，当n ＝2时，T 2－1＝0，∴T 2＝1， 当n ≥3时，T n －1＞0，∴T n ＞1.。
《金版新学案》高三数学一轮复习高考总复习测评卷 排列、组合和二项式定理 概率 统计 章末质量检测
(1)共有多少种不同结果？
(2)取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个？
(3)取出的3球中至少有2个白球的结果有几个？
(4)计算第(2)、(3)小题表示的事件的概率．
21．(本小题满分12)某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．
(1)求P2，P3的值；
(2)求证：3Pn＋1＋Pn＝1(n≥2，n∈N)；
(3)求证：P2＋P3＋…＋Pn＞ (n≥2，n∈N)．
答案：
卷(十)
一、选择题
1．D∵540＋440＋420＝1400，
∴ ×70＝27(人)， ×70＝22(人)， ×70＝20(人)．
2．C在平均分相同或相近的情况下比较方差，方差越大，成绩越不稳定，方差越小，成绩越稳定．因此A、B、D均不正确，C正确．
∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为P＝ ＝ .
(3) 1＝ ＝71，
2＝ ＝71
s ＝ ＝4，
s ＝ ＝3.2
∴第二位同学的实验更稳定
20．【解析】(1)设从4个白球，5个黑球中任取3个的所有结果组成的集合为I.
∴card(I)＝C .
∴共有C ＝84个不同结果．
(2)设事件：“取出3球中有2个白球，1个黑球”的所有结果组成的集合为A.
A．A与B是互斥而非对立事件
B．A与B是对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件
D．B与C是对立事件
5．某厂有三个顾问，假定每个顾问发表的意见是正确的概率为0.8，现就某事可行与否征求各顾问的意见，并按顾问中多数人的意见作出决策，作出正确决策的概率是()
金版新学案高三一轮
• 由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝25， d＝5，
• 则an＝25＋(n－1)·5＝5n＋20
• Sn＝25n＋
×5＝2.5n2＋22.5n，•源自令2.5n2＋22.5n≥475，
• 即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10.
• ∴到2017年终，该县历年所建中低价房的 累计面积将初次不少于475万平方米．
• (1)该县历年所建中低价房的累计面积(以 2008年为累计的第一年)将初次不少于475 万平方米？
• (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造 住房面积的比例初次不不大于85%？(参考 数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)
• 【解析】 (1)设中低价房的面积形成的数 列为{an}，
• (3)现实生活中涉及到银行利率、存款利息、 公司股金、产品利润、人口增加、产值产 量等问题，经常考虑用数列的知识加以解 决．
• (4)利息＝本金×利率×存期，当涉及到复 利问题时，惯用等比数列模型解决问 题．当涉及到分期付款问题时，由于普通 采用复利计算利息的方法，因此也要借助 等比数列模型解决．
即
lg 657－5lg n> lg 3－lg 2
2≈7.3，又
n∈N*，因此
n≥8.
所以到 2016 年底，电力型公交车的数量开始超过该 市公交车总量的13.
• 已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，设f(a1)， f(a2)，…，f(an)(n∈N )是首项为4，公差 为2的等差数列．
• (1)设a为常数，求证：{an}成等比数列； • (2)若bn＝anf(an)，{bn}的前n项和是Sn，当
•
2．已知曲线C：y＝x2(x>0)，过C
2012年金版新学案新编高三总复习第五章 第5课时
第五章 数列
栏目导引
3． 有一种细菌和一种病毒， 每个细菌在每秒 钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个，现在有一个这样的细菌和 100 个这样 的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要 ( ) A．6 秒钟 B．7 秒钟 C．8 秒钟 D．9 秒钟
第五章 数列
第五章 数列
栏目导引
2．利用等比数列前 n 项和公式时注意公比 q 的取值．同时对于两种数列的性质，要熟 悉它们的推导过程，利用好性质，可降低 题目的难度，解题时有时还需利用条件联 立方程求解．
第五章 数列
栏目导引
数列{an}的前 n 项和记为 Sn，a1＝t，an＋1 ＝2Sn＋1(n∈N*)． (1)当 t 为何值时，数列{an}是等比数列？ (2)在(1)的条件下，若等差数列{bn}的前 n 项和 Tn 有最大值，且 T3＝15，又 a1＋b1， a2＋b2，a3＋b3 成等比数列，求 Tn.
第五章 数列
栏目导引
5． 在等差数列{an}中， 满足 3a4＝7a7， a1>0， 且 Sn 是数列{an}前 n 项的和，若 Sn 取得最大值， 则 n＝________.
解析： 设公差 d， 由题设 3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)， 4 所以 d＝－ a1<0. 33
第五章 数列
栏目导引
数列与其他知识的综合问题主要指的是用几何 方法或函数的解析式构造数列，用函数或方程 的方法研究数列问题．函数与数列的综合问题 主要有以下两类：一是已知函数的条件，利用 函数的性质图象研究数列问题，如恒成立，最 值问题等．二是已知数列条件，利用数列的范 围、公式、求和方法等知识对式子化简变形， 从而解决函数问题．
2022《金版新学案》高三数学一轮复习 抛物线随堂检测 理 北师大版
2021《金版新学案》高三数学一轮复习拋物线随堂检测理北师大
版
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一、选择题每小题6分，共36分
1．拋物线＝42上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是
D．0
【解析】M到焦点的距离为1，则其到准线的距离也为1
又∵拋物线的准线为＝－错误!，
∴M点的纵坐标为错误!
【答案】 B
2．双曲线错误!－错误!＝1mn≠0的离心率为2，有一个焦点与拋物线2＝4的焦点重合，则mn的值为
【解析】由题意错误!
∴m＝错误!，n＝错误!∴mn＝错误!
【答案】 A
3．若点2ac2ac4c
18 m11 m2.3 m4.3 m3 m 为－3,．
故方程可设为=a32a＜0．
发球点的坐标C为-11,，
代入方程可得a=-，
∴抛物线方程为=-32，
令=9，则=-933＜0，
故球能发在场内．
12．16分
如右图所示，直线1和2相交于点M，1⊥2，点N∈1，以A、B为端点的曲线段C上任一点到2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|NB|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．
【解析】以直线1为轴，线段MN的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以2为准线的抛物线的一段．其中A、B分别为曲线段C的端点．设曲线段C的方程为2=2N|，
所以M、N
由|AM|=，|AN|=3，得
22N为锐角三角形，所以错误!＞A
故舍去错误!所以错误!
由点B在曲线段C上，得B＝|BN|－错误!＝4
综上，曲线段C的方程为2＝81≤≤4，＞0．。
《金版新学案》高三数学一轮复习 变化率与导数随堂检测 理 北师大版
2011《金版新学案》高三数学一轮复习 变化率与导数随堂检测 理 北师大版(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末【解析】 ∵s＝13t 3－32t 2＋2t ， ∴v＝s′(t)＝t 2－3t ＋2，令v ＝0得，t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1，t 2＝2.【答案】 D2．已知y ＝12sin 2x ＋sin x ，则y′是( ) A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．非奇非偶函数【解析】 y′＝12cos 2x·2＋cos x ＝cos 2x ＋cos x ＝2cos 2 x －1＋cos x＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98. 【答案】 B3．若曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线方程为2x ＋y －1＝0，则( )A ．f′(x 0)＞0B ．f′(x 0)＜0C ．f′(x 0)＝0D ．f′(x 0)不存在【解析】 因切线方程的斜率为－2，所以f′(x 0)＝－2＜0.故应选B.【答案】 B4．(2009年陕西卷)设曲线y ＝xn ＋1(n∈N ＋)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n 则x 1·x 2·…·x n 等于( )A.1nB.1n ＋1C.n n ＋1D ．1 【解析】 y′＝(n ＋1)x n ，曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y＝0，得x n ＝n n ＋1. 则x 1·x 2·…·x n ＝12·23·…·n n ＋1＝1n ＋1. 【答案】 B5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1 B. 2 C.22 D. 3 【解析】 过点P 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切，设P(x 0，x 02－lnx 0)则有k ＝y′|x＝x 0＝2x 0－1x 0. ∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)． ∴P(1,1)， ∴d＝|1－1－2|1＋1＝ 2. 【答案】 B6．设a∈R ，函数f(x)＝e x ＋a·e －x 的导数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( ) A ．－ln 22B ．－ln 2 C.ln 22D ．ln 2 【解析】 f′(x)＝e x －a·e －x 为奇函数，则有f′(0)＝1－a ＝0，∴a＝1，f′(x)＝e x －e －x.令f′(x 0)＝ex 0－e －x 0＝32，解得x 0＝ln 2，故选D. 【答案】 D二、填空题(每小题6分，共18分)7．已知f(x)＝ax 3＋3x 2＋2，若f′(－1)＝4，则a 的值为________．【解析】 ∵f′(x)＝3ax 2＋6x ，∴f′(－1)＝3a －6＝4，∴a＝103. 【答案】 1038．过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．【解析】 设切点坐标为(x 0，y 0)，由y ＝e x 知y′＝e x ，则y′|x＝x 0＝ex 0，∴y 0x 0＝ex 0，即ex 0x 0＝ex 0，则x 0＝1，因此切点坐标为(1，e)．斜率为e. 【答案】 (1，e) e9．已知f 1(x)＝sin x ＋cos x ，记f 2(x)＝f 1′(x)，f 3(x)＝f 2′(x)，…，f n (x)＝f n －1′(x)(n∈N ＋，n≥2)，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2009⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________ 【解析】 f 2(x)＝f 1′(x)＝cos x －sin x ，f 3(x)＝(cos x －sin x)′＝－sin x －cos x ，f 4(x)＝－cos x ＋sin x ，f 5(x)＝sin x ＋cos x ，∴f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2009⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1. 【答案】 1三、解答题(共46分)10．(15分)求下列函数的导数(1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)；(2)y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1； (3)y ＝x 3log 2x ＋3x(4)y ＝(1＋sin x)2【解析】 (1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1∴y′＝(6x 3＋2x 2－3x －1)′＝(6x 3)′＋(2x 2)′－(3x)′＝18x 2＋4x －3.(2)y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1；＝x 2＋x ＋1－2x x 2＋x ＋1＝1－2x x 2＋x ＋1 ∴y′＝－2(x 2＋x ＋1)－2x(2x ＋1)(x 2＋x ＋1)2＝2x 2－2(x 2＋x ＋1)2. (3)y′＝(x 3log 2 x)′＋(3x)′＝(x 3)′log 2 x ＋x 3(log 2 x)′＋3x ln3＝3x 2log 2 x ＋x 3·1xlog 2 e ＋3x ln3 ＝3x 2log 2 x ＋x 2log 2 e ＋3x ln 3.(4)y′＝[(1＋sin x)2]′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′＝2(1＋sin x)·cos x＝2cos x(1＋sin x)．11．(15分)已知曲线y ＝2x ＋1，问曲线上哪一点处切线与直线y ＝－2x ＋3垂直，并写出这一点的切线方程．【解析】 y′＝(2x ＋1)′＝2(x )′＝2×12·x－12＝1x， 令y′＝12，即1x ＝12，得x ＝4， 代入y ＝2x ＋1，得y ＝5，所以曲线在点(4,5)处的切线与直线垂直，切线方程为y －5＝12(x －4)，即x －2y ＋6＝0.12．(16分)已知函数f(x)＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y ＝f(x)的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程． (3)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．【解析】 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f(x)上．∵f′(x)＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. (2)∵切线与直线y ＝－x 4＋3垂直， ∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f′(x 0)＝3x 02＋1＝4， ∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－1，y 0＝－18.即切点为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.(3)方法一：设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f′(x 0)＝3x 02＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 02＋1)(x －x 0)＋x 03＋x 0－16， 又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 02＋1)(－x 0)＋x 03＋x 0－16，整理得，x 03＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 方法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 03＋x 0－16x 0， 又∵k＝f′(x 0)＝3x 02＋1，∴x 03＋x 0－16x 0＝3x 02＋1，解之得，x 0＝－2， ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐为(－2，－26)．。
《金版新学案》高三数学一轮复习 双曲线随堂检测 理 北师大版
2011《金版新学案》高三数学一轮复习 双曲线随堂检测 理 北师大版(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线是ab ＜0的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线，则a ，b 异号，反之若a ＝1，b ＝－1，c ＝0，则不能表示双曲线．【答案】 A2．已知a ＞0，b ＞0，且双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝2有共同的焦点，则双曲线C 1的离心率为( ) A. 2 B ．2 C.233 D.433【解析】 由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2，2a 2－2b 2＝c 2，所以4a 2＝3c 2，所以e ＝c a ＝233，故选C. 【答案】 C 3．若k ∈R ，则“k＞3”是“方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若方程表示双曲线，则(k －3)(k ＋3)＞0，∴k＜－3或k ＞3，故k ＞3是方程表示双曲线的充分不必要条件．【答案】 A4．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点垂直于x 轴的弦长为12a ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 的值是( )A.54B.52C.32D.54【解析】 据题意知椭圆通径长为12a ，故有2b 2a ＝12a ⇒a 2＝4b 2⇒b 2a 2＝14，故相应双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋14＝52. 【答案】 B5．已知定点A 、B ，且|AB|＝4，动点P 满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是( ) A.12 B.32C.72D ．5 【解析】 ∵|AB|＝4，|PA|－|PB|＝3， 故满足条件的点在双曲线右支上，则|PA|的最小值为右顶点到A 的距离2＋23＝72. 【答案】 C 6．(2008年四川卷)已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．96【解析】 方法一：由题意知a ＝3，b ＝4，c ＝5.如图，设P(x 0，y 0)，由双曲线的定义得|PF 2|＝c a x 0－3＝53x 0－3. ∵|PF 2|＝|F 1F 2|＝10，∴53x 0－3＝10，x 0＝395. 代入双曲线方程得|y 0|＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫39225×9－1＝485，∴S△PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝12×10×485＝48. 方法二：由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF1|=|PF2|+6=|F1F2|+6=10+6=16，设等腰△PF1F2底边PF1上的高为F2D ，则|F2D|===6，∴S △PF1F2=|PF1|×|F2D|=×16×6=48.【答案】 C二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2008年安徽卷)已知双曲线x 2n －y 212－n＝1的离心率为3，则n ＝________. 【解析】 ①若焦点在x 轴上：a 2＝n ，b 2＝12－n ，∴c 2＝a 2＋b 2＝12，∴e＝c a ＝12n＝3，∴n＝4. ②若焦点在y 轴上，a 2＝n －12，b 2＝－n ，∴c 2＝a 2＋b 2＝－12不合题意，故n ＝4.【答案】 48．(2010年东北三校第一次联考)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率是2，则b 2＋13a的最小值是________．【解析】 c a ＝2⇒c 2a 2＝4⇒a 2＋b 2＝4a 2⇒3a 2＝b 2，则b 2＋13a ＝3a 2＋13a ＝a ＋13a ≥213＝233，当a ＝13a 即a ＝33时取得最小值233. 【答案】 2339．(2008年山东卷)已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________．【解析】 令y ＝0得x ＝2或x ＝4，符合条件的双曲线a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12且焦点在x 轴上．∴双曲线方程为：x 24－y 212＝1. 【答案】 x 24－y 212＝1 三、解答题(共46分)10．(15分)已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．【解析】 椭圆D 的两个焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0) ∴渐近线为bx±ay＝0且a 2＋b 2＝25，圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴|5a|b 2＋a2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴G 方程为x 29－y 216＝1. 11．(15分)已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1、F 2分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．【解析】 设双曲线的方程为-=1(a ＞0，b ＞0)，F1(-c,0)，F2(c,0)K ，在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|，即4c2=4a2+|PF1|·|PF2|.又∵S △PF1F2=2，∴|PF1|·|PF2|sin =2，∴|PF1|·|PF2|=8,4c2=4a2+8，即b2=2.又∵e==2，∴a2=，∴所求双曲线的方程为-=1.12．(16分)已知曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF 1⊥MF 2；(3)求△F 1MF 2的面积．【解析】 (1)∵e＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵过(4，－10)点，∴16－10＝λ即λ＝6.∴双曲线方程为x 26－y 26＝1. (2)证明：由(1)题易知F 1(－23，0)，F 2(23，0)．∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m 3－23， kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23， ∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，F 1F 2的高h ＝|m|＝3， ∴S△F 1MF 2＝6.。
【北师大版】2012高三数学理《金版新学案》一轮复习测试第5章5-3
第5章 第3课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －a ，数列{a n }为等比数列，则实数a 的值是( )A ．3B ．1C ．0D ．－1解析： 可用特殊值法，由S n 得a 1＝3－a ，a 2＝6，a 3＝18， 由等比数列的性质可知a ＝1.答案： B2．设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，其公比为2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( ) A.14B.12C.18 D ．1解析： 由题意得a 2＝2a 1，a 3＝4a 1，a 4＝8a 1.∴2a 1＋a 22a 3＋a 4＝2a 1＋2a 18a 1＋8a 1＝14. 答案： A3．在等比数列{a n }中，“a 2＞a 4”是“a 6＞a 8”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析： 由a 2＞a 4，得a 2＞a 2q 2，所以0＜q 2＜1，由a 6＞a 8得a 6＞a 6q 2，所以0＜q 2＜1，因此“a 2＞a 4”是“a 6＞a 8”的充要条件．答案： C4．已知等比数列{a n }中，a n ＞0，a 1，a 99为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 20·a 50·a 80的值为( )A ．32B ．64C ．256D ．±64解析： 由根与系数的关系知：a 1·a 99＝16，∴a 502＝a 1·a 99＝16，又∵a n ＞0，∴a 50＝4.∴a 20·a 50·a 80＝(a 20·a 80)·a 50＝a 502·a 50＝a 503＝64.答案： B5．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝120，则a 5＋a 6等于( )A ．240B ．±240C ．480D ．±480 解析： ∵{a n }为等比数列，∴数列a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6也成等比数列．∴(a 3＋a 4)2＝(a 1＋a 2)(a 5＋a 6)．∴a 5＋a 6＝120230＝480. 答案： C6．等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是( )A ．T 10B ．T 13C ．T 17D ．T 25 解析： a 3a 6a 18＝a 13q 2＋5＋17＝(a 1q 8)3＝a 93，即a 9为定值，所以下标和为9的倍数的积为定值，可知T 17为定值．答案： C二、填空题7．已知等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，若a 2＝2，a 1a 5＝16，则S 5＝________.解析： 因为a 1a 5＝a 32＝16，故a 3＝4，由a 2＝2得a 1＝1，q ＝2，故S 5＝1×(1－25)1－2＝31. 答案： 318．数列{a n }中，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1 (n 为正奇数)2n －1 (n 为正偶数).设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9＝________.解析： S 9＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15)＝377.答案： 3779．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 7＝4，数列{b n }是等比数列，已知b 2＝a 3，b 3＝1a 2，则满足b n ＜1a 80的最小自然数n 是________． 解析： ∵{a n }为等差数列，a 1＝1，a 7＝4,6d ＝3，d ＝12. ∴a n ＝n ＋12，{b n }为等比数列，b 2＝2，b 3＝23，q ＝13. ∴b n ＝6×⎝⎛⎭⎫13n －1，b n ＜1a 80＝281，∴81＜26×⎝⎛⎭⎫13n －1，即3n －2＞81＝34. ∴n ＞6，从而可得n min ＝7.答案： 7三、解答题10．设等比数列{a n }的公比|q |＞1，前n 项和为S n ，已知a 2a 3a 4＝8，S 4＝5S 2，求a 5＋a 7.解析： 由题设知a 1≠0，S n ＝a 1(1－q n )1－q， ∵a 2a 4＝a 32，∴a 2a 3a 4＝a 33＝8.∴a 3＝2.∵S 4＝5S 2，∴a 1(1－q 4)1－q ＝5×a 1(1－q 2)1－q， 整理得1－q 4＝5(1－q 2)，(q 2－4)(q 2－1)＝0，∵|q |＞1，解得q 2＝4.a 5＋a 7＝a 3q 2＋a 3q 4＝a 3q 2(1＋q 2)＝2×4×(1＋4)＝40.11．已知在数列{a n }中，已知a 1＝－1，且a n ＋1＝2a n ＋3(n ∈N ＋)．(1)求证：数列{a n ＋1－a n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式；解析： (1)证明：设b n ＝a n ＋1－a n ，则b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＝2a n ＋1＋3－2a n －3＝2(a n ＋1－a n )＝2b n ，由题设知：a 2＝1，b 1＝2，则{b n }是以2为首项，公比为2的等比数列．(2)由(1)知：b n ＝2n ，即a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n －a 1＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＝2n －1＋2n －2＋2n －3＋…＋22＋21＝2n －2，得a n ＝2n －3(n ∈N ＋)． 12．已知数列{a n }中，a 1＝－1，且(n ＋1)a n ，(n ＋2)a n ＋1，n 成等差数列．(1)设b n ＝(n ＋1)a n －n ＋2，求证：数列{b n }是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．【解析方法代码108001065】解析： (1)证明：由已知得(n ＋2)a n ＋1＝12(n ＋1)a n ＋n 2， ∵b 1＝2a 1－1＋2＝－1，∴b n ＋1b n ＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)＋2(n ＋1)a n －n ＋2＝12(n ＋1)a n ＋n 2－(n ＋1)＋2(n ＋1)a n －n ＋2＝12(n ＋1)a n －n 2＋1(n ＋1)a n －n ＋2＝12. ∴数列{b n }是等比数列．(2)由(1)得b n ＝－⎝⎛⎭⎫12n －1，即(n ＋1)a n －n ＋2＝－⎝⎛⎭⎫12n －1.∴a n ＝－1n ＋1⎝⎛⎭⎫12n －1＋n －2n ＋1.高∠考ω试☆题库。
《金版新学案》高三数学一轮复习 数列的综合应用随堂检测 文 北师大版
2011《金版新学案》高三数学一轮复习 数列的综合应用随堂检测 文北师大版(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．一个三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角所成等差数列的公差等于( )A ．0 B.π12C.π6D.π4【解析】 因A 、B 、C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则B ＝π3， b 2＝ac ，∴cos B＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，可推出a ＝c ＝b. 【答案】 A2．数列{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝a 7，则( )A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小不确定【解析】 由数列的性质易得a 3＋a 9≥2a 3a 9＝2a 6＝2b 7＝b 4＋b 10.【答案】 B3．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书，公元年代之和为13958，则出齐这套书的年份是( )A ．1994B ．1996C ．1998D ．2000【解析】 设出齐这套书的年份是x ，则(x －12)＋(x －10)＋(x －8)＋…＋x ＝13 958，∴7x－(12＋0)×72＝13 958， x ＝2 000.【答案】 D4．2008年春，我国南方部分地区遭受了罕见的特大冻灾．大雪无情人有情，柳州某中学组织学生在学校开展募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的2倍，且当天人均捐款数比前一天多5元，则截止第5天(包括第5天)捐款总数将达到( )A ．4 800元B ．8 000元C ．9 600元D ．11 200元【解析】 由题意知，5天共捐款10×10＋(10×2)×(10＋5)＋(10×4)×(15＋5)＋(10×8)×(20＋5)＋(10×16)×(25＋5)＝8 000(元)．【答案】 B5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P(n ，a n )和Q(n ＋2，a n ＋2)(n∈N ＋)的直线的一个方向向量的坐标可以是( )A ．(2,4) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－43 C ．(－12，－1) D ．(－1，－1) 【解析】 由S 2＝10，S 5＝55，得2a 1＋d ＝10,5a 1＋10d ＝55，解得a 1＝3，d ＝4，可知直线PQ 的一个方向向量是(1,4)，只有⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－43与(1,4)平行．故选B. 【答案】 B6．`某林厂年初有森林木材存量S m 3，木材以每年25%的增长率生长，而每年要砍伐固定的木材量x m 3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x 的值是( )A.S 32B.S 34C.S 36D.S 38【解析】 一次砍伐后木材的存量为S(1＋25%)－x ；二次砍伐后木材存量为[S(1＋25%)－x](1＋25%)－x.由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫542S －54x －x ＝S(1＋50%)， 解得x ＝S 36. 【答案】 C二、填空题(每小题6分，共18分)7．已知三个数a 、b 、c 成等比数列，则函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴公共点的个数为________．【解析】 ∵a、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ，且b≠0.又Δ＝b 2－4ac ＝b 2－4b 2＝－3b 2<0，∴f(x)的图象与x 轴没有公共点．【答案】 08．已知函数f(x)＝a·b x 的图象过点A(2，12)，B(3,1)，若记a n ＝log 2 f(n)(n∈N ＋)，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n 的最小值是________．【解析】 将A 、B 两点坐标代入f(x)得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＝ab 21＝ab 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝18b ＝2，∴f(x)＝18·2x ， ∴f(n)＝18·2n ＝2n －3， ∴a n ＝log 2 f(n)＝n －3.令a n ≤0，即n －3≤0，n≤3.∴数列前3项小于或等于零，故S 3或S 2最小．S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝－2＋(－1)＋0＝－3.【答案】 －39．(2008年江苏卷)将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n(n ≥3)行的从左至右的第3个数是 .【解析】 前n-1行共有正整数1+2+…+(n-1)=个，即个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第+3个，即为.【答案】三、解答题(共46分)10．(15分)为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35【解析】 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a·0.9n －1.(2)10年出口总量S 10＝a(1－0.910)1－0.9＝10a(1－0.910)． ∵S 10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，即a≤81－0.910，∴a≤12.3. 故2010年最多出口12.3吨．11．(15分)已知曲线C ：y ＝x 2(x>0)，过C 上的点A 1(1,1)作曲线C 的切线l 1交x 轴于点B 1，再过点B 1作y 轴的平行线交曲线C 于点A 2，再过点A 2作曲线C 的切线l 2交x 轴于点B 2，再过点B 2作y 轴的平行线交曲线C 于点A 3，…，依次作下去，记点A n 的横坐标为a n (n∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求证：a n S n ≤1；【解析】 (1)∵曲线C 在点A n (a n ，a n 2)处的切线l n 的斜率是2a n ，∴切线l n 的方程是y－a n 2＝2a n (x －a n )由于点B n 的横坐标等于点A n ＋1的横坐标a n ＋1，∴令y ＝0，得a n ＋1＝12a n ， ∴数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列， ∴a n ＝12n －1. (2)∵S n ＝1－12n 1－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ， ∴a n S n ＝4×12n ⎝⎛⎭⎪⎫1－12n 令t ＝12n ，则0<t≤12，∴a n S n ＝4t(1－t)＝－4(t －12)2＋1， 当t ＝12，即n ＝1时，－4(t －12)2＋1有最大值1， 即a n S n ≤1.12．(16分)有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同金额，这是零存；到一定的时期到期，可以提出全部本金和利息，这是整取．它的本利和公式如下：本利和＝每期存入的金额×⎣⎢⎡⎦⎥⎤存期＋12×存期×(存期＋1)×利率. (1)试解释这个本利和公式；(2)若每月初存入100元，月利率为5.1%，到第12个月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一笔金额，月利率是5.1%，希望到第12个月底取得本利和2 000元，那么每月初应存入多少？【解析】 (1)设每期存入的金额为A ，每期利率为P ，存期为n ，则各期的利息之和为nAP ＋(n －1)AP ＋…＋2AP ＋AP ＝n(n ＋1)AP 2， 所以本利和为nA ＋n(n ＋1)AP 2＝A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋n(n ＋1)2P 元． (2)到第12个月底的本利和为100⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋12×12×(12＋1)×5.1%＝1 597.8元． (3)设每月初应存入x 元，则有x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋12×12×(12＋1)×5.1%＝2 000， x≈125.2.所以每月初应存入125.2元．。
2020《金版新学案》高三数学一轮复习 古典概型随堂检
2020《金版新学案》高三数学一轮复习 古典概型随堂检测 理 北师大版(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )A.16B.12C.13D.23【解析】 甲站在中间的情况有两种，而基本事件为6种，所以P ＝13. 【答案】 C2．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5下方的概率是( )A.13B.14C.16D.112【解析】 连续掷两次骰子的点数m 、n 共有36个基本事件，点P(m ，n)在直线x ＋y ＝5下方，即x ＋y ＜5，共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,1)，(3,1)．所以所求的概率为P ＝636＝16. 【答案】 C3．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )A.15B.14C.45D.110【解析】 从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10，其中抽到合格铁钉(记为事件A)包含8个基本事件，所以，所求概率为P(A)＝810＝45. 【答案】 C4．有4条线段，长度分别为1、3、5、7，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率是( )A.14B.13C.12D.25【解析】 从四条线段中任取三条，基本事件有(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)，共4个，能构成三角形的只有(3,5,7)这一个基本事件，故由概率公式，得P(A)＝14. 【答案】 A5．从标有1号到100号的100张卡片中任意抽取1张，取出的卡片号是7的倍数的概率是( )A.320B.325C.750D.13100【解析】 根据等差数列的性质1≤7＋7(m －1)≤100，得所求事件的基本事件数为m＝14，故取出的卡片号是7的倍数的概率为P ＝14100＝750. 【答案】 C6．若连续投掷两枚骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标(m 、n)，则点P 落在圆x 2＋y 2＝16内的概率为( )A.12B.14C.16D.29【解析】 总共有36种情况，当x ＝1时，符合题意的y 有3种情况；当x ＝2时，符合题意的y 有3种情况；当x ＝3时，符合题意的y 有2种情况．所以P ＝3＋3＋236＝29. 【答案】 D二、填空题(每小题6分，共18分)7．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为________．【解析】 基本事件为甲乙、甲丙、乙丙，甲被选中有甲乙、甲丙，故P ＝23. 【答案】 238．将一枚骰子拋掷两次，若先后出现的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率为________．【解析】 一枚骰子掷两次，其基本事件总数为36，方程有实根的充要条件为b 2≥4c，率为P ＝1936. 【答案】 19369．集合A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,3,5,7,9}，在A 中任取一元素m 和在B 中任取一元素n ，则所取两数m ＞n 的概率是________．【解析】 基本事件总数为5×5＝25个．m ＝2时，n ＝1；m ＝4时，n ＝1,3；m ＝6时，n ＝1,3,5；m ＝8时，n ＝1,3,5,7；m ＝10时，n ＝1,3,5,7,9；共15个．故P ＝1525＝0.6. 【答案】 0.6三、解答题(共46分)10．(15分)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(i ，j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所以情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．【解析】 (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4’表示，其他用相应的数字表示)为(2,3)，(2,4)，(2,4’)，(3,2)，(3,4)，(3,4’)，(4,2)，(4,3)，(4,4’)，(4’，2)，(4’，3)，(4’，4)，共12种不同情况．(2)甲抽到红桃3，乙抽到牌的牌面数字只能是2,4,4’，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为23. (3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4’，2)，(4’，3)，共5种，故甲胜的概率P 1＝512，同样乙胜的概率P 2＝512.因为P 1＝P 2，所以此游戏公平． 11．(15分)某校要从艺术节活动中所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出2名志愿者，参加2020年在济南市举行的“第11届全国运动会”志愿服务工作．(1)求选出的两名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率；(2)求选出的两名志愿者中一名是获得书法比赛一等奖，另一名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率．【解析】把4名获书法比赛一等奖的同学编号为1,2,3,4,2名获绘画比赛一等奖的同学编号为5,6.从6名同学中任选两名的所有可能结果如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个．(1)从6名同学中任选两名，都是书法比赛一等奖的所有可能是：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个．∴选出的两名志愿者都是书法比赛一等奖的概率p1＝615＝25.(2)从6名同学中任选两名，一名是书法比赛一等奖，另一名是绘画比赛一等奖的所有可能是：(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个．∴选出的两名志愿者一名是书法比赛一等奖，另一名是绘画比赛一等奖的概率是p2＝815.12．(16分)(2020山东卷)汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4、8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．【解析】(1)设该厂这个月共生产轿车n辆．由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000. 则z ＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.(2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意4001 000＝a 5，得a ＝2. 因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个．事件E 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个．故P(E)＝710，即所求概率为710. (3)样本平均数x ＝18×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9. 设D 表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包括的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P(D)＝68＝34，即所求概率为34.。
《金版新学案》高三数学一轮复习 平行关系随堂检测 理 北师大版
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．已知α∥β，aα，B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
【解析】B点与a确定一平面γ与β相交，设交线为b，则a∥b.
【答案】 D
2．若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8、12，过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长为( )
A．10 B．20
C．8 D．4
【解析】设截面四边形为EFGH，F、G、H分别是BC、CD、DA的中点，∴EF＝GH ＝4，FG＝HE＝6，
∴周长为2×(4＋6)＝20.
【答案】 B
3．下列说法正确的是( )
A．直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∩b＝∅，直线bα，则a∥α
D．若直线a∥b，bα，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
【解析】∵直线l虽与平面α内的无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l 不一定平行于α，从而排除A.
∵直线a在平面α外，包括两种情况：a∥α，或a与α相交，
∴a和α不一定平行，从而排除B.
∵直线a∩b＝∅，bα，则只能说a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a 不一定平行于α，从而排除C.
用心爱心专心 3。
最新-2018高三数学一轮复习高效测评卷 第五章 数 列
《金版新学案》高三一轮总复习[B 师大]数学理科高效测评卷(五)第五章 数 列————————————————————————————————————— 【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题 共60分)只有一项是符合题目要求的)1．已知实数列－1，x ，y ，z ，－2成等比数列，则xyz 等于( ) A ．－4 B ．±4 C ．－2 2D ．±2 22．已知数列{a n }的前三项依次为－2,2,6，且前n 项和S n 是不含常数项的二次函数，则a 100等于( )A ．394B ．392C ．390D ．3963．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 52，a 2＝1，则a 1等于( ) A.12 B.22C. 2D ．24．已知不等式x 2－2x －3＜0的整数解构成等差数列{a n }，则数列{a n }的第四项为( ) A ．3 B ．－1 C ．2D ．3或－15．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( )A ．2B ．4C ．8D ．166．等比数列{a n }中，公比q ＞1，且a 1＋a 6＝8，a 3a 4＝12，则a 6a 11等于( ) A.12 B.16 C.13D.13或167．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2当n 为奇数时，－n 2当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 2008．(2018·广东深圳)数列{a n }前n 项和为S n ，已知a 1＝13，且对任意正整数m ，n 都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若S n ＜a 恒成立，则实数a 的最小值为( )A.12B.23C.32D ．29．数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝7，当n ≥1时，a n ＋2等于a n ·a n ＋1的个位数字，则a 2 010＝( ) A ．1 B ．3 C ．7D ．910．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1≤13，S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为( ) A ．3 B ．4 C ．－7D ．－511．某小区现有住房的面积为a 平方米，在改造过程中政府决定每年拆除b 平方米旧住房，同时按当年住房面积的10%建设新住房，则n 年后该小区的住房面积为( )A ．a ·1.1n－nb B ．a ·1.1n －10b (1.1n－1) C ．n (1.1a －1)D ．1.1n(a －b )12．等差数列{a n }的公差d 不为0，S n 是其前n 项和，给出下列命题： ①若d ＜0，且S 3＝S 8，则S 5和S 6都是{S n }中的最大项； ②给定n ，对于一切k ∈N ＋(k ＜n )，都有a n －k ＋a n ＋k ＝2a n ； ③若d ＞0，则{S n }中一定有最小的项； ④存在k ∈N ＋，使a k －a k ＋1和a k －a k －1同号． 其中正确命题的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)13．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 14．若数列{a n }满足关系a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2，该数列的通项公式为________． 15．已知公差不为零的等差数列{a n }中，M ＝a n ·a n ＋3，N ＝a n ＋1·a n ＋2，则M 与N 的大小关系是________．16．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .18．(12分)在公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }和公比为q 的等比数列{b n }中，a 2＝b 1＝3，a 5＝b 2，a 14＝b 3，(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)令c n ＝ba n ，求数列{c n }的前n 项和T n .19．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 都有a n 是n 与S n 的等差中项．(1)求证：a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)； (2)求证：数列{a n ＋1}为等比数列； (3)求数列{a n }的前n 项和S n【解析方法代码118001180】20．(12分)已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a ＞0，x ∈R )有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1－4a n(n ∈N ＋)，定义所有满足c m ·c m ＋1＜0的正整数m 的个数，称为这个数列{c n }的变号数，求数列{c n }的变号数．21.(12分)设曲线y ＝x 2＋x ＋2－ln x 在x ＝1处的切线为l ，数列{a n }的首项a 1＝－m (其中常数m 为正奇数)，且对任意n ∈N ＋，点(n －1，a n ＋1－a n －a 1)均在直线l 上．(1)求出{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n (n ∈N ＋)，当a n ≥a 5恒成立时，求出n 的取值范围，使得b n ＋1＞b n 成立．【解析方法代码118001181】22．(14分)已知数列{a n }满足a 1＝76，S n 是{a n }的前n 项和，点(2S n ＋a n ，S n ＋1)在f (x )＝12x ＋13的图象上，正数数列{b n }中，b 1＝1，且(n ＋1)b n ＋12－nb n 2＋b n ＋1b n ＝0(n ∈N ＋)． (1)分别求数列{a n }和{b n }的通项公式a n 和b n ；(2)若c n ＝a n －23b n，T n 为c n 的前n 项和，n ∈N ＋，试比较T n 与1的大小．【解析方法代码118001182】答案：卷(五)一、选择题1．C ∵xz ＝(－1)×(－2)＝2，y 2＝2， ∴y ＝－2(正不合题意)， ∴xyz ＝－2 2.2．A 易知{a n }是等差数列，a 1＝－2，d ＝4， ∴a 100＝a 1＋99d ＝394，故选A.3．B 由a 3·a 9＝2a 52知a 12·q 10＝2a 12·q 8， ∵q ＞0，∴q 2＝2， 即q ＝2，a 1＝a 2q＝12＝22. 4．D 由x 2－2x －3＜0及x ∈Z 得x ＝0,1,2. ∴a 4＝3或－1.故选D.5．C ∵a 3a 11＝a 72＝4a 7，a 7≠0， ∴a 7＝4，∴b 7＝4. ∵{b n }为等差数列， ∴b 5＋b 9＝2b 7＝8，故选C. 6．C 依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 6＝8，a 1·a 6＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a 6＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，a 6＝2.(∵q ＞1，∴舍去)所以a 6a 11＝1q 5＝a 1a 6＝13，故选C. 7．B 由题意，a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1018－1018＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.故选B.8．A 由于a m ＋n ＝a m ·a n ，令m ＝1得a n ＋1＝a 1·a n ，{a n }为等比数列，S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n＜12，∴a ≥12，故选A. 9．D 由题意得a 3＝1，a 4＝7，a 5＝7，a 6＝9，a 7＝3，a 8＝7，a 9＝1，则a 1＝a 7，a 2＝a 8.连续两项相等，所以{a n }的周期为6，则a 2 010＝a 335×6＝a 6＝9，故选D.10．B 由⎩⎪⎨⎪⎧a 4－3d ≤13，4a 4－6d ≥10，5a 4－5d ≤15得⎩⎪⎨⎪⎧a 4－3d ≤13， ①－2a 4＋3d ≤－5， ②a 4－d ≤3， ③由①②③得－8≤a 4≤4.故选B.11．B 特殊值法验证，取n ＝1分不清，n ＝2时，按实际意义a n ＋1＝a n ·1.1－b ，a 1＝a ·1.1－b ，则a 2＝a ·1.12－1.1b －b ，对选项验证，只有B 满足，故选B.12．B 因为{a n }成等差数列，所以其前n 项和是关于n 的二次函数的形式且缺少常数项，d ＜0说明二次函数开口向下，又S 3＝S 8，说明函数关于直线x ＝5.5对称，所以S 5、S 6都是最大项，①正确；同理，若d ＞0，说明{a n }是递增的，故{S n }中一定存在最小的项，③正确；而②是等差中项的推广，正确；对于④，a k －a k ＋1＝－d ，a k －a k －1＝d ，因为d ≠0，所以二者异号．二、填空题13．解析： 设等比数列的公比为q ，则由S 6＝4S 3知q ≠1， ∴S 6＝1－q 61－q ＝－q 31－q.∴q 3＝3.∴a 1q 3＝3，即a 4＝3.答案： 314．解析： ∵a n ＋1＝3a n ＋2两边加上1得，a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴{a n ＋1}是以a 1＋1＝3为首项，以3为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝3·3n －1＝3n，∴a n ＝3n－1. 答案： a n ＝3n－115．解析： 设{a n }的公差为d ，则d ≠0.M －N ＝a n (a n ＋3d )－[(a n ＋d )(a n ＋2d )]＝a n 2＋3da n －a n 2－3da n －2d 2＝－2d 2＜0，∴M ＜N . 答案： M ＜N16．解析： 由题中数表知：第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成等差数列，所以第n 行第n ＋1列的数是：n 2＋n .答案： n 2＋n 三、解答题17．解析： 设数列{a n }的公差为d ，依题设有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1a 3＋＝a 22，a 1＋a 2＋a 3＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧a 12＋2a 1d －d 2＋2a 1＝0，a 1＋d ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－4.因此S n ＝12n (3n －1)或S n ＝2n (5－n )．18．解析： (1)由条件得：⎩⎪⎨⎪⎧3＋3d ＝3q 3＋12d ＝3q 2∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2q ＝3，∴a n ＝2n －1，b n ＝3n(2)由(1)得，∴c n ＝ba n ＝b 2n －1＝32n －1∵c n ＋1c n ＝32n ＋132n －1＝9，c 1＝3， 所以{c n }是首项为3，公比为9的等比数列． ∴T n ＝－9n1－9＝38(9n－1) 19．解析： (1)证明：∵a n 是n 与S n 的等差中项， ∴2a n ＝n ＋S n ①于是2a n －1＝n －1＋S n －1(n ≥2)② ①－②得2a n －2a n －1＝1＋a n ， ∴a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，(2)证明：当n ≥2时，由a n ＝2a n －1＋1得a n ＋1＝2(a n －1＋1)， ∴a n ＋1a n －1＋1＝2.当n ＝1时，2a 1＝1＋S 1即2a 1＝1＋a 1， ∴a 1＝1，a 1＋1＝2.所以{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列． (3)∵a n ＋1＝2·2n －1＝2n，∴a n ＝2n－1，∴S n ＝(21＋22＋ (2))－n＝－2n1－2－n ＝2n ＋1－2－n .20．解析： (1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0，∴a ＝0或a ＝4. 又由a ＞0得a ＝4，f (x )＝x 2－4x ＋4. ∴S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝，2n －n(2)由题设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ＝，1－42n －5n ≥2，n ∈N ＋由1－42n －5＝2n －92n －5可知，当n ≥5时，恒有a n ＞0.又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，c 5＝15，即c 1·c 2＜0，c 2·c 3＜0，c 4·c 5＜0， ∴数列{c n }的变号数为3.21．解析： (1)由y ＝x 2＋x ＋2－ln x ，知x ＝1时，y ＝4. 又y ′|x ＝1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－1x | x ＝1＝2， ∴直线l 的方程为y －4＝2(x －1)， 即y ＝2x ＋2.又点(n －1，a n ＋1－a n －a 1)在l 上， ∴a n ＋1－a n ＋m ＝2n .即a n ＋1－a n ＝2n －m (n ∈N *)， ∴a 2－a 1＝2－m ，a 3－a 2＝2×2－m ，…a n －a n －1＝2×(n －1)－m ，则a n －a n －1＋a n －1－a n －2＋…＋a 2－a 1＋a 1＝a n ＝2×(1＋2＋…＋n －1)－(n －1)m －m ＝n 2－n －nm ＋m －m ＝n 2－(m ＋1)n .∴通项公式为a n ＝n 2－(m ＋1)n (n ∈N ＋)．(2)∵m 为正奇数，∴m ＋12为正整数，由题意知a 5是数列{a n }中的最小项， ∴m ＋12＝5.∴m ＝9.令f (n )＝b n ＝n 3－(m ＋1)n 2＝n 3－10n 2. 则f ′(n )＝3n 2－20n ， 由f ′(n )＞0，n ＞203(n ∈N ＋)，即n ＞203(n ∈N ＋)时，f (n )单调递增，即b n ＋1＞b n 成立，∴n 的取值范围是n ≥7，且n ∈N ＋.22．解析： (1)∵点(2S n ＋a n ，S n ＋1)在f (x )＝12x ＋13的图象上，∴S n ＋1＝12×(2S n ＋a n )＋13，∴a n ＋1＝12a n ＋13，∴a n ＋1－23＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n －23，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以a 1－23＝76－23＝12为首项，以12为公比的等比数列，∴a n －23＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即a n ＝23＋12n ，∵(n ＋1)b n ＋12－nb n 2＋b n ＋1b n ＝0(n ∈N ＋)， ∴[(n ＋1)b n ＋1－nb n ](b n ＋1＋b n )＝0， ∵b n ＞0，∴(n ＋1)b n ＋1＝nb n ， ∵b 1＝1， ∴b n b n －1·b n －1b n －2·b n －2b n －3·…·b 2b 1＝n －1n .n －2n －1 (1)2， ∴b n ＝1n.(2)∵c n ＝a n －23b n，∴c n ＝n2n ，∴T n ＝12＋2×122＋3×123＋…＋n ×12n ，①∴12T n ＝122＋2×123＋3×124＋…＋n ×12n ＋1，② ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2n ＋1，∴T n ＝2－12n －1－n2n ，∴T n －1＝1－12n －1－n2n ＝2n－2－n 2n ＝1－2＋n2n当n ＝1时，T 1＝12＜1，当n ＝2时，T 2－1＝0，∴T 2＝1， 当n ≥3时，T n －1＞0，∴T n ＞1.。
《金版新学案》高三数学一轮复习 数学归纳法随堂检测 理 北师大版
2011《金版新学案》高三数学一轮复习 数学归纳法随堂检测 理 北师大版(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n(n －3)条时，第一步检验n 等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．0【解析】 因为n≥3，所以，第一步应检验n ＝3【答案】 C2．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( )A ．假使n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3正确(k∈N ＋)B ．假使n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1正确(k∈N ＋)C ．假使n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1正确(k∈N ＋)D ．假使n≤k(k≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(k∈N ＋)【解析】 因为n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题即假设n ＝2k －1正确，再推第k ＋1个正奇数，即n ＝2k ＋1正确．【答案】 B3．设f(n)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n，n∈N ＋，那么f(n ＋1)－f(n)＝( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2【解析】 f(n ＋1)－f(n)＝1(n ＋1)＋1＋1(n ＋1)＋2＋…＋1(n ＋1)＋n ＋1(n ＋1)＋(n ＋1)－1n ＋1－1n ＋2－…－1n ＋n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 【答案】 D4．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．3n －2B ．n 2C ．3n －1D ．4n －3【解析】 计算出a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16.可猜a n ＝n 2.故应选B.【答案】 B5．下列代数式(其中k∈N ＋)能被9整除的是( )A ．6＋6·7kB ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1)D ．3(2＋7k )【解析】 (1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除．(2)假设当k ＝n(n∈N ＋)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36.这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k∈N ＋都成立．【答案】 D6．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n －1＝3n (na －b)＋c 对一切n∈N ＋都成立，则a 、b 、c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c 【解析】 ∵等式对一切n∈N ＋均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝3(a －b)＋c 1＋2×3＝32(2a －b)＋c1＋2×3＋3×32＝33(3a －b)＋c整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －3b ＋c ＝118a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34解得a ＝12，b ＝c ＝14. 【答案】 A二、填空题(每小题6分，共18分)7．猜想1＝1,1－4＝－(1＋2),1－4＋9＝1＋2＋3，…，第n 个式子为______________．【答案】 1－4＋9－…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n －1(1＋2＋3＋…＋n)8．下面三个判断中，正确的是( )①f(n)＝1＋k ＋k 2＋…＋k n (n∈N ＋)，当n ＝1时，f(n)＝1；②f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n∈N ＋)， 当n ＝1时，f(n)＝1＋12＋13； ③f(n)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1(n∈N ＋)，则f(k ＋1) ＝f(k)＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4. 【解析】 ①中n ＝1时，f(n)＝f(1)＝1＋k 不一定等于1，故①不正确；②中n ＝1时，f(1)＝1＋12＋13，故②正确； ③中f(k ＋1)＝f(k)＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1， 故③不正确．【答案】 ②9．设平面内有n 条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n 条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n ＞4时，f(n)＝________(用n 表示)．【解析】 f(2)＝0，f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴f(3)－f(2)＝2，f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，…f(n)－f(n －1)＝n －1.累加，得f(n)－f(2)＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝2＋(n －1)2(n －2)． ∴f(n)＝12(n ＋1)(n －2)． 【答案】 5 12(n ＋1)(n －2) 三、解答题(共46分)10．(15分)对于n∈N ＋，用数学归纳法证明：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n －1)·2＋n·1＝16n(n ＋1)(n ＋2)． 【证明】 设f(n)＝1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n －1)·2＋n·1.(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；(2)设当n ＝k(k≥1且k∈N ＋)时等式成立，即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝16k(k ＋1)(k ＋2)， 则当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝1·(k＋1)＋2[(k ＋1)－1]＋3[(k ＋1)－2]＋…＋[(k ＋1)－1]·2＋(k ＋1)·1＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)＝16k(k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋1＋1) ＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)． 由(1)(2)可知当n∈N ＋时等式都成立．11．(15分)已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a n 2(n∈N ＋)且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N ＋，点P n 都在(1)中的直线l 上．【解析】 (1)由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1.∴b 2＝b 11－4a 12＝13. a 2＝a 1·b 2＝13. ∴点P 2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13 ∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n ＝k(k∈N ＋，k≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立，则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k 1－4a k 2(2a k ＋1) ＝b k 1－2a k ＝1－2a k 1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对n∈N ＋，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．12．(16分)已知{a n }是由非负整数组成的数列，满足a 1＝0，a 2＝3，a n ＋1a n ＝(a n －1＋2)(a n－2＋2)，n ＝3,4,5，….(1)求a 3；(2)证明a n ＝a n －2＋2，n ＝3,4,5，…；【解析】 由题设得a 3a 4＝10，且a 3、a 4均为非负整数，所以a 3的可能的值为1,2,5,10.若a 3＝1，则a 4＝10，a 5＝32，与题设矛盾．若a 3＝5，则a 4＝2，a 5＝352，与题设矛盾．若a 3＝10，则a 4＝1，a 5＝60，a 6＝35，与题设矛盾．所以a 3＝2. (2)用数学归纳法证明：①当n ＝3，a 3＝a 1＋2，等式成立．②假设当n ＝k(k≥3)时等式成立，即a k ＝a k －2＋2，由题设a k ＋1a k ＝(a k －1＋2)(a k －2＋2)，∵a k ＝a k －2＋2≠0，∴a k ＋1＝a k －1＋2，也就是说，当n ＝k ＋1时，等式a k ＋1＝a k －1＋2成立．根据①和②，对于所有n≥3，有a n ＋1＝a n －1＋2.。
【北师大版】2012高三文数一轮《金版新学案》第五章同步测试第5课时数列的综合应用
第5章 第5课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．已知数列{a n }是首项为a 1＝4的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则其公比q 等于( )A ．1B ．－1C ．1或－1D. 2解析： 依题意有2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，整理得q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1(q 2＝－2舍去)，所以q ＝1或－1，选C.答案： C2．已知正数组成的等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 7·a 14的最大值为( ) A ．25 B ．50 C ．100D ．不存在解析： 由S 20＝100得a 1＋a 20＝10， ∴a 7＋a 14＝10.又a 7＞0，a 14＞0，∴a 7·a 14≤⎝⎛⎭⎫a 7＋a 1422＝25.故选A.答案： A3．已知正项数列{a n }的前n 项的乘积等于T n ＝⎝⎛⎭⎫14n 2－6n (n ∈N ＋)，b n ＝log 2a n ，则数列{b n }的前n 项和S n 中的最大值是( )A ．S 6B ．S 5C ．S 4D ．S 3解析： S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝log 2(a 1a 2…a n )＝log 2T n ＝12n －2n 2＝－2(n －3)2＋18， ∴n ＝3时，S n 的值最大．故选D. 答案： D4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N ＋)的直线的斜率是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析： ∵S 2＝10，S 5＝55， ∴a 1＋a 2＝10，(a 1＋a 5)×52＝55，即a 5－a 2＝3d ＝12，解得d ＝4，而点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N ＋)的直线的斜率 k ＝a n ＋2－a n (n ＋2)－n ＝d ＝4，故选A. 答案： A5．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是( )A ．10秒种B ．13秒种C ．15秒种D ．20秒种解析： 设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则数列{a n }是首项为a 1＝2，公差为d ＝2的等差数列，由求和公式得na 1＋n (n －1)d2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15.故选C. 答案： C6．共有10项的数列{a n }的通项a n ＝2 011－10n2 012－10n，则该数列中最大项、最小项的情况是( )A ．最大项为a 1，最小项为a 10B ．最大项为a 10，最小项为a 1C ．最大项为a 6，最小项为a 5D ．最大项为a 4，最小项为a 3解析： a n ＝2 012－10n －12 012－10n ＝1＋110n－2 012，则a n 在n ≤3且n ∈N ＋时为递减数列，n ≥4，n ∈N ＋时也为递减数列，∴1＞a 1＞a 2＞a 3，a 4＞a 5＞a 6＞…＞a 10＞1. 故最大项为a 4，最小项为a 3，故选D. 答案： D 二、填空题7．数列{a n }中，S n 是前n 项和，若a 1＝1,3S n ＝4S n －1，则S n ＝________.解析： S 1＝a 1＝1，又S n ＝43S n －1，故数列{S n }是以1为首项，43为公比的等比数列，故S n ＝⎝⎛⎭⎫43n －1.答案： ⎝⎛⎭⎫43n －18．秋末冬初，流感盛行，特别是甲型H1N1流感．某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N ＋)，则该医院30天入院治疗甲流的人数共有________．解析： 由于a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，所以a 1＝a 3＝…＝a 29＝1，a 2，a 4，…，a 30构成公差为2的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 29＋a 30＝15＋15×2＋15×142×2＝255.答案： 2559．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 009项之和S 2 009等于________．解析： 由题意a n ＋1＋a n －1＝a n ，a n ＋a n ＋2＝a n ＋1， 两式相加得a n ＋2＝－a n －1，∴a n ＋5＝a n －1，即{a n }是以6为周期的数列． 2 009＝334×6＋5.∴a 1＋a 2＋…＋a 2 009＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2 008＋2 009＋1－2 008－2 009＝1，即S 2 009＝1. 答案： 1 三、解答题10．一辆邮政车自A 城驶往B 城，沿途有n 个车站(包括起点站A 和终点站B )，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列{a k }(k ＝1,2,3，…，n )．试求：(1)a 1，a 2，a 3；(2)邮政车从第k 站出发时，车内共有邮袋多少个？ 解析： (1)由题意得a 1＝n －1， a 2＝(n －1)＋(n －2)－1＝2n －4，a 3＝(n －1)＋(n －2)＋(n －3)－1－2＝3n －9. (2)在第k 站出发时，放上的邮袋共： (n －1)＋(n －2)＋…＋(n －k )个， 而从第二站起，每站放下的邮袋共： 1＋2＋3＋…＋(k －1)个，故a k ＝(n －1)＋(n －2)＋…＋(n －k )－[1＋2＋…＋(k －1)] ＝kn －12k (k ＋1)－12k (k －1)＝kn －k 2(k ＝1,2，…，n )，即邮政车从第k 站出发时，车内共有邮袋个数为kn －k 2(k ＝1,2，…，n )． 11．(2011·江苏南通一模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13＝34，S 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式；(2)设数列{b n }的通项公式为b n ＝a na n ＋t ，问：是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m ≥3，m ∈N )成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由．【解析方法代码108001068】解析： (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 13＝34，3a 2＝9，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋8d ＝17，a 1＋d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.故a n ＝2n －1，S n ＝n 2. (2)由(1)知b n ＝2n －12n －1＋t.要使b 1，b 2，b m 成等差数列，必须2b 2＝b 1＋b m ， 即2×33＋t ＝11＋t ＋2m －12m －1＋t ，整理得m ＝3＋4t －1，因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2,3,5.当t ＝2时，m ＝7；当t ＝3时，m ＝5；当t ＝5时，m ＝4. 故存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m 成等差数列．12．(2011·北京崇文一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝12n 2＋112n .数列{b n }满足b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N ＋)，且b 3＝11，b 1＋b 2＋…＋b 9＝153.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝3(2a n －11)(2b n －1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＞k57对一切n ∈N ＋都成立的最大正整数k 的值．【解析方法代码108001069】解析： (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝6； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫12n 2＋112n －⎣⎡⎦⎤12(n －1)2＋112(n －1)＝n ＋5. 而当n ＝1时，n ＋5＝6， ∴a n ＝n ＋5.又b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0，即b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋1－b n ， ∴{b n }是等差数列，又b 3＝11，b 1＋b 2＋…＋b 9＝153， 解得b 1＝5，d ＝3. ∴b n ＝3n ＋2. (2)c n ＝3(2a n －11)(2b n －1)＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝n2n ＋1. ∵T n ＋1－T n ＝n ＋12n ＋3－n2n ＋1＝1(2n ＋3)(2n ＋1)＞0，∴T n 单调递增，故(T n )min ＝T 1＝13.令13＞k57，得k ＜19，所以k max ＝18.高≒考α试?题|库。
【北师大版】2012高三文数一轮《金版新学案》第五章同步测试第4课时数列求和
第5章 第4课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )A ．n 2＋1－12nB ．2n 2－n ＋1－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12n解析： 该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n .故选A.答案： A2．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和S n ＞1 020，那么n的最小值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析： ∵1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n －1， ∴S n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2－2n ＋11－2－n ＝2n ＋1－2－n .若S n ＞1 020，则2n ＋1－2－n ＞1 020.∴n ≥10.答案： D3．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2等于( )A.n (n ＋1)2B ．－n (n ＋1)2C ．(－1)n＋1n (n ＋1)2D ．以上答案均不对解析： 当n 为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝－3－7－…－(2n －1)＝－n2(3＋2n －1)2＝－n (n ＋1)2； 当n 为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝－3－7－…－[2(n －1)－1]＋n 2＝－n －12[3＋2(n －1)－1]2＋n 2＝n (n ＋1)2，综上可得，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n＋1n (n ＋1)2. 答案： C4．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝32a n －3，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．3n ＋1－3B ．3n －3C ．3n ＋1＋3D ．3n ＋3解析： ∵S n ＝32a n －3，∴S n ＋1＝32a n ＋1－3，两式相减得：S n ＋1－S n ＝32(a n ＋1－a n )．即a n ＋1＝32(a n ＋1－a n )，∴a n ＋1a n ＝3.又∵S 1＝32a 1－3，即a 1＝32a 1－3，∴a 1＝6.∴a n ＝a 1·q n －1＝6×3n －1＝2×3n .∴S n ＝32a n －3＝32×2×3n －3＝3n ＋1－3，故应选A.答案： A5．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )的前n项和为S n ，则S 2 010的值为( )A.2 0072 008B.2 0082 009C.2 0092 010D.2 0102 011解析： ∵f ′(x )＝2x ＋b∴f ′(1)＝2＋b ＝3，∴b ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴S 2 010＝1－12＋12－13＋…＋12 010－12 011＝1－12 011＝2 0102 011.答案： D6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝( ) A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)n 2－6n ＋18 (n ＞3) D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)n 2－6n (n ＞3) 解析： 由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2. ∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7， ∴n ≤3时，a n ＜0，n ＞3时a n ＞0，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2 (1≤n ≤3)n 2－6n ＋18 (n ＞3)答案： C 二、填空题7．已知f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为正奇数，－n ，n 为正偶数，若a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋…＋a 2 008＝________.解析： 当n 为奇数时，a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝n －n －1＝－1. 当n 为偶数时，a n ＝－n ＋n ＋1＝1. ∴a 1＋a 2＋…＋a 2 008＝0. 答案： 08．在等差数列{a n }中，a 3＋a 21＝4，则其前23项的和为________． 解析： S 23＝23×(a 1＋a 23)2＝23×(a 3＋a 21)2＝23×42＝46.答案： 469．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析： ∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n . ∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案： 2n ＋1－2三、解答题10．等差数列{a n }中，a 1＝3，前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，b 1＝1，且b 2＋S 2＝12，{b n }的公比q ＝S 2b 2.(1)求a n 与b n ；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.解析： (1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋3＋a 2＝12q ＝3＋a 2q ，解得q ＝3，a 2＝6或q ＝－4(舍去)，a 2＝13(舍去)， ∴a n ＝3＋(n －1)×3＝3n ，b n ＝3n －1.(2)∵S n ＝n (3＋3n )2，∴1S n ＝2n (3＋3n )＝23⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝23⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝23⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n 3(n ＋1).11．在数列{a n }中，已知a 1＝－1，且a n ＋1＝2a n ＋3n －4(n ∈N ＋)． (1)求证：数列{a n ＋1－a n ＋3}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n 【解析方法代码108001066】解析： (1)证明：令b n ＝a n ＋1－a n ＋3，则b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＋3＝2a n ＋1＋3(n ＋1)－4－2a n －3n ＋4＋3＝2(a n ＋1－a n ＋3)＝2b n ，即b n ＋1＝2b n .由已知得a 2＝－3，于是b 1＝a 2－a 1＋3＝1≠0.所以数列{a n ＋1－a n ＋3}是以1为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)可知b n ＝a n ＋1－a n ＋3＝2n －1，即2a n ＋3n －4－a n ＋3＝2n －1，∴a n ＝2n －1－3n ＋1(n ∈N ＋)．于是，S n ＝(1＋2＋22＋…＋2n －1)－3(1＋2＋3＋…＋n )＋n＝1－2n 1－2－3n (n ＋1)2＋n ＝2n －3n 2＋n 2－1.12．(2011·北京宣武高三期中)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{b n }的通项公式b n ；(3)若c n ＝a n ·b nn ，求数列{c n }的前n 项和T n【解析方法代码108001067】解析： (1)∵S n ＝3n ，∴S n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1(n ≥2)．当n ＝1时，2×31－1＝2≠S 1＝a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2×3n －1，n ≥2. (2)∵b n ＋1＝b n ＋(2n －1)，∴b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝3，b 4－b 3＝5，…，b n －b n －1＝2n －3. 以上各式相加得b n －b 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝(n －1)(1＋2n －3)2＝(n －1)2.∵b 1＝－1，∴b n ＝n 2－2n .(3)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，2(n －2)×3n －1，n ≥2. 当n ≥2时，T n ＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋…＋2(n －2)×3n －1，∴3T n ＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋…＋2(n －2)×3n ， 相减得－2T n ＝6＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－2(n －2)×3n .∴T n ＝(n －2)×3n －(3＋32＋33＋…＋3n －1 ＝(n －2)×3n－3n －32＝(2n －5)3n ＋32.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，(2n －5)3n ＋32，n ≥2.∴T n ＝(2n －5)3n ＋32(n ∈N ＋)．高╓考じ试﹤题|库。
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《金版新学案》高三一轮总复习[B 师大]数学理科高效测评卷(五)第五章 数 列————————————————————————————————————— 【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题 共60分)只有一项是符合题目要求的)1．已知实数列－1，x ，y ，z ，－2成等比数列，则xyz 等于( ) A ．－4 B ．±4 C ．－2 2D ．±2 22．已知数列{a n }的前三项依次为－2,2,6，且前n 项和S n 是不含常数项的二次函数，则a 100等于( )A ．394B ．392C ．390D ．3963．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 52，a 2＝1，则a 1等于( ) A.12 B.22C. 2D ．24．已知不等式x 2－2x －3＜0的整数解构成等差数列{a n }，则数列{a n }的第四项为( ) A ．3 B ．－1 C ．2D ．3或－15．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( )A ．2B ．4C ．8D ．166．等比数列{a n }中，公比q ＞1，且a 1＋a 6＝8，a 3a 4＝12，则a 6a 11等于( ) A.12 B.16 C.13D.13或167．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2当n 为奇数时，－n 2当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 2008．(2011·广东深圳)数列{a n }前n 项和为S n ，已知a 1＝13，且对任意正整数m ，n 都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若S n ＜a 恒成立，则实数a 的最小值为( )A.12B.23C.32D ．29．数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝7，当n ≥1时，a n ＋2等于a n ·a n ＋1的个位数字，则a 2 010＝( ) A ．1 B ．3 C ．7D ．910．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1≤13，S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为( ) A ．3 B ．4 C ．－7D ．－511．某小区现有住房的面积为a 平方米，在改造过程中政府决定每年拆除b 平方米旧住房，同时按当年住房面积的10%建设新住房，则n 年后该小区的住房面积为( )A ．a ·1.1n－nb B ．a ·1.1n －10b (1.1n－1) C ．n (1.1a －1)D ．1.1n(a －b )12．等差数列{a n }的公差d 不为0，S n 是其前n 项和，给出下列命题： ①若d ＜0，且S 3＝S 8，则S 5和S 6都是{S n }中的最大项； ②给定n ，对于一切k ∈N ＋(k ＜n )，都有a n －k ＋a n ＋k ＝2a n ； ③若d ＞0，则{S n }中一定有最小的项； ④存在k ∈N ＋，使a k －a k ＋1和a k －a k －1同号． 其中正确命题的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)13．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 14．若数列{a n }满足关系a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2，该数列的通项公式为________． 15．已知公差不为零的等差数列{a n }中，M ＝a n ·a n ＋3，N ＝a n ＋1·a n ＋2，则M 与N 的大小关系是________．16．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .18．(12分)在公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }和公比为q 的等比数列{b n }中，a 2＝b 1＝3，a 5＝b 2，a 14＝b 3，(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)令c n ＝ba n ，求数列{c n }的前n 项和T n .19．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 都有a n 是n 与S n 的等差中项．(1)求证：a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)； (2)求证：数列{a n ＋1}为等比数列； (3)求数列{a n }的前n 项和S n【解析方法代码108001070】20．(12分)已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a ＞0，x ∈R )有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1－4a n(n ∈N ＋)，定义所有满足c m ·c m ＋1＜0的正整数m 的个数，称为这个数列{c n }的变号数，求数列{c n }的变号数．21.(12分)设曲线y ＝x 2＋x ＋2－ln x 在x ＝1处的切线为l ，数列{a n }的首项a 1＝－m (其中常数m 为正奇数)，且对任意n ∈N ＋，点(n －1，a n ＋1－a n －a 1)均在直线l 上．(1)求出{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n (n ∈N ＋)，当a n ≥a 5恒成立时，求出n 的取值范围，使得b n ＋1＞b n 成立．【解析方法代码108001071】22．(14分)已知数列{a n }满足a 1＝76，S n 是{a n }的前n 项和，点(2S n ＋a n ，S n ＋1)在f (x )＝12x ＋13的图象上，正数数列{b n }中，b 1＝1，且(n ＋1)b n ＋12－nb n 2＋b n ＋1b n ＝0(n ∈N ＋)． (1)分别求数列{a n }和{b n }的通项公式a n 和b n ；(2)若c n ＝a n －23b n，T n 为c n 的前n 项和，n ∈N ＋，试比较T n 与1的大小．【解析方法代码108001072】答案：卷(五)一、选择题1．C ∵xz ＝(－1)×(－2)＝2，y 2＝2， ∴y ＝－2(正不合题意)， ∴xyz ＝－2 2.2．A 易知{a n }是等差数列，a 1＝－2，d ＝4， ∴a 100＝a 1＋99d ＝394，故选A.3．B 由a 3·a 9＝2a 52知a 12·q 10＝2a 12·q 8， ∵q ＞0，∴q 2＝2， 即q ＝2，a 1＝a 2q＝12＝22. 4．D 由x 2－2x －3＜0及x ∈Z 得x ＝0,1,2. ∴a 4＝3或－1.故选D.5．C ∵a 3a 11＝a 72＝4a 7，a 7≠0， ∴a 7＝4，∴b 7＝4. ∵{b n }为等差数列， ∴b 5＋b 9＝2b 7＝8，故选C. 6．C 依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 6＝8，a 1·a 6＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a 6＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，a 6＝2.(∵q ＞1，∴舍去)所以a 6a 11＝1q 5＝a 1a 6＝13，故选C. 7．B 由题意，a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.故选B.8．A 由于a m ＋n ＝a m ·a n ，令m ＝1得a n ＋1＝a 1·a n ，{a n }为等比数列，S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n＜12，∴a ≥12，故选A. 9．D 由题意得a 3＝1，a 4＝7，a 5＝7，a 6＝9，a 7＝3，a 8＝7，a 9＝1，则a 1＝a 7，a 2＝a 8.连续两项相等，所以{a n }的周期为6，则a 2 010＝a 335×6＝a 6＝9，故选D.10．B 由⎩⎪⎨⎪⎧a 4－3d ≤13，4a 4－6d ≥10，5a 4－5d ≤15得⎩⎪⎨⎪⎧a 4－3d ≤13， ①－2a 4＋3d ≤－5， ②a 4－d ≤3， ③由①②③得－8≤a 4≤4.故选B.11．B 特殊值法验证，取n ＝1分不清，n ＝2时，按实际意义a n ＋1＝a n ·1.1－b ，a 1＝a ·1.1－b ，则a 2＝a ·1.12－1.1b －b ，对选项验证，只有B 满足，故选B.12．B 因为{a n }成等差数列，所以其前n 项和是关于n 的二次函数的形式且缺少常数项，d ＜0说明二次函数开口向下，又S 3＝S 8，说明函数关于直线x ＝5.5对称，所以S 5、S 6都是最大项，①正确；同理，若d ＞0，说明{a n }是递增的，故{S n }中一定存在最小的项，③正确；而②是等差中项的推广，正确；对于④，a k －a k ＋1＝－d ，a k －a k －1＝d ，因为d ≠0，所以二者异号．二、填空题13．解析： 设等比数列的公比为q ，则由S 6＝4S 3知q ≠1， ∴S 6＝1－q 61－q ＝－q 31－q.∴q 3＝3.∴a 1q 3＝3，即a 4＝3.答案： 314．解析： ∵a n ＋1＝3a n ＋2两边加上1得，a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴{a n ＋1}是以a 1＋1＝3为首项，以3为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝3·3n －1＝3n，∴a n ＝3n－1. 答案： a n ＝3n－115．解析： 设{a n }的公差为d ，则d ≠0.M －N ＝a n (a n ＋3d )－[(a n ＋d )(a n ＋2d )]＝a n 2＋3da n －a n 2－3da n －2d 2＝－2d 2＜0，∴M ＜N . 答案： M ＜N16．解析： 由题中数表知：第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成等差数列，所以第n 行第n ＋1列的数是：n 2＋n .答案： n 2＋n 三、解答题17．解析： 设数列{a n }的公差为d ，依题设有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1a 3＋＝a 22，a 1＋a 2＋a 3＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧a 12＋2a 1d －d 2＋2a 1＝0，a 1＋d ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－4.因此S n ＝12n (3n －1)或S n ＝2n (5－n )．18．解析： (1)由条件得：⎩⎪⎨⎪⎧3＋3d ＝3q 3＋12d ＝3q 2∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2q ＝3，∴a n ＝2n －1，b n ＝3n(2)由(1)得，∴c n ＝ba n ＝b 2n －1＝32n －1∵c n ＋1c n ＝32n ＋132n －1＝9，c 1＝3， 所以{c n }是首项为3，公比为9的等比数列． ∴T n ＝－9n1－9＝38(9n－1) 19．解析： (1)证明：∵a n 是n 与S n 的等差中项， ∴2a n ＝n ＋S n ①于是2a n －1＝n －1＋S n －1(n ≥2)② ①－②得2a n －2a n －1＝1＋a n ， ∴a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，(2)证明：当n ≥2时，由a n ＝2a n －1＋1得a n ＋1＝2(a n －1＋1)， ∴a n ＋1a n －1＋1＝2.当n ＝1时，2a 1＝1＋S 1即2a 1＝1＋a 1， ∴a 1＝1，a 1＋1＝2.所以{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列． (3)∵a n ＋1＝2·2n －1＝2n，∴a n ＝2n－1，∴S n ＝(21＋22＋ (2))－n＝－2n1－2－n ＝2n ＋1－2－n .20．解析： (1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0，∴a ＝0或a ＝4. 又由a ＞0得a ＝4，f (x )＝x 2－4x ＋4. ∴S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝，2n －n(2)由题设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ＝，1－42n －5n ≥2，n ∈N ＋由1－42n －5＝2n －92n －5可知，当n ≥5时，恒有a n ＞0.又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，c 5＝15，即c 1·c 2＜0，c 2·c 3＜0，c 4·c 5＜0， ∴数列{c n }的变号数为3.21．解析： (1)由y ＝x 2＋x ＋2－ln x ，知x ＝1时，y ＝4. 又y ′|x ＝1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－1x | x ＝1＝2， ∴直线l 的方程为y －4＝2(x －1)， 即y ＝2x ＋2.又点(n －1，a n ＋1－a n －a 1)在l 上， ∴a n ＋1－a n ＋m ＝2n .即a n ＋1－a n ＝2n －m (n ∈N *)， ∴a 2－a 1＝2－m ，a 3－a 2＝2×2－m ，…a n －a n －1＝2×(n －1)－m ，则a n －a n －1＋a n －1－a n －2＋…＋a 2－a 1＋a 1＝a n ＝2×(1＋2＋…＋n －1)－(n －1)m －m ＝n 2－n －nm ＋m －m ＝n 2－(m ＋1)n .∴通项公式为a n ＝n 2－(m ＋1)n (n ∈N ＋)．(2)∵m 为正奇数，∴m ＋12为正整数，由题意知a 5是数列{a n }中的最小项， ∴m ＋12＝5.∴m ＝9.令f (n )＝b n ＝n 3－(m ＋1)n 2＝n 3－10n 2. 则f ′(n )＝3n 2－20n ， 由f ′(n )＞0，n ＞203(n ∈N ＋)，即n ＞203(n ∈N ＋)时，f (n )单调递增，即b n ＋1＞b n 成立，∴n 的取值范围是n ≥7，且n ∈N ＋.22．解析： (1)∵点(2S n ＋a n ，S n ＋1)在f (x )＝12x ＋13的图象上，∴S n ＋1＝12×(2S n ＋a n )＋13，∴a n ＋1＝12a n ＋13，∴a n ＋1－23＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n －23，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以a 1－23＝76－23＝12为首项，以12为公比的等比数列，∴a n －23＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即a n ＝23＋12n ，∵(n ＋1)b n ＋12－nb n 2＋b n ＋1b n ＝0(n ∈N ＋)， ∴[(n ＋1)b n ＋1－nb n ](b n ＋1＋b n )＝0， ∵b n ＞0，∴(n ＋1)b n ＋1＝nb n ， ∵b 1＝1， ∴b n b n －1·b n －1b n －2·b n －2b n －3·…·b 2b 1＝n －1n .n －2n －1 (1)2， ∴b n ＝1n.(2)∵c n ＝a n －23b n，∴c n ＝n2n ，∴T n ＝12＋2×122＋3×123＋…＋n ×12n ，①∴12T n ＝122＋2×123＋3×124＋…＋n ×12n ＋1，② ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2n ＋1，∴T n ＝2－12n －1－n2n ，∴T n －1＝1－12n －1－n2n ＝2n－2－n 2n ＝1－2＋n2n当n ＝1时，T 1＝12＜1，当n ＝2时，T 2－1＝0，∴T 2＝1， 当n ≥3时，T n －1＞0，∴T n ＞1.。