课题：二次函数及反比例函数复习---学案
二次函数 （24张PPT）学案
1.1二次函数导学案一、教材4页请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量 y 与 X 之间的关系·(1)圆的面积 y (cm2)与圆的半径 x (cm)(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y元;(3)一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2)上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?总结：我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做 ,称：a 为，b为，c为常数项，二、教材58页做一做1.下列函数中,哪些是二次函数?⑴y=x2；⑵y=-1x2；⑶y=2x2-x-1；⑷y=x(1-x)；⑸y=(x-1)2-(x+1)(x-1)；2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项？⑴y=x2+1⑵ y=-3x2+7x-12 ⑶y=2x(1-x)三、教材5页例题例1、如图 1-2，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去 4 个全等的直角三角形（图中阴影部分） ,设AE＝BF＝CG＝DH＝X（cm），四边形EFGH的面积为y（cm2） . （1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.（2）当x分别为 0.25， 0.5， 1， 1.5， 1.75 时，求对应的四边形EFGH的面积，并列表表示.例2:已知二次函数y=x²+bx+c,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.待定系数法求二次函数解析式的基本步骤：;.。
二次函数复习学案
课题：二次函数总编号：NO.20课型：复习课授课人：王德文单位：山东省高密市银鹰文昌中学一、复习要点（1）能结合实例说出二次函数的意义。
（2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。
（3）掌握二次函数的平移规律。
（4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。
（5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。
（6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。
（7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。
二、需要注意的问题在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。
在二次函数图象的平移变化中，在用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都体现了数形结合的思想。
三、课前自我构建：完成以下复习内容：1、二次函数的定义：_____________________________________2、二次函数的图象与性质：二次函数的图象是一条__________。
以下从它们的顶点，对称轴、开口方向，增减性及最值方面记住各自的性质：(1)二次函数y=ax2的性质：顶点坐标为__________(2)二次函数y=a(x-h)2+k的性质：顶点坐标为__________(3)二次函数y=ax2+bx+c的性质：顶点坐标为__________3.对于二次函数y=a(x-x1)(x-x2)，它的图象的对称轴是___________，其中的x1 x2表示的意义是______________________________________。
4.对于二次函数y=ax2+bx+c的符号问题：a的符号看_____________；c的符号看________________；b的符号看________________，b2-4ac的符号看_________________________；a+b+c看_____________________；a-b+c看_____________________________。
二次函数反比例函数复习课教案
理科教案总第页. 总第. 课时课题二次函数、反比例函数复习课型复习课授课时间月日（星期）第1课时（共3课时）教学目标知识与技能：掌握二次函数和反比例函数的图像和性质，会进行简单的计算与应用。
过程与方法：经历归纳、总结、应用的过程，发展演绎推理能力，能有条理的阐述自己的观点。
情感态度与价值观：认识数学与实际的联系，体验数学活动充满探索与创造，感受数学的严谨性。
教学重点二次函数和反比例函数的图像及性质主要教法讲练结合教学难点画函数图像、观察图像，总结性质，体会函数的增减性学习指导数形结合的数学思想教具电脑。
板书设计二次函数、反比例函数复习（1）反比例函数概念性质的总结图像教学后记总第. 页2分教学过程⋂含时间分配⋃18分教学内容及教师活动学生活动一、组织教学二、复习题问1．什么是二次函数？它的图象是什么？答：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）是二次函数，它的图象是抛物线．2．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与顶点坐标、开口方向各是什么？答：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；3．对于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标是用什么方法，怎样得到的？答：用配方法，具体步骤为：（1）在等号右边提公因式a，使二次项系数为1；（2）在括号内先加再减新形成的一次项系数一半的平方，配成完全平方；（3）去掉中括号．4．什么是反比例函数？它的图象是什么？5．反比例函数的图象有何特点？答：（1）有两个分支；（2）这两个分支不相交；（3）这两个分支都无限接近x轴和y轴，但永不会相交．答：（1）当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限，y随x的增大而减小；（2）当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限，y随x的增大而增大．学生阅读教材，记忆相关的性质。
理科教案总第_. _页总. 课时课题二次函数、反比例函数复习课型复习课授课时间月日（星期）第2课时（共3课时）教学目标知识与技能：掌握二次函数和反比例函数的相关性质，会确定函数的解析式，并解决实际问题。
函数(复习)导学案
函数总复习导学案备考攻略：函数及其图象是初中数学的重要内容.函数关联着丰富的几何知识，且与许多知识有深刻的内在联系，又是进一步学习的基础，所以，以函数为背景的问题，题型多变，可谓函数综合题长盛不衰，实际应用题异彩纷呈，图表分析题形式多样，开放、探索题方兴未艾，函数在中考中占有重要的地位. 函数与图象常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等.中考时常见的题型有图象信息题、代数几何综合题、函数探索开放题、函数创新应用题等.应用以上数学思想解决函数问题的题目是中考压轴题的首选.一、复习函数的概念及其表达式1、写出三种函数的解析式：一次函数：反比例函数： ① ② ③二次函数： ① ② ③ （留意各函数的最高次数和不同的表示形式） 2、 二、说出三种函数的图像： （1）一次函数：A B C D说出上面各图中k 和b 的符号练习：1、y=(m-1)x是正比例函数，则m= ，该函数的图像经过第 象限。
右图中函数表达式为： （ a,b 思考：这个函数中的与 α的关系:a bk结论：练习2：将一次函数y=2x+3往下平移5个单位所得到函数表达式为（2）、反比例函数：(k ≠0)反比例函数：(k ≠0)中k 的含义是：图像上的任意一点向两坐标引垂线所围成的矩形的面积。
（如图）S=│K │练习：1、 点A 为反比例函数图像上一点过点A 作 x 轴于点B ，连接OA, 则的面积为x ky =x ky =x y 4-=As2、函数, (a≠0)与y=a(x-1), (a≠0)在同一坐标系中的大至位置是( )A B C D2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)图象C的交点位置xay=OAB例题：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图3-4-1，下列结论：①b2－4ac>0；②4a＋c＞2b；③(a＋c)2>b2；④ax2＋bx≤a－b.其中结论正确的是________.练习1、一次函数y=ax+b（a≠0) 与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）A B C D三、函数综合题如图，已知抛物线y＝-x2＋bx＋c与一直线相交于A(-1,0) ,C (2,3) 两点，与y 轴交于点N，其顶点为D。
二次函数与反比例函数总复习
网络构建
专题归纳
真题集粹
2
网络构建 一 二
专题归纳
真题集粹
一、同一坐标系中两种函数图象分布情况的识别
【例 1】 函数 y=ax+b 和 y=ax2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大 致是( )
解析:用排除法确定选项.选项 A,由直线看出,a<0,由抛物线看出 a>0, 矛盾,所以 A 错误;选项 B,由直线看出,a>0,b>0,此时,- <0,但图中抛物线 的顶点在 y 轴右侧,矛盾,所以 B 错误;选项 C,由直线看出,a>0,b<0,此时,������ >0,抛物线应有最小值,顶点在 2������ ������ 2������
.
关闭
∵ a=1>0,∴ 抛物线 y=x2+1 有最小值 1.
1
关闭
解析
答案
13
网络构建 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
专题归纳 11 12
真题集粹 13 14 15
8.(2013 湖北黄石中考)若关于 x 的函数 y=kx2+2x-1 与 x 轴仅有一个公共点, 则实数 k 的值为 .
)
关闭
1 |k| =|k|=3; 2 1 选项 B,根据反比例函数系数 k 的几何意义,阴影部分面积为 2× |k| =|k|=3; 2
选项 A,根据反比例函数系数 k 的几何意义,阴影部分面积为 2× 选项 C,如图,阴影部分的面积为
1 2
S△OME+S 梯形 MEFN-S△ONF= ×1×3+ (1+3)×2- ×3×1=4; 选项 D,根据 M,N 点的坐标以及三角形面积的求法可得, 阴影部分面积为 ×1×[3-(-3)]= ×1×6=3. ∴ 阴影部分面积最大是 4.故选 C.
九年级数学二次函数反比例函数复习教案
教学目标：1.复习并掌握二次函数的基本概念和性质，能够准确地画出二次函数的图像；2.复习并掌握反比例函数的基本概念和性质，能够解决与反比例函数有关的问题；3.进行习题训练，巩固所学知识点。
教学重点：1.二次函数的图像；2.反比例函数的性质。
教学难点：1.二次函数的最值问题；2.反比例函数与正比例函数的比较。
一、二次函数复习1. 二次函数的基本形式：y = ax^2 + bx + ca为二次项系数，a≠0；b为一次项系数；c为常数项。
2.二次函数的图像特征a>0时，开口向上，有最小值；a<0时，开口向下，有最大值；对称轴方程：x=-b/(2a)最值：若a>0，最小值为f(-b/(2a))；若a<0，最大值为f(-b/(2a))。
3.二次函数的性质平移：y = a(x - h)^2 + k的图像相当于y = ax^2的图像向右平移h个单位，向上平移k个单位。
变形：y=a(x-h)^2+k的图像相当于y=x^2的图像上下旋转、拉伸、压缩、翻转。
二、反比例函数复习1.反比例函数的基本形式：y=k/xk为常数，k≠0；x≠0。
2.反比例函数的性质定义域：x≠0；值域：y≠0；x与y成反比例关系，即xy = k为常数。
教学过程：一、二次函数复习1.复习二次函数的基本概念和性质。
通过数学游戏、小组讨论等方式，让学生回顾和复习二次函数的基本概念和性质。
2.解题训练。
配置一些习题让学生进行解答，并进行讲解和讨论。
二、反比例函数复习1.复习反比例函数的基本概念和性质。
可以通过例题，让学生回顾和复习反比例函数的基本概念和性质。
2.解题训练。
配置一些习题让学生进行解答，并进行讲解和讨论。
三、综合训练1.给学生提供一些综合性的训练题，涉及二次函数和反比例函数的内容。
提醒学生要注意题目中的条件和要求，对于解法有不同的思路和方法。
2.学生自主解题、小组合作解题，并进行讲解和讨论。
学生可以自由选择解题方式，鼓励他们多尝试、多比较。
初中数学_二次函数复习(1)教学设计学情分析教材分析课后反思
九年级人教版《二次函数复习》教学设计一、教材分析二次函数是中考的重点内容之一，二次函数的应用是培养学生数学建模和数学思想的重要素材，是每年必考的压轴题。
本部分包括了初中代数的所有数学思想和方法，复习时必须高度重视。
二次函数在学习函数内容上起着承上启下的作用，与前面学习的二次三项式、一元二次方程有着密切联系，为今后学习高中的函数和不等式打下基础，积累经验，提供可以借鉴的方法。
通过对二次函数的复习，加深学生对函数知识的理解和应用。
二、复习目标：知识与技能：1、理解二次函数的意义，会画二次函数的图象，会求二次函数的解析式。
2、会用配方法把二次函数的表达式化为顶点式，并能利用性质解决简单的实际问题，体会模型思想。
3、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
过程与方法：1、通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力。
2、学生亲自经历巩固二次函数相关知识点的过程，体会利用数形结合线索解决问题策略的多样性。
情感、态度与价值观：经历探索二次函数相关题目的过程，体会数形结合思想、化归思想在数学中的广泛应用，同时感受数学知识来源于实际生活，反之，又服务于实际生活．复习重点：二次函数的图象、性质和应用。
复习难点：二次函数的应用和图象法解一元二次方程。
二、教材处理针对初四复习时间紧、任务重的实际情况，我决定利用以题代纲的复习方法，以问题组的形式展开复习，每一道题让学生说出知识点和考点及其解题的思路，每一部分在整个知识体系中的位置等等，刚开始学生说不全，其他同学再补充，时间长了，学生就能掌握。
在复习时将二次函数部分分为四个模块，（一）二次函数的图象和性质（二）二次函数的平移（三）二次函数解析式的求法（四）二次函数的应用。
对学生容易出错的知识点，可进行形式多样的变式练习，以提高学生运用知识分析问题、解决实际问题的能力。
三、教法分析以题代纲，梳理知识；查漏补缺，讲练结合；归纳总结，提升能力。
九年级数学二次函数专题复习教案
Ａ． y3 y2 y1
Ｂ． y1 y2 y3
Ｃ． y2 y1 y3
Ｄ． y2 y3 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy1
分析：本题考查了反比例函数图象的性质，由于反比例函数有两个分支分
别位于两个象限，所以解决此类问题的最好方法是用“数形结合思想”来做，如
图所示：
y
x1
y3 x2
y1 x3
x
y2
观察图象可知： y2 y1 y3 ．
函数图像上任意点的横、纵坐标的积为 k。
二、考点复习
考点一：考查求反比例函数的关系式
例 1 若反比例函数 y k 的图象经过(－2，1)，则 k 的值为 ( ) x
A、－2
B、2
C、－ 1 2
D、 1 2
分析：这是一类常见的中考题型，已知反比例函数经过一点求反比例函数
的解析式，由于反比例函数确定 k 值时只需要一个点，所以将点的坐标代入解
则 k 的值可为（ ）
A． 1
B．0
C．1
D．2
分析：因为反比例函数的图象在每个象限内， y 随 x 的增大而减小，所以
k 1 0 ，所以 k 1，观察 4 个选项只有 D 正确．
例4
已知
P1(x1，y1)，P2 (x2，y2 )，P3 (x3，y3 )
是反比例函数
y
2 x
的图
象上的三点，且 x1 x2 0 x3 ，则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ）
点评：此题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，关键掌握好利用图象
求方程的解时，就是看两函数图象的交点横坐标．.
5. （2011•丹东，6，3 分）反比例函数 y=错误!未找到引用源。 k 的图象如图 x
人教版九年级数学下册第二十六章二次函数课时学案
人教版九年级数学下册第二十六章二次函数课时学案26．1．二次函数学案一一、学习目标1．知识与技能目标：（1）理解并掌握二次例函数的概念；（2）、能判断一个给定的函数是否为二次例函数，并会用待定系数法求函数解析式；（3）、能根据实际问题中的条件确定二次例函数的解析式。
二、学习重、难点1．重点：理解二次例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式；2．难点：理解二次例函数的概念.。
三、教学过程（一）、创设情境、导入新课：回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？（二）．自主探究、合作交流：问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。
问题2:n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系?问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示?问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。
问题5：什么是二次函数？形如。
问题6：函数y=ax²+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数?(2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？（三）．尝试应用：例1: 关于x 的函数mm xm y -+=2)1(是二次函数, 求m 的值.注意:二次函数的二次项系数必须是 的数。
例2:已知关于x 的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式.(待定系数法)（四）．巩固提高：1．下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x. 2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。
第26章 二次函数 复习学案
第26章 二次函数 复习学案一、复习目标：1、通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2、会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3、会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题；4、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
二、本章知识结构框图三、知识点与方法 （一）二次函数的意义（1）二次函数的意义中包含的条件① ，② ，③ ，④ 。
【练习】 1、函数()322-+-=mx m y （m 为常数），试求： （1）当m 时，该函数为二次函数； （2）当m 时，该函数为一次函数。
2、下列函数中是二次函数的是（ ）A ．y ＝x ＋12B ．()21-=x y C ．()221x x y -+= D ．x x y -=213、有n 个人参加一次研讨会，每两个人握手一次，则握手次数y 与参加会议的人数n 之间的函数关系式为 ，它是 函数。
（二）平移规律（1）抛物线左右平移与 有关，规律是 ；上下平移与 有关，规律是 。
【练习】4、抛物线()4232+--=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。
当 时，有最 值为 。
它可有y=-3x 2向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到。
5、若抛物线2x y =的图象不动，把x 轴向上平移3个单位，把y 轴向右平移2个单位，则抛物线在新坐标系中的解析式为（ ） A 、B 、C 、D 、6、322-+=x x y 向右平移3个单位，再向上平移1个单位后的解析式为 。
（三）五点画函数图像（草图）（1）画抛物线的草图时，一般要描出五点，分别为 。
【练习】 7、画出322-+=x x y 的草图。
（四）求函数的解析式（1）用待定系数法求函数解析式的步骤为 。
（2）二次函数的一般形式为 ，顶点式为 ，两根式为 。
【练习】8、已知二次函数y=ax 2-4x+c 的图像过点A 和点B （1） 求该二次函数的表达式。
沪科版九年级上册数学第21章 二次函数与反比例函数 【学案】 求“抛物线”形最值问题
Oxy-1 3-321.4 求“抛物线”形最值问题教学思路（纠错栏）学习目标：通过建立数学模型，用二次函数的知识解决有关实际问题．学习重点：根据具体的情境建立适当的平面直角坐标系，将有关线段的长度转化为坐标系中点的坐标,求出函数的解析式，从而解决实际问题。
预设难点：建立适当的平面直角坐标系，并用简便的方法求出二次函数解析式。
☆ 预习导航 ☆链接：（1）一抛物线如右图所示，则它的解析式为_________ ____________；当x=1时，y=___________.（2）顶点为（－3，4）且过点（2，－1）的抛物线的解析式为 ___．（3）当一枚火箭竖直向上发射后，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可用公式h=-5t 2+150t+10来表示，则当t=_____s 时，火箭到达它的最高点，最高点的高度是__________m.☆ 合作探究 ☆教学思路（纠错栏）1、如图，某学生推铅球，铅球出手（点A处）的高度是35m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高3 y m时，水平距离4m．（1）试求铅球运行高度y与水平距离x之间的函数关系式；（2）铅球落地点为C，求此次铅球被推出的距离OC．2、某单行隧道横断面由抛物线与矩形ABCD的三边组成，尺寸如图所示．（1）建立适当的平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由．1AB CD☆ 归纳反思 ☆实际问题 建立二次函数模型 求出函数解析式 解决问题☆ 达标检测 ☆1、某桥的拱桥是抛物线形，建立如图1所示的坐标系，其函数解析式为2251x y -=，当水位在AB 位置时，水面宽AB 为30m ，这时水面离桥顶的高度h 是（ ） A ．5m B ．6m C ．8m D ．9m 2、小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线5.3512+-=x y 的一部分（如图2），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（ ）A ．3.5mB ．4mC ．4.5mD ．4.6m图1图2h2.53.05l。
第22章二次函数与反比例函数总复习
第22章:二次函数与反比例函数总复习题型1：二次函数的判定例1.下列函数中，哪些是二次函数？分析：一般地，形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
判断函数是否是二次函数， ①首先是要看它的右边是否为整式，②若是整式且仍能化简的要先将其化简，③ 然后再看自变量是否为2，④最后看二次项系数是否为0这个关键条件题型2：有关二次函数与一次函数、反比例函数的图象与系数的关系的问题.二次函数2y ax bx c =++中图象与系数的关系:（1）二次项系数a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． a>0时，开口向上，a<0时，开口向下。
a 越大，开口越小。
a 越小，开口越大。
（2）一次项系数b ，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．若0>ab ，则对称轴ab x 2-=在y 轴左边，若0<ab ，则对称轴ab x 2-=在y 轴的右侧。
若b=0，则对称轴ab x 2-=＝0,即对称轴是y 轴.概括的说就是“左同右异,y 轴0” （3）常数项c ，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．当0c >时，交点在y 轴的正半轴上 ;当0c =时，抛物线经过原点，;当0c <时，交点在y 轴的负半轴上, 简记为“上正下负原点0”(4) △=b 2－4ac 决定了抛物线与x 轴交点的个数. ① 当0∆>时，抛物线与x 轴有两个交点 ② 当0∆=时，抛物线与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，抛物线与x 轴没有交点.另外当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 一次函数:y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0) 中图象与系数的关系:（1）走向：k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>0b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限 （2）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（3）截距: 当b>0时，图象交于y 轴正半轴, 当b<0时，图象交于y 轴负半轴,当b=0时，图象交于原点. （4）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴. 反比例函数:y ＝xk （k 为常数，k ≠0）中图象与系数的关系:说明：1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”这一条件。
初中数学_复习《二次函数》教学设计学情分析教材分析课后反思
《二次函数》学情分析二次函数的教学对象是九年级学生，在此之前他们学习了正比例函数，一次函数和反比例函数。
二次函数是描述变量之间关系的重要数学模型，它既是其他学科研究时所采用的重要方法之一，也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章中所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。
二次函数的图像抛物线，既是人们最为熟悉的曲线之一，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥，抛物线型隧道等。
和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基础的函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数，体会函数的思想奠定基础和积累经验。
为高中阶段继续学习函数做好铺垫。
学生对一次函数、反比例函数的图象与性质有了一定的基础，对于解析式与图象的结合有了一定的整体把握，具备了一定的函数思想，基本上能运用函数观点解决实际问题。
二次函数的图像是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，和一次函数、反比例函数一样要教会学生画图像，学会观察图像，借助图像理解与掌握二次函数的图像与性质解决相关问题，并能运用到解决实际问题中。
复习《二次函数》效果分析二次函数在初中数学函数教学中的地位不可忽视，二次函数已经成为中考命题的重点。
根据学生对二次函数的学习及掌握的情况，从梳理知识点出发采用以习题带知识点的形式，我精心准备了《二次函数》的复习课，教学重点为二次函数的图象性质及应用。
下面是我对二次函数的复习课的一些反思感受：首先，我认为在课堂上，我对知识的脉络掌握还是有一些欠缺，把二次函数的应用，用自己的眼光和感受想象的太简单，但是对于学生而言，这又是一个重点，更是一个难点。
所以在课堂上有的习题深度没有掌握好，没有做到面向全体学生。
其次，本节课体现的是分层教学，由于学生的素质不同，部分学生对图像性质掌握的不够扎实，在实际应用的时候不能做到得心应手。
而我只是在后面的习题竞赛中简单的体现分层，对于提问中的分层，习题中的分层还是做的不够好，这说明我对于分层教学的这种方法还是有待于进一步的提高，应该真正的站在学生的角度来分层。
人教版九年级数学上册第22章二次函数全章复习1优秀教学案例
5.教学策略灵活多样：本案例结合学科特点和学生的实际情况，采用多种教学策略，如情景创设、问题导向、小组合作等，使教学过程丰富多样，提高学生的学习兴趣和参与度。同时，教师注重个体差异，针对不同程度的学生制定不同的教学策略，使他们在学习过程中都能得到有效的提升。
3.注重学生的个体差异，针对不同程度的学生制定不同的评价标准；
4.鼓励学生自我评价和相互评价，培养他们的自我意识和团队精神；
5.定期进行课堂评价和学业评价，及时调整教学策略，提高教学效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示一些与二次函数相关的实际问题，如抛物线运动的轨迹、物体运动的最高点等，激发学生的学习兴趣；
在二次函数的复习中，我首先引导学生回顾二次函数的基本概念、性质和图象，使他们能够清晰地了解二次函数的构成和特点。接着，我通过设计一些具有代表性的例题，让学生掌握二次函数的求解方法和应用技巧。同时，我还注重培养学生的数学思维能力，引导他们从不同的角度去分析和解决问题。
在教学过程中，我充分关注学生的个体差异，针对不同程度的学生制定不同的教学策略，使他们在复习过程中都能得到有效的提升。对于学有余力的学生，我引导他们深入研究二次函数的拓展问题，提高他们的学科素养；对于基础薄弱的学生，我则耐心地帮助他们巩固基础知识，提高他们的学习信心。
2.通过展示二次函数图象，让学生观察和分析图象的形状、变化规律，引导他们发现二次函数的性质；
3.教授二次函数的求解方法，如配方法、公式法等，并通过例题让学生掌握求解技巧；
初中数学(4)--函数(2)--反比例函数与二次函数
6．（2005 徐州） 已知正比例函数 1).求这两个函数关系式.
y k1 x 与反比例函数 y
k2 x
的图象都经过点(2，
7． （2004 贵阳）如图，一次函数
y ax b 的图象与反比例函数 y
k 的图象交于 M 、 N 两点 . x
17 已知关于ｘ的一次函数ｙ＝（ｍ－１）ｘ＋７，如果ｙ随ｘ的增大而减小，则ｍ的取值范围是 18 某乡粮食总产值为ｍ吨，那么该乡每人平均拥有粮食ｙ（吨） ，与该乡人口数ｘ的函数关系式是 19、函数ｙ＝ ｘ－５ 中，自变量ｘ的取值范围 (Ａ)ｘ＞５ (Ａ)第一象限 (Ａ)０ (Ｂ)ｘ＜５
２
（ （
） (Ｄ)ｘ≥５ ） (Ｄ) 第四象限 （ ） ） （D） （3，－5）
y O
3/5
y x O x
y O x
y O x
数学复习
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By fangjiyong
y 4． （2005 安徽）任意写出一个图象经过二、 四象限的反比例函数的解析式:__________ M（2，m） O N（-1，-4） x
k 2 5． （2005 苏州）已知反比例函数 y ，其图象在第一、第三象限内，则 k 的值 x
28．某幢建筑物，从 10 米高的窗口 A 用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平 面与墙面垂直， （如图）如果抛物线的最高点 M 离墙 1 米，离地面 距离 OB 是（ （A）2 米 ） （B）3 米 （C）4 米 （D）5 米 40 米，则水流下落点 B 离墙 3
29．求下列函数的最大值或最小值． （1）
x1 x2 2 y1 y2 2
2、函数平移规律（中考试题中，只占 3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮 助，可以大大节省做题的时间）左加右减、上加下减 随堂练习：
九年级数学二次函数反比例函数复习教案
教学目标：1.了解二次函数的一般式、顶点式和描绘二次函数的图像。
2.理解反比例函数的定义、性质和图像。
3.能够根据二次函数和反比例函数的特点，解决实际问题。
教学重点：1.理解二次函数的一般式和顶点式。
2.能够根据顶点式和一般式描绘二次函数的图像。
3.掌握反比例函数的定义、性质和图像。
教学难点：1.二次函数图像的描绘。
2.反比例函数的理解和应用。
教学过程：Step 1：引入新知识（5分钟）教师通过提问引导学生回顾二次函数和反比例函数的定义和性质。
例如：1. 二次函数是指函数的形式为 $y=ax^2+bx+c$ 的函数，其中$a\neq0$。
请问二次函数的图像是什么形状？2. 反比例函数是指函数的形式为 $y=\frac{a}{x}$ 的函数，其中$a\neq0$。
请问反比例函数的特点是什么？Step 2：二次函数的一般式与顶点式（20分钟）教师给出二次函数的一般式 $y=ax^2+bx+c$，并解释其中每个参数的含义。
然后，引入二次函数的顶点式 $y=a(x-h)^2+k$，并解释其中的参数含义。
学生通过观察二次函数的图像，了解二次函数的顶点的坐标是$h$ 和 $k$，进一步掌握二次函数的顶点式。
教师通过讲解和示例，引导学生将一个二次函数从一般式转换为顶点式，或者从顶点式转换为一般式。
然后，给学生一些练习题进行巩固。
Step 3：二次函数的图像描绘（30分钟）教师通过例题和图像展示，引导学生了解二次函数的图像特点。
例如，当$a>0$时，二次函数的图像开口向上；当$a<0$时，二次函数的图像开口向下。
根据二次函数的顶点位置和开口方向，学生能够描绘出二次函数的图像。
教师给出一些具体的二次函数，引导学生根据函数的顶点和开口方向，描绘出对应的图像。
然后，学生进行练习并相互批改。
Step 4：反比例函数的定义和图像（20分钟）教师给出反比例函数的定义 $y=\frac{a}{x}$，并解释其中的参数含义。
专题二次函数与反比例函数 题型考查-解析版
专题二次函数与反比例函数题型考查【题型-思维导图】◎题型一二次函数的概念例1．（2019·全国九年级单元测试）下列函数关系中是二次函数的是（）A．正三角形面积S与边长a的关系B．直角三角形两锐角A与B的关系C．矩形面积一定时，长y与宽x的关系D．等腰三角形顶角A与底角B的关系【答案】A【分析】根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可．【详解】A. 关系式为：s=2，故本选项正确；B. 关系式为：∠A=90−∠B，故本选项错误；C. 关系式为：x=sy，故本选项错误；D. 关系式为：∠A=180−2∠B，故本选项错误；故选A. ． 【点睛】 二次函数的定义．练习1．（2020·大庆市第六十九中学八年级期中）下列问题中，是正比例函数的是（ ） A ．矩形面积固定，长和宽的关系 B ．正方形面积和边长之间的关系C ．三角形的面积一定，底边和底边上的高之间的关系D ．匀速运动中，速度固定时，路程和时间的关系 【答案】D 【详解】解：A 、∠S=ab ，∠矩形的长和宽成反比例，故本选项错误； B 、∠S=a 2，∠正方形面积和边长是二次函数，故本选项错误；C 、∠S=12ah ，∠三角形的面积一定，底边和底边上的高是反比例关系，故本选项错误；D 、∠S=vt ，∠速度固定时，路程和时间是正比例关系，故本选项正确． 故选D ． 【点睛】本题考查正比例函数的定义．练习2．（【新东方】初中数学1254初三上）下列函数中，是二次函数的是（ ） A ．21y x =B ．1y x=C ．221y x x =--D ．2y x =+【答案】C 【分析】根据二次函数的定义逐一进行判断． 【详解】解：A 、B 等式的右边不是整式，不是二次函数，故A 、B 错误； C 、符合二次函数的定义，故本选项正确；D 、自变量的最高次数为1次，因而不是二次函数，故本选项错误； 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，要知道：形如y =ax 2+bx +c （其中a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项．x 为自变量，y 为因变量．等号右边自变量的最高次数是2．练习3．（2021·安徽九年级期中）下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．31y x =-B ．21y x =C ．231y x x =+-D ．212y x x=+【答案】C 【分析】根据二次函数的定义：形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数求解可得． 【详解】解：A 、y =3x -1是一次函数，不符合题意； B 、21y x =中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意； C 、y =3x 2+x -1是二次函数，符合题意；D 、212y x x=+中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．◎题型二 二次函数的图像和性质 第一种y ＝ax ²例1．（2020·江苏南通市·九年级期中）抛物线2y x 的顶点坐标为（ ）A ．()0,1B ．()1,0-C ．()1,0D ．()0,0【答案】D 【分析】根据抛物线的顶点式即可得到答案． 【详解】解：二次函数y ＝x 2的图象的顶点坐标为（0，0）． 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．练习1．（2020·泰兴市洋思中学九年级期中）二次函数y ＝2x 2的顶点坐标是（ ） A ．（﹣2，0） B ．（2，0）C ．（0，2）D ．（0，0）【答案】D【分析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标． 【详解】 ∠y ＝2x 2，∠顶点坐标为（0，0）， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，直接运用二次函数的顶点式直接得到顶点坐标． 练习2．（2020·太平乡初级民族中学九年级月考）抛物线y =-2x 2的对称轴是（ ） A ．直线x =12 B ．直线x =-12 C ．直线x =0 D ．直线y =0 【答案】C 【分析】抛物线y=-2x 2的对称轴是y 轴，即直线x=0． 【详解】解：对称轴为y 轴， 即直线x=0． 故选C ． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：y=a （x-h ）2+k ，顶点坐标为（h ，k ）．练习3．（2020·长春市新朝阳实验学校九年级月考）二次函数212y x =-图像的开口方向是（ ）． A ．向上 B ．向下 C ．向左 D ．向右【答案】B 【分析】根据二次函数中二次项系数的符号判断，即可完成求解． 【详解】∠212y x =-的二次项系数为12-∠二次函数212y x =-图像的开口向下故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，即可完成解题．第二种y ＝ax ²＋k例1．（2020·浙江九年级月考）下列各点中，在抛物线24y x =-上的是（ ） A ．()1,3 B ．()1,3-- C ．()1,5- D ．()1,5--【答案】B 【分析】分别把x=±1代入抛物线解析式，计算对应的函数值，然后进行判断． 【详解】解：∠当x=-1时，y=x 2-4=-3； 当x=1时，y=x 2-4=-3；∠点（-1，-3）在抛物线上，点（1，3）、（1，-5）、（-1，-5）都不在抛物线上． 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足二次函数的解析式．练习1．（2019·涡阳县王元中学九年级月考）抛物线y ＝-3x 2＋4的开口方向和顶点坐标分别是（ ）． A ．向下，（0，-4） B ．向下，（0，4） C ．向上，（0，4） D ．向上，（0，-4）【答案】B 【分析】根据二次函数的性质分析，即可得到答案． 【详解】 抛物线y ＝-3x 2＋4 ∠30-<∠抛物线y ＝-3x 2＋4开口向下当0x =时，y ＝-3x 2＋4取最大值，即y ＝4 ∠顶点坐标为()0,4【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解． 练习2．（2020·湖州市吴兴区城南实验学校九年级月考）二次函数21y x =--的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ） A ．开口向上B ．对称轴是1x =C ．当0x =时，函数的最大值是1-D ．抛物线与x 轴有两个交点【答案】C 【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：10,a =-＜ 所以图像的开口向下，故A 错误， 抛物线的对称轴是y 轴，故B 错误，当0x =时，函数的最大值是1-，故C 正确， 由图像可知：抛物线与x 轴没有交点，故D 错误， 故选C ． 【点睛】本题考查的是二次函数的基本性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 练习3．（2020·广西九年级其他模拟）抛物线221y x =-+的对称轴是（ ） A ．直线12x = B ．y 轴C ．直线12x =-D ．直线1x =【答案】B 【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标及对称轴． 【详解】∠抛物线221y x =-+的顶点坐标为（0，1）， ∠对称轴是直线x ＝0，即：y 轴， 故选：B ． 【点睛】主要考查了求抛物线的顶点坐标与对称轴的方法．第三种y ＝a(x －h ）²例1．（2019·福建省福州屏东中学九年级期中）抛物线y=2(x-1)2-6的对称轴是直线( ) A ．x=1B ．x=12C ．x=-1D ．x=-6【分析】顶点式解析式的对称轴为x=h ，即可得到答案. 【详解】 ∠y=2(x-1)2-6， ∠对称轴为x=1， 故选：A. 【点睛】此题考查二次函数的性质，熟记函数解析式的几种形式，特点，各字母代表的含义，并熟练运用解题是关键.练习1．（2020·龙岩市第五中学九年级一模）抛物线()21y x =+的对称轴是（ ） A ．直线1y =- B ．直线1y = C ．直线1x =- D ．直线1x =【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点式的解析式，可得二次函数的顶点坐标，从而得出其对称轴，可得答案. 【详解】解：∠抛物线()21y x =+的顶点坐标为（-1，0）， ∠抛物线的对称轴是直线x=-1. 故答案为：C. 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，根据二次函数顶点式的解析式可直接得出其对称轴，若二次函数的解析式为一般式，可利用对称轴公式来求解.练习2．（2020·吉林长春市·九年级期末）在平面直角坐标系中，若点M 在抛物线y ＝（x ﹣3）2﹣4的对称轴上，则点M 的坐标可能是（ ） A ．（1，0） B ．（3，5）C ．（﹣3，﹣4）D ．（0，﹣4）【答案】B 【分析】由抛物线解析式可求得其对称轴，则可求得M 点的横坐标，可求得答案． 【详解】∠y ＝（x ﹣3）2﹣4， ∠抛物线对称轴为x ＝3， ∠点M 在抛物线对称轴上，∠点M 的横坐标为3， 故选：B ． 【点睛】本题考查了抛物线对称轴的概念，熟知抛物线的顶点式()2y x k h =-+，顶点坐标为()k h ，，对称轴为直线x k =.练习3．（2019·全国九年级单元测试）把二次函数241y x x =-+化成()2y a x m k =++的形式是（ ）. A ．()221y x =-+ B ．()221y x =-- C ．()223y x =-+ D ．()223y x =--【答案】D 【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可． 【详解】 y ＝x 2−4x ＋1 ＝x 2−4x ＋4−3 ＝（x−2）2−3， 故选：D ． 【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．第四种y ＝a(x －h ）²＋k例1．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级期末）二次函数y ＝（x ＋3）2﹣5的顶点坐标是（ ） A ．（3，﹣5） B ．（﹣3，﹣5） C ．（﹣3，5） D ．（3，5）【答案】B 【分析】根据顶点式可直接写出顶点坐标． 【详解】解：∠抛物线解析式为y ＝（x ＋3）2﹣5， ∠二次函数图象的顶点坐标是（﹣3，﹣5）． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知顶点式的特点．练习1．（2021·江苏九年级二模）下列函数中，①2y x =；①2y x =-；①2y x =-；①268y x x =++．函数图像经过第四象限的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】结合函数的图象与性质逐个分析即可； 【详解】∠2y x =是一次函数，经过一三象限，不符合题意； ∠2y x =-是一次函数，经过一二四象限，符合题意； ∠2y x=-是反比例函数，经过二四象限，符合题意；∠268y x x =++二次函数，经过一二三象限，不符合题意； 函数图像经过第四象限的有2个； 故选B ． 【点睛】本题综合考查一次函数、反比例函数、二次函数的图像，结合函数的图象与性质是解题的关键．练习2．（2021·黑龙江九年级二模）抛物线y ＝5（x ﹣6）2﹣2的顶点坐标是（ ） A ．（6，2） B ．（6，﹣2） C ．（﹣6，2） D ．（﹣6，﹣2）【答案】B 【分析】根据题目中抛物线的解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决． 【详解】解：∠抛物线y ＝5（x ﹣6）2﹣2， ∠该抛物线的顶点坐标为（6，﹣2）， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的顶点坐标，掌握函数y ＝a （x ﹣m ）2+k （a ≠0）图像的顶点坐标为（m ，k )是解题的关键．练习3．（2020·四川泸县五中九年级一模）抛物线()2213y x =-+的顶点坐标是（ ） A ．()1,3- B ．()1,3 C ．()2,1- D ．()2,3【答案】B【分析】根据抛物线的顶点式可以得到答案 ． 【详解】解：由抛物线的顶点式可以得到y =2(x −1)2+3 的顶点坐标是（1，3）， 故选B ． 【点睛】本题考查抛物线的应用，熟练掌握抛物线的顶点式是解题关键．第五种y ＝ax ²＋bx ＋c例1．（2020·上海市曹杨二中附属江桥实验中学九年级期中）如果二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，那么（ ）A ．a 0,b 0,c 0<>>B ．0,0,0a b c >>>C ．0,0,0a b c ><<D ．0,0,0a b c >><【答案】C 【分析】首先根据开口方向确定a 的符号，再依据对称轴和a 的符号即可判断b 的符号，然后根据与y 轴的交点即可判断c 的正负，由此得出答案即可． 【详解】解：∠图象开口方向向上， ∠a ＞0；∠图象的对称轴在y 轴的右边上， ∠2ba-＞0， ∠a ＞0， ∠b ＜0；∠图象与y 轴交点在y 轴的负半轴上， ∠c ＜0；∠a ＞0，b ＜0，c ＜0． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，运用了数形结合思想．练习1．（2020·华晨外国语学校九年级期中）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）A ．a>0B ．b>0C ．c<0D ．b 2-4ac >0【答案】B 【分析】根据抛物线的图像可判断各字母的符号，再根据与x 轴交点可判断b 2-4ac 的符号． 【详解】 解：由图可知：抛物线开口向上，则a ＞0，故A 不符合； 抛物线对称轴在y 轴右侧，则b ＜0，故B 符合； 抛物线与y 轴交于负半轴，则c ＜0，故C 不符合； 抛物线与x 轴有两个交点，则b 2-4ac>0，故D 不符合； 故选B ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数个数∠决定：∠=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；∠=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；∠=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．练习2．（2020·昆明市官渡区第一中学九年级月考）如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，对称轴为12x =，且经过点(2,0)．下列说法：①0abc <；① 20b c -+=；①240b ac -<；①若15(,)2y -，25(,)2y 是抛物线上的两点，则12y y <．其中说法正确的是（ ）A ．①①①B ．①①C ．①①D ．①①【答案】A 【分析】利用抛物线开口方向得到a ＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b=-a ＞0，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴上方得到c ＞0，则可对∠进行判断；利用抛物线经过点（2，0）得到4a+2b+c=0，同时得到c=-2a ，加上b=-a ，则可对∠进行判断；利由抛物线与x 轴有两个交点结合根的判别式，即可得出b 2-4ac ＞0，，则可对∠进行判断；通过比较点（-52，y 1）到直线x=12的距离与点（52，y 2）到直线x=12的距离的大小可对∠进行判断．【详解】解：∠抛物线开口向下， ∠a ＜0，∠抛物线的对称轴为直线x=2b a -=12， ∠b=-a ＞0，∠抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∠c ＞0，∠abc ＜0，所以∠正确； ∠抛物线经过点（2，0）， ∠4a+2b+c=0， ∠c=-2a ，∠-2b+c=2a-2a=0，所以∠正确； ∠抛物线与x 轴有两个交点， ∠∠=b 2-4ac ＞0，所以∠错误； ∠点（52-，y 1）到直线x=12的距离比点（52，y 2）到直线x=12的距离大，∠y 1＜y 2；所以∠正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，观察二次函数图象，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．练习3．（2021·长葛市教学研究室九年级一模）如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，下列结论：①0ac >，①20a b +>，①24ac b <，①0a b c ++<，①当0x >时，y 随x 的增大而减小； 其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：∠由图象可知：c ＞0，a ＜0， ∠ac ＜0，故∠错误； ∠由于对称轴可知：12ba-<, ∠2a ＋b<0，故∠错误；∠由于抛物线与x 轴有两个交点， ∠∠＝b 2−4ac ＞0，故∠正确；∠由图象可知：x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＞0， 故∠错误； ∠当0＜x ＜2ba-时，y 随着x 的增大而增大，故∠错误； 故选：A. 【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．◎题型三 二次函数图像和系数的关系例1．（2020·昆明市官渡区第一中学九年级月考）如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，对称轴为12x =，且经过点(2,0)．下列说法：①0abc <；① 20b c -+=；①240b ac -<；①若15(,)2y -，25(,)2y 是抛物线上的两点，则12y y <．其中说法正确的是（ ）A ．①①①B ．①①C ．①①D ．①①【答案】A 【分析】利用抛物线开口方向得到a ＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b=-a ＞0，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴上方得到c ＞0，则可对∠进行判断；利用抛物线经过点（2，0）得到4a+2b+c=0，同时得到c=-2a ，加上b=-a ，则可对∠进行判断；利由抛物线与x 轴有两个交点结合根的判别式，即可得出b 2-4ac ＞0，，则可对∠进行判断；通过比较点（-52，y 1）到直线x=12的距离与点（52，y 2）到直线x=12的距离的大小可对∠进行判断．【详解】解：∠抛物线开口向下， ∠a ＜0，∠抛物线的对称轴为直线x=2b a -=12， ∠b=-a ＞0，∠抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∠c ＞0，∠abc ＜0，所以∠正确； ∠抛物线经过点（2，0）， ∠4a+2b+c=0， ∠c=-2a ，∠-2b+c=2a-2a=0，所以∠正确； ∠抛物线与x 轴有两个交点， ∠∠=b 2-4ac ＞0，所以∠错误； ∠点（52-，y 1）到直线x=12的距离比点（52，y 2）到直线x=12的距离大，∠y 1＜y 2；所以∠正确．故选：A．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，观察二次函数图象，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．练习1．（2020·辽宁九年级月考）在同一直角坐标系中，a≠0，函数y＝ax与y＝ax2的图象可能正确的有（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】分a＞0和a＜0时，分别判断两函数的图象即可求得答案．【详解】解：当a＞0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而增大，函数y＝ax2开口向上，故∠正确，∠错误；当a＜0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而减小，函数y＝ax2开口向下，故∠不正确，∠正确；∠两函数图象可能是∠∠，故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和二次函数的图象，掌握一次函数的图象和二次函数的图象是解题的关键.练习2．（2021·山东九年级期末）一次函数y=ax+b和反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【详解】解：由图可知：a 0,b 0,c 0<>>，所以，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下，排除D ，由c ＞0，排除A ，对称轴2bx a=-＞0，所以，排除B ， 故选C ． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数、反比函数的图象及其性质．练习3．（2020·郁南县蔡朝焜纪念中学九年级月考）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，与x 轴的一个交点坐标为()4,0，抛物线的对称轴是1x =．下列结论中：①0abc <；①20a b +=；①0a c +>；①若点(),A m n 在该抛物线上，则2am bm c a b c ++≤++．①方程24ax bx c ++=有两个不相等的实数根；其中正确的有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，最大值（最小值）以及对称性综合判断得出答案． 【详解】解：抛物线开口向下，则a ＜0，对称轴在y 轴的右侧，a 、b 异号，所以b ＞0，抛物线与y 轴交在正半轴，c ＞0， ∠abc ＜0，故∠正确， 抛物线的对称轴是x=1即2ba-=1，则b=-2a ，故2a+b=0，故∠正确； ∠x=2ba-=1，即b=-2a ， 而x=4时，y=0，即16a+4b+c=0，∠8a+c=0，c=-8a ， ∠a+c=a-8a=-7a ， ∠a ＜0，∠-7a ＞0，即a+c ＞0， 所以∠正确；∠当x=1时，该函数取得最大值，此时y=a+b+c ，∠点A （m ，n ）在该抛物线上，则am 2+bm+c≤a+b+c ，故正∠确； ∠由图象可得，抛物线的顶点坐标为（1，4）， ∠直线y=4与抛物线只有一个交点，∠一元二次方程ax 2+bx+c=4有相等的实数根，故∠错误； 故选：B ． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．◎题型四 二次函数的对称例1．（2020·浙江杭州市·九年级期末）已知函数2y ax =的图象经过点P(-1,4)，则该图象必经过点( ) A ．(1,4) B ．(-1，-4) C ．(-4,1) D ．(4，-1)【答案】A 【解析】 【分析】把P 点坐标代入二次函数解析式可求得a 的值，则可求得二次函数解析式，再把选项中所给点的坐标代入判断即可； 【详解】∠二次函数2y ax =的图象经过点P(-1，4)， ∠()24-1a =⨯， 解得a=4，∠二次函数解析式为24y x =； 当x=1或x=-1时，y=4； 当x=4或x=-4时，y=64； 故点(1，4)在抛物线上； 故选A.【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键.练习1．（2020·山西九年级专题练习）抛物线y ＝x 2﹣2x 的对称轴是（ ） A ．直线x ＝﹣2 B ．直线x ＝﹣1 C ．y 轴 D ．直线x ＝1【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解． 【详解】解：抛物线y ＝x 2﹣2x 的对称轴是直线x ＝221--⨯＝1． 故选：D ． 【点睛】本题考查的是二次函数，需要熟记二次函数对称轴的公式.练习2．（2019·湖北襄阳市·九年级期中）抛物线y =-2x 2+12的对称轴是（ ）A ．直线x =12B ．直线x =12-C ．直线x =0D ．直线y =0【答案】C 【分析】若已知抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c(a≠0),可得此函数的对称轴为x=2ba-；结合题意，根据对称轴公式进行计算即可得到答案. 【详解】由已知抛物线可得a=-2,b=0,所以抛物线的对称轴为x=0，故选C. 【点睛】本题考查已知抛物线的解析式、求对称轴的方法，解题的关键是掌握求对称轴的方法. 练习3．（2019·全国九年级单元测试）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a<0)过(－2，0)，(0，0)两点，那么抛物线的对称轴( ) A ．只能是直线x ＝－1 B ．可能是y 轴 C ．是直线x ＝2 D ．在y 轴右侧【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线过（﹣2，0）、（0，0），即可得出抛物线的对称轴为直线x =122x x +，代入即可得解． 【详解】∠抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）过（﹣2，0）、（0，0）两点，∠抛物线的对称轴为直线x =202-+=－1． 故选A ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据纵坐标相等，得出两个点关于对称轴对称是解题的关键．◎题型五 二次函数的最值例1．（2020·广西九年级期中）二次函数22(4)5y x =--+的函数值有（ ）． A ．最大值5 B ．最大值4 C ．最小值5 D ．最小值4【答案】A 【分析】根据二次函数顶点式的特征即可判断. 【详解】∠二次函数22(4)5y x =--+ ∠顶点坐标为（4,5） ∠20a =-<∠当4x =时有最大值5y = 故选A. 【点睛】本题考查的是二次函数顶点式的最值问题，比较基础。
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课题：二次函数及反比例函数复习一、二次函数的知识点 1、二次函数的解析式：（1）一般式： ____________________（2）顶点式：____________________，此时二次函数的顶点坐标为__________ （3）双根式：y=a （x-x 1）（x-x 2）其中x 1、x 2是二次函数与___轴的两个交点的___坐标，此时二次函数的对称轴为直线______________； 2、二次函数的图象与性质：（1）开口方向：当______时，函数开口方向向上；当_______时，函数开口方向向下； （2）对称轴：直线______________ （3）顶点坐标：（____，______）；（4）增减性：当a>0时，在对称轴左侧，y 随着x 的__________；在对称轴右侧，y 随着x 的__________；当a<0时，在对称轴左侧，y 随着x 的______________；在对称轴右侧，y 随着x 的________________；（5）最大或最小值：当_______时，函数有最小值，并且当x=_________，y 最小值=a b ac 442-；当a<0时，函数有___________，并且当x=ab2-，y________=_____________； （6）与X 轴的交点个数：当Δ=b 2-4ac____0时，函数与X 轴有两个不同的交点；Δ=b 2-4ac ___0时，函数与X 轴没有交点；Δ=b 2-4ac ____0时；函数与X 轴只有一个交点； （7）函数值的正、负性：如图1：当_____________时，y ＞ 0；当________时，y ＜0；如图2：当x 1＜x ＜x 2时，y_____0；当x ＜x 1或x ＞x 2时，y ______ 0；（8）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴的交点坐标为A （x 1，0），B （x 2，0） ，则二次函数与X 轴的交点之间的距离AB=________ （9）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0） 中a 、b 、c 的符号判别：①a 的符号判别由________确定：当________时，a ＞0；当______时，a ＜0；②c 的符号判别由与y 轴的交点来确定：若交点在X 轴的上方，则c______；若交点在X 轴的下方，则c______；③b 的符号由对称轴来确定：对称轴在y 轴的左侧，则a 、b____号；若对称轴在y 轴的右侧，则a 、b____号； （10）①二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）与X 轴只有一个交点或二次函数的顶点在X 轴上，则___________；②二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点在Y 轴上或二次函数的图象关于Y 轴对称，则_________；③二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过原点，则_________；(11) 二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）关于x 轴对称的解析式_____________关于y 轴对称的解析式______________________关于原点对称的解析式__________________ 二、反比例函数的知识点1、反比例函数的解析式：形如____________的形式，那么y 就称为x 的反比例函数．反比例函数的三种不同表达形式：① __________② __________； ③ __________2、反比例函数 xky （k≠0）的图象称为_________________,既是轴对称图形，也是中心对称图形.3、反比例函数的性质：①当k>0时，在每个象限内分别是y 随x 的_______________； ②当k<0 时，在每个象限内分别是y 随x 的_________________．4、过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为 ______。
三、巩固练习 （一）、选择题：1、二次函数y=ax 2+bx+c得a 、b 、c 与零的大小关系是（）A 、a>0,b<0,c>0 B、a>0,b>0,c>0C 、a<0,b<0,c<0 D 、2、开口向上，顶点坐标为（－9,3）的抛物线为（ A 、y=2(x －9)2－3 B 、y=2(x+9)2+3C 、y=－2(x －9)2－3D 、y=－2(x+9)2+33、把函数y=－3x 2的图象沿x 轴向右平移5个单位，得到的图象的解析式为（ ）。
A 、y=－3x 2+5 B 、y=－3x 2－5 C 、y=－3(x+5)2 D 、y=－3(x －5)24、二次函数y=2(x+2)2－1的图象是（ ）。
5、下列函数中,是二次函数的是( )A.y=8x 2+1B.y=8x+1;C.y=8xD.y=28x 6、把函数y=－2x 2的图象沿x 轴对折，得到的图象的解析式为（ ）。
A 、y=－2x 2B 、y=2x 2C 、y=－2(x+1)2D 、y=－2(x －1)27、下列四个函数中，y 随x 增大而减小的是（ ）x/元AB CA 、y=2xB 、y=－2xC 、y=x 2D 、 y=－x 28、二次函数y=a(x －1)2+c 的图象如右下图所示，则直线y=－ax －c 不经过（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限9、由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次二函数y=ax2+bx+c 的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称。
”根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是（A 、过点（3,0） B、顶点是(2,－C 、在x轴上截得的线段长是2 D 、与y 轴的交点是10、抛物线的形状、开口方向与y=12x 2-4x+3相同,顶点在(-2,1),则关系式为( ) A.y=12(x-2)2+1 B.y=12(x+2)2-1; C.y=12(x+2)2+1 D.y=-12(x+2)2+111、如下左图，抛物线顶点坐标是P(1,3)，则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）。
A 、x>3 B 、x<3 C 、12、已知二次函数y=ax 2+bx+c ）A 、ac>0B 、b<0C 、b 2－4ac<0 D 、2a+b=013、如果二次函数y=－x 2－2x+c 的图象在x 轴的下方，则c 的取值范围为（ ） A 、c<－1 B 、c ≤－1 C 、c<0 D 、c<1 14、二次函数y=x 2－4x+3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，则△ABC 的面积是（ ） A 、6 B 、4 C 、3 D 、1 15、二次函数y=x 2+10x －5的最小值为（ ）A 、－35B 、－30C 、－5D 、2016、圆的面积S 与其半径r 的函数关系用图象表示大致是（ ）17、在函数①y=3x 2 ；②y=21x 2+1 ；③y=－34x 2－3 中，图象开口大小按题号顺序表示为（ ）A 、①>②>③B 、①>③>②C 、②>③>①D 、②>①>③ 18、抛物线y=x 2+3x 的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 19、抛物线y=-3x 2+2x-1的图象与x 轴交点的个数是( )A.没有交点B.只有一个交点C.有两个交点D.有三个交点x x ys(A)(B) r (C) r (D)20、二次函数y=4x 2-mx+5,当x<-2时,y 随x 的增大而减少;当x>-2时,y 随x 的增大而增大,则当x=1时,y 的值为( ) A.-7 B.1 C.17 D.25 21、如图所示,二次函数y=x 2-4x+3的图象交x 轴于A 、B 两点, 交y 轴于点C, 则△ABC 的面积为( )A.6B.4C.3D.122、二次函数y=ax2+bx+c 的值永远为负值的条件是( ) A.a>0,b 2-4ac<0 B.a<0,b 2-4ac>0 C.a>0,b 2-4ac>0 D.a<0,b 2-4ac<023、已知二次函数y=ax 2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( )24、关于函数y=2x 2-8x,下列叙述中错误的是( )A.函数图象经过原点B.函数图象的最低点是(2,-8)C.函数图象与x轴的交点为(0,0),(4,0) D.函数图象的对称轴是直线x=-2 25、二次函数y=m 2x 2-4x+1有最小值-3,则m 等于( ) A.1 B.-1 C.±1 D.±1226、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则点P(a,cb)所在的象限是( )A.一B.二C.三D.四27、如图所示,当b<0时,函数y=ax+b 与y=ax 2+bx+c 在同一坐标系内的象可能是( )28、抛物线y=2(x+3)(x-1)的对称轴的方程是( ) A. x=1 B. x=-1 C. x=12D. x=-229、下列判断中唯一正确的是( )A.函数y=ax 2的图象开口向上,函数y=-ax 2的图象开口向下 B.二次函数y=ax 2,当x<0时,y 随x 的增大而增大C.y=2x 2与y=-2x 2图象的顶点、对称轴、开口方向、开口大小完全相同D.抛物线y=ax 2与y=-ax 2的图象关于x 轴对称 30、抛物线y=12x 2-6x+24的顶点坐标是( )A.(-6,-6)B.(-6,6);C.(6,6)D.(6,-6)31、一个二次函数的图象经过点A(0,0),B(-1,-11),C(1,9)三点,则这个二次函数的关系式是( )A.y=-10x 2+xB.y=-10x 2+19xC.y=10x 2+xD.y=-x 2+10x （二）、填空题x B A C y O C x A y O x B y O xC y O xD y O xOy32、用长与宽分别是6cm 、8 cm 的矩形纸片剪下一个边长为x cm 的正方形后，剩余部分的面积S 与x 之间的关系式为 ，其中S 是x 函数。
33、某种商品的价格为5元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x ，经过两次降价后的价格y （单位：元）随每次降价的百分率x 的变化而变化，则y 与x 之间的关系式为 。
34、抛物线y=－3x 2的对称轴是 ，顶点是 ，开口 ，顶点是最点，与x 轴的交点为 。