高一数学(下)《三角函数定义》课后小练(2)—优享文档
(2021年整理)高一必修四三角函数练习题及答案
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三角函数练习题1.sin(1560)-的值为（ ）A 12- B 12 C -D2。
如果1cos()2A π+=-，那么sin()2A π+=（ )A 12-B 12C D3.函数2cos()35y x π=-的最小正周期是 （ ）A 5πB 52π C 2π D 5π4。
轴截面是等边三角形的圆锥的侧面展开图的中心角是 （ ）A 3πB 23πC πD 43π5.已知tan100k =,则sin80的值等于 （ ）AB C k D k -6。
若sin cos αα+=则tan cot αα+的值为 （ )A 1-B 2C 1D 2-7。
下列四个函数中，既是(0,)2π上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ )A sin y x =B |sin |y x =C cos y x =D |cos |y x =8.已知tan1a =，tan 2b =，tan3c =，则 ( ）A a b c <<B c b a <<C b c a <<D b a c <<9.已知1sin()63πα+=,则cos()3πα-的值为( )A 12 B 12- C 13 D 13-10。
θ是第二象限角，且满足cos sin 22θθ-=2θ（ ）A 是第一象限角B 是第二象限角C 是第三象限角D 可能是第一象限角，也可能是第三象限角11。
高一数学下期《三角函数基础》课后小练(4)—优享文档
高一数学下期《三角函数基础》课后小练（4）1．给出下列各函数值： ①； ②；③ ； ④ .其中符号为负的有（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④2.α是第二象限角，其终边上一点P （x ，5），且cos α＝42x ，则sin α的值为（ ） A ．410B ．46C ．42D ．－410)(,3cos 2cos 3sin 2sin 3. ==x x x x x(A)10π(B)6π (C)5π(D)4π6.已知α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，cos(α－π4)＝35，sin(3π4＋β)＝513，求sin(α＋β)的值2.若函数cos()3y x πω=+(0)ω>的图象相邻两条对称轴间距离为2π，则ω等于（ ） A ．12B ．12C ．2D ．43.将函数sin()()6yx x R π=+∈的图象上所有的点向左平行移动4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为A ．5sin(2)()12y x x R π=+∈ B ．5sin()()212x y x R π=+∈C ．sin()()212x y x R π=-∈D ．5sin()()224x y x R π=+∈ 5.将函数sin y x =的图象向左平移(02)ϕϕπ≤≤个单位后，得到函数sin()6yx π=-的图象，则ϕ等于（ ）A.6πB.76πC.116πD.56π6.函数x x y 2cos 32sin -= )66(ππ≤≤-x 的值域为A. []2,2-B. []0,2-C. []2,0D. ]0,3[-7.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是 （ ）A ．B ．C. D.16、函数)62sin(5π+=x y 的图象经过下列平移变换，就可得到函数y=5sin2x（ ）A 、向右平移6πB 、向左平移6πC 、向右平移12πD 、向左平移12π1、已知：a x x x f ++=2sin 3cos 2)(2（∈a R ，a 为常数）． （1）若R x ∈，求f （x ）的最小正周期；（2）若0[∈x ，]2π时，f （x ）的最大值为4，求a 的值．3.已知函数f(x)=sin 2x+3xcosx+2cos 2x,x ∈R.（I ）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x ∈R)的图象经过怎样的变换得到？。
三角函数定义知识点及例题[练习与答案]超强推荐
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三角函数的定义专题关键词： 三角函数的定义 终边 弧长公式 扇形面积 同角的基本关系 学习目标： 理解角的概念，掌握同角三角函数基本关系☆ 对角的概念的理解：（1）无界性 R ∈α 或 ),(+∞-∞ （2）周期性（3）终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
（答：25-；536π-）（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Zπαπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Zπα=∈.如α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。
（答：Zk k ∈+,32ππ）☆ 角与角的位置关系的判断 （1） 终边相同的角 （2） 对称关系的角（3） 满足一些常见关系式的两角例如：若α是第二象限角，则2α是第_____象限角 ：一、三）☆ 弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈.例如：已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
（答：22cm ）☆ 三角函数的定义：高中阶段对三角函数的定义与初中的定义从本质上讲不同。
但既有联系，又有区别。
定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。
(word完整版)高中数学三角函数习题及答案(2021年整理)
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第一章 三角函数一、选择题 1．已知为第三象限角，则2α所在的象限是( ）． A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限2．若sin θcos θ＞0,则θ在（ ）． A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限D ．第二、四象限3．sin3π4cos 6π5tan ⎪⎭⎫⎝⎛3π4－＝( )． A ．－433 B ．433 C ．－43 D ．43 4．已知tan θ＋θtan 1＝2，则sin θ＋cos θ等于( ）． A ．2B ．2C ．－2D ．±25．已知sin x ＋cos x ＝51（0≤x ＜π），则tan x 的值等于( ）． A ．－43B ．－34C ．43D ．346．已知sin ＞sin ，那么下列命题成立的是( )．A ．若，是第一象限角,则cos ＞cosB ．若,是第二象限角，则tan ＞tanC ．若，是第三象限角,则cos ＞cosD ．若,是第四象限角，则tan＞tan7．已知集合A ＝｛｜＝2k π±3π2，k ∈Z ｝，B ＝｛|＝4k π±3π2,k ∈Z ｝，C ＝ {γ|γ＝k π±3π2，k ∈Z }，则这三个集合之间的关系为( ）． A ．A ⊆B ⊆C B ．B ⊆A ⊆C C ．C ⊆A ⊆B D ．B ⊆C ⊆A8．已知cos(＋)＝1,sin ＝31，则sin 的值是( ）．A ．31B ．－31C ．322 D ．－322 9．在（0，2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为（ )．A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2π ，4π∪⎪⎭⎫⎝⎛4π5 ，π B ．⎪⎭⎫⎝⎛π ，4πC ．⎪⎭⎫⎝⎛4π5 ，4πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛π ，4π∪⎪⎭⎫ ⎝⎛23π ，4π5 10．把函数y ＝sin x （x ∈R ）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )．A ．y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛3π － 2x ,x ∈RB ．y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛6π ＋ 2x ，x ∈RC ．y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π ＋ 2x ，x ∈RD ．y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛32π ＋ 2x ，x ∈R二、填空题11．函数f （x ）＝sin 2x ＋3tanx 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π4π ，上的最大值是 ．12．已知sin ＝552，2π≤≤π,则tan ＝ ． 13．若sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 2π＝53，则sin ⎪⎭⎫⎝⎛α － 2π＝ ．14．若将函数y ＝tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛4π ＋ x ω(ω＞0)的图象向右平移6π个单位长度后,与函数y ＝tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π ＋ x ω的图象重合,则ω的最小值为 ．15．已知函数f （x ）＝21(sin x ＋cos x ）－21｜sin x －cosx ｜，则f (x ）的值域是 ．16．关于函数f (x )＝4sin ⎪⎭⎫⎝⎛3π ＋ 2x ，x ∈R ，有下列命题：①函数 y = f (x )的表达式可改写为y = 4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π － 2x ;②函数 y = f （x )是以2π为最小正周期的周期函数; ③函数y ＝f （x ）的图象关于点（－6π，0）对称； ④函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－6π对称． 其中正确的是______________．三、解答题17．求函数f （x ）＝lgsin x ＋1cos 2-x 的定义域．18．化简:(1))－()＋(－)＋＋()＋()－(－)＋＋(－αααααα︒︒︒︒180cos cos 180tan 360tan sin 180sin ；(2）)－()＋()－()＋＋(πcos πsin πsin πsin n n n n αααα（n ∈Z )．19．求函数y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛6π － 2x 的图象的对称中心和对称轴方程．20．(1）设函数f (x ）＝xax sin sin ＋(0＜x ＜π），如果 a ＞0，函数f (x ）是否存在最大值和最小值，如果存在请写出最大(小)值；(2)已知k ＜0，求函数y ＝sin 2x ＋k （cos x －1)的最小值．参考答案一、选择题 1．D解析：2k π＋π＜＜2k π＋23π，k ∈Z ⇒k π＋2π＜2α＜k π＋43π，k ∈Z ．2．B解析:∵ sin θcos θ＞0，∴ sin θ，cos θ同号．当sin θ＞0，cos θ＞0时，θ在第一象限；当sin θ＜0，cos θ＜0时，θ在第三象限．3．A解析：原式＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πtan 6πcos 3πsin ＝－433．4．D解析:tan θ＋θtan 1＝θθcos sin ＋θθsin cos ＝θθcos sin 1＝2,sin cos ＝21．(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝2．sin ＋cos ＝±2．5．B解析：由得25cos 2x －5cos x －12＝0． 解得cos x ＝54或－53． 又 0≤x ＜π,∴ sin x ＞0．若cos x ＝54，则sin x ＋cos x ≠51，∴ cos x ＝－53，sin x ＝54，∴ tan x ＝－34． 6．D解析：若 ，是第四象限角，且sin ＞sin ，如图，利⎩⎨⎧1＝cos ＋sin 51＝cos ＋sin 22x x x x用单位圆中的三角函数线确定,的终边,故选D ．7．B解析:这三个集合可以看作是由角±3π2的终边每次分别旋转一周、两周和半周所得到的角的集合．8．B解析：∵ cos （＋）＝1，∴ ＋＝2k π，k ∈Z ． ∴＝2k π－．∴ sin ＝sin(2k π－)＝sin （－)＝－sin ＝－31．9．C解析：作出在（0，2π)区间上正弦和余弦函数的图象,解出两交点的横坐标4π和45π,由图象可得答案．本题也可用单位圆来解．10．C解析:第一步得到函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx 的图象，第二步得到函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x 的图象．二、填空题 11．415． 解析：f （x ）＝sin 2 x ＋3tan x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π4π，上是增函数，f （x ）≤sin 23π＋3tan 3π＝415． 12．－2． 解析:由sin ＝552，2π≤≤πcos ＝－55，所以tan ＝－2．13．53．解析:sin ⎪⎭⎫⎝⎛α ＋ 2π＝53，即cos＝53，∴ sin ⎪⎭⎫⎝⎛α － 2π＝cos＝53．14．21．解析:函数y ＝tan⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＋x ω (ω＞0）的图象向右平移6π个单位长度后得到函数y ＝tan ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＋6π－x ω＝tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛ωω6π－4π＋x 的图象，则6π＝4π－6πω＋k π(k ∈Z ）,ω＝6k ＋21,又ω＞0,所以当k ＝0时，ωmin ＝21．15．⎥⎦⎤⎢⎣⎡221 ，－．解析：f (x ）＝21(sin x ＋cos x )－21｜sin x －cos x |＝⎩⎨⎧)＜()(x x x x x x cos sinsin cos ≥sin cos 即 f （x )等价于min ｛sin x ，cos x }，如图可知，f （x ）max ＝f ⎪⎭⎫⎝⎛4π＝22，f (x )min ＝f (π) ＝－1．16．①③．解析：① f （x )＝4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x ＝4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛--3π22πx＝4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6π2x＝4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π2x ．② T ＝22π＝π，最小正周期为π． ③ 令 2x ＋3π＝k π，则当 k ＝0时，x ＝－6π，∴ 函数f (x ）关于点⎪⎭⎫⎝⎛0 6π－，对称． ④ 令 2x ＋3π＝k π＋2π，当 x ＝－6π时，k ＝－21，与k ∈Z 矛盾．∴ ①③正确． 三、解答题（第15题)17．｛x ｜2k π＜x ≤2k π＋4π，k ∈Z }．解析：为使函数有意义必须且只需⎪⎩⎪⎨⎧-② 0 ≥1 cos 2① ＞0 sin x x先在[0,2π)内考虑x 的取值，在单位圆中,做出三角函数线． 由①得x ∈（0,π），由②得x ∈［0,4π]∪［47π，2π]．二者的公共部分为x ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛4π0，．所以，函数f (x )的定义域为{x ｜2k π＜x ≤2k π＋4π，k ∈Z }． 18．(1)－1;（2) ±αcos 2． 解析：（1）原式＝αααααα cos cos tan tan sin sin －＋－－＝－ααtan tan ＝－1．(2）①当n ＝2k ，k ∈Z 时，原式＝)－()＋()－()＋＋(π2 cos π2sin π2sin π2sin k k k k αααα＝αcos 2．②当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，原式＝])＋－([])＋＋([])＋－([]＋)＋＋([π12 cos π12sin π12sin π12sin k k k k αααα＝－αcos 2．19．对称中心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0 ，12π ＋ 2πk ；对称轴方程为x ＝2πk ＋3π(k ∈Z ）． 解析：∵ y ＝sin x 的对称中心是(k π，0)，k ∈Z ,∴ 令2x －6π＝k π，得x ＝2πk ＋12π． ∴ 所求的对称中心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0 ，12π ＋ 2πk ,k ∈Z ． 又 y ＝sin x 的图象的对称轴是x ＝k π＋2π， ∴ 令2x －6π＝k π＋2π，得x ＝2πk ＋3π． ∴ 所求的对称轴方程为x ＝2πk ＋3π（k ∈Z ）． 20．(1)有最小值无最大值，且最小值为1＋a ； (2）0． 解析：（1) f （x ）＝x a x sin sin ＋＝1＋xa sin ，由0＜x ＜π，得0＜sin x ≤1,又a ＞0，所以当sin x ＝1时，f （x ）取最小值1＋a ；此函数没有最大值．(2）∵－1≤cos x ≤1,k ＜0，∴k（cos x－1）≥0，又 sin2x≥0，∴当 cos x＝1，即x＝2k（k∈Z）时,f(x)＝sin2 x＋k(cos x－1)有最小值f(x）min ＝0．。
(完整版)三角函数定义练习含答案
课时作业3 三角函数的定义时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．下列命题中正确的是( )A ．若cos θ<0，则θ是第二或第三象限角B ．若α>β，则cos α<cos βC ．若sin α＝sin β，则α与β是终边相同的角D ．若α是第三象限角，则sin αcos α>0且cos αtan α<0解析：α是第三象限角，sin α<0，cos α<0，tan α>0，则sin αcos α>0且cos αtan α<0.答案：D2．若sin θ·cos θ<0，则θ在( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限解析：因为sin θcos θ<0，所以sin θ，cos θ异号．当sin θ>0，cos θ<0时，θ在第二象限；当sin θ<0，cos θ>0时，θ在第四象限．答案：D3．若角α的终边经过点P (35，－45)，则sin αtan α的值是( )A.1615 B ．－1615C.1516 D ．－1516解析：∵r ＝(35)2＋(－45)2＝1，∴点P 在单位圆上．∴sin α＝－45，tan α＝－4535＝－43.∴sin αtan α＝(－45)·(－43)＝1615.答案：A4．若角α终边上一点的坐标为(1，－1)，则角α为( )A ．2k π＋π4，k ∈Z B ．2k π－π4，k ∈ZC ．k π＋π4，k ∈Z D ．k π－π4，k ∈Z解析：∵角α过点(1，－1)，∴α＝2k π－π4，k ∈Z .故选B.答案：B5．已知角α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上，则sin αcos α等于() A ．－310 B ．－1010 C.310 D.1010解析：在α终边上取一点P (1，－3)，此时x ＝1，y ＝－3. ∴r ＝1＋(－3)2＝10. ∴sin α＝y r ＝－310，cos α＝x r ＝110 .∴sin αcos α＝－310×110＝－310.答案：A6．函数y ＝sin x ＋lgcos x tan x的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x <2k π＋π2，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 2k π<x <2k π＋π2，k ∈Z C.{}x | 2k π<x <2k π＋π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π－π2<x <2k π＋π2，k ∈Z 解析：要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0 ①cos x >0 ②tan x ≠0 ③由①知：x 的终边在x 轴上、y 轴非负半轴上或第一、二象限内．由②知：x 的终边在第一、四象限或x 轴的正半轴．由③知x 的终边不能在坐标轴上．综上所述，x 的终边在第一象限，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π<x <2k π＋π2，k ∈Z . 答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分)7．用不等号(>，<)填空： (1)sin 4π5·cos 5π4·tan 5π3________0；(2)tan100°sin200°·cos300°________0.解析：(1)∵45π在第二象限，5π4在第三象限，5π3在第四象限，∴sin 4π5>0，cos 5π4<0，tan 5π3<0，∴sin 4π5·cos 5π4·tan 5π3>0.(2)∵100°在第二象限，200°在第三象限，300°在第四象限， ∴tan100°<0，sin200°<0，cos300°>0，∴tan100°sin200°·cos300°>0. 答案：(1)> (2)>8．函数f (x )＝cos x 的定义域为__________________．解析：若使f (x )有意义，须满足cos x ≥0，即2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴f (x )的定义域为{x |2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z }．答案：{x |2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z }9．下列说法正确的有________．(1)正角的正弦值是正的，负角的正弦值是负的，零角的正弦值是零(2)若三角形的两内角α，β满足sin α·cos β<0，则此三角形必为钝角三角形(3)对任意的角α，都有|sin α＋cos α|＝|sin α|＋|cos α|(4)若cos α与tan α同号，则α是第二象限的角解析：对于(1)正角和负角的正弦值都可正、可负，故(1)错．对于(2)∵sin α·cos β<0，又α，β∈(0，π)，∴必有sin α>0，cos β<0，即β∈(π2，π)，∴三角形必为钝角三角形，故(2)对．对于(3)当sin α，cos α异号时，等式不成立．故(3)错．对于(4)若cos α，tan α同号，α可以是第一象限角，故(4)错．因此填(2)．答案：(2)三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分)10．已知角α的终边上一点P 与点A (－3,2)关于y 轴对称，角β的终边上一点Q 与点A 关于原点对称，求sin α＋sin β的值．解：由题意，P (3,2)，Q (3，－2)，从而sin α＝232＋22＝21313， sin β＝－232＋(－2)2＝－21313，所以sin α＋sin β＝0.11．求下列函数的定义域．(1)y ＝cos x ＋lg(2＋x －x 2)；(2)y ＝tan x ＋cot x .解：(1)依题意有⎩⎨⎧ cos x ≥0，2＋x －x 2>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，－1<x <2.取k ＝0解不等式组得－1<x ≤π2，故原函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，π2. (2)因为tan x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }，cot x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π，k ∈Z }，所以函数y ＝tan x ＋cot x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }∪{x |x ∈R ，且x ≠k π，k ∈Z }＝{x |x ∈R ，且x ≠k π2，k ∈Z }．12．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．解：当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P (1,2)，设点P 到原点的距离为r .则r ＝|OP |＝12＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝15＝55， tan α＝21＝2；当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q (－1，－2)．则r ＝|OQ |＝(－1)2＋(－2)2＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝－2－1＝2. 综上所得，当α是第一象限角时，sin α＝255，cos α＝55，tan α＝2； 当α是第三象限角时，sin α＝－255，cos α＝－55，tan α＝2.。
高一第二学期三角函数专题练习
13、已知角α终边上一点坐标P（2sin3，－2cos3）,且 ,则角α=
14、已知边长为4的正三角形的中心为 ，一个半径为8，中心角为 的扇形的顶点与 重合，当扇形绕着 逆时针旋转时，请说明： 与扇形 的重叠部分的面积变化特征：
2、解答题
15.(1)一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，求扇形的弧长以及扇形的面积
6、 则cos =
7、已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos40°)＝_____________
8、已知sin＝，则cos=_____________
9、化简 =____
10、在△ABC中，sin(A+B-C)＝sin(A-B+C)，则△ABC的形状是_____________
11、 ,且 终边不在坐标轴上则tan =
高一数学第二学期三角函数专题练习
1、填空题
1、α=6，则α的终边在第象限
2、已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是____________
3、已知扇形的周长为10cm，圆心角为3rad，则该扇形的面积为
4、A为第二象限角，且 ，则 为第象限角
5、P（x, ）为其终边上一点，且cos = ,则sin 的值是
（1）若x1＝，求x2
（2）过A，B作x轴的垂线，垂足分ห้องสมุดไป่ตู้为C，D，记△AOC及△BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝S2，求tanα的值
(3)已知sinα＋cosα＝－，其中0<α<π，求sinα－cosα的值
18.已知cos(π＋α)＝－，且α是第四象限角，计算：
(1)sin(2π－α)
(2)(n∈Z)
高中数学3.2.1任意角三角函数的定义第二课时同步练习湘教版必修2
8. 答案：
解析： 由三角函数线可知： 2kπ ＋ ≤ x－ ≤２kπ ＋ ，
故 2kπ ＋ ≤ x≤２kπ＋
，k∈ Z.
9. 解： (1) ∵105°， 230°分别为第二、第三象限角， ∴sin 105 °＞ 0，cos 230°＜ 0. ∴sin 105 °· cos 230 °＜ 0.
5. 答案： C 是第一或三象限角．
又
，所以
.
故 是第三象限角，选 C．
6. 答案： － 2＜a＜ 3 解析： 由于 cos α＜ 0 且 sin α＞ 0， 所以 α 是第二象限角，即点 P 在第二象限．
-3-/5
因此
解得－ 2＜a＜ 3.
7. 答案： c＞a＞ b 解析： 如图可知， a=MP， b=OM， c=AT，
.
-2-/5
1. 答案： C
参考答案
解析： 依题意，角 α 是第三象限角，从而 sin α＜ 0， cos α＜ 0，故 sin αcos α＞
0，选 C．
2. 答案： C
解析： 由 sin α ·cos α＞ 0，sin α ＋cos α＜ 0 知 sin α＜ 0 且 cos α ＜ 0，故 α
，在单位圆中角 θ 的正弦线、余弦线、正切线分别是 a， b， c，
则它们的大小关系是 __________ ．
8．满足
的 x 的集合是 __________ ．
9．判定下列各式的符号： (1)sin 105°· cos 230 °；
(2)
；
(3)cos 6 ·tan 6 ；
-1-/5
(4)sin 4 ·
)
A．第一象限 B ．第二象限
数学人教b版高一必修4：1.2.1三角函数的定义作业含解析
双基达标 (限时20分钟)1．计算sin (－1 380°)的值为 ( )．A ．－12 B.12 C ．－32D.32解析 sin(1 380°)＝sin[60°＋(－4)×360°]＝sin 60°＝32. 答案 D2．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( )．A.12 B ．－12 C ．－32D ．－33解析 ∵sin 30°＝12，cos 30°＝32，∴P 点坐标为(1，－3)，∴r ＝2，cos α＝x r ＝12.答案 A3．若α为第二象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝ ( )．A ．1B ．0C ．2D ．－2解析 ∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α＋cos αcos α＝2. 答案 C4．计算5sin 90°＋2cos 0°－3sin 270°＋10cos 180°＝________. 解析 原式＝5×1＋2×1－3×(－1)＋10×(－1)＝0. 答案 05．如果cos x ＝|cos x |，那么角x 的取值范围是________． 解析 ∵cos x ＝|cos x |，∴cos x ≥0，∴2k π－π2≤x ≤2k π＋π2(k ∈Z )． 答案 {x |2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z }6．已知角α终边上一点P (－3，y )(y >0)，且sin α＝34y ，求cos α和tan α的值． 解 sin α＝y 3＋y2＝34y . 由y 3＋y2＝3y 4，解得y ＝213. ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，213，r ＝433. ∴cos α＝－34，tan α＝－73.综合提高 (限时25分钟)7．已知tan x >0，且sin x ＋cos x >0，那么角x 是第________象限角 ( )．A ．一B ．二C ．三D ．四解析 ∵tan x >0，∴x 是第一或第三象限角． 又∵sin x ＋cos x >0，∴x 是第一象限角． 答案 A8．已知角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为 ( )．A ．3B ．－3C ．±3D ．5解析 r ＝16＋b 2，∴cos α＝－b r ＝－35，∴b 2＝9，b ＝±3.又cos α＝－35<0，∴－b <0，b >0，∴b ＝3. 答案 A9．已知角α的终边经过点P (3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则α的取值范围是________．解析 由⎩⎨⎧ cos α≤0，sin α>0，得⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 答案 (－2,3]10．下列函数值：①sin 4，②cos 5，③tan 8，其中函数值为正的是________． 解析 ∵π<4<3π2，∴sin 4<0， ∵3π2<5<2π，∴cos 5>0； ∵5π2<8<3π，∴tan 8<0. 答案 ②11．判断下列各式的符号： (1)sin 340°·cos 265°； (2)sin 4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－234π.解 (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角， ∴sin 340°<0，cos 265°<0，∴sin 340°·cos 265°>0. (2)∵π<4<3π2，∴4 rad 角是第三象限角．∵－234π＝－6π＋π4，∴－234π rad 角在第一象限内，∴sin 4<0，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－234π>0，∴sin 4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－234π<0.12．(创新拓展)已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值． 解 当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P (1,2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5， 得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2； 当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q (－1，－2)，由r ＝|OQ |＝(－1)2＋(－2)2＝5，得sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2.。
三角函数的概念课后习题课件高一下学期数学人教B版
3
3
3
3
（2）任取一个α的值，分别计算sin4α－cos4α，sin2α－cos2α，你又有什么发现？
（3）证明：∀x∈R，sin2x－cos2x＝sin4x－cos4x．
（1）sin4 π cos4 π ＝ 1 ；sin2 π cos2 π ＝ 1．
3
32
3
32
所以 sin4 π cos4 π ＝ sin2 π cos2 π．
x
3π 4
（1）x ＝ π ； 4
（2） x ＝ 3π ． 4
（1）－2．
（2）2．
三角函数的概念
习题8 确定下列式子的符号： （1）tan 125°sin 273°；
（3）sin 5π cos 4π tan 11π ； 45 6
（2）ctaons
108 305
；
cos 5π tan 11π
（4）
三角函数的概念
——课后习题
三角函数的概念
习题1
用根式的形式表示下列各式（a＞0）：
（1）
17π 3
；
（3）
23π 6
；
（2）
21π 4
；
（4）1 500°．
（1）sin ＝
3 ，cos ＝ 1 ，tan ＝
2
2Leabharlann 3．（2）sin ＝ 3 ，cos ＝ 2 ，tan ＝1．
2
2
三角函数的概念
三角函数的概念
习题13 已知角α的终边不在坐标轴上， （1）用cos α表示sin α，tan α；
（2）用sin α表示cos α，tan α．
（2）当α在第一或第四象限时，cos ＝ 1 sin2 ，tan ＝ sin ； 1 sin2
三角函数的概念 高中数学例题课后习题详解
第五章三角函数5．2三角函数的概念例题1.求53π的正弦、余弦和正切值.【答案】53sin 32π=-，51cos 32π=，5tan 3π=【解析】【分析】求出53π的终边与单位圆的交点即可【详解】在直角坐标系中，作53AOB π∠=（如图），易知AOB ∠的终边与单位圆的交点坐标为13,22⎛- ⎝⎭.所以，53sin32π=，51cos 32π=，5tan 3π=.【点睛】本题考查的是三角函数的定义，较简单.2.如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与原点O 重合）的坐标为(,)x y ，点P 与原点的距离为r ，求证：sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=.【答案】见解析【解析】【分析】设角α的终边与单位圆交于点()000,P x y ，分别过点P ，0P 作x 轴的垂线PM ，00P M ，垂足分别为M ，0M ，利用00OMP OM P 即可证明.【详解】如图，设角α的终边与单位圆交于点()000,P x y .分别过点P ，0P 作x 轴的垂线PM ，00P M ，垂足分别为M ，0M ，则000P M y =，||||PM y =，00OM x =，||||OM x =，因为00OMP OM P 所以00||1P M PM r=，即0||y y r =.因为0y 与y 同号，所以0y y r =，即sin y r α=.同理可得cos x r α=，tan yxα=【点睛】只要知道角α终边上任意一点P 的坐标，就可以求得角α的各个三角函数值，并且这些函数值不会随P 点位置的改变而改变.3.求证角θ为第三象限角的充要条件是sin 0,tan 0.θθ<⎧⎨>⎩①②【答案】见解析【解析】【分析】根据象限角的定义以及三角函数在各个象限中的符号证明即可【详解】因为角θ为第三象限角所以sin 0θ<，tan 0θ>反过来：由sin 0θ<得222,k x k k Zππππ+<<+∈由tan 0θ>得,2k x k k Z πππ<<+∈所以322,2k x k k Z ππππ+<<+∈所以角θ为第三象限角所以角θ为第三象限角的充要条件是sin 0,tan 0.θθ<⎧⎨>⎩①②【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，象限角的定义以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．4.确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证：（1）cos 250︒；（2）sin 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）()tan 672︒-；（4）tan 3π.【答案】（1）cos 2500︒<；（2）sin 04π⎛⎫-< ⎪⎝⎭；（3）()tan 6720︒->；（4）tan 0π=【解析】【分析】判断出每个角所在的象限即可【详解】（1）因为250︒是第三象限角，所以cos 2500︒<；（2）因为4π-是第四象限角，所以sin 04π⎛⎫-< ⎪⎝⎭；（3）因为()()tan 672tan 482360tan 48︒︒︒︒-=-⨯=，而48︒是第一象限角，所以()tan 6720︒->；（4）因为tan 3tan(2)tan ππππ=+=，而π的终边在x 轴上，所以tan 0π=.【点睛】本题考查的是三角函数在各个象限中的符号，较简单.5.求下列三角函数值：（1）sin148010︒'（精确到0.001）；（2）9cos4π；（3）11tan 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭.【答案】（1）0.645；（2）22；（3）33【解析】【分析】由()sin148010sin 40104360sin 4010︒︒'︒︒''=+⨯=，9cos cos 2cos 444ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，11tan tan 2tan 666ππππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求出即可【详解】（1）()sin148010sin 40104360sin 40100.645︒︒'︒︒''=+⨯=≈；（2）92coscos 2cos 4442ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭；（3）11tan tan 2tan 6663ππππ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查的是三角函数的诱导公式，较简单.6.已知3sin 5α=-，求cos α，tan α的值.【答案】见解析【解析】【分析】分角α为第三和第四象限角两种情况讨论，结合同角三角函数的基本关系可得解.【详解】因为sin 0α<，sin 1α≠-，所以α是第三或第四象限角.由22sin cos 1αα+=得222316cos 1sin 1525αα⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭.如果α是第三象限角，那么cos 0α<，于是4cos 5α==-，从而sin 353tan cos 544ααα⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；如果α是第四象限角，那么4cos 5α=，3tan 4α=-.综上所述，当α是第三象限角时，4cos 5α=-，3tan 4α=；当α是第四象限角时，4cos 5α=，3tan 4α=-.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.7.求证：cos 1sin 1sin cos αααα+=-．【答案】证明见解析【解析】【分析】作差法，结合同角三角函数的平方关系，即得证【详解】证明：2cos 1sin cos (1sin )(1sin )1sin cos (1sin )cos ααααααααα+--+-=--()2222cos 1sin cos cos 0(1sin )cos (1sin )cos αααααααα---===--．所以cos 1sin 1sin cos αααα+=-，即得证5．2．1三角函数的概念练习8.利用三角函数定义，求0，2π，π，32π的三个三角函数值.【答案】sin 00=；cos 01=；tan 00=.sin 12π=；cos 02π=；tan 2π不存在；sin 0π=；cos 1π=-；tan 0π=.3sin 12π=-；3cos 02π=；3tan 2π不存在.【解析】【分析】分别找出角0，2π，π，32π与单位圆的交点即可【详解】因为0的终边与单位圆的交点是()1,0所以sin 00=；cos 01=；tan 00=因为2π的终边与单位圆的交点是()0,1所以sin 12π=；cos 02π=；tan 2π不存在；因为π的终边与单位圆的交点是()1,0-所以sin 0π=；cos 1π=-；tan 0π=.因为32π的终边与单位圆的交点是()0,1-所以3sin12π=-；3cos 02π=；3tan 2π不存在.【点睛】本题考查的是三角函数的定义，较简单.9.利用三角函数定义，求76π的三个三角函数值．【答案】71sin 62π=-，73cos 62π=-，7tan 6π=【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得76π的三个三角函数值．【详解】解：在76π角的终边上任意取一点(，1)-，则x =，1y =-，||2r OP ==，71sin62y r π∴==-，7cos 62x r π==-，7tan 63y x π==．10.已知角θ的终边过点(12,5)P -，求角θ的三角函数值.【答案】5sin 13θ=；12cos 13θ=-；5tan θ12=-【解析】【分析】先算出13r =，然后即得5sin 13θ=，12cos 13θ=-，5tan θ12=-【详解】13r OP ===所以5sin 13θ=，12cos 13θ=-，5tan θ12=-【点睛】设α是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与原点O 重合）的坐标为(,)x y ，点P 与原点的距离为r ，则sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=.11.已知点P 在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s.求2s 时点P 所在的位置.【答案】P (2cos(2),2sin(2))--【解析】【分析】设P 点坐标为(,)x y ，2r =，由sin(2)2y -=和cos(2)2x-=即可得出答案.【详解】设P 点坐标为(,)x y ，2r =.∵sin(2)2y-=，∴2sin(2)y =-，∵cos(2)2x-=，∴2cos(2)x =-，∴点P 的坐标为(2cos(2),2sin(2))--.【点睛】本题考查的是三角函数的定义，较简单.练习12.填表：α2π136ππ-43π-154πsin αcos αtan α【答案】见解析【解析】【分析】根据三角函数的定义及诱导公式填表即可【详解】【点睛】本题考查的是三角函数的定义及诱导公式，较简单.13.设α是三角形的一个内角，在sin α，cos α，tan α，tan 2α中，哪些有可能取负值？【答案】cos α和tan α有可能取负值【解析】【分析】直接根据角所在象限确定正负值.【详解】当α是钝角时，cos α和tan α取负值，当0180α<< 时，0902α <<，此时sin α和tan 2α均为正值.即α是三角形的一个内角时，cos α和tan α有可能取负值.14.确定下列三角函数值的符号：（1）sin156︒；（2）16cos5π；（3）()cos 450︒-；（4）17tan 8π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（5）4sin 3π⎛⎫-⎪⎝⎭；（6）tan 556︒.【答案】（1）正；（2）负；（3）0；（4）负；（5）正；（6）正.【解析】【分析】判断出每个角的终边所在象限即可【详解】因为156︒的第二象限角，所以sin156︒的符号为正因为166255πππ=+，所以165π是第三象限角所以16cos 5π的符号为负因为720452700︒=-︒+-︒，所以450︒-的终边在y 轴负半轴所以()cos 4500︒-=因为17288πππ-=--，所以178π-是第四象限角所以17tan 8π⎛⎫- ⎪⎝⎭的符号为负因为42233πππ-=-+，所以43π-是第二象限角所以4sin 3π⎛⎫-⎪⎝⎭的符号为正因为360195566︒=︒+︒，所以556︒是第三象限角所以tan 556︒的符号为正.【点睛】本题考查的是三角函数在各个象限中的符号，较简单.15.对于sin 0θ>，②sin 0θ<，③cos 0θ>，④cos 0θ<，⑤tan 0θ>与⑥tan 0θ<，选择恰当的关系式序号填空：（1）角θ为第一象限角的充要条件是_____；（2）角θ为第二象限角的充要条件是_____；（3）角θ为第三象限角的充要条件是_____；（4）角θ为第四象限角的充要条件是______.【答案】①.①③或①⑤或③⑤或①③⑤②.①④或①⑥或④⑥或①④⑥③.②④或②⑤或④⑤或②④⑤④.②③或②⑥或③⑥或②③⑥【解析】【分析】根据三角函数在各个象限中的符号即可填出答案【详解】角θ为第一象限角的充要条件是①③或①⑤或③⑤或①③⑤角θ为第二象限角的充要条件是①④或①⑥或④⑥或①④⑥角θ为第三象限角的充要条件是②④或②⑤或④⑤或②④⑤角θ为第四象限角的充要条件是②③或②⑥或③⑥或②③⑥故答案为：(1).①③或①⑤或③⑤或①③⑤(2).①④或①⑥或④⑥或①④⑥(3).②④或②⑤或④⑤或②④⑤(4).②③或②⑥或③⑥或②③⑥【点睛】本题考查的是三角函数在各个象限中的符号，较简单.16.求下列三角函数值（可用计算工具，第（1）题精确到0.0001）：（1）cos1109︒；（2）19tan3π；（3）()sin 1050︒-；（4）31tan 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭.【答案】（1）0.8746；（2（3）0.5；（4）1.【解析】【分析】利用诱导公式把每个角转化到()0,2p 即可【详解】()cos 3603cos1109290.8746cos 29︒=︒⨯+︒=︒=19tantan 6tan333ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭()()sin 1050sin 108030sin 300.5︒-=-︒+︒=︒=31tan tan 8tan 1444ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查的是三角函数的诱导公式及特殊角的三角函数值，较简单.5．2．2同角三角函数的基本关系练习17.已知4cos 5α=-，且α为第三象限角，求sin α，tan α的值.【答案】3sin 5α=-，3tan 4α=【解析】【分析】利用同角三角函数的平方关系和商数关系即可得解.【详解】4cos 5α=-，且α为第三象限角，3sin 5α∴==-，sin 3tan cos 4ααα==.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.18.已知tan ϕ=sin ϕ，cos ϕ的值.【答案】见解析【解析】【分析】分角ϕ为第二和第四象限角两种情况讨论，利用同角三角函数的商数关系和平方关系建立有关sin ϕ和cos ϕ的方程组，即可得出sin ϕ，cos ϕ的值.【详解】tan 0ϕ=< ，ϕ∴为第二或第四象限角，又sin tan cos ϕϕϕ==sin ϕϕ∴=.代入22sin cos 1ϕϕ+=，得21cos 4ϕ=.当ϕ为第二象限角时，1cos 2ϕ=-，sin 2ϕ=；当ϕ为第四象限角时，1cos 2ϕ=，sin 2ϕ=-.综上所述，当ϕ为第二象限角时，1cos 2ϕ=-，3sin 2ϕ=；当ϕ为第四象限角时，1cos 2ϕ=，3sin 2ϕ=-.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，建立有关sin ϕ和cos ϕ的方程组是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.19.已知sin 0.35θ=，求cos θ，tan θ的值（精确到0.01）.【答案】见解析【解析】【分析】分角θ为第一和第二象限角两种情况讨论，利用同角三角函数的基本关系可求得cos θ，tan θ的值.【详解】sin 0.350θ=> ，θ∴为第一或第二象限角.当θ为第一象限角时，cos 0.94θ=≈，sin tan 0.37cos θθθ=≈；当θ为第二象限角时，cos 0.94θ=≈-，sin tan 0.37cos θθθ=≈-.综上所述，当θ为第一象限角时，cos 0.94θ≈，tan 0.37θ≈；当θ为第二象限角时，cos 0.94θ≈-，tan 0.37θ≈-.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，要注意对角θ的象限分类讨论，考查计算能力，属于基础题.20.化简：（1）cos tan θθ；（2）222cos 112sin αα--；（3）()221tan cos αα+.【答案】（1）sin θ；（2）1；（3）1.【解析】【分析】（1）由sin tan cos θθθ=代入化简即可得解；（2）将等式221sin cos αα=+代入分式化简计算即可；（3）由222sin tan cos ααα=代入化简计算即可.【详解】（1）sin cos tan cos sin cos θθθθθθ=⋅=；（2）()()2222222222222cos sin cos 2cos 1cos sin 112sin cos sin sin cos 2sin αααααααααααα-+--===--+-；（3）()22222222sin 1tan cos cos cos cos sin 1cos αααααααα+=+⋅=+=.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系化简计算，考查计算能力，属于基础题.21.求证：4222sin sin cos cos 1αααα++=.【答案】证明见解析【解析】【分析】在等式左边提公因式，结合22sin cos 1αα+=化简计算即可证得所证等式成立.【详解】左边()222222sin sin cos cos sin cos 1αααααα=++=+==右边.【点睛】本题考查三角恒等式的证明，考查同角三角函数平方关系的应用，考查计算能力与推理能力，属于基础题.习题5．2复习巩固22.用定义法、公式一求下列角的三个三角函数值（可用计算工具）：（1）173π-；（2）214π；（3）236π-；（4）1500︒．【答案】（1）173sin 32π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1os 127c 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，17tan 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭;（2）21sin42π=-，21cos 42π=-，21tan 14π=（3）2in 123s 6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，233cos 62π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，233tan 63π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（4）3sin15002︒=，cos150012︒=，tan1500︒=【解析】【分析】对于各个角，直接利用诱导公式一和三角函数定义化简求解三个三角函数值即可．【小问1详解】解：173sin sin 6sin 3332ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；171cos cos 6cos 3332ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；173sin 1732tan 1173cos 23πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-=== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭．【小问2详解】解：2133sinsin 6sin 4442ππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭；21332coscos 6cos 4442ππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；212sin2142tan 12142cos 42πππ-==；【小问3详解】解：231sin sin 4sin 6662ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎝⎭⎝⎭；233cos cos 4cos 6662ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；231sin 2362tan 23633cos 62πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.【小问4详解】解：()3sin1500sin 436060sin 602︒=⨯︒+︒=︒=；()1cos1500cos 436060cos 602︒=⨯︒+︒=︒=；3sin15002tan15001cos15002︒︒===︒.23.已知角α的终边上有一点的坐标是()3,4P a a ，其中0a ≠，求sin ,cos ,tan ααα.【答案】见解析【解析】【分析】直接利用三角函数的坐标定义求解.【详解】r＝＝5|a|.当a ＞0时，r ＝5a ，∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝，tan α＝＝＝；当a ＜0时，r ＝－5a ，∴sin α＝－，cos α＝－，tan α＝.综上可知，sin α＝，cos α＝，tan α＝或sin α＝－，cos α＝－，tan α＝.【点睛】(1)本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)点p(x,y)是角α终边上的任意的一点（原点除外）,r 代表点到原点的距离，r =则sin α=y rcos α=xr ,tan α=y x.24.计算：（1）()6sin 903sin 08sin 27012cos180︒︒︒︒-+-+；（2）10cos 2704sin 09tan 015cos360︒︒︒︒+++；（3）22332cos tan tan sin cos cos 2446662ππππππ-+-++；（4）2423sincos tan 323πππ+-【答案】（1）10-；（2）15；（3）12-；（4）94-【解析】【分析】（1）根据三角函数定义,分别求得()sin 90,sin 0,sin 270,cos180︒︒︒︒-的值,代入即可求解.（2）根据三角函数定义,分别求得cos 270,sin 0,tan 0,cos360︒︒︒︒的值,代入即可求解.（3）根据三角函数定义,分别求得3cos ,tan ,tan ,sin ,cos ,cos 246662ππππππ的值,代入即可求解.（4）根据三角函数定义,分别求得3sin ,cos ,tan 323πππ的值,代入即可求解.【详解】（1）根据三角函数定义可得()6sin 903sin 08sin 27012cos180︒︒︒︒-+-+6(1)308(1)12(1)10=⨯-+⨯-⨯-+⨯-=-（2）根据三角函数定义可得10cos 2704sin 09tan 015cos360︒︒︒︒+++100409015115=⨯+⨯+⨯+⨯=（3）根据三角函数定义可得22332costan tan sin cos cos 2446662ππππππ-+-++2233131201043222⎛⎫⎛=⨯-+⨯-++=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭（4）根据三角函数定义可得2423sin cos tan 323πππ+-24239024⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的计算求值,属于基础题.25.化简：（1）sin 0cos90tan180a b c ︒︒︒++；（2）22cos180sin 902cos 0p q pq ︒︒︒-+-；（3）223cos 2sincos sin 22a b ab ab ππππ-+-.（4）13tan 0cos sin cos sin 222m n p q r ππππ+---.【答案】（1）0；（2）2()p q -；（3）2()a b -；（4）0【解析】【分析】（1）根据三角函数定义,分别求得sin 0,cos90,tan180︒︒︒的值,代入即可求解.（2）根据三角函数定义,分别求得cos180,sin 90,cos 0︒︒︒的值,代入即可求解.（3）根据三角函数定义,分别求得3cos 2,sin ,cos ,sin 22ππππ的值,代入即可求解.（4）根据三角函数定义,分别求得3tan 0,cos ,sin ,cos,sin 222ππππ的值,代入即可求解.【详解】（1）根据三角函数定义可得sin 0cos90tan180a b c ︒︒︒++0000a b c =⋅+⋅+⋅=（2）根据三角函数定义可得22cos180sin 902cos 0p q pq ︒︒︒-+-222(1)121()p q pq p q =-⨯-+⨯-⨯=-.（3）根据三角函数定义可得223cos 2sincos sin 22a b ab ab ππππ-+-2221(1)(1)1()a b ab ab a b =⨯-⨯-+⨯--⨯=-.（4）根据三角函数定义可得13tan 0cos sin cos sin 222m n p q r ππππ+---000000m n p q r =⨯+⨯-⨯-⨯-⨯=.【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的计算求值,属于基础题.26.确定下列三角函数值的符号：（1）sin186︒；（2）tan 505︒；（3）sin 7.6π；（4）23tan()4π-；（5）cos 940︒；（6）59cos 17π⎛⎫- ⎪⎝⎭.【答案】（1）负（2）负（3）负（4）正（5）负（6）负【解析】【分析】由角的终边的位置和三角函数的符号规律逐个判断即可．【小问1详解】解：因为186︒为第三象限角，所以sin186︒为负；【小问2详解】解：因为505︒为第二象限角，所以tan 505︒为负；【小问3详解】解：因为7.66 1.6πππ=+为第四象限角，所以sin 7.6π为负；【小问4详解】解：因为23644πππ-=-+为第一象限角，所以23tan(4π-为正；【小问5详解】解：因为940720220︒=︒+︒为第三象限角，所以cos940︒为负；【小问6详解】解：因为59941717πππ-=-+为第二象限角，所以59cos 17π⎛⎫-⎪⎝⎭为负．27.（1）已知3sin 2α=-，且α为第四象限角，求cos ,tan αα的值；（2）已知5cos 13α=-，且α为第二象限角，求sin ,tan αα的值；（3）已知3tan 4α=-，求sin ,cos αα的值；（4）已知cos 0.68α=，求sin ,tan αα的值（精确到0.01）.【答案】（1）1cos ,tan 2αα==；（2）1212sin ,tan 135αα==-；（3）当α为第二象限角时，43cos ,sin 55αα=-=；当α为第四象限角时，43cos ,sin 55αα==-；（4）当α为第一象限角时，sin 0.73,tan 1.07αα≈≈；当α为第四象限角时，sin 0.73,tan 1.07αα≈-≈-.【解析】【分析】根据同角三角函数关系式,结合角的取值范围,即可求解.【详解】（1）由22sin cos 1αα+=,得22231cos 1sin 124αα⎛=-=--= ⎝⎭αQ 为第四象限角,1sincos ,tan 22cos 2αααα∴===-⨯=（2）由22sin cos 1αα+=,得2225144sin 1cos 113169αα⎛⎫=-=--=⎪⎝⎭αQ 为第二象限角12sin 121312sin ,tan 13cos 1355αααα⎛⎫∴===⨯-=- ⎪⎝⎭（3）3tan 04α=-< ∴α为第二或第四象限角当α为第二象限角时,43cos ,sin 55αα=-=；当α为第四象限角时,43cos ,sin 55αα==-.（4）cos 0.680α=> α\为第一或第四象限角当α为第一象限角时,sin 0.73,tan 1.07αα≈≈；当α为第四象限角时,sin 0.73,tan 1.07αα≈-≈-.【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,在使用时要特别注意角的取值范围,属于基础题.综合运用28.分别根据下列条件求函数3()sin 2sin 4cos 23sin 444f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值：（1）4x π=；（2）34x π=.【答案】（1）1；（2）-1【解析】【分析】（1）直接将4x π=代入计算即可；（2）直接将34x π=代入计算即可.【详解】解：（1）当4x π=时，3()sin 2sin 4cos 23sin 44444444f ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin2sin 4cos 31n 02si 2πππ=+-+=.（2）当34x π=时，333333()sin 2sin 4cos 23sin 44444444f ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭33sin 2sin4cos 3sin 222231ππππ=+-+=-=-29.确定下列式子的符号（1）tan125sin 273︒︒；（2）tan108cos305︒︒；（3）5411sincos tan 456πππ；（4）511cos tan662sin3πππ.【答案】（1）正；（2）负；（3）负；（4）正【解析】【分析】根据角所在的象限,判断三角函数的符号,即可判断各自的符号.【详解】（1）tan1250,sin 2730︒︒<< ∴原式为正；（2）tan1080,cos3050︒︒<> ∴原式为负；（3）5411sin0,cos 0,tan 0456πππ<<<∴原式为负；（4）5112cos 0,tan 0,sin 0663πππ<<> ∴原式为正.【点睛】本题考查了三角函数在四个象限的符号判断,属于基础题.30.求下列三角函数值（可用计算工具，第（1）（3）（4）题精确到0.0001）；（1）67sin 12π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）15tan 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）cos39813︒'；（4）tan 76615︒'.【答案】（1）0.9659；（2）1；（3）0.7857；（4）1.045.【解析】【分析】根据诱导公式将三角函数进行化简,借助计算器即可求解.【详解】（1）6755sin sin 6sin 121212ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由计算器可得5sin 0.965912π≈（2）15tan tan 4tan 1444ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）()cos39813cos 3603813383o 1c s ︒'︒︒'︒'=+=由计算器可得38130.7857cos ︒'≈（4）()tan 76615tan 41804615tan 4615︒'︒︒'︒'⨯==+.由计算器可得tan 4615 1.045︒'≈【点睛】本题考查了三角函数诱导公式的化简,计算器计算三角函数值,属于基础题.31.求证：（1）角θ为第二或第三象限角的充要条件是sin tan 0θθ<；（2）角θ为第三或第四象限角的充要条件是cos tan 0θθ<；（3）角θ为第一或第四象限角的充要条件是sin 0tan θθ>；（4）角θ为第一或第三象限角的充要条件是sin cos 0>θθ.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）证明见解析【解析】【分析】根据角所在的象限,可得三角函数的符号;同理根据三角函数符号,可判断角所在的象限,结合充要条件的判定方法即可证明.【详解】（1）证明:当角θ为第二象限角时,sin 0,tan 0θθ><,所以sin tan 0θθ⋅<；当角θ为第三象限角时,sin 0,tan 0θθ<>,所以sin tan 0θθ⋅<.所以当角θ为第二或第三象限角时,sin tan 0θθ⋅<.因为sin tan 0θθ⋅<,所以sin 0,tan 0θθ><；或sin 0,tan 0θθ<>.当sin 0,tan 0θθ><时,角θ为第二象限角当sin 0,tan 0θθ<>时,角θ为第三象限角所以当sin tan 0θθ⋅<时,角θ为第二或第三象限角.综上所述,原命题成立（2）证明:当角θ为第三象限角时,cos 0,tan 0θθ<>,所以cos tan 0θθ⋅<；当角θ为第四象限角时,cos 0,tan 0θθ><,所以cos tan 0θθ⋅<.所以当角θ为第三或第四象限角时,cos tan 0θθ⋅<.因为cos tan 0θθ⋅<,所以cos 0,tan 0θθ<>；或cos 0,tan 0θθ><.当cos 0,tan 0θθ<>时,θ为第三象限角；当cos 0,tan 0θθ><时,θ为第四象限角所以当cos tan 0θθ⋅<时,角θ为第三或第四象限角.综上所述,原命题成立.（3）证明:当角θ为第一或第四象限角时,sin θ与tan θ同号,所以sin 0tan θθ>当sin 0tan θθ>时,sin θ与tan θ同号所以角θ为第一或第四象限角.综上所述,原命题成立.（4）证明:当角θ为第一或第三象限角时,sin θ与cos θ同号,所以sin cos 0θθ⋅>；当sin cos 0θθ⋅>时,sin θ与cos θ同号所以角为第一或第三象限角,综上所述,原命题成立【点睛】本题考查了三角函数在四个想象符号的判断,充分必要条件的证明,属于基础题.32.已知1sin 3x =-，求cos ,tan x x 的值.【答案】x 为第三象限角，222cos ,tan 34x x =-=；x 为第四象限角，cos ,tan 34x x ==-.【解析】【分析】讨论x 为第三象限角或第四象限角.结合同角三角函数关系式即可求解.【详解】1sin 03x =-< x \为第三或第四象限角.由22sin cos 1x x +=可得22cos 3x ==±而sin tan cos xx x=当x 为第三象限角时,222cos ,tan 34x x =-=当x 为第四象限角时,222cos ,tan 34x x ==-【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的简单应用,注意讨论角所在的象限,属于基础题.33.已知3tan 2απαπ=<<，求cos sin αα-的值.【答案】12【解析】【分析】根据tan α的值及α的范围,可求得α的值,进而求得cos sin αα-的值即可.【详解】3tan 2απαπ=<< 43απ∴=cos sin αα∴-1331222⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角的度数,特殊角三角函数值求法,属于基础题.34.已知角α的终边不在坐标轴上，（1）用cos α表示sin tan αα，；（2）用sin α表示cos ,tan αα.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】讨论角所在的象限,结合同角三角函数关系式,即可得解.【详解】（1）当角α是第一、二象限角时,sin sin tan cos cos ααααα===.当角α是第三、四象限角时,sin sin tan cos cos ααααα===.（2）当角α是第一、四象限角时,sin cos tan cos αααα===.当角α是第二、三象限角时,sin cos tan cos αααα===【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的简单应用,属于基础题.35.求证：（1）2212sin cos 1tan cos sin 1tan x x x x x x--=-+；（2）2222tan sin tan sin αααα-=；（3）22(cos 1)sin 22cos βββ-+=-；（4）4422sin cos 12sin cos x x x x +=-.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）证明见解析【解析】【分析】根据同角三角函数式关系,结合齐次式的化简即可证明.【详解】（1）证明:根据同角三角函数关系式,化简等式左边可得2212sin cos cos sin x xx x--()2222sin cos 2sin cos cos sin x x x xx x+-=-2(cos sin )(cos sin )(cos sin )x x x x x x -=+-cos sin 1tan cos sin 1tan x x x x x x--==++而右边1tan 1tan xx -=+所以原式得证.（2）证明:根据同角三角函数关系式,可得22tan sin αα-222sin sin cos ααα=-()222sin 1cos cos ααα-=22tan sin αα=⋅而右边22tan sin αα=⋅原式得证.（3）证明:22(cos 1)sin ββ-+22cos 2cos 1sin βββ=-++22cos β=-而右边22cos β=-原式得证（4）证明:由同角三角函数关系式可知44sin cos x x+442222sin cos 2sin cos 2sin cos x x x x x x=++-()22222sin cos 2sin cos x x x x=+-2212sin cos x x=-而右边2212sin cos x x=-原式得证【点睛】本题考查了利用同角三角函数关系证明三角函数恒等式,属于基础题.36.已知tan 2α=，求sin cos sin cos αααα+-的值.【答案】3【解析】【分析】根据同角三角函数关系式及齐次式的化简,即可求解.【详解】tan 2α= ∴sin cos sin cos αααα+-tan 133tan 11αα+===-【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,齐次式形式的化简,属于基础题.拓广探索37.，其中α为第二象限角.【答案】2tan α-【解析】【分析】根据角α为第二象限角,结合同角三角函数关系式,化简即可得解.【详解】αQ 为第二象限角,-==-1sin 1sin 2tan cos cos ααααα+-=-+=-【点睛】本题考查了同角三角函数关系式在三角函数式化简中的应用,注意角的范围对三角函数符号的影响,属于基础题.38.cos 1sin 1sin cos x x x x+=-是22sin cos 1x x +=的一个变形.你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？【答案】见解析【解析】【分析】根据22sin cos 1x x +=,两边同时平方可得变形式;同时除以2cos x 可得变形式.【详解】由22sin cos 1x x +=,两边同时平方可得4224sin 2sin cos cos 1x x x x +⋅=所以4422sin cos 12sin cos x x x x +=-⋅是22sin cos 1x x +=的一个变形；由22sin cos 1x x +=,等式两边同时除以2cos x ,可得221tan 1cos x x +=,所以2211tan cos x x =+是22sin cos 1x x +=和sin tan cos x x x=的变形.【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的变形应用,属于基础题.39.（1）分别计算44sin cos 33ππ-和22sin cos 33ππ-的值，你有什么发现？（2）任取一个α的值，分别计算4422sin cos ,sin cos αααα--，你又有什么发现？（3）证明：2244,sin cos sin cos x x x x x ∀∈-=-R .【答案】（1）442211sin cos ,sin cos 332332ππππ-=-=，发现：4422sin cos sin cos 3333ππππ-=-.（2）442211sin cos ,sin cos 662662ππππ-=--=-，发现：4422sin cos sin cos 6666ππππ-=-.（3）证明见解析【解析】【分析】根据特殊角三角函数值求法,可解（1）（2）;根据同角三角函数式关系式,可证明（3）.【详解】（1）根据特殊角三角函数值计算可知4444311sin cos 33222ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222311sin cos 33222ππ⎛⎛⎫-=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭所以4422sin cos sin cos 3333ππππ-=-（2）取6πα=则4444131sin cos 66222ππ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222131sin cos 66222ππ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以4422sin cos sin cos 6666ππππ-=-.（3）证明:44,sin cos x R x x ∀∈-()()2222sin cos sin cos x x x x =+-22sin cos x x=-所以2244sin cos sin cos x x x x -=-.【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的求法,三角函数式的简单证明,属于基础题.。
高中数学 321任意角三角函数的定义课后训练 湘教版必修2
3.2 任意角的三角函数 3.2.1 任意角三角函数的定义双基达标(限时20分钟) 1．tan ⎝⎛⎭⎫－2π3的值为( )． A. 3B ．－ 3C.33D ．－33 解析 －2π3的终边与单位圆的交点为(－12，－32)，所以tan(－2π3)＝－32－12＝3. 答案 A2．已知θ为锐角，则下列选项提供的各值中，可能为sin θ＋cos θ的值的是( )．A.43B.35C.23D.12 解析 在单位圆中借助三角函数线可得sin θ＋cos θ＞1. 答案 A3．如果tan α＝m (m ≠0)且sin α＝mm 2＋1，那么α所在的象限是 ( )． A ．一、二象限B ．二、三象限C ．二、四象限D ．一、四象限解析 由已知得tan α与sin α同号，∴α在第一象限(tan α＞0且sin α＞0)或α在第四象限(tan α＜0，且sin α ＜0)． 答案 D4．8cos 270°＋6sin 180°＋4tan 0°＋2sin 90°＝________． 解析 原式＝8×0＋6×0＋4×0＋2×1＝2. 答案 25．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α＞0，cos α≤0，则a 的取值范围为________． 解析 ∵sin α＞0，cos α≤0，∴α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上， ∴3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3.答案 －2＜a ≤36．已知角α的终边经过点P (x ，－2)，且cos α＝x3，求sin α和tan α.解 因为r ＝|OP |＝x 2＋（－2）2，所以由cos α＝x3，得x x 2＋（－2）2＝x3，解得x ＝±5. 当x ＝5时，sin α＝－23，tan α＝－255；当x ＝－5时，sin α＝－23，tan α＝255.综合提高 (限时25分钟)7．点P 从(－1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )．A ．(－12，32)B ．(－32，－12)C ．(－12，－32)D ．(－32，12)解析 如图，∠AOQ ＝α＝2π3设Q 点的坐标为(x ，y )， ∴x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32∴Q (－12，32)答案 A8．若三角形的两内角A 、B 满足sin A ·cos B ＜0，则此三角形的形状为 ( )． A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定解析 由0＜A ＜π，0＜B ＜π及sin A ·cos B ＜0，可知sin A ＞0，cos B ＜0， 可知角B 为钝角．故选B. 答案 B9．若点P (2m ，－3m )(m <0)在角α的终边上，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________．解析 如右图所示，点P (2m ，－3m )(m <0) 在第二象限，且r ＝－13m ，故sin α＝－3mr＝－3m－13m＝3 1313，cos α＝2m r ＝2m－13m＝－2 1313，tan α＝－3m 2m ＝－32.答案3 1313 －2 1313 －3210．不等式tan α＋33＞0的解集为________． 解析 不等式的解集如图所示(阴影部分)，答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6＜α＜k π＋π2，k ∈Z . 11．求a 2sin(－810°)＋b 2tan 405°＋(a 2－b 2)tan 1125°－2ab sin 360°的值． 解 sin(－810°)＝sin(－2·360°－90°)＝sin(－90°)＝－1；tan 405°＝ (360°＋45°)＝tan 45°＝1；tan 1 125°＝tan(3·360°＋45°)＝tan 45°＝1； sin 360°＝0，从而a 2sin(－810°)＋b 2tan 405°＋(a 2－b 2)tan 1125°－2ab sin 360°＝－a 2＋b 2＋(a 2－b 2)＝0.12．(创新拓展)求函数y ＝lgcos(2x －π3)＋1tan x －1的定义域．π12<x<kπ＋5π12，且x≠kπ＋π4，k∈Z}．∴定义域为{x|kπ－。
高中数学人教B版 7.2.1 三角函数的定义 课后练习、课时练习
一、单选题1. 已知角的终边经过点，则（）C．2 D．A．B．2. 是第四象限的角，则下列三角函数值为正的是（）A．B．C．D．3. 已知角α的终边与单位圆的交点为，则2sinα+tanα=A．B．C．D．4. 计算器是如何计算、、、、等函数值的?计算器使用的是数值计算法，如，，其中，英国数学家泰勒（B．Ta y lor，1685-1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得超多、计算得出的和的值也就越精确，运用上述思想，可得到的近似值为（）A．B．C．D．5. 已知点M（x，1）在角θ的终边上，且，则x＝（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．﹣1或0或16. θ为第二或第三象限角的充分必要条件是（）A．cosθ＜0 B．sinθ＜0 C．cosθtanθ＜0 D．sinθtanθ＜0二、多选题7. 下列说法错误的是（）A．将表的分针拨快分钟，则分针转过的角度是B．若角，则角为第二象限角C．若角为第一象限角，则角也是第一象限角D．在区间内，函数与的图象有2个交点8. 已知，则（）A．B．C．D．三、填空题9. 方程在上的解_________．10. 已知点是角终边上一点，则的值为_________．11. 若角为第四象限角，则点在第___________象限.12. ________.四、解答题13. 已知角终边在第四象限，与单位圆的交点A的坐标为，且终边上有一点P到原点的距离为.（1）求的值和P点的坐标；（2）求的值.14. 已知角的终边在直线上，求的值．15. 计算或化简: 计算.16. 已知角终边上一点P（异于原点）与x轴的距离和与y轴的距离之比为4∶3，且，求的值.。
高中数学1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义课后训练新人教B版必修4(2021学年)
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三角函数的定义１．（２01２·天津测试）若si ｎ α<0且tan α＞0,则α的终边在( )A.第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.下列说法中,正确的个数是（ ) ①与角π5的终边相同的角有有限个；②sin 2０°<0；③ｃos 2６0°>0；④ta ｎ 120°>０。
A.0 Ｂ.１ Ｃ.2 D ．33.当π2k α≠（k ∈Z ）时，sin tan cos cot M αααα+=+的取值为( ） A ．M ≥0 Ｂ．M >0Ｃ．M <0 D.M 可正可负4.已知co ｓ α=m,0<｜m |＜１，且tan mα＝α的终边在( ) A.第一或第二象限 B ．第三或第四象限C.第一或第四象限 D ．第二或第三象限5.若α是第二象限的角，则ｓin 2α，sin 2α,tan 2α,tan 2α中必取正数的个数是( ) A.0 B ．1 C.2 Ｄ.3６.ｓin 0°＋ｃo ｓ 90°+tan 180°+２ 01０c ｏs ０°＋２ta ｎ 4５°=___＿_＿＿_＿_．7．函数y =__＿＿____＿＿．8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为ｘ轴的正半轴,若P (4，y )是角θ终边上一点,且sin 5θ-＝,则y ＝____＿___＿＿. ９.已知角α的终边所在的直线与函数y =3ｘ的图象重合，求α的六个三角函数值．1０．证明恒等式2222111121sin 1cos 1sec 1csc αααα+++=++++。
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1.1 三角函数的定义课后习题 新人教A版必修4
1.2.1.1 三角函数的定义一、A组1.tan的值为()A. B. C. D.解析:tan=tan=tan .答案:B2.(2016·山东乳山期末)已知sin θ·tan θ<0,则角θ是()A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角解析:由sin θ·tan θ=<0,知sin θ≠0,且cos θ<0,所以θ为第二或第三象限角.故选B.答案:B3.已知角α的终边过点P(2sin 60°,-2cos 60°),则sin α的值为()A. B. C.- D.-解析:∵sin 60°=,cos 60°=,∴点P的坐标为(,-1),∴sin α==-.答案:D4.设角α是第二象限角,且=-cos,则角是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析:∵角α是第二象限角,∴为第一或第三象限角.又=-cos,∴cos<0.∴角是第三象限角.答案:C5.若420°角的终边上有一点P(4,a),则a的值为()A.4B.-4C.±4D.解析:∵420°=360°+60°,∴tan 420°=tan 60°=,∴,∴a=4.答案:A6.(2016·江西宜春第三中学期中)已知点P(x,-12)是角θ终边上一点且cos θ=-,则x=.解析:因为点P(x,-12)是角θ终边上一点,所以cos θ=.又cos θ=-,所以=-,解得x=-5.答案:-57.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第象限角.解析:要使原式有意义,则cos αtan α>0,即∴α是第一或第二象限角.答案:一或第二8.sin 1-cos 20.(填“>”“<”或“=”)解析:∵1 rad≈57.3°,2 rad≈114.6°,∴1弧度角在第一象限,2弧度角在第二象限,∴sin 1>0,cos 2<0.∴sin 1-cos 2>0.答案:>9.计算下列各式的值:(1)cos+sin ·tan 6π;(2)sin 420°cos 750°+sin(-330°)cos(-660°).解:(1)原式=cos+sin ·tan 0=cos +0=.(2)原式=sin(360°+60°)·cos(720°+30°)+sin(-360°+30°)·cos(-720°+60°)=sin 60°·cos 30°+sin 30°·cos 60°==1.10.已知=-,且lg cos α有意义.(1)试判断角α的终边所在的象限;(2)若角α的终边上一点M,且|OM|=1(O为坐标原点),求m的值及sin α的值.解:(1)由=-,可知sin α<0.由lg cos α有意义,可知cos α>0,∴角α的终边在第四象限.(2)∵|OM|=1,∴+m2=1,解得m=±.又α是第四象限角,故m<0,从而m=-.由正弦函数的定义可知sin α==-.二、B组1.在△ABC中,若sin A cos B tan C<0,则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形解析:因为sin A>0,所以cos B,tan C中一定有一个小于0,即B,C中一定有一个钝角,故△ABC是钝角三角形.答案:C2.已知α是第二象限角,角α的终边经过点P(x,4),且cos α=,则tan α的值为()A. B. C.- D.-解析:由α是第二象限角,得x<0.∵cos α=,∴x2=9.∴x=-3,tan α==-.答案:D3.(2016·黑龙江铁人中学期末)下面4个实数中,最小的数是()A.sin 1B.sin 2C.sin 3D.sin 4解析:因为0<1<<2<3<π<4<,所以sin 1>0,sin 2>0,sin 3>0,sin 4<0,所以最小的数是sin 4.答案:D4.(2016·安徽合肥一中期中)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则a的取值范围是.解析:因为cos α≤0,sin α>0,所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上,所以解得-2<a≤3.答案:(-2,3]5.若角α的终边与直线y=3x重合且sin α<0,又P(m,n)是α终边上一点,且|OP|=,则m-n=.解析:∵角α的终边与直线y=3x重合,且sin α<0,∴角α的终边落在第三象限,∴又∴m-n=-1+3=2.答案:26.导学号08720007函数y=的值域是.解析:因为该函数的定义域是,所以当x是第一象限角时,sin x>0,cos x>0,tan x>0,y=1+1+1=3;当x是第二象限角时,sin x>0,cos x<0,tan x<0,y=1-1-1=-1;当x是第三象限角时,sin x<0,cos x<0,tan x>0,y=-1-1+1=-1;当x是第四象限角时,sin x<0,cos x>0,tan x<0,y=-1+1-1=-1.综上,函数的值域是{-1,3}.答案:{-1,3}7.求下列各式的值:(1)sin+tan;(2)sin(-1 380°)cos 1 110°+tan 405°.解:(1)原式=sin+tan=sin+tan.(2)原式=sin (-4×360°+60°)cos(3×360°+30°)+tan(360°+45°)=sin 60°cos 30°+tan 45°=+1=.8.导学号08720008已知角α的终边在直线y=-3x上,求10sin α+的值.解:设角α的终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),则x=k,y=-3k,r=|k|.当k>0时,r=k,α是第四象限角,sin α==-,,所以10sin α+=10×+3=-3+3=0;当k<0时,r=-k,α为第二象限角,sin α=,=-,所以10sin α+=10×+3×(-) =3-3=0.综上,10sin α+=0.。
人教版数学高一-人教A版必修4练习 任意角的三角函数的定义及其应用(二)
第一章三角函数三角函数1．2 任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数的定义及其应用(二)1．理解三角函数线的概念及意义．2．能初步应用三角函数线分析解决与三角函数值有关的一些简单问题．1．有向线段：带有方向的线段，叫做有向线段．2．三角函数线：如图，设角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1，0)作单位圆的切线，与α的终边(或其反向延长线)交于点T，则图中有向线段MP，OM，AT分别表示sin α，cos α和tan α.有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．自测自评1．角α＝－5π2，则sin α，tan α的值分别为(A )A ．－1，不存在B ．1，不存在C ．－1，0D ．1，0解析：由三角函数的定义及终边相同角的概念知A 正确，故选A.2．若α是第四象限角，则sin α和tan α的大小的关系是(A ) A ．sin α>tan α B ．sin α<tan α C ．sin α≥tan α D ．不确定解析：画出三角函数线即可判断出来．如图，sin α＝－|MP |，tan α＝－|AT |，而|MP |<|AT |，故sin α>tan α.3．在[0，2π]上满足sin α≥12的α的取值范围是(B )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5π6，π 解析：利用单位圆和三角函数线解不等式．4．在单位圆中画出适合sin α＝12的角α的终边，并由此写出角α的集合．解析：作直线y ＝12交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则射线OA 与射线OB 为角α的终边，如图所示．满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪⎪α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z .基础提升1．若π4<θ<π2，则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系是(D)A．tan θ<cos θ<sin θB．sin θ<tan θ<cos θC．cos θ<tan θ<sin θD．cos θ<sin θ<tan θ解析：如图，作出角θ的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，由图可知，OM<MP<AT，即cos θ<sin θ<tan θ.故选D.2．已知角α的余弦线的长度不大于角α的正弦线的长度，那么角α的终边落在第一象限内的范围是(C )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋π2(k ∈Z)D.⎝⎛⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4(k ∈Z)解析：由单位圆中的三角函数线，可知角α的终边应落在如图所示的阴影区域，用终边相同角表示终边落在阴影区域的角为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫2k π＋π4，2k π＋π2(k ∈Z)．故选C.3．若0<α<2π，则使sin α<32和cos α>12同时成立的α取值范围是(D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π2B.⎝⎛⎭⎪⎫0，π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫53π，2πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π 解析：如图所示，适合sin α<32的角α的范围和适合cos α>12的角α的范围的公共部分，即为角α的范围．故选D.4．已知MP ，OM ，AT 分别是75°角的正弦线、余弦线、正切线，则一定有(D )A ．MP <OM <ATB ．OM <AT <MPC ．AT <OM <MPD ．OM <MP <AT解析：作出75°角的正弦线、余弦线、正切线，结合图形知OM <MP <AT .故选D.5．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是(D ) A ．若α，β是第一象限角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限角，则tan α>tan β解析：运用单位圆中的三角函数线，采用排除法，易判断D 正确．故选D.6．若△ABC 的两个内角α，β满足cos α·cos β<0，则此三角形为(B )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上均有可能解析：设0<α<β<π，当cos α·cos β<0时，cos α>0，cos β<0，所以π2<β<π，故△ABC 为钝角三角形．7．函数y ＝|cos x |cos x ＋|tan x |tan x 的值域是(B )A ．{1，2}B ．{－2，0，2}C ．{－2，2}D ．{0，1，2}解析：当角是第一象限中的角时，y ＝1＋1＝2；当角是第二象限的角时，y ＝－1－1＝－2；当角是第三象限的角时，y ＝－1＋1＝0；当角是第四象限的角时，y ＝1－1＝0.故综上可知函数的值域是{－2，0，2}．故选B.巩固提高8．已知α为锐角，则sin α＋cos α与1的大小关系是________________．解析：作出α角的正弦线MP 、余弦线OM ，则MP ＋OM >OP ，即sin α＋cos α>1.答案：sin α＋cos α>19．在(0，2π)内，使tan α>1成立的α的取值范围是________________．解析：利用三角函数线知，π4<α<π2或5π4<α<3π2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎪⎫5π4，3π210．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，α在[0，2π]内，则α的取值范围是________________．解析：由题意，得⎩⎨⎧sin α>cos α，tan α>0且α在[0，2π]内．∴π4<α<π2或π<α<5π4. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4 11．已知|cos θ|＝－cos θ且tan θ<0，试判断lg(sin θ－cosθ)的符号．解析：由|cos θ|＝－cos θ，得cos θ≤0，又tan θ<0，角θ终边在第二象限．∵θ终边在第二象限，∴sin θ>0，cos θ<0.由三角函数线可知sin θ－cos θ>1. ∴lg(sin θ－cos θ)>0.12．在单位圆中画出适合cos α≤－12的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．解析：作直线x ＝－12交单位圆于A ，B 两点，连结OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪⎪2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z .1．正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示，这三种线段都是与单位圆有关的有向线段，这些特定的有向线段的数值可以用来表示三角函数值，称它们为三角函数线．2．三角函数线是与单位圆有关的平行(或重合)坐标轴的特殊的有向线段，字母顺序不能随意调换，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外．3．三角函数线是三角函数的一种几何表示，是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具，利用三角函数线可以解决或证明三角形不等式、求函数的定义域以及比较大小，三角函数线也是后面将要学习的三角函数图象的作图工具．。
高一数学三角函数概念及其表示练习题
高一数学三角函数概念及其表示练习题一、概念解释1. 正弦函数（sine function）正弦函数是一个周期函数，常用来描述角度和一个直角三角形中的比率关系。
表示为 sin(x)，其中 x 是角度。
正弦函数的定义域是所有实数，值域在 -1 到 1 之间。
2. 余弦函数（cosine function）余弦函数也是一个周期函数，用来描述角度和一个直角三角形中的比率关系。
表示为 cos(x)，其中 x 是角度。
余弦函数的定义域是所有实数，值域在 -1 到 1 之间。
3. 正切函数（tangent function）正切函数是一个周期函数，表示为 tan(x)，其中 x 是角度。
正切函数的定义域是除去所有奇倍数的 pi 之后的实数，值域是所有实数。
二、练题1. 计算下列角的正弦值：a) 30°b) 45°c) 60°d) 90°2. 计算下列角的余弦值：a) 0°b) 30°c) 60°d) 90°3. 计算下列角的正切值：a) 30°b) 45°c) 60°d) 90°4. 在直角三角形 ABC 中，∠B = 90°，AB = 5，BC = 12。
计算：a) ∠A 的正弦值b) ∠A 的余弦值c) ∠A 的正切值5. 判断下列语句的真假：a) 正弦函数的定义域是所有实数b) 余弦函数的值域在 -1 到 1 之间6. 在下列函数中，哪些是周期函数：a) f(x) = x^2b) g(x) = sin(x)c) h(x) = cos(3x)d) i(x) = tan(x) - 2三、解答1.a) sin(30°) = 0.5b) sin(45°) = 0.707c) sin(60°) = 0.866d) sin(90°) = 12.a) cos(0°) = 1b) cos(30°) = 0.866c) cos(60°) = 0.5d) cos(90°) = 03.a) tan(30°) = 0.577b) tan(45°) = 1c) tan(60°) = 1.732d) tan(90°) - 不存在4.a) sin(∠A) = AB / AC = 5 / 13b) cos(∠A) = BC / AC = 12 / 13c) tan(∠A) = AB / BC = 5 / 125.a) 假，正弦函数的定义域是除去所有奇倍数的 pi 后的实数。
人教版数学高一课时作业三角函数的定义
1.2.1三角函数的定义一、选择题1.下列三角函数判断错误的是()A.sin 165°>0B.cos 280°>0C.tan 170°>0D.tan 310°<02.已知角α终边上异于原点的一点P且|PO|＝r，则点P坐标为()A.P(sin α，cos α)B.P(cos α，sin α)C.P(r sin α，r cos α)D.P(r cos α，r sin α)3.角α的终边上有一点(－a,2a)(a<0)，则sin α的值为()A.－55 B.25 5C.55 D.－25 54.若θ是第二象限角，则()A.sin θ2>0 B.cosθ2<0C.tan θ2>0 D.以上均不对5.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是()A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角二、填空题6.设α为第二象限角，则点P(cos α，sin α)在第________象限.7.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________.8.若角α终边经过点P(－3，y)，且sin α＝34y(y≠0)，则cos α＝________.三、解答题9.已知角α的终边经过点P(1，3)，(1)求sin α＋cos α的值；(2)写出角α的集合S.10.在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值.参考答案一、选择题1.C【解析】∵90°<165°<180°，∴sin 165°>0；又270°<280°<360°，∴cos 280°>0；又90°<170°<180°，∴tan 170°<0；又270°<310°<360°，∴tan 310°<0，故选C.2.D【解析】设P (x ，y )，则sin α＝y r ，∴y ＝r sin α，又cos α＝x r，x ＝r cos α，∴P (r cos α，r sin α)，故选D.3.D【解析】因为a <0，所以sin α＝2a （－a ）2＋（2a ）2＝2a －5a ＝－255. 4.C【解析】∵θ是第二象限角，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π，∴k π＋π4<θ2<k π＋π2，∴θ2是第一或第三象限角，∴tan θ2>0. 5.A【解析】要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角.二、填空题6.二【解析】∵α为第二象限角，∴cos α<0，sin α>0.7.－2＜a ≤3【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧ cos α≤0，sin α＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0， 解得－2＜a ≤3.8.－34【解析】∵过点P (－3，y )，∴sin α＝y 3＋y 2＝34y . 又y ≠0，∴13＋y 2＝34，∴|OP |＝3＋y 2＝43＝433＝r ， ∴cos α＝x r ＝－3433＝－34. 三、解答题9.解:(1)由点P 的坐标知，r ＝|OP |＝2，x ＝1，y ＝3，∴sin α＝32，cos α＝12， ∴sin α＋cos α＝3＋12. (2)由(1)知，在0～2π内满足条件的角α＝π3， ∴角α的集合S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋π3，k ∈Z . 10.解:①当α的终边在第二象限时，取终边上的点P (－4，3)，OP ＝5，sin α＝35，cos α＝－45＝－45，tan α＝3－4＝－34， 所以sin α－3cos α＋tan α＝35＋125－34＝94. ②当α的终边在第四象限时，取终边上的点P (4，－3)，OP ＝5，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34＝－34， 所以sin α－3cos α＋tan α＝－35－125－34＝－154.。
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高一数学（下）《三角函数定义》课后小练（2）
作答时间：25min
一．选择题
1、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为（ ）
A ．－55
B ．－ 5
C ．552
D ．25
2、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是（ ）
A ．sin α
B ．cos α
C ．tan α
D ．cot α
3、已知角α的终边过点P （4a ,－3a ）（a <0）,则2sin α＋cos α的值是（ ）
A ．25
B ．－25
C ．0
D ．与a 的取值有关
4、α是第二象限角，P （x , 5 ） 为其终边上一点，且cos α=42
x ，则sin α的值为（
） A ．410
B ．46
C ．42
D ．－410
5、函数x x y cos sin -+=的定义域是（ ）
A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈
B ．])12(,22[ππ
π++k k ，Z k ∈
C ．])1(,2[ππ
π++k k ， Z k ∈ D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈
6、若θ是第三象限角，且02cos <θ，则2θ
是（ ）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
7、已知sin α=54
，且α是第二象限角，那么tan α的值为（ ）
A ．34
- B ．43- C ．43 D ．34
8、已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
二．填空题
1、已知sin αtan α≥0，则α的取值集合为 ．
2、角α的终边上有一点P （m ，5），且)0(,13cos ≠=m m
α，则sin α+cos α=______．
3、已知角θ的终边在直线y = 33
x 上，则sin θ= ；θtan = ．
4、设θ∈（0，2π），点P （sin θ,cos2θ）在第三象限，则角θ的范围是 ．
三．解答题
1、求4
3π角的正弦、余弦和正切值．
3、(1)已知角α的终边经过点P(4,－3)，求2sin α+cos α的值；
（2）已知角α的终边经过点P(4a,－3a)(a ≠0)，求2sin α+cos α的值；
（3）已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3∶4（且均不为零）， 求2sin α+cos α的值．。