高中数学北师大版选修2-1同步配套教学案第三章 3.3 双曲线

§双曲线

．双曲线及其标准方程

年月日，中国海军第批护航编队“盐城”导弹护卫舰，“洛阳”号导弹护卫舰在亚丁湾东部海域商船集结点附近正式会合，共同护航，某时，“洛阳”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“洛阳”舰哨兵相距

的“盐城”舰，秒后也监听到了马达声(声速)，用、分别表示“洛阳”舰和“盐城”舰所在的位置，点表示快艇的位置．

问题：快艇距我两护卫舰的距离之差是多少？

提示：－＝×＝()．

问题：我两护卫舰为辨明快艇意图，保持不动，持续监测，发现快艇到我两舰距离之差保持不变，快艇运动有何特点？

提示：始终满足－＝.

双曲线的定义

上述问题中，设＝＝, －＝＝.

问题：以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则点的轨迹方程是什么？

提示：(－)－＝(－)．

问题：若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，则点的轨迹方程为什么？

提示：(－)－＝(－)．

双曲线的标准方程

．双曲线定义中＝(<<)，不要漏掉绝对值符号．当＝时，表示两条射线．．在双曲线的标准方程中，>不一定成立．＝＋与椭圆中的＝＋不同．

[例]

()求以椭圆＋＝的短轴的两个端点为焦点，且过点(，－)的双曲线的标准方程；

()已知双曲线通过()，(－)两点，求双曲线的标准方程．

[思路点拨]用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数．当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解．

[精解详析]()法一：(待定系数法)

由题意知双曲线的两焦点(，－)，()．

设双曲线的标准方程为－＝(>，>)，

将点(，－)代入双曲线方程得

－＝，又＋＝，

解得＝，＝.

∴双曲线的标准方程为－＝.

法二：(定义法)

由题意知双曲线的两个焦点分别为(，－)，()且(，－)在双曲线上，

则＝－＝－＝，