2017版高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)综合微评新人教A版必修1
新人教A版必修1第二章基本初等函数
logc b loga b (a 0,且a 1; c 0,且c 1; b 0) logc a
三、重点内容
（三）基本性质：
y a x (a 0,且a 1)
0<a<1
y
a>1
y
1
图象
0
1
x
0
x
定义域 值域 性质
(0, )
当x>0时0<y<1； 当x<0时y>1； 当x=0时y=1； 在R上是减函数
R
(0, )
当x>0时y>1； 当x<0时0<y<1； 当x=0时y=1； 在R上是增函数
R
三、重点内容
（三）基本性质： y loga x(a 0,且a 1)
0 a 1
y
a 1
y
图象
定义 域 值域 性质
O
1
x
O
1
x
(0, )
R
(0, )
R
( 3 )) 0过定点 x 1时， y 0; (1)(过定点 3) x 1时， y 0; (1,0) ( 1 (1,0)
四、例题分析 若f ( x) x 2 x b, 且f (log 2 a ) b, log 2 [ f (a )] 2(a 1).
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)综合微评 新人教A版
第二章综合微评(时间：120分钟 分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中与函数y ＝x 相等的函数是( ) A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．y ＝2log 2xD ．y ＝log 22x答案：D 解析：函数y ＝x 的定义域为R . 选项A 中函数y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)； 选项B 中函数y ＝x 2＝|x |； 选项C 中函数y ＝2log 2x＝x ，定义域为(0，＋∞)；选项D 中y ＝log 22x＝x ，定义域为R .2．函数y ＝(1－x ) 12＋log 3x 的定义域为( ) A ．(－∞，1] B ．(0,1] C ．(0,1)D ．[0,1]答案：B 解析：由题意得，1－x ≥0且x >0，解得0<x ≤1，故选B.3．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．log 12 xC.12x D ．x 2答案：B 解析：因为函数y ＝f (x )图象经过点(a ，a )， 所以函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)过点(a ，a )， 所以a ＝a a，即a ＝12，故f (x )＝log 12x .4．已知a ＝212，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.5，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a答案：A 解析：∵a ＝212，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.5＝2 12 ，且y ＝2x在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴a ＞b ＞20＝1.又c ＝2log 52＝log 54＜1， 因此a ＞b ＞c .5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤0，log 2x ，x ＞0，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18的值为( )A ．27 B.127 C ．－27 D ．－127答案：B 解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝log 218＝－3，f (－3)＝3－3＝127，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝f (－3)＝127. 6．函数y ＝|x |e－xx的图象的大致形状是( )答案：C 解析：由函数的表达式知：x ≠0，y ＝|x |e －xx ＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x，x >0，－e －x，x <0，所以它的图象是这样得到的：保留y ＝e －x，x ＞0的部分，将x ＜0的图象关于x 轴对称．故选D.7．若函数y ＝(m 2＋2m －2)x m为幂函数且在第一象限为增函数，则m 的值为( ) A ．1 B ．－3 C ．－1 D ．3答案：A 解析：因为函数y ＝(m 2＋2m －2)x m为幂函数且在第一象限为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，m >0，∴m ＝1.故选A.8．满足“对定义域内任意实数x ，y ，都有y ＝f (x ·y )＝f (x )＋f (y )”的函数可以是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2xC ．f (x )＝log 2xD ．f (x )＝eln x答案：C 解析：f (xy )＝log 2xy ＝log 2x ＋log 2y ＝f (x )＋f (y )． 9．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a ＝f (－3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜a ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a答案：C 解析：∵a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝f (log 32)，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，∴0＜log 32＜1,1＜43＜3，∴3＞43＞log 32，∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴a ＞c ＞b .10．方程log 2x ＋log 2(x －1)＝1的解集为M ，方程22x ＋1－9·2x＋4＝0的解集为N ，那么M 与N 的关系是( )A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M ∩N ＝∅答案：B 解析：由log 2x ＋log 2(x －1)＝1，得x (x －1) ＝2，解得x ＝－1(舍)或x ＝2，故M ＝{2}； 由22x ＋1－9·2x＋4＝0，得2·(2x )2－9·2x＋4＝0， 解得2x ＝4或2x＝12，即x ＝2或x ＝－1，故N ＝{2，－1}， 因此有M N .11．函数f (x )＝log 12 (x 2－3x ＋2)的递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32 B. (1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D ．(2，＋∞)答案：D 解析：令t ＝x 2－3x ＋2，则t ＝x 2－3x ＋2>0，解得x ∈(－∞，1)∪(2，＋∞)．且t ＝x 2－3x ＋2在区间(－∞，1)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增； 又y ＝log 12t 在其定义域上单调递减，所以由复合函数的单调性知：f (x )＝log 12(x 2－3x ＋2)单调递减区间是(2，＋∞)．12．下列函数中，与y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝|x |－1|x |C ．y ＝－(2x＋2－x)D ．y ＝x 3－1答案：C 解析：设函数f (x )＝y ＝－3|x |，x ∈R ， ∴f (－x )＝－3|－x |＝－3|x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数．令t ＝|x |，∴t ＝|x |，x ∈(－∞，0)是减函数，由复合函数的单调性知y ＝－3|－x |在x∈(－∞，0)为增函数．选项A 为奇函数．∴A 错误；选项B 为偶函数，但是在x ∈(－∞，0)为减函数， ∴B 错误；选项C ，令g (x )＝－(2x ＋2－x )，g (－x )＝－(2－x ＋2x)， ∴g (x )＝g (－x )，∴g (x )为偶函数． 由复合函数的单调性知，∴g (x )在x ∈(－∞，0)为增函数．故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知4a＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 答案：10 解析：∵4a＝2，∴a ＝12，又lg x ＝a ，∴x ＝10a＝10.14．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x－3，则当x <0时，f (x )＝________.答案：－2－x＋3 解析：当x <0时，－x >0. 因为当x >0时，f (x )＝2x－3， ∴f (－x )＝2－x －3.又f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴当x <0时，f (－x )＝2－x－3＝－f (x )， ∴f (x )＝－2－x＋3.15．定义：区间[x 1，x 2](x 1＜x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝|log 0.5x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为________．答案：154解析：函数y ＝|log 0.5x |的值域为[0,2]，则由0≤|log 0.5x |≤2，得14≤x ≤4，∴[a ，b ]长度的最大值为4－14＝154.16．已知下列四个命题：①函数f (x )＝2x满足：对任意x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2都有f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<12[f (x 1)＋f (x 2)]；②函数f (x )＝log 2(x ＋1＋x 2)，g (x )＝1＋22x －1不都是奇函数；③若函数f (x )满足f (x －1)＝－f (x ＋1)，且f (1)＝2，则f (7)＝－2； ④设x 1，x 2是关于x 的方程|log a x |＝k (a >0，且a ≠1)的两根，则x 1x 2＝1. 其中正确命题的序号是________．答案：①③④ 解析：①∵指数函数的图象为凹函数，∴①正确．②函数f (x )＝log 2(x ＋1＋x 2)定义域为R ，且f (x )＋f (－x )＝log 2(x ＋1＋x 2)＋log 2(－x ＋1＋x 2)＝log 21＝0，∴f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数．g (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且g (x )＝1＋22x －1＝2x＋12x －1，g (－x )＝2－x＋12－x －1＝1＋2x1－2x ＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．②错误． ③∵f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (7)＝f (6＋1)＝－f (6－1)＝－f (5)，f (5)＝f (4＋1)＝－f (4－1)＝－f (3)， f (3)＝－f (1)，∴f (7)＝－f (1)．③正确．④∵x 1，x 2是关于x 的方程，|log a x |＝k (a >0，且a ≠1)的两根， 则log a x 1＝－log a x 2，∴log a x 1＋log a x 2＝0，∴x 1·x 2＝1.∴④正确．三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)化简下列各式： (1)[(0.064 15 )－2.5] 23 －3338－π0；(2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋14lg 16.解：(1)原式＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫641 000 15 －52 23 －⎝ ⎛⎭⎪⎫278 13 －1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫410315×(－52)×23 －⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32313 －1 ＝52－32－1＝0. (2)原式＝2lg 2＋lg 31＋12lg 0.62＋14lg 24＝2lg 2＋lg 31＋lg 2×310＋lg 2＝2lg 2＋lg 31＋lg 2＋lg 3－lg 10＋lg 2＝2lg 2＋lg 32lg 2＋lg 3＝1.18．(本小题满分12分)若函数y ＝f (x )＝a ·3x －1－a3x－1为奇函数．(1)求a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域． 解：∵函数y ＝f (x )＝a ·3x －1－a3x－1＝a －13x－1， (1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即 2a －13x －1－13－x －1＝0，∴a ＝－12.(2)∵y ＝－12－13x －1，∴3x－1≠0，即x ≠0.∴函数y ＝－12－13x －1的定义域为{x |x ≠0}．(3)∵x ≠0，∴3x－1＞－1.∵3x－1≠0，∴－1<3x－1<0或3x－1＞0. ∴－12－13x －1＞12或－12－13x －1＜－12.即函数的值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＞12或y ＜－12. 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－ax (a ∈R )，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1.(1)求f (x )的解析式并判断其奇偶性； (2)g (x )＝log21＋x k ，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23时，f (x )≤g (x )有解，求实数k 的取值集合．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝log 21－131＋a 3＝－1，∴231＋a 3＝12，∴43＝1＋a3，∴a ＝1， ∴f (x )＝log 21＋x1－x，∴定义域为(－1,1)，定义域关于原点对称，f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1＝－log 21＋x1－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． (2)log 21＋x1－x ≤log21＋x k ＝2log 21＋xk＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x k 2，∴1＋x 1－x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x k 2， 令h (x )＝1－x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上单调递减，∴h (x )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34，∴只需k 2≤34，又由g (x )定义域知k >0，∴0<k ≤32. ∴实数k 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪⎪0≤k ≤32. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x－4x. (1)求y ＝f (x )在[－1,1]上的值域；(2)解不等式f (x )>16－9×2x；(3)若关于x 的方程f (x )＋m －1＝0在[－1,1]上有解，求m 的取值范围． 解：(1)设t ＝2x，因为x ∈[－1,1]，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，∴t ＝12时，f (x )max ＝14，t ＝2时，f (x )min ＝－2.∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14.(2)设t ＝2x，由f (x )>16－9×2x，得t －t 2>16－9t ，即t 2－10t ＋16<0，∴2<t <8，即2<2x<8，∴1<x <3，∴不等式的解集为(1,3)．(3)方程有解等价于m 在1－f (x )的值域内，∴m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3. 21. (本小题满分12分) 已知函数f (x )＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且f (3)<f (5)． (1)求m 的值，并确定f (x )的解析式；(2)若g (x )＝log a [f (x )－2x ](a >0且a ≠1)，求g (x )在(2,3]上的值域．解：(1)因为f (3)<f (5)，所以由幂函数的性质得，－2m 2＋m ＋3>0，解得－1<m <32.因为m ∈Z ，所以m ＝0或m ＝1. 当m ＝0时，f (x )＝x 3它不是偶函数； 当m ＝1时，f (x )＝x 2是偶函数， 所以m ＝1，f (x )＝x 2.(2)由(1)知g (x )＝log a (x 2－2x )， 设t ＝x 2－2x ，x ∈(2,3]，则t ∈(0,3]，此时g (x )在(2,3]上的值域，就是函数y ＝log a t ，t ∈(0,3]的值域． 当a >1时，y ＝log a t 在区间(0,3]上是增函数，所以y ∈(－∞，log a 3]； 当0<a <1时，y ＝log a t 在区间(0,3]上是减函数，所以y ∈[log a 3，＋∞)． 所以当a >1时，g (x )的值域为(－∞，log a 3]， 当0<a <1时，g (x )的值域为[log a 3，＋∞)．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝[f (x )]2－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )；(2)是否存在实数m >n >3，当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．解：(1)因为x ∈[－1,1]，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3， 则φ(x )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2. 当a <13时，y min ＝h (a )＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝289－2a 3；当13≤a ≤3时，y min ＝h (a )＝φ(a )＝3－a 2； 当a >3时，y min ＝h (a )＝φ(3)＝12－6a .所以h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a <13，3－a 2，13≤a ≤3，12－6a ，a >3.(2)假设满足题意的m ，n 存在， 因为m >n >3， 所以h (a )＝12－6a 在(3，＋∞)上是减函数． 因为h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2，12－6n ＝m 2，相减得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )．由m >n >3，所以m ＋n ＝6，但这与m >n >3矛盾， 所以满足题意的m ，n 不存在．。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)1.1指数与指数幂的运算基础训练(含解析)新人教A版必修1
指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算基础过关练题组一 根式的概念及其性质1.(2020福建三明第一中学高一月考)下列各式正确的是 ( )A.√(-3)2=3B.√a 44=a C.(√-23)3=2D.√(-2)33=22.若2<a <3,则√(2-a )2+√(3-a )44的化简结果是( )a a 53.已知xy ≠0且√4a 2a 2=2xy ,则有 ( )A .xy <0B .xy >0C .x >0,y >0D .x <0,y >04.若√a 2+2a +1+√a 2+6a +9=0,则(x2019)y= .5.已知a <b <0,n >1,n ∈N *,化简√(a -a )aa+√(a +a )aa.题组二 分数指数幂及其运算6.(2020广东佛山一中高一月考)下列运算结果中,一定正确的是 ( )A.a 3·a 4=a 7B.(-a 2)3=a 6C.√a 88=aD.√(-π)55=π7.(2020广东佛山一中高一上第一次段考)√a ·√a 3的分数指数幂表示为 ( )A.a 12B.a 32C.a 34D.都不对8.(2020浙江高一月考)计算:π0+22×(94)12= ;化简:(√√a 963)4(√√a 936)4= .9.化简下列各式.(1)√23√56√34;(2)(a 23·a 14·z 1)·(x 1·a 34·z 3)-13; (3)(14)2+(6√6)-13+√3+√2√3-√2(1.03)0×(-√62). 题组三 条件求值问题10.已知x =1+2b ,y =1+2b,若用x 表示y ,则y = ( )A.a +1a -1B.a +1aC.a -1a +1D.a a -111.(2020山东师范大学附属中学高一月考)已知a ,b ∈R,若8a=223b,则a +b = . 12.已知x =27,y =64,化简并计算:5a -23a 12(-14a -1a 12)·(-56a 13a 16).13.(2020浙江塘栖中学高一期末)若a 12+a -12=3,求下列代数式的值. (1)x 2x 2; (2)a 32a -32.能力提升练一、选择题1.(2020安徽屯溪一中高一上期中,)若a <14,则化简√(4a -1)24的结果是( )A.√4a -1B.√1-4a√4a -1 √1-4a2.(2020河北衡水安平中学高一月考,)设α,β是方程2x 2+3x +1=0的两根,则(14)a +a的值为 ( )B.18183.(2020河南鹤壁高中高三月考,)已知a +a 1=3,则下列各式中正确的个数是 ( )①a 2+a 2=7;②a 3+a 3=18; ③a 12+a -12=±√5;④a √a +a√a=2√5.4.(2020广东深圳中学高一月考,)若a +b =a 13,ab =16a 23(m >0),则a 3+b 3=( )B.a2a2D.3a 2二、填空题5.(2020湖南邵阳第十一中学高一期中,)设2x =8y +1,9y =3x 9,则x +y = .6.()已知a =3,则11+a 14+11-a 14+21+a 12+41+a 的值为 .7.()(√3+√2)2020×(√3√2)2021= .三、解答题8.(2020山西晋中平遥二中高一月考,)(1)(√8)-23×(√1023)92÷√105;(2)2×(√23×√3)6+(√2√2)434×(1649)-12√24×80.25+(2019)0.9.(2020甘肃兰州一中高一月考,)(1)计算:(0.0081)-143×7801×810.25+278-13-12;(2)已知a 12+a -12=3,求a 2+a 2的值.10.()已知x =12,y =23,求√a +√a √a -√a √a -√a√a +√a的值.11.(2020云南丽江高一月考,)已知方程x 28x +4=0的两根分别为x 1,x 2(x 1<x 2).(1)求a 1-2a 2-2的值;(2)求x 1-12x 2-12的值.答案全解全析 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算基础过关练1.C 对于A 选项,√(-3)2=3,故A 选项错误;对于B 选项,√a 44=|a |,故B 选项错误;对于C 选项,(√-23)3=2,故C 选项正确;对于D 选项,√(-2)33=2,故D 选项错误.故选C .2.C 原式=|2a |+|3a |, ∵2<a <3,∴原式=a 2+3a =1.3.A 因为xy ≠0且√4a 2a 2=2xy ,所以xy <0.4.答案 1解析 因为√a 2+2a +1+√a 2+6a +9=0,所以√(a +1)2+√(a +3)2=|x +1|+|y +3|=0,所以x =1,y =3.所以(x2019)y=[(1)2019]3=(1)3=1.5.解析 当n 是奇数时,原式=(ab )+(a +b )=2a ; 当n 是偶数时,因为a <b <0,所以ab <0,a +b <0, 所以原式=|ab |+|a +b | =(ba )+(ab )=2a.所以√(a -a )aa+√(a +a )aa={2a ,a 为奇数,-2a ,a 为偶数(n >1,n ∈N *). 6.A a 3a 4=a 3+4=a 7,故A 正确;(a 2)3=a 6,故B 不正确;√a 88=|a |,故C 不正确;√(-π)55=π,故D 不正确.故选A .7.A 原式=√a ·a 123=√a 323=(a 32)13=a 12,故选A . 8.答案118;a 4解析 根据指数幂的运算,化简可得 π0+22×(94)12=1+14×32=118. 由根式与指数幂的转化,可得(√√a 9634(√√a 9364=(√a 963)4(√a 36)4=(a96×3)4(a 36)4=a9×46×3·a3×46=a 2·a 2=a 4. 方法点拨 根指数分数指数的分母,被开方数(式)的指数分数指数的分子.9.解析 (1)原式=a 13a 23a 56a 34=a 13-56a 23-34=a -12a -112.(2)原式=(a 23a 14z 1)·(a 13a -14z 1)=a23+13a 14-14z 11=xz 2.(3)原式=116+√6+(√3+√2)21×(-√62)=116+√6+5+2√6+√62=81+56√616. 10.D 由x =1+2b,得2b=x 1, ∴y =1+2b=1+12a =1+1a -1=aa -1.11.答案 23解析 8a=223b⇒23a=223b⇒3a =23b ⇒a +b =23.12.解析 原式=5a -23a 12524a -23a 23=24a -16.将y =64代入,得原式=24×64-16=24×(26)-16=24×21=12.13.解析 (1)因为a 12+a -12=3,所以(a 12+a -12)2=9,整理得x +x 1=7,令t =a 12a -12,则t 2=(a 12-a -12)2=x +x 12=5,所以a 12a -12=±√5, 所以x 2x 2=(x +x 1)·(xx 1)=(x +x 1)·(a 12+a -12)(a 12a -12) =7×3×(±√5)=±21√5.(2)a 32a -32=(a 12a -12)·(x +x 1+1)=±8√5.能力提升练一、选择题1.B ∵a <14,∴4a 1<0, ∴√(4a -1)24=√1-4a .故选B . 2.A 由题意可知α+β=32,则(14)a +a=(14)-32=432=√43=8,故选A .3.C ①a 2+a 2=(a +a -1)22=92=7,正确; ②a 3+a 3=(a +a 1)(a 21+a 2)=3×(71)=18,正确;③因为a +a 1=3,所以a >0,所以a 12+a -12>0,又(a 12+a -12)2=a +2+a 1=5,所以a 12+a -12=√5,故错误; ④a √a +a √a=a 32+a -32=(a 12+a -12)(a 1+a 1)=√5×(31)=2√5,正确.故选C .4.B a 3+b 3=(a +b )(a 2ab +b 2) =(a +b )[(a +b )23ab ] =a 13·(a 23-12a 23)=a2.故选B .二、填空题 5.答案 27解析 由2x =8y +1得2x =23y +3,所以x =3y +3①. 由9y=3x 9得32y=3x 9, 所以2y =x 9②. 由①②,得x =21,y =6, 所以x +y =27.6.答案 1 解析11+a 14+11-a 14+21+a 12+41+a=2(1+a 14)(1-a 14)+21+a 12+41+a=21-a 12+21+a 12+41+a=4(1-a 12)(1+a 12)+41+a =41-a +41+a =8(1-a )(1+a )=81-a 2.因为a =3,所以原式=1. 7.答案 √3√2 解析 (√3+√2)2020×(√3√2)2021=[(√3+√2)(√3√2)]2020×(√3√2)=12020×(√3√2)=√3√2.三、解答题8.解析 (1)原式=(232)-23×(1023)92÷1052=21×103×10-52=21×1012=√102. (2)原式=2×(213×312)6+(212×214)434×74214×234+1=2×22×33+272+1=210. 9.解析 (1)原式=(34×104)-1431×[(34)-14+23]-12=31×1013×(13+23)-12=3.(2)由a 12+a -12=3,得(a 12+a -12)2=9,即a +a 1+2=9,∴a +a 1=7,∴(a +a 1)2=49,即a 2+a 2+2=49,∴a 2+a 2=47. 10.解析√a +√a √a -√a √a -√a √a +√a=(√a +√a )2a -a (√a -√a )2a -a =4√aaa -a.将x =12,y =23代入上式,则原式=4√12×2312-23=4√13-16=24√13=8√3.11.解析 ∵x 1,x 2是方程x 28x +4=0的 两根,∴x 1+x 2=8,x 1·x 2=4.(1)a 1-2a 2-2=(a 1+a 2)(a 2-a 1)(a 1a 2)2=a 2-a 12=√(a 1+a 2)2-4a 1a 22=√64-4×42=2√3. (2)x 1 -12x 2-12=√a +a -2√a a √a a=√8-2×22=1.。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1.2 指数函数及其性质教材梳理素材 新人教A版必修1
2.1.2 指数函数及其性质疱丁巧解牛知识·巧学·升华 一、指数函数及其性质 1.指数函数的定义一般地，函数y=a x（a ＞0且a ≠1，x ∈R ）叫做指数函数，其中x 是自变量.由于当a=0时，若x ＞0，a x 恒等于0；若x ≤0，a x无意义. 当a ＜0时，如y=（-2）x，对x=…，-21，41，21，…在实数范围内函数值不存在. 当a=1时，y=1x=1，是一常量，没有研究的必要.综上可知，当a ≤0或a=1时，不是没有意义，就是没有研究的必要，故规定a ＞0且a ≠1.只有形如y=a x （a ＞0且a ≠1）且定义域为R 的函数，才是指数函数，又如y=3·2x ，y=2x-1，y=2x+1等，是由指数函数经过某种变换而得到的，它们都不是指数函数.要点提示 因为指数的概念已经从整数扩充到实数，在底数a ＞0且a ≠1的情况下，对任意一个x 都有唯一确定的值y 与它对应，所以x 是任意实数. 2.指数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=2x 及y=0.5x图象列出x,y 的对应值表，用描点法化出图象： x …-3 -2 -1 0 1 2 3 … y=2x 0.13 0.25 0.5 1 2 4 8 y=0.5x84210.50.250.13要点提示 函数y=a x与y=a -x的图象关于y 轴对称.xa ＞10＜a ＜1图象性质①定义域：R ②值域：（0，+∞）③过点（0，1），即x=0时，y=1 ④在R 上是增函数， 当x ＜0时，0＜y ＜1； 当x ＞0时，y ＞1④在R 上是减函数， 当x ＜0时，y ＞1； 当x ＞0时，0＜y ＜1指数函数的单调性是指数函数性质中应用最广的，运用此性质可以求与指数函数有关的一般函数的值域、单调区间等．指数函数的图象变换有两种：一种是平移变换分上下、左右平移，遵循“左加右减，上加下减”．平移前后的形状没有发生变化，只是位置改变了；另一种是对称变换，它会导致前后的形状发生明显改变．指数函数的图象变换可以推广到我们学过的任何函数． 研究函数的性质，可明确图象的形状；通过函数的图象可以进一步加深对性质的理解．二者相辅相成、缺一不可，可通过解决函数的图象来解决与方程和不等式有关的问题，这时作函数的图象应明确其图象的形状，而确定形状的手段主要有：函数关系式的等价变形、图象的变换、通过研究函数的性质等．要点提示 ①指数函数的图象恒在x 轴上方；②指数函数的单调性取决于它的底数;③y=a x （a ＞1）在 x ＞0的方向上增幅越来越快；④指数函数由唯一的常量a 确定．⑤y=a x （0<a<1）在x ＜0的方向上增幅越来越快.方法点拨 遇到求含有字母的表达式等问题可先用待定系数法确定a ，再求值．深化升华 ①底数相同，指数不同的，可构造指数函数，利用函数的单调性比较大小； ②底数、指数都不相同的，可选一中间值比较大小； ③指数相同，底数不同的可用数形结合法比较大小. 问题·思路·探究问题1 为什么说指数函数的图象是研究函数性质的直观工具？思路：对于指数函数问题，我们不仅仅应该知道其表达式及利用表达式进行计算的问题，而且应注重结合其相应的图象掌握相应的知识且能灵活运用图象来分析问题、解决问题，从而领会图象在指数函数应用方面的作用． 探究:因为通过图象我们可以直观地看到，任取a({a|a>0且a ≠1}),图象始终过定点（0，1），图象始终在x 轴的上方；当a>1时第一象限的图象与0<a<1时第二象限的图象始终在直线y=1的上方，当a>1时第二象限的图象与0<a<1时第一象限的图象始终在直线y=1的下方，当a>1时，图象是上升的，当0<a<1时，图象是下降的．所以应用图象进行数形结合，清晰地刻画了指数函数的性质，它们便于我们记忆起函数性质和变化规律．问题2 函数y=2|x|的图象有什么特征？你能根据它的图象指出其值域和单调区间吗？思路：函数y=a |x|：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y=a x的ｙ轴右边的图象保留，再将y 轴右边部分关于ｙ轴作出对称部分；就得到了y=a |x|的图象．探究:函数y=2|x|的图象关于y 轴对称，这是因为它的图象由y=2x(x ≥0)的图象和y=(21)x（x<0）的图象合并而成，而y=2x（x>0）与y=(21)x（x<0）的图象关于y 轴对称，所以函数y=2|x|的图象关于y 轴对称，由图象可知值域是［1,+∞)，递增区间为［0,+∞)，递减区间为(-∞,0］问题3 函数y=a x+h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点（-h,1+k ）,为什么？思路：一般地，把函数y=f （x ）的图象向右平移m 个单位得函数y=f （x-m ）的图象（m ∈R ，m ＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f （x ）的图象向上平移n 个单位，得到函数y=f （x ）+n 的图象（n ∈R ，若n ＜0，就是向下平移|n|个单位＝探究:函数y=a x+h +k(a>0且a ≠1)的图象可由y=a x(a>0且a ≠1)的图象向左（当h>0时）或向右（当h<0时）平移|h|个单位，再向上（当k>0时）或向右（当k<0时）平移|k|个单位而得到，因为y=a x (a>0且a ≠1)的图象恒过点（0，1），所以函数y=a x+h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点（-h,1+k ）． 典题·热题·新题例1 下列函数中，哪些是指数函数？①y=4x ②y=x 4 ③y=-4x ④y=4-x ⑤y=(-4)x ⑥y=4x+1 ⑦y=4x +1⑧y=e x ⑨y=4x(x>0)⑩y=(a-1)x(a>1且a ≠2)思路解析：①④⑧⑩为指数函数，其中④y=4-x 从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（4-1）x，即y=（41）x.它实质上是指数函数. ②中底数x 不是常数，而4不是变数；③是-1与指数函数4x的乘积；⑤中底数-4<0; ⑥中的指数是x 的函数，不是自变量x ；⑦由y=4x向上平移得到的；⑨x 的范围不是R . 答案：②③⑤⑥⑦⑨不是指数函数．误区警示 像y=4x+1，y=4x +1的图象可由y=2x 的图象通过平移或伸缩变换而得到.而y=a -x从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（a -1）x，即y=（a1）x.它实质上是指数函数. 例2 若指数函数y=（2a-1）x是减函数.则a 的范围是多少？ 思路解析：由题意可知1＞2a-1＞0，得21＜a ＜1. 答案：21＜a ＜1 深化升华 解与指数有关的问题时，注意对底数分类讨论，这是考试的一个重点.例3 如右图，在同一坐标系下给出四个指数函数的图象，试比较底数a 、b 、c 、d 的大小.思路解析：作直线x=1与四个图象交于四个点，得四个纵坐标为a 、b 、c 、d ，底数都“跑”到纵轴上去了，可在数轴的位置上直观比较底数的大小，则a ＞b ＞1＞c ＞d ＞0 . 答案：a ＞b ＞c ＞d拓展延伸 在同一坐标系中，画出函数y=3x，y=（31）x ，y=2x，y=（21）x 的图象，比一比，看它们之间有何联系.从图中可以看到，图象向下无限地与x 轴靠拢，即x 轴是指数函数的渐近线.任何两个函数图象都是交叉出现的，交叉点是（0，1）.在y 轴的右侧，对同一变量x 而言，底数越大，函数值越大；在y 轴的左侧，情况正好相反，即对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越小.以此为依据，可定性地分析在同一坐标系中，底数不同的若干个指数函数的底数的大小关系.怎样定量分析同一坐标系中底数不同的指数函数的底数的大小呢？我们知道，对指数函数y=a x（a ＞0且a ≠1），当x=1时，y=a ，而a 恰好是指数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线x=1，它同各个图象相交，交点的纵坐标就是各指数函数的底数，以此可比较底数的大小.深化升华 （1）渐近线是指逐渐靠拢，但永远不能到达的线.（2）从联系的观点研究不同底数的指数函数图象间的关系，对深化理解指数函数的图象和性质是有帮助的.例4 画出下列函数的图象：（1）y=2x-1+2;(2)y=0.5|x|思路解析：利用指数函数的图象及结合函数图象的变换来处理.答案：（1）利用函数y=2x的图象沿x 轴正半轴平移一个单位，纵坐标不变，再把所得图象沿y 轴的正半轴平移2个单位，横坐标不变，得到y=2x-1+2的图象，如图(1)（注：画出虚直线的目的是体现平移变换）.（2）由y=0.5|x|=⎪⎩⎪⎨⎧<=≥-,0,25.0,0,5.0x x xx x作y=0.5x的图象但只取y 轴及其右侧部分，再作y=2x的图象但只取y 轴左侧部分，就得到函数y=0.5|x|的图象，如图(2)所示的实线（注：画出虚线的目的是衬托实线的特征）.图（1） 图（2） 深化升华 由指数函数的图象，我们还可以总结出图象的变化规律： ①平移规律若已知y=a x 的图象，则把y=a x 的图象向左平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x+b的图象.把y=a x 的图象向右平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x-b 的图象，把y=a x的图象向上平移b（b ＞0）个单位，则得到y=a x +b 的图象.把y=a x的图象向下平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x-b 的图象. ②对称规律函数y=a x 的图象与y=a -x 的图象关于y 轴对称，y=a x 的图象与y=-a x的图象关于直线x轴对称.函数y=a x 的图象与y=-a -x的图象关于坐标原点对称.函数y=a |x|：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y=a x的ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=a |x|的图象．拓展延伸 一般地，把函数y=f （x ）的图象向右平移m 个单位得函数y=f （x-m ）的图象（m ∈R ，m ＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f （x ）的图象向上平移n 个单位，得到函数y=f （x ）+n 的图象（n ∈R ，若n ＜0，就是向下平移|n|个单位＝.函数y=f （x ）的图象与y=f （-x ）的图象关于y 轴对称，函数y=f （x ）的图象与函数y=-f （x ）的图象关于x 轴对称，函数y=f （x ）的图象与函数y=-f （1-x ）的图象关于原点对称.函数y=f(|x|)：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=f(|x|)的图象．例5 用函数单调性定义证明函数f （x ）=2x在（-∞，+∞）上单调递增. 思路解析：函数单调递增：x 1＜x 2⇒f （x 1）＜f （x 2）;或先论证)()(21x f x f ＜1，又f （x 2）＞0⇒f （x 1）＜f （x 2）.证明：在（-∞，+∞）上任取x 1＜x 2，则)()(21x f x f =2121222x x x x -=,∵x 1-x 2＜0，∴212xx -＜1.又f （x 2）=2x2＞0，∴f （x 1）＜f （x 2）.∴函数f （x ）=2x在（-∞，+∞）上单调递增. 深化升华 在用函数单调性定义证明的过程中，除了作差法也可用作商法比较f （x 1）、f （x 2）的大小.例6 求下列函数的单调区间：（1）y=2425.0--x x ;(2)y=x112+.思路解析：将原函数“拆”成两个简单的函数，再依据复合函数的单调性求解． 解：（1）令u=x 2-4x-2,则y=0.5u.因为y=0.5u为减函数，所以y=2425.0--x x 与u=x 2-4x-2的单调性相反．又由u=x 2-4x-2=（x-2）2-6得u=x 2-4x-2在(-∞,2］为减函数，在［2,+∞)为增函数．所以y=2425.0--x x 在（-∞,2）为增函数，在［2,+∞］为减函数;（2）令u=1+x 1，则y=2u ,因为y=2u为增函数，所以y=x 112+的单调性与u=1+x 1的单调性相同．因为u=1+x1（x ≠0）所以在(-∞,0)及（0，+∞）上均为减函数,所以y=x 112+的单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞).拓展延伸 确定函数的单调性，利用复合函数的单调性的方法或可变形函数解析式，利用已有函数的单调性进行由里及外的层层判断，最终得出函数的单调性.但是要证明单调性必须用单调性定义.本题求函数值域也可以利用解析式变形，由里及外层层求出值域最终而得：y=1212+-x x =1-122+x .x ∈（-∞，+∞）⇒2x ＞0⇒2x+1＞1⇒121+x ＜1，∴-2＜-122+x＜0.∴-1＜y ＜1.∴值域为（-1，1）.例7 已知函数f （x ）=a x（a ＞0，且a ≠1），根据图象判断21［f （x 1）+f （x 2）］与f （221x x +）的大小，并加以证明.思路解析：对a ＞1及0＜a ＜1两种情形的指数函数图象，分别取两点A （x 1，f （x 1））、B （x 2，f （x 2））连线段，其中21［f （x 1）+f （x 2）］就是这线段中点M 的函数值，f （221x x +）就是图象上弧线段与直线x=221x x +的交点M 的函数值，如下图.显然无论哪一种情形总有点N 在点M 下方. ∴f （221x x +）＜21［f （x 1）+f （x 2）］. 证明：f （x 1）+f （x 2）-2f （221x x +）=2222)(2112121x x x x xx a aaa a -=-++.由x 1≠x 2，∴21x ≠22x .∴2221xxa a -≠0，∴222)(21xxa a -＞0.∴f （x 1）+f （x 2）-2f （221x x +）＞0. 深化升华 通过数形结合我们不难发现凸凹函数的性质. 若f （x ）是凸函数，则f （221x x +）≥21［f （x 1）+f （x 2）］； 若f （x ）是凹函数，则f （221x x +）≤21［f （x 1）+f （x 2）］. 例8 方程2x-1=2x 的实数解的个数为（ ）A. 0个B.1个C.2个D.3个 思路解析：这不是我们所学的代数等式,也不可能转化成代数式,只有数形结合观察图象交点才能解决.答案：2x-1=2x 可化为2x=2x+1，令⎩⎨⎧+==122x y y x 在同一坐标系中画出y=2x及y=2x+1的图象．如右图所示，可以看出它们图象有两个交点．故选C.深化升华 遇到等式两边的形式属于不同类型的函数而且直接处理无法进行时，这时应联想到用数形结合来解决．。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2第1课时指数函数的图象及性质课件新人教A版必修1
与指数函数有关的定义域、值域问题
求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝
；(2)y＝23－|x|.
思路点拨：
指数函数y＝axa＞0， 且a≠1的定义域是R
―→
函数y＝afxa＞0，且a≠1 与fx的定义域相同
―→
值域
解：(1)由xx＋ －11≥0，得 x≤－1 或 x＞1.
已知指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(6)＝________. 解析：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)． ∵函数f(x)的图象过点(3,8)． ∴8＝a3，∴a＝2. ∴f(x)＝2x. ∴f(6)＝26＝64. 答案：64
2．指数函数的图象和性质 a＞1
图象图象
如图是指数函数：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④ y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
思路点拨：
解析：方法一：在①②中底数大于零且小于 1，在 y 轴右 边，底数越小，图象向下越靠近 x 轴，故有 b＜a，在③④中底 数大于 1，在 y 轴右边，底数越大，图象向上越靠近 y 轴，故 有 d<c.故选 B.
1．指数函数的图象一定在x轴的上方．( ) 2．当a＞1时，对于任意x∈R总有ax＞1.( ) 3．函数f(x)＝2－x在R上是增函数．( ) 答案：1.√ 2.× 3.×
指数函数的概念
函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值． 思路点拨： ax的系数为1 ―→ a为常数，a＞0且a≠1 ―→ 不等式组 解：∵y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数， ∴aa＞2－03且a＋a≠3＝1，1， 解得aa＝ ＞10或 且2a，≠1. ∴a＝2.
学年高中数学第二章基本初等函数(I)新人教版必修1
【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学第二章基本初等函数（I）新人教版必修12.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算第1课时根式目标定位 1.理解n次方根及n次根式的概念.2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.自主预习1.根式及相关概念(1)a的n次方根定义如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数naa∈Rn为偶数±na [0，＋∞)(3)根式式子na n叫做根指数，a叫做被开方数.2.根式的性质(1)n0＝0(n∈N*，且n＞1)；(2)(na)n＝a(n∈N*，且n＞1)；(3)na n＝a(n为大于1的奇数)；(4)na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a（a≥0），－a（a＜0）(n为大于1的偶数).即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根式一定是无理式.( )(2)若(n－5)n有意义，则整数n一定是奇数.( )(3)a的n次方根是na.( )(4)(m－2)2＝m－2.( )提示(1)错.根式不一定是无理式，如327＝3，16＝4.(2)对.当整数n为偶数时，(n－5)n没有意义.(3)错.当a>0，n为偶数时，a的n次方根为±na.(4)对.根据n次方根的意义，(m－2)2＝m－2. 答案(1)×(2)√(3)×(4)√2.已知x7＝16，则x＝( )A.2 2B.716 C.－716 D.±716解析由根式的定义知x＝7 16.答案 B3.若a＋(a－2)0有意义，则a的取值范围是( )A.a≥0B.a＝2C.a≠2D.a≥0且a≠2解析要使此式子有意义，必须满足a≥0且a－2≠0，即a≥0且a≠2.答案 D4.3（－1）3＝________；481＝________.解析当n为奇数时，na n＝a，当n为偶数时，na n＝|a|，∴3（－1）3＝－1，481＝3.答案－1 3类型一n次方根的概念问题【例1】 (1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________.(2)若31a－3有意义，则实数a的取值范围是________.解析(1)依题意，a＝±81＝±9，b＝3－8＝－2.∴a＋b＝－11或a＋b＝7.(2)由于根指数是3，只需1a－3有意义，∴a－3≠0，故a的取值范围是{a|a≠3}.答案(1)－11或7 (2){a|a≠3}规律方法(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个.(2)根式na的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定：①当n为偶数时，为非负实数；②当n为奇数时，na的符号与a的符号一致.【训练1】 (1)若x4＝3，则x＝________.(2)设m＜0，则(－m)2＝________.解析(1)依题意，x是3的4次方根，∴x＝±43.(2)∵m＜0，∴－m＞0，∴(－m)2＝－m.答案(1)±43 (2)－m类型二根式的化简与求值【例2】 (1)化简13（2＋5）3＋1（32－5）3；(2)求值5＋26＋7－4 3.解(1)原式＝12＋5＋12－5＝5－2－(5＋2)＝－4.(2)5＋26＋7－43＝3＋26＋2＋4－43＋3＝（3＋2）2＋（2－3）2＝3＋2＋2－3＝2＋ 2.规律方法(1)①解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式是奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.②开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简.(2)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论.【训练2】(2016·吉林高一检测)化简3（1＋2）3＋4（1－2）4.解3（1＋2）3＋4（1－2）4.＝2＋1＋|1－2|＝2＋1＋2－1＝2 2. 类型三 有限制条件的根式运算(互动探究)【例3】 (1)若x <0，则x ＋|x |＋x 2x＝________；(2)若代数式2x －1＋2－x 有意义， 化简4x 2－4x ＋1＋24（x －2）4. [思路探究]探究点一 代数式2x －1＋2－x 有意义，x 应满足什么条件？ 提示 要开偶次方根，满足2x －1≥0且2－x ≥0. 探究点二 代数式4x 2－4x ＋1如何去掉根号？提示 将4x 2－4x ＋1化为(2x －1)2，再利用根式的性质去根号.解 (1)当x <0时，x ＋|x |＋x 2x＝x －x ＋|x |x ＝－xx＝－1.(2)由2x －1＋2－x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2－x ≥0，即12≤x ≤2.故4x 2－4x ＋1＋24（x －2）4＝（2x －1）2＋24（x －2）4＝|2x －1|＋2|x －2|＝2x －1＋2(2－x )＝3. 规律方法 有限制条件的根式化简注意两点：(1)条件的运用：充分利用已知条件，确定所要化简的代数式中根式的根指数是奇数还是偶数，确定被开方数是正数还是负数.(2)讨论的标准：如果根式的被开方数不确定时，可依据题设条件对被开方数取正值、负值、零进行分类讨论，得出结论.【训练3】 设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值. 解 原式＝（x －1）2－（x ＋3）2＝|x －1|－|x ＋3| ∵－3＜x ＜3，∴当－3＜x ＜1时， 原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4，∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2 （－3＜x ＜1），－4 （1≤x ＜3）.[课堂小结]1.对n 次方根的三点说明(1)当n 为奇数时，正数a 的n 次方根是一个正数，负数a 的n 次方根是一个负数，记作na . (2)当n 为偶数时，正数a 的n 次方根有两个，记作±na ，负数没有偶次方根. (3)零的任何次方根都是0. 2.根式记号的注意点(1)根式中根指数要求n >1，且n ∈N *.(2)当n 为奇数时，n a 中a ∈R ，当n 为偶数时，na 中a ≥0. 3.掌握两个公式：(1)(na )n ＝a ，n 为奇数；(2)na n ＝a ，n 为偶数，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a ＜0）.1.若m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4m 2B.3mC.6mD.5－m解析 C 中，6m 隐含m ≥0；当m <0时，没有意义. 答案 C2.下列各式正确的是( ) A.8a 8＝aB.a 0＝1C.4（－4）4＝－4D.3（－3）3＝－3解析 A 中，8a 8＝|a |，当a <0时，不成立.B 中，当a ＝0时，a 0没意义，B 不正确.C 中，4（－4）4＝444＝4，C 不正确；D 中3（－3）3＝－3正确.答案 D3.若x >3，则x 2－6x ＋9－|2－x |＝________.解析 原式＝（x －3）2－|2－x |＝|x －3|－|2－x |＝x －3－(x －2)＝－1(x >3). 答案 －14.(2016·杭州高一检测)化简：(a －1)2＋（1－a ）2＋7（a －1）7. 解 由题意知a －1有意义，则a ≥1.原式＝(a －1)＋|1－a |＋(a －1)＝a －1＋a －1＋a －1＝3a －3.基 础 过 关1.若a ＜12，则化简4（2a －1）2的结果是( )A.2a －1B.－2a －1C.1－2aD.－1－2a解析 ∵a ＜12，∴2a －1＜0，∴（2a －1）2＝1－2a ，∴4（2a －1）2＝1－2a .答案 C2.下列式子中成立的是( )A.a －a ＝－a 3B.a －a ＝－a 3C.a －a ＝－－a 3D.a －a ＝a 3解析 依题意－a ≥0，即a ≤0，∴a －a ＝－（－a ）2（－a ）＝－（－a ）3＝－－a 3. 答案 C3.(2016·天津高一检测)化简（x ＋3）2－3（x －3）3得( ) A.6 B.2xC.6或－2xD.－2x 或6或2解析 原式＝|x ＋3|－(x －3)，当x ≥－3时，原式＝x ＋3－x ＋3＝6.当x <－3时，原式＝－(x ＋3)－x ＋3＝－2x . 答案 C4.计算：12－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫350＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－0.5＋4（2－e ）4＝____________. 解析 原式＝2＋1－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×0.5＋e －2＝e ＋23.答案 e ＋235.若x 2＋4x ＋4＝－x －2，则实数x 的取值范围是________. 解析 因为x 2＋4x ＋4＝（x ＋2）2＝|x ＋2|. 又|x ＋2|＝－(x ＋2)，所以x ＋2≤0，故x ≤－2. 答案 (－∞，－2]6.化简n（x －π）n (x <π，且n ∈N *). 解 ∵x ＜π，∴x －π＜0，当n 为偶数时，n （x －π）n＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时，n（x －π）n＝x －π， 综上，n（x －π）n＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *.x －π，n 为奇数，n ∈N *7.若等式（x －5）（x 2－25）＝(5－x )x ＋5成立，求实数x 的取值范围. 解 由于（x －5）（x 2－25）＝（x －5）2（x ＋5） 依题意要使（x －5）2（x ＋5）＝(5－x )x ＋5成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x －5≤0，即－5≤x ≤5.故实数x 的取值范围是[－5，5].8.当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9. 解 ∵2－x 有意义，∴2－x ≥0，即x ≤2， ∴x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9 ＝（x －2）2－（x －3）2＝|x －2|－|x －3|＝2－x －(3－x ) ＝－1.能 力 提 升9.化简－x3x的结果为( )A.－－xB.xC.－xD.－x解析 要使式子有意义，只需－x 3>0，即x <0，所以－x3x ＝－x －xx＝－－x .答案 A10.已知二次函数y ＝ax 2＋2bx 图象如图所示，则4（a －b ）4的值为( )A.a ＋bB.－(a ＋b )C.a －bD.b －a解析 由图象知a ＜0，－b a＞－1，故b ＞a ，即a －b ＜0，∴4（a －b ）4＝|a －b |＝b －a .答案 D11.若a <0，则a 2·(a ＋1)＋3a 3＝________.解析 ∵a <0，∴a 2·(a ＋1)＋3a 3＝|a |(a ＋1)＋a ＝－a (a ＋1)＋a ＝－a 2. 答案 －a 212.若x －1＋4x ＋y ＝0，则x 2 015＋y 2 016＝________.解析 由x －1＋4x ＋y ＝0，得x －1＝0且4x ＋y ＝0，∴x ＝1且y ＝－1， 从而x2 015＋y2 016＝12 015＋(－1)2 016＝1＋1＝2.13.已知4a 4＋4b 4＝－a －b ，求4（a ＋b ）4＋3（a ＋b ）3的值.解 因为4a 4＋4b 4＝－a －b .所以4a 4＝－a ，4b 4＝－b ，所以a ≤0，b ≤0，所以a ＋b ≤0，所以原式＝|a ＋b |＋a ＋b ＝－(a ＋b )＋a ＋b ＝0.探 究 创 新14.若x >0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝________.解析 因为x >0，所以原式＝(2x 14)2－(332)2－4x －12·x ＋4x －12·x 12＝4x 14×2－332×2－4x －12＋4x－12＋12＝4x 12－33－4x 12＋4x 0＝4x 12－33－4x 12＋4＝4－27＝－23. 答案 －23第2课时 指数幂及运算目标定位 1.理解分数指数幂的含义；熟练掌握用分数指数幂表示一个正实数的n 次方根.2.会进行根式与分数指数幂的相互转化，能运用有理数指数幂的运算性质进行运算和化简.3.经历用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程，了解实数指数幂的含义.自 主 预 习1.分数指数幂(1)定义：规定正数的正分数指数幂的意义是：a mn＝na m (a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a －m n＝1a m n(a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1)；(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.2.有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；(2)(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q ).温馨提示：分数指数幂a mn 不能理解为m n个a 相乘；任何有意义的根式都能化为分数指数幂的3.无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.即 时 自 测1.234化成根式形式为( ) A.324B.423C.432D.243解析 结合正分数指数幂的运算性质可知234＝423. 答案 B2.5a －2可化为( ) A.a －25B.a 52C.a 25 D.－a 52解析5a －2＝(a －2)15＝a －25.答案 A3.计算[(－5)－3]－13的结果是________. 解析 [(－5)－3]－13＝(－5)(－3)(－13)＝－ 5.答案 － 5 4.a 3a 2＝________.解析 ∵a3a 2＝a 12a 23＝a 12－23＝a －16＝16a.答案 16a类型一 根式与分数指数幂的互化【例1】 (1)(2016·济宁高一检测)设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂，其结果是( )A.a 12 B.a 32 C.a 56 D.a 76(2)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A.－x ＝(－x )12(x >0)B.6y 2＝y 13(y <0)C.x －34＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x >0) D.x －13＝－3x (x ≠0)解析 (1)a 2a ·3a 2＝a 2a ·a 23＝25132()a a＝a 2a 56＝a2－56＝a 76.(2)选项A 中，(－x )12无意义，不正确.B 中，6y 2＝y 26＝(－y )13(y <0)，B 不正确.C 中，x －34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 34＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x >0)正确. D 中，x －13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 13＝31x ≠－3x (x ≠0)，不正确.答案 (1)D (2)C规律方法 (1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化关系式： ①根指数指数幂的分母.②被开方数(式)的指数分数指数幂的分子.(2)当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简.【训练1】 将下列各式化为分数指数幂的形式.(1)13x ·（5x 2）2(x >0)；(2)ab 3ab 5(a >0，b >0).解 (1)原式＝13x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 252＝13x ·x 45＝13x 95＝3513935511x xx -==⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)原式＝[ab 3(ab 5)12]12＝[a ·a 12b 3(b 5)12]12＝(a 32b 112)12＝a 34b 114. 类型二 利用分数指数幂运算性质化简与求值 【例2】 (2016·宁波高一检测)计算：(1)a 23b 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 12b 13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 16b 56. (2)(0.064)－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋⎝ ⎛⎭⎪⎫811614＋|－0.01|12. 解 (1)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫－3÷13a 23＋12－16b 12＋13－56＝－9a . (2)原式＝(0.43)－13－1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32414＋(0.12)12＝0.4－1－1＋32＋0.1＝3110.规律方法 (1)①由分数指数幂的概念，将根式化成分数指数幂.②利用分数指数幂的运算性质进行化简.(2)对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序. 【训练2】 化简求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －23y 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x －1y 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x 13y －16；(2)(2016·温州高一检测)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42232()3-解 (1)原式＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14·⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x －23－1＋13y 12＋12－16＝2524x －43y 56.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234·214－122323⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＋21－⎝ ⎛⎭⎪⎫2323×12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2. 类型三 分数指数幂的综合应用【例3】 已知a 12＋a -12＝3，求a ＋a －1，a 2＋a －2的值.解 ∵a 12＋a -12＝3， ∴两边平方得：a ＋a －1＋2a 12＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12＝9， 故a ＋a －1＝7.将a ＋a －1＝7两边平方得a 2＋a －2＋2a ·a －1＝49. 因此a 2＋a －2＝47.规律方法 条件求值问题的两个步骤及一个注意点 (1)两个步骤：(2)一个注意点：若已知条件或所求式子中含有平方差、立方差的形式，要注意整体代换及平方差、立方差公式的灵活应用.【训练3】 若例3条件变为：已知x ＋x －1＝7，求值：(1)x 12＋x －12；(2)x 12－x －12.解 (1)设m ＝x 12＋x －12，两边平方得m 2＝x ＋x －1＋2x 12·x －12＝7＋2＝9.又m >0，所以m ＝3，即x 12＋x －12＝3.(2)设n ＝x 12－x －12则n 2＝x ＋x －1－2x 12·x －12＝7－2＝5.∴n ＝±5，即x 12－x －12＝± 5.[课堂小结]1.分数指数幂与根式互化(1)指数幂a m n 不可以理解为m n个a 相乘，它是根式的一种新写法.在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数幂与根式可以相互转化.(2)通常规定分数指数幂的底数a >0，但要注意在像(－a )14＝4－a 中的a ，则需要a ≤0. 2.对有理数指数幂的运算性质的三点说明(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的幂，底数不变，指数相乘；③积的幂等于幂的积.(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘. (3)化简的结果不能同时含有根式和分数指数幂.3.根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.1.⎝ ⎛⎭⎪⎫81625－14的值是( ) A.35B.53C.325D.259解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫81625－14＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫354－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－1＝53.答案 B2.计算⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －3b －23·(－3a －1b )÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －4b －53得( )A.－32b 2B.32b 2 C.－32b 73D.32b 73解析 原式＝－6a －4b134a －4b －53＝－32b 2.答案A3.614－3338＋30.125的值为________. 解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－3⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝52－32＋12＝32. 答案 324.(2015·淮安高一检测)不用计算器求下列各式的值： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－0.30－16-34； (2)设x 12＋x -12＝2，求x ＋x －1.解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9412－1－(24) -34＝32－1－2－3＝12－18＝38.(2)由x 12＋x-12＝2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12＋x －122＝4，即x ＋x －1＋2＝4，故x ＋x －1＝2.基 础 过 关1.已知a m＝4，a n＝3，则a m －2n的值为( )A.23 B.6C.32D.2解析am －2n＝a m （a n ）2＝49＝23. 答案 A2.如果x ＝1＋2b，y ＝1＋2－b，那么用x 表示y 等于( ) A.x ＋1x －1B.x ＋1xC.x －1x ＋1D.xx －1解析 由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，y ＝1＋2－b＝1＋12b ＝1＋1x －1＝x x －1.答案 D3.化简(36a 9)4(63a 9)4的结果为( )A.a 16B.a 8C.a 4D.a 2解析 (36a 9)4(63a 9)4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 964⎝ ⎛⎭⎪⎫6a 934＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 124⎝ ⎛⎭⎪⎫a 124＝a 4.答案 C4.（3×223×512）（－4×212×513）－3×216×556＝________. 解析 原式＝223＋2＋12－16×512＋13－56＝23＝8.答案 85.下列根式、分数指数幂的互化中，正确命题的序号是______. ①－x ＝(－x )12 (x ≠0)；②x －13＝－3x ；③⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －34＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3(x ，y ≠0)；④⎝ ⎛⎭⎪⎫4b －32－23＝b 19. 解析 ①不正确，∵－x ＝－x 12； ②不正确，∵x －13＝13x；③正确，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 43＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3；④不正确，∵b ≠0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫4b －23－23＝b 19. 答案 ③6.计算下列各式的值或化简：(1)(0.027)13－⎝ ⎛⎭⎪⎫61412＋25634＋(22)23－3－1＋π0；(2)化简：44x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－34x ·13y ÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫－63y 2x . 解 (1)原式＝[(0.3)3]13－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫52212＋(44) 34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23223－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝96715. (2)原式＝4×（－3）－6x 14＋14－(－12)y －13－23＝2x ·y －1＝2xy .7.化简：3xy 2·xy －1·xy ·(xy )－1(xy ≠0). 解 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy 2（xy －1）1213·(xy )12·(xy )－1＝x 13·y 23|x |16|y |-16·|x |-12·|y |-12＝x 13·|x |-13＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，－1，x <0.8.化简：a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3a .解 原式＝a 13（a －8b ）4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷a 13－2b 13a 13·a 13＝a 13（a －8b ）4b 23＋2a 13b 13＋a 23·a 13a 13－2b 13·a 13 ＝a （a －8b ）⎝ ⎛⎭⎪⎫a 133－⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 133＝a （a －8b ）a －8b＝a .能 力 提 升9.(2016·宜春高一检测)计算2－12＋（－4）02＋12－1－（1－5）0，结果是( )A.1B.2 2C. 2D.2－12解析 原式＝12＋12＋2＋1（2＋1）（2－1）－1＝22＋22＋2＋1－1＝2 2. 答案 B10.(2016·长沙长郡中学模块检测)化简(a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)的结果为( ) A.1B.－1C.a 2－1a 2＋1D.a 2＋1a 2－1解析 (a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)＝（a －a －1）2（a ＋a －1）（a －a －1）＝a －a －1a ＋a －1＝a （a －a －1）a （a ＋a －1）＝a 2－1a 2＋1. 答案 C11.设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 解析 利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝2-15.答案 1421512.(2016·湖北襄阳五中月考)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2＝________. 解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9412－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫827－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝12. 答案 1213.(2016·天津高一检测)已知a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，求a b －a －b的值. 解 由a b ＋a －b ＝22，得(a b ＋a －b )2＝8. 所以a 2b＋a－2b＋2＝8，即a 2b ＋a－2b＝6.同理(a b －a －b )2＝a 2b＋a－2b－2＝6－2＝4又a >1，b <0知a b－a －b<0. 故a b －a －b＝－2.探 究 创 新14.已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值. 解 因为a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，ab ＝4，因为a >b >0，所以a >b >0.所以a －ba ＋b>0.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝210＝15， 所以a －ba ＋b＝15＝55.2.1.2 指数函数及其性质 第1课时 指数函数的图象及性质目标定位 1.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义.2.能用描点法或借助计算器或计算机画出指数函数的图象.3.初步理解指数函数的有关性质(定义域、值域、特殊点、单调性).自 主 预 习1.指数函数的概念一般地，函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 2.指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象和性质a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 (0，＋∞)性质过定点过点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1函数值 的变化 当x ＞0时，y ＞1； 当x <0时，0＜y ＜1 当x ＞0时，0＜y ＜1； 当x ＜0时，y ＞1 单调性是R 上的增函数是R 上的减函数温馨提示：指数函数的图象和性质中，掌握图象是关键，根据图象可以观察理解函数的性质.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x 3，y ＝2x ＋1，y ＝52x都是指数函数.( )(2)指数函数的图象经过点(2，4)，则当x ＝3时，y ＝8.( )(3)函数y ＝2x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象关于y 轴对称.( )提示 (1)错.只有y ＝52x ＝10x是指数函数.(2)对.设指数函数为y ＝a x，得4＝a 2，所以a ＝2.所以y ＝2x.当x ＝3时，y ＝8.(3)对.作出这两个函数的图象，可知这两个函数的图象关于y 轴对称. 答案 (1)× (2)√ (3)√2.下列各函数中，是指数函数的是( ) A.y ＝(－2)xB.y ＝－5xC.y ＝4x －1D.y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x解析 根据指数函数的概念知，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x是指数函数. 答案 D3.函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x的图象可能是( )解析 因为43>1，图象经过点(0，1)，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x 的图象可能是选项A 的图象.答案 A4.函数f (x )＝2x与y 轴的交点坐标为________. 解析 令x ＝0得f (0)＝20＝1. 答案 (0，1)类型一 指数函数的概念【例1】 在下列的关系式中，哪些是指数函数，为什么？ (1)y ＝2x ＋2；(2)y ＝(－2)x ；(3)y ＝－2x ；(4)y ＝πx；(5)y ＝x 2；(6)y ＝(a －1)x(a ＞1，且a ≠2).解 只有(4)，(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；(1)中解析式可变形为y ＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式中多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；(6)中令b ＝a －1，则y ＝b x，b ＞0且b ≠1，所以是.规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a 为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x ；(3)a x的系数是1. 2.求指数函数的关键是求底数a ，并注意a 的限制条件.【训练1】 函数y ＝(2a －3)x是指数函数，则实数a 的取值范围是________.解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a －3>0，2a －3≠1，解得a >32且a ≠2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪(2，＋∞)类型二 指数函数的图象【例2】 如图是指数函数①y ＝a x，②y ＝b x，③y ＝c x，④y ＝d x的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是( )A.a <b <1<c <dB.b <a <1<d <cC.1<a <b <c <dD.a <b <1<d <c解析 法一 在y 轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大.由指数函数图象的升降，知c >d >1，b <a <1.∴b <a <1<d <c .法二 作直线x ＝1，与四个图象分别交于A 、B 、C 、D 四点，由于x ＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大. 由图可知b <a <1<d <c .答案 B规律方法 1.无论指数函数的底数a 如何变化，指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象与直线x ＝1相交于点(1，a )由图象可知：在y 轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大. 2.处理指数函数的图象：①抓住特殊点，指数函数图象过点(0，1)；②巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响.【训练2】 函数y ＝|2x－2|的图象是( )解析 y ＝2x －2的图象是由y ＝2x的图象向下平移2个单位长度得到的.故y ＝|2x －2|的图象是由y ＝2x－2的图象在x 轴上方的部分不变，下方部分对折到x 轴的上方得到的.所以选项B 满足函数y ＝|2x－2|的图象特征. 答案 B类型三 求指数型函数的定义域、值域 【例3】 求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝21x －4；(2)y ＝1－2x；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3.解 (1)由x －4≠0，得x ≠4， 故y ＝21x －4的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠4}. 又1x －4≠0，即21x －4≠1， 故y ＝21x －4的值域为{y |y ＞0，且y ≠1}. (2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x ≤0， ∴y ＝1－2x的定义域为(－∞，0].由0＜2x ≤1，得－1≤－2x ＜0，∴0≤1－2x＜1， ∴y ＝1－2x的值域为[0，1). (3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的定义域为R . ∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16.又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3＞0，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的值域为(0，16]. 规律方法 1.对于y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)型函数的定义域、值域(1)定义域：形如y ＝af (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合.(2)值域可分两步求解：①换元，令t ＝f (x )，x ∈D ，并求t ＝f (x )的值域M . ②利用y ＝a t的单调性求y ＝a t，t ∈M 的值域. 2.求指数型函数定义域、值域注意两点：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集. (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论.【训练3】 (1)函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域是________. (2)已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象过点(2，1)，则f (x )的值域为( )A.[9，81]B.[3，9]C.[1，9]D.[1，＋∞) 解析 (1)要使函数有意义，则有1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.解得x ≥0.故函数的定义域为[0，＋∞).(2)∵y ＝f (x )的图象过点(2，1)，∴32－b＝1，∴b ＝2，则f (x )＝3x －2，由于2≤x ≤4，知0≤x －2≤2.故f (x )的值域是[1，9]. 答案 (1)[0，＋∞) (2)C [课堂小结]1.指数函数概念的理解判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否具有三个特征： (1)底数a >0，且为不等于1的常数，也不含有自变量x . (2)指数位置是自变量x ，且x 的系数是1. (3)a x的系数是1.2.指数函数的图象随底数的变化规律由图象可知：在y 轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大.可概括为第一象限内，底数自下而上依次增大.3.指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的性质分底数a ＞1，0＜a ＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的.4.(1)由于指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的定义域为R ，即x ∈R ，所以函数y ＝af (x )(a ＞0且a ≠1)与函数f (x )的定义域相同.(2)求函数y ＝af (x )(a ＞0且a ≠1)的值域的方法如下：①换元，令t ＝f (x )，并求出函数t ＝f (x )的定义域； ②求t ＝f (x )的值域t ∈M ；③利用y ＝a t的单调性求y ＝a t在t ∈M 上的值域.1.函数f (x )＝2x－32的定义域是( ) A.(5，＋∞) B.[5，＋∞) C.(－∞，5)D.(－∞，5]解析 依题意2x －32≥0，即2x≥25，解得x ≥5.所以函数y ＝2x－32的定义域为[5，＋∞). 答案 B 2.函数y ＝5－|x |的图象是( )解析 当x ＞0时，y ＝5－|x |＝5－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x，又原函数为偶函数，选项D 的图象满足要求.答案 D3.若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x是指数函数，则实数a ＝________.解析 由y ＝(a 2－3a ＋3)·a x是指数函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，解得a ＝2.答案 24.求函数y ＝512x －4的定义域和值域.解 依题意2x －4>0，∴x >2，∴函数y ＝512x －4的定义域为(2，＋∞).当x >2时，2x －4>0， 则12x －4>0，又指数函数y ＝5t在(0，＋∞)上是增函数，∴y >1， 故函数y ＝512x －4的值域为(1，＋∞).基 础 过 关1.函数y ＝2x ＋1的图象是( )解析 当x ＝0时，y ＝2，且函数单调递增，故选A. 答案 A2.若函数f (x )＝(a －1)x在R 上是指数函数，那么实数a 的取值范围是( ) A.(0，1)∪(1，＋∞) B.(1，2) C.(1，2)∪(2，＋∞)D.(0，＋∞)解析 由题意得a －1>0且a －1≠1，所以a >1且a ≠2. 答案 C3.(2016·浙江求实高中期中)函数y ＝a x＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点( ) A.(0，1)B.(1，0)C.(2，1)D.(0，2)解析 因为y ＝a x的图象一定经过点(0，1)，将y ＝a x的图象向上平移1个单位得到函数y ＝a x ＋1的图象，所以，函数y ＝a x＋1的图象经过点(0，2). 答案 D4.函数y ＝4x＋2的值域是________.解析 因为对于任意x ∈R ，都有4x >0，所以4x ＋2>2，即函数y ＝4x＋2的值域是(2，＋∞). 答案 (2，＋∞)5.已知函数y ＝(a －2)x是指数函数，且当x <0时，y >1，则实数a 的取值范围是________. 解析 由题知函数y ＝(a －2)x是减函数，所以0<a －2<1，即2<a <3. 答案 (2，3) 6.求函数y ＝32x －1－19的定义域.解 要使函数有意义，则32x －1－19≥0，即32x －1≥3－2. ∵函数y ＝3x是增函数， ∴2x －1≥－2，即x ≥－12.故所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. 7.已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，其中a ＞0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域.解 (1)∵f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12， ∴a2－1＝12，则a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ≥0.由x ≥0，得x －1≥－1，于是0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，所以函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0，2].8.若y ＝(a －3)(a －2)x是指数函数，求函数f (x )＝a1x ＋2的定义域与值域. 解 因为y ＝(a －3)(a －2)x是指数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝1，a －2>0且a －2≠1，解得a ＝4.所以f (x )＝41x ＋2由x ＋2≠0，知f (x )的定义域是{x |x ∈R 且x ≠－2}. 令t ＝1x ＋2，则t ≠0，所以4t >0且4t≠1，故f (x )的值域为{y |y >0且y ≠1}. 能 力 提 升9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x －12，x ＞0，2x ，x ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A.4B.14C.－4D.－14解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫19－12＝－2，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝2－2＝14.答案 B10.函数y ＝－e x的图象( ) A.与y ＝e x的图象关于y 轴对称 B.与y ＝e x的图象关于坐标原点对称 C.与y ＝e －x的图象关于y 轴对称 D.与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称解析 y ＝e x的图象与y ＝－e x的图象关于x 轴对称，y ＝－e x的图象与y ＝e －x的图象关于原点对称. 答案 D11.(2016·浙江杭州西湖高中月考)已知集合A ＝{x |1≤2x<16}，B ＝{x |0≤x <3，x ∈N }，则A ∩B ＝________.解析 由1≤2x<16得0≤x <4，即A ＝{x |0≤x <4}，又B ＝{x |0≤x <3，x ∈N }，所以A ∩B ＝{0，1，2}. 答案 {0，1，2}12.方程|2x－1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是______.解析 作出y ＝|2x－1|的图象(如图)，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，∴a ≥1或a ＝0. 答案 {a |a ≥1或a ＝0}13.设f (x )＝3x，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.(1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图象.(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？ 解 (1)函数f (x )与g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31，g (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3.f (π)＝3π，g (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－π＝3π.f (m )＝3m，g (－m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的指数互为相反数时，它们的图象关于y 轴对称.探 究 创 新14.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |－1.(1)作出f (x )的简图.(2)若关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解，求实数m 的取值范围.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，x ≥0，3x －1，x <0，如图所示.(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且－1<f (x )≤0.作出直线y ＝3m ，当－1<3m <0，即－13<m <0时，函数y ＝f (x )与y ＝3m 有两个交点.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 第2课时 指数函数及其性质的应用目标定位 1.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小，解不等式.2.在解决一些简单的实际问题中，体会指数函数是一类重要的函数模型.3.会求一些与指数函数有关的简单复合函数的定义域、值域、单调性等.自 主 预 习1.比较幂大小的方法(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断. 2.简单指数不等式的解法 形如af (x )＞ag (x )的不等式，可借助y ＝a x的单调性求解；(1)当0<a <1时，a f (x )>ag (x )⇔f (x )<g (x )；(2)当a >1时，a f (x )>ag (x )⇔f (x )>g (x ).3.形如y ＝af (x )(a ＞0，且a ≠1)函数的性质(1)函数y ＝af (x )与函数y ＝f (x )有相同的定义域.(2)当a ＞1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有相同的单调性；当0＜a ＜1时，函数y ＝af (x )与函数y ＝f (x )的单调性相反.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当a >1时，函数y ＝af (x )与函数y ＝f (x )的单调性相同；当0<a <1时，函数y ＝af (x )与函数y ＝f (x )的单调性相反.( )(2)函数y ＝a 2x －1(a >0且a ≠1)的定义域是(0，＋∞).( ) (3)函数y ＝3－x ＋1的值域是R .( )提示 (1)对.由复合函数的单调性的性质知，该结论正确； (2)错.由指数函数的定义知，函数y ＝a 2x －1(a >0且a ≠1)的定义域是R ；(3)错.函数y ＝3－x ＋1的值域是(0，＋∞).答案 (1)√ (2)× (3)× 2.已知x ，y 为正实数，则( ) A.2lg x ＋lg y＝2lg x＋2lg yB.2lg (x ＋y )＝2lg x·2lg yC.2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg y D.2lg(xy )＝2lg x·2lg y解析 利用指数幂及对数的运算性质逐项验证.A 项，2lg x ＋lg y＝2lg x·2lg y，故错误；B 项，2lg x·2lg y＝2lg x ＋lg y＝2lg(x ·y )≠2lg(x ＋y )，故错误；C 项，2lg x ·lg y＝(2lg x )lg y，故错误；D 项，2lg(xy )＝2lg x ＋lg y ＝2lg x·2lg y，正确.答案 D3.函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x的单调递增区间为( )A.(－∞，＋∞)B.(0，＋∞)C.(1，＋∞)D.(0，1)解析 因为x ∈R ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ＝2x －1，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x 在(－∞，＋∞)上是增函数.答案 A4.已知某种细菌在培养过程中，每20 min 繁殖一次，经一次繁殖1个细菌变成2个，经过3 h ，这种细菌由1个可繁殖成________个细菌.解析 因为3 h ＝9×20 min ，所以这种细菌由1个可繁殖成29＝512(个).答案 512类型一 利用函数的单调性比较大小 【例1】 比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫56－0.24与⎝ ⎛⎭⎪⎫56－14；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π与1； (3)(0.8)－2与⎝ ⎛⎭⎪⎫54－12. 解 (1)考查函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56x，且0<56<1. ∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56x在(－∞，＋∞)上是减函数，又－0.24>－14，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫56－0.24＜⎝ ⎛⎭⎪⎫56－14.(2)考查函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx ，且0＜1π＜1，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx在(－∞，＋∞)上是减函数， 又－π＜0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1π0＝1.(3)(0.8)－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫542.函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54x 在(－∞，＋∞)上是增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫54－12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫542，即⎝ ⎛⎭⎪⎫54－12＜(0.8)－2. 规律方法 比较幂值大小的三种类型及处理方法【训练1】 (1)下列判断正确的是( ) A.2.82.6>2.82.9B.0.52<0.53C.π2<π 2D.0.9－0.3>0.9－0.2(2)(2016·潍坊高一检测)已知a ＝5－12，函数f (x ) ＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系是________.解析 (1)函数y ＝0.9x 在(－∞，＋∞)上为减函数，所以0.9－0.3>0.9－0.2.(2)因为f (x )＝a x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x在R 上是减函数，又f (m )>f (n )，因此m <n .答案 (1)D (2)m <n 类型二 解简单的指数不等式【例2】 (1)解不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤2.(2)已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x，求x 的取值范围.解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2＝22－x 2，所以原不等式等价于22－x 2≤21.因为y ＝2x 是R 上的增函数，所以2－x 2≤1，所以x 2≥1，即x ≤－1或x ≥1.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤2的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}.(2)因为a 2＋a ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋74>1，所以y ＝(a 2＋a ＋2)x在R 上是增函数. 所以x >1－x ，解得x >12.所以x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >12.规律方法 1.解指数不等式问题，需注意两点：(1)形如a f (x )>ag (x )的不等式，借助y ＝a x的单调性 ①a >1时，af (x )>ag (x )⇔f (x )>g (x ). ②0<a <1时，af (x )>ag (x )⇔f (x )<g (x ).(2)形如a x＞b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x的单调性求解.2.(1)解指数不等式时，若底数a 的取值不定，要分类讨论.(2)不等式的解集一定要写成集合或区间的形式，不能写成不等式的形式. 【训练2】 设0＜a ＜1，解关于x 的不等式a 2x 2－3x ＋2＞a 2x 2＋2x －3.解 ∵0＜a ＜1，∴y ＝a x在R 上是减函数， 又∵a 2x 2－3x ＋2＞a 2x 2＋2x －3， ∴2x 2－3x ＋2＜2x 2＋2x －3，解得x ＞1. ∴不等式的解集是(1，＋∞).类型三 指数型函数的单调性(互动探究)【例3】 判断f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 的单调性，并求其值域.[思路探究]探究点一 函数f (x )是由哪两个函数复合而成的？提示 由二次函数u ＝x 2－2x 与指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u复合运算得到. 探究点二 如何研究f (x )的单调性？提示 根据二次函数u ＝x 2－2x 及指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u的单调性，利用“同增异减”的规律确定函数f (x )的单调性.解 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u. ∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减. ∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u，u ∈[－1，＋∞)， ∴0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13u≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0，3]. 规律方法 1.形如y ＝af (x )(a >0且a ≠1)的函数的单调性的判定(1)定义法，即“取值——作差——变形——定号”.其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性.(2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律.其中影响单调性的因素有两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝a u，u＝f(x)复合而成.2.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调区间.【训练3】求函数y＝2－x2＋2x的单调区间.解函数y＝2－x2＋2x的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u ＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数.当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数.综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1].类型四指数型函数在实际中的应用【例4】某林区2015年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到了5%.经过x年后该林区的木材蓄积量为多少万立方米？经过9年后，该林区的木材蓄积量约为多少万立方米？(精确到0.1万立方米)解先归纳出函数解析式，再按指数型函数的性质进行讨论.列表如下：由上表，得经过x年后，该林区的木材蓄积量为f(x)＝200(1＋5%)x＝200×1.05x，x∈N*.当x＝9时，f(9)＝200×1.059≈310.3(万立方米).故经过9年后，该林区的木材蓄积量约为310.3万立方米.规律方法 1.类似上面此题，设原值为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后总量y＝N(1＋p)x，像y＝N(1＋p)x等形如y＝ka x(k≠0，a＞1且a≠1)的函数称为指数型函数.。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质课件1新人教A版必修1
故函数的定义域为{x|1<x<2}．
[规律总结] 定义域是研究函数的基础，若已 知函数解析式求定义域，常规为分母不能为零， 0的零次幂与负指数次幂无意义，偶次方根被 开方式(数)非负，求与对数函数有关的函数定 义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外， 还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别 注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底 数的取值应用单调性．
非奇非偶函数
[知识点拨] 对数函数的知识总结： 对数增减有思路，函数图象看底数； 底数只能大于0，等于1来可不行； 底数若是大于1，图象从下往上增； 底数0到1之间，图象从上往下减； 无论函数增和减，图象都过(1,0)点． 3．反函数 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且 a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线______对称．
(2)要使函数有意义，需使 2－ln(3－x)≥0，
即33－ －xx≤ >0e，2， 解得 3－e2≤x<3，
故函数的定义域为{x|3－e2≤x<3}．
(3)要使函数有意义，需使 log0.5(x－1)>0，
即log1
2
(x－1)>0，所以
log2x－1 1>0，
x－1>0 ∴x－1 1>1 ，即 1<x<2.
2
有意义应有 x>0.
[正解] 要使函数有意义，须log1 x－1≥0，
2
∴log1
2
x≥1，∴0<x≤12.
∴定义域为0，12.
跟踪练习
已知函数 y＝f(x)，x，y 满足关系式 lg(lgy)＝lg(3－x)，求函 数 y＝f(x)的表达式及定义域、值域．
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.1.2 对数的运算课后提升训练 新人教A版必修1
对数的运算(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017·大同高一检测)2log32-log3+log38的值为( )A. B.2 C.3 D.【解析】选B.原式=log322-log332+log39+log38=log34+log38- log332+2=log332-log332+2=2. 【补偿训练】(2017·杭州高一检测)2log510+log50.25= ( )A.0B.1C.2D.4【解析】选C.2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2.2.下列各式中正确的个数是( )①log a(b2-c2)=2log a b-2log a c;②(log a3)2=2log a3;③=lg5.A.0B.1C.2D.3【解析】选A.由对数的运算性质和换底公式知,它们均不正确.3.(2017·黑龙江高一检测)已知lg2=a,lg3=b,则log36等于( )A. B. C. D.【解析】选B.log36===.4.若log5·log36·log6x=2,则x等于( )A.9B.C.25D.【解题指南】利用对数的换底公式将原式中的对数转化为常用对数,再计算.【解析】选D.由换底公式,得··=2,所以-=2.所以lgx=-2lg5=lg.所以x=.5.声强级L I(单位:dB)由公式L I=10lg给出,其中I为声音强度(单位:W/m2).交响音乐会坐在铜管乐前的声音强度约为 5.01×10-2W/m2,则其声强级为(其中lg5.01≈0.7) ( )A.99dBB.100dBC.107dBD.109dB【解析】选 C.当I=5.01×10-2时,其声强级为L I=10lg=10lg(5.01×1010)=10(lg5.01+10)≈107(dB).6.(2017·大连高一检测)若lna,lnb是方程3x2-6x+2=0的两个根,则的值等于( )A. B. C.4 D.【解析】选 A.由根与系数的关系,得lna+lnb=2,lna·lnb=,所以=(lna-lnb)2=(lna+lnb)2-4lna·lnb=22-4×=.7.(2017·北京高一检测)函数f(x)=log a x(a>0且a≠1),若f(x1x2…x n)=16,则f()+f()+…+f()的值等于( )A.2log216B.32C.16D.8【解析】选B.f(x)=log a x,f(x1x2…x n)=16,所以log a(x1x2…x n)=16,所以f()+f()+…+f()=log a+log a+…+log a=2(log a x1+log a x2+…+log a x n)=2log a(x1x2…x n)=32.8.(2017·武汉高一检测)已知2m=5n=10,则+= ( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.因为2m=5n=10,所以m=log210,n=log510,即=lg2,=lg5,故+=lg2+lg5=1.二、填空题(每小题5分,共10分)9.已知f(x)=lgx,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)=________.【解析】因为f(ab)=1,所以lg(ab)=1,即lga+lgb=1,所以f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=2(lga+lgb)=2.答案:210.若lg3=a,lg5=b,那么lg=________.【解析】lg=lg4.5=lg=lg=(lg5+lg9-1)=(2a+b-1). 答案:三、解答题11.(10分)(2017·兰州高一检测)计算下列各式的值:(1)log535+2lo-log5-log514.(2)[(1-log63)2+log62·log618]÷log64.【解析】(1)原式=log535+log550-log514+2lo=log 5+lo2=log553-1=2.(2)原式=[(log66-log63)2+log62·log6(2×32)]÷log64=÷log622=[(log62)2+(log62)2+2log62·log63]÷2log62=log62+log63=log6(2×3)=1.【能力挑战题】已知2lg(x+y)=lg2x+lg2y,则log2=________.【解析】因为2lg(x+y)=lg2x+lg2y,所以lg(x+y)2=lg(4xy),所以(x+y)2=4xy,所以(x-y)2=0,所以x=y,所以=1,所以log2=log21=0. 答案:0。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.2.1 对数与对数运算 第2课时 对数运算应用案巩固提升
【优化方案】2017高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.2.1 对数与对数运算 第2课时 对数运算应用案巩固提升 新人教A 版必修1[A 基础达标]1．2lo g 510＋lo g 50.25＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4 解析：选C.原式＝lo g 5102＋lo g 50.25＝lo g 5(102×0.25)＝lo g 525＝2.2．下列各等式正确的为( )A ．lo g 23·lo g 25＝lo g 2(3×5)B ．l g 3＋l g 4＝l g (3＋4)C ．lo g 2x y ＝lo g 2x －lo g 2yD ．l g n m ＝1nl gm (m >0，n ＞1，n ∈N *) 解析：选D.A 、B 显然错误，C 中，当x ，y 均为负数时，等式右边无意义．3．若l gx －l gy ＝t ，则l g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－l g ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝( ) A ．3tB ．32tC ．tD.t 2 解析：选A.l g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－l g ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝3l g x 2－3l g y 2＝3l g x y ＝3(l gx －l gy )＝3t . 4．2lo g 32－lo g 3329＋lo g 38的值为( ) A .12B ．2C ．3 D.13解析：选B ．原式＝lo g 34－lo g 3329＋lo g 38 ＝lo g 34×8329＝lo g 39＝2. 5．若lo g 513·lo g 36·lo g 6x ＝2，则x 等于( )A ．9B ．19C ．25 D.125解析：选D.由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg x lg 6＝2， l gx ＝－2l g 5，x ＝5－2＝125. 6．计算lo g 927＋lo g 224＝________． 解析：lo g 927＋lo g 224＝lo g 9932＋lo g 22－lo g 24＝32＋12－2＝0. 答案：0 7．已知m ＞0，且10x ＝l g (10m )＋l g 1m，则x ＝__________． 解析：l g (10m )＋l g 1m ＝l g 10＋l gm ＋l g 1m＝1， 所以10x ＝1＝100，所以x ＝0.答案：08．若l gx ＋l gy ＝2l g (x －2y )，则x y＝__________．解析：因为l gx ＋l gy ＝2l g (x －2y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，xy ＝（x －2y ）2.由xy ＝(x －2y )2，知x 2－5xy ＋4y 2＝0，所以x ＝y 或x ＝4y .又x ＞0，y ＞0且x －2y ＞0，所以舍去x ＝y ，故x ＝4y ， 则x y＝4.答案：49．计算下列各式的值： (1)lo g 535＋2lo g 122－lo g 5150－lo g 514； (2)[(1－lo g 63)2＋lo g 62·lo g 618]÷lo g 64；(3)(lo g 43＋lo g 83)(lo g 32＋lo g 92)．解：(1)原式＝lo g 535＋lo g 550－lo g 514＋2lo g 12212＝lo g 535×5014＋lo g 122 ＝lo g 553－1＝2.(2)原式＝[(lo g 66－lo g 63)2＋lo g 62·lo g 6(2×32)]÷lo g 64＝[⎝⎛⎭⎪⎫log 6632＋lo g 62·(lo g 62＋lo g 632)]÷lo g 622＝[(lo g 62)2＋(lo g 62)2＋2lo g 62·lo g 63]÷2lo g 62＝lo g 62＋lo g 63＝lo g 6(2×3)＝1.(3)(lo g 43＋lo g 83)(lo g 32＋lo g 92)＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9 ＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3 ＝5lg 36lg 2×3lg 22lg 3＝54. 10．已知地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(l gE －11.4)．若A 地地震级别为9.0级，B 地地震级别为8.0级，求A 地地震释放的能量是B 地地震释放的能量的多少倍．解：由R ＝23(l gE －11.4)，得32R ＋11.4＝l gE ， 故E ＝10．设A 地和B 地地震释放的能量分别为E 1，E 2，则E 1E 2＝10（32×9.0＋11.4）10（32×8.0＋11.4）＝1010， 即A 地地震释放的能量是B 地地震释放的能量的1010倍．[B 能力提升]1．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．lo g a b ·lo g c b ＝lo g c aB ．lo g a b ·lo g c a ＝lo g c bC ．lo g a (b c)＝lo g a b ·lo g a cD ．lo g a (b ＋c)＝lo g a b ＋lo g a c解析：选B ．由对数的运算公式lo g a (b c)＝lo g a b ＋lo g a c 可判断选项C ，D 错误．选项A ，由对数的换底公式知，lo g a b ·lo g c b ＝lo g c a ⇒lg b lg a ·lg b lg c ＝lg a lg c⇒l g 2b ＝l g 2a ，此式不恒成立．选项B ，由对数的换底公式知，lo g a b ·lo g c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝lg b lg c＝lo g c b ，故恒成立． 2．若l ga ，l gb 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实根，则⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2的值等于__________． 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝(l ga －l gb )2＝(l ga ＋l gb )2－4l ga ·l gb ＝22－4×12＝2. 答案：23．已知2x ＝3，lo g 483＝y ，求x ＋2y 的值． 解：因为2x ＝3，所以x ＝lo g 23.又lo g 483＝y ， 所以x ＋2y ＝lo g 23＋2lo g 483＝lo g 23＋2(lo g 48－lo g 43)＝lo g 23＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32log 22－12log 23 ＝lo g 23＋3－lo g 23＝3.4．(选做题)已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z ，2x ＝py .(1)求p 的值；(2)证明：1z －1x ＝12y. 解：(1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k >0且k ≠1)，则x ＝lo g 3k ，y ＝lo g 4k ，z ＝lo g 6k .由2x ＝py 得：2lo g 3k ＝p lo g 4k ＝p ·log 3k log 34， 因为lo g 3k ≠0，所以p ＝2lo g 34＝4lo g 32.(2)证明：因为1z －1x ＝1log 6k －1log 3k＝lo g k 6－lo g k 3＝lo g k 2＝12lo g k 4＝12log 4k ＝12y. 所以原式得证．。
高中数学 第二章基本初等函数(Ⅰ)对数函数及其性质 第1课时对数函数的图象及其性质课件新人教版必修(1)
归纳升华 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合， 求 与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概 念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于 0；若自变 量在底数上，应保证底数大于 0 且不等于 1.
[变式训练] 求下列函数的定义域： 1 (1)f(x)＝ ； 1－log4（x－1） (2)f(x)＝ log0.6x－1. x－1>0， 解： (1)由 得 x∈(1， 5)∪(5， ＋∞)． log4（x－1）≠1， 1 所以函数 f(x)＝ 的定义域为 1－log4（x－1）
2．对数函数的图象与性质
定义 底数 图象 定义域 值域 (0，＋∞) R y＝logax(a>0，且 a≠1) a>1 0<a<1
单调性 性 质 函数
增函数
减函数
共点性 图象过定点(1，0)，即 loga1＝0 x∈(0，1)时， x∈(0，1)时， y∈(－∞，0)； y∈(0，＋∞)；
值特征 x∈(1， ＋∞)时，x∈(1， ＋∞)时， y∈(0，＋∞).
(2)y＝f(x)的图象与 y＝f(－x)的图象关于 y 轴对称，y ＝f(x)的图象与 y＝－f(x)的图象关于 x 轴对称．
[ 变式训练 ] ( )
函数 f(x) ＝ ln(x2 ＋ 1) 的图象大致是
解析：因为 f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)， 排除选项 C，又 f(0)＝0，排除选项 B、D，所以选项 A 正确． 答案：A
1 的取值范围是0，2.
1 答案：0，2
类型 1 求对数类函数的定义域(自主研析) [典例 1] 求下列函数的定义域： (1)y＝log5(3x＋2)； (2)y＝log(1－x)6； (3)y＝ log0.5（3－4x）.
新课标人教版高中A版数学目录(超详细完美版)
人教版高中数学A版目录新课标A版必修1•第一章集合与函数概念•第二章基本初等函数（Ⅰ）•第三章函数的应用•单元测试•综合专栏第一章集合与函数概念• 1.1集合• 1.2函数及其表示• 1.3函数的基本性质•实习作业•同步练习•单元测试•本章综合1.1集合• 1.1.1集合的含义与表示• 1.1.2集合间的基本关系• 1.1.3集合的基本运算•本节综合1.2函数及其表示• 1.2.1函数的概念• 1.2.2函数的表示法•本节综合1.3函数的基本性质• 1.3.1单调性与最大(小)值• 1.3.2奇偶性•本节综合实习作业同步练习单元测试本章综合第二章基本初等函数（Ⅰ）• 2.1指数函数• 2.2对数函数• 2.3幂函数•同步练习•单元测试•本章综合2.1指数函数• 2.1.1指数与指数幂的运算• 2.1.2指数函数及其性质•本节综合2.2对数函数• 2.2.1对数与对数运算• 2.2.2对数函数及其性质•本节综合2.3幂函数同步练习单元测试本章综合第三章函数的应用• 3.1函数与方程• 3.2函数模型及其应用•实习作业•同步练习•单元测试•本章综合3.1函数与方程• 3.1.1方程的根与函数的零点• 3.1.2用二分法求方程的近似解•本节综合3.2函数模型及其应用• 3.2.1几类不同增长的函数模型• 3.2.2函数模型的应用实例•本节综合实习作业同步练习单元测试本章综合单元测试综合专栏新课标A版必修2•第一章空间几何体•第二章点、直线、平面之间的位置关系•第三章直线与方程•第四章圆与方程•单元测试综合专栏第一章空间几何体• 1.1空间几何体的结构• 1.2空间几何体的三视图和直观图• 1.3空间几何体的表面积与体积•复习参考题•实习作业•同步练习•单元测试•本章综合•第二章点、直线、平面之间的位置关系• 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系• 2.2直线、平面平行的判定及其性质• 2.3直线、平面垂直的判定及其性质•同步练习•单元测试•本章综合第三章直线与方程• 3.1直线的倾斜角与斜率• 3.2直线的方程• 3.3直线的交点坐标与距离公式•同步练习•单元测试•本章综合第四章圆与方程• 4.1圆的方程• 4.2直线、圆的位置关系• 4.3空间直角坐标系•同步练习•单元测试•本章综合单元测试综合专栏新课标A版必修3•第一章算法初步•第二章统计•第三章概率•单元测试•综合专栏第一章算法初步• 1.1算法与程序框图• 1.2基本算法语句• 1.3算法与案例•同步练习•单元测试•本章综合1.1算法与程序框图• 1.1.1算法的概念• 1.1.2程序框图和算法的逻辑结构•本节综合1.2基本算法语句• 1.2.1输入、输出、赋值语句• 1.2.2条件语句• 1.2.3循环语句•本节综合1.3算法与案例同步练习单元测试本章综合第二章统计• 2.1随机抽样• 2.2用样本估计总体• 2.3变量间的相关关系•实习作业•同步练习•单元测试•本章综合2.1随机抽样• 2.1.1简单随机抽样• 2.1.2系统抽样• 2.1.3分层抽样•本节综合2.2用样本估计总体• 2.2.1用样本的频率分布估计总体• 2.2.2用样本的数字特征估计总体•本节综合2.3变量间的相关关系• 2.3.1变量之间的相关关系• 2.3.2两个变量的线性相关•本节综合实习作业同步练习单元测试本章综合第三章概率• 3.1随机事件的概率• 3.2古典概型• 3.3几何概型•同步练习•单元测试•本章综合3.1随机事件的概率• 3.1.1随机事件的概率• 3.1.2概率的意义• 3.1.3概率的基本性质•本节综合3.2古典概型• 3.2.1古典概型• 3.2.2随机数的产生•本节综合3.3几何概型• 3.3.1几何概型• 3.3.2均匀随机数的产生•本节综合同步练习单元测试本章综合单元测试综合专栏新课标A版必修4•第一章三角函数•第二章平面向量•第三章三角恒等变换•单元测试•综合专栏第一章三角函数• 1.1任意角和弧度制• 1.2任意的三角函数• 1.3三角函数的诱导公式• 1.4三角函数的图象与性质• 1.5函数y=Asin（ωx+ψ）• 1.6三角函数模型的简单应用•同步练习•单元测试•本章综合第二章平面向量• 2.1平面向量的实际背景及基本概念• 2.2平面向量的线性运算• 2.3平面向量的基本定理及坐标表示• 2.4平面向量的数量积• 2.5平面向量应用举例•同步练习•单元测试•本章综合第三章三角恒等变换• 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式• 3.2简单的三角恒等变换•同步练习•单元测试•本章综合单元测试综合专栏新课标A版必修5•第一章解三角形•第二章数列•第三章不等式•单元测试•综合专栏第一章解三角形• 1.1正弦定理和余弦定理• 1.2应用举例• 1.3实习作业•探究与发现解三角形的进一步讨论•同步练习•单元测试•本章综合第二章数列• 2.1数列的概念与简单表示法• 2.1等差数列• 2.3等差数列的前n项和• 2.4等比数列• 2.5等比数列的前n项和•同步练习•单元测试•本章综合第三章不等式• 3.1不等关系与不等式• 3.2一元二次不等式及其解法• 3.3二元一次不等式（组）与简单的线性• 3.4基本不等式：•同步练习•单元测试•本章综合单元测试综合专栏新课标A版选修一•新课标A版选修1-1•新课标A版选修1-2新课标A版选修1-1•第一章常用逻辑用语•第二章圆锥曲线与方程•第三章导数及其应用•月考专栏•期中专栏•期末专栏•单元测试•综合专栏第一章常用逻辑用语• 1.1命题及其关系• 1.2充分条件与必要条件• 1.3简单的逻辑联结词• 1.4全称量词与存在量词•同步练习•单元测试•本章综合第二章圆锥曲线与方程• 2.1椭圆• 2.2双曲线• 2.3抛物线•同步练习•单元测试•本章综合第三章导数及其应用• 3.1变化率与导数• 3.2导数的计算• 3.3导数在研究函数中的应用• 3.4生活中的优化问题举例•同步练习•单元测试•本章综合月考专栏期中专栏期末专栏单元测试新课标A版选修1-2•第一章统计案例•第二章推理与证明•第三章数系的扩充与复数的引入•第四章框图•月考专栏•期中专栏•期末专栏•单元测试•本章综合点击这里展开-- 查看子节点索引目录，更精确地筛选资料！第一章统计案例• 1.1回归分析的基本思想及其初步应用• 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用•实习作业•同步练习•综合第二章推理与证明• 2.1合情推理与演绎推理• 2.2直接证明与间接证明•同步练习•综合第三章数系的扩充与复数的引入• 3.1数系的扩充和复数的概念• 3.2复数代数形式的四则运算•同步练习•综合第四章框图• 4.1流程图• 4.2结构图•同步练习•综合月考专栏期中专栏期末专栏单元测试本章综合新课标A版选修二•新课标人教A版选修2-1•新课标人教A版选修2-2•新课标人教A版选修2-3新课标人教A版选修2-1•第一章常用逻辑用语•第二章圆锥曲线与方程•第三章空间向量与立体几何•单元测试•本册综合第一章常用逻辑用语• 1.1命题及其关系• 1.2充分条件与必要条件• 1.3简单的逻辑联结词• 1.4全称量词与存在量词•同步练习•本章综合第二章圆锥曲线与方程• 2.1曲线与方程• 2.2椭圆• 2.3双曲线• 2.4抛物线•同步练习•本章综合第三章空间向量与立体几何• 3.1空间向量及其运算• 3.2立体几何中的向量方法•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标人教A版选修2-2•第一章导数及其应用•第二章推理与证明•第三章数系的扩充与复数的引入•单元测试•本册综合第一章导数及其应用• 1.1变化率与导数• 1.2导数的计算• 1.3导数在研究函数中的应用• 1.4生活中的优化问题举例• 1.5定积分的概念• 1.6微积分基本定理• 1.7定积分的简单应用•同步练习•本章综合第二章推理与证明• 2.1合情推理与演绎推理• 2.2直接证明与间接证明• 2.3数学归纳法•同步练习•本章综合第三章数系的扩充与复数的引入• 3.1数系的扩充和复数的概念• 3.2复数代数形式的四则运算•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标人教A版选修2-3•第一章计数原理•第二章随机变量及其分布•第三章统计案例•单元测试•本册综合第一章计数原理• 1.1分类加法计数原理与分步乘法计.• 1.2排列与组合• 1.3二项式定理•同步练习•本章综合第二章随机变量及其分布• 2.1离散型随机变量及其分布列• 2.2二项分布及其应用• 2.3离散型随机变量的均值与方差• 2.4正态分布•同步练习•本章综合第三章统计案例• 3.1回归分析的基本思想及其初步应用• 3.2独立性检验的基本思想及其初步•本章综合•同步练习单元测试本册综合新课标A版选修三•新课标A版选修3-1•新课标A版选修3-3•新课标A版选修3-4新课标A版选修3-1•第一讲早期的算术与几何•第二讲古希腊数学•第三讲中国古代数学瑰宝•第四讲平面解析几何的产生•第五讲微积分的诞生•第六讲近代数学两巨星•第七讲千古谜题•第八讲对无穷的深入思考•第九讲中国现代数学的开拓与发展•单元测试•本册综合第一讲早期的算术与几何•一古埃及的数学•二两河流域的数学•三丰富多彩的记数制度•同步练习•本章综合第二讲古希腊数学•一希腊数学的先行者•二毕达哥拉斯学派•三欧几里得与《原本》•四数学之神──阿基米德•同步练习•本章综合第三讲中国古代数学瑰宝•一《周髀算经》与赵爽弦图•二《九章算术》•三大衍求一术•四中国古代数学家•同步练习•本章综合第四讲平面解析几何的产生•一坐标思想的早期萌芽•二笛卡儿坐标系•三费马的解析几何思想•四解析几何的进一步发展•同步练习•本章综合第五讲微积分的诞生•一微积分产生的历史背景•二科学巨人牛顿的工作•三莱布尼茨的“微积分”•同步练习•本章综合第六讲近代数学两巨星•一分析的化身──欧拉•二数学王子──高斯•同步练习•本章综合第七讲千古谜题•一三次、四次方程求根公式的发现•二高次方程可解性问题的解决•三伽罗瓦与群论•四古希腊三大几何问题的解决•同步练习•本章综合第八讲对无穷的深入思考•一古代的无穷观念•二无穷集合论的创立•三集合论的进一步发展与完善•同步练习•本章综合第九讲中国现代数学的开拓与发展•一中国现代数学发展概观•二人民的数学家──华罗庚•三当代几何大师──陈省身•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标A版选修3-3•第一讲从欧氏几何看球面•第二讲球面上的距离和角•第三讲球面上的基本图形•第四讲球面三角形•第五讲球面三角形的全等•第六讲球面多边形与欧拉公式•第七讲球面三角形的边角关系•第八讲欧氏几何与非欧几何•单元测试•本册综合第一讲从欧氏几何看球面•一平面与球面的位置关系•二直线与球面的位置关系和球幂定理•三球面的对称性•同步练习•本章综合第二讲球面上的距离和角•一球面上的距离•二球面上的角•同步练习•本章综合第三讲球面上的基本图形•一极与赤道•二球面二角形•三球面三角形•同步练习•本章综合第四讲球面三角形•一球面三角形三边之间的关系•二、球面“等腰”三角形•三球面三角形的周长•四球面三角形的内角和•同步练习•本章综合第五讲球面三角形的全等•1．“边边边”(s.s.s)判定定理•2．“边角边”(s.a.s.)判定定理•3．“角边角”(a.s.a.)判定定理•4．“角角角”(a.a.a.)判定定理•同步练习•本章综合第六讲球面多边形与欧拉公式•一球面多边形及其内角和公式•二简单多面体的欧拉公式•三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式•同步练习•本章综合第七讲球面三角形的边角关系•一球面上的正弦定理和余弦定理•二用向量方法证明球面上的余弦定理•三从球面上的正弦定理看球面与平面•四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离•同步练习•本章综合第八讲欧氏几何与非欧几何•一平面几何与球面几何的比较•二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型•三欧氏几何与非欧几何的意义•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标A版选修3-4•第一讲平面图形的对称群•第二讲代数学中的对称与抽象群的概念•第三讲对称与群的故事•综合专栏•单元测试第一讲平面图形的对称群•平面刚体运动•对称变换•平面图形的对称群•同步练习•本章综合第二讲代数学中的对称与抽象群的概念•n元对称群S•多项式的对称变换•抽象群的概念•同步练习•本章综合第三讲对称与群的故事•带饰和面饰•化学分子的对称群•晶体的分类•伽罗瓦理论•同步练习•本章综合综合专栏单元测试新课标A版选修四•新课标人教A版选修4-1•选修4-2•新课标A版选修4-4•新课标A版选修4-5新课标人教A版选修4-1•第一讲相似三角形的判定及有关性质•第二讲直线与圆的位置关系•第三讲圆锥曲线性质的探讨•单元测试•本册综合第一讲相似三角形的判定及有关性质•一平行线等分线段定理•二平行线分线段成比例定理•三相似三角形的判定及性质•四直角三角形的射影定理•同步练习•本章综合第二讲直线与圆的位置关系•一圆周角定理•二圆内接四边形的性质与判定定理•三圆的切线的性质及判定定理•四弦切角的性质•五与圆有关的比例线段•同步练习•本章综合第三讲圆锥曲线性质的探讨•一平行射影•二平面与圆柱面的截线•三平面与圆锥面的截线•同步练习•本章综合单元测试本册综合选修4-2•第一讲线性变换与二阶矩阵•第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法•第三讲逆变换与逆矩阵•第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量•单元测试•本册综合第一讲线性变换与二阶矩阵•一线性变换与二阶矩阵•二二阶矩阵与平面向量的乘法•三线性变换的基本性质•同步练习•本章综合第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法•一复合变换与二阶短阵的乘法•二矩阵乘法的性质•同步练习•本章综合第三讲逆变换与逆矩阵•一逆变换与逆矩阵•二二阶行列式与逆矩阵•三逆矩阵与二元一次方程组•同步练习•本章综合第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量•一变换的不变量---矩阵的特征向量•二特征向量的应用•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标A版选修4-4•第一章坐标系•第二章参数方程•单元测试•本册综合第一章坐标系• 1.1直角坐标系、平面上的伸缩变换• 1.2极坐标系• 1.3曲线的极坐标方程• 1.4圆的极坐标方程• 1.5柱坐标系与球坐标系•同步练习•本章综合第二章参数方程• 2.1曲线的参数方程• 2.2直线和圆的参数方程• 2.3圆锥曲线的参数方程• 2.4一些常见曲线的参数方程•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标A版选修4-5•第一讲不等式和绝对值不等式•第二讲讲明不等式的基本方法•第三讲柯西不等式与排序不等式•第四讲数学归纳法证明不等式•单元测试•本册综合第一讲不等式和绝对值不等式•一不等式•二绝对值不等式•单元测试•本章综合第二讲讲明不等式的基本方法•一比较法•二综合法与分析法•三反证法与放缩法•单元测试•本章综合第三讲柯西不等式与排序不等式•一二维形式的柯西不等式•二一般形式的柯西不等式•三排序不等式•单元测试•本章综合第四讲数学归纳法证明不等式•一数学归纳法•二用数学归纳法证明不等式•单元测试•本章综合单元测试本册综合。
人教版2017高中(必修一)数学第二章基本初等函数(I)小结复习课ppt课件
规律：a>1 时底数越大越靠近 x 轴；0<a<1 时底数越小越靠近 x 轴；
19．幂函数定义：
y x 函数 叫做幂函数其中 x 是自变量， 是常数。
20．幂函数的图象与性质
图象: 绿色,蓝色,棕色,黄色,紫色分别表示: y x
1
, y x3 , y x2 , y x, y x
第二章 基本初等函数（I） 复 习
指数 根式及其性质 分数指数幂 指数与指数函数 有理数指数幂的运算性质 定义 指数函数 图象和性质 定义 基本初等函数 对数 运算性质 对数换底公式 对数与对数函数 定义 对数函数 图象和性质 定义 幂函数 图象和性质
14．几个常用结论： ⑴负数与零没有对数 ⑶ loga a 1 ⑵ loga 1 0 ， ⑷a
loga N
N
15.对数的运算性质： 如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0
loga (MN) loga M loga N (1) M loga loga M loga N (2) 有： N loga M n nloga M(n R) (3)
1 log 6 7, log 7 6; 2 log 3 , log 2 0.8.
作 业 P 82 A组 3.(1);5(2),(3) P83 B组 2
n 3.式子 a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数.
4．根式运算性质： ① ②
（ a） a ； 在有意义的前提下
n n
n
a, n为奇数； a | a |, n为偶数
n
5.正数的正分数指数幂：
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)本章回顾总结 新人教A版必修1
描点法 未知函数或较 复杂的函数
列表、描点、连线
2.使用数形结合的思想解题的常见类型． (1)求函数的定义域． (2)求函数的值域． (3)求函数的单调区间． (4)解方程、不等式等有关问题，确定参数范围．
(1)函数 ()
则 y＝f(x＋1)的图象大致是
(2)已知函数 f(x)＝2x，x≥2，
(1)求函数 f(x)＝log2x－1 3x－2的定义域．
(2)求函数 y＝13x2－4x，x∈[0,5)的值域． 解：(1)由题意知 22xx－ －11＞ ≠01， ，故
3x－2＞0，
x＞23，且 x≠1，即定义域为23，1∪(1，＋∞)． (2)令 u＝x2－4x，x∈[0,5)，则－4≤u＜5，135＜y≤13－4，2143 ＜y ≤81，即值域为2143，81.
画法
应用范围
基本函 数法
基本初等函数
与基本初等函 变换法 数有关联的函
数
画法技巧
利用一次函数、反比例函数、二次函数、指 数函数、对数函数、幂函数的有关知识，画 出特殊点(线)，直接根据函数的图象特征作出 图象
弄清所给函数与基本函数的关系，恰当选择 平移、对称等变换方法，由基本函数图象变 换得到函数图象
1
1
1
1
(3) a＝0.22 ，b＝0.32 ，c＝33 ，d＝53 .
解：(1)因为 0＜0.65.1＜1,5.10.6＞1，log0.65.1＜0， 所以 5.10.6＞0.65.1＞log0.65.1.
(2)方法一：在同一坐标系中作出函数 y＝log7x 与 y＝log8x 的图象，由底数变化对图象位置的影响知：
若关于 x 的方程 f(x)＝k
x－13，x＜2.
高中数学必修一新课标人教版第二章基本初等函数对数函数换底公式-32页文档
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
人 教 A 版 数 学
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
[例1] 计算log2215·log318·log519.
人
教
[分析] 将底统一成以10为底的常用对数
A 版
数
1 11
学
[解析] 原式＝llgg225·llgg38·llgg59
＝(－2lg5)·l(g－2l3gl3gl2g)5·(－2lg3)＝－12.
[分析] (1)可考虑指对互化后换为都是以 36 为底的对数
人
式，然后利用对数的运算法则求解．
教 A
版
(2)∵4＝22,36＝22×33,2×3＝6.故可考虑将条件式取以 6
数 学
为底的对数，然后利用对数的运算法则求解．
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
[解析] 解法1：由3a＝4b＝36得log336＝a，log436＝
A．6次
B．7次
人 教
A
C．8次
D．9次
版
数
[答案] C
学
[解析] 设至少要抽n次
(1－60%)n<0.1%，即(25)N<10－3.
∴n>1－32lg2≈7.6.故选C.
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
人 教 A 版 数 学
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
[例 3] 设 3a＝4b＝36，求2a＋1b的值．
教
C．3
D．－23
A 版 数
学
[答案] A
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
[解析] 因为lg12－lg58＋lg12.5－log89·log278
＝lg2－1－(lg5－lg8)＋lg25－lg2－llgg98·llgg287
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质教材梳理素材新人教A版必修1(new)
2。
2。
2 对数函数及其性质疱丁巧解牛知识·巧学·升华一、对数函数及其性质1.对数函数一般地，函数y=log a x （a>0，a ≠1）叫对数函数，其中x 是自变量,函数的定义域是（0,+∞）。
因为对数函数是由指数函数变化而来的,对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是（0，+∞）,指数函数与对数函数的定义域和值域是互换的。
只有形如y=log a x （a>0，a ≠1，x>0)的函数才叫对数函数。
像y=log a (x+1）,y=2log a x ，y=log a x+3等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数。
对数函数同指数函数一样都是基本初等函数，它来自于实践.2.对数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=log 2x 及y=log 1/2x 图象列出x ，y 的对应值表，用描点法画出图象：描点即可完成y=log 2x,y=x 21log 的图象，如下图.0 1 2 4 8 x—1—2 y=log 1/2x-3s由表及图可以发现:我们可以通过函数y=log 2x 的图象得到函数y=log 0。
5x 的图象．利用换底公式可以得到：y=log 0。
5x=-log 2x ，点（x,y)与点(x,-y ）关于x 轴对称，所以y=log 2x 的图象上任意一点(x ，y ）关于x 轴对称点(x ，-y ）在y=log 0。
5x 的图象上，反之亦然．根据这种对称性就可以利用函数y=log 2x 的图象画出函数y=log 0.5x 的图象．方法点拨 注意此处空半格①作对数函数图象,其关键是作出三个特殊点（a 1,-1),（1，0)，(a ，1）．一般情况下，作对数函数图象有这三点就足够了.不妨叫做“三点作图法。
"②函数y=log a x 与y=x a 1log 的图象关于x 轴对称。
（2）对数函数y=log a x 在底数a ＞1及0＜a ＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示: a ＞1 0＜a ＜1图 象定义域（0，+∞） 值 域R 性 质 （1)过点（1,0），即x=1时，y=0要点提示（1）对数函数的图象恒在y轴右方.（2)对数函数的单调性取决于它的底数。
人教A版数学必修一第二章 基本初等函数(Ⅰ)
第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1指数函数2．1.1 指数与指数幂的运算基础达标1．(2013·沈阳高一检测)化简3a a的结果是( )．A．a B.a C．a2D.3 a解析答案 B2．若有意义，则x的取值范围是( )．A．x∈R B．x∈R且x≠1 2C ．x＞12D ．x ＜12解析＝14(1－2x )3，∴1－2x ＞0，得x ＜12.答案 D3．计算得 ( )．解析 原式答案 A 4．化简－x 3x的结果是________．解析 由题意知x <0，∴－x 3x ＝－－x 3x 2＝－－x .答案 －－x5．若4a 2－4a ＋1＝1－2a ，则a 的取值范围是________． 解析4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2＝|2a －1|＝1－2a ，∴2a －1≤0，∴a ≤12.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 6．计算：(0.25)－0.5＋－6250.25＝________.解析 原式＝＋＝2＋3－5＝0.答案07．计算下列各式的值：(1)÷105；(2)(a>0，b>0)．解能力提升8．下列说法中正确的个数为( )．①na n＝a；②若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1；③3x4＋y3＝＋y；④3－5＝6(－5)2.A．0B．1C．2D．3解析①中，若n为偶数，则不一定成立，故①是错误的；②中，因为a2－a＋1＝＋34≠0，所以(a2－a＋1)0＝1是正确的；③是错误的；④左边为负数，而右边为正数，错误．答案 B9．若10x＝2,10y＝3，则＝________.解析由10x＝2,10y＝3，得，102y ＝(10y )2＝32，∴.答案22910．已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b 的值．解 ∵a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根， ∴a ＋b ＝6，ab ＝4.⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝15.∵a >b >0，∴a >b ，∴a －b a ＋b＝15＝55.。
2017版高中人教A版数学必修1课件：第二章 基本初等函数2-3
7 8
＝－1878
，函数
7
y＝x8 在(0，＋∞)上为增
函数，
又18>19，则1878 >1978 ，
从而－8－
7 8
<－1978
.
(2)幂函数 y＝x－3 在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，
又∵－2>－2.5，∴(－2)－3<(－2.5)－3.
(3)幂函数 y＝x－0.1 在(0，＋∞)上为减函数，
第三十九页，编辑于星期六：三点 二十二分。
5．比较大小．
1
1
(1)1.5 2 ，1.7 2 ；
(2)(－1.2)3，(－1.25)3；
(3)5.25－1，5.26－1，5.26－2.
1
解：(1)∵y＝x 2 在[0，＋∞)上是增函数，1.5＜1.7.
1
1
∴1.5 2 ＜1.7 2 .
(2)∵y＝x3 在 R 上是增函数，－1.2＞－1.25，
第二十六页，编辑于星期六：三点 二十二分。
答案：1 解析：过 M，N 分别作 x 轴、y 轴的垂线，则由题 意知，点 M 的坐标为13，32，点 N 的坐标为23，13，
第二十七页，编辑于星期六：三点 二十二分。
将点 M，N 的坐标分别代入 y＝xα，y＝xβ，
可得23＝13α，13＝23β，
2
1
lg 两边取常用对数，得 α＝
31，β＝lg
32，
lg 3
lg 3
所以 αβ＝1.
第二十八页，编辑于星期六：三点 二十二分。
类型 3 应用幂函数的性质比较幂的大小 [要点点击] 比较幂值大小的三种基本方法
第二十九页，编辑于星期六：三点 二十二分。
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第二章综合微评(时间：120分钟 分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中与函数y ＝x 相等的函数是( ) A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．y ＝2log 2xD ．y ＝log 22x答案：D 解析：函数y ＝x 的定义域为R . 选项A 中函数y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)； 选项B 中函数y ＝x 2＝|x |； 选项C 中函数y ＝2log 2x＝x ，定义域为(0，＋∞)；选项D 中y ＝log 22x＝x ，定义域为R .2．函数y ＝(1－x ) 12＋log 3x 的定义域为( ) A ．(－∞，1] B ．(0,1] C ．(0,1)D ．[0,1]答案：B 解析：由题意得，1－x ≥0且x >0，解得0<x ≤1，故选B.3．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．log 12 xC.12x D ．x 2答案：B 解析：因为函数y ＝f (x )图象经过点(a ，a )， 所以函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)过点(a ，a )， 所以a ＝a a，即a ＝12，故f (x )＝log 12x .4．已知a ＝212，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.5，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a答案：A 解析：∵a ＝212，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.5＝2 12 ，且y ＝2x在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴a ＞b ＞20＝1.又c ＝2log 52＝log 54＜1， 因此a ＞b ＞c .5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤0，log 2x ，x ＞0，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18的值为( )A ．27 B.127 C ．－27 D ．－127答案：B 解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝log 218＝－3，f (－3)＝3－3＝127，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝f (－3)＝127. 6．函数y ＝|x |e－xx的图象的大致形状是( )答案：C 解析：由函数的表达式知：x ≠0，y ＝|x |e －xx ＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x，x >0，－e －x，x <0，所以它的图象是这样得到的：保留y ＝e －x，x ＞0的部分，将x ＜0的图象关于x 轴对称．故选D.7．若函数y ＝(m 2＋2m －2)x m为幂函数且在第一象限为增函数，则m 的值为( ) A ．1 B ．－3 C ．－1 D ．3答案：A 解析：因为函数y ＝(m 2＋2m －2)x m为幂函数且在第一象限为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，m >0，∴m ＝1.故选A.8．满足“对定义域内任意实数x ，y ，都有y ＝f (x ·y )＝f (x )＋f (y )”的函数可以是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2xC ．f (x )＝log 2xD ．f (x )＝eln x答案：C 解析：f (xy )＝log 2xy ＝log 2x ＋log 2y ＝f (x )＋f (y )． 9．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a ＝f (－3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜a ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a答案：C 解析：∵a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝f (log 32)，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，∴0＜log 32＜1,1＜43＜3，∴3＞43＞log 32，∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴a ＞c ＞b .10．方程log 2x ＋log 2(x －1)＝1的解集为M ，方程22x ＋1－9·2x＋4＝0的解集为N ，那么M 与N 的关系是( )A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M ∩N ＝∅答案：B 解析：由log 2x ＋log 2(x －1)＝1，得x (x －1) ＝2，解得x ＝－1(舍)或x ＝2，故M ＝{2}； 由22x ＋1－9·2x＋4＝0，得2·(2x )2－9·2x＋4＝0， 解得2x ＝4或2x＝12，即x ＝2或x ＝－1，故N ＝{2，－1}， 因此有M N .11．函数f (x )＝log 12 (x 2－3x ＋2)的递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32 B. (1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D ．(2，＋∞)答案：D 解析：令t ＝x 2－3x ＋2，则t ＝x 2－3x ＋2>0，解得x ∈(－∞，1)∪(2，＋∞)．且t ＝x 2－3x ＋2在区间(－∞，1)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增； 又y ＝log 12t 在其定义域上单调递减，所以由复合函数的单调性知：f (x )＝log 12(x 2－3x ＋2)单调递减区间是(2，＋∞)．12．下列函数中，与y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝|x |－1|x |C ．y ＝－(2x＋2－x)D ．y ＝x 3－1答案：C 解析：设函数f (x )＝y ＝－3|x |，x ∈R ， ∴f (－x )＝－3|－x |＝－3|x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数．令t ＝|x |，∴t ＝|x |，x ∈(－∞，0)是减函数，由复合函数的单调性知y ＝－3|－x |在x∈(－∞，0)为增函数．选项A 为奇函数．∴A 错误；选项B 为偶函数，但是在x ∈(－∞，0)为减函数， ∴B 错误；选项C ，令g (x )＝－(2x ＋2－x )，g (－x )＝－(2－x ＋2x)， ∴g (x )＝g (－x )，∴g (x )为偶函数． 由复合函数的单调性知，∴g (x )在x ∈(－∞，0)为增函数．故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知4a＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 答案：10 解析：∵4a＝2，∴a ＝12，又lg x ＝a ，∴x ＝10a＝10.14．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x－3，则当x <0时，f (x )＝________.答案：－2－x＋3 解析：当x <0时，－x >0. 因为当x >0时，f (x )＝2x－3， ∴f (－x )＝2－x －3.又f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴当x <0时，f (－x )＝2－x－3＝－f (x )， ∴f (x )＝－2－x＋3.15．定义：区间[x 1，x 2](x 1＜x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝|log 0.5x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为________．答案：154解析：函数y ＝|log 0.5x |的值域为[0,2]，则由0≤|log 0.5x |≤2，得14≤x ≤4，∴[a ，b ]长度的最大值为4－14＝154.16．已知下列四个命题：①函数f (x )＝2x满足：对任意x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2都有f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<12[f (x 1)＋f (x 2)]；②函数f (x )＝log 2(x ＋1＋x 2)，g (x )＝1＋22x －1不都是奇函数；③若函数f (x )满足f (x －1)＝－f (x ＋1)，且f (1)＝2，则f (7)＝－2； ④设x 1，x 2是关于x 的方程|log a x |＝k (a >0，且a ≠1)的两根，则x 1x 2＝1. 其中正确命题的序号是________．答案：①③④ 解析：①∵指数函数的图象为凹函数，∴①正确．②函数f (x )＝log 2(x ＋1＋x 2)定义域为R ，且f (x )＋f (－x )＝log 2(x ＋1＋x 2)＋log 2(－x ＋1＋x 2)＝log 21＝0，∴f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数．g (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且g (x )＝1＋22x －1＝2x＋12x －1，g (－x )＝2－x＋12－x －1＝1＋2x1－2x ＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．②错误． ③∵f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (7)＝f (6＋1)＝－f (6－1)＝－f (5)，f (5)＝f (4＋1)＝－f (4－1)＝－f (3)， f (3)＝－f (1)，∴f (7)＝－f (1)．③正确．④∵x 1，x 2是关于x 的方程，|log a x |＝k (a >0，且a ≠1)的两根， 则log a x 1＝－log a x 2，∴log a x 1＋log a x 2＝0，∴x 1·x 2＝1.∴④正确．三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)化简下列各式： (1)[(0.064 15 )－2.5] 23 －3338－π0；(2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋14lg 16.解：(1)原式＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫641 000 15 －52 23 －⎝ ⎛⎭⎪⎫278 13 －1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫410315×(－52)×23 －⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32313 －1 ＝52－32－1＝0. (2)原式＝2lg 2＋lg 31＋12lg 0.62＋14lg 24＝2lg 2＋lg 31＋lg 2×310＋lg 2＝2lg 2＋lg 31＋lg 2＋lg 3－lg 10＋lg 2＝2lg 2＋lg 32lg 2＋lg 3＝1.18．(本小题满分12分)若函数y ＝f (x )＝a ·3x －1－a3x－1为奇函数．(1)求a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域． 解：∵函数y ＝f (x )＝a ·3x －1－a3x－1＝a －13x－1， (1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即 2a －13x －1－13－x －1＝0，∴a ＝－12.(2)∵y ＝－12－13x －1，∴3x－1≠0，即x ≠0.∴函数y ＝－12－13x －1的定义域为{x |x ≠0}．(3)∵x ≠0，∴3x－1＞－1.∵3x－1≠0，∴－1<3x－1<0或3x－1＞0. ∴－12－13x －1＞12或－12－13x －1＜－12.即函数的值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＞12或y ＜－12. 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－ax (a ∈R )，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1.(1)求f (x )的解析式并判断其奇偶性； (2)g (x )＝log21＋x k ，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23时，f (x )≤g (x )有解，求实数k 的取值集合．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝log 21－131＋a 3＝－1，∴231＋a 3＝12，∴43＝1＋a3，∴a ＝1， ∴f (x )＝log 21＋x1－x，∴定义域为(－1,1)，定义域关于原点对称，f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1＝－log 21＋x1－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． (2)log 21＋x1－x ≤log21＋x k ＝2log 21＋xk＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x k 2，∴1＋x 1－x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x k 2， 令h (x )＝1－x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上单调递减，∴h (x )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34，∴只需k 2≤34，又由g (x )定义域知k >0，∴0<k ≤32. ∴实数k 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪⎪0≤k ≤32. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x－4x. (1)求y ＝f (x )在[－1,1]上的值域；(2)解不等式f (x )>16－9×2x；(3)若关于x 的方程f (x )＋m －1＝0在[－1,1]上有解，求m 的取值范围． 解：(1)设t ＝2x，因为x ∈[－1,1]，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，∴t ＝12时，f (x )max ＝14，t ＝2时，f (x )min ＝－2.∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14.(2)设t ＝2x，由f (x )>16－9×2x，得t －t 2>16－9t ，即t 2－10t ＋16<0，∴2<t <8，即2<2x<8，∴1<x <3，∴不等式的解集为(1,3)．(3)方程有解等价于m 在1－f (x )的值域内，∴m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3. 21. (本小题满分12分) 已知函数f (x )＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且f (3)<f (5)． (1)求m 的值，并确定f (x )的解析式；(2)若g (x )＝log a [f (x )－2x ](a >0且a ≠1)，求g (x )在(2,3]上的值域．解：(1)因为f (3)<f (5)，所以由幂函数的性质得，－2m 2＋m ＋3>0，解得－1<m <32.因为m ∈Z ，所以m ＝0或m ＝1. 当m ＝0时，f (x )＝x 3它不是偶函数； 当m ＝1时，f (x )＝x 2是偶函数， 所以m ＝1，f (x )＝x 2.(2)由(1)知g (x )＝log a (x 2－2x )， 设t ＝x 2－2x ，x ∈(2,3]，则t ∈(0,3]，此时g (x )在(2,3]上的值域，就是函数y ＝log a t ，t ∈(0,3]的值域． 当a >1时，y ＝log a t 在区间(0,3]上是增函数，所以y ∈(－∞，log a 3]； 当0<a <1时，y ＝log a t 在区间(0,3]上是减函数，所以y ∈[log a 3，＋∞)． 所以当a >1时，g (x )的值域为(－∞，log a 3]， 当0<a <1时，g (x )的值域为[log a 3，＋∞)．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝[f (x )]2－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )；(2)是否存在实数m >n >3，当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．解：(1)因为x ∈[－1,1]，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3， 则φ(x )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2. 当a <13时，y min ＝h (a )＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝289－2a 3； 当13≤a ≤3时，y min ＝h (a )＝φ(a )＝3－a 2； 当a >3时，y min ＝h (a )＝φ(3)＝12－6a .所以h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a <13，3－a 2，13≤a ≤3，12－6a ，a >3.(2)假设满足题意的m ，n 存在， 因为m >n >3， 所以h (a )＝12－6a 在(3，＋∞)上是减函数． 因为h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2，12－6n ＝m 2，相减得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )．由m >n >3，所以m ＋n ＝6，但这与m >n >3矛盾， 所以满足题意的m ，n 不存在．。