全国名校联考2019届高三上学期第二次联考数学(理)答案(PDF版)

为 C cos ,sin 0 2 , 则 AB AC 1,1 cos 1,sin sin cos 1 最大值为 1 2 . 15.考点：抛物线的性质 答案：2 解析：设 P ( x0 , y0 ) ， y 令 y 0 得 xQ
共 100 + 5 + 5 = 110 种. 9.考点：立体几何之空间直线夹角 答案：B 解析：法一：分别取 B1C1、AA1、CD 中点 R、Q1、P 1， 易知 PB1 P 所以 PB1 和 QC1 所成的角 1 R，QC1 Q1 R ， 即为 P 而 PQ 所以 1 R，Q1 R 所成角， 1 1 R 为等边三角形，
x
，设切点为
( x0 , x0 e x0 ) ，则有
x0 e x0 1 e x0 x0 1 ，易知切线为 y (1 e) x ，该切线与 x0
渐近线的夹角小于 90°，而 f ( x ) 的图像在该切线和渐近线夹角之内，因此不存在满足充要 条件的射线. 13.考点：三角变换，正切两角差公式 答案：5， tan(
大象天成大联考·全国名校联盟 2018-2019 学年高三第二次联考 理科数学 A 卷参考答案与解析
1.考点：集合的简单运算 答案：C 解析： y x x＝（x+ ）2
1 2
2
1 1 1 1 - ，所以 A , , CR A , 4 4 4. 4
tan 1 2 ) , 解之得 tan 5 . 4 1 tan 3
14.考点：向量的数量积 答案： 1 2 解析：如图建立平面直角坐标系， 不妨设 A 1, 0 , B 0,1 , 设点 C 的坐标
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QC1 所成的角为
3
10.考点：解三角形与三角恒等变换 答案：C 解析：由正弦定理有
AB l l sin ， AB sin sin( ) sin( )
河宽 AB sin
l sin sin l sin sin l tan tan sin( ) sin cos sin cos tan tan
1 0 0 n
py0 y0 2 4 2 2
n
16.考点：二项式定理，合情推理 答案：
n n 0 1 2 2 对于等式 Cn Cn x Cn x Cn x 1 x ，两侧对 x 从 0
到 1 进行积分得
0 n 1 1 n
C dx C xdx C x dx C
2.考点：复数的除法运算和概念. 答案：D
z
1 2i ＝2 i, 所以z 2 i. i
3.考点：线性规划 答案：A 解析：画出不等式组所表示的可行域如图所示，
x 2 y 2 2 y x 2 ( y 1) 2 -1 ， 表 示 可 行 域 内 的 点 到 点
(0,1)的距离的平方再减 1，由图易知其最大值为 1. 4.考点：函数的图像 答案：A 解析： f ( x ) xe
P 1 RQ1
3
法二：设正方体的棱长为 2，分别以 DA，DC， DD1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角 坐标系，则易得 P (1,1, 0), B1 (2, 2, 2), Q (1, 0,1), C1 (0, 2, 2), 则易得：
1 2 2 1 PB1 (1,1, 2), QC1 (1, 2,1). 所 以 cos PB1 , QC1 , 所以 直 线 PB1 和 2 6 6
，…………7 分 优等生共有 2000 0.023 46 （人）
P ( X 143) P ( X 3 ) (1 0.997) 2 0.0015 ，
，……8 分 尖子生共有 2000 0.0015 3 （人）
p(Y 0)
2 1 1 C43 C43 C3 C32 301 43 1 p ( Y 1) , p ( Y 2) ; 2 2 2 C46 345 ， C46 345 C46 345 ……11 分
0 1 n 0 2 2 n 0
1 1 1
1
1
1
n n n
x dx 1 x dx ，
n 0
1
1 2 1 n 1 1 2 1 3 n 1 n 1 1 x x Cn x Cn x 即C x C ，即 0 0 2 0 3 0 n n 1 0 1 1 1 2 1 1 n 0 2n 1 1 . Cn Cn Cn Cn 2 3 n 1 n 1
二面角的余弦值为 cos m, n

42 7 …………12 分
19.考点：数据处理、正态分布和数学期望。 解析： （1） [0.0005 (20 140) 0.0025 (40 120) 0.013 (60 100)
0.018 80] 20 80 ；…………3 分
1 1 16 3 . 4 4 2 3＝ 3 2 3
7.考点：三角函数图像平移、三角函数恒等变换
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答案：C 解析： y1 (sin x cos x) sin 2 x 1 ， y2 cos 2 x 1 ， y1 向右平移 a 个单位后得到
2
y3 sin[2( x a )] 1 cos(2 x 2a
时，a 的最小值为
3 4
因此 2k 2a 0 ， 当k 1 2 k ) 1 y2 ， 2 2
8.考点：排列组合 答案：C
4 解析：4 个偶数时有 C5 5 种，4 个奇数时有 C54 5 种，2 奇 2 偶时有 C52C52 100 种，一
ln x
xeln x x 2 ( x 1) ln x 1 (0 x 1) xe
5.考点：几何概型 答案：A
4 4 3 3 解析：房间的体积为 2 8 ，灭蚊器能够覆盖的空间的体积为 ，所以 P 3 8 6
6.考点：三视图 答案：D 解析：该三棱锥的底面是底边长为 4 高为 4 的等腰三角形，高为 2 3 ，体积为
…………6 分 （2） （理）以 H 为坐标原点过 H 平行于 CD 的直线为 x 轴、 HD 所在直线为 y 轴、 HB 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标 系 H-xyz 如右图所示，计算易得 AH＝1，
…………3 分
AB CD
B
z
A x
H C
D
y
HB＝ 2 ，…………8 分
则 H (0, 0, 0), B (0, 0, 2) , C ( 3, 2, 0), A(0, 1, 0) ,因此
11.考点：双曲线的离心率问题
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答案：A 解析：易知该双曲线过第一象限的渐近线为 y
b x ，设点 P、F 的坐标分别为： a x c b b , x0 ), 代入 双曲 线的方 程得 ： P ( x0 , x0 ) x0 0 , F (c, 0), 则点 Q 的坐 标为 Q ( 0 2 2a a

2 sin 1 2 所 以 4
x x ，则 lPQ : y y0 0 ( x x0 ) p p
x0 p ， PF PH ( y0 ) y0 4 ， 2 2
2
x PQ x0 0 y0 2 2 1 2n 1 1 n 1
Y P
0
1
因此 an 1 是以 a1 1 2 为首项，2 为公比的等比数列，
an 1 2n an 2n 1 …………7 分
（2） S n 2
1 2n n 2 n 1 n 2 ，. …………9 分 1 2
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17.考点：数列求通项、求和 解析： （1）令 n 1 得 2a1 1 4 a1 a1 3 ……1 分
2an n 4 S n ……①， 2an 1 n 1 4 S n 1 ……②…………3 分
②-①得 2an 1 an 1 即
an 1 1 2 ，…………5 分 an 1
2 [0.0005 2 602 0.0025 2 402 0.013 2 202 ] 20 440 ……5 分
（2） （理）
440 2 110 21 ，…………6 分
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P ( X 122) P ( X 2 ) (1 0.954) 2 0.023 ，
x0 c
4a 2
2

2 b 2 x0 1, 整理得 2cx0 4a 2 c 2 0, 所以 e 2 4, 所以1 e 2. 2 2 4a b
12.考点：函数与导数的综合应用、从解的存在性的角度考虑问题 答案：B 解析： f ( x ) 为“Rt 函数”的充要条件为：过原点作两条相互垂直的射线，它们均和 f ( x ) 有 交点，且在这两条射线上分别存在一个交点到原点的距离相等。①显然是“Rt 函数” ；②将 原函数变形为双曲线 x 2 y 1 ( y 0) ，渐近线为 y
2 2
2 x ( y 0) ，它们构成的角有 2
一个大于 90°，而 f ( x ) 的图像在两渐近线构成的大于 90°的角之外，因此不存在满足充 要条件的射线；③依题意可 得： f ( x ) 1 e
x
，
易 知 f ( x )在 － ， 0 上单调递减，在 0， 上单调递增，且 y x 是 f ( x ) 在 第 一 象限内的一条渐近线，再求出 f ( x ) 的经过原点的切线，因为 f ( x ) 1 e
CB ( 3, 2, 2) , HB (0, 0, 2) , AB (0,1, 2) ，…………9 分
设平面 BCH 和平面 ABC 的法向量分别为 m, n ，则

m CB 0 n CB ＝ ＝0 m (2, 3, 0) , n ( 6, 2,1) ，…………11 分 m HB＝0 n AB＝0
Tn 4
1 2 n (1 n) n n 2 3n 2n 2 n 2 4 …………12 分 1 2 2 2
18.考点：面面垂直的判定、二面角的计算。 解析： （1）
BH AD H BH 面ACD BH CD CD 面ABD AB CD CD 面ACD AD CD AB 面ABD AB BC AB 面BCD 面ABC 面BCD BC CD C AB 面ABC