2011届高考数学人教A版一轮复习课时练习-第八章 第五节--直线、圆的位置关系
2011年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)§9.4直线、圆的位置关系--学生用
2011年高考数学一轮复习精品学案（人教版A 版）§9．4直线、圆的位置关系★知识梳理★1．判断直线与圆的位置关系有两种方法：①几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为d ，圆半径为r ，若直线与圆相离，则 ；若直线与圆相切，则 ；若直线与圆相交，则 。
②代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断，若0>∆，则 ；若0=∆，则 ；若0<∆，则 。
2．两圆的位置关系 (1)设两圆半径分别为12,r r ，圆心距为d若两圆相外离，则 ，公切线条数为若两圆相外切,则 ，公切线条数为若两圆相交，则 ，公切线条数为若两圆内切，则 ，公切线条数为若两圆内含，则 ，公切线条数为(2) 设两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C ，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是3． 相切问题的解法：①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为-1③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即0=∆来求解。
特殊地,已知切点),(00y x P ,圆222r y x =+的切线方程为 , 圆222)()(r b y a x =-+-的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--4．圆系方程①以点),(00y x C 为圆心的圆系方程为)0()()(22020>=-+-r r y y x x②过圆0:22=++++F Ey Dx y x C 和直线0:=++c by ax l 的交点的圆系方程为F Ey Dx y x ++++220)(=+++c by ax λ③过两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C 的交点的圆系方程为11122F y E x D y x ++++0)(22222=+++++F y E x D y x λ（不表示圆2C ）★重难点突破★重点:根据给定的方程判定直线与圆、圆与圆的位置关系；利用直线和圆、圆与圆的位置关系的充要条件解决一些简单的问题；难点:借助数形结合,利用圆的几何性质,将题目所给条件转化为圆心到直线的距离、两圆的连心线或半径的和与差重难点:将方程的理论与圆的几何性质相结合,并加以运用，握直线与圆的位置关系的三种常见题型：①相切——求切线；相交——求距离；③相离——求圆上动点到直线距离的最大（小）值。
高考一轮复习课时作业(人教版)：9-4直线、圆的位置关系word版含答案
9-4直线、圆的位置关系A 级 基础达标演练(时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(★)(2011·广东)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1解析 法一 (直接法)集合A 表示圆，集合B 表示一条直线，又圆心(0,0)到直线x ＋y ＝1的距离 d ＝12＝22＜1＝r ，所以直线与圆相交，故选C. 法二 (数形结合法)画图可得，故选C. 答案 C【点评】 本题法二采用数形结合法求解与法一比较显得更容易、更直观. 2．(2011·济南调研(二))已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是( )． A ．x 2＋y 2－4x ＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2－2x －3＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析 设圆心为C (m,0)(m ＞0)，因为所求圆与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，所以|3m ＋4×0＋4|32＋42＝2，整理得|3m ＋4|＝10，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝22，即x 2＋y 2－4x ＝0. 答案 A3．(2012·长春模拟)若直线2x －y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则实数a 的取值范围( )． A ．－2－5＜a ＜－2＋ 5 B ．－2－5≤a ≤－2＋ 5 C ．－5≤a ≤ 5D ．－5＜a ＜ 5解析 若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有|a ＋2|5≤1，解得－2－5≤a ≤－2＋ 5. 答案 B4．(2011·全国)设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( )．A ．4B ．4 2C ．8D ．8 2解析 设与两坐标轴都相切的圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2，将点(4,1)代入得a 2－10a ＋17＝0，解得a ＝5±22，设C 1(5－22，5－22)，则C 2(5＋22，5＋22)，则|C 1C 2|＝32＋32＝8. 答案 C5．(2012·杭州模拟)直线y ＝k x ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33C.[]－3，3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 解析 如图，若|MN |＝23，则由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足d 2＝22－(3)2＝1.∵ 直线方程为y ＝k x ＋3，∴d ＝|k ·2－3＋3|1＋k 2＝1，解得k ＝±33.若|MN |≥23，则－33≤k ≤33. 答案 B二、填空题(每小题4分，共12分)6．过点A (2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引切线的方程为________．解析 显然x ＝2为所求切线之一．另设直线方程为y －4＝k (x －2)，即k x －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，k ＝34，即3x －4y ＋10＝0. 答案 x ＝2或3x －4y ＋10＝07．(2011·湖北)过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．解析 将圆的方程化成标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r ＝1.由弦长为2得弦心距为22.设直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，即k x －y ＋k －2＝0，∴|2k －3|k 2＋1＝22，化简得7k 2－24k ＋17＝0，∴k ＝1或k ＝177. 答案 1或1778．(2011·青岛二模)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________． 解析 依题意得|OO 1|＝5＋20＝5，且△OO 1A 是直角三角形，S △OO 1A ＝12·|AB |2·|OO 1|＝12·|OA |·|AO 1|，因此|AB |＝2·|OA |·|AO 1||OO 1|＝2×5×255＝4. 答案 4三、解答题(共23分)9．(11分)(2012.枣庄月考)已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程． 解 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.10．(12分)(2012·湛江六校联考)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 假设存在斜率为1的直线l ，满足题意，则OA ⊥OB .设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0①由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0消去y 得：2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， ∴x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)，② y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2 ＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2＝12(b 2＋2b －4)．③把②③式代入①式，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4，且b ＝1或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＞0成立．故存在直线l 满足题意，其方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2－6x ＋y 2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )．A ．1B ．2 2 C.7 D ．3解析 切线长的最小值在直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d 2－r 2＝8－1＝7，故选C 项． 答案 C2．若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值是( )．A ．4B ．2 C.12 D.14 解析 圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∵弦长为4，故为直径，即直线过圆心(－1,2)，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋21＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，取等号，∴1a ＋1b 的最小值为4. 答案 A二、填空题(每小题4分，共8分)3．(★)从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．解析 (数形结合法)如图，圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0 可化为x 2＋(y －6)2＝9，圆心坐标为(0,6)，半径为3. 在Rt △OBC 中可得：∠OCB ＝π3，∴∠ACB ＝2π3， ∴所求劣弧长为2π. 答案 2 π【点评】 数形结合法是把题中的“数”与“形”有效结合，相辅相助，解题方便、直观，在圆的有关问题中较为常见.4．(2012·金华模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________． 解析 画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，该圆半径为2即圆心O (0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d ＜1，即0＜|c |13＜1，∴－13＜c ＜13. 答案 (－13,13) 三、解答题(共22分)5．(10分)求过两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程．解 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1， ①x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0， ②①－②得2x －y ＝0代入①得x 1＝－15、x 2＝－1， ∴两圆两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25、(－1，－2)．过两交点圆中，以⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25、(－1，－2)为端点的线段为直径的圆，面积最小．∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65半径为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋222＝255，圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45.6．(12分)(2012·西安模拟)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4. (1)求过点P (1,2)且与圆C 相切的直线l 的方程；(2)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程； (3)圆C 上有一动点M (x 0，y 0)，ON →＝(0，y 0)，若向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．解 (1)显然直线l 的斜率存在，设切线方程为y －2＝k (x －1)，则由|2－k |k 2＋1＝2，得k 1＝0，k 2＝－43，从而所求的切线方程为y ＝2和4x ＋3y －10＝0.(2)当直线l 垂直于x 轴时，此时直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，这两点的距离为23，满足题意；当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即k x －y －k ＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d (d ＞0)，则23＝24－d 2，得d ＝1，从而1＝|－k ＋2|k 2＋1，得k ＝34，此时直线方程为3x －4y ＋5＝0，综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.(3)设Q 点的坐标为(x ，y )，M 点坐标是(x 0，y 0)，ON →＝(0，y 0)，∵OQ →＝OM →＋ON →，∴(x ，y )＝(x 0,2y 0)⇒x ＝x 0，y ＝2y 0.∵x 20＋y 20＝4，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝4，即x 24＋y 216＝1.∴Q 点的轨迹方程是x 24＋y 216＝1，轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆．。
高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 word版含答案
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系(1)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．(2)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． (3)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．知识点一 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d ) 相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d >rd ＝rd <r易误提醒 对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k 不存在情形．必备方法 求圆的弦长的常用方法：(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式． |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．[自测练习]1．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．与m 的取值有关解析：圆心到直线的距离d ＝|－1－m ＋1|m 2＋1＝|m |m 2＋1<1＝r ，故选A.答案：A2．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2. 答案：D3．过点(2,3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________．解析：设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0，又直线x ＝2也是圆的切线，所以直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝0 知识点二 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系(两圆半径r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|) 相离外切相交内切内含图形量的关系d >r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|易误提醒 两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．[自测练习]4．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切D ．内切解析：圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径r 2＝2，故两圆的圆心距d ＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则r 2－r 1<d <r 1＋r 2，故两圆相交．答案：B考点一 直线与圆的位置关系|1．对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上三个选项均有可能解析：直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，圆x 2＋y 2－2x －2＝0的圆心为C (1,0)，半径为3，而|AC |＝2<3，故直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交，故选C.答案：C2．(2015·皖南八校联考)若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( )A.12，－4 B ．－12，4C.12，4 D ．－12，－4解析：因为直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，所以直线y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且直线2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，2×2＋0＋b ＝0，解得k ＝12，b ＝－4.答案：A3．若直线x －my ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则m 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．±3D. 3解析：由x 2＋y 2－2x ＝0，得圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|1－0＋1|1＋m 2＝1，解得m ＝±3. 答案：C判断直线与圆的位置关系常见的两种方法(1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．考点二 切线、弦长问题|(1)(2015·高考重庆卷)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210(2)(2016·太原一模)已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215[解析] (1)由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆C 的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB |＝6，故选C.(2)将圆的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心坐标为F (2，－1)，半径r ＝5，如图，显然过点E 的最长弦为过点E 的直径，即|AC |＝25，而过点E 的最短弦为垂直于EF 的弦，|EF |＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，|BD |＝2r 2－|EF |2＝23，∴S 四边形ABCD＝12|AC |×|BD |＝215. [答案] (1)C (2)D处理切线、弦长问题的策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．1．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝0解析：设直线的斜率为k ，又弦AB 的中点为(－2,3)，所以直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋3＝0，由x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)，所以圆心到直线的距离为2，所以|－k －2＋2k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝1，所以直线l 的方程为x －y ＋5＝0，故选C.答案：C2．(2016·云南名校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为________．解析：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，过P 作圆O 的切线P A ，连接OA (图略)，易知此时|P A |的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP |＝|1×0－2×0＋5|1＋22＝ 5.又|OA |＝1，所以|P A |＝|OP |2－|OA |2＝2.答案：2考点三 圆与圆的位置关系|1．(2016·惠州调研)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离解析：两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．答案：B2．若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：如图，分别以A ，B 为圆心，1,2为半径作圆．依题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．答案：C3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2)＝0－4⇒y ＝1a ，又a >0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a ＝1.答案：1求解两圆位置关系问题的两种方法(1)两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．19.直线与圆的位置关系中的易错问题【典例】对于任意实数m，直线l：y＝m(x－1)＋b恒与圆O：x2＋y2＝a2(a>0)有两个交点，则a，b满足的条件是________．[易错点析]对直线l方程分析不彻底，盲目利用Δ法或几何法无法判断导致失误．[解析]由题意知，①直线l经过定点M(1，b)．又直线l恒与圆O：x2＋y2＝a2(a>0)有两个交点，所以，②点M在圆的内部，所以，12＋b2<a2，即a2－b2>1.[答案]a2－b2>1[方法点评]点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．点与圆的位置关系法适用于动直线问题．[跟踪练习](2016·大连双基)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．解析：法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)<0，解得k∈(－3，3)．法二：圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝2k2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d>1，即2k2＋1>1，解得k∈(－3，3)．答案：(－3，3)A组考点能力演练1．(2016·洛阳二练)已知圆C：x2＋y2＝4，若点P(x0，y0)在圆C外，则直线l：x0x＋y0y ＝4与圆C的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．不能确定解析：由题意：圆C的圆心到直线l的距离d＝4x20＋y20，∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4外，∴x20＋y20>4，∴d＝4x20＋y20<2，∴直线l与圆相交．答案：C2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)，所以它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.答案：B3．(2015·长春二模)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)B ．(－∞，－22]∪[22，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：由直线与圆相切可知 |m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2， 整理得mn ＝m ＋n ＋1，由mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22可知m ＋n ＋1≤14(m ＋n )2，解得m ＋n ∈(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)，故选A. 答案：A4．过点(－2,3)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |取得最小值时l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋1＝0解析：本题考查直线与圆的位置关系．由题意得圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心C (－1，2)，过圆心与点(－2,3)的直线l 1的斜率为k ＝3－2－2－(－1)＝－1.当直线l 与l 1垂直时，|AB |取得最小值，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －(－2)，即x －y ＋5＝0，故选A.答案：A5．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：(x －2)2＋y 2＝5上的任意一点，点Q (2a ，a ＋2)，其中a ∈R ，则线段PQ 长度的最小值为( )A.55B. 5C.355D.655解析：设点Q (x ，y )，则x ＝2a ，y ＝a ＋2，∴x －2y ＋4＝0，∴点Q 在直线x －2y ＋4＝0上．由于圆心(2,0)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|2－0＋4|1＋4＝655，所以PQ 长度的最小值为d －5＝655－5＝55，故选A.答案：A6．圆x 2＋y 2＋x －2y －20＝0与圆x 2＋y 2＝25相交所得的公共弦长为________． 解析：公共弦的方程为(x 2＋y 2＋x －2y －20)－(x 2＋y 2－25)＝0，即x －2y ＋5＝0，圆x 2＋y 2＝25的圆心到公共弦的距离d ＝|0－2×0＋5|5＝5，而半径为5，故公共弦长为252－(5)2＝4 5.答案：4 57．(2016·泰安调研)已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________．解析：因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两平行直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|3＋1＝3.又直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径r ＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π.答案：25π8．(2016·福州质检)若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A 、B 两点，则CA →·CB →的值为________．解析：依题意得，点C 的坐标为(3,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，(x －3)2＋(y －3)2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3， 可令A (3,5)，B (1,3)，∴CA →＝(0,2)，CB →＝(－2,0)， ∴CA →·CB →＝0. 答案：09.如图，已知圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，与x 轴的正半轴交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，连接AN ，BN ，求证：k AN ＋k BN 为定值．解：(1)因为圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m >0)，则圆C 的半径为m ，又|MN |＝3，所以m 2＝4＋⎝⎛⎭⎫322＝254，解得m ＝52，所以圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋(y －2)2＝254. (2)由(1)知M (1,0)，N (4,0)，当直线AB 的斜率为0时，易知k AN ＝k BN ＝0，即k AN ＋k BN＝0.当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB ：x ＝1＋ty ，将x ＝1＋ty 代入x 2＋y 2－4＝0，并整理得，(t 2＋1)y 2＋2ty －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2tt 2＋1，y 1y 2＝－3t 2＋1，则k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝y 1ty 1－3＋y 2ty 2－3＝2ty 1y 2－3(y 1＋y 2)(ty 1－3)(ty 2－3)＝－6t t 2＋1＋6tt 2＋1(ty 1－3)(ty 2－3)＝0.综上可知，k AN ＋k BN 为定值．10．已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 截得的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方．(1)求圆M 的方程；(2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值．解：(1)设圆心M (a,0)，由已知得点M 到直线l ：8x －6y －3＝0的距离为12－⎝⎛⎭⎫322＝12，∴|8a －3|82＋62＝12.又点M 在直线l 的下方，∴8a －3>0，∴8a －3＝5，a ＝1，∴圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设直线AC 的斜率为k 1，直线BC 的斜率为k 2，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋t ，y ＝k 2x ＋t ＋6，解得C 点的横坐标为6k 1－k 2.∵|AB |＝t ＋6－t ＝6，∴S ＝12×⎪⎪⎪⎪6k 1－k 2×6＝18|k 1－k 2|.∵圆M 与AC 相切，∴1＝|k 1＋t |1＋k 21，∴k 1＝1－t 22t ；同理，k 2＝1－(t ＋6)22(t ＋6).∴k 1－k 2＝3(t 2＋6t ＋1)t 2＋6t，∴S ＝6(t 2＋6t )t 2＋6t ＋1＝6⎝⎛⎭⎫1－1t 2＋6t ＋1，∵－5≤t ≤－2，∴－8≤t 2＋6t ＋1≤－4， ∴S max ＝6×⎝⎛⎭⎫1＋14＝152，S min ＝6×⎝⎛⎭⎫1＋18＝274. B 组 高考题型专练1．(2014·高考浙江卷)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2.由r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫422得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.答案：B2．(2014·高考重庆卷)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.解析：易知△ABC 是边长为2的等边三角形，故圆心C (1，a )到直线AB 的距离为3，即|a ＋a －2|a 2＋1＝3，解得a ＝4±15.经检验均符合题意，则a ＝4±15.答案：4±153．(2014·高考山东卷)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．解析：依题意，设圆心的坐标为(2b ，b )(其中b >0)，则圆C 的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以24b 2－b 2＝23，b >0，解得b ＝1，故所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝44．(2015·高考山东卷)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.解析：在平面直角坐标系xOy 中作出圆x 2＋y 2＝1及其切线P A ，PB ，如图所示．连接OA ，OP ，由图可得|OA |＝|OB |＝1，|OP |＝2，|P A →|＝|PB →|＝3，∠APO ＝∠BPO ＝π6，则P A →，PB →的夹角为π3，所以P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos π3＝32. 答案：325．(2015·高考重庆卷)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．解析：由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线方程的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝0。
【名师一号】高考数学(人教版a版)一轮配套题库：8-4直线与圆、圆与圆的位置关系
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·安徽卷)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．4D ．4 6解析 依题意，圆的圆心为(1,2)，半径r ＝5，圆心到直线的距离d ＝|1＋4－5＋5|5＝1，所以结合图形可知弦长的一半为r 2－d 2＝2，故弦长为4.答案 C 2．已知直线l ：y ＝k (x －1)－3与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角为( )A.π6B.π2C.2π3D.56π解析 由题意知|k ＋3|k 2＋1＝1，∴k ＝－33， ∴直线l 的倾斜角为56π.答案 D3．(2013·重庆卷)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d＝3－(－3)－2＝4.答案 B4．过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B 两点，如果|AB|＝8，则直线l的方程为()A．5x＋12y＋20＝0B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0解析圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由|AB|＝8知，圆心(－1,2)到直线l的距离d＝3.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y ＋4k＝0.则有|3k－2|k2＋1＝3，∴k＝－512.此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.答案 B5．(2014·北京市期末)已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧AB的中点为M，则过点M的圆C 的切线方程是()A．y＝x＋2－ 2 B．y＝x＋1－1 2C．y＝x－2＋ 2 D．y＝x＋1－ 2 解析切线斜率为1，k OC ＝－1直线OC 方程y ＝－x 与圆C 联立方程得M (－1＋22，1－22)切线方程y ＝x ＋2－2，选A.答案 A6．(2014·安徽六校联考)两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条公切线，则a ＋b 的最小值为( )A ．－6B ．－3C ．－3 2D ．3解析 两个圆恰有三条公切线，则两圆外切．两圆的标准方程为圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4；圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1，所以|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝2＋1＝3，即a 2＋b 2＝9.由a 2＋b 2≥(a ＋b )22及当且仅当“a ＝b ”时等号成立，所以(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)，即|a ＋b |≤3 2. 所以－32≤a ＋b ≤3 2.故a ＋b 的最小值为－3 2.答案 C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________．解析 ∵圆C 1的圆心C 1(3,0)，圆C 2的圆心C 2(0,3)，∴直线C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.答案 x ＋y －3＝08．过点(0,1)的直线与x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．解析 当点(0,1)点为弦AB 的中点时，|AB |的长最小，且易求得最小值为2 3.答案 2 39．(2013·湖北卷)已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1(0<θ<π2)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________.解析 直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1(0<θ<π2)是单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限部分的切线，圆O ：x 2＋y 2＝5的圆心到直线l 的距离为1，故过原点O 与l 平行的直线l 1与圆O 的2个交点到直线l 的距离为1，l 1关于l 对称的直线l 2与圆O 也有2个交点，共4个．答案 4三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方，得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧ |CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.11．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |.(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如下图．则直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16，当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝|5＋3|2＝42，此时|QM|的最小值为32－16＝4.12．(2013·福建卷)如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l 与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；(2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径． 解 (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为 x ＝－1.由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5， 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C (y 204，y 0)，则圆C 的方程为(x －y 204)2＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4y 20－4(1＋y 202)＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 202＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4，所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为(32，6)或(32，－6)，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.。
高考数学第一轮复习精讲(课前准备+课堂活动小结+课后练习)直线、圆的位置关系导学案 文 新人教A版
学案50 直线、圆的位置关系导学目标： 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．自主梳理1．直线与圆的位置关系位置关系有三种：________、________、________. 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)代数法：利用判别式Δ，即直线方程与圆的方程联立方程组消去x 或y 整理成一元二次方程后，计算判别式Δ(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系： d <r ⇔________，d ＝r ⇔________，d >r ⇔________. 2．圆的切线方程若圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，点P (x 0，y 0)在圆上，则过P 点且与圆x 2＋y 2＝r 2相切的切线方程为____________________________．注：点P 必须在圆x 2＋y 2＝r 2上．经过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上点P (x 0，y 0)的切线方程为________________________． 3．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法运用韦达定理及弦长公式 |AB |＝1＋k 2|x A －x B |＝(1＋k 2)[(x A ＋x B )2－4x A x B ].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． 4．圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系可分为五种：________、________、________、________、________. 判断圆与圆的位置关系常用方法： (几何法)设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径为r 1、r 2 (r 1≠r 2)，则|O 1O 2|>r 1＋r 2________；|O1O 2|＝r 1＋r 2______；|r 1－r 2|<|O 1O 2|<r 1＋r 2________；|O 1O 2|＝|r 1－r 2|________；0≤|O 1O 2|<|r 1－r 2．(2)已知两圆x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则与两圆共交点的圆系方程为________________________________________________________________，其中λ为λ≠－1的任意常数，因此圆系不包括第二个圆．当λ＝－1时，为两圆公共弦所在的直线，方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0. 自我检测 1．(2010·江西)直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪[)0，＋∞C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.⎣⎡⎦⎤－23，0 2．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0 D ．x －3y ＋2＝03．(2011·宁夏调研)圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4．过点(0,1)的直线与x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为( ) A ．2 B ．2 3 C ．3 D ．2 55．(2011·聊城月考)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离探究点一 直线与圆的位置关系例1 已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程； (2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值时点P 的坐标．变式迁移1 从圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1外一点P (2,3)向该圆引切线，求切线的方程及过两切点的直线方程．探究点二 圆的弦长、中点弦问题 例2 (2011·汉沽模拟)已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0. (1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．变式迁移2已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线kx－y－4k＋3＝0.(1)证明：不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点；(2)求当k取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长．探究点三圆与圆的位置关系例3已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时，(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含．变式迁移3已知⊙A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，⊙B：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0.当a，b变化时，若⊙B始终平分⊙A的周长，求：(1)⊙B的圆心B的轨迹方程；(2)⊙B的半径最小时圆的方程．探究点四 综合应用例4 已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.问在圆C 上是否存在两点A 、B 关于直线y ＝kx －1对称，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由．变式迁移4 已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M 、N 两点．(1)求实数k 的取值范围；(2)若O 为坐标原点，且OM →·ON →＝12，求k 的值．1．求切线方程时，若知道切点，可直接利用公式；若过圆外一点求切线，一般运用圆心到直线的距离等于半径来求，但注意有两条．2．解决与弦长有关的问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，也可以运用弦长公式．这就是通常所说的“几何法”和“代数法”． 3．判断两圆的位置关系，从圆心距和两圆半径的关系入手．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切或相交 C ．相交 D ．相切 2．(2011·珠海模拟)直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m 等于( ) A.3或－ 3 B ．－3或3 3C ．－33或 3D ．－33或3 3 3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．2 34．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离为1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6)C ．(4,6]D ．[4,6] 5．(2010·全国Ⅰ)已知圆O 的半径为1，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么P A →·PB →的最小值为( )A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2二、填空题(每小题4分，共12分)6．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 7．(2011·三明模拟)已知点A 是圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋4y －5＝0上任意一点，A 点关于直线x ＋2y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝________.8．(2011·杭州高三调研)设直线3x ＋4y －5＝0与圆C 1：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，若圆C 2的圆心在线段AB 上，且圆C 2与圆C 1相切，切点在圆C 1的劣弧AB 上，则圆C 2的半径的最大值是________．三、解答题(共38分) 9．(12分)圆x 2＋y 2＝8内一点P (－1,2)，过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点．(1)当α＝3π4时，求AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程．10．(12分)(2011·湛江模拟)自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程．11．(14分)已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.求： (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．学案50 直线、圆的位置关系自主梳理1．相切 相交 相离 (1)相交 相切 相离 (2)相交 相切 相离 2.x 0x ＋y 0y ＝r 2 (x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝r 2 4.(1)相离 外切 相交 内切 内含 相离 外切 相交 内切 内含 (2)(x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0自我检测1．A 2.D 3.B 4.B 5.B 课堂活动区例1 解题导引 (1)过点P 作圆的切线有三种类型： 当P 在圆外时，有2条切线； 当P 在圆上时，有1条切线； 当P 在圆内时，不存在．(2)利用待定系数法设圆的切线方程时，一定要注意直线方程的存在性，有时要进行恰当分类．(3)切线长的求法：过圆C 外一点P 作圆C 的切线，切点为M ，半径为R ， 则|PM|＝|PC|2－R 2.解 (1)将圆C 配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx ， 由|k ＋2|1＋k 2＝2，解得k ＝2±6，得y ＝(2±6)x.②当直线在两坐标轴上的截距不为零时， 设直线方程为x ＋y －a ＝0， 由|－1＋2－a|2＝2，得|a －1|＝2，即a ＝－1，或a ＝3.∴直线方程为x ＋y ＋1＝0，或x ＋y －3＝0.综上，圆的切线方程为y ＝(2＋6)x ，或y ＝(2－6)x ， 或x ＋y ＋1＝0，或x ＋y －3＝0. (2)由|PO|＝|PM|，得x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2， 整理得2x 1－4y 1＋3＝0.即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．当|PM|取最小值时，即OP 取得最小值，直线OP ⊥l ， ∴直线OP 的方程为2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35. 变式迁移1 解 设圆切线方程为y －3＝k(x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0，∴1＝|k ＋2－2k|k 2＋1，∴k ＝34，另一条斜率不存在，方程为x ＝2.∴切线方程为x ＝2和3x －4y ＋6＝0.圆心C 为(1,1)，∴k PC ＝3－12－1＝2，∴过两切点的直线斜率为－12，又x ＝2与圆交于(2,1)，∴过切点的直线为x ＋2y －4＝0.例2 解题导引 (1)有关圆的弦长的求法：已知直线的斜率为k ，直线与圆C 相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，点C 到l 的距离为d ，圆的半径为r.方法一 代数法：弦长|AB|＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2；方法二 几何法：弦长|AB|＝2r 2－d 2. (2)有关弦的中点问题：圆心与弦的中点连线和已知直线垂直，利用这条性质可确定某些等量关系． 解 (1)方法一如图所示，|AB|＝43，取AB 的中点D ，连接CD ，则CD ⊥AB ，连接AC 、BC ， 则|AD|＝23，|AC|＝4，在Rt △ACD 中，可得|CD|＝2.当直线l 的斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式，得|－2k －6＋5|k 2＋(－1)2＝2，解得k ＝34.当k ＝34时，直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. ∴所求直线的方程为3x －4y ＋20＝0或x ＝0. 方法二 当直线l 的斜率存在时， 设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y －5＝kx ，即y ＝kx ＋5.联立直线与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5，x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0，消去y ，得(1＋k 2)x 2＋(4－2k)x －11＝0.① 设方程①的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k －41＋k2，x 1x 2＝－111＋k2.②由弦长公式，得1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝4 3.将②式代入，解得k ＝34，此时直线方程为3x －4y ＋20＝0.又k 不存在时也满足题意，此时直线方程为x ＝0. ∴所求直线的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0. (2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D(x ，y)，则CD ⊥PD ，即CD →·PD →＝0， (x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0. 变式迁移2 (1)证明 由kx －y －4k ＋3＝0， 得(x －4)k －y ＋3＝0.∴直线kx －y －4k ＋3＝0过定点P(4,3)． 由x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0， 即(x －3)2＋(y －4)2＝4， 又(4－3)2＋(3－4)2＝2<4.∴直线和圆总有两个不同的交点．(2)解 k PC ＝3－44－3＝－1.可以证明与PC 垂直的直线被圆所截得的弦AB 最短，因此过P 点斜率为1的直线即为所求，其方程为y －3＝x －4，即x －y －1＝0.|PC|＝|3－4－1|2＝2，∴|AB|＝2|AC|2－|PC|2＝2 2.例3 解题导引 圆和圆的位置关系，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，有时得不到确切的结论，通常还是从圆心距d 与两圆半径和、差的关系入手．解 对于圆C 1与圆C 2的方程，经配方后 C 1：(x －m)2＋(y ＋2)2＝9； C 2：(x ＋1)2＋(y －m)2＝4. (1)如果C 1与C 2外切，则有(m ＋1)2＋(－2－m )2＝3＋2. (m ＋1)2＋(m ＋2)2＝25.m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2. (2)如果C 1与C 2内含，则有(m ＋1)2＋(m ＋2)2<3－2.(m ＋1)2＋(m ＋2)2<1，m 2＋3m ＋2<0， 得－2<m<－1，∴当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2外切； 当－2<m<－1时，圆C 1与圆C 2内含．变式迁移3 解 (1)两圆方程相减得公共弦方程 2(a ＋1)x ＋2(b ＋1)y －a 2－1＝0.① 依题意，公共弦应为⊙A 的直径，将(－1，－1)代入①得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0.②设圆B 的圆心为(x ，y)，∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ay ＝b ，∴其轨迹方程为x 2＋2x ＋2y ＋5＝0.(2)⊙B 方程可化为(x －a)2＋(y －b)2＝1＋b 2.由②得b ＝－12[(a ＋1)2＋4]≤－2，∴b 2≥4，b 2＋1≥5.当a ＝－1，b ＝－2时，⊙B 半径最小， ∴⊙B 方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5.例4 解题导引 这是一道探索存在性问题，应先假设存在圆上两点关于直线对称，由垂径定理可知圆心应在直线上，以AB 为直径的圆经过原点O ，应联想直径所对的圆周角为直角利用斜率或向量来解决．因此能否将问题合理地转换是解题的关键．解 圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9， 圆心为C(1，－2)．假设在圆C 上存在两点A 、B ，则圆心C(1，－2)在直线y ＝kx －1上，即k ＝－1. 于是可知，k AB ＝1.设l AB ：y ＝x ＋b ，代入圆C 的方程， 整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0，b 2＋6b －9<0， 解得－3－32<b<－3＋3 2. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝12b 2＋2b －2.由OA ⊥OB ，知x 1x 2＋y 1y 2＝0， 也就是x 1x 2＋(x 1＋b)(x 2＋b)＝0， ∴2x 1x 2＋b(x 1＋x 2)＋b 2＝0，∴b 2＋4b －4－b 2－b ＋b 2＝0，化简得b 2＋3b －4＝0， 解得b ＝－4或b ＝1，均满足Δ>0.即直线AB 的方程为x －y －4＝0，或x －y ＋1＝0.变式迁移4 解 (1)方法一 ∵直线l 过点A(0,1)且斜率为k ， ∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1.将其代入圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1， 得(1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0.①由题意：Δ＝[－4(1＋k)]2－4×(1＋k 2)×7>0， 得4－73<k<4＋73.方法二 同方法一得直线方程为y ＝kx ＋1， 即kx －y ＋1＝0.又圆心到直线距离d ＝|2k －3＋1|k 2＋1＝|2k －2|k 2＋1，∴d ＝|2k －2|k 2＋1<1，解得4－73<k<4＋73.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由①得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4＋4k 1＋k 2x 1x 2＝71＋k2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1 ＝4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12⇒k ＝1(经检验符合题意)，∴k ＝1.课后练习区1．C 2.C 3.D 4.A 5.D 6．1 7.－10 8.19．解 (1)当α＝3π4时，k AB ＝－1，直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y －1＝0.(3分)故圆心(0,0)到AB 的距离d ＝|0＋0－1|2＝22， 从而弦长|AB|＝28－12＝30.(6分) (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝8，x 22＋y 22＝8，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 即－2(x 1－x 2)＋4(y 1－y 2)＝0，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12.(10分)∴直线l 的方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.(12分) 10.解 已知圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0关于x 轴对称的圆为C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C 1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切．(4分)设l 的方程为y －3＝k(x ＋3)，则 |5k ＋2＋3|12＋k 2＝1，(8分)即12k 2＋25k ＋12＝0.∴k 1＝－43，k 2＝－34.则l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0. (12分)11．解 两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M(1,3)，N(5,6)， 半径分别为11和61－m.(1)当两圆外切时，(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m. 解得m ＝25＋1011.(4分)(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离，故只有61－m －11＝5. 解得m ＝25－1011.(8分)(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0.(12分)由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2× 112－⎣⎢⎡⎦⎥⎤|4＋3×3－23|42＋322＝27.(14分)。
高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书 第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 Word版含解析
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系[考纲传真] 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d ＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．()(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．()[解析]依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为() A．内切 B.相交C．外切 D.相离B[两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17.∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．]3．(2017·合肥调研)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A ．－2或12 B.2或－12 C ．－2或－12D.2或12D [由圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b |32＋42＝1，解得b ＝2或12.]4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为__________．2555 [圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝⎛⎭⎪⎫3552＝2555.] 5．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．4π [圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2， 所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.]x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( )【导学号：01772298】A．相交 B.相切C．相离 D.不确定(2)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝() A．2 B.4 2C．6 D.210(1)A(2)C[(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l的距离d＝|m|m2＋1<1< 5.故直线l与圆相交．法二：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，∴直线l与圆C相交．(2)由圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.∴圆心为C(2,1)，半径r＝2，由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)．于是|AB|2＝|AC|2－r2＝40－4＝36，则|AB|＝6.][规律方法] 1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径垂直”等．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．[变式训练1] (1)(2017·山西忻州模拟)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0D.x －2y －7＝0(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝__________.(1)B (2)4 [(1)依题意知，点(3,1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点． ∴圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为12.因此切线的斜率k ＝－2.故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. (2)由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0,0)，半径r ＝2 3. ∴圆心(0,0)到直线x －3y ＋6＝0的 距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3.∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0，∴k AB ＝33，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. ∴|CD |＝|CE |sin 60°＝|AB |sin 60°＝2332＝4.](2016·山东高考)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切 B.相交 C ．外切D.相离B [法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋(－a )2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交． 法二：∵x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)⇔x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴M (0，a )，r 1＝a .∵圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为22，∴圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2＝a 2－2，解得a ＝2.以下同法一．][规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系．2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．[变式训练2] 若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是__________．4 [由题意⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25， ∴|OO 1|＝5.又A ，B 关于OO 1对称，∴AB 为Rt △OAO 1斜边上高的2倍． 又∵12·OA ·O 1A ＝12OO 1·AC ，得AC ＝2. ∴AB ＝4.]M为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．图8-4-1(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程．[解]圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M (6,7)，半径为5.1分(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.4分 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.5分 (2)因为直线l ∥OA ， 所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离 d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.8分因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22，所以25＝(m ＋5)25＋5，解得m ＝5或m ＝－15. 故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.12分[规律方法] 1.(1)设出圆N的圆心N(6，y0)，由条件圆M与圆N外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解．2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)．[变式训练3](2017·天津南开中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线x－3y＋3－2＝0相切．(1)求圆C的方程；(2)若圆C上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝23，求直线MN的方程．[解](1)将圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0化为(x＋2)2＋(y－1)2＝5－m.1分∵圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线x－3y＋3－2＝0相切，∴圆心(－2,1)到直线x－3y＋3－2＝0的距离d＝41＋3＝2＝r，4分∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝4.5分(2)若圆C上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，则可设直线MN的方程为2x－y＋c＝0.7分∵|MN|＝23，半径r＝2，∴圆心(－2,1)到直线MN的距离为22－(3)2＝1.则|－4－1＋c|5＝1，∴c＝5±5.10分∴直线MN的方程为2x－y＋5±5＝0.12分[思想与方法]1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的应用．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝(1＋k2)[(x A＋x B)2－4x A x B].[易错与防范]1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为“－1”列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．。
2011年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)§9.4直线、圆的位置关系--答案
§9．4直线、圆的位置关系答案1．判断直线与圆的位置关系有两种方法：①几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为d ，圆半径为r ，若直线与圆相离，则r d >；若直线与圆相切，则r d =；若直线与圆相交，则r d < ②代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断，若0>∆，则直线与圆相离；若0=∆，则直线与圆相切；若0<∆，则直线与圆相交2．两圆的的位置关系 (1)设两圆半径分别为12,r r ，圆心距为d若两圆相外离，则r R d +> ，公切线条数为4； 若两圆相外切,则r R d +=，公切线条数为3 若两圆相交r R d r R +<<-，则，公切线条数为2；两圆内切，则r R d -=，公切线条数为1 若两圆内含，则r R d -<，公切线条数为0(2) 设两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C ，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 3． 相切问题的解法：①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解 ②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为-1③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即0=∆来求解。
特殊地,已知切点),(00y x P ,圆222r y x =+的切线方程为200r y y x x =+, 圆222)()(r b y a x =-+-的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+-- 1．答案 在圆外；2．答案 －6＜a ＜4；3．答案 2；4．答案 ⎥⎦⎤ ⎝⎛43,125；5．答案 x －y ＋1＝0例1：（1）证明 配方得：（x －3m ）2＋［y －(m －1)］2＝25， 设圆心为（x ，y ），则⎩⎨⎧-==13m y mx ，消去m 得l ：x －3y －3＝0，则圆心恒在直线l ：x －3y －3＝0上．（2）解 设与l 平行的直线是l 1：x －3y ＋b ＝0， 则圆心到直线l 1的距离为d ＝10)1(33bm m +--＝103b +．∵圆的半径为r ＝5，∴当d ＜r ，即－510－3＜b ＜510－3时，直线与圆相交；当d ＝r,即b ＝±510－3时，直线与圆相切；当d ＞r ，即b ＜－510－3或b ＞510－3时，直线与圆相离．基础自测（3）证明 对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l 1：x －3y ＋b ＝0，由于圆心到直线l 1的距离d ＝103b +，弦长＝222d r -且r 和d 均为常量．∴任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等． 例2 解 方法一 如图所示，设l 与x 轴交于点B （b,0)，则k AB ＝33+-b ,根据光的反射定律，反射光线的斜率k 反＝33+b ．∴反射光线所在直线的方程为y ＝33+b (x －b),即3x －(b ＋3)y －3b ＝0． ∵已知圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0的圆心为C （2,2），半径为1, ∴2)3(932)3(6++-⨯+-b bb ＝1,解得b 1＝－43,b 2＝1．∴k AB ＝－34或k AB ＝－43．∴l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0．方法二 已知圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0关于x 轴对称的圆为C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C 1的坐标为（2，－2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切． 设l 的方程为y －3＝k(x ＋3),则22155kk ++＝1,即12k 2＋25k ＋12＝0．∴k 1＝－34，k 2＝－43．则l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0． 方法三 设入射光线方程为y －3＝k(x ＋3),反射光线所在的直线方程为y ＝－kx ＋b,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=--1122332k bk k bk k ,消去b 得11552=++k k ．即12k 2＋25k ＋12＝0,∴k 1＝－34,k 2＝－43． 则l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0．例3 解 对于圆C 1与圆C 2的方程，经配方后C 1:(x －m)2＋(y ＋2)2＝9;C 2:(x ＋1)2＋(y －m)2＝4． （1）如果C 1与C 2外切，则有22)2()1(+++m m ＝3＋2． (m ＋1)2＋(m ＋2)2＝25．m 2＋3m －10＝0,解得m ＝－5或m ＝2． （2）如果C 1与C 2内含，则有22)2()1(+++m m ＜3－2．(m ＋1)2＋(m ＋2)2＜1,m 2＋3m ＋2＜0,得－2＜m ＜－1,∴当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2外切；当－2＜m ＜－1时，圆C 1与圆C 2内含． 例4 解：（1）方法一：如图所示，AB ＝43，D 是AB 的中点，CD ⊥AB ，AD ＝23， 圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0可化为（x ＋2）2＋（y －6）2＝16， 圆心C （－2，6），半径r ＝4，故AC ＝4， 在Rt △ACD 中，可得CD ＝2． 2分设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y －5＝kx,即kx －y ＋5＝0． 由点C 到直线AB 的距离公式：22)1(562-++--k k ＝2，得k ＝43． 此时直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0．4分信心、专心、恒心第 3 页 共 5 页又直线l 的斜率不存在时，此时方程为x ＝0． 6分则y 2－12y ＋24＝0,∴y 1＝6＋23,y 2＝6－23,∴y 2－y 1＝43,故x ＝0满足题意．∴所求直线的方程为3x －4y ＋20＝0或x ＝0． 8分方法二 设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y －5＝kx,即y ＝kx ＋5, 联立直线与圆的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-+++=024124522y x y x kx y ,消去y 得（1＋k 2）x 2＋(4－2k)x －11＝0① 2分设方程①的两根为x 1,x 2,由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+221221111142k x x k k x x ② 4分由弦长公式得21k +|x 1－x 2|＝]4))[(1(212212x x x x k -++＝43, 将②式代入，解得k ＝43，此时直线的方程为3x －4y ＋20＝0． 6分又k 不存在时也满足题意，此时直线方程为x ＝0．∴所求直线的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0．8分（2）设过P 点的圆C 的弦的中点为D （x,y ）,则CD ⊥PD ，即·＝0， 10分 （x ＋2,y －6）·(x,y －5)＝0,化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0． 14分1．解（1）由已知，圆心为O （0，0），半径r ＝5, 圆心到直线2x －y ＋m ＝0的距离d ＝22)1(2-+m ＝5m ，∵直线与圆无公共点，∴d ＞r,即5m ＞5,∴m ＞5或m ＜－5．故当m ＞5或m ＜－5时，直线与圆无公共点．（2）如图所示，由平面几何垂径定理知r 2－d 2＝12，即5－52m ＝1．得m ＝±25,∴当m ＝±25时，直线被圆截得的弦长为2． （3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直， ∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形， ∴d ＝22r ，即225=m ·5,解得m ＝±225． 故当m ＝±225时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直． 2．解 已知圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1．∴圆心C 的坐标为（2，3），半径r ＝1． 如图所示，连结PC ，CT ．由平面几何知，|PT|2＝|PC|2－|CT|2＝（a －2）2＋（b －3）2－1．由已知，|PT|＝|PO|，∴|PT|2＝|PO|2，即（a －2）2＋（b －3）2－1＝a 2＋b 2． 化简得2a ＋3b －6＝0．得|PT|2＝a 2＋b 2＝91（13a 2－24a ＋36）．当a ＝1312时，|PT|min ＝3136131224)1312(132+⨯-⨯＝13136． |PT|的最小值为13136，此时点P 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛1318,1312． 3．解 方法一 设所求圆的圆心为A （m,n)，半径为r,则A,M,C 三点共线，且有|MA|＝|AP|＝r ，因为圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0的圆心为C （－1，3），则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+-+-=--r n m n m m n 2222)1()4()2()1(113212,解得m ＝3,n ＝1,r ＝5, 所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5．方法二 因为圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0过点M （1，2）的切线方程为2x －y ＝0, 所以设所求圆A 的方程为：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＋λ(2x －y)＝0, 因为点P （4，－1）在圆上，所以代入圆A 的方程，解得λ＝－4, 所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋5＝0． 4．解 （1）当α＝43π时，k AB ＝－1， 直线AB 的方程为y －2＝－（x ＋1），即x ＋y －1＝0． 故圆心（0，0）到AB 的距离d ＝2100-+＝22，从而弦长|AB|＝2218-＝30． （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝4．由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,8,822222121y x y x 两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）＝0，即－2（x 1－x 2）＋4（y 1－y 2）＝0，∴k AB ＝212121=--x x y y ． ∴直线l 的方程为y －2＝21（x ＋1），即x －2y ＋5＝0． 一、填空题1．答案 (－3,3)；2．答案相交；3．答案2－1；4．答案2211b a +≥1；5．答案(－35，－5)∪(5，35)；6．答案32；7．答案0；8．答案（x －1）2＋y 2＝1,33或－33二、解答题9．解 ∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1，或切线过原点． 当切线不过原点时，设切线方程为y ＝－x ＋b 或y ＝x ＋c,分别代入圆C 的方程得2x 2－2（b －3）x ＋（b 2－4b ＋3）＝0． 或2x 2＋2(c －1)x ＋(c 2－4c ＋3)＝0,由于相切，则方程有等根，∴Δ1＝0， 即［2(b －3)］2－4×2×（b 2－4b ＋3)＝－b 2＋2b ＋3＝0,∴b ＝3或－1,Δ2＝0, 即［2(c －1)］2－4×2×(c 2－4c ＋3)＝－c 2＋6c －5＝0．∴c ＝5或1,当切线过原点时，设切线为y ＝kx,即kx －y ＝0． 由212kk +--＝2，得k ＝2±6,∴y ＝(2±6)x ．故所求切线方程为：x ＋y －3＝0，x ＋y ＋1＝0，x －y ＋5＝0，x －y ＋1＝0,y ＝(2±6)x ． 10．（1）证明 曲线C 的方程可变形为：(x 2＋y 2－20)＋(－4x ＋2y ＋20)a ＝0，信心、专心、恒心第 5 页 共 5 页由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+0202402022y x y x ,解得⎩⎨⎧-==24y x ，点（4，－2）满足C 的方程，故曲线C 过定点（4，－2）． （2）证明 原方程配方得(x －2a)2＋(y ＋a)2＝5(a －2)2,∵a≠2时，5(a －2)2＞0,∴C 的方程表示圆心是（2a,－a),半径是5|a －2|的圆． 设圆心坐标为（x,y ），则有⎩⎨⎧-==ay a x 2,消去a 得y ＝－21x,故圆心必在直线y ＝－21x 上．（3）解 由题意得5|a －2|＝|a|,解得a ＝255±． 11．解 假设存在直线l 满足题设条件，设l 的方程为y ＝x ＋m,圆C 化为（x －1）2＋(y ＋2)2＝9,圆心C （1，－2），则AB 中点N 是两直线x －y ＋m ＝0与y ＋2＝－(x －1)的交点即N ⎪⎭⎫⎝⎛-+-21,21m m , 以AB 为直径的圆经过原点，∴|AN|＝|ON|，又CN ⊥AB ，|CN|＝221m++，∴|AN|＝2)3(92m +-．又|ON|＝22)21()21(-++-m m ，由|AN|＝|ON|，解得m ＝－4或m ＝1． ∴存在直线l ，其方程为y ＝x －4或y ＝x ＋1．12．解 （1）曲线方程为（x ＋1）2＋(y －3)2＝9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆． ∵点P 、Q 在圆上且关于直线x ＋my ＋4＝0对称， ∴圆心（－1，3）在直线上，代入得m ＝－1． （2）∵直线PQ 与直线y ＝x ＋4垂直， ∴设P （x 1，y 1）、Q(x 2，y 2)，PQ 方程为y ＝－x ＋b ． 将直线y ＝－x ＋b 代入圆的方程， 得2x 2＋2(4－b)x ＋b 2－6b ＋1＝0． Δ＝4(4－b)2－4×2×(b 2－6b ＋1)＞0, 得2－32＜b ＜2＋32． 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－(4－b),x 1·x 2＝2162+-b b ．y 1·y 2＝b 2－b(x 1＋x 2)＋x 1·x 2＝2162+-b b ＋4b ．∵OP ·＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即b 2－6b ＋1＋4b ＝0, 解得b ＝1∈(2－32,2＋32), ∴所求的直线方程为y ＝－x ＋1．。
2011年高考数学一轮复习(共87节)11、4直线与圆圆与圆的位置关系
11．4直线与圆 圆与圆的位置关系【知识网络】1．能根据给定直线、圆的方程，判定直线与圆、圆与圆的位置关系． 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．进一步体会用代数方法处理几何问题的思想． 【典型例题】[例1]（1）已知点P (1，2)和圆C ：02222=++++k y kx y x ，过P 作C 的切线有两条，则k 的取值范围是( )A.k ∈R Ｂ.k ＜332Ｃ.0k << D.k <<（2）设集合A={（x,y)|x 2＋y 2≤4},B={(x,y)|(x －1)2＋(y －1)2≤r 2(r ＞0)},当A∩B=B 时，r 的取值范围是 （ ） A ．（0， 2 －1） B ．（0，1] C ．（0，2－ 2 ] D ．（0， 2 ]（3）若实数x 、y 满足等式(x -2)２＋ｙ２＝３，那么xy的最大值为( ) A.21 Ｂ.33 Ｃ.23 Ｄ.3 （4）过点M )23,3(--且被圆2522=+y x 截得弦长为8的直线的方程为 ．（5）圆心在直线x -y -4=0上，且经过两圆03422=--+x y x 和03422=--+y y x 的交点的圆的方程是 .[例2] 若直线l ：2x －y －1=0和圆C ：x 2＋y 2－2y －1=0相交与A 、B 两点，求弦长∣AB ∣.[例3] 圆O 1的方程为：x 2＋(y ＋1)2=4,圆O 2的圆心坐标为（2，1）．（1）若圆O 1与圆O 2相外切，求圆O 2的方程；（2）若圆O 1与圆O 2相交于A 、B 两点，且∣AB ∣=2 2 ，求圆O 2的方程．[例4] 已知点A (0，2)和圆C ：536)4()6(22=-+-y x ，一条光线从A 点出发射到x 轴上后沿圆的切线方向反射，求这条光线从A 点到切点所经过的路程.【课内练习】1．两圆226430x y x y ++--=和01912622=-+--+y x y x 的位置关系是 ( ） A.外切 Ｂ.内切 Ｃ.相交 Ｄ.外离2．直线x －2y －2k=0与2x －3y －k=0的交点在圆x 2＋y 2=9的外部，则k 的取值范围是（ ）A ．（－∞，－35 ）∪（35 ，＋∞）B ．（－35 ，35 ）C ．（－∞，－35 ]∪[35 ，＋∞）D ．[－35 ，35]3．已知半径为1的动圆与圆16)7()5(22=++-y x 相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ( ) A.25)7()5(22=++-y xＢ. 25)7()5(22=++-y x 或9)7()5(22=++-y x Ｃ. 9)7()5(22=++-y xＤ. 17)7()5(22=++-y x 或15)7()5(22=++-y x4．已知点M （a ，b ）（a b≠0）是圆222r y x =+内一点，直线g 是以M 为中点的弦所在直线，直线l 的方程为02=++r by ax ，则 （ ）A ．g l //，且与圆相离B ．g l ⊥，且与圆相切C ．g l //，且与圆相交D ．g l ⊥，且与圆相离5．圆心在直线2x +y =0上，且与直线x +y -1=0切于点（2，-1）圆的标准方程是 .6．过点M （2，4）向圆C ：（x －1)2＋(y ＋3)2=1引两条切线，切点为P 、Q ，则P 、Q 所在的直线方程是 ．7．已知圆系()2222220x y ax a y +-+-+=，其中a ≠1,且a ∈R ,则该圆系恒过定点 ．8．点P 在直线0102=++y x 上，PA 、PB 与圆422=+y x 相切于A 、B 两点，求四边形PAOB 面积的最小值．．9．求与圆0222=-+x y x 外切且与直线03=+y x 相切于点M （3，3-）的圆方程．10．已知圆C 方程为：2224200x y x y +---=，直线l 的方程为：（2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4=0．（1）证明：无论m 取何值，直线l 与圆C 恒有两个公共点。
高考文科数学一轮复习练习第八篇第3节 直线圆的位置关系
第3节直线、圆的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆、圆与圆的位置关系2,8,12直线与圆相切问题1,6,7,13与圆的弦长有关问题3,4,9,10综合应用问题5,11,14,15基础巩固(时间:30分钟)1.若直线2x+y+a=0与圆x2+y2+2x4y=0相切,则a的值为( B )(A)± (B)±5 (C)3 (D)±3解析:圆的方程可化为(x+1)2+(y2)2=5,因为直线与圆相切,所以有=,即a=±5.故选B.2.(2018·四川遂宁期末)圆C1:x2+y2+2x=0与圆C2:x2+y24x+8y+4=0的位置关系是( B )(A)相交(B)外切(C)内切(D)相离解析:圆C1:x2+y2+2x=0即(x+1)2+y2=1的圆心C1(1,0),半径等于1.圆C2:x2+y24x+8y+4=0化为(x2)2+(y+4)2=16的圆心C2(2,4),半径等于4.两圆的圆心距等于=5,而5=1+4,故两圆相外切,故选B.3.(2018·广西南宁、梧州联考)直线y=kx+3被圆(x2)2+(y3)2=4截得的弦长为2,则直线的倾斜角为( A )(A)或(B)或(C)或(D)解析:由题知,圆心(2,3),半径为2,所以圆心到直线的距离为d==1.即d==1,所以k=±,由k=tan α,得α=或.故选A.4.(2017·河南师大附中期末)已知圆的方程为x2+y26x8y=0.设该圆过点(1,4)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( B )(A)15 (B)30 (C)45 (D)60解析:圆的标准方程为(x3)2+(y4)2=25,过点(1,4)的最长弦AC所在的直线过圆心,故AC=10,过点(1,4)的最短弦BD所在直线垂直于AC,由勾股定理得BD=6,故四边形ABCD的面积为S=×6×10=30.故选B.5.已知圆O:x2+y2=4上到直线l:x+y=a的距离等于1的点至少有2个,则a的取值范围为( A )(A)(3,3)(B)(∞,3)∪(3,+∞)(C)(2,2)(D)[3,3 ]解析:由圆的方程可知圆心为O(0,0),半径为2,因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个,所以圆心到直线l的距离d<2+1=3,即d==<3,解得a∈(3,3),故选A.6.(2018·河北邯郸联考)以(a,1)为圆心,且与两条直线2xy+4=0与2xy6=0同时相切的圆的标准方程为( A )(A)(x1)2+(y1)2=5 (B)(x+1)2+(y+1)2=5(C)(x1)2+y2=5 (D)x2+(y1)2=5解析:因为两条直线2xy+4=0与2xy6=0的距离为d==2,所以所求圆的半径为r=,所以圆心(a,1)到直线2xy+4=0的距离为==,即a=1或a=4,又因为圆心(a,1)到直线2xy6=0的距离也为r=,所以a=1,所以所求的标准方程为(x1)2+(y1)2=5,故选A.7.已知圆C的圆心是直线xy+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为.解析:由题意可得圆心(1,0),圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆的半径,故r==,所以圆的方程为(x+1)2+y2=2.答案:(x+1)2+y2=28.导学号 94626201(2018·湖南郴州质监)过点M(,1)的直线l与圆C:(x1)2+y2=4交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程为.解析:由题意得,当CM⊥AB时,∠ACB最小,k CM=2,所以k AB=,从而直线方程为y1=(x),即2x4y+3=0.答案:2x4y+3=09.(2017·深圳一模)直线axy+3=0与圆(x2)2+(ya)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则实数a的取值范围是.解析:设圆心到直线的距离为d,则d==,由r2=d2+()2知()2=4≥3,解得a≤.答案:(∞,)能力提升(时间:15分钟)10.已知圆(x2)2+(y+1)2=16的一条直径经过直线x2y+3=0被圆所截弦的中点,则该直径所在的直线方程为( D )(A)3x+y5=0 (B)x2y=0(C)x2y+4=0 (D)2x+y3=0解析:直线x2y+3=0的斜率为,已知圆的圆心坐标为(2,1),该直径所在直线的斜率为2,所以该直径所在的直线方程为y+1=2(x2),即2x+y3=0,故选D.11.导学号 94626202已知点P的坐标(x,y)满足过点P的直线l与圆C:x2+y2=14相交于A,B两点,则|AB|的最小值是( B ) (A)2 (B)4 (C) (D)2解析:根据约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示,设点P到圆心的距离为d,则求最短弦长,等价于求到圆心的距离最大的点,即为图中的P点,其坐标为(1,3),则d==,此时|AB|min=2=4,故选B.12.(2017·河南豫北名校联盟联考)已知圆C:x2+y2+8x+15=0,若直线y=kx2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则实数k的取值范围为.解析:圆C即(x+4)2+y2=1,所以圆心为(4,0),半径r=1,直线即kxy2=0,≤2,解之得≤k≤0,即实数k的取值范围为[,0].答案:[,0]13.过点P(1,)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则·= .解析:由题意,圆心为O(0,0),半径为1.因为P(1,),不妨设PA⊥x 轴,PA=PB=.所以△POA为直角三角形,其中OA=1,AP=,则OP=2,所以∠OPA=30°,所以∠APB=60°.所以·=||||·cos∠APB=××cos 60°=.答案:14.已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方.(1)求圆C的方程;(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)设圆心C(a,0)(a>),则=2⇒a=0或a=5(舍).所以圆C:x2+y2=4.(2)当直线AB⊥x轴时,x轴上任意一点都满足x轴平分∠ANB.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k2+1)x22k2x+k24=0.所以x1+x2=,x1x2=.若x轴平分∠ANB,则k AN=k BN⇒+=0⇒+=0⇒2x1x2(t+1) (x1+x2)+2t=0⇒+2t=0⇒t=4,所以当点N为(4,0)时,能使得∠ANM=∠BNM总成立.15.(2018·广东汕头期末)在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y212x14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l 的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.解:圆M的标准方程为(x6)2+(y7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心在直线x=6上,可设N(6,y0),因为N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7y0=5+y0,解得y0=1,因此,圆N的标准方程为(x6)2+(y1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2xy+m=0,则圆心M到直线l的距离d==.因为BC=OA==2,而MC2=d2+()2,所以25=+5,解得m=5或m=15.故直线l的方程为2xy+5=0或2xy15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),+=,所以①因为点Q在圆M上,所以(x26)2+(y27)2=25,②将①代入②,得(x1t4)2+(y13)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x(t+4)]2+(y3)2=25上,从而圆(x6)2+(y7)2=25与圆[x(t+4)]2+(y3)2=25有公共点, 所以55≤≤5+5,解得22≤t≤2+2.因此,实数t的取值范围是[22,2+2].。
2011届高三数学一轮巩固与练习：直线与圆、圆与圆的位置关系.doc
巩固1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则在y 轴上截距为2的切线方程为( )A ．y ＝x ＋2B ．y ＝－x ＋ 2C ．y ＝x ＋2或y ＝－x ＋ 2D ．x ＝1或y ＝x ＋ 2解析：选C.在y 轴上截距为2且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y ＝kx ＋2，则|2|k 2＋1＝1，∴k ＝±1，故所求切线方程为y ＝x ＋2或y ＝－x ＋ 2.选C.2．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点C 为(－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝0解析：选A.由圆的一般方程可得圆心O (－1,2)，由圆的性质易知O (－1,2)，C (－2,3)的连线与弦AB 垂直，故有k AB k OC ＝－1⇒k AB ＝1，故直线AB 的方程为：y －3＝x ＋2整理得：x －y ＋5＝0.3．(原创题)直线2x －y ＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋1)2＝9相交于A ，B 两点，则△ABC (C 为圆心)的面积等于( )A ．2 5B ．2 3C ．4 3D ．4 5 解析：选A.圆C 的圆心C (2，－1)，半径r ＝3，C 到直线2x －y ＝0的距离d ＝|4＋1|5＝5， ∴|AB |＝29－5＝4，∴S △ABC ＝12×4×5＝2 5.4．(2009年高考全国卷Ⅱ)已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：因为点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，故过点A 的圆的切线方程为x ＋2y ＝5，令x ＝0得y ＝52.令y ＝0得x ＝5，故S △＝12×52×5＝254.答案：2545．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB→＝________. 解析：如图，作OC ⊥AB 于C ，|AB |＝3，在Rt △OAC 中，AC ＝32，OA ＝1，所以∠AOC＝60°，则∠AOB ＝120°，所以OA →·OB →＝1·1·cos120°＝－12.答案：－126．已知圆x 2＋y 2＋4x ＋10y ＋4＝0.(1)证明点B (1，－1)在圆上，并求出过点B 的圆的切线方程．(2)证明点C (1,0)在圆外，并求出过点C 的圆的切线方程． 解：(1)因为12＋(－1)2＋4×1＋10×(－1)＋4＝0，所以点B (1，－1)在圆上．设圆心为M ，所以k BM ＝－1－(－5)1－(－2)＝43，所以过点B (1，－1)的圆的切线方程为y ＋1＝－34(x －1)．所以3x ＋4y ＋1＝0.(2)因为|CM |＝(1＋2)2＋52＝34＞5＝r (r 为已知圆的半径)，所以点C (1,0)在圆外．设过点C 与圆M 相切的直线的方程为y ＝k (x －1)(显然斜率存在)，即kx －y －k ＝0.因为圆与直线相切，所以半径5＝|－2k ＋5－k |1＋k2.所以k ＝0或k ＝－158.所以切线方程为y ＝0或15x ＋8y －15＝0.练习1．若直线x a ＋y b ＝1与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( )A ．a 2＋b 2≤1B ．a 2＋b 2≥1C.1a 2＋1b 2≤1D.1a 2＋1b 2≥1解析：选 D.由题意知直线与圆相交或相切，故有11a 2＋1b 2≤1⇒1a 2＋1b 2≥1，故选D.2．过点(0,1)的直线与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．3D ．2 5解析：选B.据由弦长一半及圆的半径和圆心到直线的距离所组成的直角三角形可知，当圆心到直线距离最大时，弦长最短，易知当圆心与定点G (0,1)的连线与直线AB 垂直时，圆心到直线AB 的距离取得最大值，即d ≤|OG |＝1，此时弦长最短，即|AB |2≥R 2－d 2＝4－1⇒|AB |≥23，故选B.3．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0解析：选D.设圆心为(a,0)，且a >0，则(a,0)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为2，即|3×a ＋4×0＋4|32＋42＝2⇒3a ＋4＝±10⇒a ＝2或a ＝－143(舍去)，则圆的方程为：(x －2)2＋(y －0)2＝22，即x 2＋y 2－4x ＝0.4．设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x＝( ) A.33 B.33或－33C. 3D.3或－ 3解析：选D.∵OM →·CM→＝0， ∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线．设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |k 2＋1＝3，得k ＝±3，即y x ＝±3. 5．(2008年高考山东卷)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6解析：选B.圆的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝52，由题意得|AC |＝2×5＝10，|BD |＝252－12＝46，且AC ⊥BD ，四边形ABCD 的面积S ＝12|AC |·|BD |＝12×10×46＝20 6.故选B.6．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6)C ．(4,6]D ．[4,6]解析：选A.∵圆心P (3，－5)到直线4x －3y ＝2的距离等于5，由|5－r |<1得4<r <6.7.(2009年高考天津卷)若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝________.解析：x 2＋y 2＋2ay ＝6，x 2＋y 2＝4两式相减得y ＝1a .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1a ，x 2＋y 2＝4，消去y 得x 2＝4a 2－1a 2(a ＞0)． ∴24a 2－1a＝23，解得a ＝1. 答案：18．过点M (1,2)的直线l 将圆A ：(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，其中当劣弧最短时，直线l 的方程为______________．解析：当劣弧最短时，MA 与直线l 垂直．答案：x －2y ＋3＝09．(2009年高考湖北卷)过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的长为________． 解析：圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0可化为(x－3)2＋(y －4)2＝5.圆心(3,4)到原点的距离为5.故cos α＝55，∴cos ∠PO 1Q ＝2cos 2α－1＝－35， ∴|PQ |2＝(5)2＋(5)2＋2×(5)2×35＝16.∴|PQ |＝4.答案：410．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧ CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝ 2.解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.11．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A 、B ，∠AOB ＝90°，求直线l 的方程．解：(1)直线PQ 的方程为y －3＝3＋2－1－4×(x ＋1) 即x ＋y －2＝0，C 在PQ 的中垂线y －3－22＝1×(x －4－12)即y ＝x －1上，设C (n ，n －1)，则r 2＝|CQ |2＝(n ＋1)2＋(n －4)2， 由题意，有r 2＝(23)2＋|n |2，∴n 2＋12＝2n 2－6n ＋17，∴n ＝1或5，r 2＝13或37(舍去)，∴圆C 为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为x ＋y ＋m ＝0， 由⎩⎨⎧ x ＋y ＋m ＝0(x －1)2＋y 2＝13，得2x 2＋(2m －2)x ＋m 2－12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1－m ，x 1x 2＝m 2－122，∵∠AOB ＝90°，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝0，∴m 2＋m －12＝0，∴m ＝3或－4(均满足Δ＞0)，∴l 为x ＋y ＋3＝0或x ＋y －4＝0.12．如右图，圆O 1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN (M 、N 分别为切点)，使得PM ＝2PN ，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．解：以O 1O 2的中点O 为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)．由已知|PM|＝2|PN|，∴|PM|2＝2|PN|2.又∵两圆的半径均为1，所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．设P(x，y)，即(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33.∴所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．。
【新人教A版】2012高三数学一轮复习课时训练带解析8.5直线、圆的位置关系
第八章 第五节 直线、圆的位置关系(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．直线x sin θ＋y cos θ＝2＋sin θ与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能解析：由于d ＝|sin θ－2－sin θ|sin 2θ＋cos 2θ＝2＝r ， ∴直线与圆相切．答案：B2．(2011·天津模拟)过点(0,1)的直线与x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．3D ．2 5解析：当过点(0,1)的直线与直径垂直且(0,1)为垂足时，|AB |最小值为2 3.答案：B3．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋m 2＝4，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＝8－m 2(m >3)，则两圆的位置关系是( )A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离解析：将两圆方程分别化为标准式圆C 1：(x －m )2＋y 2＝4圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝9，则|C 1C 2|＝(m ＋1)2＋m 2＝2m 2＋2m ＋1>2×32＋2×3＋1＝5＝2＋3∴两圆相离．答案：D4．(2011·济南模拟)若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A ．－1或 3B ．1或3C ．－2或6D ．0或4解析：圆心(a,0)到直线x －y ＝2的距离d ＝|a －2|2， 则(2)2＋(|a －2|2)2＝22， ∴a ＝0或4.答案：D5．已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( )A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离解析：∵点P (a ，b ) (ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2，k OP ＝b a ，k m ＝－a b， 直线l 的斜率k l ＝－a b＝k m ， ∴m ∥l ，圆心O 到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r 2r＝r . ∴l 与圆相离．答案：C6．(2010·湖北高考)若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )A ．[1－22，1＋22]B ．[1－2，3]C ．[－1,1＋22]D ．[1－22，3]解析：在平面直角坐标系内画出曲线y ＝3－4x －x 2与直线y ＝x ，在平面直角坐标系内平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿左上方平移到过点(0,3)的过程中的任何位置相应的直线与曲线y ＝3－4x －x 2都有公共点；当直线沿右下方平移到与以点C (2,3)为圆心、2为半径的圆相切的过程中的任何位置相应的直线与曲线y ＝3－4x －x 2都有公共点．注意到与y ＝x 平行且过点(0,3)的直线方程是y ＝x ＋3；当直线y ＝x ＋b 与以点C (2,3)为圆心、2为半径的圆相切时，有|2－3＋b |2＝2，b ＝1±2 2.结合图形可知，满足题意的b 的取值范围是[1－22，3]． 答案：D二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．设直线2x ＋3y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线方程是______________．解析：圆心坐标为C (1,0)，弦AB 的垂直平分线斜率为32，故其方程为y ＝32(x －1)，即3x －2y －3＝0.答案：3x －2y －3＝08．已知圆C 的圆心与点P (－2,1)关于直线y ＝x ＋1对称．直线3x ＋4y －11＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：先求出圆心C (x 0，y 0)坐标．⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－1x 0＋2＝－1，y 0＋12＝x 0－22＋1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1. 令圆半径为r ，(0，－1)到3x ＋4y －11＝0的距离d ＝3，∴r 2＝32＋32＝18，∴x 2＋(y ＋1)2＝18.答案：x 2＋(y ＋1)2＝189．(2010·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1， 即要求圆心到直线的距离小于1， 即|c |122＋(－5)2<1， 解得－13<c <13.答案：(－13,13)三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知，圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切； (2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2. 解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎨⎧ CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝ 2. 解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.11．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解：依题意，设l 的方程为y ＝x ＋b ①x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0②联立①②消去y 得：2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42，③ ∵以AB 为直径的圆过原点，∴⊥，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2∴2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0，由③得b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0，即b 2＋3b －4＝0，∴b ＝1或b ＝－4，∴满足条件的直线l 存在，其方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0.12．已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0.(1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？ 解：(1)直线l 的方程可化为y ＝m m 2＋1x －4m m 2＋1， 直线l 的斜率k ＝m m 2＋1， 因为|m |≤12(m 2＋1)， 所以|k |＝|m |m 2＋1≤12，当且仅当|m |＝1时等号成立．所以斜率k 的取值范围是[－12，12]． (2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k (x －4)，其中|k |≤12. 圆C 的圆心为C (4，－2)，半径r ＝2.圆心C 到直线l 的距离d ＝21＋k 2. 由|k |≤12，得d ≥45＞1，即d ＞r 2. 从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3. 所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧．高╚考≒试ο题﹥库。
高考数学一轮强化训练 8.5直线、圆的位置关系 文 新人教A版
高考数学一轮强化训练 8.5直线、圆的位置关系 文 新人教A 版强化训练当堂巩固1.若直线l :ax+by=1与圆C:221x y +=有两个不同交点,则点P(a,b)与圆C 的位置关系是( )A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定答案:C 解析:由题意知2211d a b =<,+∴221a b +>.从而点P(a,b)在圆外. 2.两圆2261648x y x y +-+-=0与224x y x ++-8y-44=0的公切线条数为( ) A.1B.2C.3D.4 答案:B 解析:将两圆方程化为标准方程为2222(3)(8)121(2)(4)64x y x y -++=,++-=.∴11(38)11O r ,-,=;22(24)8O r -,,=.∵|12O O |22(23)(48)13=--++=,∴3<|12O O |<19,∴两圆相交,从而公切线有两条.3.若圆22240x y x y +--=的圆心到直线x-y+a=0的距离为2,则a 的值为( ) A.-2或2B.12或32C.2或0D.-2或0答案:C 解析:圆心为(1,2),利用点到直线的距离公式得22=, 化简得|a-1|=1,解得a=0或a=2. 4.已知1(0)2A B -,,是圆F:221()4(2x y F -+=为圆心)上一动点,线段AB 的垂直平分线交BF 于P,则动点P 的轨迹方程为 .答案:22413x y += 5.以点(2,-1)为圆心,与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为 .答案:22(2)(1)9x y -++= 解析:半径324(1)535r |⨯-⨯-+|==,∴圆的方程为22(2)(1)9x y -++=. 6.已知圆2225(2)4x y ++=的圆心为M,圆221(2)4x y -+=的圆心为N,一动圆P 与这两圆都外切.(1)求动圆圆心P 的轨迹方程;(2)若过点N 的直线l 与(1)中所求轨迹有两个交点A 、B,求AM BM ⋅的取值范围. 解:(1)设动圆P 的半径为r,则|PM|52r =+,|PN|=r +12, 相减得|PM|-|PN|=2.由双曲线定义知,点P 的轨迹是以M 、N 为焦点,焦距为4,实轴长为2的双曲线右支,其双曲线方程为221(1)3y x x -=≥.(2)当直线l 的斜率k 存在时,设直线l 的斜率为k.22(2)33y k x x y =-⎧⎨-=⎩2222(3)4430k x k x k ⇒-+--=. 由 1212000x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩ 23k ⇒>.设1122()()A x y B x y ,,,,则11AM (2)x y BM =--,-,2(2x =--,2)y -,AM BM ⋅1212(2)(2)x x y y =----+212121242()(2)(2)x x x x k x x =++++--22279127733k k k -==+>--.当k 不存在时1212233x x y y ,==⇒=,=-.∴AM =(-4,-3), BM =(43)AM BM -,⇒⋅=7.综上可得AM BM ⋅7≥.课后作业巩固提升见课后作业B题组一 直线与圆的位置关系1.过原点且倾斜角为60的直线被圆2x +240y y -=所截得的弦长为( )3 B.2 6 D.3答案:D解析:利用|AB|222R d =-,易知选D.2.若直线y=k(x-2)与曲线21y x =-,则( )A.k 3最小值3B.k 有最大值12,最小值12-C.k 有最大值0,最小值3D.k 有最大值0,最小值12-答案:C题组二 圆与圆的位置关系3.已知021r <<,则圆222x y r +=与2(1)x -+2(1)2y +=的位置关系是( )A.外切B.内含C.相交D.相离答案:C解析:两圆连心线长|12O O |2=,设两圆的半径分别为12r r ,,则122r r r +=,|12r r -2r |,因为021r <<+, 所以22221221r r <+<+,-<-<.所以|2r -|<|12O O |2r <+.所以两圆相交.4.两个圆1C :22222x y x y +++-=0与2C :22421x y x y +--+=0的公切线有且仅有( )A.1条B.2条C.3条D.4条答案:B5.两圆22640x y x y +++=和22424x y x y +++-=0的公共弦所在直线方程为 . 答案:x+y+2=0题组三 有关圆的切线问题6.由直线y=x+1上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线,则切线长的最小值为( )A.1B.22C.7D.3答案:C解析:设00()P x y ,为直线y=x+1上一点,圆心C(3,0)到P 点的距离为d,切线长为l , 则21l d =-,当d 最小时l 最小,当PC 垂直于直线y=x+1时,d 最小,此时2211d ==,+ ∴2min (22)17l =-=.7.若实数x,y 满足22(2)3x y -+=,则y x的最大值是 . 答案:3题组四 有关圆的弦长、中点弦问题8.圆224x y +=截直线3230x y +-=所得的弦长是( )A.2B.1C.3D.23答案:A 9.与x 轴相切,圆心在直线3x-y=0上,且被直线y=x 截得的弦长等于27的圆的方程为 .答案:22(1)(3)9x y +++=或22(1)(3)9x y -+-=解析:∵圆心在直线3x-y=0上,故可设圆心O′(a,3a).又∵圆与x 轴相切,∴r=|3a|,从而设圆的方程为222()(3)(3)x a y a a -+-=. 由弦心距22d ==∴2222)7)(3)a a +=,解得1a =±.当a=-1时,3a=-3,r=3,圆方程为22(1)(3)9x y +++=;当a=1时,3a=3,r=3,圆方程为22(1)(3)9x y -+-=.题组五 直线、圆的位置关系综合问题10.已知m ∈R ,直线l:2(1)4mx m y m -+=和圆C:2x +28416y x y -++=0.(1)求直线l 斜率的取值范围; (2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧?为什么? 解:(1)直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-,++ 直线l 的斜率21m k m =,+ 因为|m|21(1)2m ≤+, 所以|k|2121m m ||=≤,+当且仅当|m|=1时等号成立. 所以斜率k 的取值范围是11[]22-,. (2)不能.由(1)知l 的方程为y=k(x-4),其中|k|12≤. 圆C 的圆心为C(4,-2),半径r=2.圆心C 到直线l 的距离d =.由|k|12≤,得1d ≥>,即2r d >. 从而,若l 与圆C 相交,则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π. 所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧. 11.已知圆满足:①截y 轴所得弦长为2;②被x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1;③圆心到直线l:x-2y=0求该圆的方程. 解:设圆的方程为222()()x a y b r -+-=.令x=0,得222220y by b a r -++-=.|12y y -|2===,得2r =21a +.①令y=0,得222220x ax a b r -++-=,|12x x -==,得222r b =. ② 由①②,得2221b a -=.又因为圆心(a,b)到直线x-2y=0得d ==即21a b -=±. 综上可得 222121b a a b ⎧-=,⎨-=⎩ 或 222121b a a b ⎧-=,⎨-=-,⎩解得 11a b =-,⎧⎨=-⎩ 或 11a b =,⎧⎨=.⎩ 于是2222r b ==.∴所求圆的方程为22(1)(1)2x y +++=或2(1)x -+2(1)2y -=.12.已知点P 是圆C:221x y +=外一点,设12k k ,分别是过点P 的圆C 两条切线的斜率.(1)若点P 坐标为(2,2),求12k k ⋅的值;(2)若12(10)k k λλ⋅=-≠-,,求点P 的轨迹M 的方程,并指出曲线M 所在圆锥曲线的类型. 解:(1)设过点P 的切线斜率为k,方程为y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0. 其与圆相切可得211k =,+化简得23k -8k+3=0,可知12k k ,就是此方程的根, 所以121k k ⋅=.(2)设点P 坐标为00()x y ,,过点P 的切线斜率为k,则方程为00()y y k x x -=-, 即kx-y-2k+2=0.其与圆相切可得00211k =,+化简得2220000(1)2(1)0x k x y k y --+-=. ①因为12k k ,存在,则01x ≠±,且200(2)x y ∆=-204(1)x -222000(1)4(1)0y x y -=+->. 12k k ,是方程①的两个根,所以20122011y k k x λ-⋅==-,-化简得22001x y λλ+=+,即所求的曲线M 的方程为221x y λλ+=+(1)x ≠±.若(1)M λ∈-∞,-,所在圆锥曲线是焦点在x 轴上的双曲线; 若(10)M λ∈-,,所在圆锥曲线是焦点在y 轴上的双曲线;若(01)M λ∈,,所在圆锥曲线是焦点在x 轴上的椭圆;若1M λ=,所在圆锥曲线是圆;若(1)M λ∈,+∞,所在圆锥曲线是焦点在y 轴上的椭圆.。
高考数学一轮复习 第8章第4节 直线、圆的位置关系限时作业 文 新课标版.doc
高考数学一轮复习 第8章第4节 直线、圆的位置关系限时作业 文 新课标版一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1.过点(2,3)的直线l 与圆C ：x 2+y 2+4x+3=0交于A 、B 两点，当弦长|AB|取最大值时，直线l的方程为 （ ）A.3x-4y+6=0B.3x-4y-6=0C.4x-3y+8=0D.4x+3y-8=0解析：由题意知当弦长|AB|取最大值时，直线l 过圆C 的圆心(-2,0),又l 过点(2,3)，所以直线l 的方程为3x-4y+6=0.答案：A2.若点P （x,y ）在圆x 2+y 2+4x+3=0上，则y x 的取值范围是 （ ）A.[-3,0）B.[-3,3]∞解析：y x可看成原点与圆上的P 点的连线的斜率， 由已知得圆心为(-2,0)，半径为1，所以tan(6π-)≤y x ≤tan 6π，即≤y x . 答案：B3. (·宁波联考）设直线过点（0，a ），斜率为1，且与圆x 2+y 2=2相切，则a 的 值为 （ ）A.±4B.±C.±2D.解析：直线方程为x-y+a=0,=a=±2.答案：C4.若a 、b 、c 是直角三角形的三边(c 为斜边)，则圆x 2+y 2=4被直线ax+by+c=0所截得的弦长等于 （ ）A.1B.2C.3D.答案：B6.直线与圆x2+y2=1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是（）A.1＜m＜2 m＜3C.1＜m m＜2解析：直线的斜率为-个不同交点.＜m＜2.答案：D二、填空题（本大题共4小题，每小题7分，共28分）7.圆心为（1，1）且与直线x+y=4相切的圆的方程是 .=(x-1)2+(y-1)2=2.答案：(x-1)2+(y-1)2=28.已知圆(x-2)2+(y+3)2=13和圆(x-3)2+y2=9交于A、B两点，则弦AB的垂直平分线的方程是 .解析：两圆的圆心分别为(2,-3),(3,0)，故所求直线方程为y=0(3)(3)32x----，即3x-y-9=0.答案：3x-y-9=09.已知两圆x2+y2=10和（x-1）2+(y-3)2=于A、B两点，则直线AB的方程是 .解析：两圆方程联立，相减可得.答案：x+3y=010.（广东深圳高级中学月考）已知直线x-my+3=0和圆x2+y2-6x+5=0，当圆被直线截得的弦长时,m= .三、解答题（本大题共2小题，共30分）11.（14分）已知圆C：x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.（1）当a为何值时，直线l与圆C相切？（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且时，求直线l的方程.解：（1）由题意知圆C的圆心为(0,4)，半径为2.当直线l与圆C=2，解得a=34-.(2）当直线l与圆C相交，且时，圆心（0,4）到直线l的距离=,解得a=-1或a=-7.此时直线l的方程为x-y+2=0或7x-y+14=0.12.（16分）已知圆C：（x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0. （1）证明：不论m为何实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.。
【条件】高考数学一轮复习第8章平面解析几何重点强化课4直线与圆教师用书文新人教A版
【关键字】条件重点强化课(四) 直线与圆[复习导读] 1.本部分的主要内容是直线方程和两条直线的位置关系、圆的方程、直线与圆的位置关系.2.高考对本部分的考查主要涉及直线的倾斜角与斜率的关系、两直线的位置关系的判断；距离公式的应用、圆的方程的求法以及直线与圆的位置关系，常与向量、椭圆、双曲线、抛物线的几何性质相结合考查.3.另外，应认真体会数形结合思想的应用，充分利用直线、圆的几何性质简化运算．重点1 直线方程与两直线的位置关系(1)(2017·江西南昌模拟)直线(＋1)x＋(m＋1)y－－4＝0过定点( )【导学号：】A．(1，－3) B．(4,3)C．(3,1) D．(2,3)(2)(2017·济南调研)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A．－或－B．－或－C．－或－D．－或－(1)C (2)D [(1)2mx＋x＋my＋y－7m－4＝0，即(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0，由解得则直线过定点(3,1)．(2)由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx －y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－.][规律方法] 1.直线过定点问题，可将直线中的参数赋值，解方程组得交点坐标．2．直线方程常与直线笔直、平行、距离等知识交汇考查，考查直线方程的求法以及直线间的位置关系等．注意数形结合思想、分类讨论思想的应用．[对点训练1] (2017·福建龙岩二模)已知m，n为正整数，且直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，则2m＋n的最小值为( )A．7 B．9C．11 D．16B [直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，∴2n＝m(n－1)，∴m＋2n＝mn，又m>0，n>0，得＋＝1.∴2m＋n＝(2m＋n)＝5＋＋≥5＋2＝9.当且仅当＝时取等号．∴2m＋n的最小值为9.]重点2 圆的方程(1)若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为( )【导学号：】A．y2－4x＋4y＋8＝0 B．y2＋2x－2y＋2＝0C．y2＋4x－4y＋8＝0 D．y2－2x－y－1＝0(2)(2015·全国卷Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )A．2 B．8C．4 D．10(1)C (2)C [(1)由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得a＝2，即点C(－2,2)．∴过点C(－2,2)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理得y2＋4x－4y＋8＝0.(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2，∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，∴|MN|＝4.][规律方法] 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且笔直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．[对点训练2] (2017·河北唐山二模)直线l：＋＝1与x轴、y轴分别相交于点A，B，O为坐标原点，则△OAB内切圆的方程为__________．【导学号：】(x－1)2＋(y－1)2＝1 [由题意，设△OAB的内切圆的圆心为M(m，m)，则半径为|m|.直线l的方程＋＝1可化为3x＋4y－12＝0，由题意可得＝m ，解得m ＝1或m ＝6(不符合题意，舍去)． ∴△OAB 内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.]重点3 直线与圆的综合问题☞角度1 圆的切线如图1，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为________________；(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为__________．图1(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1 [(1)由题意知点C 的坐标为(1，2)，圆的半径r ＝ 2.所以圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2. (2)在(x －1)2＋(y －2)2＝2中，令x ＝0，解得y ＝2±1，故B (0，2＋1)． 直线BC 的斜率为2＋1－20－1＝－1，故切线的斜率为1，切线方程为y ＝x ＋2＋1. 令y ＝0，解得x ＝－2－1， 故所求截距为－2－1.]☞角度2 直线与圆相交的弦长问题(2017·郑州质检)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为__________．3 [由题意知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，1n ，圆的半径为2，且l 与圆的相交弦长为2，则圆心到弦所在直线的距离为 3.∴1m 2＋n 2＝3⇒m 2＋n 2＝13，S △AOB ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12mn ≥1m 2＋n2＝3，即三角形面积的最小值为3.]☞角度3 直线、圆与相关知识的交汇(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y－3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. [解] (1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.2分 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1， 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.5分(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝41＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.8分OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k1＋k1＋k2＋8. 由题设可得4k 1＋k1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.12分[规律方法] 1.研究直线与圆的位置关系最常用的方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．2．(1)圆与直线l 相切的情形：圆心到l 的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l .(2)过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．(3)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．重点强化训练(四) 直线与圆A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·西安质量预测)命题p ：“a ＝－2”是命题q ：“直线ax ＋3y －1＝0与直线6x ＋4y －3＝0垂直”成立的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件A [两直线垂直的充要条件是6a ＋3×4＝0，解得a ＝－2，命题p 是命题q 成立的充要条件．]2．(2017·深圳五校联考)已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1D [因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.]3．已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为( )A.62B.32C.94D ．2 3C [两圆外切，则|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝2＋1＝3. ∴(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝9，则(a ＋b )2＝9. 由基本不等式，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94.]4．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )【导学号：】A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 D [因为l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则l 的斜率存在，设斜率为k ，所以直线l 的方程为y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0， 则圆心到l 的距离d ＝|3k －1|1＋k2.依题意，得|3k －1|1＋k2≤1，解得0≤k ≤ 3. 故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.]5．(2017·重庆一中模拟)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，y 轴被圆C 截得的弦长与直线y ＝2x ＋b 被圆C 截得的弦长相等，则b ＝( )【导学号：】A ．－ 6B ．± 6C ．－ 5D ．± 5D [在(x －1)2＋(y －2)2＝2中，令x ＝0，得(y －2)2＝1，解得y 1＝3，y 2＝1，则y 轴被圆C 截得的弦长为2，所以直线y ＝2x ＋b 被圆C 截得的弦长为2，所以圆心C (1,2)到直线y ＝2x ＋b 的距离为1，即|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝± 5.] 二、填空题6．经过两条直线3x ＋4y －5＝0和3x －4y －13＝0的交点，且斜率为2的直线方程是__________．【导学号：】2x －y －7＝0 [由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝0，3x －4y －13＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即两直线的交点坐标为(3，－1)，又所求直线的斜率k ＝2.则所求直线的方程为y ＋1＝2(x －3)，即2x －y －7＝0.]7．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝__________.2 [因为点P (2,2)为圆(x －1)2＋y 2＝5上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P (2,2)的连线与过点P (2,2)的切线垂直． 因为圆心(1,0)与点P (2,2)的连线的斜率k ＝2，故过点P (2,2)的切线斜率为－12，所以直线ax －y ＋1＝0的斜率为2，因此a ＝2.]8．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为__________．0或6 [由x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆C 的圆心坐标为C (－1,2)，半径为3，由AC ⊥BC 可知△ABC 是直角边长为3的等腰直角三角形．故可得圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322.由点到直线的距离得|－1－2＋a |2＝322，解得a ＝0或a ＝6.] 三、解答题9．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．[解] 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.2分(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34.5分(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝2，8分解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.12分10．已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．[解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y ).2分 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.5分 (2)设PQ 的中点为N (x ，y )．在Rt △PBQ 中， |PN |＝|BN |.7分设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，10分 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [将直线l 的方程化为一般式得kx －y ＋1＝0， 所以圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心到该直线的距离d ＝1k 2＋1.又弦长为21－1k 2＋1＝2|k |k 2＋1， 所以S △OAB ＝12·1k 2＋1·2|k |k 2＋1＝|k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1.因此可知“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件．]2．过点P (1,1)的直线将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为__________．x ＋y －2＝0 [设过P 点的直线为l ，当OP ⊥l 时，过P 点的弦最短，所对的劣弧最短，此时，得到的两部分的面积之差最大．由点P (1,1)知k OP ＝1， 所以所求直线的斜率k ＝－1.由点斜式得，所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.]3．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋4＝0，直线l 1被圆所截得的弦的中点为P (5,3)． (1)求直线l 1的方程；(2)若直线l 2：x ＋y ＋b ＝0与圆C 相交，求b 的取值范围；(3)是否存在常数b ，使得直线l 2被圆C 所截得的弦的中点落在直线l 1上？若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由. 【导学号：】[解] (1)圆C 的方程化为标准方程为(x －3)2＋(y －2)2＝9，于是圆心C (3,2)，半径r ＝3.1分若设直线l 1的斜率为k ，则k ＝－1k PC ＝－112＝－2. 所以直线l 1的方程为y －3＝－2(x －5)，即2x ＋y －13＝0.3分(2)因为圆的半径r ＝3，所以要使直线l 2与圆C 相交，则有|3＋2＋b |2<3，5分所以|b ＋5|<32，于是b 的取值范围是－32－5<b <32－5.8分(3)设直线l 2被圆C 截得的弦的中点为M (x 0，y 0)，则直线l 2与CM 垂直， 于是有y 0－2x 0－3＝1， 整理可得x 0－y 0－1＝0.又因为点M (x 0，y 0)在直线l 2上，所以x 0＋y 0＋b ＝0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0－1＝0，x 0＋y 0＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1－b2，y 0＝－1＋b2.10分代入直线l 1的方程得1－b －1＋b2－13＝0， 于是b ＝－253∈(－32－5,32－5)，故存在满足条件的常数b .12分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第八章 第五节 直线、圆的位置关系
课下练兵场
命 题 报 告
难度及题号 知识点
容易题 (题号) 中等题 (题号) 稍难题(题号) 直线与圆的位置关系 1、4 5、7 11 圆的切线、弦长问题 2、3 8、9 12 圆与圆的位置关系
6
一、选择题
1．“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件 解析：当k ＝1时，圆心到直线的距离d ＝|k |2＝2
2＜1，此时直线与圆相交，所以充分性成立．反之，当直线与圆相交时，d ＝|k |
2
＜1，|k |＜2，不一定k ＝1，所以必要性不成立． 答案：A
2．直线x －3y ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的长度为( )
A ．1
B ．2 C. 2 D ．2 2
解析：本题解题思路是先利用圆的方程确定其圆心与半径，再由平面几何知识确定相应的弦长．注意到圆x 2＋y 2－2x －2＝0，即(x －1)2＋y 2＝3的圆心坐标是(1,0)，半径是3，因此|AB |＝2 (3)2－(1＋12
)2
＝2 2.
答案：D
3．(2010·安徽师大附中模拟)直线l ：y ＝k (x －2)＋2与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＝0相切，则直线l 的一个方向向量v ＝ ( ) A ．(2，－2) B ．(1,1) C ．(－3,2) D ．(1，12)
解析：由圆知圆心(1,1)，r ＝ 2. ∴|1－k |1＋k 2
＝2，∴k ＝－1，可知A 符合题意．
答案：A
4．如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，则点P(a，b)与圆的位置关系
是() A．P在圆外B．P在圆上C．P在圆内 D ．不能确定
解析：根据直线与圆相交得圆心到直线的距离小于半径，
4
a2＋b2
＜2，即a2＋b2＞4，
所以点P(a，b)在圆x2＋y2＝4的外部．
答案：A
5．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A、B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为() A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0
解析：结合圆的几何性质处理会更简捷．由圆的一般方程可得圆心O(－1,2)，由圆的性质易知O(－1,2)，C(－2,3)的连线与弦AB垂直，故有k AB×k OC＝－1⇒k AB＝1，故直线AB的方程为：y－3＝x＋2整理得：x－y＋5＝0.
答案：A
6．已知圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2－4x＋4y－1＝0关于直线l对称，则直线l的方程为() A．4x－4y＋1＝0 B．x－y＝0
C．x＋y＝0 D．x－y－2＝0
解析：由于两圆的圆心分别为(0,0)与(2，－2)，则可知两圆圆心所在直线的中垂线方程为y＋1＝x－1⇒y＝x－2，即直线l的方程为x－y－2＝0.
答案：D
二、填空题
7.若射线y=x+b(x≥0)与圆x2+y2=1有公共点，则实数b的取值范围
为.
解析：数形结合可以得到．
答案：2
8．过点M(1,2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝9分成两段弧，其中的劣弧最短时，直线l的方程为________________．
解析：设圆心为N，点N的坐标为(2,0)，由圆的性质得直线l与MN垂直时，形成的劣弧最短，由点斜式得直线l的方程为x－2y＋3＝0.
答案：x－2y＋3＝0
9．从圆(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2,3)向这个圆引切线，则切线长为________．解析：记圆心为点C，圆心C为(1,1)，则|PC|2＝5，
∴切线长＝|PC |2－1＝2. 答案：2 三、解答题
10．已知：过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M 、N 两点．
(1)求实数k 的取值范围；
(2)求证：A M ·A N 为定值．
解：(1)法一：∵直线l 过点A (0,1)且斜率为k ， ∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1.
将其代入圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1， 得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，
由题意：Δ＝[－4(1＋k )]2－4×(1＋k 2)×7＞0， 得
4－73＜k ＜4＋7
3
. 法二：同法一得直线方程为y ＝kx ＋1， 即kx －y ＋1＝0.
又圆心到直线距离d ＝|2k －3＋1|k 2＋1＝|2k －2|k 2＋1，
∴d ＝
|2k －2|k 2＋1
＜1，
解得4－73＜k ＜4＋7
3
.
(2)证明：设过A 点的圆的切线为AT ，T 为切点． 则|AT |2＝|AM |·|AN |，
|AT |2＝(0－2)2＋(1－3)2－1＝7，
∴A M ·A N ＝7.
根据向量的运算：
A M ·
A N ＝|A M |·|A N
|·cos0°＝7为定值． 11．已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0.
(1)求直线l 斜率的取值范围；
(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为1
2的两段圆弧？为什么？
解：(1)直线l 的方程可化为y ＝m m 2＋1x －4m m 2＋1，直线l 的斜率k ＝m
m 2＋1，
因为|m |≤1
2
(m 2＋1)，
所以|k |＝
|m |m 2
＋1≤1
2
，当且仅当|m |＝1时等号成立． 所以斜率k 的取值范围是[－12，1
2]．
(2)不能．
由(1)知l 的方程为y ＝k (x －4)，其中|k |≤1
2.
圆C 的圆心为C (4，－2)，半径r ＝2. 圆心C 到直线l 的距离d ＝
2
1＋k 2
. 由|k |≤12，得d ≥4
5
＞1，即d ＞r 2.
从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3.
所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为1
2
的两段弧．
12．已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA 、QB 分别切⊙M 于A 、B 两点．
(1)如果|AB |＝
42
3
，求直线MQ 的方程； (2)求证直线AB 恒过一个定点； (3)求动弦AB 的中点P 的轨迹方程． 解：(1)由P 是AB 的中点，|AB |＝42
3
， 可得|MP |＝
|MA |2－(|AB |2
)2
＝
1－(223)2＝13
.
由射影定理，得|MB |2＝|MP |·|MQ |，得|MQ |＝3， 在Rt △MOQ 中，
|OQ |＝|MQ |2－|MO |2＝32－22＝ 5. 故Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)
所以直线MQ 的方程是：2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.
(2)证明：设Q (a,0)，由题意知M ，A ，Q ，B 四点共圆，直径为MQ ，设R (x ，y )是该圆上任一点，
由A R ·Q R
＝0得，x (x －a )＋(y －2)y ＝0.
即x 2＋y 2－ax －2y ＝0. ① ①式与x 2＋(y －2)2＝1联立，消去x 2＋y 2项得两圆公共弦AB 的方程为－ax ＋2y ＝3， ∴无论a 取何值，直线AB 恒过点(0，32
)．
(3)连结MB，MQ，设P(x，y)，Q(a,0)，点M、P、Q在一条直线上，当a≠0时，得2
－a
＝2－y
－x
.②
由射影定理有|MB|2＝|MP|·|MQ|，
即x2＋(y－2)2·a2＋4＝1.③
由②及③消去a，并注意到y＜2，可得
x2＋(y－7
4)
2＝1
16(y＜2)．
当a＝0时，易得P点为(0，3
2)，满足方程x
2＋(y－7
4)
2＝1
16(y＜2)．
即中点P的轨迹方程为x2＋(y－7
4)
2＝1
16(y＜2)．。