第十二讲 - 梁的振动-2

L 0
m = ρ AL
ψ (0) = ψ '(0) = 0
几何边界条件
R=
∫ ∫
L 0
EI [ψ ''( x )]2 dx
ρ Aψ ( x )2 dx + ρ ALψ 2 ( L)
f = R(ψ ) 0.2906 EI 17% = 2 2π ρA L
取抛物线做假设 振型，满足几何 边条
ψ ( x) = x 2
ψ ( x)
k
问：假设允许加入一根弹簧来提高悬臂梁的固有频率，位置加 在哪里好？
R=
∫
L 0
EI [ψ ''( x )]2 d x + kψ 2 (ξ )
∫
L 0
ρ Aψ ( x )2 d x
振型大处，最右侧
k →∞ 1.585ω 0 2.504ω0
11
1. Rayleigh法的缺点：假设振型难选
0 0 N
∫
EI [ψ ''( x )]2 dx
取满足几何边界条件的试函数 ψi ( x ), ψi (0) = ψi '(0) = 0, i = 1, !, N 用试函数逼近系统的特征函数或模态 ψ ( x ) = ∑i=1ψi ( x )ai 其中 ai (i = 1, !, N ) 是待定常数。
x 2 x x 2 2) 取二阶近似 ϕ ( x ) = a1 (1 − ) + a2 (1 − ) l l l l l mij = ∫ ρ Aψiψ j d x kij = ∫ EI ψi "ψ j "d x 0 0 ! 1 ! 1 2 $ 1 $ δλ = δ[U (ϕ ( x )) / T (ϕ ( x ))] = 0 # & & 3# Eb # 3 15 & M = ρbL # 30 105 & K= 3 2 # 1 (K − ω k M )a k = 0 1 & L # 2 2 & # & # & " 105 280 % " 15 15 % ω1 5.319b E f = = 5.315b E 1 2 2 π 3ρ 2 π L 精确解： f1 = 2 2π L 3ρ 17
9
1. Rayleigh商－再思考
y
单位厚，矩形悬臂梁
b
x
作业题，课件后有
L
ψ ( L) = ψ '( L) = 0
R(ψ ) =
y
∫
L 0
EI [ψ ''( x )]2 d x
L
∫
0
ρ Aψ ( x )2 d x
单位厚，锥形悬臂梁
x
b b
L
10
1. Rayleigh商－再思考
ρA
w( x , t )
w!
x= L
=0
x=0
∂ ( EIw!!) = 0 ∂x x=0
x 2 x x 2 x2 x 假设阵型为 ϕ ( x ) = a1 (1 − ) + a2 (1 − ) + a3 2 (1 − ) 2 + ! l l l l l x 2 只求基频的情况下，取一阶近似 ϕ ( x ) = a1 (1 − ) l
解析解很难获得，但 估算的频率相当准确。
7
1. Rayleigh商
ρA
w( x , t )
m = ρ AL
取抛物线做假设振型
取受集中力变形曲线做假设振型
ψ( x) = x2
f = 0.291ω0
1. 若无端头质量，悬臂梁固有频率 2. 若仅将悬臂梁看成一个弹簧 提供回复里，而忽略梁质量， 则弹簧刚度
0
L 0
L 0
L
δU − RδT = 0
EIψ ''''− Rρ Aψ = 0
EIψ ''( L) = 0, EI ψ '''( L) + mRψ ( L) = 0
5
= 2 EI ψ ''( L)δψ '( L) − 2 EI ψ '''( L)δψ ( L) +2 ∫ EI ψ '''' δψ d x
1. Rayleigh商
ρA
w( x , t )
m
对任意函数 ψ ( x ) 定义Rayleigh商
R(ψ ) =
则
∫ ∫
L 0
L 0
EI ψ ''( x ) 2 d x
ρ Aψ ( x ) 2 d x + mψ ( L) 2
=
U (ψ ) T (ψ )
R(ψ )
取驻值 或 δ R(ψ ) = 0
i i i =1
#∞ & L EI %∑ ciϕ i ''( x )( d x L ∫ 2 0 EIψ ''( x ) d x ∫ $ i=1 ' 0 = R(ψ ) = L 2 2 2 2 ∞ ∞ # & # & L ∫ 0 ρ Aψ ( x ) d x + mψ ( L) ∫ 0 ρ A%∑ ciϕi ( x )( d x + m%∑ ciϕi ( L)( $ i=1 ' $ i=1 ' 取几个假设阵型，求Rayleigh ∞ ∞
？
ψ( x)
是模态
R(ψ )
等于对应模态 的圆频率平方
4
1. Rayleigh商
ρA
w( x , t )
m
定理1：Rayleigh商的驻值的条件即系统的特征方程。 注意：取ψ (x)时，几何边界条件要事先满足！
U (ψ ( x )) T (ψ ( x ))
δT = 2 ∫ 0 ρ Aψδψ d x + 2 mψ ( L)δψ ( L)
ρA
w( x , t )
m
假设梁以第i阶模态振动 w( x , t ) = ϕ i ( x )sin(ω it ) 则系统振动时动能 T (t ) =
∫
L 0
! ( x )2 d x + mw ! ( L)2 ρ Aw
L 0
= ω i2 [ ∫ ρ Aϕ i ( x )2 d x + mϕ i ( L)2 ]cos(ω it )
mij =
∫
L 0
ρ Aψiψ j d x + mψi ( L)ψ j ( L)
6 5 7 6 7 6 8 7 % ' ' ' ' &
kij =
∫
L 0
EIψi "ψ j "d x
" $ M = ρ AL5 $ $ $ #
! 4 6 $ K = EIL # & " 6 12 %
一阶精确解 f = 0.2478ω 0
2. Rayleigh-Ritz法 － 例3
承载集中质量的均匀简直梁的频率的近似值（忽略集中质量的转 动惯量）
m = ρ Al / 4
x =l/4
m = ρ Al / 4
x =l/2
ρ A, EI
l
系统的Rayleigh商 λ = U (ϕ ( x )) / T (ϕ ( x ))
1 l 1 l 1 1 2 l 2 2 2 l U (ϕ ( x )) = ∫ EI (ϕ ") dx T (ϕ ( x )) = ∫ ρ Aϕ d x + mϕ ( ) + m ϕ ( ) 2 0 2 0 2 4 2 2 取前均匀梁前三阶模态作为本问题中的试函数
ψ ( x) = x 2
f =
R(ψ ) = 0.2906ω0 2π R(ψ ) = 0.2480ω0 2π
17%
ψ ( x ) = x 2 (3L − x )
f =
0.1%
精确解
f = 0.2478ω 0
求解精度完全依赖于 假设振型！
12
1. Rayleigh法的改进思路
ρA
w( x , t )
让假设振型可调
ψ ( x ) = a1x 2 + a2 x 3 + a3 x 4
在假设空间内，选取使Rayleigh商取驻 值的振型，以改善精度！
13
2. Rayleigh-Ritz法
几何边界条件 ρA
w( x , t )
L
m = ρ AL
ψ (0) = ψ '(0) = 0
U (ψ ( x )) = R= L ∫ ρ Aψ ( x )2 dx + ρ ALψ 2 ( L) T (ψ ( x ))
则系统振动时势能 V (t ) =
∫
L 0
EI κ d x =
L 0
2
∫
L 0
EIw ''2 d x
= sin(ω i t ) ∫ EIϕ i ''( x ) 2 d x
能量守恒，最大动能＝最大势能，则有
L 0
ω i2 =
∫ ∫
L 0
EI ϕ i ''( x )2 d x
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ρ Aϕ i ( x )2 d x + mϕ i ( L)2
a = [ a1 , a2 , , an ]T 本质是将无穷
U (ψ ( x )) = ! a Ka
T
K = [ kij ]
kij =
T T (ψ ( x )) = ! a Ma M = [ mij ] mij
∫ =∫
L
0 L 0
EIψi "ψ j "d x
自由度化成有 限自由度！
ρ Aψiψ j d x + mψi ( L)ψ j ( L)
振动理论基础 第12讲：梁的振动-2
赵治华，zhaozh@tsinghua.edu.cn
1
问题
! 如何求非均匀截面梁的固有频率 近似解法
m = ρ Al / 4
x =l/4
m = ρ Al / 4
x =l/2
ρ A, EI
l
" 关于波速的思考 v >c, =c, <c? T
2
1. 从能量守恒出发
w( x , t )
m = ρ AL
ψ ( x)
R=
∫ ∫
L 0
L 0
EI [ψ ''( x )]2 dx
ρ Aψ ( x ) 2 dx + mψ 2 ( L)
! 在模态位移大的地方增加质量，将显著减小固有频率。 a. 同样的质量，加在模态位移大的地方对频率的改变大 b. 如果想用悬臂梁做“秤”来测量质量，那么应该将质 量加到模态位移大的地方 " 减小模态位移大的地方的质量，可显著提高固有频率。
(K − λk M )a k = 0,
f1 = 0.2478ω 0 , f 2 = 3.4848ω 0
ω0 =
1 L2
EI ρA
15
2. Rayleigh-Ritz法 － 例2
y
b b
x
2bx L 1 2bx 2 ) 惯性矩 I = ( 12 L
截面积 A =
L
边界条件
w EIw!!
x= L
=0 =0
16
2. Rayleigh-Ritz法 － 例2
x 2 ϕ ( x ) = a (1 − ) 1）取一阶近似 1 l L 2 !! EI [ ϕ ( x )] dx ∫ 2 0 λ = L 求得 2 ∫ 0 ρ Aϕ ( x ) dx
2 10 Eb λ2 = ρ L4
f =
ω 5.48b E = 2π 2π L2 3ρ
k = 1, 2, !
14
δR = 0
(K − λk M )a k = 0,
ψk ( x ) = ∑ ψi ( x )a jk , ω k = λk , i=1
N
2. Rayleigh-Ritz法 － 例1
几何边界条件 ρA
w( x , t )
m = ρ AL
ψ (0) = ψ '(0) = 0
取两个满足边条 1 3 2 ψ1 ( x ) = x ,ψ 2 = x 的假设振型 L 逼近振型 ψ ( x ) = a1ψ1 ( x ) + a2ψ 2 ( x )
ω0 =
1 L2
EI ρA
取抛物线做假设 振型，满足几何 边条 取右端受集中力 的变形函数做假 设振型，满足几 何边条
ψ ( x) = x 2
f =
R(ψ ) = 0.2906ω0 2π R(ψ ) = 0.2480ω0 2π
17%
ψ ( x ) = x 2 (3L − x )
f =
0.1%
精确解
f = 0.2478ω 0
商，取小的。即Rayleigh法估 算频率。
2
= ∑ ( ci2ω i2 ) / ∑ ci2 > ω12
i=1 i=1
6
1. Rayleigh商
ρA
w( x , t )
L 0
m = ρ AL
ψ (0) = ψ '(0) = 0
几何边界条件
R=
∫ ∫
L 0
EI [ψ ''( x )]2 dx
ρ Aψ ( x )2 dx + ρ ALψ 2 ( L)
0 L
1. Rayleigh商
ρA
w( x , t )
m
定理2：Rayleigh商一定大于第一阶固有圆频率的平方。
设 (ω i ,ϕ i ( x )) ω1 ≤ ω 2 ≤ ω3 ≤ ! 是系统的固有频率对，且模态关于质量 矩阵正交归一
∞
对任意一个假设阵型函数 ψ ( x ) =
∑c ϕ ( x)
ψ ( x ) = x 2 (3L − x )
f = 0.248ω0
1 ω0 = 2 L
EI ρA
(1.875) 2 f beam = ω 0 = 0.560ω 0 2π 1 2π k m = 0.276ω 0
f mass =
k=
3EI L3
更接近忽略梁质量的解
8
1. Rayleigh商－再思考
ρA
L
R(ψ ) =
δU = 2 ∫ 0 EI ψ '' δψ ''d x = 2 ∫ 0 EIψ ''d( δψ ')
L = 2 EI ψ '' δψ ' |0 −2 ∫ EI ψ ''' δψ 'd x 0 L
L
L
δ R(ψ ) = 0
T δU − U δT = 0
= 2 EIψ ''δψ ' | −2 EIψ '''δψ | +2 ∫ EIψ ''''δψ d x
ρA
w( x , t )
L 0
m = ρ AL
ψ (0) = ψ '(0) = 0
几何边界条件
R=
∫ ∫
L 0
EI [ψ ''( x )]2 dx
ρ Aψ ( x )2 dx + ρ ALψ 2 ( L)
ω0 =
1 L2
EI ρA
取抛物线做假设 振型，满足几何 边条 取右端受集中力 的变形函数做假 设振型，满足几 何边条