【上海市2014届高三寒假作业 数学4]

高三数学寒假作业

满分150分，考试时间120分钟

姓名____________ 班级_________学号__________

一、填空题(每题4分，共56分)：

1、复数

5i

2i

=+ ． 2、已知,a b 均为单位向量，且它们的夹角为60°，当||()a b R λλ-∈取最小值时，

λ=___________．3、已知集合⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧∈==R x y y A x ,21|，{}R x x y y B ∈-==),1(log |2，则=⋂B A ▲ ．

4、求值：00

2cos10sin 20cos 20-= ．

5、在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则AC 的取值范围为 ______

6、盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）.

7、执行右面的程序框图，若输出的31

32

S =

，则输入的整数p 的值为__________．

8、设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线

22

19

y x m -=的一个焦点，则m = 。 9、不等式的解集是___________。

10、曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________

11、给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪

+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈,是

z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______条不同的直线.

12、若2

2

22

123111

1

,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为________________. 13、已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1

(,1)2

B 、(1,0)

C ，函数

()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为

14、已知数列，圆

，

圆

，若圆C 2平分圆C 1的周长，则

的所有项的和

为 .

二、选择题（每题5分，共20分）：

15、当

21

0≤

A )22,

0( B )1,2

2( C )2,1( D )2,2( 16、下列判断正确的是（ ）

A ．棱柱中只能有两个面可以互相平行

B ．底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱

C ．底面是正六边形的棱台是正六棱台

D ．底面是正方形的四棱锥是正四棱锥

17、双曲线22

2

2

1124x y m m

-=+-的焦距为（ ） Ａ．４

Ｂ． Ｃ．８ Ｄ．与m 无关

18、棱长为1的正三棱柱111C B A ABC -中，异面直线1AB 与BC 所成角的大小为 三、解答题（本大题满分74分）： 19、（本题满分12分）在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知s i n (t a n t a n )

t a n t a B A C A C +

=.

(Ⅰ)求证：,,a b c 成等比数列； (Ⅱ)若1,2a c ==，求△ABC 的面积S .

20、（本题满分14分）设函数22()(1)f x ax a x =-+,其中0a >,区间|()>0I x f x = (Ⅰ)求的长度(注:区间(,)αβ的长度定义为βα-); (Ⅱ)给定常数(0,1)k ∈,当时,求l 长度的最小值.

21、（本题满分14分）如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥S A B

平面S B C ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.

求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.

22、（本题满分16分）正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足:222(1)()0n n S n n S n n -+--+=． (1)求数列{}n a 的通项公式n a ; (2)令22

1(2)n n

n b n a +=

+,数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明:对于任意的*

n N ∈,都有564

n T <

． 23、（本题满分18分）已知函数a ax x a x x f ---+=2

32

131)(，x 其中a>0.

（I ）求函数)(x f 的单调区间；

（II ）若函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围；

（III ）当a=1时，设函数)(x f 在区间]3,[+t t 上的最大值为M （t ），最小值为m （t ）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间]1,3[--上的最小值。

A

B

C

S

G

F

E

试题答案

1、答案：1+2i

2、答案：

2

1 3、答案：()+∞,0 4、

5、答案：

6、答案：

57

7、答案：5 8、16

9、【答案】)3()2,3(∞+-，

【解析】原不等式等价为⎩⎨⎧>->-02092x x 或⎩⎨⎧<-<-0

2092x x ，即⎩⎨⎧>-<>233x x x 或或⎩⎨⎧<<<-233x x ，

解得3>x 或23<<-x ，所以原不等式的解集为)3()2,3(∞+-， 。 10、【答案】34-=x y

【解析】函数的导数为4ln 33

1ln 3)('+=⨯

++=x x

x x x f ，所以在)1,1(的切线斜率为 4=k ，所以切线方程为)1(41-=-x y ，即34-=x y .

11、【答案】6 12、【答案】213S S S << 13、【答案】

4

1

。 【解析】⎪⎩⎪⎨⎧+-=,22,2)(x x x f ,121,210≤<≤≤x x ，∴⎪⎩⎪⎨

⎧+-=,22,222x x x y ,12

1,

210≤<≤≤x x