2010-2011-1高等数学A1期末试卷A.
高等数学期末考试试题及答案(大一考试)
（2010至2011学年第一学期）课程名称： 高等数学(上)(A 卷)考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项：1、 满分100分。
要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。
3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。
4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。
试 题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e xx )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x。
4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导；(C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。
5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）1. 极限=-+→xx x 11lim 20 _____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。
2011(1)高数试卷参考答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2011~2012学年第1 学期 考试科目：高等数学A Ⅰ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．0sin 5lim2x xx→= 。
2．曲线2x xe e y -+=在点(0,1)处的曲率是 。
3．设()0f x >，且可导，[]ln ()y f x =，则dy = 。
4．不定积分⎰=。
5．反常积分60x e dx +∞-⎰= 。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设2,01(),,12x x f x x x ⎧<≤=⎨<<⎩在点1x =处必定 （ ） A ．连续但不可导 B ．连续且可导C ．不连续但可导D ．不连续，故不可导 2．曲线y =在点4x =处的切线方程是 （ ）A ．114y x =- B ．112y x =+C ．114y x =+D ．124y x =+3．下列函数在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 （ ）A ．21x B ．3x C ．xD ．211x + 4．设()f x 为可导函数，则下列等式中正确的是 （ ） A ．()()f x dx f x '=⎰ B ．()()df x dx f x C dx =+⎰C ．()()d f x dx f x =⎰D ．()()d f x dx f x dx =⎰5．已知()0232ax x dx -=⎰，则a = （ ）A ．1-B ．0C ．12D ．1三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1. 求极限 ()011lim x x x e x x e →---。
2. 设函数1sin 2 ,0(), ,0x x f x a bx x +≤⎧=⎨+>⎩在点 0x =处可导，求,a b 的值。
3. 设参数方程()1sin cos x t t y t t=-⎧⎪⎨=⎪⎩确定y 是x 的函数，求dy dx 。
10-11 高等数学1试题(A卷)及解答
广州大学2010-2011学年第一学期考试卷课 程：高等数学Ⅰ1（90学时） 考 试 形 式：闭卷考试学院:__________专业班级:__________ 学号:__________ 姓名:_________一．填空题(每小题3分,本大题满分15分)1．设函数1,||1()0,||1x f x x ≤⎧=⎨>⎩，则 )]([x f f = .2．设函数sin 2,0()2,0xx f x x x a x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩，当常数=a ______时,)(x f 在0x =处连续.3．曲线xe y 2=上点（0，1）处的切线方程为______ __.4．曲线53523++-=x x x y 的凹区间为_______ _____. 5．若xe -是)(xf 的原函数，则dx x f x )(ln 2⎰= .二．选择题(每小题3分,本大题满分15分)1. 当1x →时，无穷小量x -1是x -1的( ).A. 高阶无穷小;B. 低阶无穷小;C. 等价无穷小;D. 同阶但不等价无穷小. 2．若∞=→)(lim x f ax ，∞=→)(lim x g ax 则必有( ).A. ∞=+→)]()([lim x g x f ax ; B. ∞=-→)]()([lim x g x f ax ;C. 0)()(1lim=+→x g x f ax ; D. ∞=→)(lim x kf a x ，(0≠k 为常数).3．函数xx x x f πsin )(3-=的可去间断点个数为( ).A ．1; B. 2; C. 3; D. 无穷多个.4．设函数)(x f y =在点0x 处可导, 则 xdyy x ∆-∆→∆0lim等于( ).A. 0；B. -1；C. 1；D. ∞ .5. 设)(x f 连续，且240()x f t dt x =⎰，则)4(f = ( ).A. 2；B. 4；C. 8；D. 16 .三．解答下列各题(每小题6分,本大题满分18分)1．)3ln(tan 2x x y ⋅=，求dy .2．求由方程0)cos(=-+xy e yx 所确定的隐函数()y f x =在0x =处的导数.3．设⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12，求dx dy 和22dx y d .四．解答下列各题(每小题6分,本大题满分12分)1．计算极限13)1232(lim +∞→++x x x x .2．设21cos ,02(),0x x f x xx x ⎧<<⎪=⎨⎪≤⎩，讨论)(x f 在0=x 处的连续性与可导性.五．计算下列积分(每小题6分,本大题满分18分) 1．xdx x 2sin ⎰.2．12dx x. 3．221(1)dx x -⎰.六．(本题满分5分)证明方程015=-+x x 只有一个正根.七．(本题满分5分)设)(x f 在),(+∞-∞内连续，且0()(2)()x F x x t f t dt =-⎰，试证：若)(x f 为偶函数，则)(x F 亦为偶函数.八．(本大题满分12分)设抛物线c bx ax y ++=2通过点（0，0），且当]1,0[∈x 时，0≥y .求c b a ,,的值，使得抛物线c bx ax y ++=2与直线0,1==y x 所围图形的面积为94，且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小.广州大学2010-2011学年第一学期考试卷高等数学Ⅰ1（90学时A 卷）参考解答与评分标准一．填空题(每小题3分,本大题满分15分)1．设函数⎩⎨⎧>≤=1||01||1)(x x x f ，则 )]([x f f = 1 ),(+∞-∞∈x 。
高数卷
天津轻工职业技术学院2010 —2011 学年度第一学期期末考试试卷 (A)科目：《 高等数学 》命题教师：谷秀珍一、选择题（每小题2分，共20分）1、设f(x)=ln5，则f(x+2)- f(x)=（ ）。
A 、ln7-ln5B 、ln7C 、ln5D 、0 2、当x →∞时，下列变量中是无穷小量的是（ ）.A 、x1B 、cosxC 、2x 2+ 1D 、x e3、11lim1--→x x x =（ ）。
A 、-1B 、1C 、0D 、不存在 4、如果lim ()x f x A -→=0，lim ()x f x A +→=0，则函数f(x)在x=0处（ ）。
A 、一定有定义B 、一定有极限C 、一定连续D 、一定间断 5、函数f(x)=│x-1│在x=1处（ ）。
A 、不连续 B 、连续但不可导 C 、连续且'f (1)=-1 D 、连续且'f (1)=1 6、当y=f(x)在点x 处取极值，则必有（）。
A 、 'f (x 0)=0B 、'f (x 0)不存在C 、''f (x 0)=0D 、'f (x 0)=0 或'f (x 0)不存在 7、下列等式中正确的是（ ）。
A 、()dx d x x -=211 B 、 ln ()xdx d x=1C d =D 、sin (cos )xdx d x =8. 函数()f x 在0x 可导，则0'()f x 等于（ ）A.00()()0limf x x f x x x -∆-∆∆→ B.00()()20limf x x f x x x -∆-∆∆→C.00()()0limf x x f x x x -∆--∆∆→ D.00()()lim f x x f x x x x -∆-+∆∆∆→9. f(x)的一个原函数为lnx ，则'f (x)=（ ） A 、xlnx B 、x 1 C 、-21xD 、x e 10、24xdxx =+⎰=（ ） A. 21ln(4)2x C ++ B. 2ln(4)x C ++C. 1arctan 22x C +D. arctan 22x xC +二、填空题(每小题2分，共20分)1、y=ln()x -12的定义域为 。
高数必不挂-高等数学A(一)2010-2011(A)解答
第 1 页 共 6 页上 海 海 事 大 学 试 卷2010 — 2011 学年第一学期期末考试 《 高等数学A （一）》（A 卷）解答一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分3小题, 每小题4分, 共12分).)( ;)(;2)( ; 0)(2coslim 120不存在，但不是无穷大为无穷大 等于 等于）（的值为、D C ••B A •••A••••••••••••••••xx x +→个不同的实根 有 有三个不同的实根 有唯一实根 无实根 ）（则方程适合、设5)()()()(0432,,53,,2352D C •••B A ••••B•••••c bx ax x b a b a =+++< 为正常数 恒为零 为负常数 不为常数 ）（则、设)()()()()(,)(32sin D C •••B A •••D•••••••••••x F dt e x F •x •xt ⎰+=π二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分2小题, 每小题4分, 共8分)1、的值为201lim x x e x x --→ 212、设a b c ,,均为非零向量，满足c b a a c b b a c ⨯=⨯=⨯=,,，b ++三 计算题（必须有解题过程，否则不给分） （本大题分10小题，每题6分，共 60分）1、极限xx xx 2)4(lim +∞→ 884)41(lim e xxx =+=⋅∞→原式 6分2、)0(,)cos()(y y xy e x y y xy '=+=求确定由方程设--------------------------------------------------------------------------------------装 订线第 2 页 共 6 页解：y xy y x y y x y e xy '='+-'+)sin()()(， 4分2)0(,2.,0='==y y x 时当 6分3、．求dx xx••⎰--1145 解：令 ，541452-==-x t x t () 1分 原式=-⎰185213()t dt4分 =166分 4、.d )1(arctan x x x x⎰+求解：x x x xd )1(arctan ⎰+)d(arctan arctan 2x x ⎰= 3分C x +=2)(arctan 6分（遗留C 扣1分）5、．点处的连续性和可导性在试讨论，，已知 0)( , 00cos )(20=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰x x f x •••x x tdt t x f •x •解：0)0(0lim )(lim )0(0cos lim )0(200====-==+--+→→→⎰f x x f f tdt t f x x xx 又 2分∴= 在点处连续f x x ()0 3分lim )0()(lim )0(0)cos (lim cos lim )0()(lim )0(200000==-='===-='--+++→→-→→→+⎰x x xf x f f x x xtdt t xf x f f x x x xx x 5分第 3 页 共 6 页'==f f x x ()()000，在点处可导． 6分．，试求： 斜率等于处的切线，且它在原点通过原点具有连续导数，又曲线、设函数xx dtt f •••x f y x f •x•x sin )(lim100)()(60⎰→=解：，，由题意知，1)0(0)0(='=f f 2分lim()sin lim ()sin cos x xx f t dt x x f x x x x→→⎰=+000 4分='-→lim()cos sin x f x x x x 02 5分='=12012f () 6分7、）为驻点，，使得点（中的试确定442,,,,23-+++=d c b a d cx bx ax y（1，—10）为拐点。
2010-11-1高等数学试题答案及评分标准(A卷)
2010-11-1高等数学（A ）期末考试试题答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、[0,14]2、1y ex =+3、21,1x y y y ='==4、3223x x C -+ 5、2()b a x x dx πϕ⎰ 二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，共20分)1、D2、C3、A4、D5、C三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)1、解：原式=-----⎛⎝ ⎫⎭⎪→lim ()x a x x a x a x a x a 222222=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪→lim x a x x a 1=-a a 12……………每步2分 2、解：x x xdx x xdx sin cos sin ⎰⎰=122[]⎰⎰--=-=xdx x x x xd 2cos 2cos 41)2(cos 41 11cos 2sin 248x x x c =-++ ………………………………每步2分 3、解：原式=-⎰()t dt 149=-()233249t t 233=……………………………………每步2分 四、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分)1、解：(),()1,(1)0f x f x x f ==因具有连续一阶导数即在处连续又，即20,(sin cos )0,tan ~x f x x x x →+→时………………………………………………………2分 2200(sin cos )(sin cos )(sin 2sin )lim lim tan 2x x f x x f x x x x x x→→'++-=则……………………………………5分 ='+-→122102lim (sin cos )(cos )x f x x x ……………………………………………………7分 ='⋅=12111f ()…………………………………………………………………………8分 2、解：24,(0)4,(3) 2.y x y y '''=-=-=在(0,3)43y x =-+点处切线为，(3,0)在点处切线为 26,y x =- 令4326x x -+=-，有交点3.2x =……5分 故 32323220(4343)(4326)S x x x dx x x x dx =-++-+-+-+⎰⎰………7分 =+-+=x x x 303233399432().……………8分 3、解：()101 ，p q ==…………………………………………………………………2分()20 p q ==……………………………………………………………………4分25522555(3)lim(5)0,lim(45)25550,15555lim lim 55lim(1)511x x x x x x px x p q q p px qx px px x x x px p →→→→→-=++=++==--++--+=--=-=-= 由知得：而 …7分于是：，p q ==--=-25123…………………………………………………8分 五、证明下列各题(本大题共2小题，每小题6分，总计12分) 1、证：'=++''=-++y e x x y e x x x x (sin cos )(sin cos )21422321442…………………………………………………4分 11525(3sin 24cos 22sin 24cos 25sin 2)424x x y y y e x x x x x e '''++=-++---++=…………6分 2、证：设 于，内连续f x x x ()arctan ()=--∞+∞……………………………………1分 '=-+=+>≠f x x x xx ()()111100222 ，故在，内单调增()()-∞+∞f x ……4分 而 即是方程的一个实根且是唯一的实根f x ()000==………………………………6分六、解答下列各题(本大题共1小题，总计6分) 解：512512,,2(0)x L x x x x=+>设晒谷场宽为则长为米新砌石条围沿的总长为 ………2分 '=-=L xx 2512162 唯一驻点 ''=>=L xx 10240163 即为极小值点 ……………………4分 51216,32,16=故晒谷场宽为米长为米时可使新砌石条围沿所用材料最省。
高等数学A_期中考试试卷2010-2011上答案
《 高等数学A 》期中考试试卷一、填空题（本题共8小题, 每题4分, 满分32分. 请把答案填写在题中横线上）.1．2201lim sin x x x→= 0 .2. xx x x cos 1)1ln(lim 0-+→=2 .3. 若函数,0,e 0 ,2arcsin e 1)(2tan ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=x a x x x f x x在 x = 0 处连续, 则 a = -2 .4. 曲线 122+=x x y 的斜渐近线为1124y x =-.5. 设函数 y (x ) 由方程 e y + xy - e = 0 确定, 则d d x yx ==1e-.6．已知 f (x ) = ln(1 + 2x ), 则 f (n )(0) =1(1)2(1)!n n n ---.7. 函数 f (x ) = x sin x + cos x 在区间 [0, π/2] 上的最大值为 π/2 .8. xx y 4+=的凹区间为(0,)+∞.二、选择题（本题共8小题,每题4分，满分32分.请把唯一正确选项填在题后括号内）.1．设 {a n }, {b n }, {c n } 均为非负数列, 且,lim ,1lim ,0lim ∞===∞→∞→∞→n n n n n n c b a 下列说法正确是( D ).(A) a n < b n , n ∈N + (B) b n < c n , n ∈N + (C) n n n c a ∞→lim 不存在 (D) n n n c b ∞→lim 不存在2．设函数 ,1e 1e )(11+-=xxx f 则 x = 0 是 f (x ) 的 ( B )(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 第二类间断点 (D) 连续点3．设函数 f (x ) 在 x = a 的某邻域内有定义, 则 f (x ) 在 x = a 处可导的一个充分条件是 ( D ) .(A) )]()1([lim a f h a f h h -++∞→存在 (B) hh a f h a f h )()2(lim 0+-+→存在(C) h h a f h a f h 2)()(lim--+→存在 (D) hh a f a f h )()(lim 0--→存在4．设函数f (x ) 在 (-∞, +∞) 内连续, 其导函数的图形如图所示, 则f (x ) 有 ( C).(A) 一个极小值点和两个极大值点 (B) 两个极小值点和一个极大值点(C) 两个极小值点和两个极大值点 (D) 三个极小值点和一个极大值点5．设当x → 0 时, (1 - cos x )ln(1 + x 2) 是比 x sin x n 高阶的无穷小, 而 x sin x n 是比12-x e 高阶的无穷小, 则正整数 n 等于 ( B ).(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 6．设f (x ), g (x )是恒大于零的可导函数, 且 f '(x )g (x ) - f (x )g '(x ) < 0, 则当 a < x < b 时, ( A ).(A) f (x )g (b ) > f (b )g (x ) (B) f (x )g (a ) > f (a )g (x ) (C) f (x )g (x ) > f (b )g (b ) (D) f (x )g (x ) > f (a )g (a )7. 数列()()()222111211－－－－n n n n +++在∞→n 时的极限为（ C ）(A) 1 (B) 0 (C) 1/2 (D) 不存在8. 设函数()x f y =在1=x 处可导，且()()412lim000=--→x f h x f h h ，则()='0x f （ B ）(A) 4- (B) 2- (C) 2 (D) 4姓名：学号：班级：三、计算题（本题共2小题，每题12分，满分24分.计算过程中请写出充分的演算步骤）.1. 求极限 .e)(limxx xx -+→101 原式 =1ln(1)0elimx xx ex+→-1ln(1)1001ln(1)1(1)lim lim x xx x x e e x e x x+-→→+--==⋅ 20ln(1)lim x x xe x →+-=⋅0111lim 2x x e x→-+=⋅ 01lim2(1)2x x e e x x →-=⋅=-+或者原式 =1ln(1)0elimx xx ex+→-1ln(1)20(1)ln(1)(1)lim1x xx x x x e x x +→-++⋅+=1ln(1)2001(1)ln(1)lim limlim 1x xx x x x x x ex x +→→→-++=⋅⋅+01(ln(1)1)1lim 2x x e x →-++=⋅⋅00ln(1)1lim lim 222x x x x e e e x x →→-+-=⋅=⋅=-2. 设 , arctan )1ln(2⎩⎨⎧-=+=tt y t x 求 .d d 22x y(考查参数方程确定的函数的二阶导数, 参看P112第9(2))21211122t tt t dt dx dt dy x d y d =++-==, tt t t dx dt dx dy dt d x d y d 4121212222+=+⋅=⋅=)(四、证明题（本题满分12分. 证明过程中请写出必要的推理步骤和理论依据）.设函数 f (x ) 具有二阶连续导数, 且 f (0) = 0, 试证⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0)0('0)()(x f x xx f x g 有一阶连续导数.证明: 首先 ),0()0()0()(lim )(lim)(lim 00g f xf x f x x f xg x x x ='=-==→→→说明 g (x ) 在 x = 0 处连续. 当 x ≠ 0 时, 2)()()(xx f x x f x g -'=' 当 x = 0 时, 2000)0()(lim )0()(lim )0()(lim )0(xf x x f x f x x f xg x g g x x x '-='-=-='++→→→ )0(212)0()(lim 0f x f x f x ''='-'=+→而200()()()1lim ()limlim (0)(0)22x x x f x x f x f x x g x f g x x →→→'''-''''====. 因此结论成立.第二题第8题，指数函数的指数部分为分式，求极限时一般都要考虑左右极限，且左右极限不等！！！！,1e 1e )(11+-=x xx f -∞=-→xx 1lim 0，0lim 10=-→xx e ，11e 1e lim 110-=+--→x xx +∞=+→x x 1lim 0，+∞=+→xx e 10lim ，1e 11e 11lim1e 1e lim x1x10110=+-=+-++→→x x xx。
2010-2011-1高等数学A1期末试卷A
（A） ；(B) ；(C) 0；(D) ．
5．下列广义积分收敛的是〖〗.
（A） ；（B） ；（C） （D） .
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，将答案填在本页指定的答题栏内）
1．设 在 处连续，则 （）.
2．已知 ，则 （）.
3．设函数 满足 , ，
则 （）.
4． （）.
5．微分方程 的一个特解为 ，则方程的通解
＝（）.
注：将第一、二大题的答案填在下面的答题栏内，否则不得分
选择题答题栏
1
2
345填空题 Nhomakorabea题栏1
2
3
4
5
注：将第一、二大题的答案填在上面的答题栏内，否则不得分
三、计算题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
1．
2．
3． 求
4．设 由方程 确定，求
3．函数 在定义域上的最大值是；
4．曲线 的渐近线为；
5．曲线在 在 处的曲率为；
6． ；
7． 的带有佩亚诺型余项的3阶麦克劳林公式为.
七、（本题共2小题，每小题5分，满分10分）
1．设 在闭区间 上二次可微，且 ，
证明 在 上是单调增加的.
2．(1)叙述拉格朗日中值定理的条件和结论；
(2)证明若函数 在x=0处连续，在 内可导，且 ,则
存在，且 .
1．当 时， 是比 高阶的无穷小，则〖〗．
（A） ；（B） ；
（C） ；（D）
2．设函数 在 的某个邻域内连续，且 , ，则在 处 〖〗．
（A）不可导；（B）可导，且 ；
（C）取得极大值；（D）取得极小值.
3．曲线 〖〗．
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷（一）一、选择题（共12分）1. (3分）若为连续函数,则的值为（ )。
（A）1 (B)2 (C）3 （D)-12。
(3分）已知则的值为（）。
(A)1 （B）3 (C)—1 （D）3。
（3分）定积分的值为（）。
（A)0 (B）-2 (C)1 （D)24. （3分)若在处不连续，则在该点处（）.（A)必不可导（B）一定可导（C）可能可导（D）必无极限二、填空题（共12分)1．（3分）平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为的曲线方程为 .2。
（3分） .3. (3分） = .4. （3分）的极大值为。
三、计算题（共42分)1.（6分）求2.（6分）设求3.（6分)求不定积分4.（6分）求其中5.（6分）设函数由方程所确定，求6.（6分)设求7.（6分）求极限四、解答题(共28分）1.（7分）设且求2.（7分）求由曲线与轴所围成图形绕着轴旋转一周所得旋转体的体积.3.（7分）求曲线在拐点处的切线方程。
4.(7分)求函数在上的最小值和最大值。
五、证明题（6分)设在区间上连续,证明（二）一、填空题（每小题3分，共18分）1．设函数，则是的第类间断点.2．函数，则。
3．.4．曲线在点处的切线方程为. 5．函数在上的最大值,最小值.6．.二、单项选择题(每小题4分,共20分)1．数列有界是它收敛的（) .必要但非充分条件; 充分但非必要条件;充分必要条件；无关条件。
2．下列各式正确的是（）。
; ；；。
3．设在上，且，则曲线在上。
沿轴正向上升且为凹的；沿轴正向下降且为凹的；沿轴正向上升且为凸的；沿轴正向下降且为凸的. 4．设，则在处的导数（）.等于；等于；等于；不存在.5．已知，以下结论正确的是（).函数在处有定义且；函数在处的某去心邻域内有定义;函数在处的左侧某邻域内有定义；函数在处的右侧某邻域内有定义.三、计算（每小题6分，共36分)1．求极限：.2。
已知，求。
3. 求函数的导数。
《高等数学A1》2019-2020学年第一学期期末试卷A卷
中国矿业大学(北京)2019-2020学年第一学期《高等数学A1》试卷（A卷）参考解答一、填空题（每题3分，共30分）1.设()f x在x a=处可导，且()0f a>，则1()lim()nnf anf a→∞⎡⎤+⎢⎥=⎢⎢⎥⎣⎦()()f af ae'.2.曲线32535y x x x=-++的拐点为520(,)327.3.函数32(1)(1)xyx+=-的斜渐近线为5y x=+.4.函数11()1xxf xe-=-的第一类间断点为0x=，第二类间断点为1x=，连续区间为(,0)(0,1)(1,)-∞+∞.5.设函数2()(2019)(2020)f x x x x=--，则()f x'的零点个数为3.6.设()f x对任意x均满足(1)()f x a f x+=，且(0)f b'=，其中,a b为非零常数，则(1)f'=ab.7.积分x⎰8.设()f x在[,]a b上有二阶导数，且()0f x''<，则()f a'，()f b'，()()f b f ab a--三者从大到小的顺序为()()()()f b f af a f bb a-''>>-.9.k=3-时，定积分52991()sin()d0x k x k x++=⎰.10.sin()dxktx ttα=⎰与1sin()(1)dxtx t tβ=+⎰是0x→时的等价无穷小，则k=1e.二、求下列极限(每小题6分共12分)1.3tan(tan)sin(tan)limxx xx→-.解：3tan(tan)sin(tan)limxx xx→-=3tan(tan)[1cos(tan)]limxx xx→-231tan tan12lim.2xx xx→⋅==2.22limn→∞⎛⎫++.222≤≤所以222111n n ni i i===≤∑∑而21(1)(21)16lim lim3nn nin n n→∞→∞=++==,21(1)(21)16lim lim3nn nin n n→∞→∞=++==故221lim3n→∞⎛⎫+=.三、计算下列导数和微分（每小题6分共12分)1.设()f x 二阶可导，且22()lim{[()()]sin }t xF x f x f x t t t →∞=+-⋅⋅，求d ()F x .解：因为2()()sin()lim 22t x f x f x t t F x x xt t→∞+-=⋅⋅2()x f x '=，所以d ()[2()2()]d F x f x x f x x '''=+.2.设23221()(1)arctan1x f x x x x x -=+-+-，求)1('f ．解：根据导数的定义)1('f 2321121(1)arctan1()(1)1limlim11x x x x x f x f x x x x →→-+---+-==--32121lim(1arctan )214x x x x x π→-=++=++-.四、计算下列积分（每小题6分共12分)1.d x⎰t =,则d x ⎰2e d t t t=⎰2de tt =⎰2e 2e ttt C =-+C =-+.2.已知50sin ()d xtf x t tπ=-⎰，求0()d f x x π⎰.解：利用分部积分有()d f x x π⎰00()()d x f x x f x xππ'=-⎰50sin d x x x πππ=-⎰50sin d xx xxππ-⋅-⎰50sin ()d xx x xπππ=-⋅-⎰50sin d x xπ=⎰2502sin d x x π=⎰4216215315=⋅⋅⋅=.五、（8分）求星形线33cos (0)sin x a t a y a t ⎧=>⎨=⎩在4t π=时，对应点处的曲率.解：22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d yy a t tt y t x x a t t t'====--，4tan14t y ππ='=-=-.224d d()d sec 1d d 3cos sin 3cos sin d y x t ty x a t t a t tt -''===--，4413cos sin44t y a πππ=''==所以曲率322||23(1)y k ay ''=='+.六、（8分）设()y f x =由3222221y y xy x -+-=确定，试求()y f x =的驻点，并判断它是否是极值点.解：对3222221y y xy x -+-=两边关于x 求导得2320y y yy y xy x '''-++-=(※)令0y '=得y x =，代入原方程得32210x x --=，解之得唯一驻点1x =.将1x =代入原方程得1y =.再对(※)式两边关于x 求导得22(32)2(31)210y y x y y y y ''''-++-+-=于是得(1,1)102y ''=>，所以驻点1x =是()y f x =的极小值点.七、（9分）设()f x 在[0,1]上可导，且满足120(1)2()d f xf x x =⎰，证明：存在(0,1)ξ∈，使()()f f ξξξ'=-.证明：由积分中值定理得，存在11(0,)2ξ∈，使12110(1)2()d ()f xf x x f ξξ==⎰即11(1)()f f ξξ=.令()()F x xf x =，则()F x 在1[,1]ξ上连续，在1(,1)ξ上可导，且1(1)()F F ξ=，根据罗尔定理，至少存在一点1(,1)ξξ∈使()0F ξ'=，即()()0f f ξξξ'+=，故()()f f ξξξ'=-.八、（9分）设函数()y f x =在0x ≥时为连续非负函数，且(0)0f =.()V t 表示()y f x =，(0)x t t =>及x 轴所围图形绕直线x t =旋转一周所得的体积，求()V t ''.解：利用柱壳法d ()2()()d V t t x f x x π=-，所以0()2()()d tV t t x f x xπ=-⎰02()d 2()d t tt f x x x f x xππ=⋅-⎰⎰于是()2()d 2()2()tV t f x x t f t t f t πππ'=+-⎰故()2()V t f t π''=.。
学第一学期期末试卷检查工作总结
教学督导组2010－2011学年第一学期期末试卷检查情况通报根据教务处《关于做好2010-2011学年第一学期期末考试试卷检查工作的通知》的要求，教学督导组于4月1日至4月15日对全校21个院（系、部）上学期期末考试试卷进行了检查。
本次检查按各院（系、部）试卷装订数量10%的比例进行抽查，最低基数为3本，全校共抽查试卷123本。
各院系抽查试卷检查情况如下：2010－2011学年第一学期各院（系、部）期末试卷抽查情况一览表（说明：①A、B、C、D、F五个等级所对应的分数为5、4、3、2、1，总分为各等级的平均分。
②公共课试卷命题错误、答案错误，责任在院（系、部），从总分中扣0.1分。
）从抽查结果看，全校总平均分为3.8分，比上学期的3.61分高出0.19分，各等级所占抽查总数比重与上学期相比情况见下表：2009－2010学年第二学期与2010－2011学年第一学期试卷抽查结果各等级比重对比表从上表中可以看出，本学期与上学期相比，A级比重虽稍有下降，但B级比重增长较大，同时，C级、D级和F级的比重均有所减少，总体趋势表明试卷工作整体质量有所提高。
虽然试卷工作整体质量有所提高，但问题仍然较多，为了便于各院(系、部)教学管理人员和全体教师，对试卷命题、批改、成绩录入、考试与试卷相关材料的填写、整理装订等环节中存在的问题有比较全面的了解，我们将本次试卷检查中存在的问题，分类整理如下：一、封面1.封面填写的课程名称与试卷印制的课程名称不一致，如：中文系的2本试卷，封面上都是《现代汉语》，但试卷印制的课程名称，一门是《现代汉语（上）》，一门是《现代汉语（下）》，这是2门不同课程的试卷；《大学英语》有(一)、(二)、(三)、(四)四级，因此，必须在课程名称中标明是几级大学英语。
2.课程代码填写不正确，如政治学系《社会主义市场经济理论与实践》试卷，封面填写的课程代码为“(2010-2011-1)ZJ61010-97074-1”，正确的课程代码是“ZJ61010”。
高等数学期末考试试题及答案(大一考试)
五、设函数由方程确定,求.（8分）六、若有界可积函数满足关系式，求。
(8分）七、求下列各不定积分（每题6分，共12分）（1）.八、设求定积分。
（6分）九、讨论函数的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标.（10分)十、求方程的通解（6分)十一、求证：.（5分）第一学期高等数学（上)（A）卷分标准题3分，共15分）2。
B 3。
D 4。
B 5.D分，共18分）为任意常数)，4. 2 , 5。
6。
分 (6)分解：………………3分…………….6分 (8)导 (3)数）…………6分分解：（1）。
……。
.3分 (6)分分=……………6分时有极大值2,有极小值。
在上是凸的,在上是凹的，拐点为(0,0）………10分十、解；…………………..3分设方程（1）的解为代入（1)得………5分…………………….6分十一、证明：令………………1 分又…。
3分的图形是凸的，由函数在闭区间连续知道最小值一定在区间端点取到。
,所以…………。
5分.（2010至2011学年第一学期)一、单项选择题（15分，每小题3分）1、当时，下列函数为无穷小量的是( ）(A）（B) （C）（D)2．函数在点处连续是函数在该点可导的（）（A）必要条件（B）充分条件（C)充要条件（D)既非充分也非必要条件3．设在内单增，则在内（）（A）无驻点(B）无拐点(C）无极值点(D）4．设在内连续，且,则至少存在一点使（）成立。
（A）（B）（C）(D）5．广义积分当( ）时收敛。
（A) （B) (C）(D）二、填空题（15分，每小题3分）1、若当时，，则;2、设由方程所确定的隐函数,则；3、函数在区间单减;在区间单增；4、若在处取得极值，则;5、若，则；三、计算下列极限.（12分,每小题6分）1、2、四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）1、,求2、，求五、计算下列积分(18分，每小题6分）1、2、3、设，计算六、讨论函数的连续性，若有间断点，指出其类型。
（7分)七、证明不等式:当时，（7分）八、求由曲线所围图形的面积。
2010-2011秋季高数A试题(A卷)答案
中国农业大学2010 ~2011学年秋季学期高等数学A 课程考试试题(A 卷)答案 2011/01(注意：本试卷共有八道大题，满分100分，考试时间100分钟)一、单项选择题(本题共有4道小题，每小题3分，满分12分)，请将合适选项填在括号内．1．设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是【 D 】.（A ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =（C ）若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在 （D ）若0()()lim x f x f x x →--存在，则(0)f '存在.2. 设20()sin x f x tdt =⎰，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的【 A 】.（A ）高阶无穷小 （B ）同阶但非等价无穷小 （C ）等价无穷小 （D ）低阶无穷小. 3. 设()x f 是[]a a ,-上的连续函数，则()()cos a af x f x xdx ---⎡⎤⎣⎦⎰=【 B 】.（A ）1 （B ）0 （C ）-1 （D ）无法计算.4. 下列选项正确的是【 C 】.(A) ⎰-1121dx x = 2 (B) ⎰-1121dx x = - 2(C) dx x ⎰-1121 不存在 (D) dx x⎰-1121= 0 . 二、填空题(本题共有4道小题，每小题3分，满分12分)，请将答案填在横线上． 1. 已知0sin lim3(2)x kxx x →=-+，则k 的值等于 -6 .2.已知cos x x 是()f x 的一个原函数，则cos ()d x f x x x ⋅=⎰____21cos ()2x C x+_______.3. 计算定积分10x =⎰______4π_____________.4. )(x f y =是偶函数，在曲线)(x f y =上点（1，2）处的切线方程为053=+-y x ，则曲线在点（-1，2）处的切线方程为___053=-+y x ________________. 三、计算下列各题（本题共有4道小题，每小题6分，满分24分）.1．求极限 30sin lim x x xx→-. 解：33300sin 6lim lim x x x x xx x →→-= ……………………………3分16= ……………………………6分 2．求参数方程231x t y t ⎧=+⎨=⎩（t 为参数）所确定的函数()y f x =的导数22,dy d ydx dx . 解：23322dy t tdx t == ……………………………3分 '223()3224t d y dx t t== ……………………………6分 3. 求不定积分ln d x x x⎰. 解：ln d ln d(ln )xx x x x=⎰⎰ ……………………………3分 2(ln )2x C =+ ……………………………6分4. 已知0()()()d xF x x t f t t =-⎰，求()F x 的二阶导数.解： 0()()()d ()d ()d x x xF x x t f t t xf t t tf t t =-=-⎰⎰⎰ ……………………………2分()[()d ()d ]()d ()()()d x x x xF x x f t t tf t t f t t xf x xf x f t t ''=-=+-=⎰⎰⎰⎰ ………………………4分()(()d )()xF x f t t f x '''==⎰ ……………………………6分四、（本题满分10分）求函数xn e n x x x y -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=!!212 的极值 (其中n 为正奇数).解：xn xn e n x x x en x x x y ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++='!!21)!1(!21212xn e n x --=!， ……………………………3分驻点为0x =， ……………………………5分由于n 为正奇数，当0x <时，0<nx ，故,0>'y 故y 单调上升 ； ……………7分当0x >时，0>n x ，故,0<'y 故y 单调递减 ； ……………………………9分因此0x =为函数的极大值点，且极大值为(0)1y =. ……………………………10分五、（本题满分10分）设()f x 在[0,1]上连续，且()1f x <，证明02()d 1xx f t t -=⎰在[0,1]上只有一个解. 证明：（1）存在性()2()d 1xF x x f t t =--⎰ ……………………………2分(0)1,F =- ……………………………3分1(1)1()1()0F f x dx f ξ=-=->⎰ ……………………………4分函数()f x 在[0,1]上连续，根据介值定理，则存在(0,1)ξ∈，使得()0F ξ=. ……………………………6分（2）唯一性()2()0F x f x '=->， ……………………………8分函数()F x 在[0,1]上单调增加，从而()F x 在[0,1]有唯一的根.……………………10分六、（本题满分10分）求经过三点123(1,1,1),(2,0,1),(1,1,0)P P P --的平面方程. 解：法一：12(1,1,0),PP =-13(2,2,1)PP =--- ……………………………2分 取1213110(1,1,4),221ij kn PP PP =⨯==-=---- ……………………………6分平面方程为(1)(1)4(1)0,x y z -+---= ……………………………10分整理得420.x y z +-+= ……………………………10分法二：所求平面的方程为1111100221x y z ----=--- 整理得420.x y z +-+=七、（本题满分10分） 设函数()f x 在[]0,1上可微，且满足()()-=⎰12012d 0,f x f x x 证明在()0,1内至少存在一点ξ，使'=-()()f f ξξξ.证明: 作辅助函数 )()(x xf x =ϕ， ……………………………2分根据积分中值定理，由-=⎰120(1)2()d 0f x f x x 得到 -⋅=1(1)2()02f c f c即()()1f c f c = ……………………………5分 显然，)(x ϕ在[,1]c 上连续，在(,1)c 内可导，且()(1)c ϕϕ=，可见，)(x ϕ满足罗尔定理，…………………………7分所以，在(),1(0,1)c ⊂内至少有一点ξ，使0)()()(=ξ'ξ+ξ=ξϕ'f f . 即 '=-()()f f ξξξ. ……………………………10分八、（本题满分12分）求曲线22y x x =-与0,1,3y x x ===所围成的平面图形的面积S ，并求该图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.解：22221112(02)(2)3S x x dx x x dx =-+=-=⎰⎰. ……………………………2分 32224(2)3S x x dx =-=⎰. ……………………………4分 所以1224233S S S =+=+=. ……………………………6分 平面图形1S 绕y 轴旋转一周所得的体积为：21111(16V dy πππ-=+-=⎰. ……………………………8分平面图形2S 绕y 轴旋转一周所得的体积为：232204333(16V dy πππ=⋅⋅-+=⎰. ……………………………10分 旋转体的体积为121143966V V V πππ=+=+=. ……………………………12分 或222111112()2(2)6V xf x dx x x x dx πππ==-=⎰⎰. 332222432()2(2)6V xf x dx x x x dx πππ==-=⎰⎰. 旋转体的体积为121143966V V V πππ=+=+=.。
2010-2011第一学期末考试参考答案
2010—2011学年第一学期高等数学期末考试试题参考答案一、选择题（每小题4分，共20分）BBADD二、填空题（每小题4分，共20分）1、x cot2、03、xx x f 1)(+= 4、 232x e x 5、7 三、计算题（每小题5分，共10分）1、 xx x 21lim ++∞→ 解：原式＝ 11lim 2++∞→x x ――――――――――------―--――3’ ＝１ -----------------------------------------5’2、设x e y cos =，求y ''.解：)sin ('cos x e y x -=――――――――――――--------------―3’)cos (sin cos 2cos x e x e y x x -+='' ----------------------------5’四、计算题（每小题6分，共30分）1、求 ⎰+dx xx x 2cos 1cos sin 解：原式 =)cos 1(cos 112122x d x++-⎰―――――――――――――5’ = C x ++-)cos 1ln(212------------------------------6’ 2、求⎰dx xx ln ln 解：令x u ln =,则原式＝⎰udu ln ――――――――――---―――４’＝C u u u +-ln ―――――---――――---―5’＝C x x x +-ln ln ln ln -—--——------------6’3、求 dx x x x ⎰++31222121)( 解：原式＝dx x x x x ⎰+++312222)1()1(――――――――――――------―２’＝3131|)1(|arctan xx -+――――――――――――------―5’ =13312+-π-—--——-------------------------------6’ 4、求⎰-++3342251dx x x x x sin 解：因为积分函数为奇函数及积分区间关于原点对称，故积分为０. --6’ 5、求 2001xdt t xx ⎰+→)ln(lim解： 原式＝xx x 2)1ln(lim 0+→ ―――――――――――----――--―5’ ＝21 --——--------------------――---------－--6’ 五、(10分) 求由抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的图形的面积. 解：如图（２分）阴影部分面积 292212=-+=⎰-dx x x S -------------------------１０’ 六、(10分) 某企业生产某种商品,假设产量等于销售量,都用q 表示,商品单价用p （单位：元）表示.设销售量q 是单价p 的函数，;8012000p q -=而商品的总成本C 又是产量q 的函数,q C 5025000+=.每销售一件商品需要纳税2元，试求(1) 总收益)(p R 和总利润)(p L 的表达式；(2) 使销售利润最大的商品单价p 和最大利润额。