随机信号分析 - 电子科技大学成都学院在线学习平台
电子科技大学随机信号分析中期考题(2011)中期考试评讲
一.（10分）设随机变量X 的概率密度为1,01()0,x f x other ≤≤⎧=⎨⎩，求：1． 41Y X =+的概率密度； （5分）2． Y 的数学期望、方差。
（5分）解：1、41Y X =+14Y X -= 14dX dY =()()Y X dx f y f x dy =⋅1,1540,y other ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩2、 []1012E X xdx ==⎰，122013E X x dx ⎡⎤==⎣⎦⎰[][]221113412D X E X E X ⎡⎤=-=-=⎣⎦[][]1414132E Y E X =+=⨯+= [][][]441163D Y D X D X =+==二、 （10分）若随机变量X 的概率特性如下，求其相应的特征函数：（1）X 为常数c ，即{}1P X c ==；（3分）（2）（－3，3）伯努利分布：()0.4(3)0.6(3)f x x x δδ=-++（3分）（3）指数分布：303(),0xx e f x -≥⎧=⎨⎩其他（4分） 解：（1）()jvX jvc jvc X v E e E e e φ⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦（2）()0.4(3)0.6(3)f x x x δδ=-++()3333()0.40.60.40.6jv jvX jv X j v j v v E e e e e e φ--⎡⎤⎢⎥⎣⎦==⨯+⨯=+（3）303(),0xx e f x -≥⎧=⎨⎩其他33(),()33X X v v jv jv φφ-==+-三、（15分）设有随机过程()cos X t A t π=，其中A 是均值为零，方差是2的正态随机变量，求：（1） X(t)的均值函数和自相关函数；（4分）（2） X(1)和14X ⎛⎫ ⎪⎝⎭的概率密度函数；（8分）（3） X(t)是否为广义平稳随机过程？（3分）解：（1）[()][cos ][]cos 0E X t E A t E A t ππ=== 2(,)[cos ()cos ][]cos ()cos 2cos ()cos cos (2)cos X R t t E A t A t E A t tt tt τπτππτππτππτπτ+=+=+=+=++与t 有关(2 ) 注意正态随机变量的线性变换仍然是正态随机变量。
电子科技大学随机信号分析CH2习题及答案
2.12.22.3 掷一枚硬币定义一个随机过程：cos t 出现正面X(t)2t 出现反面设“出现正面” 和“出现反面” 的概率相等。
试求：( 1 ) X(t) 的一维分布函数F X (x,12) ，F X (x,1)；(2) X(t)的二维分布函数F X ( x1, x2 ;1 2,1) ；(3)画出上述分布函数的图形。
2.3 解：1)一维分布为:F X (x;0.5) 0.5u x 0.5u x 1F X (x;1) 0.5u x 1 0.5u x 2X (0.5) 0, X (1) 1 , 依概率 0.5发生X (0.5) 1, X (1) 2 ,依概率 0.5发生 二维分布函数为F ( x 1, x 2 ;0.5,1) 0.5u x 1,x 2 1 0.5u x 1 1,x 2 22.4 假定二进制数据序列 {B(n), n=1, 2, 3, , .} 是伯努利随机序列， 其每一位数据对 应随机变量 B(n) ，并有概率 P[B(n)=0]=0.2 和P[B(n)=1]=0.8 。
试问，( 1)连续 4 位构成的串为 {1011}的概率是 多少？(2)连续 4 位构成的串的平均串是什么？( 3)连续 4 位构成的串中，概率最大的 是(2) cos X(t) c 2o t s 出现正面出现反面什么？( 4 )该序列是可预测的吗？如果见到10111后，下一位可能是什么？2.4 解：解：(1)P 1011P B n 1 P B n 1 0 P B n 2 1 P B n 3 10.8 0.2 0.8 0.8 0.10242)设连续 4 位数据构成的串为B(n) ，B(n+1) ，B(n+2) ，B(n+3) ，n=1, 2, 3,⋯.其中B(n) 为离散随机变量，由题意可知，它们是相互独立，而且同分布的。
所以有：3k串(4bit 数据)为：X (n) 2k B(n k)，k0其矩特性为：因为随机变量B(n) 的矩为：均值： E[B(n)] 0 0.2 1 0.8 0.802 0.2 12 0.8 0.8220.8 0.82 0.16 所以随机变量 X(n) 的矩为：均值：3E[X(n)] E k0332k E B(n k) 2k 0.8 12k 0 k 0方差：3k D[X(n)] D 2k B(n k) k03 2 3 2k 2 D B(n k) 4k 0.16 13.6k 0 k 0如果将 4bit 串看作是一个随机向量 ， 则随机向量的均值和方差为： 串平均 ：B n ,B n 1 ,B n 2 ,B n 3 0.8,0.8,0.8,0.8方差：Var B(n) Bn 2Bn 2k B(n k)串方差：Var B n ,B n 1 ,B n 2 ,B n 30.16,0.16,0.16,0.163) 概率达到最大的串为1,1,1,14) 该序列是不可预测的,因为此数据序列各个数据之间相互独立，下一位数据是0 或1，与前面的序列没有任何关系。
电子科技大学随机信号分析课件 第2章 随机信号
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自相关函数描述的是随机信号任意两个时刻 的状态之间的内在联系。
R(t1 , t2 ) E X (t1 ) X (t2 )
x1 x2 f ( x1 , x2 ; t1, t2 )dx1dx2
4、自协方差函数和相关系数函数 自协方差函数是随机信号任意两个时刻的随机 变量的二阶混合中心矩。反映了任意两时刻 的起伏值之间的相关程度。
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基本概率特性
一、一维概率分布 随机信号 X (t ) 在任意 t T 时刻的取值 X (t ) 是一维随机变量。概率 PX (t ) x 是取值 x ，时 刻 t 的函数，记做
F ( x; t ) PX (t ) x
称为随机信号 X (t ) 的一维概率分布函数。 若有F ( x; t ) 偏导数存在，则有
p 0.5 p 0.5
p 0.5 p 0.5
f ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) 0.25 ( x1 cos(500 t1 ), x2 cos(500 t2 ))
0.25 ( x1 cos(500 t1 ), x2 sin(500 t2 ))
物理意义：描述了所有样 本函数在各个时刻的摆动 中心。
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2、均方值函数和方差函数 随机信号X(t)在任一时刻t的取值是一个随 机变量X(t)。 X(t)的二阶原点矩称为随机信号 的均方值函数；二阶中心矩称为随机信号的方 差函数。
2 X (t ) VarX (t ) E( X (t ) X (t ))2
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基本数字特征
随机变量的矩函数是确定值；随机信号的矩函 数是确定性时间函数。
西安电子科技大学 电院 《随机信号分析》大作业
一、用matlab语言产生一个随机白噪声序列的样本序列X(n)，要求
3.用遍历性估计X(n)的自相关序列R X(m)，画出R X(m)的图像。
二、将一中产生的序列通过一个线性系统，其单位脉冲响应为h(n)=0.9n，n=0，
1，…，100
三、比较X(n)与Y(n)的幅度分布直方图，发生了什么变化。
分析其变化的原
因。
随机信号经过线性系统后，不会增加新的频率分量，但是输出的幅度和相位会发生变化。
白噪声X(n)的幅度基本相同，而Y(n)的幅度基本呈正态分布。
因为均匀白噪声是一种宽带非正态过程，所以通过一有限带宽线性系统后，输出Y(n)近似呈正态分布。
——via 1402011 赵春昊。
电子科技大学随机信号分析课件 第1章 随机变量与随机向量
2
2.通过随机变量，基本可能 结果给定的事件及其概率， 变成了随机变量取值给定的 事件及其概率
样本空间 S 随机变量 s1
随机变量值域RV x1 x2 xi
s2 si
X (s)
1.通过随机变量， 样本空间S映射成 了随机变量的值 域Rv
3
常见的两类随机变量：离散型与连续型
ae ax f ( x) 0 x0 其它
a
a e
f (x)
x
1 5、正态（高斯）分布 正态分布的随机变量X，其均值为 a ，方差 为 2 ，其概率密度函数为
f ( x)
( x a) 2 exp 2 2 2 2 1
f ( x)
1 x2 e 2
3、均匀分布 随机变量X，取值 x a, b 。若X在 a, b 范围内 各处出现的可能性相同，则称X在 a, b 均匀分布。
1 f ( x) b a 0 x a, b 其它
1 ba
f (x)
x
a
b
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4、指数分布 指数分布随机变量X，其概率密度函数为
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X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。 当固定a时，σ 越大，曲线的峰越低，落在a附
近的概率越小，取值就越分散， ∴ σ 是反映X的取值分散性的一个指标。
在自然现象和社会现象中，大量随机变量 服从或近似服从正态分布。
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例 设某地区男子身高 ， X (cm) ~ N (169 .7,4.12 ) （1）从该地区随机找一男子测身高，求他的身高 大于175cm的概率。 （2）若从中随机找5个男子测身高,问至少有一人 身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身高大于 175cm的概率为多少？ 解：（1） X 175 1 PX 175 1 FX (175) P 为了用书末的概率积分表计算 FX (x) ，需要对 X F 归一化， (x)是归一化的正态概率密度函数。
电子科技大学随机信号分析CH3习题及答案
3.1 随机电压信号()U t 在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函数是高斯的、均值为0，方差为2，试求：（1）密度函数();f u t 、()1212,;,f u u t t 和()1212,,...,;,,...,k k f u u u t t t ，k 为任意整数；（2）()U t 的平稳性。
3.1解： (1)21(;)exp{}4uf u t =-1,2121,12,22212(;,)()()1exp{}44f u u t t f u t f u t u u π=+=-1,212,121(,,;,,)()1exp{}4kk k i i i kii f u u u t t t f u t u====-∏∑(2)由于任意k 阶概率密度函数与t 无关，因此它是严平稳的。
也是严格循环平稳的；因为是高斯随机信号，所以()U t 也是广义平稳的和广义循环平稳的。
3.23.33.4 已知随机信号()X t 和()Y t 相互独立且各自平稳，证明新的随机信号()()()Z t X t Y t =也是平稳的。
3.4解：()X t 与()Y t 各自平稳，设[()]X m E X t =，[()]Y m E Y t =，()[X ()X ()]XRE t t ττ=+，()[Y ()Y ()]Y R E t t ττ=+Z ()[Z()][()Y ()][()][()]XYm t E t E X t t E X t E Y t mm ===⨯=，为常数(,)[Z()Z()][()Y ()()Y ()][X ()()][Y ()()]()()()Z X Y Z R t t E t t E X t t X t t E t X t E t Y t R R R τττττττττ+=+=++=+⋅+=⋅=∴()Z R τ仅与τ有关，故Z()()Y()t X t t =也是平稳过程。
3.5 随机信号()()010sin X t t ω=+Θ，0ω为确定常数，Θ在[],ππ-上均匀分布的随机变量。
电子科大随机信号分析CH1概率论基础
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✓ 随机试验（Random Experiment）： 对随机现象做出的观察与科学实验。 E
随机实验的特点：
a.不唯一性
b.不确定性
c. 可重复性
✓ 样本点 （ Sample Point ）
把随机实验 E 的每一个基本可能结果称为随机实验的 样本点，记为ξ 。
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u x, y u xu y x, y x y
z u x xi , y y j
y
yj
xi
x
z x xi , y y j
y
yj x
xi
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6) 边缘分布
边缘分布函数：
FX ( x) F ( x,) FY ( y) F (, y)
边缘概率密度：
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2. 随机变量的概率分布函数(累积分布函数) Probability Distribution Function
✓ 定义 FX (x) F (x) P[ X x]
x
即，F(x) 是R.V.X.落在区间 (, x] 上的概率。
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✓ 性质
1) F(x)是x的单调递增函数,即 F ' (x) 0
3,4，5，6,1，2，3，4,5, ，2，3，4,5,6,
概率 P A k , k为事件A包含的样本点数
6
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2. 条件概率
条件事件： B A 事件A发生条件下的事件B
条件概率（Conditional probability），
PB
A
P AB P A
电子科技大学随机信号分析中期考题2010期末随机B
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……一、随机变量X 具有下列特征函数，求其概率密度函数、均值和均方值。
1、2424()0.20.30.20.20.1j vj v j v j v X v ee e e --Φ=++++概率密度函数()Zf z 。
2、sin 5()5X vv vΦ=。
解：1、()()()()()()0.20.320.240.220.14f x x x x x x δδδδδ=+-+-++++()()()(0)/20.340.220.240.10.6E X j φ'==⨯+⨯+-⨯+-⨯=()()()22222(0)20.340.220.240.1 6.8E X φ''=-=⨯+⨯+-⨯+-⨯=2、sin 512sin 5()510v vv v vφ==⨯，利用傅里叶变换公式，可知这是均匀分布， ()1,55100,x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他()0E X =, ()21025123Var X ==,()()()22253E X Var X E X =+=。
二、设质点运动的位置如直线过程()X t Kt A =+，其中(0,1)K N 与(0,2)A N ，并彼此独立。
试问： 1、t 时刻随机变量的一维概率密度函数、均值与方差？。
2、它是可预测的随机信号吗？ 解：(1)独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布[()][][][]0E X t E Kt A tE K E A =+=+=22[()][][][]2D X t D Kt A t D K D A t =+=+=+所以它的一维概率密度函数为:22(;)}2(2)X x f x t t =-+(2) 此信号是可预测随机信号221212121212(,)[()()][()()][]()[][]X R t t E X t X t E Kt A Kt A E K t t t t E KA E A ==++=+++124t t =+，12121112(,)(,)[()][()]4X X C t t R t t E X t E X t t t =-=+，故此信号是可预测随机信号。
电子科技大学2009年随机信号分析试题B与标准答案
cos(2ωt + ωτ + 2θ ) f Ω ,= 0 Φ (ω , θ ) dθ d ω
∴R = X (t + τ , t ) = a2 2
a2 a2 E [ cos(2Ωt + Ωτ + 2Θ) + cos(Ωτ ) ] = E [ cos(Ωτ ) ] 2 2
∫
∞
−∞
cos(ω ′τ ) f Ω (ω ′)dω ′
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2
学院_______________________
姓名____________
学号________________
任课老师____________
选课号______________
………….……密 …..……….封……..……线 ………..…以………..…内………....答 …………...题…………..无……. …….效…..……………..
∞ cos(ω ′τ )e − jωτ dτ f (ω ′)d ω ′ ∫−∞ ∫−∞ Ω
∞
∫
∞
−∞
π δ (ω − ω ′ ) + δ (ω + ω ′ ) f Ω (ω ′)d ω ′
由于 δ (ω ′), f Ω (ω ′) 为偶函数，所以
= π a2 ∫ δ (ω − ω ′ ) + δ (ω + ω ′ ) f Ω (ω ′)dω ′ 0
120 分钟） 考试形式： 一页纸开卷 10 卷面 成绩 分， 实验 期中 成绩 期末 成绩 0 平时 成绩
课程成绩构成：平时
分， 期末 实验 成绩
一
二
三
四
五
六
七
电子科技大学随机信号分析中期考题2006随机(A)
1.设随机过程21)(cos )(2-Θ+=t t X ω，Θ 是随机变量，其特征函数为)(υφΘ。
证明：)(t X 是广义平稳随机过程的充要条件是0)4()2(==ΘΘφφ。
证明：（1）)(t X 的均值为：()21()[()][cos ()]2111[1cos 2()][cos(22)]22211cos(2)[cos(2)]sin(2)[sin(2)]22X m t E X t E t E t E t t E t E ωωωωω==+Θ-=++Θ-=+Θ=Θ-Θ由上式可知，当且仅当0)]2sin()2[cos(][)2(2=Θ+Θ==ΘΘj E e E j φ时，()0X m t =，才与t 无关。
（2）)(t X 的相关函数为：22(,)[()()]11[(cos ())(cos ())]2211[cos(222)cos(22)]22[cos(2)][cos(424)]811cos(2)cos(42)[cos(4)]881sin(42)][sin(4)]8X R t t E X t X t E t t E t t E E t t E t E ττωωτωωωτωωτωωτωτωωτωωτ+=+=++Θ-+Θ-=++Θ⨯+Θ+++Θ==++Θ-+Θ同理可得，当且仅当0)]4sin()4[cos(][)4(4=Θ+Θ==ΘΘj E eE j φ时，)cos(21),(ωττ=+t t R X 与t 无关。
2.设随机过程)sin()(0Θ+Ω=t A t X ，其中0A 为常数，ΘΩ和为相互独立的随机变量，Ω在]2010[ππ内均匀分布，Θ在]20[π内均匀分布。
证明：（1） )(t X 是广义平稳随机信号；（2） )(t X 的均值是各态历经的。
解： （1）00000[()][sin()][sin()cos()cos()sin())][sin()][cos()][cos()][sin())]0E X t E A t E A t A t A E t E A E t E =Ω+Θ=ΩΘ+ΩΘ=ΩΘ+ΩΘ= 202020(,)[()()][sin()sin()]cos()cos(22)2cos()2X R t t E X t X t A E t t t A E A E ττττττ+=+=Ω+Ω+ΘΩ+ΘΩ-Ω+Ω+Θ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Ω⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所以)(t X 是广义平稳随机信号 （2）[]00000001[()][sin()]lim sin()lim sin()lim cos()|0TT T T T T A X t A A t A t dtT A A t d t t T T →+∞→+∞→+∞=Ω+Θ=Ω+Θ=Ω+ΘΩ=-Ω+Θ=ΩΩ⎰⎰时间平均等于统计平均，所以)(t X 的均值是各态历经的。
电子科技大学随机信号分析中期考题09随机目A
学院 姓名 学号 任课老师 选课号……………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效…………1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数： （1）122X X X =+ （2）12536X X X =++解：（1）()121222()jv X X jvX jv X jvXX v E e E e E e e φ+⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦1221212()(2)jvX jv X X X E e E e v v φφ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦和独立（2）()1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++⎡⎤⎡⎤==⋅⋅⎣⎦⎣⎦1253612jv X jv X jv X X E e E e E e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦和独立 612(5)(3)jv e v v φφ=2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问： （1） 信号的均值函数()E X t ⎡⎤⎣⎦； （2） 信号的自相关函数(),X R t t τ+； （3） 信号的一维概率密度函数();X f x t 。
解：（1）()10.410.60.2X t E =-⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦(2) 当,t t τ+在同一个时隙时：[]222(,)()()[()]10.6(1)0.41X R t t E X t X t E X t ττ+=+==⨯+-⨯=当,t t τ+不在同一个时隙时：[][][](,)()()()()0.20.20.04X R t t E X t X t E X t E X t τττ+=+=+=⨯=（3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。
四川大学随机信号分析实验报告
随机信号分析基础实验报告课程随机信号分析基础实验题目随机信号通过线性系统学生姓名笔墨东韵专业电子信息科学与技术一、实验目的1.理解白噪声通过线性系统后统计特性的变化规律。
2.熟悉几种常用的时间序列。
二、实验内容1.白噪声通过线性系统后的统计特性分析。
（1）白噪声通过低通系统后的统计特性变化：对比输入输出的波形，自相关函数，功率谱密度，功率，互相关函数等；（2）白噪声通过不同带宽的低通系统后的概率密度；（3）窄带随机过程的产生与特性分析。
（调制，滤波）2.典型时间序列模型分析。
（1）模拟产生AR，ARMA模型序列，画出波形，并估计其均值，方差，自相关函数，功率谱密度；*（2）模拟产生指定功率密度的正态随机序列。
三、实验设备Matlab软件四、实验步骤以及实验结果分析1.白噪声通过线性系统后的统计特性分析。
>>l=(0:length(a2)-1)*200/length(a>>l=(0:length(a2)-1)*200/length(a2.典型时间序列的模拟分析模拟产生AR，ARMA模型序列：五、实验收获（本次实验的感受，对你的哪方面技能或知识有提高。
）本次实验我们收获很多，不仅理解了白噪声通过线性系统后统计特性的变化规律，同时也熟悉了如何使用matlab求信号的波形，自相关函数，功率谱密度，功率，互相关函数等等的统计特性。
深刻地理解到了线性系统对白噪声的影响。
除此之外，我们也深入地了解了AR 和ARMA模型序列。
最重要的是让我们加深了对课本知识的理解。
总之，本次实验我们受益匪浅。
电子科大随机信号分析2015随机期末试题答案A
电子科技大学2014-2015学年第 2 学期期 末 考试 A 卷一、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布的随机变量。
（ 共10分）1．画出该过程两条样本函数。
(2分)2．确定02t πω=，134t πω=时随机信号()X t 的一维概率密度函数，并画出其图形。
(5分)3．随机信号()X t 是否广义平稳和严格平稳？(3分)解：1.随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图2.1(a)所示：t2.当02tπω=时，()02Xπω=，()012P Xπω⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，此时概率密度函数为：(;)()2Xf x xπδω=当34tπω=时，32()42X Vπω=-，随机过程的一维概率密度函数为：232,0(;)240,Xxf xothersπω⎧-<<⎪=⎨⎪⎩3. ()[]1cos cos2E X t E V t tωω==⎡⎤⎣⎦均值不平稳，所以()X t非广义平稳，非严格平稳。
二、设随机信号()()sin 2X n n πφ=+与()()cos 2Y n n πφ=+，其中φ为0~π上均匀分布随机变量。
（ 共10分）1．求两个随机信号的互相关函数12(,)XY R n n 。
(2分)2．讨论两个随机信号的正交性、互不相关性与统计独立性。
(4分)3．两个随机信号联合平稳吗？(4分)解：1.两个随机信号的互相关函数()()()()()()()121212121212(,)sin 2cos 21sin 222sin 2221sin 2202XY R n n E X n Y n E n n E n n n n n n πφπφππφππππ=⎡⎤⎣⎦=++⎡⎤⎣⎦=+++-⎡⎤⎣⎦=-=其中()12sin 2220E n n ππφ++=⎡⎤⎣⎦2. 对任意的n 1、n 2 ,都有12(,)0XY R n n =，故两个随机信号正交。
电子科技大学2010年随机信号分析其中考试试题与标准答案
2 = RX ( t1 , t2 ) E A sin (ω0t1 + Φ ) sin (ω0t2 + Φ ) 2 A = E cos (ω0 ( t1 − t2 ) ) − cos (ω0t1 + ω0t2 + 2Φ ) 2 A2 cos (ω0τ ) (τ= t1 − t2 ) = 2
八、 （10 分）已知平稳信号 X (t ) 的自相关函数为
R= 6 exp(− X (τ )
τ
2
)；
对于任意给定的 t ，求信号四个状态 X (t ) ， X (t + 1) ， X (t + 2) ， X (t + 3) 的协方差矩阵。
2 = = lim R X (τ ) m 0 解： τ X →∞
= X (t ) A sin(ω 0t + Φ ) ， ω 0 为常数， Φ 是 [0, 2π ) 的均匀分布随机变量，讨论 四、 （15 分）已知随机信号
当 A 满足如下条件时，X(t)的广义平稳性。 1. A 为常数； （5 分） 2. A 为时间函数 A(t)； （5 分） 3. A 为随机变量且 A 与 Φ 独立。 （5 分） 解：1、当 A 为常数时，
Φ Z ( v ) = Φ X ( 3v ) ⋅ ΦY ( 2v ) e j10 v = a ⋅ q + pe j 2 v ⋅ e j10 v a − j 3v
三、(15 分)若随机过程 X(t)由四个样本函数{X(t) : 2，sint，-sint，cost}构成，各样本函数出现 概率相等，求： 1．X(t)数学期望； （5 分）
电子科大随机信号分析2013年随机信号分析试题A卷答案
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____ 分钟 课程成绩构成：平时 %， 期中 %， 实验 %， 期末 % 本试卷试题由_____部分构成，共_____页。
计算、简答、论述、证明、写作等试题模板如下一、若信号00()cos()X t X t ω=++Θ输入到如下图所示的RC 电路网络上，其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Θ为[0,2]π上均匀分布的随机变量，并且0X 与Θ彼此独立，Y (t )为网络的输出。
（ 共10分） （1）求Y (t )的均值函数。
(3分)（2）求Y (t )的功率谱密度和自相关函数。
(4分) （3）求Y (t )的平均功率。
(3分)RX图 RC 电路网路（1）RC 电路的传输函数为()1(1)H j j RC ωω=+()X t 的均值函数为[][][][]0000()cos()cos()1/2X m E X t E X t E X E t ωω==++Θ=++Θ=∴ Y (t )的均值函数为[()][()](0)1/2E Y t E X t H j =⋅=（2）000000(,)[()()][(cos())(cos())]11cos 32X R t t E X t X t E X t X t ττωωτωωτ+=+=+++Θ++Θ=+ ∴()X t 是广义平稳的。
∴()X t 的功率谱为：[]002()()()()32X S ππωδωδωωδωω=+-++ 功率谱传递函数：221|()|H j RC ωω=1+（）根据系统输入与输出信号功率谱的关系可得：………密………封………线………以………内………答………题………无………效……()[][]()2002002220()()()21()()321()2()()2(1)3Y X S S H j RC R C ωωωππδωδωωδωωωππδωωδωωδωω=⎧⎫=+-++⨯⎨⎬+⎩⎭=-++++ 求()Y S ω的傅立叶反变换，可得：0222011()cos 32(1)Y R R C τωτω=++（3）2222011(0)328Y Y P R f R C==++π二、若自相关函数为()5()X R τδτ=的平稳白噪声X (t )作用于冲激响应为()e ()bt h t u t -=的系统，得到输出信号Y (t )。
自动控制原理 - 电子科技大学成都学院在线学习平台
23
自动控制系统的基本控制方式
反馈控制方式 ：按偏差进行控制，较高的动静态控制性能； 结构、线路复杂，系统分析与设计较复杂。 开环控制（顺序控制）：系统输出量对系统的输入量不产生影
响，结构简单、调整方便、成本低
有两种方式：
（１）按给定量控制 （２）按扰动量控制
如龙门刨床速度控制系统将测速发电机 利用可测量的扰动量，产生补偿作用
n
测速发电机
系统基本部件及功能： 主（拖动）电动机SM 输入：电枢端电压 ua 输出：电动机速度 n 测速发电机 TG+电位器 输入：n 输出：ut 触发器CF+晶闸管整流器 KZ 输入：uk 输出： ua 给定电位器 输出： uo 放大器 FD 输入： u u0 ut
21
一些基本术语与概念
A. Lyapunov(李雅普诺夫,1857-1918)，数学家，在他的博士 论文中，Lyapunov系统地研究了由微分方程描述的一般运动系 统的稳定性问题，建立了著名的Lyapunov方法．
M. Minorsky(米诺尔斯基), 美国工程师，在１９２２年首先提 出了ＰＩＤ控制方法，成功地将其应用于美国海军军舰New Mexico的控制问题． H. S. Black , AT&T贝尔实验室的研究员, 于1927年发明了负反馈 方法与电子放大器,其工作为现代电子系统和通信系统奠定了基础 .
的输出断开，调节CF的输入电压来调节电机速度
24
复合控制方式： （1）按偏差控制+按扰动补偿控制
（2）按偏差控制+按给定补偿控制
电压
放大 功率 放大
SM
负载
电压 放大
TG
25
ug
随机信号分析
[R(t1,
t2
)
mX
2
]dt1dt2
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4.1 各态历经性
lim
T
1 4T
2
T TBiblioteka TT c(t1,t2 )dt1dt2
X(t)平稳
1
lim
T
4T
2
T T
T
T c(t1 t2 )dt1dt2
令 t1+t2 =u , t1 t2= 即 2t1 u , 2t2 u
0
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4.1 各态历经性
A[ X
(t)]
A[a cos(0t
)]
lim
T
1 2T
T
T a cos(0t )dt
将Φ看作常数，各样本函数的时间平均。
a lim
T 2T0
sin(0t )
T T
a lim
T 2T0
sin(0T
) sin(0T
)
lim a 0
T T0
有界
A[ X (t)] E[ X (t)] 0 X(t)均值各态历经
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4.1 各态历经性
另解：
RX (t1,t2 ) E X (t1)X (t2 )
E[a cos(0t1 )a cos(0t2 )]
a2 2
E[cos(0t1
0t2
2) cos(0t1
1
lim
T
4T
2
TT
T T c(t1, t2 )dt1dt2 0
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4.1 各态历经性
EA[X(t)]=E[lim 1
电子科技大学随机信号分析课件 第3章 平稳性与功率谱密度
6
（2）二维概率密度函数与两时刻的绝对值无 关，只与相对差有关。
F ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) F ( x1 , x2 ; )
F ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) F ( x1 , x2 ; t1 t , t2 t )
令t t2
F ( x1 , x2 ; t1 t2 ,0)
( E X (t ) X (t ) ) R( )
2、若X(t)是实广义平稳随机信号，则有 （1）相关函数是偶函数 R( ) R( ) （2）相关函数在原点处大于零，并达到最大 值。 R( ) R(0)
18
证明：任何正函数的统计平均为非负数，构造 一个随机信号 X (t ) X (t ) 2 0 E E X 2 (t ) 2 X (t ) X (t ) X 2 (t ) 0
14
例 广义平稳随机信号X(t)通过如图所示的乘 法调制器得到随机信号Y(t)，图中 是确定量， 是在 均匀分布的随机相位， 与X(t)是 π, π 统计独立的。试讨论随机信号Y(t)的平稳性。
X (t )
Y (t )
cos(t )
解：
Y (t ) X (t ) cos(t )
x m x
1
2
m f ( x1 , x2 ; t , t )dx1dx2
且 C ( ) R( ) m2
17
自相关函数性质 1、共轭对称性 R( ) R( )
R( ) E X (t ) X (t ) E ( X (t ) X (t ))
学习通APP软件在《随机信号分析》课堂的应用
DOI：10.16660/ki.1674-098X.2019.35.217学习通APP软件在《随机信号分析》课堂的应用①郑勉(西南石油大学电气信息学院通信工程教研室 四川成都 610500)摘 要：随机信号分析是通信工程等相关专业的专业基础课，是数学和专业理论较强的课程，比较抽象和难以理解，通过在课堂上引入和在课堂下使用学习通APP辅助教学，改善教师的教学工作效率和备课充分性，提高学生们的注意力和学习积极性，帮助他们更扎实地掌握课程知识点，同时有助于进行前后课程的串联形成学习体系，扩展专业理论和应用知识面，达到事半功倍的教学效果。
关键词：随机信号分析 学习通APP软件 教学中图分类号：TN929.11 文献标识码：A 文章编号：1674-098X(2019)12(b)-0217-02Abstract: Random signal analysis is the specialized courses for the student majoring in communication engineering, etc, is mathematics and strong professional theory course, are abstract and diff icult to understand, through the introduction and in the classroom learning APP auxiliary teaching, prepares a lesson to improve teachers' teaching efficiency and sufficiency, enhance the students' attention and learning enthusiasm, help them more solid grasp of curriculum knowledge, at the same time helps to form learning system before and after the course of the series, expanding professional knowledge, theory and application to the teaching effect of get twice the result with half the effort.Key Words: Stochastic signal analysis; Learning through APP software; Teaching①作者简介：郑勉（1980，10—），女，汉族，江苏南通人，硕士研究生，讲师，研究方向：光通信系统及信号信息处理研究。
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一个时间函数族
一个确知的时间函数 一个随机变量 一个确定值
7
2.1.2 随机过程的分类
1. 按照时间和状态是连续还是离散来分类： 连续型随机过程
随机过程X(t)对于任意时刻 t T ， X(ti) 都是连续型随机变量，即时间和状态都 是连续的情况，称这类随机过程为连续 型随机过程。
i
8
连续随机序列
FX ( x, t ) P{X (t ) x}
为随机过程X(t)的一维分布函数。
14
若 FX ( x, t ) 的一阶偏导数存在，则 定义
FX ( x, t ) f X ( x, t ) x
为随机过程X(t)的一维概率密度。
15
随机过程一维分布的性质：
0 FX ( x , t ) 1 FX ( , t ) 0 FX ( , t ) 1 FX ( x , t ) f X ( u , t )du
X (t ) D[ X (t )] E{X (t ) E[ X (t )]}
2
2
[ x mX (t )] f X ( x, t )dx
2
25
物理意义：如果 X ( t ) 表示噪声电压，则 2 E [ X ( t )]和方差 D[ X ( t )]分别表示消耗在单 均方值 位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流 功率统计平均值。 标准差或均方差：
x
f X ( x , t )dx 1
16
2. 二维概率分布 对于随机过程X(t)，在任意两个时刻t1和 t2可得到两个随机变量X(t1)和X(t2)，可构 成二维随机变量{X(t1),X(t2)}，它的二维 分布函数
FX ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) P{ X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 }
0
21
2.1.4 随机过程的数字特征
随机变量的数字特征通常是确定值；随 机过程的数字特征通常是确定性函数。 对随机过程的数字特征的计算方法，是 先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法 来计算。
22
1. 数学期望 对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变 量，将这个随机变量的数学期望定义 为随机过程的数学期望，记为mx(t)， 即
f XY ( x1,, xn , y1,, ym ; t1,, tn , t1 ' ,, tm ' ) f X ( x1,, xn ; t1,, tn ) fY ( y1,, ym ; t1 ' ,, tm ' )
19
一个随机过程不同时刻状态间互相独立， 即X(t1)和X(t2)互相独立
C X (t1 , t1 ) RX (t1 , t1 ) mX (t1 )mX (t1 ) E[ X (t1 ) X (t1 )] mX (t1 ) E[ X (t1 )] E [ X (t1 )]
2 2 2
X (t1 )
2
29
若对于任意的t1和t2都有CX(t1,t2)=0,那 么随机过程的任意两个时刻状态间是 不相关的。
f X ( x1, x2 ; t1, t2 ) f X ( x1, t1 ) f X ( x2 , t2 )
20
例：设随机过程 Y ( t ) X cos0t 其中w0是常数，X是均值为零，方差为1 2 t 0, 的正态随机变量，求 3 时Y(t) 的概率密度，及Y(t)的一维概率密度。
RXY (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]
xyf XY ( x, y; t1, t2 )dxdy
38
类似地，定义两个随机过程的互协方差 函数为
C XY (t1, t2 ) E{[ X (t1 ) mX (t1 )][Y (t2 ) mY (t2 )]}
2 ＝ E[sin (0t )] E [1 cos(20t 2 )]
1 1 E[cos(2 0t ) cos 2 ] E sin 2 0t sin 2 ] 2 1 ＝ [1 cos 2 t E[cos 2 ] sin 2 t E[sin 2 ] 0 0 2
0
解：由题可知：
mx(t ) E[ x(t )] E[sin(0t )] E[sin 0t cos cos 0t sin ] （1）
＝ E[sin 0t cos ] E[cos 0t sin ] sin 0t E[cos ] cos 0t E[sin ]
D[ X ( t )]＝ X ( t )
26
3. 自相关函数和协方差函数 设X(t1)和X(t2)是随机过程X(t)在t1和t2 二个任意时刻的状态，fX(x1,x2;t1,t2)是 相应的二维概率密度，称它们的二阶 联合原点矩为X(t)的自相关函数，简称 相关函数
RX (t1, t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
11
随机变量 随机过程
与时间无关
与时间相关
12
2. 按照随机过程的分布函数（或概率 密度）的不同特性进行分类
按照这种分类法，最重要的就是平稳 随机过程，其次是马尔可夫过程等等。
13
2.1.3 随机过程的概率分布 1. 一维概率分布 对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变 量，设x为任意实数，定义
5
对定义的理解 ：
上面两种随机过程的定义，从两个角度描述了 随机过程。具体的说，作观测时，常用定义1，这 样通过观测的试验样本来得到随机过程的统计特性。 对随机过程作理论分析时，常用定义2，这样 可以把随机过程看成为n 维随机变量，n越大，采 样时间越小，所得到的统计特性越准确。
6
理解： 1 t 和 都是变量 2 t 是变量而 固定 3 t 固定而 是变量 4 t 和 都固定
第二章
随机变量的时域分析
1
2.1 随机过程的基本概念与统计特性
2.1.1 随机过程的基本概念
随某些参量变化的随机变量称为随 机函数。 通常将以时间为参量的随机函数称为 随机过程，也称为随机信号。 自然界中变化的过程可分为两大类： 确定性过程和随机过程。
2
确定性过程
就是事物的变化过程可以用一个（或几 个）时间t的确定的函数来描绘。 随机过程 就是事物变化的过程不能用一个（或几 个）时间t的确定的函数来加以描述。
随机过程X(t)在任一离散时刻的状态是 连续型随机变量，即时间是离散的， 状态是连续的情况，称这类随机过程 为连续随机序列。
9
离散随机过程
随机过程X(t)对于任意时刻 t T ， X(ti) 都是离散型随机变量，即时间是连续的， 状态是离散的情况。
i
10
离散随机序列
对应于时间和状态都是离散的情况， 即随机数字信号。
RX (t1 , t 2 ) m X (t1 )m X (t 2 )
比较自协方差和方差的关系 令
t1 t 2 t
则
2 D[ X (t )] X (t )
K X (t1 , t 2 ) K X (t , t ) E[( X (t ) mX (t ))2 ]
34
例：求随机过程正弦波 x(t ) sin(0t ) 的数字期 望，方差及自相关函数。式中， 为常数，是 2 ]上均匀分布的随机变量。 区间[0，
E[cos ] cos f ( )d cos
0 0
2
2
同理
1 d 0 2
E[sin ] 0
mx(t ) 0
35
2 2 2 2 2 ( t ) ( t ) m ( t ) ( t ) E [ x (t )] x x x （ 2） x
3
1. 随机过程的定义： 定义1： 设随机试验的样本空间为S={ei}， 对于空间的每一个样本 ei S ，总有一 个时间函数X(t, ei)与之对应 对于空间 的所有样本 e S ，可有一族时间函数 X(t,e)与其对应，这族时间函数称为随 机过程，简记为X(t)。
4
定义2： 设有一个过程X(t)，若对于每一个 固定的时刻tj(j=1,2,…)，X(tj)是一个随 机变量，则称X(t)为随机过程。
[ x1 mX (t1 )][x2 mX (t2 )] f X ( x1, x2 ; t1, t2 )dx1dx2
CX (t1, t2 ) RX (t1, t2 ) mX (t1 )mX (t2 )
28
当 mX (t ) 0 时，CX (t1, t2 ) RX (t1, t2 ) 当 t1 t2 时，
1 1 cos( 0t2 0t1 ) cos 0 (t1 t2 ) 2 2
1 2
＝ E [cos(0t1 0t 2 2 ) cos(0t 2 0t1)]
37
5. 互相关函数和互协方差函数 设有两个随机过程X(t)和Y(t)，它们在 任意两个时刻t1和t2的状态分别为X(t1) 和Y(t2)，则随机过程X(t)和Y(t)的互相 关函数定义为：
称为随机过程X(t)的二维概率分布函数。
17
若 FX ( x1, x2 ; t1, t2 ) 对x1,x2的偏导数存 在，则定义
FX ( x1, x2 ; t1, t2 ) f X ( x1, x2 ; t1, t2 ) x1x2
2
为随机过程X(t)的二维概率密度。
18
若两个随机过程互相独立，则有
x1 x2 f X ( x1, x2 ; t1, t2 )dx1dx2
27
设X(t1)和X(t2)是随机过程X(t)在t1和t2 二个任意时刻的状态，称X(t1)和X(t2) 的二阶联合中心矩为X(t)的自协方差函 数