Introduction_vector and tensor (2) (1)
tensorflow 大纲
TENSORFLOW 大纲TensorFlow（中文名：张量流）是由Google开发的开源深度学习框架，广泛应用于机器学习和深度学习领域。
TensorFlow提供了丰富的工具和资源，使得开发者能够构建、训练和部署各种复杂的神经网络模型。
本文将介绍TensorFlow的基本概念、特性和使用方式，以及一些常见的应用场景。
1. TensorFlow基本概念张量（Tensor）：TensorFlow的名字来源于“张量”，它是TensorFlow中最基本的数据结构。
张量可以看作是多维数组或矩阵的泛化。
在深度学习中，所有的数据都以张量的形式表示，包括输入数据、权重、偏置等。
计算图（Computational Graph）：TensorFlow使用计算图来表示整个机器学习模型的计算过程。
计算图是由节点和边组成的有向图，节点表示操作（如加法、乘法），边表示数据流向。
通过定义计算图，可以有效地进行异步、分布式计算。
会话（Session）：TensorFlow的计算是延迟执行的，即在定义计算图后并不立即执行。
为了实际运行计算图，需要创建一个会话。
会话控制着张量的计算和存储，使得模型的训练和推断能够顺利进行。
2. TensorFlow特性灵活性：TensorFlow提供了丰富的API，支持多种深度学习模型的构建，包括卷积神经网络（CNN）、循环神经网络（RNN）等。
同时，TensorFlow支持符号式编程和命令式编程，使得开发者可以根据任务选择适合的编程方式。
跨平台和分布式计算：TensorFlow可以在各种硬件设备上运行，包括CPU、GPU、TPU等。
此外，TensorFlow支持分布式计算，可以将计算任务分配到多个设备上进行加速。
内置工具和库：TensorFlow提供了一系列内置工具和库，用于简化深度学习任务的实现。
包括用于图像处理的TensorFlow Image处理库（TF.image）、用于自然语言处理的TensorFlow文本处理库（TF.text）等。
GTM研究生参考书
GTM(Graduate Texts of Mathematics)丛书目录1 Introduction to Axiomatic Set Theory, Gaisi Takeuti, W. M. Zaring2 Measure and Category, John C. Oxtoby (1997, ISBN 978-0-387-90508-2)3 Topological Vector Spaces, . Schaefer, . Wolff (1999, ISBN 978-0-387-98726-2)4 A Course in Homological Algebra, Peter Hilton, Urs Stammbach (1997, ISBN 978-0-387-94823-2)5 Categories for the Working Mathematician, Saunders Mac Lane (1998, ISBN 978-0-387-98403-2)6 Projective Planes, Hughes, Piper7 A Course in Arithmetic, Jean-Pierre Serre (1996, ISBN 978-0-387-90040-7)8 Axiomatic Set Theory, Gaisi Takeuti, Zaring9 Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, James E. Humphreys (1997, ISBN 978-0-387-90053-7)10 A Course in Simple-Homotopy Theory, M. M. Cohen11 Functions of One Complex Variable I, John B. Conway (1995, ISBN 978-0-387-90328-6)12 Advanced Mathematical Analysis, R. Beals (1973, ISBN 978-0-387-90065-0)13 Rings and Categories of Modules, Frank W. Anderson, Kent R. Fuller (1992, ISBN978-0-387-97845-1)14 Stable Mappings and Their Singularities, Golubitsky, Guillemin15 Lectures in Functional Analysis and Operator Theory, S. K. Berberian16 The Structure of Fields, D. Winter17 Random Processes, M. Rosenblatt18 Measure Theory, Paul R. Halmos (1974, ISBN 978-0-387-90088-9)19 A Hilbert Space Problem Book, Paul R. Halmos (1982, ISBN 978-0-387-90685-0)20 Fibre Bundles, Dale Husemoller (1994, ISBN 978-0-387-94087-8)21 Linear Algebraic Groups, James E. Humphreys (1998, ISBN 978-0-387-90108-4)22 An Algebraic Introduction to Mathematical Logic, Barnes, Mack23 Linear Algebra, Werner H. Greub (1981, ISBN 978-0-387-90110-7)24 Geometric Functional Analysis and Its Applications, Holmes25 Real and Abstract Analysis, Edwin Hewitt, Karl Stromberg (1975, ISBN 978-0-387-90138-1)26 Algebraic Theories, Manes27 General Topology, John L. Kelley (1975, ISBN 978-0-387-90125-1)28 Commutative Algebra I, Oscar Zariski, Pierre Samuel, Cohen (1975, ISBN 978-0-387-90089-6)29 Commutative Algebra II, Oscar Zariski, Pierre Samuel30 Lectures in Abstract Algebra I, Nathan Jacobson31 Lectures in Abstract Algebra II, Nathan Jacobson32 Lectures in Abstract Algebra III, Nathan Jacobson33 Differential Topology, Morris W. Hirsch34 Principles of Random Walk, Frank Spitzer35 Several Complex Variables and Banach Algebras, Herbert Alexander, John Wermer36 Linear Topological Spaces, John L. Kelley, Isaac Namioka37 Mathematical Logic, J. Donald Monk38 Several Complex Variables, Grauert, Fritzsche39 An Invitation to C * -Algebras, William Arveson40 Denumerable Markov Chains, John George Kemeny, Snell, Knapp et al.41 Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Tom M. Apostol42 Linear Representations of Finite Groups, Jean-Pierre Serre, Scott43 Rings of Continuous Functions, Gillman, Jerison44 Elementary Algebraic Geometry, K. Kendig45 Probability Theory I, M. Loève46 Probability Theory II, M. Loève47 Geometric Topology in Dimensions 2 and 3, Edwin E. Moise48 General Relativity for Mathematicians, . Sachs, H. Wu49 Linear Geometry, . Gruenberg, . Weir50 Fermat's Last Theorem, Harold M. Edwards51 A Course in Differential Geometry, Klingenberg52 Algebraic Geometry, Robin Hartshorne53 A Course in Mathematical Logic, Yu. I. Manin54 Combinatorics with Emphasis on the Theory of Graphs, Graver, Watkins55 Introduction to Operator Theory I, Brown, Pearcy56 Algebraic Topology: An Introduction, William S. Massey57 Introduction to Knot Theory, Richard H. Crowell, Ralph H. Fox (1977, ISBN 978-0-387-90272-2)58 P-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Neal Koblitz59 Cyclotomic Fields, Serge Lang60 Mathematical Methods of Classical Mechanics, V. I. Arnold61 Elements of Homotopy Theory, George W. Whitehead62 Fundamentals of the Theory of Groups, Kargapolov, Merzljakov, Burns63 Graph Theory, Béla Bollobás64 Fourier Series I, Edwards65 Differential Analysis on Complex Manifolds, . Wells Jr.66 Introduction to Affine Group Schemes, . Waterhouse67 Local Fields, Jean-Pierre Serre, Greenberg68 Linear Operators on Hilbert Spaces, Weidmann, Szuecs69 Cyclotomic Fields II, Serge Lang70 Singular Homology Theory, William S. Massey71 Riemann Surfaces, Herschel Farkas, Irwin Kra72 Classical Topology and Combinatorial Group Theory, John Stillwell73 Algebra, Thomas W. Hungerford74 Multiplicative Number Theory, Harold Davenport, Hugh Montgomery75 Basic Theory of Algebraic Groups and Lie Algebras, G. P. Hochschild76 Algebraic Geometry, Iitaka77 Lectures on the Theory of Algebraic Numbers, Hecke, Brauer, Goldman et al.78 A Course in Universal Algebra, Burris, Sankappanavar (Online [1])79 An Introduction to Ergodic Theory, Peter Walters80 A Course in the Theory of Groups, Derek . Robinson81 Lectures on Riemann Surfaces, Forster, Gilligan82 Differential Forms in Algebraic Topology, Raoul Bott, Loring Tu83 Introduction to Cyclotomic Fields, Lawrence C. Washington84 A Classical Introduction to Modern Number Theory, Ireland, Rosen (1995, ISBN 0-387-97329-X)85 Fourier Series A Modern Introduction, R. E. Edwards86 Introduction to Coding Theory, . van Lint (3rd ed 1998, ISBN 3-540-64133-5)87 Cohomology of Groups, Kenneth S. Brown88 Associative Algebras, . Pierce89 Introduction to Algebraic and Abelian Functions, Serge Lang90 An Introduction to Convex Polytopes, Arne Brondsted91 The Geometry of Discrete Groups, Alan F. Beardon92 Sequences and Series in Banach Spaces, J. Diestel93 Modern Geometry - Methods and Applications I, Dubrovin, Fomenko, Novikov et al.94 Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Frank W. Warner95 Probability, Shiryaev, Boas96 A Course in Functional Analysis, John B. Conway97 Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms, Neal Koblitz98 Representations of Compact Lie Groups, Broecker, Dieck99 Finite Reflection Groups, Grove, Benson100 Harmonic Analysis on Semigroups, Berg, Christensen, Ressel101 Galois Theory, Harold M. Edwards102 Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, V. S. Varadarajan103 Complex Analysis, Serge Lang104 Modern Geometry - Methods and Applications II, Dubrovin, Fomenko, Novikov et al.105 SL2®, Serge Lang106 The Arithmetic of Elliptic Curves, Joseph H. Silverman107 Applications of Lie Groups to Differential Equations, Peter J. Olver108 Holomorphic Functions and Integral Representations in Several Complex Variables, R. Michael Range109 Univalent Functions and Teichmüller Spaces, O. Lehto110 Algebraic Number Theory, Serge Lang111 Elliptic Curves, Dale Husemöller112 Elliptic Functions, Serge Lang113 Brownian Motion and Stochastic Calculus, Ioannis Karatzas, Steven Shreve114 A Course in Number Theory and Cryptography, Neal Koblitz115 Differential Geometry, Berger, Gostiaux, Levy116 Measure and Integral, John L. Kelley, Srinivasan117 Algebraic Groups and Class Fields, Jean-Pierre Serre118 Analysis Now, Gert K. Pedersen119 An Introduction to Algebraic Topology, Joseph J. Rotman120 Weakly Differentiable Functions, William P. Ziemer121 Cyclotomic Fields I-II, Serge Lang, Karl Rubin122 Theory of Complex Functions, Remmert, Burckel123 Numbers, Lamotke, Ewing, Ebbinghaus et al.124 Modern Geometry - Methods and Applications III, B. A. Dubrovin, Anatoly Timofeevich Fomenko, Sergei Petrovich Novikov et al. (1990, ISBN 978-0-387-97271-8)125 Complex Variables, Berenstein, Gay126 Linear Algebraic Groups, Armand Borel127 A Basic Course in Algebraic Topology, William S. Massey128 Partial Differential Equations, Jeffrey Rauch129 Representation Theory, William Fulton, Joe Harris130 Tensor Geometry, Dodson, T. Poston131 A First Course in Noncommutative Rings, . Lam132 Iteration of Rational Functions, Alan F. Beardon133 Algebraic Geometry, Joe Harris134 Coding and Information Theory, Steven Roman135 Advanced Linear Algebra, Steven Roman136 Algebra, Adkins, Weintraub137 Harmonic Function Theory, Axler, Bourdon, Ramey138 A Course in Computational Algebraic Number Theory, Henri Cohen (1996, ISBN 0-387-55640-0) 139 Topology and Geometry, Glen E. Bredon140 Optima and Equilibria, Jean-Pierre Aubin141 Gröbn er Bases, Becker, Weispfenning, Kredel142 Real and Functional Analysis, Serge Lang, (1993, ISBN 14)143 Measure Theory, . Doob144 Noncommutative Algebra, Farb, Dennis145 Homology Theory, James W. Vick146 Computability, Douglas S. Bridges147 Algebraic K-Theory and Its Applications, Jonathan Rosenberg148 An Introduction to the Theory of Groups, Joseph J. Rotman149 Foundations of Hyperbolic Manifolds, John G. Ratcliffe150 Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, David Eisenbud 151 Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves, Joseph H. Silverman 152 Lectures on Polytopes, Günter M. Ziegler153 Algebraic Topology, William Fulton154 An Introduction to Analysis, Brown, Pearcy155 Quantum Groups, Christian Kassel156 Classical Descriptive Set Theory, Alexander S. Kechris157 Integration and Probability, Malliavin, Airault, Kay et al.158 Field Theory, Steven Roman159 Functions of One Complex Variable II, John B. Conway160 Differential and Riemannian Manifolds, Serge Lang161 Polynomials and Polynomial Inequalities, Borwein, Erdelyi162 Groups and Representations, Alperin, Bell163 Permutation Groups, Dixon, Mortimer164 Additive Number Theory I, Melvyn B. Nathanson165 Additive Number Theory II, Melvyn B. Nathanson166 Differential Geometry, . Sharpe, Shiing-Shen Chern167 Field and Galois Theory, Patrick Morandi168 Combinatorial Convexity and Algebraic Geometry, Guenter Ewald169 Matrix Analysis, Rajendra Bhatia170 Sheaf Theory, Glen E. Bredon171 Riemannian Geometry, Peter Petersen172 Classical Topics in Complex Function Theory, Remmert, Kay173 Graph Theory, Reinhard Diestel174 Foundations of Real and Abstract Analysis, Douglas S. Bridges175 An Introduction to Knot Theory, W. B. Raymond Lickorish176 Riemannian Manifolds, John M. Lee177 Analytic Number Theory , Donald J. Newman178 Nonsmooth Analysis and Control Theory, Clarke, Ledyaev, Stern et. al179 Banach Algebra Techniques in Operator Theory, Ronald G. Douglas180 A Course on Borel Sets, . Srivastava181 Numerical Analysis, Rainer Kress182 Ordinary Differential Equations, Walter, Thompson183 An Introduction to Banach Space Theory, Robert E. Megginson184 Modern Graph Theory, Béla Bollobás185 Using Algebraic Geometry, Cox, Little, O Shea186 Fourier Analysis on Number Fields, Ramakrishnan, Valenza187 Moduli of Curves, Harris, Morrison188 Lectures on the Hyperreals, Robert Goldblatt189 Lectures on Modules and Rings, Tsit-Yuen Lam190 Problems in Algebraic Number Theory, Esmonde, Murty191 Fundamentals of Differential Geometry, Serge Lang192 Elements of Functional Analysis Hirsch, Lacombe, Levy193 Advanced Topics in Computational Number Theory, Henri Cohen (2000, ISBN 0-387-98727-4) 194 One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Engel, Nagel195 Elementary Methods in Number Theory, Melvyn B. Nathanson196 Basic Homological Algebra, M. Scott Osborne197 The Geometry of Schemes, Eisenbud, Harris198 A Course in p-adic Analysis, Alain Robert199 Theory of Bergman Spaces, Hedenmalm, Korenblum, Zhu200 An Introduction to Riemann-Finsler Geometry, David Bao, Shiing-Shen Chern, Zhongmin Shen 201 Diophantine Geometry, Hindry, Joseph H. Silverman (2000, ISBN 978-0-387-98975-4)202 Introduction to Topological Manifolds, John M. Lee203 The Symmetric Group, Bruce E. Sagan204 Galois Theory, Jean-Pierre Escofier205 Rational Homotopy Theory, Yves Félix, Stephen Halperin, Jean-Claude Thomas (2000, ISBN 978-0-387-95068-0)206 Problems in Analytic Number Theory, M. Ram Murty (2001, ISBN 978-0-387-95143-0)207 Algebraic Graph Theory, Godsil, Royle (2001, ISBN 978-0-387-95241-3)208 Analysis for Applied Mathematics, Ward Cheney (2001, ISBN 978-0-387-95279-6)209 A Short Course on Spectral Theory, William Arveson (2002, ISBN 978-0-387-95300-7)210 Number Theory in Function Fields, Michael Rosen (2002, ISBN 978-0-387-95335-9)211 Algebra, Serge Lang212 Lectures on Discrete Geometry, Jiri Matousek213 From Holomorphic Functions to Complex Manifolds, Fritzsche, Grauert214 Partial Differential Equations, Juergen Jost215 Algebraic Functions and Projective Curves, David Goldschmidt216 Matrices, Denis Serre217 Model Theory: An Introduction, David Marker218 Introduction to Smooth Manifolds, John M. Lee (2003, ISBN 978-0-387-95448-6)219 The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds, Maclachlan, Reid220 Smooth Manifolds and Observables, Jet Nestruev221 Convex Polytopes, Branko Grünbaum (2003, ISBN 0-387-00424-6)222 Lie Groups, Lie Algebras, and Representations, Brian C. Hall223 Fourier Analysis and its Applications, Anders Vretblad224 Metric Structures in Differential Geometry, Walschap, G., (2004, ISBN 978-0-387-20430-7) 225 Lie Groups, Daniel Bump, (2004, ISBN 978-0-387-21154-1)226 Spaces of Holomorphic Functions in the Unit Ball, Zhu, K., (2005, ISBN 978-0-387-22036-9) 227 Combinatorial Commutative Algebra, Ezra Miller, Bernd Sturmfels, (2005, ISBN978-0-387-22356-8)228 A First Course in Modular Forms, Fred Diamond, J. Shurman, (2006, ISBN 978-0-387-23229-4) 229 The Geometry of Syzygies, David Eisenbud (2005, ISBN 978-0-387-22215-8)230 An Introduction to Markov Processes, Stroock, ., (2005, ISBN 978-3-540-23499-9)231 Combinatorics of Coxeter Groups, Anders Björner, Francisco Brenti, (2005, ISBN978-3-540-44238-7)232 An Introduction to Number Theory, Everest, G., Ward, T., (2005, ISBN 978-)233 Topics in Banach Space Theory, Albiac, F., Kalton, ., (2006, ISBN 978-0-387-28141-4)234 Analysis and Probability · Wavelets, Signals, Fractals, Jorgensen, (2006, ISBN978-0-387-29519-0)235 Compact Lie Groups, M. R. Sepanski, (2007, ISBN 978-0-387-30263-8)236 Bounded Analytic Functions, Garnett, J., (2007, ISBN 978-0-387-33621-3)237 An Introduction to Operators on the Hardy-Hilbert Space, Martinez-Avendano, ., Rosenthal, P., (2007, ISBN 978-0-387-35418-7)238 A Course in Enumeration, Aigner, M., (2007, ISBN 978-3-540-39032-9)239 Number Theory - Volume I: Elementary and Algebraic Methods for Diophantine Equations, Cohen, H., (2007, ISBN 978-0-387-49922-2)240 Number Theory - Volume II: Analytic and Modern Tools, Cohen, H., (2007, ISBN978-0-387-49893-5)241 The Arithmetic of Dynamical Systems, Joseph H. Silverman, (2007, ISBN 978-0-387-69903-5) 242 Abstract Algebra, Grillet, Pierre Antoine, (2007, ISBN 978-0-387-71567-4)243 Topological Methods in Group Theory, Geoghegan, Ross, (2007, ISBN 978-0-387-74611-1)244 Graph Theory, Bondy, ., Murty, (2007, ISBN 978-)245 Complex Analysis: Introduced in the Spirit of Lipman Bers,Gilman, Jane P., Kra, Irwin, Rodriguez, Rubi E. (2007, ISBN 978-0-387-74714-9)246 A Course in Commutative Banach Algebras, Kaniuth, Eberhard, (2020, ISBN 978-0-387-72475-1) 247 Braid Groups, Kassel, Christian, Turaev, Vladimir, (2008, ISBN 978-0-387-33841-5)248 Buildings Theory and Applications, Abramenko, Peter, Brown, Ken (2008, ISBN978-0-387-78834-0)249 Classical Fourier Analysis, Grafakos, Loukas, (2008, ISBN 978-0-387-09431-1)250 Modern Fourier Analysis, Grafakos, Loukas, (2008, ISBN 978-0-387-09433-5)251 The Finite Simple Groups, Wilson, Robert, Parker, Christopher W., (2009, ISBN 978-)252 Distributions and Operators, Grubb, Gerd, (2009, ISBN 978-0-387-84894-5)。
一般算子系统的张量积
中图分类号：ＵＤＣ：学校代码：１００５５密级：公开高恐大法博士学位论文一般算子系统的张量积ＴｅｎｓｏｒＰｒｏｄｕｃｔｓｏｆＮｏｎ－ｕｎｉｔａｌＯｐｅｒａｔｏｒＳｙｓｔｅｍｓ评阅人生尚全：塾垫型！直国送整壹涸：篚丛笪南开大学研究生院二。
一三年五月Ｃｈａｐｔｅｒ２ＯｐｅｒａｔｏｒｓｐａｃｅａｎｄｏｐｅｒａｔｏｒｓｙｓｔｅｍＣｈａｐｔｅｒ２Ｏｐｅｒａｔｏｒｓｐａｃｅａｎｄｏｐｅｒａｔｏｒ２．１Ｐｒｅｌｉｍｉｎａｒｉｅｓｓｙｓｔｅｍ＿ＬｅｔＶｂｅａｃｏｍｐｌｅｘｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅ．ＷｅｃａｌｌＶａ木－ｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅ．ｉｆｔｈｅｒｅｉｓａｍａｐ爿ｃ：Ｖ－÷Ｖｓｕｃｈｔｈａｔ（ｚ。
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数学中vector的基础
数学中vector的基础vector，中文译为向量，是数学中一种具有大小和方向的量。
在数学、物理等领域有着广泛的应用。
vector具有以下特点：1.有序性：每个vector都有一个确定的顺序，其元素有序排列。
2.方向性：每个vector都有明确的方向，与元素的正负无关。
3.运算性：vector可以进行各种运算，如加法、减法、数乘等。
vector的运算与操作如下：1.加法：两个vector相加，结果是一个新vector，其元素为两个vector 对应元素之和。
例：向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，则a + b = (1+3, 2+4) = (4, 6)。
2.减法：两个vector相减，结果是一个新vector，其元素为两个vector 对应元素之差。
例：向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，则a - b = (1-3, 2-4) = (-2, -2)。
3.数乘：一个数与vector相乘，结果是一个新vector，其元素为原vector每个元素乘以该数。
例：向量a = (1, 2)，数k = 3，则k*a = (3*1, 3*2) = (3, 6)。
4.标量积：两个vector的标量积是一个数，等于两个vector的对应元素乘积之和。
例：向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，则a·b = 1*3 + 2*4 = 7。
5.向量积：两个vector的向量积是一个新vector，其元素为两个vector 对应元素的叉乘结果。
例：向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，则a×b = (2, 1)。
vector在实际应用中具有重要价值，如线性方程组求解、空间解析几何中的计算、物理中的力、速度、加速度等。
以线性方程组为例，利用vector可以简洁地求解方程组中的未知量。
然而，vector也有其局限性，如无法表示大小但方向不确定的量。
为弥补这一缺陷，可以引入标量（实数）与vector的组合，形成更为灵活的表示方法。
超级计算机
¾ 超级计算机...............................................................................................................................1 超级计算环境 2007 年 3 季度运行情况简报 .........................................................................1
深腾6800
● 共197名用户，3季度增加用户6名。 ● 有134名用户利用LSF提交作业，共完成.51000多个作业，用户作业平均规模为5.9个CPU，累计 使用机时112万CPU小时（按Walltime计算）。 ● 2007年3季度，深腾6800的磁盘阵列系统与QsNet网络系统先后发生故障，导致深腾6800的平均 整体使用率有所下降，为83.5%（按Walltime计算），平均CPU利用率69.1%（按CPUtime计算）。CPUtim e与Walltime之比平均为82.7%。 ● 2007年3季度，作业平均等待时间为23.3小时。 ● 已完成作业按规模分布情况：串行作业数量占62.6%，4处理器节点内并行作业数量占21.1%。 而根据作业使用的CPU小时计算，占用机时最多的并行作业规模分别为16处理器、33-63处理器、32处理 器、64处理器，其比例分别为21.8%，18.1%，17.9%和12.4%，串行作业仅使用总机时的2.1%，表明深腾6 800的计算机时还是主要用于较大规模的并行作业计算。
1. Introduction ...................................................................................................................2
OpenFOAM常用类的一些总结
OpenFOAM常⽤类的⼀些总结OpenFOAM常⽤类的⼀些总结OpenFOAM中有许多类，每个类的功能都很强⼤，这也使它⾯向对象设计得以实现。
对于程序，最常⽤到的，也是最底层的就是数据，在OpenFOAM中引⼊了三类基础数据类型：标量scalar, 向量vector, 张量tensor.这三个中数据类型，也是FOAM中最基础的三个类。
(还有⼀个⽐较重要的就是bool和label，前者就是是⾮型，及对错型，只不过是更扩展⼀些，后者是标签型数据，相当于c中的整型。
关于更多的其它数据类型可以参看⽬录..\src\OpenFOAM\primitives⾥⾯)在上述数据类的基础上，增加场（field）的概念，就引⼊了标量场scalarField, 向量场vectorField, 张量场tensorField。
实际上这三个类⼜是field类的typedef，如typedef field saclarField。
这些场类中都有对应的成员函数进⾏加减乘除运算，还有复杂的点积叉积等。
说到这field class,其实他就像是⼀个数据存放的区域⼀样，存放上scalar，那它成了标量场scalarField。
这些类中可以有接⼝实现数据的计算。
从field类中⼜派⽣出了FieldField类，这个就是说场中场类，其实这个主要⽤于边界条件类的⼀个基类。
因为边界条件算是⽹格类场中的⼀个特殊的场，后⾯会介绍。
⽐field类⾼⼀点的就是⼏何场类GeometricField class，其相⽐field class多了纪录场位置的相关信息。
说到这⾥请⼤家注意他和polyMesh class的区别，后者只是纪录⽹格的结构，如点的位置、⾯的组成、体的组成等等，polyMesh class中对应有pointMesh，surfaceMesh，volMesh 等类，从字⾯上很容易理解其处理和记录⽹格点、⽹格⾯、⽹格体等信息。
⽽GeometricField 类，其则是记录了在什么样的⽹格上有量a的相关信息或数据。
r 克拉夫结构动力学英文版
r 克拉夫结构动力学英文版《克拉夫结构动力学》英文版可能指的是《Structural Dynamics: A Geometric Approach》。
这本书是结构动力学领域的经典教材，系统地介绍了结构动力学的基本概念、原理和方法，并提供了丰富的实际工程应用案例。
以下是这本书的简介：内容简介：本书以几何和图形的方式阐述结构动力学的基本概念和原理，通过丰富的实例和练习题帮助读者深入理解和掌握结构动力学的核心内容。
本书强调了现代工程中结构动力学的重要性，并提供了计算机辅助工程软件的应用示例。
目录：1. Introduction2. Fundamentals of Dynamics3. Newton's Laws of Motion4. Euler-Lagrange Equations5. The Kinematics of Motion6. The Dynamics of Falling Objects7. The Dynamics of a Simple Pendulum8. The Dynamics of a Rigid Body9. The Dynamics of a Spatial Frame10. The Dynamics of a Bending Beam11. The Dynamics of a Torsional Beam12. The Dynamics of a Rotating Disk13. The Dynamics of a Flexible Body14. The Dynamics of a Continuous System15. The Dynamics of a Mechanical System with Multiple Degrees of Freedom16. The Dynamics of a Mechanical System with Constraints17. The Dynamics of a Mechanical System with External Forces and Torques18. The Dynamics of a Mechanical System with Internal Forces and Torques19. The Dynamics of a Mechanical System with Coupling and Decoupling20. The Dynamics of a Mechanical System with Vibration and Control21. ConclusionAppendix A: Vector Calculus and Tensor AnalysisAppendix B: Matrix Calculus and Linear AlgebraAppendix C: Numerical Methods for Solving Differential Equations of MotionAppendix D: Introduction to Computer-Aided Engineering SoftwareReferencesIndex总结：本书适合作为结构动力学、机械工程、航空航天工程等相关专业的教材或参考书，也可供相关领域的工程师和技术人员参考。
张量tensor高维数据的理解
张量tensor高维数据的理解全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：张量(tensor)是一种高维数据结构，在数学和计算机领域中被广泛应用。
它是向量(vector)的推广，可以理解为在多个方向上排列的数组或矩阵。
在深度学习和人工智能领域中，张量是表示神经网络中的输入、权重以及中间激活层的数据类型。
学习理解张量是深入了解神经网络工作原理的关键环节。
一维张量可以看作一个数的集合，二维张量类似于矩阵，而三维以上的张量则具有更高的维度，可以描述更加复杂的数据结构。
在深度学习中，常见的张量有0维张量(标量)、1维张量(向量)、2维张量(矩阵)和高维张量(多维数组)。
理解不同维度的张量对于处理各种类型的数据和构建不同结构的神经网络都至关重要。
在深度学习中，张量被用来表示神经网络中的输入数据、权重和激活值。
在图片识别任务中，一张图片可以被表示为一个三维张量，其中第一个维度表示图片的高度，第二个维度表示图片的宽度，第三个维度表示图片的通道数。
神经网络的权重矩阵和激活值也可以用张量来表示。
张量的运算是神经网络中最基本的操作之一。
通过张量运算，神经网络可以对输入数据进行线性变换、激活函数处理等操作，从而实现对数据的特征提取和模式识别。
张量的加法、减法、乘法等操作可以通过矩阵运算来实现，这也是深度学习中常见的运算形式。
除了在神经网络中的应用，张量还被广泛应用于其他领域，例如图像处理、自然语言处理、物理学等。
在图像处理领域，卷积神经网络(Convolutional Neural Network, CNN)使用张量来表示图片数据和卷积核，从而实现图像特征提取和分类任务。
在物理学领域，张量被用来描述物质的属性和运动规律，如爱因斯坦场方程中的度规张量。
张量是一种高维数据结构，被广泛应用于数学、计算机和自然科学领域。
在深度学习和人工智能领域中，理解张量的概念和运算对于掌握神经网络的原理和实现至关重要。
希望通过本文的介绍，读者能够加深对张量的理解，并在实际应用中灵活运用张量来处理不同类型的数据和问题。
关于旋度的格林公式
关于旋度的格林公式旋度的格林公式是矢量分析中的重要公式之一，它建立了矢量场的旋度和该场通过封闭曲面的环量之间的关系。
下面将详细描述旋度的格林公式及其相关参考内容。
格林公式是由爱尔兰数学家格林（George Green）于1828年提出的，它建立了标量函数的二重积分与对应区域的边界曲线上的环量之间的关系。
而在矢量分析中，旋度的格林公式是格林公式在矢量场中的推广。
假设有一个光滑的矢量场F（x，y，z）= P（x，y，z）i + Q （x，y，z）j + R（x，y，z）k，其中P，Q，R是场F在x，y，z方向上的分量函数。
设S是一个光滑的封闭曲面，其边界为C。
则旋度的格林公式可以表示为：∮S (F · dr) = ∬D (curl F · n) dS其中，右侧的积分是对曲面S进行面积分，经过面元dS。
curl F是矢量场F的旋度，它可以表示为：curl F = (∂R/∂y - ∂Q/∂z) i + (∂P/∂z - ∂R/∂x) j + (∂Q/∂x - ∂P/∂y) k在公式中，F · dr表示场F沿曲线C的环量，n是曲面S上任意一点的单位外法向量。
D表示曲线C所包围的平面区域。
旋度的格林公式表明，矢量场F通过封闭曲面S的环量等于矢量场F的旋度在曲面上的面积分。
这个公式在物理学、电磁学和流体力学等领域有广泛的应用。
通过旋度的格林公式，可以将对封闭曲面的环量计算转化为对该矢量场的旋度进行积分的问题。
关于旋度的格林公式，可以在许多矢量分析和物理学的教材中找到相关内容。
以下是一些参考书目：1. "Vector Analysis and Cartesian Tensors" (third edition) by Bourne, P.C. and Kendall, P.C.2. "Mathematical Methods for Physics and Engineering" by Riley, K.F., Hobson, M.P., and Bence, S.J.3. "Vector Calculus" (fourth edition) by Colley, S.J.4. "Mathematical Methods in the Physical Sciences" (third edition) by Arfken, G.B. and Weber, H.J.5. "A Course in Mathematical Methods for Physicists" (third edition) by Stone, M.H. and Goldbart, P.M.这些参考书目涵盖了矢量分析的基本原理和应用，其中包含了旋度的格林公式的相关讲解。
tensor张量的维度定义
tensor张量的维度定义Tensor张量是机器学习中非常重要的概念，可以更好地描述输入数据和模型的内部状态。
在深度学习中，张量是最基本的数据结构，因此我们需要了解张量的基本概念和定义。
一、什么是张量？张量可以被认为是一个多维数组。
它是一种基本的数学工具，用于描述多个向量之间的关系。
张量可以是任意一阶到任意高阶的，它可以包含标量（零阶张量），向量（一阶张量）和矩阵（二阶张量）等等。
二、张量的维度在张量中，我们用维度来描述张量的多个轴，通常表示为“D”，例如一个二阶张量可以表示为2D张量。
在深度学习中，常见的张量维度有0D、1D、2D和3D等，下面我们分别介绍一下。
1、0D张量0D张量通常被称为标量（scalar）。
它是一个单一的值，也就是一个数字。
在Python中，我们可以使用NumPy库来表示0D张量。
例如，下面代码将数字3转化为0D张量：import numpy as npx = np.array(3)print(x)输出结果为：32、1D张量一维张量也被称为向量（vector）。
它是一个数字数组，只有一维。
在Python中，我们可以使用NumPy库来表示1D张量。
例如，下面代码将三个数字[1, 2, 3]转化为1D张量：import numpy as npx = np.array([1, 2, 3])print(x)输出结果为：[1, 2, 3]3、2D张量二维张量也被称为矩阵（matrix）。
它是一个由数字数组组成的矩形，有两个维度。
在Python中，我们可以使用NumPy库来表示2D张量。
例如，下面代码将三个数字[1, 2, 3]转换为2D张量：import numpy as npx = np.array([[1, 2, 3]])print(x)输出结果为：[[1, 2, 3]]4、3D张量三维张量也被称为立方体（cube）。
它是一个由数字数组组成的立方体，有三个维度。
在Python中，我们可以使用NumPy库来表示3D张量。
c++ 2d vector申明
c++ 2d vector申明【最新版】目录1.C++中二维向量的概念2.二维向量的声明方法3.二维向量的使用示例正文C++是一种广泛使用的编程语言，它提供了许多强大的数据结构和算法，以帮助程序员实现复杂的功能。
在 C++中，二维向量是一种重要的数据结构，它可以用来表示平面上的点或者矩形等几何形状。
下面，我们将详细介绍 C++中二维向量的概念、声明方法和使用示例。
一、C++中二维向量的概念在 C++中，二维向量实际上是一个包含两个一维向量的数组。
每个一维向量可以包含多个元素，这些元素通常是整数、浮点数或者其他数值类型。
二维向量的每个元素都有一个坐标，它由两个整数或者浮点数表示。
第一个整数或浮点数表示行，第二个整数或浮点数表示列。
例如，一个二维向量 v[2][3] 包含两个一维向量，每个一维向量包含 3 个元素，它们分别表示第 2 行第 1 列、第 2 行第 2 列和第 2 行第 3 列的点。
二、二维向量的声明方法在 C++中，可以使用以下方法声明二维向量：```cpp#include <vector>using namespace std;vector<vector<int>> v;```在这个例子中，我们首先包含了<vector>头文件，然后定义了一个名为 v 的二维向量。
v 是一个包含整数类型的一维向量的集合，每个一维向量可以包含任意多个整数元素。
三、二维向量的使用示例下面是一个使用二维向量的简单示例：```cpp#include <iostream>#include <vector>using namespace std;int main() {int v[2][3] = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}};cout << "v[0][0]: " << v[0][0] << endl;cout << "v[1][2]: " << v[1][2] << endl;return 0;}```在这个例子中，我们定义了一个二维向量 v，它包含两个一维向量，每个一维向量包含 3 个整数元素。
pytorch 变量类型
pytorch 变量类型
PyTorch中有几种常见的变量类型，包括张量（Tensor）、变
量（Variable）和标量（Scalar）。
首先，张量（Tensor）是PyTorch中最基本的数据类型，类似
于NumPy中的多维数组，可以在GPU上进行加速计算。
张量可以是
浮点型、整型或者布尔型，可以是1维、2维、3维甚至更高维度的
数组。
其次，变量（Variable）是PyTorch中的一个概念，它已经被
弃用，因为自PyTorch 0.4版本开始，Variable已经被整合到了张
量（Tensor）中，所以在新版本的PyTorch中，一般不再使用Variable类型。
最后，标量（Scalar）是指只包含一个数值的张量，即零维张量，可以通过`torch.tensor(3.14)`这样的方式创建一个标量。
除了上述常见的变量类型外，PyTorch还有一些特殊的张量类型，比如稀疏张量（Sparse Tensor）和稠密张量（Dense Tensor），它们分别用于表示稀疏矩阵和稠密矩阵。
总的来说，PyTorch的变量类型丰富多样，可以满足各种不同的数据处理需求，开发者可以根据具体的应用场景选择合适的变量类型进行数据处理和计算。
tensor的格式
tensor的格式1. 维度和形状：Tensor可以有不同的维度和形状。
一维tensor是一个向量，二维tensor是一个矩阵，三维tensor可以看作是一个立体的数组，依此类推。
形状则是描述tensor各个维度大小的元组。
例如，一个形状为(3, 4)的tensor表示一个3行4列的矩阵。
2. 数据类型：Tensor可以有不同的数据类型，如整数、浮点数、布尔值等。
常见的数据类型包括int、float、bool等。
不同的数据类型可以用来表示不同的数据范围和精度。
3. 存储顺序：Tensor的数据可以按不同的顺序进行存储，如行优先（row-major）和列优先（column-major）。
行优先表示数据在内存中按行存储，而列优先表示数据按列存储。
存储顺序的选择通常会影响到数据的访问效率。
4. 广义张量：在数学中，tensor是一个广义的概念，可以表示多维数组、矩阵、向量等。
在机器学习中，tensor通常指代多维数组。
它可以是任意维度的数组，不仅限于二维矩阵。
5. 框架和库的格式：不同的机器学习框架和库对于tensor的格式有自己的规定。
例如，TensorFlow中的tensor是一个多维数组，可以通过指定维度来创建。
PyTorch中的tensor也是类似的多维数组，可以通过指定形状和数据类型来创建。
总结起来，tensor是一种多维数组或矩阵的数据结构，可以表示和存储各种类型的数据。
它具有维度和形状、数据类型、存储顺序等特征。
在机器学习中，tensor是一种重要的数据结构，用于存储和处理输入数据、模型参数和输出结果。
不同的框架和库对于tensor的格式有自己的规定，但它们都提供了相应的操作和函数来处理和操作tensor数据。
tensor向量的维度问题
tensor向量的维度问题Tensor是机器学习中常用的数据结构，它可以用于表示多维数组或矩阵。
而在使用tensor时，维度是一个重要的概念，它决定了tensor的形状和大小。
本文将围绕tensor向量的维度问题展开讨论，并介绍一些与维度相关的概念和操作。
一、什么是维度维度是描述tensor的形状和大小的属性，它表示tensor中的轴的数量。
例如，一个一维tensor（向量）只有一个轴，二维tensor （矩阵）有两个轴，三维tensor有三个轴，以此类推。
维度通常用整数表示，例如1维、2维、3维等。
二、维度的表示方法在机器学习中，我们常用的表示维度的方法是使用方括号。
例如，一个2维tensor可以表示为[行数, 列数]，一个3维tensor可以表示为[深度, 行数, 列数]。
这种表示方法可以清晰地展示tensor 每个轴上的大小。
三、维度的重要性维度在机器学习中非常重要，它决定了tensor的形状和大小，直接影响了模型的输入和输出。
在进行各种数据处理和模型训练时，我们需要根据实际需求对tensor的维度进行操作和调整，以满足算法的要求。
四、维度的操作1. 改变维度：有时候我们需要改变tensor的维度，可以使用reshape操作来实现。
reshape操作可以将一个tensor转换为具有不同形状的新tensor，但是需要保持元素的总数不变。
例如，将一个2×2的矩阵reshape为4×1的向量。
2. 扩展维度：有时候我们需要在现有的tensor中添加新的维度，可以使用expand_dims操作来实现。
expand_dims操作可以在指定位置插入一个新的维度。
例如，将一个形状为(3,)的向量扩展为形状为(1, 3)的矩阵。
3. 压缩维度：有时候我们需要将tensor的某些维度进行压缩，可以使用squeeze操作来实现。
squeeze操作可以删除维度为1的轴。
例如，将一个形状为(1, 3)的矩阵压缩为形状为(3,)的向量。
IntroductiontoTensors
k'=1, l'=2 k'=2, l'=2
0
0
since
is symmetric. since i and j are dummy indices.
=>
Similarly for all
General definition of the scalar product:
16
Define as the inverse matrix of :
Zero tensor 0 has all its components zero in all coord systems.
Main theorem oBiblioteka tensor analysis:
If two tensors of the same type have all their components equal in one coord system, then their components are equal in all coord systems.
11 4. Inner product: contraction in conjunction with outer product
e.g.: Again, result is a scalar if no free indices remain, e.g,
5. Index permutation: e.g.,
Differentiation of Tensors
Notation:
;
, etc.
12
IF transformation is linear (so that p's are all constant) => derivative of a tensor wrt a coordinate is a tensor only for linear transformations (like rotations and LTs) Similarly, differentiation wrt a scalar (e.g., ) yields a tensor for linear transformations.
tensor(张量)
张量（Tensor）是一种多维数组或矩阵的数学对象，广泛应用于数学、物理学和计算机科学等领域。
在机器学习和深度学习中，张量是存储和处理数据的主要数据结构。
在计算机科学中，张量可以被看作是一种多维数组，具有固定形状（即各个维度的大小）和数据类型。
例如，0维张量是一个标量（scalar），1维张量是一个向量（vector），2维张量是一个矩阵（matrix），3维及以上的张量则可看作是更高维度的数组。
在深度学习中，张量是神经网络的输入、输出和参数的表示形式。
通过张量，神经网络可以对数据进行传递和处理。
张量的形状描述了数据的维度，而张量的数据类型决定了数据的表示方式（如整数、浮点数等）。
张量可以进行各种数学运算，如加法、减法、乘法、除法等。
在深度学习中，通常使用张量来表示输入数据、模型参数、损失函数和梯度等。
常见的机器学习框架（如TensorFlow和PyTorch）提供了张量操作的库函数，使得处理张量变得更加高效和方便。
通过这些库函数，我们可以对张量进行各种数学运算、逐元素操作、矩阵乘法等，从而构建和训练复杂的神经网络模型。
总之，张量是一种多维数组或矩阵的数学对象，广泛应用于数学、物理学和计算机科学等领域。
在机器学习和深度学习中，张量是存储和处理数据的主要数据结构，用于表示输入、输出、参数和梯度等。
tensor向量的维度问题
tensor向量的维度问题摘要：1.张量和向量的概念2.维度操作2.1 拼接2.2 维度扩展2.3 压缩2.4 转置2.5 重复正文：一、张量和向量的概念在深度学习中，我们经常接触到张量（tensor）和向量（vector）这两个概念。
向量是只有一个维度的数组，而张量是多维数组，可以理解为多维向量。
张量在深度学习中具有广泛的应用，如表示图像、文本等数据。
二、维度操作维度操作是张量处理中常见的操作之一，主要包括以下几种：1.拼接拼接是将两个或多个张量在指定维度上进行连接。
例如，我们可以将两个张量在第一个维度上进行拼接，从而将它们组合在一起。
在PyTorch 中，可以使用`torch.cat()`函数实现拼接操作。
2.维度扩展维度扩展是在张量的某个维度上添加新的元素，从而扩展张量的维度。
例如，我们可以将一个一维张量扩展为二维张量，或将一个二维张量扩展为三维张量。
在PyTorch 中，可以使用`torch.unsqueeze()`或`torch.cat()`函数实现维度扩展操作。
3.压缩压缩是删除张量中的某些维度，从而减小张量的维度。
例如，我们可以将一个三维张量压缩为一维张量，或将一个二维张量压缩为一维张量。
在PyTorch 中，可以使用`torch.squeeze()`函数实现压缩操作。
4.转置转置是将张量的维度进行转置，例如将行向量转换为列向量，或将列向量转换为行向量。
在PyTorch 中，可以使用`torch.transpose()`函数实现转置操作。
5.重复重复是将张量的某个维度上的元素重复多次，从而扩展张量的维度。
例如，我们可以将一个一维张量重复为二维张量，或将一个二维张量重复为三维张量。
在PyTorch 中，可以使用`torch.repeat()`或`torch.cat()`函数实现重复操作。
数学分析简明教程第二版下册课程设计 (2)
数学分析简明教程第二版下册课程设计课程目标本课程旨在为学生提供数学分析的基本理论和方法，培养学生逻辑思维和数学分析问题的能力。
具体目标包括：1.掌握数学分析基本概念；2.熟练掌握和运用数学分析基本方法；3.培养逻辑思维和分析问题的能力；4.发展学生的数学创新精神。
教学内容本课程包括以下教学内容：1.多元函数微积分学：包括梯度、散度、旋度、曲线积分、面积积分、体积积分等；2.常微分方程：包括一阶和二阶常微分方程的初值问题、常系数和非齐次线性方程、拉普拉斯变换等；3.偏微分方程：包括一阶和二阶的常微分方程、泊松方程、热传导方程、波动方程、傅里叶变换等；4.线性代数：包括向量空间、线性方程组、矩阵和行列式、特征值和特征向量、线性变换等。
教学方法本课程采用理论教学与问题解决相结合的教学方法，强调理论知识的实用性和问题解决能力的培养。
具体教学方法包括：1.理论课教学：讲授数学分析基本概念和方法；2.实例演示：通过具体例子演示和解析，帮助学生理解和掌握数学分析的基本方法；3.课程设计：布置数学分析问题的练习和课程设计，培养学生逻辑思维和分析问题的能力；4.课程报告：组织学生进行课程报告，展示数学分析的应用和发展前景。
评价方式本课程评价方式包括学习成绩和课程设计成果两部分。
1.学习成绩：包括课堂表现、作业和考试成绩；2.课程设计成果：包括课程设计报告、课本注释和发言等。
评价方式具体细节和依据将在课程开始前详细说明。
参考文献1.《高等数学》（第七版，上册），北京：高等教育出版社，2019；2.《高等数学》（第七版，下册），北京：高等教育出版社，2020；3.Spiegel, Murray R. & Liu, John. (2019). Vector Analysis andan Introduction to Tensor Analysis. Singapore: World ScientificPublishing.结束语本课程要求学生掌握数学分析的基本理论和方法，培养学生逻辑思维和分析问题的能力。
tensor的格式 -回复
tensor的格式-回复什么是Tensor的格式？Tensor是一种多维数组（也可以理解为矩阵），在数学和计算机科学中广泛应用。
它可以表示任意维度的数据和多种数据类型，是深度学习和机器学习中最基本的数据结构之一。
Tensor有多种格式，其中最常见的是一维（向量）、二维（矩阵）和三维（张量）。
在深度学习中，常常使用高维度的tensor表示复杂的数据和模型参数。
一维tensor是最简单的形式，它只有一个维度，例如[1, 2, 3, 4, 5]。
通常用来表示一组数值，可以是一维向量或者行/列向量。
二维tensor是一个矩阵，包含两个维度：行和列。
例如，[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]。
矩阵表示常用于图像处理中，每个元素可能表示一个像素的亮度或颜色值。
三维tensor也被称为张量，包含三个维度：高度、宽度和深度。
例如，一个RGB图像可以表示为一个形状为[Height, Width, 3]的三维tensor，其中3表示R、G和B三个颜色通道。
同样，一部视频可以表示为一个形状为[Frames, Height, Width, 3]的四维tensor，其中Frames表示视频中的帧数。
除了上述常见的三种tensor格式，还存在更高维度的tensor，例如四维以上的tensor。
在深度学习中，更高维度的tensor通常用于表示复杂的神经网络模型的参数或输入数据。
除了维度，tensor还具有数据类型。
常见的数据类型包括整数、浮点数、布尔值等。
选择合适的数据类型可以有效地节省内存和提高计算效率。
Tensor的格式和数据类型对于深度学习和机器学习中的数据处理、模型训练和预测任务非常重要。
合理使用tensor格式和数据类型，可以提高计算效率、降低存储空间，并保证数据的正确解释和计算。
总之，tensor是一种多维数组，常用于表示深度学习和机器学习中的数据和模型参数。
不同的tensor格式和数据类型适用于不同的应用场景，合理选择和使用tensor格式和数据类型是设计高效深度学习模型的重要一步。
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2 ih
Reference books: 2 Welty J., Wicks, C. E., Wilson, R. E., Rorrer, G. L., Fundamentals of Momentum, Heat, and Mass Transfer, 2000, Wiley
Reference books: 3 Robert S Brodkey and Harry C Hershey, Transport Phenomena: A Unified Approach, 1988, McGraw-Hill
6.
1)
Application and importance of transport phenomena
they widely exist in many industries or processes, not only in chemical industry, such as civil engineering 土 木 工 程 , biotechnology, mechanical engineering, aviation and spaceflight航空航天……; they are the important base or fundamentals for the knowledge structure of a chemical engineer;
w
v
(v w)
是单位矢量，与二矢量组成的平面垂直，符合右 手螺旋法则。矢量积的大小等于二矢量组成的平行四 [v v ] 0 边形面积。
矢量和张量表示方法
矢量运算的几何表示
• 二矢量的叉积（矢量积）：
定义： [v w] (vwsin vw )nvw v [v w] [ w v ] 交换律（不成立） ： 结合律（不成立） ：[u [v w]] [[u v ] w] [[ u v ] w ] [ u w ] [ v w] 分配律：
• 矢量和张量作类似运算时，上述定律不一定成立。
矢量和张量表示方法
矢量运算的几何表示
• 矢量的大小定义： v
二个矢量相等：大小相同, 方向亦相同。不一定同线，亦 不一定同原。如果大小相同，但方向相反，则 v w
• 矢量的加法和减法：
w v+w
w v
v- w
v
交换律： (v w) (w v ) 结合律： (v w) u v (w u )
Course Requirements
• • • • Attending classes Paying attention to all classes Taking notes Completing assignments
Your grade: • 70% from final exam; • 30% from attendance and assignments.
2.Why these three kinds of transport phenomena put together to learn? Several reasons: 1) they occur simultaneously同时 in chemical industry often, useful to solve real problems; 2) the mechanism is very similar or all most the same; 3) the math expressions for the three transport phenomena are similar.
3.The mechanisms of transport phenomena 1) Diffusion扩散: Molecular transport;
Vy y
Vx
x
2) Convection对流: Laminar flow 层流 and Turbulent湍流 or eddy 漩涡 transport V
ijk 1
ijk 1
ijk 0
if ijk=123, 231, or 312 if ijk=321, 132, or 213 if any two subscripts are the same
矢量和张量表示方法
矢量运算的解析表示
• 在求证矢量等式关系时 , 三个有用的关系式：
矢量和张量表示方法
• 标量，矢量和张量的符号表示法： 如果括号内只含有加 v 标量：s ； 矢量： ； 张量： 法和减法运算 ,括号的类
型就无特别意义。 • 矢量和张量的几种乘法运算： ．点积； ：双点积； 叉积； 并积
• 运算结果的类型表示法：
（ ）＝标量；［ ］＝矢量；｛ ｝＝张量
Advanced Transport Phenomena
高等传递现象
Dr W Wang 王维
Brief introduction
1.What kinds of transport processes we will discuss? 1) not public transport, not information transport. Alternatively they occur in chemical industry widely. They are momentum, heat and mass transfer. 2) What is Momentum? Heat? Mass?
Textbook: Bird R B, Stewart W E and Lightfood E N, Transport phenomena, second edition, 2002, John Wiley & Sons, Inc.
Reference books: 1 沙庆云 主编，传递原理，2003，大连理 工大学出版社
矢量和张量表示方法
矢量运算的几何表示
• 矢量和标量的乘法：
仍为一矢量 , 大小改变 , 但方向不变。
s v 交换律： v s
结合律： r (sv ) (rs)v ( q r s ) v q v r v s v 分配律：
• 二矢量的点积（标量积）：
y
y
Vx
x
4.The aims of studying transport phenomena Aims at: 1) to find velocity profile 侧 型 ， 分 布 , temperature profile and concentration profile; 2) to get heat transfer rate and mass transfer rate; 3) to understand the stress acting on fluid or wall, to find friction loss 摩擦损失 and pressure drop压降
5. The method used in the study of transport phenomena
Mainly mathematical method, differential equations微分方程, under the condition of understanding the physical background of a problem.
定义： (v w) vw cosvw ( u v ) ( v u) 交换律： 结合律（不成立）： (u v )w u (v w) 分配律： (u {v w}) (u v ) (u w)
[v w]
w
• 多重矢量积：
上面几种乘法的组合
rs v s[v w] s(v w) [u [v w]] (u [v w]) ([u v ] [w z ]) [[u v ] [w z ]]
矢量和张量表示方法
矢量运算的解析表示
• 只限于直角坐标系；以1, 2, 3标记坐标轴，对应于x, y, z。两个重要符号： 克罗内克符号(Kronecker delta): ij 1 if i=j ij 0 if i≠j 交错单位张量符号(Permutation unit tensor symbol):
MIT
Transport phenomena
1960 Wisconsin
Fluid flow heat transfer mass transfer
MIT
8.New application of transport phenomena in biotechnology
1) new bioreactor technology 2) tissue engineering组织工程 (cultured engineered tissue, preservation process of the tissue) 3) Micro-encapsulation微胶囊化 of cells
Chemical Engineering Technology, Wiley
பைடு நூலகம்
Reference journals
Separation and Purification Technology， Elsevier Science
Journal of membrane Science, Elsevier Science
Reference journals
AIChE Journal, Wiley
Chemical Engineering Science, Elsevier Science