江西2015届高考数学二轮专题复习之专项检测8Word版含答案

8 函数性质在运用中的巧思妙解
1．已知函数f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝13x ＋2 013
－a ，则f (log 31
2)＝________.
答案 1
2 015×2 014
解析 由题意，可知函数f (x )为奇函数，
所以f (0)＝1
30＋2 013－a ＝0，
解得a ＝1
2 014，所以当x ≥0时，
f (x )＝13x ＋2 013－1
2 014
.
所以f (log 32)＝13log 32＋2 013－1
2 014
＝12 015－12 014＝－12 015×2 014
. 从而f (log 31
2
)＝f (－log 32)
＝－f (log 32)＝1
2 015×2 014
.
2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＝________. 答案 337
解析 ∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2， 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，
∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1， f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，
f (6)＝f (0)＝0，
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12) ＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝1，
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝1×2 010
6＝335.
而f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2，
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝335＋2＝337.
3．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2，若对任意的x ∈[－2－2，2＋2]，不等式f (x ＋t )≤2f (x )恒成立，则实数t 的取值范围是________． 答案 (－∞，－2] 解析 设x <0，则－x >0. f (－x )＝(－x )2， 又∵f (x )是奇函数， ∴f (x )＝－x 2.
∴f (x )在R 上为增函数，且2f (x )＝f (2x )．
∴f (x ＋t )≤2f (x )＝f (2x )⇔x ＋t ≤2x 在[－2－2，2＋2]上恒成立， ∵x ＋t ≤2x ⇔(2－1)x ≥t ，
要使原不等式恒成立，只需(2－1)(－2－2)≥t ⇒t ≤－2即可．
4．(2013·天津改编)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________．
答案 ⎣⎡⎦⎤
12，2 解析 由题意知a >0，又log 2
1a ＝log 2a －
1＝－log 2a .
∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 2
1a )，
∵f (log 2a )＋f (log 2
1a )≤2f (1)，
∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)． 又∵f (x )在[0，＋∞)上递增， ∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1，
∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.
5．函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a
＝20.2·f (20.2)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝(log 2
114)·f (log 2
11
4
)，则a ，b ，c 的大小关系是________．
答案 b >a >c
解析 因为函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称， 所以y ＝f (x )关于y 轴对称． 所以函数y ＝xf (x )为奇函数．
因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，
所以当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0， 函数y ＝xf (x )单调递减，
从而当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减．
因为1<20.2<2,0<ln 2<1，log 12
1
4
＝2，
从而0<ln 2<20.2<log 12
1
4
，
所以b >a >c .
6．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件： ①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；
②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)； ③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．
则f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系是______________． 答案 f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)
解析 由已知得f (x )是以4为周期且关于直线x ＝2对称的函数．
所以f (4.5)＝f (4＋12)＝f (1
2)，
f (7)＝f (4＋3)＝f (3)，
f (6.5)＝f (4＋52)＝f (5
2)．
又f (x )在[0,2]上为增函数． 所以作出其在[0,4]上的图象知 f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)．
7．已知函数f (x )是R 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 8(x ＋1)，则f (－2 013)＋f (2 014)的值为________． 答案 13
解析 当x ≥0时，有f (x ＋2)＝－f (x )， 故f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )． 由函数f (x )在R 上为偶函数，
可得f (－2 013)＝f (2 013)， 故f (2 013)＝f (4×503＋1)＝f (1)， f (2 014)＝f (4×503＋2)＝f (2)．
而f (1)＝log 8(1＋1)＝log 82＝1
3，
f (2)＝f (0＋2)＝－f (0)＝－lo
g 81＝0.
所以f (－2 013)＋f (2 014)＝1
3
.
8．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a ，a ≤
b ，
b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则
函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________． 答案 1
解析 依题意，h (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，0<x ≤2，
－x ＋3，x >2.
当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数； 当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数， ∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.
9．(2013·江苏)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________________． 答案 (－5,0)∪(5，＋∞)
解析 由已知得f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2
－4x ，因此f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－4x ，x ≥0－x 2
－4x ，x <0 不等式f (x )>x 等价于⎩
⎪⎨⎪⎧ x ≥0x 2－4x >x ，或⎩⎪⎨⎪⎧
x <0
－x 2－4x >x ，
解得：x >5或－5<x <0.
10．已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，有下列4个命题：
①若f (1＋2x )＝f (1－2x )，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ②y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x ＝2对称；
③若f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝－f (x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称； ④若f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 其中正确命题的序号为________．
答案 ①②④
解析 1＋2x ＋1－2x 2＝1，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故①正确；对于②，令t
＝x －2，则问题等价于y ＝f (t )与y ＝f (－t )图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t
＝0对称，即函数y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x －2＝0即x ＝2对称，故②正确；由f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，我们只能得到函数的周期为4，即只能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4k (k ∈Z )对称，不能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对
称，故③错误；由于函数f (x )为奇函数，由f (x )＝f (－x －2)，可得f (－x )＝f (x ＋2)，由于
－x ＋x ＋2
2＝1，可得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故④正确．
11．设函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x >0时，f (x )>1. (1)求证：f (x )是R 上的增函数； (2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3. (1)证明 方法一 设x 1<x 2， ∴Δx ＝x 2－x 1>0，∴f (Δx )>1，
∴f (x 2)＝f (x 1＋Δx )＝f (x 1)＋f (Δx )－1>f (x 1)， ∴f (x )是R 上的增函数．
方法二 ∵f (0＋0)＝f (0)＋f (0)－1，∴f (0)＝1， ∴f (0)＝f (x －x )＝f (x )＋f (－x )－1＝1， ∴f (－x )＝2－f (x )．设x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， ∴f (x 2－x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)－1
＝f (x 2)＋2－f (x 1)－1＝f (x 2)－f (x 1)＋1>1， ∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)， ∴f (x )是R 上的增函数．
(2)解 f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，∴f (2)＝3， ∴f (3m 2－m －2)<3＝f (2)．
又由(1)的结论知f (x )是R 上的增函数，
∴3m 2－m －2<2，∴－1<m <4
3
.
12．已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性； (2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围． 解 (1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝a (21x
－22
x )＋b (31x
－3
2
x )．
∵21x
<22
x ，a >0⇒a (21x －2
2
x )<0，
31x
<3
2x ，b >0⇒b (31x
－32
x )<0，
∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数． 当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0，
当a <0，b >0时，⎝⎛⎭⎫32x >－a
2b
， 则x >log 1.5⎝⎛⎭
⎫－a 2b ； 当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a 2b
，则x <log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b . 故a <0，b >0时，x ∈(log 1.5(－a
2b
)，＋∞)；
a >0，
b <0时，x ∈(－∞，log 1.5(－a
2b
))．。