2019版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第7讲 空间中角与距离的计算课时作业 理

第7讲 空间中角与距离的计算

1．如图X8­7­1，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E ，F 分别是BC ，DD 1的中点，则B 1到平面ABF 的距离为( )

A.33

B.55

C.53

D.2 55

图X8­7­1 图X8­7­2

2．(2016年黑龙江哈尔滨六中统测)如图X8­7­2，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，若BC ⊥AC ，∠BAC ＝π

3

，AC ＝4，

AA 1＝4，M 为AA 1的中点，P 为BM 的中点，Q 在线段CA 1上，A 1Q ＝3QC .则异面直线PQ 与AC 所成角的正弦值为( )

A.3913

B.21313

C.23913

D.1313

3．如图X8­7­3，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的正切值是( )

A.23

B.22

C.23

D.63

图X8­7­3 图X8­7­4 4．若正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为( ) A.35 B.45 C.34 D.55 5．已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为________．

6．如图X8­7­4，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC ­A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为2 2，则AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为____________．

7．(2017年山东)如图X8­7­5，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF 的中点．

(1)设P 是CE 上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小； (2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E ­AG ­C 的大小．

图X8­7­5

8．(2017年广东深圳一模)如图X8­7­6，四边形ABCD 为菱形，四边形ACFE 为平行四边形，设BD 与AC 相交于点G ，AB ＝BD ＝2，AE ＝3，∠EAD ＝∠EAB .

(1)证明：平面ACFE ⊥平面ABCD ；

(2)若AE 与平面ABCD 所成角为60°，求二面角B ­EF ­D 的余弦值．

图X8­7­6

9．(2016年新课标Ⅱ)如图X8­7­7，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，

CD 上，AE ＝CF ＝5

4

，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到 △D ′EF 的位置，OD ′＝10.

(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ；

(2)求二面角B ­D ′A ­C 的正弦值．

图X8­7­7

第7讲 空间中角与距离的计算

1．D

2．C 解析：以C 为原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴，CC 1为z 轴，建立如图D156所示的空间直角坐标系，

图D156

则由题意，得A (0,4,0)，C (0,0,0)，B (4 3，0,0)，M (0,4,2)，A 1(0，4,4)，P (2 3，2,1)．则CQ →＝14CA 1→＝

1

4

(0,4,4)＝(0,1,1)．∴Q (0,1,1)，AC →＝(0，－4,0)，PQ →

＝(－2 3，－1,0)．设异面直线PQ 与AC 所成角为θ，cos

θ＝|cos 〈AC →，PQ →

〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4413＝113

，∴sin θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1132＝23913.故选C.

3．B 解析：BB 1与平面ACD 1所成角即DD 1 与平面ACD 1所成角，即∠DD 1O ，其正切值是OD DD 1＝2

2

. 4．B 解析：方法一(间接法)，由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B 1D ⊥平面ACD ，∴B 1D ⊥DC .故△B 1DC 为直角三角形．

不妨设棱长为1，则有AD ＝52，B 1D ＝32，DC ＝52

. ∴1B DC

S

＝12×32×52＝15

8

. 设A 到平面B 1DC 的距离为h ， 则有1

-A B DC V ＝1-B ADC V ，

∴1

3

×h ×1B DC

S ＝1

3

×B 1D ×S △ADC . ∴13×h ×158＝13×32×12.∴h ＝25

. 设直线AD 与平面B 1DC 所成的角为θ，

则sin θ＝h AD ＝4

5

.

方法二(向量法)，如图D157，取AC 的中点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系．

图D157

不妨设各棱长为2，

则有A (0，－1,0)，D (0,0,2)，C (0,1,0)，B 1(3，0,2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面B 1CD 的法向量，

则有⎩⎪⎨

⎪⎧

n ·C D →＝0，

n ·CB 1→＝0

⇒⎩⎨

⎧

－y ＋2z ＝0，

3x －y ＋2z ＝0

⇒n ＝(0,2,1)．

设直线AD 与平面B 1DC 所成的角为θ，

∴sin θ＝cos 〈A D →

，n 〉＝A D →·n |A D →|·|n |

＝45.

5.

102 解析：过B ，D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M ，N .则可求得AM ＝12，BM ＝32，CN ＝12，DN ＝32

，MN ＝1.∵BD →＝BM →＋MN →＋ND →.∴|BD →|2＝|BM →＋MN →＋ND →|2＝|BM →|2＋|MN →|2＋|ND →|2＋2(BM →·MN →＋MN →·ND →＋BM →·ND →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋1

2

＋⎝

⎛⎭⎪⎫322＋2(0＋0＋0)＝52.∴|BD →

|＝102. 6.

π

6

解析：方法一，如图D158，以C 为原点建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，C 1(0,0, 2 2)．点C 1在侧面ABB 1A 1内的射影为点C 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫

32，32，2 2.

图D158

∴AC 1→

＝(－2,0,2 2)，

AC 2→＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1

2，32，2 2.

设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为θ，

则cos θ＝AC 1→·AC 2

→|AC 1→||AC 2→|

＝

1＋0＋8

2 3×3＝32

.

又θ∈⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以θ＝π6.

方法二，取A 1B 1的中点H ，连接AH ，由题意易知C 1H ⊥平面ABB 1A 1，∴∠C 1AH 即为AC 1与平面ABB 1A 1所成的角．在

Rt△C 1HA 中，C 1H ＝3，C 1A ＝AC 2＋CC 2

1＝2 3，

∴∠C 1AH ＝π6，即AC 1与侧面ABB 1A 所成角为π

6

.

7．解：(1)因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ， 又AB ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP ＝A ， 所以BE ⊥平面ABP .

又BP ⊂平面ABP ，所以BE ⊥BP . 又∠EBC ＝120°， 所以∠CBP ＝30°.

(2)方法一，取EC 的中点H ，连接EH ，GH ，CH ，如图D159. 因为∠EBC ＝120°，所以四边形为BEHC 为菱形．

所以AE ＝GE ＝AC ＝GC ＝32＋22

＝13. 取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC . 则EM ⊥AG ，CM ⊥AG .

所以∠EMC 为所求二面角的平面角．

又AM ＝1，所以EM ＝CM ＝13－1＝2 3.