天津市大港区第六中学人教版中考数学复习旋转中的最值问题课件

【解答】解：（1）如图①， ∵点A（4，0），点B（0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB= = 5 ∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得 △A′BO′， ∴BA=BA′，∠ABA′=90°， ∴△ABA′为等腰直角三角形 ∴AA′= BA=5
24.在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针 旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α． ※（Ⅱ）如图②，若α=120°，求点O′的坐标 ■分析：要求点O′的坐标，需要求出点O′到Y轴的距 离及点O′到X轴的距离，故作出相应的辅助线，构造 直角三角形，根据已知条件进行解直角三角形即可。 （2）作O′T⊥y轴于H，如图②， ∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得 △A′BO′， ∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°， ∴∠TBO′=60°， 在Rt△BTO′中， 3 sin 30 COS 30 ， ∵∠BO′T=90°﹣∠TBO′=30° 2 ，O′T=BO ∴BT= BO′ = 9 3 2 ， = 2
变式2—平移中的线段和最 值
（天津 2010） （25）在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点， 顶点 A、B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， OA 3 ， OB 4 ，D 为边 OB 的中点. （Ⅰ）若 E 为边 OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标； （Ⅱ）若 E 、 F 为边 OA 上的两个动点，且 EF 2 ，当四边形 CDEF 的周长最 小时，求点 E 、 F 的坐标
三、说规律，说拓展
变式1---如图，边长为6的等边△ABC中，M是高AD所在直线上的一个动点，连接 CM，将线段CM绕点C逆时针旋转60°得到CN，连接DN．则在点M运动过程中， 线段DN的最小值为( )
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形 的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等 三角形是解题的关键，也是本题的难点
通过这道题我们要给孩子们展现这样一个思路：无论什 么题都要从基本概念出发，抓住知识的本源。本题的关 键在旋转而最值只是附属品，如果我们只盯着“最值” 往往会被“动点”绕晕，以至于无从下手，其实“最值” 是旋转过程中出现的一个结果。抓住旋转的实质—只改 变位置，找到全等的三角形从而找到解题的关键：从旋 转出发→找基本图形和基本结论→将不确定的元素尽可 能转化为确定的元素→利用熟悉的几何最值解决问题。
o o
3 3 2
∴OT=OB+BT=3+ 2 =2 ∴O′点的坐标为（ ， ）；
3 3
9
，
ห้องสมุดไป่ตู้
24.在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针 旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α． ※（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OA上 的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得 最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可） 转化 ■分析：由旋转的性质得BP=BP′，则O′P+BP′=O′P+BP，作B点 关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，易得 O′P+BP=O′C，利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最 小，接着利用待定系数法求出直线O′C的解析式为y= x﹣3， 从而得到P（ ，0），则O′P′=OP= ，作P′D⊥O′H于 D，然后确定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三边的关系 可计算出P′D和DO′的长，从而可得到P′点的坐标． ■问题解决的关键点：1.线段和的转化 2.将军饮马 问题模型的应用 3.计算
对于同学们的考察还是比较全面的。
■.试题3问，共10分.
❖ 在知识方面考查了
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旋转基本性质 解直角三角形的相关计算，相似 线段和最小值—最短路径问 题
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…
❖ 在能力方面考查了
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推理计算的能力 转化、类比思想 数形结合，函数的思想
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二、各点分析及解法
在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针 旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α． ※（Ⅰ）如图①，若α=90°，求AA′的长； 分析：如图①，先利用勾股定理计算出AB=5，再根据旋转 的性质得BA=BA′，∠ABA′=90°，则可判定△ABA′为等腰直 角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长；
一、说题意
说 题
二、各点分析及解法
三、说规律，说拓展
四、说教学价值
一、说题意
❖ 题目来源
■.2016天津市初中毕业生学业考试数学第24题. ■.本题考查了三大变换之旋转问题，旋转这一类
问题对于同学们来说更加考验空间想象力，另外今
年的这道几何压轴题还增加了计算的难度，在计算
准确度和计算量上都多于往年天津中考几何压轴题，
2016 年天津市初中毕业生学 业考试数学第（ 24 ）题分析
----旋转中的最值问题
李珊珊
2016天津中考数学第（24）题
24.在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0）， 点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转，得 △A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′， 记旋转角为α． ※（Ⅰ）如图①，若α=90°，求AA′的长； ※（Ⅱ）如图②，若α=120°，求点O′的坐标 ※（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OA上 的一点P旋 转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时 ，求点P′的坐标（直接写出结果即可）
教材模型1，如图（1）要在燃气管道l 上修建一个泵站，向A、B两镇供气， 泵站修在管道的什么地方，可使所有的 输气管道最短？
A l P
B
B′
三、说规律，说拓展
与图形旋转有关的计算： 1.求点坐标---（1）给出旋转角（一般是特殊角） 求点坐标，在图中找到对应的旋转角和所求点， 作出相应辅助线，构造直角三角形，利用锐角三 角函数求点到X轴、y轴的距离；（2）图形旋转满 足某个条件时求点坐标，先观察图形旋转过程， 找到满足条件时的位置和对应点，作出适当的辅 助线，利用勾股定理、锐角三角函数或全等三角 形等知识进行求解 2.求线段长---求出两个端点坐标利用勾股定理求 解；不能求出两个端点坐标，可以考虑旋转的性 质将其转化到特殊直角三角形求解；也可以通过 构造相似求线段长度。