基于有界理性的非线性寡头动态价格博弈

第31卷第2期

2019年4月沈阳大学学报(自然科学版)

J o u r n a l o f S h e n y a n g U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)V o l.31,N o.2 A p r.2019

文章编号:2095-5456(2019)02-0122-07

基于有界理性的非线性寡头动态价格博弈

董海1a,任鹤1b,乔若真2

(1.沈阳大学a.应用技术学院,b.机械学工程院,辽宁沈阳110044;

2.东北大学机械工程学院,辽宁沈阳110819)

摘要:针对经济市场中的寡头竞争问题,建立一种非线性寡头动态价格竞争输出博弈模型,运用反向归纳法求解系统的纳什均衡解;基于有界理性预期进行决策,并对系统在不同参数条件下的情况进行数值仿真,分析倍周期分岔和混沌现象.仿真分析表明,基于参数变化的混沌控制方法可以控制动力系统的不稳定行为,促进了市场快速恢复稳定㊁有序的状态,为有效解决市场不稳定现象提供一种方法.

关键词:B e r t a n d博弈;有界理性;稳定性;分岔;混沌控制

中图分类号:N945文献标志码:A

寡头垄断是垄断与完全竞争之间的市场形态,市场对少数企业(寡头垄断者)具有支配性的影响.进入寡头垄断市场需要严格的条件,大部分市场份额被寡头企业所占据,最终形成激烈的竞争局面和高度的相互依存关系[1].当为竞争关系时,随着规模效应的产生,寡头企业的生产成本就会呈现出非线性增长的特点[2].但在实际情况中,往往不能完全预测市场的变化情况,由于市场信息的复杂性,企业将无法掌握市场的全部信息,因此,寡头企业采用有限理性进行决策,根据边际利润的变化来确定价格.近年来,双寡头博弈中两者之间的利益冲突问题得到了广泛研究.

法国经济学家A n t o i n eA u g u s t i nC o u r n o t于1838年最早提出寡头垄断市场竞争数学模型,即C o u r n o t模型[3].该模型描述了企业的生产决策相互影响机制,但却没有提出相应的协调策略,最早的纳什均衡中的应用版本便是此模型.佟岩等[4]构建了一个基于博弈理论的技术创新激励约束的博弈模型,采取不完全信息动态博弈方法,分析了在信息不完全和不对称条件下各自追求自身效用最大化的行为对技术创新活动的影响.林剑修[5]对二期时滞的双寡头价格竞争模型进行复杂性研究,并建立了相应的价格博弈系统来帮助企业发展做出决策.文献[6]通过对双寡头C o u r n o t-B e r t r a n d混合模型进行动力学研究,发现产量调整速度和价格调整速度过快都可以引起市场进入对两寡头都不利的混沌状态.文献[7]研究了具有有限理性的寡头垄断模型的一般公式,研究表明动态博弈会导致复杂的诸如周期和混乱行为.文献[8-10]研究了具有非线性需求函数的有限理性双寡头博弈的复杂性问题,得出市场陷入混沌的主要原因是寡头追求利润最大化而调节自身产量策略.文献[11]研究了时变时延离散网络系统的稳定性问题,采用L y a p u n o v泛函数,并引入了松散变量技术,获得新的基于线性矩阵不等式的稳定性条件.文献[12]研究了对于连续切换模糊系统的静态输出反馈控制问题,提出了一种充分条件,该条件可以确保系统通过输出反馈鲁棒镇定,并验证了其有效性.

上述研究大多是致力于研究模型的复杂性,且大多采用线性的成本函数,但在实际市场上,提高每单位产量,价格往往进行非线性增长.本文以B e r t r a n d模型为基础,研究双寡头价格竞争的动态博弈模型,构建了基于有限理性的非线性离散系统,分析了纳什均衡的存在性和稳定性.通过对该模拟系统进行动力学数值分析表明,调整控制参数可以有效调整系统的有序性和稳定性,实现混沌控制.

收稿日期:20181122

基金项目:辽宁省自然科学基金资助项目(201602514).作者简介:董海(1971),男,山东淄博人,沈阳大学教授.

1 双寡头产品动态价格博弈模型

假设某同质市场有两寡头厂商,在一个周期内,企业的产品达到产销平衡,若产品价格为顾客购买的主要因素,在离散时间周期t =1,2时,企业进行决策.若p i (

t )(i =1,2)表示企业i 对其自身产品制定的价格,q i (t )(i =1,2)表示第n 期市场对产品i 的需求数量,则企业市场内的需求函

数为

q i (t )=a i -b i p i (t )+e i p j (

t ).(1

)式中:a i ,b i ,e i >0,a i 表示市场对产品i 的最大需求量;b i 为价格敏感系数;e i 为差异化系数;i ,j =

1,2,i ʂj .

企业自身价格和交叉价格对市场需求的影响一般为0

C i =c i q 2i ,i =

1,2.(2

)式中,c i >0,i =1,2,c i 为企业分别选择的产品价格.

πi 为第

i 家企业在第t 期的税前利润,由此各寡头企业的收益利润函数表示如下:πi (q 1,q 2)=p i (t )(a i -b i p i (t )+e i p j (

t ))-c i (a i -b i p i (t )+e i p j (

t ))2

,i ,j =1,

2,i ʂj .(3)企业i 第t 期的边际利润为

췍πi (t )췍p i (t )=q i (t )+췍q i (t )췍p

i (t )p i (t )-2c i (t )q i (t )췍q i (t )췍p

i (t ),i =1,2.(4)则企业各自的边际利润如下:

ρ1=췍π1(p 1(t ),p 2(t ))췍p

1(t )=(2b 1c 1+1)ˑ(a 1-b 1p 1(t )+e 1p 2(t ))-b 1p 1(t );(5)ρ2

=췍π2(p 1(t ),p 2(t ))췍p 2(t )=(2b 2c 2+1)ˑ(a 2-b 2p 2(t )+e 2p 1(t ))-b 2p

2(t ).(6)假设博弈双方对上一期边际利润进行局部估

算后再进行调整,即进行决策时采用有限理性预期.如果企业在第t 期的利润为正,便在第t +1期提高产品价格;反之则降低产品价格.由此可得企业i 在第t +1期的产品价格为

p i (t +1)=p i (t )+v i p i (t )췍πi (p 1(t ),p 2(t ))췍p

i (t ),i =1,2.(7)式中v i (i =1,2)为正常量,是企业的调整速度,在此博弈过程中,博弈均衡的稳定性和博弈结果都会受到产品价格的调整速度的影响.因此,对于系统(7

)的动态模拟过程进行研究非常必要.在系统(7)中,令p i (t +1)=p i (

t ),i =1,2,动态双寡头利用非线性代数系统求解出模型的4个均衡点为E 0=(0,0),E 1=a 1(1+2b 1c 1)2b 1(1+b 1c 1),æèç

öø÷0,E 2=0,a 2(1+2b 2c 2)2b 2(1+b 2c 2æèçöø

÷),E 3=(p *1,p *

2).通过计算,其中的3个解E 0,E 1,E 2都在决

策临界区域上,即为系统(7)的有界均衡点,均衡点E 3是系统存在的唯一一个有意义的非负均衡点,该点是系统(7)

唯一的纳什均衡解,不在决策临界区域上.现对系统(7)

的稳定区域进行讨论.p *1,p

*

2的表达式如式(8)和式(9)所示:p *

1=

(1+2b 1c 1)(2a 1b 2(1+b 2c 2)+a 2e 1(1+2b 2c 2))4b 1b 2(1+b 1c 1)(1+b 2c 2)-e 1e 2(1+2b 1c 1)(1+2b 2c 2);

(8)p *

2=

(1+2b 2c 2)(2a 2b 1(1+b 1c 1)+a 1e 2(1+2b 1c 1)

)4b 1b 2(1+b 1c 1)(1+b 2c 2)-e 1e 2(1+2b 1c 1)(1+2b 2c 2)

.(9

)由式(8)和式(9)可以发现,调整速度v 1㊁v 2的变化不影响系统的纳什均衡点,系统(7)中不动点局部稳定性的研究取决于其雅可比矩阵的特征

值.系统(7)中任意点(p 1,p

2)的雅可比矩阵J 的形式如下:

J =1+v 1(ρ1-2p 1b 1(b 1c 1+1))(2b 1c 1+1)e 1v 1p 1(2b 2c 2+1)e 2v 2p 21+v 2(ρ

2-2p 2b 2(b 2c 2+1éëêêùûúú)).(10

)将E 3代入式(10)

,其雅可比矩阵的特征方程为

λ2

-T r (J )λ+D e t (J )=0.

(11)式(11)中λ为雅克比矩阵特征值,T r (J )

和D e t (J )

分别是雅克比矩阵的迹和行列式,其表达式如下:

T r (J )=2+v 1(ρ

1-2p 1b 1(b 1c 1+1))+v 2(ρ

2-2p 2b 2(b 2c 2+1));3

21第2期 董 海等:基于有界理性的非线性寡头动态价格博弈