从几道高考题看数形结合思想

从几道高考题看数形结合思想
作者：殷章华
来源：《理科考试研究·高中》2013年第07期
借助数与形的相互转化来研究和解决问题的数学思想叫做“数形结合思想”。

著名数学家华罗庚曾有过精辟的论述：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。

”数学中有许许多多的问题，通过数形结合来分析，可以快速直观地找到解决问题的思路，从而非常简单地得到答案。

数学高考的宗旨之一是考查考生对基础知识、基本技能、基本思想方法的掌握程度，将三者有机地结合，提高考查的层次，而数形结合思想正是这一宗旨的绝佳体现。

近些年的高考试题中对数形结合思想方法运用非常广泛，考生若注重这一思想方法的培养，解题时既省事又省时。

下面简单讨论一些具有代表性的高考题。

一、解决值域、最值问题
中学数学中经常出现此类问题，通过图形可以迅速判断出取值范围。

点评线性规划在教材中的地位决定了它在试卷中的地位，所以在高考中多以选择题、填空题的形式出现。

由于它的应用十分广泛，考的几率很大，它的内容单一，考纲要求不高，2013年及以后有可能与其他内容综合命题，要特别关注。

例2 求函数y=x-1-2x的值域。

点评本题可用多种解法，比较而言，利用数形结合解题更加容易，因为y1与y2这两个函数图象都是我们比较熟悉的，在定义域内y1与y2同时取得最大值，即可得到y的最大值。

二、解方程问题上的应用
通过绘制精确的数学图形来考虑方程的解，特别对于方程解的个数问题事半功倍。

（1）在同一坐标系中作出函数图象y1=12x，y2=|x-1|，如图4。

（2）作图时已不难发现并证明直线y1=12x与y2=|x-1|的图象相切。

（3）由图可直观地看出y=kx，k∈（0，12）时与y2=|x-1|有三个交点，即该方程的实数解有三个。

点评方程f（x）=g（x）的实数解，就是函数y1=f（x）与y2=g（x）图象交点的横坐标。

有些涉及到方程解的问题，可以通过将方程适当变形，使等号两边都是我们比较熟悉的函数，然后再通过函数的图象加以讨论。

三、解决某些数列问题
有时按照常规解法解决某些数列问题较为烦琐，不妨用数型结合来试一试。

解析除了可以用等差数列的基本性质解题外还可以通过数形结合来处理这个问题。

由于a1>0，a2003+a2004>0，a2003·a20040且a20040中最大的自然数是4006。

点评数列问题结合图形来解题比较少见，此题运用二次函数图象的特征将数与形巧妙的结合起来，使所求的Sn的范围变得很直观。

遇到此类问题可尝试这种解法。

四、解决不等式问题
不等式可以在坐标轴或数轴上表示出来，以此表示出不等式的解集。

点评此题方法较多，若能快速画出含有绝对值的函数图象对于解决该题有很大的帮助，此外方法三很好地运用了绝对值的几何意义，体现于数轴上，方法很独到。

点评考虑结论不等式，两边均为数的二次式，用三角形面积来证明比较方便。