板块5 高考22题逐题特训 专题1 12+4分项练2 数 列(教师版)备战2020年高考理科数学二轮复习提分讲义

(二)数 列

1.(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )

A.16

B.8

C.4

D.2

答案 C

解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.

2.(2019·榆林模拟)在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，且满足a 3＋S 5＝12，a 4＋S 7＝24，则a 5＋S 9等于( )

A.24

B.32

C.40

D.72

答案 C

解析 ∵a 3＋S 5＝6a 3＝12，a 4＋S 7＝8a 4＝24，

∴a 3＝2，a 4＝3，∴a 5＝4，

∴a 5＋S 9＝10a 5＝40.

3.(2019·肇庆检测)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，公差d ＝2，a 1，a 3，a 4成等比数列，则S 8等于( )

A.－20

B.－18

C.－10

D.－8

答案 D

解析 等差数列{a n }的公差d ＝2，a 1，a 3，a 4成等比数列，

可得a 23＝a 1a 4，

即为(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝－8，

则S 8＝8×(－8)＋12

×8×7×2＝－8. 4.(2019·河南百校联盟考试)已知等差数列{a n }满足a 1＝32，a 2＋a 3＝40，则{|a n |}的前12项之和为( )

A.－144

B.80

C.144

D.304

答案 D

解析 ∵a 2＋a 3＝2a 1＋3d ＝64＋3d ＝40，∴d ＝－8，

∴a n ＝40－8n .

∴|a n |＝|40－8n |＝⎩⎪⎨⎪⎧

40－8n ，n ≤5，

8n －40，n ≥6，

∴前12项之和为5×(32＋0)2＋7×(8＋56)2

＝80＋224＝304.

5.(2019·毛坦厂中学联考)已知等差数列{a n }满足a 3＝3，a 4＋a 5＝a 8＋1，数列{b n }满足b n a n ＋1a n ＝a n ＋1－a n ，记数列{b n }的前n 项和为S n ，若对于任意的a ∈[－2,2]，n ∈N *，不等式S n <2t 2＋at －3恒成立，则实数t 的取值范围为( )

A.(－∞，－2]∪[2，＋∞)

B .(－∞，－2]∪[1，＋∞) C.(－∞，－1]∪[2，＋∞)

D .[－2,2] 答案 A

解析 由题意得a 4＋a 5＝a 8＋a 1＝a 8＋1，

则a 1＝1，等差数列{a n }的公差d ＝a 3－a 12

＝1， ∴a n ＝1＋(n －1)＝n .

由b n a n ＋1a n ＝a n ＋1－a n ，

得b n ＝1a n －1a n ＋1＝1n －1n ＋1

， ∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1

， 则不等式S n <2t 2＋at －3恒成立等价于1－1n ＋1

<2t 2＋at －3恒成立， 而1－1n ＋1<1， ∴问题等价于对任意的a ∈[－2,2]，n ∈N *,2t 2＋at －4≥0恒成立.

设f (a )＝2t 2＋at －4，a ∈[－2,2]，

则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≥0，f (－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧

t 2＋t －2≥0，

t 2－t －2≥0，

解得t≥2或t≤－2.

6.(2019·淄博实验中学诊断)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S n＋1＝2S n－1(n∈N*)，则a10等于()

A.128

B.256

C.512

D.1 024

答案 B

解析∵S n＋1＝2S n－1(n∈N*)，

n＝1时，a1＋a2＝2a1－1，a1＝2，a2＝1.

n≥2时，S n＝2S n－1－1，∴a n＋1＝2a n.

∴数列{a n}从第二项开始为等比数列，公比为2.

则a10＝a2×28＝1×28＝256.

7.(2019·南充质检)已知数列{a n}满足a1＝0，a n＋1＝a n－3

3a n＋1

(n∈N*)，则a56等于()

A.－ 3

B.0

C. 3

D.

3 2

答案 A

解析因为a n＋1＝a n－3

3a n＋1

(n∈N*)，

所以a1＝0，a2＝－3，a3＝3，a4＝0，a5＝－3，a6＝3，…，

故此数列的周期为3.

所以a56＝a18×3＋2＝a2＝－ 3.

8.《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈.头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈.爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)问：此民谣提出的问题的答案是()

A.72.705尺

B.61.395尺

C.61.905尺

D.73.995尺

答案 B

解析因为每节竹间的长相差0.03尺，

设从地面往上，每节竹长为a1，a2，a3，…，a30，