巧构向量解赛题

通过学习和应用编程语言与技巧，从中悟出编程的奥秘，从而学会创新，找寻更加合理的算法程序．
案例6人教A 版数学必修3第1.3节《算法案例》例4：“设计一个算法，把k 进制数a 化为十进制b ．”例题给出的算法程序如下(图7)．这个程序有些步骤不太简捷，如在此程序中，要求算出输入的图7
图8
数a 的位数，如果位数比较多，那么算起来不是特别方便；控制循环的条件用i n >来实现，也不是特
别简捷，理解起来较难；在程序中语句“10t aMOD =”重复出现．这些问题可以进行改进．因此，在课堂上，笔者发动学生优化该程序．学生在老师的鼓励下，显得特别来劲，通过小组交流，充分发表见解，最终将程序优化为图8列出的程序．课后我也感悟到，在这一节中，让学生优化课本的编程示例，可以充分的挖掘学生的创造性思维，并能激发其研究问题的热情，提高其学习兴趣，还能培养学生“不唯书，不唯本”的优良习惯，学会质疑，这是创新精神最可贵之处．因此教师在应用教材过程中，也应该充分发掘教材中的有效资源，有意识地去培养学生各方面的能力，让新课程理念贯彻到教学的实处．
课标课程重视信息技术的应用，这就要求一线教师应该努力将信息技术引入到课堂中，并将其与课程进行有效整合，在课堂上多应用信息技术来辅助教学，提高教学质量和教学效率，增强学生应用信息技术的意识，从而提高他们的学习兴趣，培养其自学能力，培养其探索精神，培养其创新意识．
巧构向量解赛题
江西省吉安师范学校
杨文光(343000)题目
给定曲线族()2
22sin cos 3x θθ+()8sin cos 10y θθ++=，θ为参数，求该曲线族
在直线2y x =上所截得的弦长的最大值．（1995
年全国高中数学联赛第2试试题）
解曲线族与直线2y x =相交于原点()0,0O 和另一交点为()00,P x y ，显然00x ≠，并且00,x y 满足方程
()()
222
0000
084sin 2cos 6y
x y x x y θθ++=，
构造向量()22000084,2a y x y x =+G
，()
sin ,cos b θθ=G ，由a b a b a b ≤≤G G G G G G ，即2a b G G 22a b ≤G G （当且仅当a G ,b G
共线时取等
号），
得2220
000[(84)sin (2)cos ]y x y x θθ
++2222222200
00[(84)(2)](sin cos )y x y x θθ≤+++，即2
222000
0(6)(84)x y y x ≤+22
00(2)y x +（*），
把002y x =代入（*）并整理得22000(616)0x x x +≤，因为00x ≠，所以080x ≤<或002x <≤．所以弦长||OP 的最大值为2
12
8085+=．
练习函数1cos sin cos 2
x
y x x +=
++的值域是______．
（第八届“希望杯”试题）
提示因为sin cos 20x x ++≠，所以原函数可转化为
()sin 1cos y x y x +=1
2y ．
构造向量(),1a y y =G ，()sin ,cos b x x =G
．即可得出答案：[]0,1．
INPUT “a,k,n=”;a,k,n b=0i=1
t=a MOD 10DO
b=b+t *k ^(i-1)a=a\10
t=a MOD 10i=i+1
LOOP UNTIL i>n PRINT b END
INPUT “a,k=”;a,k b=0i=0DO
t=a MOD 10b=b+t *k ^i i=i+1a=a\10
LOOP UNTIL a=0PRINT b END
46福建中学数学2008年第1期。