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量子统计
N E
e
l
l
l l
粒子按量子态的分布
fs 1 e
s
a
e
s
1
s
a
N
e
s
s
s
a
E
§5.3 热力学量的统计表达式
和 看作已知参量
巨配分函数
N
l
l
e
l
l
a
l
a
U E
l
e l a
能量在 d 范围内的可能状态数
3 1 2πV (2m) 2 2 d h3
p2 2m
p 2m
态密度 单位能量间隔内的可能状态数
3 1 2πV D 3 2m 2 2 h
p
dp
L dpx h
p
px
例2 一维体系中自由粒子的态密度
dp
动量在 px p x dp x 范围内的可能状态数
定域子：固体中的原子、离子，在各自平衡位置附近作 微振动，波函数几乎不交叠，可用位置加以分辨。
例4 2个粒子占据3个单体量子态的微观状态数 定域子 32 9
量子态1
量子态2 量子态3
玻色子 C231 6 2 量子态1 量子态2 量子态3
ln ln V dV d
ln d
ln d
ln ln ln d d dV V
ln ln d ln 1 ln ln dS kd ln kT kT
量子化学课件--第四章算符
（2）(Dˆ xˆ)2 (Dˆ xˆ)(Dˆ xˆ) Dˆ (Dˆ xˆ) xˆ(Dˆ xˆ) Dˆ 2 Dˆ xˆ xˆDˆ xˆ2 Dˆ 2 xˆDˆ 1 xˆDˆ xˆ2 Dˆ 2 2xˆDˆ xˆ2 1
4.2 本征函数与本征值
定义：若用算符Â作用于某一函数f(x)的结果为某一常
df (x) kf (x) dx
f e常数 ekx cekx
（1）对于每一个不同的本征值k，得到一个不同的本征函数。 （2）即使本征值k相同，若常数c不同，仍有不同的本征函数 。 （3）具有同一k值但不同c值的本征函数不是线性独立的。
df (x) kf (x) dx
当x趋向±∞时上式的解保持有限的边界条件？
xˆDˆ f (x) xˆ d [ f (x)] xf (x) dx
所以，这里 Aˆ Bˆ和 BˆAˆ 是不同的算符。
（3）相等算符
若Aˆ 和 Bˆ 是两个算符，对于所有的函数f，都有：
Aˆ f Bˆf ，则两个算符相等，即：Aˆ Bˆ
（4）单位算符（乘以1）1ˆ 和0算符（乘以0）0ˆ
例如： Dˆ xˆ 1ˆ xˆDˆ
Dˆ 2
d2 dx2
一函数取复共轭的算符，其平方等于单位算符。
➢一个算符的n次方等于此算符连续运算n次。
Dˆ n
dn dxn
（8）线性算符
只有具有下列两个性质时才是线性算符：
Aˆ[ f (x) g(x)] Aˆ f (x) Aˆ g(x)
Aˆ[cf (x)] cAˆ f (x)
如：xˆ2 ,
d, dx
d2 dx2
是线性算符，而平方根算符是非线性的。
公它线设们性：线算若性符组中1合，两个所2有得，用的…的恒也n等为是式某该：一体微系观可体能系存的在可的能状状态态。，由
量子力学——算符（精品pdf）
量子力学
算符
目录
一、位置算符
1.1 厄米算符 1.2 （位置算符）本征值与本征函数
1.3 正则对易关系
二、动量算符
2.1 动量算符导引 2.2 （动量算符）本征值与本征函数
七、自旋算符
7.1 概论 7.2 发展史 7.3 自旋量子数
7.3.1 基本粒子的自旋 7.3.2 亚原子粒子的自旋 7.3.3 原子和分子的自旋
中心的角色。角动量，动量，与能量是物体运动的三个基
本特性
目录 3.1 简介 3.2 数学定义 3.3 角动量是厄米算符 3.4 对易关系
3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.4 在经典力学里的对易关系 3.5 (角动量)本征值与本征函数
目录 1.1 厄米算符 1.2 本征值与本征函数 1.3 正则对易关系
返回目录 3/52
1.1厄米算符
由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以，可观察量 O 的期望值是 实值的：
对于任意量子态 ，这关系都成立：
根据伴随算符的定义，假设 是 的伴随算符，则
因此，
这正是厄米算符的定义。所以，表示可观察量的算符 ，都是厄米算符。
2.3 厄米算符 2.4 正则对易关系
7.3.4 自旋与统计
7.4 自旋的方向
三、角动量算符
3.1 简介 3.2 数学定义 3.3 角动量是厄米算符 3.4 对易关系
3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系
经过一番繁杂的运算，终于得到想要的方程
算符
目录
一、位置算符
1.1 厄米算符 1.2 （位置算符）本征值与本征函数
1.3 正则对易关系
二、动量算符
2.1 动量算符导引 2.2 （动量算符）本征值与本征函数
七、自旋算符
7.1 概论 7.2 发展史 7.3 自旋量子数
7.3.1 基本粒子的自旋 7.3.2 亚原子粒子的自旋 7.3.3 原子和分子的自旋
中心的角色。角动量，动量，与能量是物体运动的三个基
本特性
目录 3.1 简介 3.2 数学定义 3.3 角动量是厄米算符 3.4 对易关系
3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.4 在经典力学里的对易关系 3.5 (角动量)本征值与本征函数
目录 1.1 厄米算符 1.2 本征值与本征函数 1.3 正则对易关系
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1.1厄米算符
由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以，可观察量 O 的期望值是 实值的：
对于任意量子态 ，这关系都成立：
根据伴随算符的定义，假设 是 的伴随算符，则
因此，
这正是厄米算符的定义。所以，表示可观察量的算符 ，都是厄米算符。
2.3 厄米算符 2.4 正则对易关系
7.3.4 自旋与统计
7.4 自旋的方向
三、角动量算符
3.1 简介 3.2 数学定义 3.3 角动量是厄米算符 3.4 对易关系
3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系
经过一番繁杂的运算，终于得到想要的方程
量子力学(全套) ppt课件
1 n2
人们自然会提出如下三个问题：
1. 原子线状光谱产生的机制是什么？ 2. 光谱线的频率为什么有这样简单的规律？
nm
3. 光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实启发我们 思考： 怎样的发光机制才能认为原子P的PT课状件态可以用包含整数值的量来描写12 。
从前，希腊人有一种思想认为：
•2.电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光
强只决定电子数目的多少。光电效应的这些规律是经典
理论无法解释的。按照光的电磁理论，光的能量只决定
于光的强度而与频率无关。
PPT课件
24
（3） 光子的动量
光子不仅具有确定的能量 E = hv，
而且具有动量。根据相对论知，速度 为 V 运动的粒子的能量由右式给出：
nm
11
谱系
m
Lyman
1
Balmer
2
Paschen
3
Brackett
4
Pfund
5
氢原子光谱
n 2,3,4,...... 3,4,5,...... 4,5,6,...... 5,6,7,...... 6,7,8,......
区域 远紫外 可见 红外 远红外 超远红外
RH
C
1 m2
自然之美要由整数来表示。例如：
奏出动听音乐的弦的长度应具有波长的整数倍。
这些问题，经典物理学不能给于解释。首先，经典物理学不能 建立一个稳定的原子模型。根据经典电动力学，电子环绕原子 核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，电子的 能量变得越来越小，因此绕原子核运动的电子，终究会因大量 损失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩溃”了，但是， 现实世界表明，原子稳定的存在着。除此之外，还有一些其它 实验现象在经典理论看来是难以解释的，这里不再累述。
高等量子力学 密度算符和密度矩阵
1、 trρ = 1 (14.20)
n
证明： 证明：取一组基 { n } , 利用完全性关系 ∑ n n = 1 , 有
trρ = ∑∑ n ψ i pi ψ i n = ∑∑ ψ i n n ψ i pi
n i n i
= ∑ ψ i ψ i pi = ∑ pi = 1
i i
2、
= 1, trρ < 1.
例如一个系统处于 ψ 1 态的概率为 p1 , 处于 ψ 2 态的概 率为 p 2 ( p1 + p 2 = 1) , 系统的这个态目前还无法作简单的描 我们只能用下面的写法表示这个态： 写, 我们只能用下面的写法表示这个态：
ψ 1 : p1 ψ 2 : p2
(14.2)
纯态和混合态是完全不同的两种状态, 即使在(14.1)式 纯态和混合态是完全不同的两种状态 即使在 式 和 (14.2)式中有 c1 = p1 , c 2 式中有
这个状态也是纯态. 这个状态也是纯态.
(14.1)
有时由于统计物理的原因或量子力学本身的原因系统的状 有时 由于统计物理的原因或量子力学本身的原因系统的状 由于统计物理的原因或量子力学本身的原因 在一个确定的态中, 态无法用一个态矢量来描写. 系统并不处在一个确定的态中 而 无法用一个态矢量来描写 系统并不处在一个确定的态中 等各态中, 是有可能处于 ψ 1 , ψ 2 , L ,等各态中 分别有概率 p1, p 2 , L . 这 等各态中 种状态无法用一个态矢量表示, 称为混合态 种状态无法用一个态矢量表示 称为混合态. 混合态
下面看混合态. 取一个比(14.2)式更一般的混合态如下： 式更一般的混合态如下： 下面看混合态 取一个比 式更一般的混合态如下
ψ 1 : p1 , ψ 2 : p2 , LLL
n
证明： 证明：取一组基 { n } , 利用完全性关系 ∑ n n = 1 , 有
trρ = ∑∑ n ψ i pi ψ i n = ∑∑ ψ i n n ψ i pi
n i n i
= ∑ ψ i ψ i pi = ∑ pi = 1
i i
2、
= 1, trρ < 1.
例如一个系统处于 ψ 1 态的概率为 p1 , 处于 ψ 2 态的概 率为 p 2 ( p1 + p 2 = 1) , 系统的这个态目前还无法作简单的描 我们只能用下面的写法表示这个态： 写, 我们只能用下面的写法表示这个态：
ψ 1 : p1 ψ 2 : p2
(14.2)
纯态和混合态是完全不同的两种状态, 即使在(14.1)式 纯态和混合态是完全不同的两种状态 即使在 式 和 (14.2)式中有 c1 = p1 , c 2 式中有
这个状态也是纯态. 这个状态也是纯态.
(14.1)
有时由于统计物理的原因或量子力学本身的原因系统的状 有时 由于统计物理的原因或量子力学本身的原因系统的状 由于统计物理的原因或量子力学本身的原因 在一个确定的态中, 态无法用一个态矢量来描写. 系统并不处在一个确定的态中 而 无法用一个态矢量来描写 系统并不处在一个确定的态中 等各态中, 是有可能处于 ψ 1 , ψ 2 , L ,等各态中 分别有概率 p1, p 2 , L . 这 等各态中 种状态无法用一个态矢量表示, 称为混合态 种状态无法用一个态矢量表示 称为混合态. 混合态
下面看混合态. 取一个比(14.2)式更一般的混合态如下： 式更一般的混合态如下： 下面看混合态 取一个比 式更一般的混合态如下
ψ 1 : p1 , ψ 2 : p2 , LLL
量子统计物理学(孙宝玺编著)PPT模板
3.4.3位置表 象中正则系综
的密度算符
04
3.4.4自由粒 子
05 第四章理想量子系统
第四章理想量子系 统
4.1玻色分布和费米分布 4.2理想玻色气体 4.3理想费米气体
第四章理想量子系统
4.2理想玻色气体
4.2.1玻色－爱因斯坦 凝聚
4.2.3理想玻色气体的 状态方程
4.2.2高温度低密度情 况下的理想玻色气体
1
6.3bcs基态的能量
6.3.1能隙
3
6.3.2一个简单的模型
2
6.2bogoliubov变换
08 第七章相变的统计理论
第七章相变 的统计理论
01 7 . 1 i s i n g 模型的 历
史
02 7 . 2 i s i n g 模型
03 7 . 3 i s i n g 模型的 简
化描述
04 7 . 4 b r agg －
2.6.2整个金属系统的 哈密顿量
2.6.4无量纲的哈密顿 量
04
第三章密度矩阵和量子系综 理论
第三章密度矩阵 和量子系综理论
1 3.1密度矩 阵
2 3.2系综的 定义
3 3.3微正则 系综
4 3.4正则系 综
5 3.5巨正则 系综
3.6热力学
6 极限下平 衡系综的 等价性
第三章密度矩阵和量子系综理论
3.1密度矩阵
01 3.1.1 密度矩阵的定
义
02 3.1.2密度矩阵的性
质
03 3.1.3 密度矩阵的物
理意义
04 3.1.4位置表象中的
05 3.1.5 密度算符随时
密度算符的形式
间的变化
第三章密度矩阵 和量子系综理论
的密度算符
04
3.4.4自由粒 子
05 第四章理想量子系统
第四章理想量子系 统
4.1玻色分布和费米分布 4.2理想玻色气体 4.3理想费米气体
第四章理想量子系统
4.2理想玻色气体
4.2.1玻色－爱因斯坦 凝聚
4.2.3理想玻色气体的 状态方程
4.2.2高温度低密度情 况下的理想玻色气体
1
6.3bcs基态的能量
6.3.1能隙
3
6.3.2一个简单的模型
2
6.2bogoliubov变换
08 第七章相变的统计理论
第七章相变 的统计理论
01 7 . 1 i s i n g 模型的 历
史
02 7 . 2 i s i n g 模型
03 7 . 3 i s i n g 模型的 简
化描述
04 7 . 4 b r agg －
2.6.2整个金属系统的 哈密顿量
2.6.4无量纲的哈密顿 量
04
第三章密度矩阵和量子系综 理论
第三章密度矩阵 和量子系综理论
1 3.1密度矩 阵
2 3.2系综的 定义
3 3.3微正则 系综
4 3.4正则系 综
5 3.5巨正则 系综
3.6热力学
6 极限下平 衡系综的 等价性
第三章密度矩阵和量子系综理论
3.1密度矩阵
01 3.1.1 密度矩阵的定
义
02 3.1.2密度矩阵的性
质
03 3.1.3 密度矩阵的物
理意义
04 3.1.4位置表象中的
05 3.1.5 密度算符随时
密度算符的形式
间的变化
第三章密度矩阵 和量子系综理论
量子力学中的态矢量和密度算符
量子力学中的态矢量和密度算符量子力学是描述微观世界的一门物理学理论。
在量子力学中，态矢量和密度算符是两个重要的概念，它们用于描述和计算量子系统的状态和性质。
态矢量是量子力学中最基本的概念之一，它用于描述量子系统的态。
在量子力学中，一个态矢量可以表示一个粒子的位置、动量、自旋等性质。
态矢量通常用符号“|⟩”表示，例如，|ψ⟩表示一个态矢量。
态矢量可以表示量子系统的叠加态。
在量子力学中，叠加态是指量子系统处于多个可能态的叠加状态。
例如，一个粒子可以处于位置A或位置B，那么它的态矢量可以表示为|A⟩+|B⟩。
在叠加态中，每个可能态的权重由态矢量的系数确定。
系数的平方表示该态的概率。
态矢量还可以表示量子系统的纠缠态。
纠缠态是指多个粒子之间存在相互关联的状态。
在纠缠态中，一个粒子的状态不能独立于其他粒子的状态描述。
例如，两个粒子可以处于纠缠态，其中一个粒子的自旋向上，另一个粒子的自旋向下。
这种纠缠态的态矢量可以表示为|↑↓⟩-|↓↑⟩。
除了态矢量，密度算符是量子力学中另一个重要的概念。
密度算符用于描述量子系统的统计性质。
在量子力学中，一个密度算符可以表示一个量子系统的混合态。
混合态是指量子系统处于多个纯态的叠加状态，但是我们无法知道系统到底处于哪个纯态。
密度算符通常用符号“ρ”表示，例如，ρ=|ψ⟩⟨ψ|表示一个混合态。
密度算符可以用于计算量子系统的物理量的平均值。
在量子力学中，物理量的平均值可以通过密度算符和物理量的算符进行计算。
例如，一个物理量A的平均值可以表示为⟨A⟩=Tr(ρA)，其中Tr表示对密度算符进行迹运算。
在量子力学中，态矢量和密度算符之间存在着一一对应的关系。
给定一个态矢量，可以通过态矢量的外积得到对应的密度算符。
反之，给定一个密度算符，可以通过对密度算符进行迹运算得到对应的态矢量。
这种态矢量和密度算符之间的对应关系被称为量子力学的统计解释。
态矢量和密度算符是量子力学中非常重要的概念，它们用于描述和计算量子系统的状态和性质。
量子统计密度算符
i k k
i
将上式代入(10.10),从而得
f
f kk k k
k,k
在高等量子力学中，我们已经知道密度算符很明显的这里的kkkki
（10.12）
i i i
所以（10.12）又可写为
f k k kf k k f k t( r f )
k ,k
k
如上所见，一个观察量f的统计平均相当于算符f与密度算符的乘积的迹
f (i
P(i)
)
2
。这概率可以表
f f 为
投影到可观察量 f 的本征值为f的本状态上的投影算符。则有如下恒等式：
f
(i) 2tr(puP re(i) )
非常类似，我们获得对混合态密度矩阵的迹
（10.28）
tr(P(i) )
ii f
(i) 2
（10.30）
即在量子力学每一状态
(i)
i t ( r 1 , , r N , t ) H ( r i , p i ) ( r 1 , , r N , t )(10.1)
的解，由于一个孤立系统即使在量子力学里．其总能量也是一个守恒 量因此方程(10.1)中的 H不显含时间)，方程(10.1)中含时间的部分可 以分开，
纯态与混合态
若量子力学系统处在一定的微观态上，以 (i) 描写，我们称之它处于纯态。若
系统以频率 i 分别处于许多不同的微观态 (i) 上，我们称之为它处于混合态。
现在来证明：混合态和纯态一样可以完全用密度算符的矩阵元来描述，即：
密度矩阵已知，则任意可观察量的量子力学平均以及统计平均都可以计算。
i
出现的概率
f (i) 上2 附加了一个统计概率
一般地，对任一算符及任意基矢 完 成k 迹的计算可得
i
将上式代入(10.10),从而得
f
f kk k k
k,k
在高等量子力学中，我们已经知道密度算符很明显的这里的kkkki
（10.12）
i i i
所以（10.12）又可写为
f k k kf k k f k t( r f )
k ,k
k
如上所见，一个观察量f的统计平均相当于算符f与密度算符的乘积的迹
f (i
P(i)
)
2
。这概率可以表
f f 为
投影到可观察量 f 的本征值为f的本状态上的投影算符。则有如下恒等式：
f
(i) 2tr(puP re(i) )
非常类似，我们获得对混合态密度矩阵的迹
（10.28）
tr(P(i) )
ii f
(i) 2
（10.30）
即在量子力学每一状态
(i)
i t ( r 1 , , r N , t ) H ( r i , p i ) ( r 1 , , r N , t )(10.1)
的解，由于一个孤立系统即使在量子力学里．其总能量也是一个守恒 量因此方程(10.1)中的 H不显含时间)，方程(10.1)中含时间的部分可 以分开，
纯态与混合态
若量子力学系统处在一定的微观态上，以 (i) 描写，我们称之它处于纯态。若
系统以频率 i 分别处于许多不同的微观态 (i) 上，我们称之为它处于混合态。
现在来证明：混合态和纯态一样可以完全用密度算符的矩阵元来描述，即：
密度矩阵已知，则任意可观察量的量子力学平均以及统计平均都可以计算。
i
出现的概率
f (i) 上2 附加了一个统计概率
一般地，对任一算符及任意基矢 完 成k 迹的计算可得
量子力学之算符PPT课件
满足如下运算规律的 算符 Ô 称为线性算符
动量算符 pˆ i 例如： 单位算符 Iˆ
是线性算符。
开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。
（2）算符相等
若两个算符 Ô 、Û 对体系的任何波函数 ψ的运算结果都相 同，即Ô ψ= Û ψ，则算符Ô 和算符Û 相等记为Ô = Û 。
p
i i i
x
p (r)
y
p
(r)
z
p
(r
)
px p (r)
py
p
(r
)
pz p (r)
其 分 量 形 式 ：
第16页/共73页
I. 求解
采用分离变量法，令：
p ( r ) ( x )( y )( z )
代入动量本征方程
上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。
第5页/共73页
（7）逆算符
并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆.
1. 定义: 设Ôψ= φ, 能够唯一的解出 ψ, 则可定义
算符 Ô 之逆 Ô-1 为: Ô-1 φ = ψ
2.性质 I: 若算符 Ô 之逆 Ô-1 存在,则 Ô Ô-1 = Ô-1 Ô = I , [Ô , Ô-1] = 0
（5）对易关系
若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称Ô 与 Û 不对易。
例如：算符 x
证 ( 1 )x p ˆ ： x x ( i x ) i x x
( 2 ) p ˆ x x ( i x ) x i i x x
pˆ x
i
x
不对易。
xpˆ x pˆ x x
而
（xpˆ x pˆ x x） i
量子化学课件--第四章算符
运算依次从右向左进行;
一般说来，不能认为 Aˆ Bˆ 和 BˆAˆ 具有相同的作用。
例如考虑算符
d dx
和
xˆ
：
Dˆ xˆf (x) d [xf (x)] f (x) xf (x) (1ˆ xˆDˆ ) f (x) dx
xˆDˆ f (x) xˆ d [ f (x)] xf (x) dx
2 2m
2 x2
2
2m
d2 dx2
能量H的算符表示：
➢经典力学的哈密顿量为：H T V
➢量子力学哈密顿（或能量）算符为：
Hˆ
Tˆ
Vˆ
2 2m
d2 dx2
V (x)
这与不含时间的薛定谔方程一致。
[
2 2m
d2 dx2
V (x)]
(x)
E
(x)
量子力学算符与体系对应的性质的关系
若i 是 Fˆ 的具有本征值 ai 的本征函数，则有：
由于k可能为复数，即k=a+ib，所以：
f cekx ceax eibx
➢若a为正，则当x→+∞ 时，eax趋于无穷大； ➢若a为负，则当x→－∞ 时，eax趋于无穷大； 因此，边界条件要求a＝0，而有纯虚数的本征值k＝ib。
4.3 算符与量子力学
[
2 2m
d2 dx2
V (x)]
(x)
E
(x)
d2 dx2
V
(x)] i
Ei i
由此可见，算符的假设和薛定谔方程实际上是一致的。
量子力学体系的态用包含我们可能了解的关于体系的全 部知识的态函数Ψ(x，t)来描述。Ψ如何给出关于性质F 的知识呢？
➢假设：若Ψ是算符F的具有本征值ai的本征函数，则 性质F的一次测量肯定得到值ai。
一般说来，不能认为 Aˆ Bˆ 和 BˆAˆ 具有相同的作用。
例如考虑算符
d dx
和
xˆ
：
Dˆ xˆf (x) d [xf (x)] f (x) xf (x) (1ˆ xˆDˆ ) f (x) dx
xˆDˆ f (x) xˆ d [ f (x)] xf (x) dx
2 2m
2 x2
2
2m
d2 dx2
能量H的算符表示：
➢经典力学的哈密顿量为：H T V
➢量子力学哈密顿（或能量）算符为：
Hˆ
Tˆ
Vˆ
2 2m
d2 dx2
V (x)
这与不含时间的薛定谔方程一致。
[
2 2m
d2 dx2
V (x)]
(x)
E
(x)
量子力学算符与体系对应的性质的关系
若i 是 Fˆ 的具有本征值 ai 的本征函数，则有：
由于k可能为复数，即k=a+ib，所以：
f cekx ceax eibx
➢若a为正，则当x→+∞ 时，eax趋于无穷大； ➢若a为负，则当x→－∞ 时，eax趋于无穷大； 因此，边界条件要求a＝0，而有纯虚数的本征值k＝ib。
4.3 算符与量子力学
[
2 2m
d2 dx2
V (x)]
(x)
E
(x)
d2 dx2
V
(x)] i
Ei i
由此可见，算符的假设和薛定谔方程实际上是一致的。
量子力学体系的态用包含我们可能了解的关于体系的全 部知识的态函数Ψ(x，t)来描述。Ψ如何给出关于性质F 的知识呢？
➢假设：若Ψ是算符F的具有本征值ai的本征函数，则 性质F的一次测量肯定得到值ai。
量子统计法Boltzmann分布律PPT文档21页
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
量子统计法Boltzmann分布律
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
量子统计法Boltzmann分布律21页PPT
量子统计法Boltzmann分布律
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人Байду номын сангаас智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人Байду номын сангаас智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
高等量子力学 第二章 算符(课堂PPT)
复数都可以看成一个算符；其定义域和值域均为全空间：
a a
其中两个特殊的算符： ，1，1
对一切 成立；前者称为零算符，后者称为单位算符。4
两个算符 A与B 的和 A B 及乘积 BA的定义是：
A B A B
BA BA
A B 的定义域是 A与B 两算符的定义域的共同部分（数学上称
证明：利用(2.8)式，有
e A BeA
n 0
1 n!
A
A
B
e
A
AABeA
e A Be A
[
n0
1 An B]eA n!
n0
1 n! i0
n! ni
!i!
Ai , B
A
n
i
e
A
i
!
Ai , B
Ani
e
A
i0
1 i!
Ai , B n0
df () Af () eA BeBe( AB) eAeB ( A B)e( AB) d
Af () eAeB Ae ( AB)
Af () eAeB Ae B eB e( AB)
A() eB Ae B 1 [(B)(i) , A] 1 i [B(i) , A]
i0 i!
i0 i!
则说这两个算符是可对易的，或称为两个算符对易。
定义：
[A, B] AB BA
(2.2)
经常使用的几个对易关系：
[Fˆ , Gˆ ] [Gˆ , Fˆ ]
[Fˆ , Gˆ Mˆ ] [Fˆ , Gˆ ] [Fˆ , Mˆ ] [Fˆ , GˆMˆ ] Gˆ[Fˆ , Mˆ ] [Fˆ , Gˆ ]Mˆ
e aA
(2.3)
7
a a
其中两个特殊的算符： ，1，1
对一切 成立；前者称为零算符，后者称为单位算符。4
两个算符 A与B 的和 A B 及乘积 BA的定义是：
A B A B
BA BA
A B 的定义域是 A与B 两算符的定义域的共同部分（数学上称
证明：利用(2.8)式，有
e A BeA
n 0
1 n!
A
A
B
e
A
AABeA
e A Be A
[
n0
1 An B]eA n!
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Ai , B
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df () Af () eA BeBe( AB) eAeB ( A B)e( AB) d
Af () eAeB Ae ( AB)
Af () eAeB Ae B eB e( AB)
A() eB Ae B 1 [(B)(i) , A] 1 i [B(i) , A]
i0 i!
i0 i!
则说这两个算符是可对易的，或称为两个算符对易。
定义：
[A, B] AB BA
(2.2)
经常使用的几个对易关系：
[Fˆ , Gˆ ] [Gˆ , Fˆ ]
[Fˆ , Gˆ Mˆ ] [Fˆ , Gˆ ] [Fˆ , Mˆ ] [Fˆ , GˆMˆ ] Gˆ[Fˆ , Mˆ ] [Fˆ , Gˆ ]Mˆ
e aA
(2.3)
7
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pu re (i)
(i)
（10.21）
现在我们来证明，若在一种基矢中，已知密度矩阵，则所有的量子力学观察
量可以被计算，设 f 为系统的一可观察量，而 f 为本状态，相应的本征值
为f。
最一般的可测量是在纯态
示为纯态 (i) 的密度矩阵
p (i ) u 中re能测(i)到f的(i概)。率设
( r 1 , , r N , t ) E ( r 1 , , r N ) e i x E tp (10.2)
H E ( r 1 , ,r N ) E E ( r 1 , ,r N ) (10.3)
一般讲，由于式(10.3)只有一定能量本征值的解，因而系统的总能量 E只能假定具有一定值。 然而，对一个具有宏观大小的系统，其能量 本征值彼此非常接近，而且简并使许多解具有同能量E．我们已经计 算过一个以微正则处理的．具有N个量子粒子的系统在一个盒子中的 例子(参考第5章)
系统以频率 i 分别处于许多不同的微观态 (i) 上，我们称之为它处于符的矩阵元来描述，即：
密度矩阵已知，则任意可观察量的量子力学平均以及统计平均都可以计算。
为此，我们ii 先把密度算符以任意的基矢 k 展开如下：
k kk k kk
并由 (E)g(E)E来获得。
我们从与量子微正则处理理想气体完全一样的方法开始．在量子力学情况
下壳，E 我 们H 对(r具i,有pi)能 量E 在 EE 之E间的之相间空的间状点态平作均，E i然平而均，，一代个替微在观经态典中能E i
对一任意可观察量 有一定的概率。
f
(ri
i t ( r 1 , , r N , t ) H ( r i , p i ) ( r 1 , , r N , t )(10.1)
的解，由于一个孤立系统即使在量子力学里．其总能量也是一个守恒 量因此方程(10.1)中的 H不显含时间)，方程(10.1)中含时间的部分可 以分开，
此外,从实际观点看,对一个宏观系统严格确定一个能量是不现实的 因此(正如经典的微正则系综)，我们允许一个小的不确定值，因此， 存在着一系列具有能量本征值在E与 EE之间的状态 当然，这样处 理对系统具有连续能谱时更有效．特殊的微观态相当于不同的波函数
Ei(r1,,rN) 。我们可以简单地通过数出本征值在能量值在E和 EE 之间的状态数来得到微正则量 (E,V,N，) 或对连续谱确定状态密度g(E)，
密度算符
经典统计的出发点，是认识到对一个给定了宏观(热力学)状态量的系 统，可以假定有很多微观态在系综理论的框架上、只要几个很普遍的 假设，就能推导出系统在一定微观态的概率密度 。 所有可观察量就根 据概率密度对所有可能的微观态作平均而得．现在将这个概念转换到 量子系统
为此目的，我们首先考虑如何来定义一个量子力学微观态．在经典统 计中，一个微观态相当十相空间的一定点 (ri , pi )。然而，对量子系统， 用同样方法对粒子定义坐标与动量是不可能的 。 在量子力学里以系统 的波函数 (r1, ,r随N,t时) 间的变化来代替经典的相空间轨 (我ri(们t),pi(t)) 现在仍来考虑一个具有一定的宏观变量E，v．N的孤立系统，该系统 的总波函数为薛定鄂方程
（10.30）
即在量子力学每一状态
(i)
i
出现的概率
f (i) 上2 附加了一个统计概率
一般地，对任一算符及任意基矢 完 成k 迹的计算可得
（10.31） 当然，这与式(10.10), (10.12), (10.18)都是一致的，然而在式(10.31)中，我们已经可以
（10.12）
i i i
所以（10.12）又可写为
f k k kf k k f k t( r f )
k ,k
k
如上所见，一个观察量f的统计平均相当于算符f与密度算符的乘积的迹
纯态与混合态
若量子力学系统处在一定的微观态上，以 (i) 描写，我们称之它处于纯态。若
f (i
P(i)
)
2
。这概率可以表
f f 为
投影到可观察量 f 的本征值为f的本状态上的投影算符。则有如下恒等式：
f
(i) 2tr(puP re(i) )
非常类似，我们获得对混合态密度矩阵的迹
（10.28）
t r( P(i) )
ii f
(i) 2
,
pi
)不是得到一确定值，而是被测定为某值、只能是具
量子力学对所有观察量的平均值就是期望值
E ( i )f E ( i ) d 3 r 1 d 3 r N E * i ) ( r 1 ( , , r N ) f ( r i , p i ) E ( i ) ( r 1 , , r N ) (10.6)
（10.19）
根据上一节，对角矩阵元 k kkk正是系统处于
kk
k
k 给出系统自发地从状态
k
跃迁到状态
k
k
的概率，而非对角元 的概率。
若我们让系统在任一状态 (i) 的概率为 ii ，而对于ik时 ,ik0 。（稳
定的系统都是这样的吗？）则密度算符可以表示如下：
在量子平均中，要加上另一个平均，人们不再能告诉到底在哪个特殊
微观状态上，若对可观察量f在一系列相同系统中完成一个测量，只 能测量到以概率 i 为权重的量子力学期望值的平均，
f
i
(i) E
f
(i) E
i
(10.7)
若我们将状态 E (i) 用一系列 k 展开
E(i)
a(i) kk
k
将此式代入（10.7）得
（10.10）
设
kk
a a (i) (i)*
i k k
i
将上式代入(10.10),从而得
f f kk k k k,k
在很高明等显量 的子这力里学的中，kk我们已k 经知k道密度算符
i