备战高考数学(精讲精练精析)专题3.1导数以及运算、应用试题理(含解析)【含答案】

专题3.1 导数以及运算、应用

【三年高考】

1. 【2016年高考四川理数】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,

ln ,1,

x x x x -<<⎧⎨

>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，

l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )

（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A

2．【2016高考新课标2理数】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ． 【答案】1ln2-

3．【2016高考新课标3理数】设函数()cos 2(1)(cos 1)f x a x a x =+-+，其中0a >，记|()|f x 的最大值为A ．

（Ⅰ）求()f x '； （Ⅱ）求A ；

（Ⅲ）证明|()|2f x A '≤．

【解析】（Ⅰ）'

()2sin 2(1)sin f x a x a x =---．

（Ⅱ）当1a ≥时，'

|()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f =,因此，

32A a =-．当01a <<时，将()f x 变形为2()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--．令

2()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g a -=，(1)32g a =-，且当14a

t a

-=

时，()g t 取得极小值，极小值为221(1)61

()1488a a a a g a a a --++=--=-．令1114a a --<<，解得13a <-（舍去），

15a >．（ⅰ）当1

05

a <≤时，

()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-．（ⅱ）当

115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4a

g g g a

-->>．又1(1)(17)|()||(1)|048a a a g g a a

--+--=>，所以2161

|()|48a a a A g a a -++==．综上，

2

123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧

-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪

-≥⎪⎪⎩

．

（Ⅲ）由（Ⅰ）得'

|()||2sin 2(1)sin |2|1|f x a x a x a a =---≤+-.当105

a <≤

时，'|()|1242(23)2f x a a a A ≤+≤-<-=.当115a <<时，131884

a A a =++≥，所以'

|()|12f x a A ≤+<.

当1a ≥时，'

|()|31642f x a a A ≤-≤-=，所以'

|()|2f x A ≤.

4．【2016高考山东理数】已知()2

21

()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；

（II ）当1a =时，证明()3

()'2

f x f x +

＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 当x ∈)1,2

(

a

时，0)(/

1,0(

内单调递增，在)2,

1(a 内单调递减，在),2

(+∞a 内单调递增；当2=a 时，)(x f 在),0(+∞内单调递增；当2>a ，)(x f 在)2,

0(a 内单调递增，在)1,2

(a

内单调递减，在),1(+∞内单调递增.

5．【2016高考新课标1卷】已知函数()()()2

21x

f x x e a x =-+-有两个零点.

(I)求a 的取值范围；

(II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<. 【解析】

（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)x

x

f x x e a x x e a =-+-=-+．（i ）设0a =,则()(2)x

f x x e =-,()f x 只有一个

零点．（ii ）设0a >,则当(,1)x ∈-∞时,'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-,(2)f a =,取b 满足0b <且ln

2

a

b <,则223

()(2)(1)()022

a f

b b a b a b b >

-+-=->,故()f x 存在两个零点．（iii ）设0a <,由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-．若2

e

a ≥-,则ln(2)1a -≤,故当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >,因此()f x 在(1,)+∞上单调递

增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点．若2e

a <-,则ln(2)1a ->,故当(1,ln(2))

x a ∈-时,'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时,'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减,在(ln(2),)a -+∞单