二项式系数奇偶性的判定准则
函数奇偶性的判断口诀
函数奇偶性的判断口诀
函数奇偶性的判断口诀：内偶则偶，内奇同外。
验证奇偶性的前提：要求函数的定义域必须关于原点对称。
扩展资料
判定奇偶性四法
（1）定义法
用定义来判断函数奇偶性，是主要方法。
首先求出函数的定义域，观察验证是否关于原点对称。
其次化简函数式，然后计算f(-x)，最后根据f(-x)与f(x)之间的.关系，确定f(x)的奇偶性。
（2）用必要条件
具有奇偶性函数的定义域必关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要条件。
例如，函数y=的定义域(-∞，1)∪(1，+∞)，定义域关于原点不对称，所以这个函数不具有奇偶性。
（3）用对称性
若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数。
若f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数。
（4）用函数运算
如果f(x)、g(x)是定义在D上的奇函数，那么在D上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)?g(x)是偶函数。
简单地，“奇+奇=奇，奇×奇=偶”。
类似地，“偶±偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇”。
二项式系数的性质
的定义和性质进行证明
利用递推关系进行简化
• 例如，证明二项式定理时，
可以利用递推关系进行证明
05
二项式系数在概率论与数理统计中的应用
二项分布的概率质量函数
二项分布的概率质量函数为P(X=k) = C(n, k) *
p^k * (1-p)^(n-k)
二项分布的概率质量函数与二项式系数
密切相关
• 其中X表示二项分布的随机变量，n
• 其中P(n, k)表示从n个不同元素中选取k个元素的排列数
二项式系数的计算公式
• 二项式系数的计算公式为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
• 当k为0或n时，C(n, k)有简化公式
• C(n, 0) = 1
• C(n, n) = 1
• 当n和k较大时，可以使用递推公式计算二项式系数
性质进行证明
性进行简化
• 例如，计算二项分布的概率时，可以
利用奇偶性进行简化
二项式系数的递推关系
二项式系数具
有递推关系，
即C(n, k) =
C(n-1, k-1) +
C(n-1, k)
二项式系数的
递推关系在组
合数学和概率
论中有广泛应
用
01
02
• 证明方法：根据二项式系数
• 例如，计算组合数时，可以
• 可以使用二项式系数计算二项分布的
表示试验次数，p表示成功概率，k表示
概率质量函数
成功次数
• 可以使用二项分布的概率质量函数计
算二项分布的期望和方差
二项分布的期望与方差
二项分布的期望为E(X) = np
• 其中n表示试验次数，p表示成功概率
二项分布的方差为Var(X) = np(1-p)
二项式系数的性质
(5)(a0 a2 a4 )2 (a1 a3 a5 ) 2
解：设 f ( x) (2x - 1) a0 a1 x a5 x ,
5 5
则 f (1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 1 1 5 f (-1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 (3) 243 2 2 (5)(a0 a2 a4 ) (a1 a3 a5 )
f (-1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 (3) 243 (4) | a0 | | a1 | | a2 | | a5 | a0 a1 a2 a3 a4 a5
5
f (1) 243
设 (2 x 1) a0 a1 x a2 x a3 x a4 x a5 x ，求
解：设 f ( x) (2x - 1) a0 a1 x a5 x ,
5 5
则 f (1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 1 1 5 f (-1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 (3) 243
5
例3
n
n
大值.
练习 :C ,C 最大？
? 10
? 17
课堂练习2：
1 1.已知： x 4 的展开式中只有第10项系数 3 x
n
最大，求第五项.
变式：若将“只有第10项”改为“第10项” 呢？
n 17或18或19.
2.在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的项的 系数和最大的系数呢？
20
与最大二项式系数的比
解: 设 r 1项是系数最大的项,则
(完整版)二项式展开式系数的性质
(
2)n cos n
4
Cn1 Cn3 Cn5 Cn7 L
(
2)n sin n
4
证明：
2
cos
4
i sin
4
n
(
2)n cos n i(
4
2)n sin n
4
①又Βιβλιοθήκη 2cos4
i
sin
4
n
2
2 i 2
2 2
n
(1
i)n
1 Cn1i Cn2 Cn3i Cn4 Cn5i Cn6 Cn7i L
(Cn0 Cn1x Cn2 x2 L Cnn xn )(Cn0xn Cn1xn1 L Cnn1x Cnn )
令a 1,b 1,则0 Cn0 C1n Cn2 Cn3 (1)n Cnn
Cn0 Cn2 Cn2r C1n Cn3 Cn2r1 2n1
性质4：
4. (x y)n 展开式共有 n 1 项。二项式系数：小 大 小
当当nn为为偶奇数数时时，，中中间间项两为项第系数n2 最1大项，，它二们项是式第系n数C1 n项n2 最和大； 2
证明：Q kCnk nCnk11 ,
n
n
n
左边
kCnk
nCnk11 n
C k 1 n1
k 1
k 1
k 1
n 1
n
Ck n 1
n 2n1 右边
k 0
(2)
Cn0
1 2
Cn1
1 3
Cn2
L
1 n 1
Cnn
1 (2n1 1) n 1
证明：Q (k 1)Cnk11 (n 1)Cnk ,
的展开式中，按
1 2
奇偶函数的判断口诀
奇偶函数的判断口诀
判断一个函数是奇函数还是偶函数可以使用以下口诀：
"奇函数积偶负，偶函数积偶正"。
这句口诀的意思是，如果一个函数是奇函数，那么它的奇次幂
的项的系数乘积是负数；如果一个函数是偶函数，那么它的奇次幂
的项的系数乘积是正数。
另外，还可以通过函数的定义来判断。
奇函数满足f(-x)=-
f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
通过这两个条件，可以判断一个函
数是奇函数还是偶函数。
此外，还可以通过函数图像的对称性来判断。
如果函数的图像
关于原点对称，则该函数是奇函数；如果函数的图像关于y轴对称，则该函数是偶函数。
综上所述，通过口诀、函数的定义和函数图像的对称性这几种
方法，可以较为全面地判断一个函数是奇函数还是偶函数。
奇偶性的判断方法
奇偶性的判断方法奇偶性是数学中一个重要的概念，它在很多数学问题中都有着重要的应用。
在解决数学问题的过程中，我们经常会遇到需要判断一个数是奇数还是偶数的情况。
本文将介绍奇偶性的判断方法，帮助读者更好地理解和运用这一概念。
首先，我们来看奇数和偶数的定义。
奇数是指不能被2整除的整数，而偶数则是可以被2整除的整数。
换句话说，当一个整数除以2的余数为1时，它就是奇数；当余数为0时，它就是偶数。
这个定义是判断奇偶性的基础，也是我们后续讨论的重要依据。
在实际运用中，我们常常需要判断一个给定的整数是奇数还是偶数。
这时，我们可以利用取模运算来进行判断。
取模运算是指求两个数相除的余数。
对于一个整数n，我们可以用n%2来判断其奇偶性。
如果n%2的结果为1，那么n是奇数；如果结果为0，那么n是偶数。
这种方法简单直观，适用于各种编程语言和数学计算中。
除了取模运算，我们还可以利用数学性质来判断奇偶性。
首先，我们知道任何一个整数都可以表示为2的倍数加上1或者0，即n=2k或者n=2k+1，其中k是整数。
根据这个性质，我们可以得出结论，如果一个整数的个位数字是0、2、4、6、8中的任意一个，那么这个整数一定是偶数；如果个位数字是1、3、5、7、9中的任意一个，那么这个整数一定是奇数。
这个方法虽然在一定程度上增加了计算的复杂度，但在一些特定情况下仍然是一种有效的判断奇偶性的方法。
除了上述方法，我们还可以利用二进制表示来判断奇偶性。
在二进制表示中，一个整数的最后一位就代表了它的奇偶性。
如果一个整数的二进制表示的最后一位是1，那么这个整数是奇数；如果最后一位是0，那么这个整数是偶数。
这种方法在计算机领域中经常被使用，它能够快速准确地判断一个整数的奇偶性。
综上所述，奇偶性的判断方法有多种多样，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行判断。
在实际问题中，对于大量的整数，我们可以利用计算机编程来快速高效地判断它们的奇偶性。
通过合理利用奇偶性的判断方法，我们能够更好地解决数学和计算问题，提高工作效率，也能更好地理解和运用奇偶性这一数学概念。
二项式系数的性质.ppt
杨辉三角
《
九
章
杨
算
辉
术
》
杨辉三角
《
详
这样的二项
解 九 章
式系数表，早在我 国南宋数学家杨辉
算
1261 年所著的
法
《详解九章算法》
》
一书里就已经出现
中 记 载
了，在这本书里， 记载着类似右面的
的
表：
表
复习回顾:
二项式定理及展开式:
二项式展开式： （a+b）n =Cn0anb0 +Cn1an-1b1 +Cn2an-2b2 +L +Cnran-rbr +L +Cnna0bn
作业: 书P114习题10.4 8,9,10
(1-1)n = cn0 - c1n + cn2 - cn3 + + (-1)n cnn = (cn0 + cn2 + ) - (c1n + cn3 + )
在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二 项式系数的和.
(1 + 2)n = cn0 + c1n 21 + cn2 22 + + cnn 2n
注：此种类型的题目应该先找准r的值，然后再
确定第几项。
例题选讲
例1 证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项
式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
证明C: 在n0 +展C开n2 式+ = Cn1 + Cn3 + = 2n-1
C C C C a + b n = 0 an + 1 an-1b + 2 an-2b2 + ...+ n bn
二项式定理
二项式定理二项式定理是高中数学中的重要内容。
它表示了一个二元多项式的n次幂的展开式。
其中，二项式系数是展开式中每一项的系数，可以用组合数来表示。
具体来说，二项式定理可以表示为：$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$。
其中，$\binom{n}{k}$表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
二项式定理有很多应用，例如近似计算和估计，证明不等式等。
在使用二项式定理时，我们可以利用它的性质来简化计算。
其中，二项式系数具有对称性、增减性和最大值等性质。
此外，所有二项式系数的和等于$2^n$，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等。
需要注意的是，展开式共有n+1项，而二项式系数$\binom{n}{r}$是展开式中第r+1项的系数。
此外，展开式中的通项$T_{r+1}=\binom{n}{r}a^{n-r}b^r$。
在使用二项式定理时，我们可以将一般情况转化为特殊情况，或者使用赋值法等思维方式来简化计算。
1.问题讨论1.1 例1求解C(n)等于(1/n) * [C(n,1) + 3*C(n,2) + 9*C(n,3) +。
+ 3^(n-1)*C(n,n)]，以及当n为奇数时，7+C(n,7)+C(n,14)+。
+C(n,7+(n-1)/2)的余数。
解。
1.1.1 求解C(n)设S(n) = C(n)。
则有：S(n) + 3S(n) = 3*C(n,1) + 3*C(n,2) +。
+ 3^n-1*C(n,n)将上式两边相减，得：S(n) = (1/4) * [C(n,1) + 3*C(n,2) + 9*C(n,3) +。
+ 3^(n-1)*C(n,n)]所以，C(n)等于(1/n) * [C(n,1) + 3*C(n,2) + 9*C(n,3) +。
+ 3^(n-1)*C(n,n)]。
1.1.2 求解余数XXX(n,7)+C(n,14)+。
+C(n,7+(n-1)/2)的余数等于8^(n-1)的余数，因为：XXX(n,7)+C(n,14)+。
二项式定理
二项式定理1、二项式定理（1）二项式定理：公式()n a b +=011*()n n r n k kn nnn n n C a C a b C a b C b n N --+++++∈叫做二项式定理。
（2）二项展开式的通项：1k T +=(0,1,2,,)k n k knC a b k n -=⋅⋅⋅为展开式的第1k +项 2、二项式系数与项的系数（1）二项式系数：二项展开式中各项的系数{}(0,1,,)kn C k n ∈⋅⋅⋅叫做二项式系数（2）项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等。
与二项式系数是两个不同的概念。
（3）二项式系数的性质①对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即mn n m n C C -=；②增减性：当12n k +<时，二项式系数k n C 的值逐渐增大， 当12n k +>时, 二项式系数k n C 的值逐渐减小。
③最大值：当n 为偶数时，中间一项（12n第＋项）的二项式系数2nn C 取得最大值。
当n 为奇数时，中间两项（-1+11122n n 第＋项和＋项）的二项式系数相等，且同时取得最大值为1122n n nnC C-+或。
（4）各二项式系数的和()n a b +的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即01rnn nC C C +++nn C ++2n =。
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即135nn n C C C ++⋅⋅⋅=024n n n C C C ++⋅⋅⋅=12n - 。
三．二项展开式的系数na a a a ,......,,210的性质：n n x a x a x a x a a x f ++++=.....)(332210⑴ n a a a a a +++++......3210)1(f = ⑵ )1()1(......3210-=-++-+-f a a a a a n n⑶ ......6420a a a a +++ =2)1()1(-+f f⑷......5331a a a a +++……=2)1()1(--f f⑸ )0(0f a =两点注意（1）奇数项、偶数项、奇次项、偶次项各自表示的意义。
数学中的奇偶性判断方法
数学中的奇偶性判断方法数学作为一门精确的科学，涵盖了众多的分支和概念。
其中，奇偶性判断是数学中一个重要而有趣的问题。
在解决数学问题时，我们常常需要判断一个数的奇偶性，这在许多数学领域都有应用。
本文将介绍数学中常用的奇偶性判断方法，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
首先，我们来看最常见的奇偶性判断方法——除法法则。
除法法则是指，一个整数除以2，如果余数为0，则该数为偶数；如果余数为1，则该数为奇数。
这是因为，偶数可以被2整除，余数必然为0；而奇数除以2会有余数1。
例如，对于数10来说，10除以2的余数为0，所以10是一个偶数；而对于数15来说，15除以2的余数为1，所以15是一个奇数。
除法法则是一个简单而直观的判断方法，但并不适用于所有情况。
例如，对于小数或分数，除法法则无法判断其奇偶性。
此时，我们可以利用数的整数部分来判断奇偶性。
如果一个小数或分数的整数部分是偶数，那么它本身也是偶数；如果整数部分是奇数，那么它本身就是奇数。
例如，对于数3.14来说，其整数部分是3，是一个奇数，所以3.14也是一个奇数。
除了除法法则和整数部分法则，还有一种更加高效的奇偶性判断方法——位运算法则。
位运算法则是利用二进制表示中的最低位来判断奇偶性。
在二进制表示中，最低位为0表示偶数，为1表示奇数。
因此，我们可以通过查看一个数的二进制表示的最低位来判断其奇偶性。
例如，对于数6来说，其二进制表示为110，最低位为0，所以6是一个偶数；而对于数7来说，其二进制表示为111，最低位为1，所以7是一个奇数。
位运算法则不仅适用于整数，也适用于小数和分数。
我们可以将小数或分数转化为二进制形式，然后判断最低位的值来确定奇偶性。
例如，对于数0.75来说，其二进制表示为0.11，最低位为1，所以0.75是一个奇数。
除了以上介绍的奇偶性判断方法，还有一些其他的方法可以用于特定情况下的奇偶性判断。
例如，对于一些特殊的数列，我们可以利用数列的规律来判断其中的数的奇偶性。
奇偶性的判断方法
奇偶性的判断方法奇偶性是数学中一个非常基础的概念，它在很多数学问题中都有着重要的作用。
在学习和应用数学的过程中，我们经常会遇到需要判断一个数的奇偶性的情况。
那么，如何判断一个数是奇数还是偶数呢？本文将介绍几种常用的奇偶性判断方法。
首先，最直观的方法是将给定的数除以2，如果余数为0，则这个数是偶数，否则为奇数。
这是因为偶数定义为能够被2整除的数，而奇数则不能被2整除，因此余数为1。
这种方法非常简单直接，适用于各种类型的数，包括整数、分数等。
其次，我们可以利用数学性质来判断奇偶性。
对于整数，我们知道偶数一定是2的倍数，而奇数则不是。
因此，如果一个数能够被2整除，那么它一定是偶数；如果一个数不能被2整除，那么它一定是奇数。
这种方法更加抽象，但同样适用于各种类型的数。
另外，我们还可以利用位运算来判断奇偶性。
在计算机科学中，位运算是一种非常高效的运算方式。
对于一个二进制数，我们只需要查看它的最后一位是0还是1，就可以判断这个数的奇偶性。
如果最后一位是0，则这个数是偶数；如果最后一位是1，则这个数是奇数。
这种方法在计算机程序中经常被使用，因为位运算速度非常快。
除了以上介绍的方法，还有一些其他的奇偶性判断技巧。
比如利用数学归纳法可以证明奇数的n次方仍然是奇数，偶数的n次方仍然是偶数；利用数学规律可以发现，一个数的个位数字是0、2、4、6、8中的任意一个时，这个数就是偶数，否则就是奇数。
总的来说，奇偶性的判断方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法。
在实际问题中，有时候我们需要结合多种方法来进行判断，以便更加准确地得出结果。
希望本文介绍的方法能够帮助读者更好地理解和应用奇偶性的概念。
二项式系数性质课件
在二项式定理中，二项式系数是组合数的一种特殊形式，表示从n个不同元素中 取出k个元素的组合数。具体地，对于二项式$(a+b)^n$，其展开后的每一项可 以用组合数来表示，即第$k+1$项的系数为$C_n^k$，其中 $C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$。
二项式系数的对称性证明
适用于大规模和高精度计算的问 题。
总结词
二项式系数的对称性是指二项式系数在展开式中的对称位置 相等。
详细描述
对于二项式$(a+b)^n$的展开，其第$r+1$项和第$n-r+1$ 项的系数相等，即$C_n^r=C_n^{n-r}$。这一性质可以通过 组合数的性质证明，因为$C_n^r=C_n^{n-r}$是组合数的基 本性质之一。
二项式系数的递推关系证明
03
二式系数的用
在组合数学中的应用
组合数学中，二项式系数常用于计算组合数，表示从n个不同元素中取出k个元素的 组合方式数。
二项式系数在组合数学中具有一些重要的性质，如对称性、递推关系等，这些性质 在解决一些组合问题时非常有用。
二项式系数在组合数学中还常用于证明一些重要的定理，如二项式定理、组合恒等 式等。
二项式系数的表示方法
二项式系数可以用组合数的公式表示， 即C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!" 表示阶乘。
也可以用"+"、"*"等运算符来表示二 项式系数，例如C(n, k) = n+k-1 choose k。
二项式系数的性质
二项式系数具有对称 性，即C(n, k) = C(n, n-k)。
在概率论中的应用
二项式系数奇数项与偶数项和公式推导
一、概述二项式系数的奇数项与偶数项和公式是数学中重要的内容之一，其推导方法广泛应用于组合数学、代数学及概率统计等领域。
我们将从二项式定理开始，推导出二项式系数的奇数项与偶数项和公式，探讨其数学性质及应用。
二、二项式定理与二项式系数二项式定理是代数学中的基本定理之一，表述为：$ (a + b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}b + C_n^2a^{n-2}b^2 + ... + C_n^kb^{n-k} + ... + C_n^nb^n$其中，$C_n^k$表示n阶二项式系数，其计算公式为：$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$这里，n为非负整数，k为整数，并且满足0≤k≤n。
三、奇数项与偶数项性质1. 奇数项与偶数项性质我们可以观察到，当k为奇数时，二项式系数$C_n^k$的值为奇数；当k为偶数时，二项式系数$C_n^k$的值为偶数。
2. 证明假设n阶二项式系数$C_n^k$的k为奇数，我们可以对二项式系数进行分解：$(1 + 1)^n = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n$由于$(1 + 1)^n = 2^n$，且2^n为偶数，所以n阶二项式系数奇数项和$\sum_{k=0}^{n}C_n^k$为偶数。
同理，当k为偶数时，$\sum_{k=0}^{n}C_n^k$为奇数。
四、奇数项与偶数项和公式推导1. 奇数项和公式的推导我们可以将$(a + b)^n$展开为两部分：$(a + b)^n = (a - b)^n + 2C_n^1a^{n-1}b + 2C_n^3a^{n-3}b^3 + ... + 2C_n^{n-2}a^2b^{n-2} + 2C_n^nb^n$由于$(a - b)^n = C_n^0a^n - C_n^1a^{n-1}b + C_n^2a^{n-2}b^2 - ... + (-1)^nC_n^nb^n$将两式相加得到：$2\sum_{i=0}^{n/2}(-1)^iC_n^{2i}a^{n-2i}b^{2i}$由此我们可以得到n阶二项式系数奇数项和公式：$\frac{(a + b)^n - (a - b)^n}{2} = \sum_{i=0}^{n/2}(-1)^iC_n^{2i}a^{n-2i}b^{2i}$2. 偶数项和公式的推导同理，我们可以将$(a + b)^n$展开为两部分：$(a + b)^n = (a - b)^n + 2C_n^1a^{n-1}b + 2C_n^3a^{n-3}b^3 + ... + 2C_n^{n-2}a^2b^{n-2} + 2C_n^nb^n$由于$(a - b)^n = C_n^0a^n - C_n^1a^{n-1}b + C_n^2a^{n-2}b^2 - ... + (-1)^nC_n^nb^n$将两式相减得到：$2\sum_{i=0}^{n/2}C_n^{2i}a^{n-2i}b^{2i}$由此我们可以得到n阶二项式系数偶数项和公式：$\frac{(a + b)^n + (a - b)^n}{2} =\sum_{i=0}^{n/2}C_n^{2i}a^{n-2i}b^{2i}$五、简单案例分析我们以具体的n值进行分析，假定$a = 1$，$b = 1$：1. 当n为偶数时，$(1 + 1)^n = \sum_{i=0}^{n/2}C_n^{2i}1^{n-2i}1^{2i} = \frac{(1 + 1)^n + (1 - 1)^n}{2}$= $\frac{2^n + 2^0}{2} = 2^{n-1} + 1$2. 当n为奇数时，$(1 + 1)^n = \sum_{i=0}^{(n-1)/2}(-1)^iC_n^{2i}1^{n-2i}1^{2i} = \frac{(1 + 1)^n - (1 - 1)^n}{2}$= $\frac{2^n - 2^0}{2} = 2^{n-1}$六、结论通过以上推导与分析，我们得到了n阶二项式系数奇数项与偶数项和的公式，分别为：$\frac{(a + b)^n - (a - b)^n}{2} = \sum_{i=0}^{n/2}(-1)^iC_n^{2i}a^{n-2i}b^{2i}（奇数项和公式）$$\frac{(a + b)^n + (a - b)^n}{2} =\sum_{i=0}^{n/2}C_n^{2i}a^{n-2i}b^{2i}（偶数项和公式）$这两个公式在组合数学、代数学以及概率统计等领域有广泛的应用，对于理解二项式系数的性质和计算具有重要意义。
课件2：6.3.2 二项式系数的性质
n＋1 2
时，二项式系
n
数是逐渐 减小的 .最大值：当n为偶数时，中间一项的二数时，中间两项的二项式系数__C_n_2 __，___C_n_2__相等，且同时取得
最大值
各二项 式系数 的和
(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝ 2n ； (2)C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝_2_n_－_1_
3r≥6－1 r， ∴5－1 r≥r＋3 1.
∴72≤r≤92.
∵r∈N，∴r＝4.
∴展开式中系数最大的项为第 5 项
＝
.
反思感悟 1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间 两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项 系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得．
f(1)，
f1＋f－1
奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝
2
，
f1－f－1
偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝
2
.
跟踪训练1 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求下列各式的值． (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
A．64
B．32
C．63
D．31
【解析】C0n＋2C1n＋…＋2nCnn＝(1＋2)n＝3n＝729，
∴n＝6，∴C16＋C36＋C56＝32. 【答案】B
3．若(x＋3y)n 的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10 的展开式中二项式系数的 和，则 n 的值为________． 【解析】(7a＋b)10 的展开式中二项式系数的和为 C010＋C110＋…＋C1100＝210，令(x ＋3y)n 中 x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即 22n＝210，解得 n＝5. 【答案】5
奇偶函数的判定方法
奇偶函数的判定方法多项式函数在数学中占有重要的地位，其性质和特点一直是学术讨论的重点。
其中一个比较常见的问题就是如何判定函数的奇偶性。
在这篇文章中，我们将探讨奇偶函数的判定方法，希望能够帮助读者更清晰地了解这一问题。
一、奇数函数和偶函数的概念首先，我们需要了解奇数函数和偶数函数的概念。
一个函数f(x) 被称为奇数函数，当且仅当对于任意实数 x，都有 f(-x) = -f(x) 。
另一方面，一个函数 g(x) 被称为偶数函数，当且仅当对于任意实数 x，都有 g(-x) = g(x) 。
这两个概念中，奇数函数的特点是对称于原点，即从原点过一条线，函数曲线两侧呈镜像关系；而偶数函数的特点则是对称于 y 轴，即从 y 轴上某一点过一条线，函数曲线两侧呈镜像关系。
二、判定奇偶函数的方法了解奇偶函数的定义后，我们需要明确一点：奇偶性是函数的本质属性，可以通过函数表达式进行判定，而不是通过函数图像判定。
因此，下面介绍的方法都是基于函数表达式的。
1. 奇偶函数的特殊函数表达式有些函数有特殊的函数表达式，可以直接判定其奇偶性。
具体来说，以下这些函数都是奇函数或偶函数：奇函数：f(x) = x^n(n为奇数)f(x) = sin(x)f(x) = tan(x)偶函数：f(x) = x^n(n为偶数)f(x) = cos(x)f(x) = sec(x)注意，以上列出的函数，只有在定义域的范围内才能判定它的奇偶性。
2. 利用函数的性质判定奇偶性如果函数表达式不属于上述特殊形式，那么我们可以利用函数的性质来判定它的奇偶性。
首先，每个函数都可以写为奇函数和偶函数的和：f(x) = g(x) + h(x)其中，g(x) 是函数的偶部分，h(x) 是函数的奇部分。
于是，我们可以通过以下方法判定 g(x) 和 h(x) 的奇偶性，从而判定 f(x) 的奇偶性。
- g(x) 和 h(x) 的奇偶性相同，且不为零。
则 f(x) 为偶函数。
二项式性质
I.在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项 n为偶数 C
基础练习
(1).(a+b)n展开式中第四项与第六项的系数相等，则n为 （ A） A.8 B.9 C.10 D.11 (2).二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是（ A ） A.第2n+1项 B. 第2n+2项 C. 第2n项 D第2n+1项或2n+2项 (3).若(a+b)n的展开式中，各项的二项式系数和为8192， 则n的值为 （ D ） A16 B.15 C.14 D.13
3
的展开式中，所有奇数项的系
例1 在 (2 x 3 y) 的展开式中,求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和; ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
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解题回顾
1、注意区展开式的项的系数与二项式系数 2、赋值法是求系数和常用的方法
1 )n的展开式中，只有第六项的二项式系数最 2 x
大，求展开式中不含x的项.
通过这节课的学习，要能正确区分项、项的系 数、二项式系数。会用“赋值法” 求系数和。会求 系数最大项。
作业： P142 第2题（4） P143 第15题
再见
； / 如何配资 ；
举凡、昊云天呐些与鞠言关系亲近の朋友,更是兴奋得身躯都在轻轻颤抖着.他们见证咯,壹个奇迹の诞生.壹个普通主申,在千年内,成为咯九鼎主申.壹个登前咯第拾八座善桥の,九鼎主申.同事,还是壹名极其厉害の申丹师,拥有诞生咯灵体源历の申丹师.无数の荣耀和光环,此事都加持在 咯,那第拾八座善桥前盘膝而坐の鞠言身前.叠要の是,他们与鞠言,是朋友！此事の鞠言,已经开始聚精会申の,继续将叠心放在虚无领域の参悟之前.他有拾年事
二项式展开定理
二项式展开定理一、定理及基本概念1. (a b)n C n0a n C n1a n 1b C n r a n r b r C n n n n(n N*)2.项数:一共项;3.通项:;一定注意两点:1)涉及“第几项”得时候,一定严格按照通项公式;2)注意项数与系数得关系。
4.二项式系数与各项系数之间得联系与区别。
二、性质1.二项式系数得对称性:;2.二项式系数与:;3.奇数项二项式系数与= 偶数项二项式系数之与=;4.二项式系数最大项:1)当就是偶数时,此时项数就是奇数,中间项得二项式系数最大;2)当就是奇数时,此时项数就是偶数,中间两项得二项式系数=最大。
5.系数最大项:注意系数最大与二项式系数最大得区别。
基本题型解题思路及步骤一、利用通项公式求某项系数1.写出通项公式得时候注意:1) 所有得系数写在最前面,包括符号;2) 所有根式都写出分数次数形式;3)明白什么就是有理项4)注意得取值范围。
2.只有一个式子:写出通项公式,根据系数关系,确定满足条件得项。
3.有两个式子相乘:1) 分别用通项公式打开,组合后瞧满足条件得项;2) 只打开一个,观察另一个得形式,判断满足条件得项;一定注意系数3)有多个得,注意各自得取值范围与相互之间得关系。
二、赋值求系数与1.常用得赋值就是令,具体要通过所求得式子来判断赋值;2.所有系数之与:令;二项式系数之与:;3.所有系数绝对值之与:令;变换原来式子里得符号,边为相加;再令;4.求导与积分得形式。
三、对二项式定理得理解 :组合项、整除1.二项式定理得理解:都表示一个整体;2.根据所求得问题,对前面得进行重新组合。
例题讲解一、求某项得系数1.求展开式中第几项为常数项,并求常数项得值。
解: 直接用通项公式打开:;(注意系数都放一起)常数项即得次数为0,也即:;所以常数项为第4项;且常数项为2.在二项式得展开式中,第四项得系数为56,求得系数。
解:第四项得系数为56:注意:项数与展开式中得取值得关系。