高一上学期期末复习三角函数的图象与性质

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高中数学必修一三角函数图像性质总结(精华版)

一．正弦、余弦、正切函数图象和性质函数正弦函数Rxxy∈=,sin余弦函数Rxxy∈=,cos正切函数tan,2y x x kππ=≠+有界性有界有界无界定义域),(+∞-∞),(+∞-∞|,2x x k k Zππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域]1,1[-当时，)(22Zkkx∈+=ππ1max=y当时，)(22Zkkx∈+-=ππ1min-=y]1,1[-当时，)(2Zkkx∈=π1max=y当时，)(2Zkkx∈+=ππ1min-=y),(+∞-∞周期性是周期函数，最小正周期π2=T是周期函数，最小正周期π2=T Tπ=奇偶性奇函数，图象关于原点对称偶函数，图象关于轴对称y奇函数，图象关于原点对称单调性在)(],22,22[Zkkk∈++-ππππ上是单调增函数在)(],223,22[Zkkk∈++ππππ上是单调减函数在上)(],22,2[Zkkk∈++ππππ是单调增函数在上是单)(],2,2[Zkkk∈+πππ调减函数在(,),()22k k k Zππππ-++∈上是单调增函数对称轴)(,2Zkkx∈+=ππ)(,Zkkx∈=π对称中心)()0,(Zkk∈π)()0,2(Zkk∈+ππ(,0) ()2kk Zπ∈正弦函数、余弦函数、正切函数的图像（一）三角函数的性质　1、定义域与值域　2、奇偶性（1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性（ⅰ）g（x）＝（x∈R）g（x）为偶函数由此得；同理，为奇函数 . （ⅱ）为偶函数；为奇函数.　3、周期性（1）基本公式（ⅰ）基本三角函数的周期 y＝sinx，y＝cosx的周期为； y＝tanx，y＝cotxa 的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期的周期为；的周期为 .　（2）认知（ⅰ）型函数的周期的周期为；的周期为. （ⅱ）的周期的周期为；的周期为. 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y ＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明.　（3）特殊情形研究（ⅰ）y ＝tanx －cotx 的最小正周期为；（ⅱ）的最小正周期为；（ⅲ）y ＝sin 4x ＋cos 4x 的最小正周期为. 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象.4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”： ①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的l l t i si t i ri 一个周期； ②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）； ③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族. 揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域. （2）y ＝型三角函数的单调区间此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令u ＝，将所给函数分解为内、外两层：y ＝f （u ），u ＝； ②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f （u ）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于u 的不等式； ③还原、结论：将u ＝代入②中u 的不等式，解出x 的取值范围，并用集合或区间形成结论. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：()ϕω+=x A y sin （A 、＞0）ω定义域R RR值域]1,1[+-]1,1[+-R R[]A A ,-周期性 π2π2ππωπ2奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非偶,0≠ϕ当奇函数,0=ϕ单调性]22,22[ππππk k ++-上为增函数；]223,22[ππππk k ++上为减函数（）Z k ∈()]2,12[ππk k -；上为增函数()]12,2[ππ+k k 上为减函数（）Z k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππk k 2,2上为增函数（）Z k ∈上为减函()()ππ1,+k k 数（）Z k ∈⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+--)(212),(22A k A k ωϕππωϕππ上为增函数；⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+-+)(232),(22A k A k ωϕππωϕππ上为减函数（）Z k ∈注意：①与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般x y sin -=x y sin =x y cos -=x y cos =地，若在上递增（减），则在上递减（增）.)(x f y =],[b a )(x f y -=],[b a ②与的周期是.x y sin =x y cos =π⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且{}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且xy cot =xy tan =xy cos =xy sin =③或（）的周期.)sin(ϕω+=x y )cos(ϕω+=x y 0≠ωωπ2=T 的周期为2（，如图，翻折无效）.2tanx y =ππωπ2=⇒=T T ④的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方)sin(ϕω+=xy 2ππ+=k x Z k ∈0,πk )cos(ϕω+=x y 程是（），对称中心（）；的对称中心（）.πk x =Z k ∈0,21ππ+k )tan(ϕω+=x y 0,2πk xx y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称⑤当·；·.αtan ,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβααtan ,1tan -=β)(2Z k k ∈+=-ππβα⑥与是同一函数,而是偶函数，则x y cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππk x y 22sin )(ϕω+=x y )cos()21sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.⑦函数在上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，x y tan =R 为增函数，同样也是错误的].x y tan =⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义)(x f 域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：)()(x f x f =-）)()(x f x f -=-奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不x y tan =)31tan(π+=x y 关于原点对称）奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）x ∈0)(x f 0)0(=f x ∉0⑨x y sin =不是周期函数；为周期函数（）；x y sin =π=T 是周期函数（如图）；为周期函数（）；xy cos =x y cos =π=T 的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：212cos +=x y π.R k k x f x f y ∈+===),(5)(⑩ 有.abb a b a y =+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22y b a ≥+22二、形如的函数：sin()y A x ωϕ=+1、几个物理量：A―振幅；―频率（周期的倒数）；―相位；―初相；1f T=x ωϕ+ϕ2、函数表达式的确定：A 由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点sin()y A x ωϕ=+ωϕ确定，如，()sin()(0,0f x A x A ωϕω=+>>||ϕ<＝_____（答：）；()f x 15()2sin(23f x x π=+y=cos |x|图象3．函数Bx A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 最大值是，最小值是，周期是，最小正周期B A +A B -ωπ2=T ||2ωπ=T 频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡πω2=f ϕω+x ϕ)(2Z k k x ∈+=+ππϕω是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。

高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结

高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。

在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。

下面将对这些内容进行总结。

一、三角函数的图像性质1. 正弦函数（sin）的图像性质：- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。

2. 余弦函数（cos）的图像性质：- 周期性：cos函数的周期为2π；- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。

3. 正切函数（tan）的图像性质：- 周期性：tan函数的周期为π；- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。

二、三角函数的知识点1. 基本正弦函数的性质：- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。

2. 基本余弦函数的性质：- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。

3. 基本正切函数的性质：- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。

高一三角函数知识点归纳总结公式

高一三角函数知识点归纳总结公式以下是高一三角函数的一些知识点和公式：1. 三角函数的基本性质：周期性：sin(x) 和 cos(x) 的周期都是2π。

奇偶性：sin(x) 是奇函数，cos(x) 是偶函数。

有界性：sin(x) 和 cos(x) 的取值范围都是 [-1, 1]。

2. 三角函数的定义域和值域：定义域：对于所有实数 x，sin(x) 和 cos(x) 的定义域都是 R。

值域：sin(x) 和 cos(x) 的值域都是 [-1, 1]。

3. 三角函数的周期性和对称性：周期性：sin(x) 和 cos(x) 的周期都是2π。

对称性：sin(x) 在(0, π) 上是增函数，在(π, 2π) 上是减函数；cos(x) 在(0, π/2) 和(π, 3π/2) 上是减函数，在(π/2, π) 和(3π/2, 2π) 上是增函数。

4. 三角函数的和差公式：sin(x+y) = sinxcosy + cosxsinycos(x+y) = cosxcosy - sinxsiny5. 三角函数的倍角公式：sin2x = 2sinxcosxcos2x = cos²x - sin²xtan2x = 2tanx / (1 - tan²x)6. 三角函数的半角公式：sin(x/2) = ±√[(1 - cosx) / 2]cos(x/2) = ±√[(1 + cosx) / 2]tan(x/2) = ±√[(1 - cosx) / (1 + cosx)]7. 三角函数的和差化积公式：sin(x+y)-siny=2sin((x-y)/2)cos((x+3y)/2)cos(x+y)-coxy=-2sin((x-y)/2)cos((x+3y)/2)8. 其他常用公式：sin²θ + cos²θ = 1（勾股定理）tanθ = sinθ / cosθ（正切的定义）arcsin(x)、arccos(x)、arctan(x) 等反三角函数。

高一数学三角函数的图像与性质试题答案及解析

高一数学三角函数的图像与性质试题答案及解析1.已知,函数在上单调递减.则的取值范围（）A．B．C．D．【答案】B【解析】结合正弦函数的图象可知，要使函数在上单调递减，需要，解得的取值范围是.【考点】本小题主要考查三角函数图象的应用和由三角函数的单调性求参数的取值范围，考查学生综合应用函数图象解决问题的能力.点评：函数在上单调递减，则应该是函数的单调区间的一个子区间.2.函数的图象（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于轴对称D．关于原点对称【答案】B【解析】令，当时，，所以该函数图象关于直线对称.【考点】本小题主要考查三角函数图象的对称性.点评：正余弦函数图象的对称轴过最值点，所以本小题也可以将选项代入验证求解.3.已知函数（其中）图象的相邻两条对称轴间的距离为，且图象上一个最高点的坐标为.(1)求的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求函数的单调递减区间.【答案】; (2)【解析】（1）由题意知，函数的周期为，所以，……2分因为图象上一个最高点的坐标为，所以，所以……7分（2）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数，……10分令，解得函数的单调递减区间为. ……14分【考点】本小题主要考查由三角函数图象求三角函数解析式和由解析式求函数的性质，考查学生数形结合思想的应用.点评：求参数时要注意参数的取值范围，求单调区间时要注意不要忘记4. (2010·衡水市高考模拟)设a＝log tan70°，b＝log sin25°，c＝log cos25°，则它们的大小关系为()A．a<c<b B．b<c<aC．a<b<c D．b<a<c【答案】A【解析】∵tan70°>cos25°>sin25°>0，log x为减函数，∴a<c<b.5.已知函数f(x)＝2a sin＋b的定义域为，函数最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．【答案】a＝12－6，b＝－23＋12，或a＝－12＋6，b＝19－12.【解析】∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.∴－≤sin≤1.若a>0，则，解得，若a<0，则，解得，综上可知，a＝12－6，b＝－23＋12，或a＝－12＋6，b＝19－12.6.要得到函数y＝tan x图象，只需将函数y＝tan的图象()A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【答案】C【解析】将y＝tan中的x换作x－可得到y＝tan x，故右移个单位．7.函数f(x)＝tan的单调递增区间为()A．，k∈ZB．(kπ，kπ＋π)，k∈ZC．，k∈ZD．，k∈Z【答案】C【解析】∵kπ－<x＋<kπ＋，k∈Z，∴kπ－<x<kπ＋ (k∈Z)．8.求函数y＝的值域和单调区间．【答案】递增区间是k∈Z；递减区间是k∈Z.【解析】y＝，∵(tan x－1)2＋1≥1，∴值域是(0,1]，递增区间是k∈Z；递减区间是k∈Z.9.如果sinα·tanα<0，且sinα＋cosα∈(0,1)，那么角α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】∵sinα·tanα<0，∴α是第二或第三象限角，又∵sinα＋cosα∈(0,1)，∴α不是一和三象限角，∴α为第二象限角10.已知sin(490°＋α)＝－，则sin(230°－α)的值为()A．－B．C．－D．【答案】B【解析】∵sin(490°＋α)＝－，∴sin(490°＋α－720°)＝－，即sin(α－230°)＝－，∴sin(230°－α)＝.11.由y＝sin x变换成y＝－2sin x，则()A．各点右移π个单位，纵坐标伸长到原来2倍B．各点左移π个单位，纵坐标缩短到原来的C．各点右移π个单位，纵坐标缩短到原来的D．各点左移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍【答案】A【解析】因为由y＝sin x各点右移π个单位得到y＝sin(x-π)="-sinx," 纵坐标伸长到原来2倍得到y＝－2sin x，因此选A12.化简＝________.【答案】1【解析】原式＝＝1.13.作出函数y＝2cos的图象，观察图象回答．(1)此函数的最大值是多少？(2)此函数图象关于哪些点中心对称(至少写出2个)．【答案】(1)2 (2)，.【解析】描点作出图象如图．(1)最大值为2.(2)，.14.下列函数中是偶函数的是()A．y＝sin2x B．y＝－sin xC．y＝sin|x|D．y＝sin x＋1【答案】C【解析】A、B是奇函数，D是非奇非偶函数，C符合f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，∴y＝sin|x|是偶函数15.已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x<3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cos x<0的解集是( )A ．(－3，－)∪(0,1)∪(，3) B ．(－，－1)∪(0,1)∪(，3)C ．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)D ．(－3，－)∪(0,1)∪(1,3)【答案】B【解析】f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1,3)，f (x )<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)，当x ∈(－3,3)时，cos x >0的解集为(－，)，cos x <0的解集为(－3，－)∪(，3)，∴f (x )·cos x <0的解集为 (－，－1)∪(0,1)∪(，3)．16. 函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________ 【答案】(－π，0]【解析】∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，∴只有－π<a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．17. 若函数f (x )＝2cos 的最小正周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数ω的最大值是_______【答案】6 【解析】∵1<<3，∴<ω<2π，∴正整数ω的最大值是6.18. 已知函数f (x )＝sin，其中k ≠0，当自变量x 在任何两个整数间(包括整数本身)变化时，至少含有一个周期，求最小正整数k 的值．【答案】63【解析】函数f (x )＝sin 的周期为T ＝＝.由题意知T ≤1，即≤1，|k |≥20π≈62.8.所以最小正整数k 的值为63.19. 求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最值时自变量x 的值． (1)y ＝－cos3x ＋； (2)y ＝3sin ＋1.【答案】(1) x ＝π(k ∈Z)时有，y max=2，x ＝π(k ∈Z)时，y min ＝－×1＋＝1.（2）x ＝＋k π(k ∈Z)时，有y max ＝3＋1＝4，x ＝π＋k π(k ∈Z)时，y min ＝3×(－1)＋1＝－2.【解析】(1)∵－1≤cos3x≤1，∴当cos x＝－1，即3x＝π＋2kπ，＝－×(－1)＋＝2；x＝π(k∈Z)时有，ymax＝－×1＋＝1.当cos3x＝1，即3x＝2kπ，x＝π(k∈Z)时，ymin(2)∵－1≤sin≤1，∴当sin＝1，＝3＋1＝4；当sin＝－1，即x＝π即2x＋＝＋2kπ，x＝＋kπ(k∈Z)时，有ymax＋kπ(k∈Z)时，y＝3×(－1)＋1＝－2.min20.设θ是不等边三角形的最小内角，且cosθ＝，求实数a的取值范围．【答案】(－∞，－3)【解析】∵θ是不等边三角形的最小内角，∴0°<θ<60°.由cosθ在内单调递减知：<cosθ<1，即<<1.解得a<－3.故所求实数a的范围为(－∞，－3)．本题容易误判θ∈(0°，90°)或用错单调性得出0<cosθ<而致误。

三角函数的图象与性质

-
;
-1
y=cosx
2 3
4 5 4 5
6 x 6 x
五.定义域、值域及取到最值时相应的x的集合:
-6 -5
-4 -3
复习回顾
-2 -
y y=sinx
1 o
-1
2 3
y
si-n6x的对称-5轴：x
k -4
2-,3对称点-：2(k
,0);
-
y cosx的对称轴：x k , 对称点：(k ,0);
1.4.1正弦、余弦函数的图象
复习
回顾三角函数
三角函数线
正弦函数余弦函数正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
-1
O
M A(1,0) x
正弦、余弦函数的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？
途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
描图：用光滑曲线
复习回顾
一.正弦余弦函数的作图：几何描点法（利用三角函数线）五点法作简图
二.周期性：
函数y Asin(x )和y Acos(x )，x R的周期T 2 | |
三.奇偶性：
y sin x为奇函数，图像关于原点对称； y cosx为偶函数图像关于y轴对称。
-6 -5
-4 -3
复习回顾 y y=sinx
(0,11)
3
( 2 ,1)
-
(-o12 ,0)
( 2 ,0)
2
( ,-1)
3
线
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
y
五点画图法
1
(
2
,1)

高一年级数学必修一5.4.1三角函数的图象与性质

y
1
-4
-3
-2
-
o
-1

2
3
4
x
练习回顾
x
0

2
3
2

sinx
试着画一画
y
y=sinx的简图
O
x
2
练习回顾
x
-

2
0

2

cosx
试着画一画
y
y=cosx的简图
O
x
例题巩固
例 1：画出下列函数的简图：
（1） y 1 sin x ， x [0, 2]；
（2） y cos x ， x [0, 2]．
3

2
( 2 ,1)
( 2 ,0)
( ,0)
3
( 2,-1)
,-1)
(0,0)
(
( 2 ,0)
(

,0)
(
,-1)
( 2 ,1)
(0,0)
22
五点法——
正弦函数的性质
观察正弦曲线，得出正弦函数的性质：
y
1
-4
-3
-2
-
o

2
-1
(1) 定义域 xR
(2) 值域
[ －1, 1 ]
山东滨州康养职业中等专业学校
高中部
王金成
学习
目标
1
借助单位圆理解并掌握用“五点法”画正弦
函数、余弦函数的图象。
2
理解正弦、余弦函数图象的简单应用．
3
掌握正弦、余弦函数图象的区别与联系并
准确把握其性质
复习引入
问题1：三角函数是我们学习的一类新的基本初

高一数学讲义三角函数的图像和性质

三角函数要求层次重难点sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象和性质C了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法函数sin()y A x ωϕ=+的图象C会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，理解,,A ωϕ的物理意义，掌握由函数sin y x =的图象到函数sin()y A x ωϕ=+的图象的变换原理和方法用三角函数的图象解决一些简单的实际问题 B 掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心三角函数的定义域和值域B 掌握三角函数的定义域、值域的求法三角函数的性质 C掌握三角函数的奇偶性与单调性，并能应用它们解决一些问题,会求经过简单的恒等变形可化为sin()y A x ωϕ=+的三角函数的性质三角函数的图象和性质的应用C掌握三角函数奇偶性的判断及三角函数单调区间的求解及其应用三角函数的图象是高考的热点之一，重点考查已知图象求解析式，函数的图象变换及对称问题，利用图象变换和对称以及图象的性质解决实际问题，多为中档题.板块一：三角函数的图象高考要求第九讲三角函数的图像与性质知识精讲1.三角函数的图象2.函数()()sin 0,0,y A x A x ωϕω=+>>∈R 的图象的作法――五点法①确定函数的最小正周期2πT ω=；②令x ωϕ+＝0、π2、π、3π2、2π，得x ϕω=-、1π()2ϕω-、1(π)ϕω-、13π()2ϕω-、1(2π)ϕω-，于是得到五个关键点(,0)ϕω-、1π((),1)2ϕω-、1((π),0)ϕω-、13π((),1)2ϕω--、1((2π),0)ϕω-；③描点作图，先作出函数在一个周期内的图象，然后根据函数的周期性，把函数在一个周期内的图象向左、右扩展，得到函数()()sin 0,0,y A x A x ωϕω=+>>∈R 的图象．3.()()sin 0,0,y A x A x ωϕω=+>>∈R 的图象函数()()sin 0,0,y A x A x R ωϕω=+>>∈的图象可以用下面的方法得到：先把sin y x=的图象上所有点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平行移动||ϕ个单位；再把所得各点的横坐标缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的1ω倍（纵坐标不变）；再把所得的各点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变），从而得到sin()y A x ωϕ=+的图象．当函数sin()y A x ωϕ=+表示一个振动量时：A 叫做振幅；T 叫做周期；1T叫做频率；x ωϕ+叫做相位，ϕ叫做初相．上面是一种函数的平移缩放的过程，可以用这种方法来把一种三角函数转换成另外一种三角函数．下面把这个过程分解一下： (1)相位变换要得到函数sin()(0)y x ϕϕ=+≠的图象，可以令x x ϕ=+，也就是原来的x 变成了现在的x ϕ+，相当于x 减小了(0)ϕϕ<，即可以看做是把sin y x =的图象上的各点向左(0)ϕ>或向变换，使相位由x 变为x ϕ+，我们称它为相位变换．它实质上是一种左右平移变换． (2)周期变换要得到函数sin (0,1)y x ωωω=>≠的图象，令x x ω=，即现在的x 缩小到了原来的ω倍，就可以看做是把sin y x =的图象上的各点的横坐标缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的1ω倍（纵坐标不变）得到，由sin y x =的图象变换为sin y x ω=的图象，其周期由2π变为2πω，这种变换叫周期变换．周期变换是一种横向的伸缩． (3)振幅变换要得到sin (0,1)y A x A A =>≠且的图象，令yy A=，即相当于y 变为原来的A 倍，也就是把sin y x =的图象上的各点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的．这种变换叫做振幅变换．振幅变换是一种纵向的伸缩．【说明】本题的所有变换都是针对x 和y 来的，也就是说所有的转换都是用在x 和y 身上的，他们的系数也不包括在内．例如()()sin 0,0,y A x A x R ωϕω=+>>∈的图象，如果先把sin y x =各点的横坐标缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的1ω倍（纵坐标不变）变成sin y x ω=，再把所得的各点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变），得到sin y A x ω=，而最后才所有点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平行移动||ϕ个单位，这样得到就是sin ()y A x ωϕ=+，而不是sin()y A x ωϕ=+．希望大家能够从中理解“坐标变换是针对x 和y 做的” 这句话的意义．(二)典例分析【例1】 ⑴（2009年全国I ）如果函数()3cos 2y x ϕ=+的图象关于点4π3⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么ϕ的最小值为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2 ⑵（2008浙江卷5）在同一平面直角坐标系中，函数3πcos ([0,2π])22x y x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象和直线12y =的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4【例2】函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如下图所示，则(1)(2)(3)f f f +++…(11) f=【例3】方程1sin22x=在[2π,2π]-内解的个数为．【例4】如图，方程sin2sinx x=在区间(0,2π)内解的个数是( ) A．1B．2C．3D．4【例5】⑴求方程lg sin0x x-=的解的个数；⑵求方程100sin x x=的解的个数．【例6】(2006年-辽宁)已知函数11()(sin cos)sin cos22f x x x x x=+--，求()f x的值域．【例7】函数cos(sin )y x =的值域为_______【例8】 ⑴求函数22log (1sin )log (1sin )y x x =++-，ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域．⑵求函数223sin sin y x x=+(π,)x k k ≠∈Z 的值域．【例9】 (1sin )(3sin )2sin x x y x++=+的最值及对应的x 的集合【例10】已知正弦曲线sin()(0,0,02π)y A x A ωϕωϕ=+>><<上的一个最高点是(2,，由这个最高点到相邻的最低点，曲线与x 轴相交于点(6,0)，试求这个函数的解析式.【例11】已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为0(,2)x 和0(3π,2)x +-. ⑴求()f x 的解析式；⑵用列表作图的方法画出函数()y f x =在长度为一个周期的闭区间上的图象.【例12】如图，是函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>，πϕ<的图象的一部分，由图中条件写出函数解析式．【例13】右图是函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,02π)A ωϕ>><<的图象的一部分，试求此函数的解析式.【例14】函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,π)A ωϕ>><的图象的一段如图所示，确定该函数的解析式.【例15】 (2005年湖南高考)设函数()f x 的图象与直线x a =，x b =及x 轴围成图形的面积称为函数()f x 在[,]a b 上的面积，已知函数sin y nx =在π0,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为2n ()n *∈N ， ⑴sin3y x =在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为；⑵sin(3π)1y x =-+在π4π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为．【例16】设π()sin (0)53kf x x k ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭⑴求当3k =时，函数图象的对称轴方程和对称中心坐标．⑵求最小正整数k ，使得当自变量在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数至少取得一次最大值M 和最小值m ．【例17】已知函数2sin sin 1y x a x =++的最小值为1，求a 的值.【例18】求证：在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的实数对(,)c d ，π,0,2c d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且c d <，使得sin(cos )c c =，cos(sin )d d =成立．【例19】已知函数()b x a x x a x a x f ++⋅+=22cos 33cos sin 2sin 3⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤20πx 的值域为[23，-]，求a 、b 的值．【例20】已知函数R ∈+⋅+=x x x x y ，1cos sin 23cos 212．（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y =sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【例21】已知函数f (x )=A sin(ωx ＋φ)（200πϕω<>>，，A ）的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x 0，2）和（x 0＋3π，－2）．（1）求f (x )的解析式；（2）将y =f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的31，（纵坐标不变），然后再将所得图象沿x 轴正方向平移3π个单位，得到函数y =g (x )的图象．写出函数y =g (x )的解析式并用“五点法”画出y =g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．板块二：三角函数图象变换(一）知识内容1．函数图象平移基本结论小结如下：(0)()()a a y f x y f x a >=−−−−−−→=+左移个单位 (0)()()a a y f x y f x a >=−−−−−−→=-右移个单位 (0)()()a a y f x y a f x >=−−−−−−→-=上移个单位 (0)()()a a y f x y a f x >=−−−−−−→+=下移个单位1()()y f x y f x ωω=−−−−−−−−→=各点横坐标变成原来的倍()()y f x Ay f x =−−−−−−−−→=1各点纵坐标变成原来的倍A()()x y f x y f x =−−−−→-=绕轴翻折 ()()y f x y f x =−−−−→=-绕y 轴翻折设00(,)P x y 为()y f x =左移a 个单位后所得图象上的任意一点，则将Ｐ右移a 个单位得到的00'(,)P x a y +必在()y f x =的图象上，故00()y f x a =+，又00(,)P x y 点任意，故()y f x =的图象左移a 个单位得到的新的函数的解析式为：()y f x a =+．1（二）典例分析【例22】已知函数()sin f x x a =-，a ∈R⑴讨论函数()f x 的奇偶性⑵求当()f x 取最大值时，自变量x 的取值集合.【例23】设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （）A ．在区间27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B ．在区间,2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦上是减函数C ．在区间,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．在区间5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数【例24】设函数()sin3|sin3|f x x x =+，则()f x 为( )A ．周期函数，最小正周期为π3B ．周期函数，最小正周期为2π3C ．周期函数，最小正周期为2πD ．非周期函数【例25】已知函数f (x )=A sin(ωx ＋φ)（200πϕω<>>，，A ）的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x 0，2）和（x 0＋3π，－2）．（1）求f (x )的解析式；（2）将y =f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的31，（纵坐标不变），然后再将所得图象沿x 轴正方向平移3π个单位，得到函数y =g (x )的图象．写出函数y =g (x )的解析式并用“五点法”画出y =g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．【例26】 (2005年湖北文)函数sin cos 1y x x =-的最小正周期与最大值的和为．【例27】已知函数π()sin ()4f x a x a b ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭Z ，，当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最大值为1．⑴求()f x 的解析式；⑵由()f x 的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数()y g x =的图象？若能，请写出变换过程；若不能，请说明理由．板块三：三角函数的性质（一）知识内容]2π,(21)π]()k k k +∈Z(2π,x k =（二）典例分析【例28】求使1cos 1ax a+=-有意义的a 的取值范围.【例29】当方程224sin 4sin 20x x k k +-+-=有解时，求k 的取值范围.【例30】设f (x )满足ππ2(sin )3(sin )4sin cos ()44f x f x x x x -+=-≤≤，求()f x 的表达式.板块四：三角函数与二次函数典例分析【例31】求函数22sin 2sin 1y x x =-++的值域.【例32】求函数222cos sin y a x x =--的最大值与最小值.【例33】求函数253sin cos 82y x a x a =++-π(0)2x ≤≤的最大值【例34】为使方程2cos sin 0x x a -+=在π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦内有解，则a 的取值范围是( )A.11a -≤≤B.11a -<≤C.10a -<≤D.54a -≤【例35】已知定义在(,4]-∞上的减函数()f x ，使得27(sin )(12cos )4f m x f m x -+-+≤，对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围 .【例36】已知,b c 是实数，函数2()f x x bx c =++对任意,αβ∈R 有：①(sin )0f α≥②(2cos )0f β+≤⑴求(1)f 的值； ⑵证明：3c ≥；⑶设(sin )f α的最大值为 10，求()f x .（一）知识内容1.定义：对于函数()f x ，如果存在一个不为零的数T ，使得当x 取定义域中的任意一个数时，()()f x T f x +=总成立，那么称()f x 是周期函数，T 称为这个函数的周期，如果函数()f x 的所有正周期总存在最小值0T ，则称0T 为这个函数的最小正周期.2.说明：周期函数的定义域是无界的；若T 是某函数的周期，则(,0)nT n n ∈≠N 均为此函数的周期；若函数()y f x =的最小正周期是T ，则函数()y f x ωϕ=+的最小正周期是Tω.3.对称轴为x a =的函数，对称中心为(,)a b 的函数的解析式问题函数()y f x =周期为T ⇔如果点(,)x y 在图象上，则(,)x T y +也在图象上⇔()()y f x f x T ==+推广：关于一般的轴对称：函数()y f x =关于直线x a =对称⇔如果点(,)x y 在图象上则它关于直线x a =的对称点(2,)a x y -也在图象上⇔()(2)y f x f a x ==-板块五：三角函数的周期性关于一般的中心对称：()y f x =关于点(,)a b 对称⇔如果点(,)x y 在图象上，则它关于点(,)a b 的对称点(2,2)a x b y --也在图象上⇔2()(2)b f x f a x -=-4.某个函数关于点对称或轴对称，周期的特点：⑴若定义在R 上的函数()f x 有两条对称轴x a =，x b =()a b >，则这个函数必定是周期函数，2()T a b =-是它的周期.证：[2()][(2)]f a b x f a a b x -+=+-+[(2)](2)f a a b x f b x =--+=- [()]f b b x =+-[()]()f b b x f x =--=∴()f x 以2()a b -为周期⑵若函数()f x 在R 上的图象关于某点0(,)A a y 与某直线x b =()a b ≠对称，则此函数为周期函数，4T b a =-是它的周期.证：图象上任一点(,())x f x 关于点0(,)A a y 的对称点0(2,2())a x y f x --也在图象上，即有0(2)2()f a x y f x -=-，且()()f b x f b x -=+，则0()2(2)f x y f a x =-- 02[(2)]y f b b a x =---+02[(2)]y f b b a x =-+-+02(22)y f b a x =--+[2(22)]f a b a x =--+[(34)]f b b a x =--+[(34)]f b b a x =+-+[4()]f b a x =-+∴()f x 是以4()b a -为周期的函数（二）典例分析【例37】 ⑴设函数ππ()2sin()25f x x =+,若对任意x ∈R ,都有12()()()f x f x f x ≤≤成立,则12x x -的最小值( )A.4B.2C.1D.12⑵已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________.【例38】已知函数2sin()y x ωϕ=+(0π)ϕ<<为偶函数，其图象与直线2y =相邻的两个交点的横坐标分别为1x ，2x ，且12πx x -=，则( ) A.π2,2ωϕ==B.1π,22ωϕ==C.1π,24ωϕ==D.π2,4ωϕ== 【例39】函数()f x ，当(,)x ∈-∞+∞时，(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，在闭区间[0,7]上，只有(1)(3)0f f ==.⑴试判断函数()f x 的奇偶性.⑵试求方程()0f x =在闭区间[2005,2005]-上的根的个数，证明你的结论.【例40】设()f x 是定义在R 上并以2为周期的函数，当[1,1]x ∈-时，2()f x x =.⑴求(1,3]x ∈时，()f x 的表达式；⑵作出()f x 的图象，并求(3)f -及(3.5)f 的值.【例41】函数sin (0)y x ωω=>在区间[0,1]上恰好有50个最大值，则ω的取值范围是 .【例42】函数21π5cos π36k y x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭()k *∈N 对于任意实数a ，在区间[,3]a a +上的值54出现的次数习题1. 函数()cos(3)f x x x ϕ=+∈R ，的图象关于原点中心对称，则ϕ=（）Ａ.π3 Ｂ.ππ2k k +∈Z ，Ｃ.πk k ∈Z ，Ｄ.π2π2k k -∈Z ，习题2. ⑴函数sin 1y a x =+的最大值是3，则它的最小值_____________________.⑵函数sin y x =的一个单调增区间是( ) A.ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B.3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C.3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D.32π⎛⎫π⎪2⎝⎭，家庭作业习题3. 已知函数()()cos ωϕ=+f x A x 的图象如图所示，π223⎛⎫=- ⎪⎝⎭f ，则()0=f （）A.23-B.12-C.23D.12习题4. 求下列不等式x 的取值范围.⑴2sin 10x +≥；⑵π2cos(3)106x +-≤.习题5. 若函数sin()y A x ωϕ=+，(0,0,02π)A ωϕ>><≤的图象上一个最高点的坐标为（，由这个最高点到相邻的最低点间，图象与x 轴的交点为(4,0).求此函数的解析式.习题6. 把曲线π:2sin 24C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移(0)a a >个单位，得到的曲线G 关于直线π4x =对称.求a 的最小值.习题1. 定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当π[0,]2x ∈时，()sin f x x =，则5π()3f 的值为（） A . 12- B .3C .3-D .12习题2. 设()f x 是定义在R 上且最小正周期为3π2的函数，在某一周期内，πcos 2,0,2()sin ,0π,x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪<⎩≤≤则()15π4f -= .习题3. 已知π4x ≤，求函数2cos sin y x x =+的最小值习题4. （2005山东卷）函数21sin(),10(),0x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨⎪⎩≥，若(1)()2f f a +=，则a 的所有可能值为（）A.1B.21,-C.2- D.21, 习题5. 设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称，对任意的1x ，2x 10,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有1212()()()f x x f x f x +=⋅，且(1)0f a =>，⑴求12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭及14f ⎛⎫⎪⎝⎭⑵证明()f x 是周期函数习题6. 关于x 的不等式222sin 2cos 2a a x a x +--≥的解集是全体实数，求实数a 的取值范围月测备选。

三角函数的图像及其性质

三角函数的图像及其性质1、三角函数的图像及性质sin y xsin y A x k图像值域周期对称轴2x k2x k对称中心（零点）令x k 代入求y令x k 代入，求出x 和y 单调增区间2,222x k k2,222x k k单调减区间32,222x k k32,222x k kcos y xcos y A x k图像值域周期对称轴x kx k 对称中心（零点）2x k代入，求y 2x k求出x 和y 单调增区间 2,2x k k 2,2x k k 单调减区间2,2x k k2,2x k k tan y x图像定义域值域周期单调性与对称性性质【考点分类】考点一：图像变换：1．把函数y ＝sin x 的图象向右平移个单位得到y ＝g （x ）的图象，再把y ＝g （x ）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为（）A．B．C．D．2．将函数f （x ）＝sin x 图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0），纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，若g （x ）的最小正周期为6π，则ω＝（）A．B．6C．D．33．将函数y ＝2sin2x 图象上的所有点向右平移个单位，然后把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，（纵坐标不变）得到y ＝f （x ）的图象，则f （x ）等于（）A．2sin（x ﹣）B．2sin（x ﹣）C．2sin（4x ﹣）D．2sin（4x ﹣）4．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin（2x +），则下面结论正确的是（）A．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2B．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 2C．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2D．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 25.把函数y ＝cos(3x ＋4)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是()A 向右平移4 B 向左平移4 C 向右平移12 D 向左平移126..函数32sin( x y 的图象是由2sin xy 的图象沿x 轴（）得到的。

常见三角函数图像及性质

常见三角函数图像及性质三角函数在数学中具有重要的作用，主要有正弦函数、余弦函数和正切函数。

这些三角函数的图像及性质对理解三角函数在不同角度下的变化规律至关重要。

1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数可以表示为 $y = \\sin(x)$，其中x表示自变量（角度），x表示函数值。

正弦函数的图像是一条波浪形状的曲线，在 $[-\\pi, \\pi]$ 区间内，正弦函数的图像在原点(0,0)处达到最大值1和最小值−1，且图像在x轴上对称。

正弦函数的主要性质包括：•周期性：正弦函数的周期是 $2\\pi$，即 $f(x+2\\pi) = f(x)$。

•奇函数：正弦函数是奇函数，即x(−x)=−x(x)。

•范围：正弦函数的值域为[−1,1]。

•正负性：在第一和第二象限，正弦函数为正；在第三和第四象限，正弦函数为负。

2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数可以表示为 $y = \\cos(x)$，余弦函数的图像是一条类似正弦函数的波浪形状曲线，不过余弦函数的图像在x轴上下移了 $\\frac{\\pi}{2}$。

余弦函数的性质包括：•周期性：余弦函数的周期也是 $2\\pi$，即$f(x+2\\pi) = f(x)$。

•偶函数：余弦函数是偶函数，即x(−x)=x(x)。

•范围：余弦函数的值域为[−1,1]。

•正负性：在第一和第四象限，余弦函数为正；在第二和第三象限，余弦函数为负。

3. 正切函数（Tangent Function）正切函数可以表示为 $y = \\tan(x)$，正切函数的图像是一条周期性的曲线，其在某些角度处会出现无穷大的值。

正切函数的图像在 $x=k\\pi + \\frac{\\pi}{2}$ 时，即 $x =\\frac{\\pi}{2}, \\frac{3\\pi}{2}, \\frac{5\\pi}{2}$ 等，会出现垂直渐近线。

正切函数的性质包括：•周期性：正切函数的周期是 $\\pi$，即 $f(x+\\pi) = f(x)$。

高一数学三角函数的像与性质

高一数学三角函数的像与性质三角函数是数学中重要的概念，其像与性质的研究对于理解三角函数的特点和应用至关重要。

本文将围绕高一数学学习阶段，探讨三角函数的像与性质，并介绍相关的定义、图像以及性质。

一、正弦函数的像与性质正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，可以通过一个单位圆或者函数图像来表示。

在一个单位圆上，角度与弧度之间存在特定的对应关系，正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。

正弦函数的图像呈现周期性变化，沿x轴的正向无限延伸。

在每个周期内，正弦函数在[-π/2, π/2]区间上是单调递增的，其最大值为1，最小值为-1。

正弦函数的性质包括以下几点：1. 奇函数性质：正弦函数关于原点对称，即sin(-x) = -sin(x)。

2. 周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(x + 2π) = sin(x)。

3. 奇异点：正弦函数在π/2 + kπ（k为整数）的位置上有奇异点，其值为1或-1。

二、余弦函数的像与性质余弦函数也是三角函数中常见的函数之一，同样可以通过一个单位圆或者函数图像来表示。

与正弦函数类似，余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。

与正弦函数不同的是，余弦函数的图像在单位圆上是关于y轴对称的。

在每个周期内，余弦函数在[0, π]区间上是单调递减的，最大值为1，最小值为-1。

余弦函数的性质包括以下几点：1. 偶函数性质：余弦函数关于y轴对称，即cos(-x) = cos(x)。

2. 周期性：余弦函数的周期为2π，即cos(x + 2π) = cos(x)。

3. 奇异点：余弦函数在kπ（k为整数）的位置上有奇异点，其值为1或-1。

三、正切函数的像与性质正切函数是三角函数中另一个重要的函数，同样可以通过一个函数图像来表示。

正切函数的定义域为实数集，值域为(-∞, +∞)。

正切函数的图像在每个周期内都会经过原点，且在每个周期内呈现周期性变化。

在每个周期内，正切函数在(-π/2, π/2)区间上是连续递增的。

高一数学三角函数的图像和性质

高一数学三角函数的图像性质1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222ππππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

2、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质：（1）定义域：都是R 。

（2）值域：都是[]1,1-；①对sin y x =，当()22x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1；当()322x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1；②对cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。

3、周期性：①sin y x =，cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=。

4、奇偶性、对称性与单调性：奇偶性与单调性：①正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2x k k Z ππ=+∈；②余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对称轴是直线()x k k Z π=∈；（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。

单调性： ①()sin 2,222y x k k k Z ππππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦单调递减； ②cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。

知识点：画出三角函数图像。

高一数学三角函数的图像及性质

三角函数一、知识梳理1.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：2.周期函数定义：对于函数()f x ，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，()()f x T f x +=都成立，那么就把函数()f x 叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期.结论：如果函数)()(k x f k x f -=+对于R x ∈任意的，那么函数()f x 的周期T=2k ；如果函数)()(x k f k x f -=+对于R x ∈任意的，那么函数()f x 的对称轴是k x k k x x =-++=2)()(3.图象的平移对函数y ＝A sin （ωx ＋ϕ）＋k （A ．＞．0．，． ω．＞．0．，． ϕ．≠0．．，． k ．≠0．．）．，其图象的基本变换有：（1）振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A 的变化引起的.A ＞1，伸长；A ＜1，缩短. （2）周期变换（横向伸缩变换）：是由ω的变化引起的.ω＞1，缩短；ω＜1，伸长. （3）相位变换（横向平移变换）：是由φ的变化引起的.ϕ＞0，左移；ϕ＜0，右移. （4）上下平移（纵向平移变换）：是由k 的变化引起的.k ＞0，上移；k ＜0，下移二、方法归纳1.求三角函数的值域的常用方法：① 化为求代数函数的值域；② 化为求sin()y A x B ωϕ=++的值域； ③ 化为关于sin x （或cos x ）的二次函数式；2.三角函数的周期问题一般将函数式化为()y Af x ωϕ=+（其中()f x 为三角函数，0ω>）．3.函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数k ϕπ⇔=()k ∈Z ；函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数2k πϕπ⇔=+()k ∈Z函数cos()y A x ωϕ=+为偶函数k ϕπ⇔=；函数cos()y A x ωϕ=+为奇函数2k πϕπ⇔=+()k ∈Z4.函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的单调增区间可由2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+()k ∈Z 解出，单调减区间可由32222k x k πππωϕπ+≤+≤+()k ∈Z 解出；函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω<>的单调增区间可由32222k x k πππωϕπ+≤+≤+()k ∈Z 解出，单调减区间可由2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+()k ∈Z 解出.5.对称性：（1）函数sin()y A x ωϕ=+对称轴可由2x k πωϕπ+=+()k ∈Z 解出；对称中心的横坐标是方程x k ωϕπ+=()k ∈Z 的解，对称中心的纵坐标为0.（即整体代换法）（2）函数()cos y A x ωϕ=+对称轴可由x k ωϕπ+=()k ∈Z 解出；对称中心的横坐标是方程2x k πωϕπ+=+()k ∈Z 的解，对称中心的纵坐标为0.（即整体代换法）（3）函数()tan y A x ωϕ=+对称中心的横坐标可由2kx ωϕπ+=()k ∈Z 解出，对称中心的纵坐标为0，函数()tan y x ωϕ=+不具有轴对称性.三、课堂例题精讲例1.下列函数中，周期为2π的是（） A.sin 2x y = B.sin 2y x =C.cos4x y = D.cos 4y x =答案：D例2.已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（） A.关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称B.关于直线x π=4对称 C.关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称D.关于直线x π=3对称答案：A.解析：由题意知2ω=，所以解析式为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经验证可知它的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭.例3.函数的最小正周期和最大值分别为（）A.π，1B.π2C.2π，1D.2π2答案：A.解析：x x x x x y 2cos 232sin 212cos 212cos 232sin =⋅-⋅+⋅+⋅=，∴T =π，y max =1 例4.函数[]()sin 3(π0)f x x x x =∈-，的单调递增区间是（）A.5ππ6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B.5ππ66⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， C.π03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D.π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，答案：D.解析：因为⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=3sin 2)(x x f ，.0,6656,0),(65262),(22322符合题意由此可得得令得令⎥⎦⎤⎢⎣⎡π-π≤≤π-=∈π+π≤≤π-π∈π+π≤π-≤π-πx k k k x k k k x k Z Z例5.将⎪⎭⎫⎝⎛π+=63cos 2x y 的图象按向量a =⎪⎭⎫⎝⎛-π-2,4平移，则平移后所得图象的解析式为（） A.243cos 2-⎪⎭⎫⎝⎛π+=x y B. 243cos 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=x y C. 2123cos 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=x y D. 2123cos 2+⎪⎭⎫⎝⎛π+=x y 答案：A.解析：看向量a =⎪⎭⎫⎝⎛-π-2,4的数据“符号”，指令图象左移和下移，按“同旁相减，异旁相加”的口诀，立可否定B 、C 、D.例6.函数sin y x =的一个单调增区间是（）A.ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B.3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭， C.3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D.32π⎛⎫π⎪2⎝⎭，答案：C解析：法一：∵函数sin y x =的一个单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0，又函数sin y x =是以π为周期的函数，∴函数sin y x =的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡π+ππ2,k k （k ∈Z ）.当k =1时，函数sin y x =的一个单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ23,.故选C. 法二：作出函数sin y x =的图象，由图易知sin y x =的一个单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ23,.故选C.法三：将每个选择支中区间的两个端点值代入函数表达式，A 、B 两个选择支的端点值相等，而选择支D 的左端点值大于右端点值，所以根据单调递增的概念判断，可排除A 、B 、D ，故选C.例7.函数sin()y A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= .答案： ω=3例8.已知函数()()3sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()()2cos 21g x x ϕ=++的图象的对称轴完全相同.若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的取值范围是 . 答案：3[-,3]2解析：由题意知，2ω=，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，由三角函数图象知：()f x 的最小值为33sin (-)=-62π，最大值为3sin =32π，所以()f x 的取值范围是3[-,3]2. 例9.定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数y=6cosx 的图象与y=5tanx 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为 . 答案：23解析“线段P 1P 2的长即为sinx 的值，且其中的x 满足6cosx=5tanx ，解得sinx=23. 故线段P 1P 2的长为23.例10.设函数()f x =·a b ，其中向量(cos2)mx =，a ，(1sin 21)x =+，b ，x ∈R ，且()y f x =的图象经过点π24⎛⎫⎪⎝⎭，. （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小值及此时x 值的集合.解析：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =.（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=+⎪⎝⎭，当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1 由πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ，. 例11. 已知函数()sin(),(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点M )0,43(π对称，且在区间[0，2π]上是单调函数，求ϕ和ω的值. 解析：由)(x f 是偶函数，得)()(x f x f =-，故sin()sin()x x ωϕωϕ-+=+，cos sin cos sin x x ϕωϕω-=对任意x 都成立，且0,cos 0.ωϕ>∴=依题设0≤ϕ≤π，cos .2πϕ∴=由)(x f 的图象关于点M 对称，得)43()43(x f x f +-=-ππ取0)43(),43()43(0=∴-==πππf f f x 得 0)43cos(),43cos()243sin()43(=∴=+=x x x f ωωπωπ又0>ω，得......2,1,0,243=+=k k x ππω ...2,1,0),12(32=+=∴k k ω当0=k 时，)232sin()(,32πω+==x x f 在]2,0[π上是减函数.当1=k 时，)22sin()(,2πω+==x x f 在]2,0[π上是减函数. 当k ≥2时，)2sin()(,310πωω+==x x f 在]2,0[π上不是单调函数. 所以，综合得32=ω或2=ω.四、课后作业1.函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（） A.233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B.62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C.03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D.66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2.已知函数()f x =Acos （x ωϕ+）的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f =（） A.23-B .23 C.32 D. 32-3. 设ω>0，函数f （x ）=2sinωx 在]4,3[ππ-上为增函数，那么ω的取值范围是 .4.判断方程sinx=π100x实数解的个数.5.求函数y=2sin )4(x -π的单调区间.6.已知函数()f x =xx x 2cos 1cos 3cos 224+-，求它的定义域和值域，并判断奇偶性.100л7.已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值.8.设()f x = x x 2sin 3cos 62-，（1）求()f x 的最大值及最小正周期；（2）若锐角α满足323)(-=αf ，求tan α54的值.9. 求下列函数的值域：（1）y=x x x cos 1sin 2sin -；（2）y=sinx+cosx+sinxcosx ；（3）y=2cos )3(x +π+2cosx.10.已知函数f （x ）=－sin 2x+sinx+a ，（1）当f （x ）=0有实数解时，求a 的取值范围；（2）若x ∈R ，有1≤f （x ）≤417，求a 的取值范围.11.已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. （Ⅰ）求()f x 的最大值和最小值；（Ⅱ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围.12.已知f （x ）=2a sin 2x －22a sin x +a +b 的定义域是［0，2π］，值域是［－5，1］，求a 、b 的值.参考答案： 1.答案：A 2.答案：C 3.答案：203ω<≤ 4.答案：199 解析：方程sinx=π100x 的实数解的个数等于函数y=sinx 与y=π100x 的图象交点个数， ∵|sinx|≤1∴|π100x|≤1， |x|≤100л 当x≥0时，如下图，此时两线共有100个交点，因y=sinx 与y=π100x都是奇函数，由对称性知当x≤0时，也有100个交点，原点是重复计数的，所以只有199个交点. 5.解析：y=2sin )4(x -π可看作是由y=2sinu 与u=x -4π复合而成的.又∵u=x -4π为减函数，∴由2k π-2π≤u ≤2k π+2π（k ∈Z ），得-2k π-4π≤x ≤-2k π+43π （k ∈Z ）. 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）为y=2sin )4(x -π 的递减区间. 由2k π+2π≤u ≤2k π+23π （k ∈Z ），得2k π+2π≤4π-x ≤2k π+23π（k ∈Z ），解得-2k π-45π≤x ≤-2k π-4π （k ∈Z ），即⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z ）为y=2sin )4(x -π的递增区间. 综上可知：y=2sin )4(x -π的递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z ）；递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）. 6.解析：由题意知cos2x≠0，得2x≠k π+2π，解得x≠42ππ+k （k ∈Z ）. 所以()f x 的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z R k k x x x ,42ππ且,. 又()f x =xx x 2cos 1cos 3cos 224+-=x x x 2cos )1)(cos 1cos 2(22--=cos 2x-1=-sin 2x.又定义域关于原点对称， ∴()f x 是偶函数. 显然-sin 2x ∈［-1，0］，但∵x≠42ππ+k ，k ∈Z . ∴-sin 2x≠-21.所以原函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<--<≤-021211|y y y 或.7.解析：（Ⅰ）π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭.因此，函数()f x 的最小正周期为π.（Ⅱ）解法一：因π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上增，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上减，又π08f ⎛⎫=⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为1-.解法二：作函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如下：由图象得函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.8.解析：（Ⅰ）1cos 2()622xf x x +=3cos 223x x =+12sin 232x x ⎫=-+⎪⎪⎭236x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 故()f x的最大值为3；最小正周期22T π==π.（Ⅱ）由()3f α=-2336απ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭故cos 216απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 又由02απ<<得2666απππ<+<π+，故26απ+=π，解得512α=π.从而4tan tan 53απ==.9.解析：（1）y=x x x x cos 1sin cos sin 2-=xx x cos 1)cos 1(cos 22--=2cos 2x+2cosx=22)21(cos +x -21.于是当且仅当cosx=1时取得y max =4，但cosx≠1，∴y ＜4，且y min =-21，当且仅当cosx=-21时取得. 故函数值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-4,21. （2）令t=sinx+cosx ，则有t 2=1+2sinxcosx ，即sinxcosx=212-t .有y=f （t ）=t+212-t =1)1(212-+t .又t=sinx+cosx=2sin )4(π+x ， ∴-2≤t≤2.故y=f （t ）=1)1(212-+t （-2≤t≤2），从而知：f （-1）≤y≤f （2），即-1≤y≤2+21. 即函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-212,1.（3）y=2cos )3(x +π+2cosx=2cos3πcosx-2sin 3πsinx+2cosx=3cosx-3sinx =23⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x sin 21cos 23=23cos )6(π+x . ∵)6cos(π+x ≤1，∴该函数值域为［-23，23］.10.解析：（1）f （x ）=0，即a=sin 2x －sinx=（sinx －21）2－41∴当sinx=21时，a min =－41，当sinx=－1时，a max =2， ∴a ∈[41-，2]为所求.（2）由1≤f （x ）≤47得⎪⎩⎪⎨⎧+-≥+-≤1sin sin 417sin sin 22x x a x x a∵ u 1=sin 2x －sinx+2)21(sin 417-=x +4≥4u 2=sin 2x －sinx+1=43)21(sin 2+-x ≤3 ∴ 3≤a≤4.11.解析：（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤max min ()3()2f x f x ==，∴.（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，.12.解析：令sin x =t ，∵x ∈［0，2π］，∴t ∈［0，1］，而f （x ）=g （t ）=2at 2－22at +a +b =2a （t －22）2+b . 当a ＞0时，则⎩⎨⎧=+-=，，15b a b 解之得a =6，b =－5.当a ＜0时，则⎩⎨⎧-=+=，，51b a b 解之得a =－6，b =1.。

高一数学三角函数的图象与性质试题答案及解析

高一数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.（1）求和的值；（2）若，求的值【答案】（1）ω=2，；（2）.【解析】（1）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω=2．再根据图象关于直线对称，结合可得φ 的值．（2）由条件求得再根据的范围求得的值，再根据，利用两角和的正弦公式计算求得结果．试题解析：（1）因为f(x)图像上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期，从而，又因f(x)的图象关于直线对称，所以，又因为得，所以.（2）由（1）得所以，又得所以，因此.【考点】三角函数的周期公式，诱导公式，三角函数的图像与性质，角的变换，两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系（平方关系）.2.不等式的解集为 .【答案】【解析】本题主要考查三角函数的恒等变换.由得：，故不等式的解集为.【考点】三角函数的恒等变换，三角函数的性质.3.函数的一条对称轴方程是（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】的对称轴方程为,即令，得.【考点】诱导公式、三角函数的图像与性质.4.已知函数，.（1）求的最小正周期；（2）求在闭区间上的最大值和最小值.【答案】(1);(2)最大值为，最小值为．【解析】解题思路：利用两角和与差的三角公式和二倍角公式及其变形化成的形式，再求周期与最值.规律总结：涉及三角函数的周期、最值、单调性、对称性等问题，往往先根据三角函数恒等变形化为的形式，再利用三角函数的图像与性质进行求解.注意点：求在给定区间上的最值问题，要注意结合正弦函数或余弦函数的图像求解．试题解析：(1)，故的最小正周期为π.(2)函数在闭区间上的最大值为，最小值为 .【考点】1.三角恒等变形；2.三角函数的图像与性质.5.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数．令，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于，又，又在区间上是增函数，所以有。

【考点】函数的单调性及三角函数值大小的比较。

高一数学必修一三角函数的图象与性质(1)

三角函数的图象与性质（1）教学目标1、掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质2、熟悉正弦函数、余弦函数、正切函数的图形变换教学重难点重点：1、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象； 2、正弦函数、余弦函数、正切函数的性质； 3、正弦函数、余弦函数、正切函数的图形变换。

难点：1、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象； 2、正弦函数、余弦函数、正切函数的图形变换。

知识点梳理解析式sin y x =cos y x =tan y x =定义域 R R ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ 值域 [1,1]－[1,1]－R 零点 Z k k x ∈=,π Z k k x ∈+=,2ππZ k k x ∈=,π周期性 2T π=2T π=T π= 对称轴 Z k k x ∈+=,2ππZ k k x ∈=,π无对称中心Z k k x ∈=,πZ k k x ∈+=,2ππZ k k x ∈=,2π增区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππk k Zk ∈]2,2[πππk k -Z k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2,2ππππk k Z k ∈ 减区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππk k Zk ∈[2,(21)]k k ππ+Z k ∈无知识点1：基本图象与性质【例1】画出x y sin =，x y cos =，x y tan =在]2,2[ππ-内的图象。

【例2】用“五点法”做出函数x y sin 2-=，]2,0[π∈x 的图像。

【随堂练习】1、作函数x y cos 3+-=，]2,0[π∈x 的图像。

2、若函数b x y +-=sin 的图像如图所示，求b 的值。

知识点2：利用图像求函数定义域或不等式【例1】在]2,0[π上，0cos ≥x 的x 的集合是【】 A.]2,0[π B.]2,23[ππ C.]2,23[]2,0[πππ D.)2,23()2,0(πππ【例2】求函数)1sin 2lg(cos 21-+-=x x y 的定义域。

人教版数学必修第一册综合复习：三角函数的图象和性质课件

2
求三角函数的值域(或最值)的3种类型及解法思路
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k
的情势，再求值域(或最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为
关于t的二次函数求值域(或最值)；
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设
偶性、对称性
上
的性质(如单调性、最大和最小值、核心
图象与x轴交点等) ．
3．三角函数的单调性
素养
直观想象、逻辑推理
基础梳理基础点正弦函源自、余弦函数、正切函数的图象和性质函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
{x|x∈R且x≠
定义域
R
________
R
________

＋kπ，k∈Z}
8
＋kπ](k∈Z)
＋kπ，

8
7
8
D．[－＋kπ，
3
8
＋2kπ](k∈Z)
＋kπ](k∈Z)
－2x)，则

6
1
2
1
2．已知函数f(x)＝sin − ＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，
2
3+1
1
3
3
f(β)＝ .若|α－β|的最小值为，则f( )＝_____，函数f(x)的单调
奇偶性
奇函数
________
ymax＝1；x＝π＋
无最值
2kπ(k∈Z)时，ymin
＝－1
偶函数
________
奇函数

(完整版)高中数学必修一三角函数图像性质总结(精华版)

正弦函数、余弦函数、正切函数的图像1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy xy=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx（一）三角函数的性质 1、定义域与值域2、奇偶性（1）基本函数的奇偶性奇函数：y ＝sinx ，y ＝tanx ；偶函数：y ＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性（ⅰ）g （x ）＝（x ∈R ）g （x ）为偶函数由此得；同理，为奇函数.（ⅱ）为偶函数；为奇函数.3、周期性（1）基本公式（ⅰ）基本三角函数的周期 y ＝sinx ，y ＝cosx 的周期为； y ＝tanx ，y ＝cotx的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期的周期为；的周期为 .（2）认知（ⅰ）型函数的周期的周期为；的周期为 .（ⅱ）的周期的周期为；的周期为 .均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别.（ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.（ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明.（3）特殊情形研究（ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为；（ⅱ）的最小正周期为；（ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 .由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象.4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.（2）y＝型三角函数的单调区间此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令u ＝，将所给函数分解为内、外两层：y ＝f （u ），u ＝；②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f （u ）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于u 的不等式； ③还原、结论：将u ＝代入②中u 的不等式，解出x 的取值范围，并用集合或区间形成结论.()ϕω+=x A y sin （A 、ω＞0）定义域 R R R 值域 ]1,1[+- ]1,1[+-R R []A A ,-周期性 π2 π2ππωπ2 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当,0≠ϕ非奇非偶当,0=ϕ奇函数单调性]22,22[ππππk k ++-上为增函数；]223,22[ππππk k ++上为减函数（Z k ∈）()]2,12[ππk k -；上为增函数()]12,2[ππ+k k上为减函数（Z k ∈）⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππk k 2,2上为增函数（Z k ∈）()()ππ1,+k k 上为减函数（Z k ∈）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+--)(212),(22A k A k ωϕππωϕππ上为增函数；⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+-+)(232),(22A k A k ωϕππωϕππ上为减函数（Z k ∈）注意：①x y sin -=与x y sin =的单调性正好相反；x y cos -=与x y cos =的单调性也同样相反.一般地，若)(x f y =在],[b a 上递增（减），则)(x f y -=在],[b a 上递减（增）. ②x y sin =与xy cos =的周期是π.③)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期ωπ2=T .2tanxy =的周期为2π（πωπ2=⇒=T T ，如图，翻折无效）.④)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x （Z k ∈），对称中心（0,πk ）；)cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心（0,21ππ+k ）；)tan(ϕω+=x y 的对称中心（0,2πk ）. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且{}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且xy cot =x y tan =x y cos =xy sin =▲Oyxx x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称⑤当αtan ·,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβα；αtan ·,1tan -=β)(2Z k k ∈+=-ππβα.⑥x y cos =与⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππk x y 22sin 是同一函数,而)(ϕω+=x y 是偶函数，则)cos()21sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)31tan(π+=x y 是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ∉0的定义域，则无此性质）⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ）；xy cos =是周期函数（如图）；x y cos =为周期函数（π=T ）；212cos +=x y 的周期为π（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：R k k x f x f y ∈+===),(5)(.⑩abb a b a y =+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22有y b a ≥+22.二、形如sin()y A x ωϕ=+的函数：1、几个物理量：A ―振幅；1f T=―频率（周期的倒数）；x ωϕ+―相位；ϕ―初相；2、函数sin()y A x ωϕ=+表达式的确定：A 由最值确定；ω由周期确定；ϕ由图象上的特殊点确定，如()sin()(0,0f x A x A ωϕω=+>>，||)2πϕ<＝_____（答：15()2sin()23f x x π=+）；3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，最小正周期||2ωπ=T 频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡y=cos |x|图象y=|cos2x +1/2|图象是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

高一数学-期末复习四——三角函数的图象和性质精品

期末复习四——三角函数的图象和性质一. 知识要点(1) 函数y =Asin(ωx +φ)与y =sin x 图象间的关系: 振幅变换、周期变换、相位变换、平移变换（注意顺序） (2) 函数y =A sin(ωx +φ) (A >0,ω>0)的振幅,周期,频率,相位和初相分别是：A ，T=2πω，f =12T ωπ=,ωx +φ,φ 3.已知三角函数值求角 arcsin [,],arccos [0,],arctan (,)2222a a a πππππ∈-∈∈-二．方法点拨1.求三角函数的定义域既要注意一般函数求定义域的规律,又要注意三角函数本身的条件.此类问题即是解简单的三角不等式,通常可利用三角函数图象或三角函数线求解.2.求三角函数最值的方法有:配方法;化为一个角的三角函数;换元法;基本不等式等.3.函数y =Asin(ωx +φ), y =Acos (ωx +φ)的周期2T πω=,函数y =Atan (ωx +φ) 的周期T πω=4. 函数y =Asin(ωx +φ) (A >0,ω>0)的图象变换时，改变的是变量x ，而不是角.三．典型例题例1.电流强度I （安培）随时间t （秒）变化的函数I =A sin(ωt +φ)的图象如图所示，求t 为7120（秒）时的电流强度。

例2.下列命题中,正确的是___________(填上序号) ① 使函数cos(2)()4y x x R π=-∈为增函数的区间是5[,]();88k k k Z ππππ++∈ ② 函数sin ()y x x R =∈的最小正周期是π;③函数4sin(2)()3y x x R π=+∈的图象关于点(,0)6π-对称;④ 函数4s i n (2)()3y x x R π=+∈的图象关于直线6x π=-对称;⑤θ是第二象限角,则tancot,sincos 2222θθθθ>>且. 例3.已知函数12()log sin cos f x x x =-,(1)求()f x 的定义域和值域;(2)判断()f x 的奇偶性和周期性,若是周期函数,求其最小正周期;(3)指出()f x 的单调区间. 例4. 已知函数.3cos 33cos 3sin)(2xx x x f +=(1)将f(x)写成)sin(φω+x A 的形式，并求其图象对称中心的横坐标；(2)如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2=ac ，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及此时函数f(x)的值域.四．巩固练习1. 函数44cos sin y x x =+的最小正周期是 ( ) A.4π B.2πC.πD.2π 2. 在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的范围是（）5.(,)(,)424A ππππ .(,)4B ππ 5.(,)44C ππ 53.(,)(,)442D ππππ3.函数())sin(3)f x x x θθ=---是奇函数,则θ等于( ) (6)33A kB kC kD k πππππππ++-4. 把函数sin()(0,)y x ωϕωϕπ=+><的图象向左平移6π个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍所得到的图象解析式为sin y x =,则 ( ) A.2,6πωϕ== B.2,3πωϕ==- C.1,26πωϕ== D.1,212πωϕ==-5．函数3tan(3)3y x π=+的对称中心是_______________;6. 已知函数y =f (x )的定义域是[0,1],函数 f (tan 2x )的定义域是________________;7. 函数6cos cos22y x x =--的最大值为_______________;8. 若sin x =且x ππ-<<, 则x =___________________; 9. 右图是函数f (x )=Asin ωx (A>0, ω>0)一个周期的图象,则f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)+f (6)的值等于_______;10. f (x )是以5为周期的奇函数, f (－3)= 4且cos α=21, 则f (4cos2α)的值是 __; 11. 求函数sin 2sin xy x=+的值域;12. 函数2()122cos 2sin f x t t x x =---的最小值是g (t ),t ∈R. (1)求g (t )的表达式; (2)若g (t )=12,求t 及此时f (t )的最大值; (3)当t =sin x 时,φ(x )= f (x )+2sin x , 把φ(x )的图象沿 yx 轴向左平移m(m>0)个单位,所得函数图象关于直线178x π=对称,求m 的最小值.。