第7章质点动力学习题解答080714

第七章 质点动力学

本章要点

一、质点运动的动力学建模 1动力学基本定律：牛顿三定律. 2质点运动微分方程

矢量形式 ∑==n

i i t m 1

22d d F r

；

形式直角坐标 ∑∑∑======n i zi n i yi n i xi F t z

m F t y m F t x m 1

22122122d d d d d d ，，；

自然坐标形式 ∑∑∑======n

i i n

i i n

i ti F F v m

F t s m 1

b 1

n 2

1

220,

,

d d ρ

.

式中n t F F ,和b F 分别是作用于质点的各力F i 在切线、主法线和副法线上的投影；ρ为运动轨迹在该点处的曲率半径；v 是质点的速度。 二、质点运动的动力学分析 1 质点动力学的两类基本问题

质点动力学基本问题可分为两类：一类是已知质点的运动，求作用于质点的力；另一类

是已知作用于质点的力，求质点的运动。

求解质点动力学第一类基本问题只需求两次导数得到质点的加速度，代入到质点运动方程中，得到一代数方程组，即可求解。求解质点动力学第二类基本问题在数学上归结为求解微分方程的定解问题。还要根据已知的初始条件确定积分常数。此外，有些质点动力学问题是第一类和第二类问题的综合。 解题要领

1） 解题步骤：(1) 根据题意选取某质点为研究对象；(2) 分析作用在质点上的主动力和约束反力；(3) 根据质点的运动特征，建立适当的坐标系。（4）选择适当的形式建立运动微分方程，第二类问题还要确定初始条件；(4)求解运动微分方程。

2） 最好将要建立运动微分方程的“一般状态”下速度投影的正向为坐标轴方向，要特别注意当阻力与速度的奇次方成正比时在轴上的投影，注意各力在坐标轴上投影的正负号。 3） 在3维空间，质点运动微分方程有3个投影式，只能够解3个未知量。 2 单自由度系统的线性振动

(1) 单自由度系统的自由振动的微分方程：02

=+x x

n ω ，在初始条件：0000,v x x x t t ==== 下的解为

)sin(ϕω+=t A x n

其中

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=+

==

0022

20

arctan ,,v x v x A m

k n n n ωϕωω 这里A 为振幅，ϕ为初相位，ωn 为固有频率。振动周期T = 2π /ωn 。 (2) 单自由度系统的有阻尼自由振动

粘性阻尼力v F c -=c ，其中比例常数c 为阻尼系数，负号表示阻力与速度的方向相反。 振动微分方程：

022

=++x x n x n ω ，

其中n = c / 2m . 特征方程为

0222=++n n ωλλ.

特征方程的根有以下三种情况 (i)小阻尼情形：n n ω<，特征根为

222221i ,i n n n n n n ---=-+-=ωλωλ，

振动微分方程解的一般形式是

)sin(0ϕω+=-t Ae x nt ，

式中2

2

0n n -=ωω，而A , ϕ是由初始条件确定的积分常数。准周期为

2

2

22n

T n

-=

=

'ωπ

ωπ

.

(ii) 大阻尼情形：n n ω>，特征根为

2

22221,n n n n n n ωλωλ---=-+-=

振动微分方程解的一般形式是

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛+=----t

n t

n nt n n e

C e

C e x 2

22

221ωω，

其中积分常数C 1和C 2由初始条件确定。这时不再有振动的特征。 (iii) 临界阻尼情形：n n ω=时，特征根为

n ==21λλ.

振动微分方程解的一般形式是

)(21t C C e x nt +=-，

式中积分常数C 1和C 2由初始条件确定。不再具有振动的特点。 (3) 单自由度系统的有阻尼受迫振动

粘性阻尼力i F x

c c -=，简谐激振力F = H sin ωt i . 质点运动微分方程为

t h x x n x n ωωsin 22

=++

其中m

H

h m c n m k n ===,2,2

ω. 其通解由两部分组成：

)()(21t x t x x +=

式中x 1对应于齐次方程的通解。在小阻尼(n < ωn )的情形下很快衰减，x 2为由于激振力的

作用产生的特解，它有如下形式解：

)sin(2θω-=t b x

其中 2

22224)(ωωωn h

b n +-=

，2

22tan ω

ωω

θ-=

n n . 在极端条件下，即无阻尼n ≈0，且ω =ωn ，稳态振动的振幅将成为无限大，这种现象称为共振。 解题要领：

1） 分清三种振动：自由振动、有阻尼振动和受迫振动，一般情况是它们的组合. 2） 将静平衡位置选为坐标原点，则在振动微分方程中不出现常力，这样，形式上可不考

虑常力对振动的影响.

3） 阻尼对系统的运动有决定性影响，振动只发生于小阻尼情形. 三、非惯性参考系中的质点运动

1非惯性系中质点相对运动动力学方程

C e r F F F a ++=m

e F 为牵连惯性力，C F 为科里奥利力。几种特殊情况。

(1) 动参考系相对定参考系作平移：e r F F a +=m ； (2) 动参考系相对定参考系作匀速直线平移：F a =r m ； (3) 质点相对动参考系作匀速直线运动：0C e =++F F F ，此情形为相对平衡； (4) 质点相对动参考系保持静止：0e =+F F ，此情形为相对静止。 2地球自转产生的影响

地球的自传角速度ω =7.29×10-5 rad /s 是非惯性参照系，科氏惯性力不为零。科氏惯性力

本身虽然很小，但由于长时间的作用，累积起来的效果就可以成为观察到的自然现象。下落物体偏东和上抛物体偏西现象的直接解释是由于科氏惯性力作用的结果。