第二章基本初等函数 2.3幂函数学案新人教

2.3 幂函数
【学习目标】
重点：1、通过具体实例了解幂函数的概念；
2、会用常见的幂函数的性质解决比较大小等问题． 难点：类比研究一般函数、指数函数、对数函数的方法 【知识梳理】
幂函数定义:一般地，函数y ＝α
x 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．
注意：只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x ，指数为常数这三个条件，才
是幂函数．如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3
，y ＝4
2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
(填“是”或“不是”)幂函数．
【预习自测】
1、观察下列两组函数，说出它们的共同点与不同点： (1)y ＝x 2
，y ＝x 3
，12
y x =，y ＝x －1
； (2)y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝(12)x ，y ＝0.3x
.
共同点：均是幂的形式．
不同点：第一组： 是自变量，第二组： 是自变量． 2、写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性：
(1) 3
y x =； (2)12
y x =； (3)2
y x -=.
3、比较大小
(1) 215.1，2
17.1； (2)(－1.2)3，(－1.25)3； (3)5.25－1，5.26－1，5.26
－
2
.
【课堂检测】
1、已知幂函数f (x )＝x α
的图象经过点（2，2
），则f (4)＝________.
2、函数y ＝12
x ＋x －1
的定义域是 ．
【拓展探究】
1、函数()y f x =是幂函数，图象过点⎛ ⎝，试求出此函数的解析式，并作出图象，判断奇偶性、单调性。

【当堂训练】
1、下列结论错误的个数为________． ①幂函数图象一定过原点；
②当α<0时，幂函数y ＝x α
是减函数； ③当α>1时，幂函数y ＝x α是增函数； ④函数y ＝x 2
既是二次函数，也是幂函数．
2、比较下列各组数的大小：
(1) 8
78-
-和－87
)9
1(； (2)(－2)－3和(－2.5)－3
；
(3)1.1－0.1
和1.2
－0.1
； (4) 5
21.4，3
2)
8.3(-
和5
3)9.1(-.
【课外拓展】 1、设a ＝25
35⎛⎫ ⎪⎝⎭
，b ＝3
525⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝25
25⎛⎫
⎪⎝⎭
，则a ，b ，c 的大小关系为 ．
2、已知2
21
(22)23m y m m x n -=+-+-是定义域为R 的幂函数，求m ，n 的值．
3、已知函数2
y x -=，（1）它是奇函数还是偶函数？它的图象具有怎样的对称性？ （2）它在()0,+∞上是增函数还是减函数？（在(),0-∞呢？）
2.3-2幂函数的图像与性质
【学习目标】
重点：1、幂函数的图象和性质；
2、会画幂函数y x =，2
y x =，3
y x =，1
y x -=，1
2
y x =的图象，并通过其图象了解 【知识梳理】
按0α=，1α=，1α>，01α<<，0α<五种类型分类，列表如下：
【规律总结】幂函数的性质：
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过定点________． (2)α>0，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，＋∞)上是__________，
特别地，当α>1时，x ∈(0,1)，y ＝x α
的图象都在y ＝x 图象的________，α越大，下凸的程度越________；当0<α<1时，x ∈(0,1)，y ＝x α
的图象都在y ＝x 的图象的________，α越小，上凸的程度越________．
(3)α<0，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是________函数，并且以x 轴正半轴与y 轴正半轴为幂函数的渐近线．
(4)当α为奇数时，幂函数为________函数；当α为偶数时，幂函数为________函数． 【预习自测】
1、已知幂函数f (x )＝k ·x α
的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________.
2、若幂函数y ＝(m 2
－3m ＋3)2
2
m m x --的图象不经过原点，则实数m 的值为________．
【课堂检测】
1、如图所示，曲线是幂函数y ＝x α
在第一象限内的图象，已知α分别取－1,1，12，2四个
值，则相应图象依次为______________．
2、给出以下结论：
①当α＝0时，函数y ＝x α
的图象是一条直线； ②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；
③若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α
在定义域内y 随x 的增大而增大； ④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限． 则正确结论的个数为________． 【拓展探究】
1、已知函数f (x )＝(m 2
＋2m )·21
m m x
+-，m 为何值时，函数f (x )是：
(1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)二次函数； (4)幂函数．
【当堂训练】 1、已知幂函数f (x )＝223
m m x -- (m ∈N *
)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，
求满足m 的取值．
2、下列表示y ＝23
x 的图象的是________．(填图象编号)
【课外拓展】
1、已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)，幂函数g (x )的图象过点（2,
14
）
(1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)当x 为何值时，①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．
2、已知幂函数f (x )＝2
3
m
m x --为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数(m ∈N *
，且m ≥2)．
(1)求f (x )； (2)比较f (－2 008)与f (－2)的大小． 【选做】
1、函数f (x )＝x α
，x ∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f (x )>|x |成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是________． 2、幂函数)()(322
*--∈=N m x x f m m 的图像关于y 轴对称，且在),0(+∞上单调递减，求满
足()()
3
3
231m m
a a -
--<+的a 的取值范围。

2.4复合函数单调性
【知识梳理】
导例：讨论[])(x g f y =的单调性
（1）x x g x f x 2)(,2)(==则[]x x x x g x g f y 4)2(22)(22)(=====(同增) （2）x x g x f x -==)(,2)(则[]x x x x g x g f y )2
1
()2(22
)(1)
(=====--（异减）
（3）x x g x f x 2)(,)21()(==则[]x x x g x g f y )41
()21(21)(2)
(==⎪
⎭⎫
⎝⎛==（异减） （4）x x g x f x -==)(,)21()(则[]x x x g x g f y 2)2
1
(21)()
(==⎪
⎭
⎫
⎝⎛==-(同增) 【规律】
当内外函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当内外函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。

“同增异减”
我们发现：2
2x y =可以看做：y ＝2u 且2
u x =
【预习自测】
1、 求函数y ＝2212x x
-⎛⎫
⎪
⎝⎭
的单调区间和值域。

2、证明函数2
2()log f x x =在),0(+∞上是
增函数
【课堂检测】
1、求函数y=2log (2
x -4x)的单调递增区间
【拓展探究】
函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]
-，上有最大值14，求a 的值？
【当堂训练】 1、已知 ，求函数 的值域．
【课外拓展】
1、已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值
2、求函数
2
2
11
44
log log5
y x x
⎛⎫
=-+
⎪
⎝⎭
在24
x
≤≤时的最大值与最小值。