量子密码基础

• 两个酉算子的张量积仍是酉算子。 • 两个厄米算子的张量积仍是Hermite算子。 • 两个正规算子的张量积仍是正规算子。
迹（trace） 量子密码基础 —— 一个重要算子函数
量子密码基础
有用的结论
量子密码基础
有用的结论
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对易子与反对易子
量子密码基础
同时对角化定理
量子密码基础
因此，量子信息遵从量子力学规律。
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信息传输：量子态在量子通道中传送
信息处理(计算)：量子态幺正演化
信息提取：量子测量
于是，奇特的量子性质就可以产生新的信息功能。 如，经典信息可以克隆，而量子信息是不可克隆的 （量子不可克隆定理）。 两经典粒子分离后就不关联，而两量子粒子处于纠 缠态（EPR粒子）时不论空间分离多开仍然存在量子关 联，对其中一个粒子施行作用必然会影响另一个粒子的 状态。
• 线性完备的内积空间称为Hilbert Space.(“H”)
完备（completeness）：对H上的任意柯 西序列必收敛于H上的某一点。（相当于闭集的 定义）
在量子信息学中常出现的有限维复矢量空间 中，一个Hilbert空间与内积空间是一样的，这 两词可互换。
外积
量子密码基础
外积
量子密码基础
• 所以X和Y不能对易，证明X和Y没有共同的特征向 量，这与同时对角化定理的结论是相符的
则
正规
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• Hermite算子一定是正规算子。 • 酉算子也一定是正规算子。
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酉矩阵（幺正算子）
Pauli算子
量子密码基础
• Pauli算子既是Hermite算子也是幺正算子。
0
I
1 0
0 1
1
x
X
0 1
1 0
2
y
Y
0
i
i
0
3
z
Z
1 0
0 1
张量积
量子密码基础
• 张量积是将向量空间合在一起，构成更大向量空 间的一种方法，这个构造对理解量子力学的多粒 子系统很关键。
–直观理解：具有特殊性质的微观粒子或 光子
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量子信息应运而生
量子特性应用到信息领域中可以发挥 出独特的功能，在提高运算速度、确保信 息安全、增大信息容量等方面可以突破现 有的经典信息系统的极限，于是诞生了一 门新兴的交叉学科：量子信息科学
量子密码基础
量子信息与经典信息的根本区别
经典信息
两个矩阵的克罗内克积Kronecker product
0
1 0
0
1
1
1
00
0
0
1 0
1 0
0 0 0
量子密码基础
0
01
0
1
1 0
0
0 1
1 0
0 1 0
11 1 1
0
0 1
0 1
0 0
1
量子密码基础
张量积的基本性质
多量子位
量子密码基础
• 两个经典比特，有四种状态：00，01，10，和 11。
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• 量子态的向量描述
0
1 0
,
0
1
1
,
0
1
1 0
0 1
1 0
2
1
1 2
1 1 ,
1 0
2
1
1 1
2
1
|0>,|1>相互正交， |+>,|->相互正交
❖ 数学基础
量子密码基础
算子与矩阵
• 向量空间和之间的线性算子定义为，若对 于任意的线性函数，如果满足：
• 两个量子位, 相应的有四个计算基矢态 |00>, |01>, |10>, |11>
• 双量子位的任意状态可写成 计算基矢态的迭加:
1 00 2 10 3 01 4 11
| 1 |2 | 2 |2 | 3 |2 | 4 |2 1
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张量积空间上的算符
张量积
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i i , i ( i , )
i
i
z1
❖如： ( y1, , yn ), z1, , zn
yizi y1,
,
yn
定义了内积的向量空间称i 为内积空间。 zn
❖ 数学基础
内积空间 量子密码基础
❖ 数学基础
标准正交 化 量子密码基础
量子密码基础
Hilbert空间
量子密码基础
基本物理概念
• 量子态
– 经典信息：比特 0 或 1，可用高低电压 等表示
– 量子信息：量子比特（Qubit） |0>
， |1>
|+>
– 量子比特还可以处在
不同状态的叠加态上！ |->
0 1
Dirac符号
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• 狄拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一 般矢量--态矢，并引进了一套“狄拉克符号”， 简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。
则A为线性算子 A ai ai A
i
i
恒等算子 IV: IV
❖ 数学基础
算子与矩阵 量子密码基础
• 元素的矩阵称为算子的矩阵表示。的矩阵表示 的说法与算子的说法完全等价。为把矩阵和线 性算子联系起来，需要为线性算子的输入和输 出向量空间指定基。
❖ 数学基础
内积与范数 量子密码基础
量子密码学
第2章 量子密码基础
量子力学的奇妙特性
量子力学是20世纪初才诞生的， 是近代物理学两大支柱之一。
量子密码基础
经典力学：宏观物质的运动规律。 量子力学：微观粒子的运动规律——自然界的运动规律。
量子
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• 量子的概念
–微观世界的某些物理量不能连续变化而 只能取某些分立值，相邻分立值的差称 为该物理量的一个量子
量子密码基础
量子信息的单元 称为量子比特。 量子比特（即量子态）的物理载体：光子，电子，原 子，核自旋，… …
以量子态作为信息单元，“信息”就量子化。 以“比特”作为信息单元的是经典信息，以 “量子比特”作为单元的是量子信息。
量子信息是经典信息的完善和扩充，正如复数z=x+iy 是实数x，y的完善和扩充。
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任意算子的外积表示
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特征向量和特征值
Hermite算子 量子密码基础
Hermite共轭运算 A ( A )T
( AB) B A
(A ) A
如
1 3i 2i 1 3i 1 i
1
i
1 4i
2i
1 4i
投影算子
量子密码基础
投影算子是一类重要的Hermite算子。
二进制0或1组成的数字串，其 信息单元称为“比特”，为0或者1。
量子比特(qubit): 量子比特是量子化 的二能级系统。
量子信息
数学抽象对应的这两个能级的状态：
和0
1
微观粒子允许同时处在 0 和 1 两个 态上，这是其波粒二象性的结果。
C1 0 C2 1 , C1,C2为任意复数,
C1 2 C2 2 1。（叠加态）