上海市七宝中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试卷(解析版)
上海中学2018-2019学年第一学期期末高二年级期末考数学试卷2019.01
上海中学2018-2019学年第一学期期末高二年级期末考数学试卷2019.01时间：120分；满分：100分一、填空题（本大题共12题，共36分） 1、抛物线x y =2的准线方程是__________.2、若复数z 满足i x 232-=，其中i 为虚数单位，则=z ________.3、点()0,1p 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为________.4、双曲线141222=-y x 的两条渐近线的夹角为________. 5、在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆13222=+my m x 的焦距为6，则=m _______. 6、已知复数θθcos sin 3i z +=（i 是虚数单位）且，5=z 则当θ为钝角时，=θtan ________. 7、若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是___. 8、设直线,3:,3:21x y l x y l -==点A 和点B 分别在直线1l 和2l 上运动，且2-=⋅OB OA ，其中O 为原点，则AB 的中点M 的轨迹方程为____________.9、已知椭圆()10122<<=+m y mx 上存在不同的两点B A ,关于直线1:+=x y l 对称，则m 的取值范围是________.10、双曲线2:22=-y x C 的右焦点为P F ，为其左支上任意一点，点A 的坐标为)1,1(-，则△APF 周长的最小值为________.11、椭圆134:221=+y x C ，抛物线x y C 4:22=，过抛物线2C 上一点P （异于原点O ）作不平行与x 轴的直线l ，使得直线l 与抛物线只有一个交点，且与椭圆1C 交于B A ,两点，则直线l 在x 轴上的截距的取值范围是_________.12、已知点n n B A ,在双曲线1=xy 上，且点n A 的横坐标为1+n n，点n B 的横坐标为()*1N n nn ∈+，记M 点的坐标为()1,1，()n n n y x P ,是△M B A n n 的外心，则=∞→n n x lim ________.二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分） 1、已知复数z 在复平面上对应的点为()1,2-z ，则（ ）A . i z 21+-=B . 5=z C. i z --=2 D . 2-z 是纯虚数2、下列以t 为参数方程所表示的曲线中，与1=xy 所表示的曲线完全一致的是（ ）A . ⎪⎩⎪⎨⎧==-2121t y t x B . ⎪⎩⎪⎨⎧==t y tx 1 C . ⎩⎨⎧==t y t x sec cos D . ⎩⎨⎧==ty tx cot tan 3、设双曲线()0,012222>>=-b a b y a x ，右焦点()20,=acc F ，，方程02=--c bx ax 的两个实数根分别为21,x x ，则点()21,x x P 与圆422=+y x 的位置关系是（ ）A . 点P 在圆外B . 点P 在圆上C . 点P 在圆内D . 不确定4、已知抛物线x y C 42=：的焦点为F ，对称轴与准线的交点为，T P 为抛物线C 上任意一点，当PTPF 取最小值时，∠=PTF （ ）A .3π B . 4π C . 5π D . 6π三、解答题（本大题共6题，共48分）1、（本题满分6分）若i z z z f 52)(-+=，i z f 36)(-=，试求z .2、（本题满分6分）已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 4cos 6y x （θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 4131得到曲线C '. （1）求曲线C '的普通方程；（2）若点A 在曲线C '上，点)3,1(D ，当点A 在曲线C '上运动时，若PD AP 2=，求P 点的轨迹方程.3、（本题满分7分）我边防局接到情报，在两个海标A 、B 所在直线的一侧M 处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速排出快艇前去搜捕. 如图，已知快艇出发位置在码头P 处，线段AB 布满暗礁，已知8=PA 公里，10=PB 公里， 60=∠APB ，且BM AM >.请建立适当的直角坐标系，求使快艇沿航线M A P →→或M B P →→的路程相等的点M 的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形.4、（本题满分7分）已知关于x 的二次方程0)1()1(222=+++++i a x i a x i a 有实根，求实数a 的值及相应的实根.5、（本题满分10分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）经过点)21,26(P ，22=a c ，动点M 在直线2=x 上，O 为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程；（2）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线段ON 的长为定值，并求出这个值.6、（本题满分12分）如图，点)0,3(-H ，动点P 在y 轴上，动点Q 在x 轴的非负半轴上，动点M满足0=⋅PM HP ，23-=，设动点M 的轨迹为曲线C ，过定点)0,(m D （0>m ）的直线l与曲线C 交于A 、B 两点.（1）求曲线C 的方程；（2）若点E 的坐标为)0,(m -，求证：BED AED ∠=∠；（3）是否存在实数a ，使得以AD 为直径的圆截直线a x l =':所得的弦长为定值？若存在， 求出实数a 的值；若不存在，说明理由.。
上海市七宝中学2018-2019学年高二上学期9月摸底数学试题(解析版)
七宝中学高二九月摸底考一．填空题1.集合{}22,a a a -中实数a 的取值范围是________ 【答案】{|0a a ≠且}3a ≠ 【解析】 【分析】由22a a a ≠-得结论。
【详解】由题意22a a a ≠-，0a ≠且3a ≠， 故答案为：{|0a a ≠且}3a ≠.【点睛】本题考查集合中元素的性质：互异性，属于基础题。
2.函数()()25log 4f x x =-________【答案】()(],22,3-∞- 【解析】 【分析】由对数真数大于0，二次根式下被开方数不小于0得结论。
【详解】由题意24030x x ⎧->⎨-≥⎩，解得2x <-或23x <≤。
故答案为：(,2)(2,3]-∞-。
【点睛】本题考查函数的定义域，函数定义域是使函数式有意义的自变量的取值范围，如对数真数大于0，二次根式下被开方数不小于0，分母不为0等。
3.已知函数()33log 2xf x x =++，则()130f-的值为________【答案】3 【解析】 【分析】令()30f x =，解得x 。
【详解】由3()3log 230xf x x =++=，易知()f x 是增函数，且(3)30f =，∴()30f x =只有唯一解3x =，∴1(30)3f -=。
故答案为：3。
【点睛】本题考查反函数的概念。
根据反函数的定义，00()f x y =，则100()x f y -=。
4.已知等比数列{a n }的前n 项和S 2nn a =+,则a=_________.【答案】-1 【解析】a 1=21+a =2+a ，a 2=S 2−S 1=2，a 3=S 3−S 2=4， ∴(2+a )⋅4=4，求得a =−1 故答案为−1.5.函数()arccos 2f x x x =-的值域为________ 【答案】[]2,2π-+ 【解析】 【分析】先确定函数的单调性与定义域，由单调性函数值域。
2018-2019年上海市七宝中学高二上期末
19.
已知椭圆的两个焦点为
F1
1,
0
,
F2
1,
0
，且椭圆过点
1,
2 2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知斜率为 k k 0 的直线 l1 过 F2 ，与椭圆分别交于 P, Q ；直线 l2 过 F2 ，与直线 l1 垂直，
与椭圆分别交于 M , N ，求四边形 PMQN 面积的函数解析式 f k ．
曲线，则 p 是 q 成立的____________条件．
8.
已知
P
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1a b 0
上的一点，
F1, F2
为焦点，若
PF1 PF2
0
，
tan
PF1F2
1 2
，则椭圆的焦距与长轴的比值为____________．
9. 直线 y kx 2 与双曲线 x2 y2 1有且仅有一个公共点，则 k ____________．
求线段 OC 长度的最大值；
（3）如图 3，点 C 为曲线 上的动点，点 A 1, 0 , B 1, 0 ，延长 AC 到 P ，使 CP CB ，求动
点 P 的轨迹长度．
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参考答案
一、填空题
1. 1 16
2. 0,
1
3.
4. 2
2
5. 13 6. x 2 或 5x 12 y 26 0
x 0
10.
若
x,
y
满足约束条件
x
y
3
0
，则
z
x
2
y
的取值范围是____________．
x 2 y 0
11.
上海市2018-2019学年七宝中学高二上期末数学期末试卷(解析版)
2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.与圆相切，且横截距与纵截距相等的直线条数是A. 2B. 4C. 6D. 以上说法都不对【答案】B【解析】解：根据题意，圆的圆心为，半径，分2种情况讨论，，直线过原点，设直线的方程为，即，则有，解可得，此时直线的方程为：，，直线不过原点，由于直线横截距与纵截距相等，设其方程为，即，则有，解可得，此时直线的方程为，故一共有4条符合条件的直线；故选：B．根据题意，分析圆的圆心与半径，分2种情况讨论，，直线过原点，设直线的方程为，，直线不过原点，设其方程为，由直线与圆的位置关系分析直线的条数，综合2种情况即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线在坐标轴上的截距，注意直线过原点的情况，属于基础题，2.直线：与直线：的夹角为A. B.C. D. 以上说法都不对【答案】B【解析】解：直线：的斜率为，倾斜角为，直线：的斜率不存在，倾斜角为，故直线：与直线：的夹角为，故选：B．先求出两条直线的倾斜角和斜率，可得两条直线的夹角．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，两条直线的夹角，属于基础题．3.下列说法正确的是A. 平面中两个定点A，B，k为非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线B. 定圆C上有一定点A和一动点不与A重合，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹是椭圆C. 斜率为定值的动直线与抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点，，则动点P的轨迹是直线D. 以上说法都不对【答案】C【解析】解：设A，B是两个定点，k为非零常数，若，可得P的轨迹为双曲线的一支；若，即为射线；若，则轨迹不存在，故A错误；过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点若，则P为AB的中点，，则动点P的轨迹为以AC为直径的圆，故B错误；斜率为定值t的动直线与抛物线相交于A，B两点，设，，，可得P为AB的中点，，即有，则动点P的轨迹是直线，故C正确．故选：C．由双曲线的定义可判断A；由P为AB的中点，，可得P的轨迹为圆，可判断B；由抛物线的方程，可设，，运用直线的斜率公式和中点坐标公式，即可判断C，进而判断D．本题考查椭圆和双曲线的定义和方程、性质，考查中点坐标公式和直线的斜率公式，以及运算能力和推理能力，属于中档题．4.点A为椭圆C：的右顶点，P为椭圆C上一点不与A重合，若是坐标原点，则为半焦距的取值范围是A. B.C. D. 以上说法都不对【答案】B【解析】解：设，是坐标原点，，．，，．．，则的取值范围是故选：B．设，由，可得，，，即可求解．本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，考查椭圆性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.抛物线的准线方程为______．【答案】【解析】解：整理抛物线方程得，抛物线方程开口向上，准线方程是故答案为：．先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．本题主要考查抛物线的标准方程和简单性质属基础题．6.直线的倾斜角范围是______．【答案】【解析】解：直线的倾斜角的范围是，故答案为：．根据直线倾斜角的定义判断即可．本题考查了直线的倾斜角的范围，考查基础知识的掌握．7.直线：，，若，则______．【答案】【解析】解：直线：，，，，解得．故答案为：．利用直线与直线垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.直线被圆所截得的弦长等于______．【答案】2【解析】解：可变为，故圆心坐标为，半径为3圆心到直线的距离是故弦长的一半是所以弦长为2故答案为：2．先求出圆心到直线的距离既得弦心距，求出圆的半径，利用勾股定理求出弦长的一半，即可求得弦长本题考查直线与圆相交的性质，解题的关键是了解直线与圆相交的性质，半径，弦心距，弦长的一半构成一个直角三角形，掌握点到直线的公式，会用它求点直线的距离．9.P是双曲线上的一点，，为焦点，若，则______．【答案】13【解析】解：双曲线，其中，，又由P是双曲线上一点，则有，又由，则舍去或13，故答案为：13．由双曲线的标准方程分析可得a、c的值，结合双曲线的定义可得，计算可得分析可得答案．本题考查双曲线的定义，注意由双曲线的标准方程求出a的值，属于基础题．10.过点且与原点距离为2的直线方程是______．【答案】或【解析】解：当直线的斜率不存在时，直线时满足条件；当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，化为，，解得．直线的方程为：，化为．综上可得：直线的方程为：；．故答案为：或．分直线的斜率存在与不存在讨论，利用点到直线的距离公式即可得出．本题考查了点到直线的距离公式、点斜式、分类讨论方法，考查了计算能力，属于基础题．11.已知p：曲线C上的点的坐标都是方程的解，q：曲线C是方程的曲线，则p成立是q成立的______条件．【答案】必要不充分【解析】解：若曲线C是方程的曲线，则曲线C上的点的坐标都是方程的解，即充分性成立，若曲线C上的点的坐标都是方程的解，则曲线不一定是方程的曲线，即充分性不成立，比如：曲线上的点的坐标都满足方程，而方程对应的曲线为直线，则p成立是q成立的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合曲线方程和方程曲线的关系是解决本题的关键．12.已知P是椭圆上的一点，，为焦点，若，，则椭圆的焦距与长轴的比值为______．【答案】【解析】解：设，，，则．，可得，，．，则椭圆的焦距与长轴的比值为．故答案为：．可得，，由勾股定理可得，即可．本题考查了椭圆的性质，转化思想，属于基础题．13.直线与双曲线有且仅有一个公共点，则______．【答案】或【解析】解：联立，化为．当时，可得，此时直线l的方程为，分别与等轴双曲线的渐近线平行，此时直线l与双曲线有且只有一个交点，满足题意；当时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得，解得此时满足条件．综上可得：，．故答案为：，．联立直线与双曲线方程，化为分类讨论：当时，可得，此时直线l 与等轴双曲线的渐近线，满足题意；当时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得，解出即可．本题考查了直线与双曲线的位置关系及其性质、一元二次方程与的关系、分类讨论等基础知识与基本方法，属于中档题和易错题．14.若x，y满足约束条件，则的取值范围是______．【答案】【解析】解：x，y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数经过C点时，函数取得最小值，由解得，目标函数的最小值为：4目标函数的范围是．故答案为：．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．15.已知曲线的参数方程为为参数，则以下曲线的说法中：关于原点对称；在直线下方；关于y轴对称；是封闭图形，正确的有______．【答案】【解析】解：曲线的参数方程为为参数，，且，在中，曲线不能关于原点对称，故错误；在中，曲线在直线下方，故正确；在中，曲线关于y轴不对称，故错误；在中，曲线不是封闭图形，故错误．故答案为：．由曲线的参数方程推导出，且，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线的右支分别交于A，B两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线l的斜率为______．【答案】【解析】解：记的内切圆圆心为C，边、、上的切点分别为M、N、E，易见C、E横坐标相等，则，，，由，即，得，即，记C的横坐标为，则，于是，得，同样内心D的横坐标也为a，则有轴，设直线的倾斜角为，则，，在中，，在中，，由，可得，解得，则直线的斜率为，由对称性可得直线l的斜率为．故答案为：．充分利用平面几何图形的性质解题因从同一点出发的切线长相等，得，，，再结合双曲线的定义得，从而即可求得的内心的横坐标a，即有轴，在，中，运用解直角三角形知识，运用正切函数的定义和二倍角公式化简即可得到直线的斜率．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查三角函数的化简和求值，考查直线斜率的求法，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知两点，．求直线AB的方程；若A，B的到直线l的距离都是2，求直线l的方程．【答案】解：两点，直线AB的方程为：，整理，得．两点，，B的到直线l的距离都是2，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，成立；当直线l的斜率k存在时，设直线l为，即，，B的到直线l的距离都是2，，解得，或，，或，，直线l的方程为或或，整理，得：，或，或．综上，直线l的方程为，或，或，或．【解析】利用两点式方程能求出直线AB的方程．由两点，，B的到直线l的距离都是2，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为；当直线l的斜率k存在时，设直线l为，由A，B的到直线l的距离都是2，能求出直线l的方程．本题考查直线方程的求法，考查直线的两点式方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.双曲线M：过点，且它的渐近线方程是．求双曲线M的方程；设椭圆N的中心在原点，它的短轴是双曲线M的实轴，且椭圆N中斜率为的弦的中点轨迹恰好是M的一条渐近线截在椭圆N内的部分，试求椭圆N的方程．【答案】解：双曲线M：过点，且它的渐近线方程是，，，解得，，双曲线M的方程为，椭圆N的中心在原点，它的短轴是双曲线M的实轴，则设椭圆的方程为：，，设椭圆N中斜率为的弦所在直线方程为，两端点分别为，，AB的中点为，联立方程组，消y可得，，则，，，点P在双曲线M渐近线上，，解得，椭圆N的方程为．【解析】根据双曲线的简单性质即可求出，设椭圆N中斜率为的弦所在直线方程为，两端点分别为，，AB的中点为，根据韦达定理求出点P的坐标，再将点P的坐标代入双曲线M渐近线上，即可求出，问题得以解决．本题考查了双曲线和椭圆的方程，以及直线和椭圆的位置关系，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题19.已知椭圆的两个焦点为，，且椭圆过点求椭圆的方程．已知斜率为的直线过，与椭圆分别交于P，Q；直线过，与直线垂直，与椭圆分别交于M，N，求四边形PMQN面积的函数解析式．【答案】解：设椭圆的方程为，由题意可得，解得，设直线的方程为，则直线的方程为设，，联立方程，化简得．则，，，同理，得，，四边形，．【解析】设椭圆的方程为，，由题意可得，解得即可，设直线的方程为，则直线的方程为，设，，根据弦长公式，分别求出，，即可表示四边形的面积．本题考查直线和椭圆的位置关系，考查四边形面积的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．20.设直线l：与抛物线相交于不同的两点A，B，M为线段AB中点，若，且，求线段AB的长；若直线l与圆C：相切于点M，求直线l的方程；若直线l与圆C：相切于点M，写出符合条件的直线l的条数直接写出结论即可【答案】解：当时，直线l的方程为，设点、，将直线l的方程与抛物线的方程联立得，消去x得，由韦达定理可得，，由于点是线段AB的中点，则，则，所以，，由弦长公式可得；设点、，将直线l的方程与抛物线的方程联立，消去x得，由韦达定理可得，，设点M的坐标为，则，，所以，点M的坐标为，若，则直线l的方程为，则点A、B关于x轴对称，而圆与x轴的交点为和，点M的坐标为，则或，此时，直线l的方程为或，符合题意！若，由可知，，即，则有，所以，．另一方面，点M在圆上，则有，所以，，则，，此时，，不合乎题意！综上所述，直线l的方程为和；当时，1条；当或时，2条；当时，4条．【解析】将直线l的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出线段AB的中点的纵坐标，从而求出k的值，再利用弦长公式结合韦达定理可求出线段AB的长度；对k是否为零进行分类讨论．当时，得出点A、B关于x轴对称，得知，点M为圆与x轴的交点，求出b的值，可得出直线l的方程；当时，将直线l的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出点M的坐标，然后利用，转化为这两条直线的斜率之积为《以及点M在圆上，求出k和b的值，但同时还需满足结合这两种情况求出直线l的方程．结合图形充分利用对称性可写出相应的结论．本题考查直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理在抛物线综合问题中的应用，同时也考查了对称性思想的应用，属于难题．21.在平面直坐标系xOy中有曲线：．如图1，点B为曲线上的动点，点，求线段AB的中点的轨迹方程；如图2，点B为曲线上的动点，点，将绕点A顺时针旋转得到，求线段OC长度的最大值．如图3，点C为曲线上的动点，点，，延长AC到P，使，求动点P的轨迹长度．【答案】解：设点B的坐标为，则，设线段AB的中点为点，由于点B在曲线上，则，因为点M为线段AB的中点，则，得，代入式得，化简得，其中；如下图所示，易知点，结合图形可知，点C在右半圆D：上运动，问题转化为，原点O到右半圆D上一点C的距离的最大值，连接OD并延长交右半圆D于点，当点C与点重合时，取最大值，且；如下图所示，由于点C是曲线上一点，则，则，由于，所以，，由于，由正弦定理可知，的外接圆的直径为，，设曲线与y轴交于点，则，则的外接圆即为圆D：，弦AB在圆D中所对的圆心角为，所以点P的轨迹是以为半径且圆心角为的扇形，所以，点P的轨迹的长度为．【解析】设点B的坐标为，设线段AB的中点为点，先将点M的坐标代入曲线的方程，得出一个等式，由中点坐标公式得，解得，代入等式可得出点M的轨迹方程，化简，同时标出相应变量的取值范围；作出曲线绕点A顺时针旋转后得到的右半圆D，然后线段OC长度的最大值就转化为点O到右半圆D 上一点距离的最大值，利用圆的性质可得出答案；先求出，由正弦定理知，动点P的轨迹在圆D上，求出弦AB所对的圆心角，可求出动点P轨迹在圆D中所对的圆心角，即可算出相应扇形的弧长．本题考查曲线方程的求法，考查数形结合思想在解题中的应用，属于中等题．。
2018-2019学年上海市七宝中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市七宝中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．用数学归纳法证明11112321nn+++⋅⋅⋅+<-（*n N∈，2n≥）时，第一步应验证（）A．1122+<B．111223++<C．111323++<D．11113234+++<【答案】B【解析】直接利用数学归纳法写出2n=时左边的表达式即可．【详解】解：用数学归纳法证明1111(2321nn n N++++⋯+<∈-，2)n≥时，第一步应验证2n=时是否成立，即不等式为：111223++<；故选：B．【点睛】在数学归纳法中，第一步是论证2n=时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．2．已知A、B、C是平面不同三点，则“0AB BC CA++=”是“A、B、C三点能构成三角形”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】解：由0AB BC CA++=，可得三点共线或A、B、C三点能构成三角形，当A、B、C三点能构成三角形时，一定有0AB BC CA++=，故“0AB BC CA++=”是“A、B、C三点能构成三角形”的必要非充分条件．故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．3．若等比数列{}n a 的公比为q ，则关于x 、y 的二元一次方程组132423a x a y a x a y +=⎧⎨+=⎩的解的情况，下列说法正确的是（ ）A ．对任意q ∈R ，0q ≠，方程组都有唯一解B ．对任意q ∈R ，0q ≠，方程组都无解C ．当且仅当32q =时，方程组无解 D ．当且仅当32q =时，方程组无穷多解 【答案】D【解析】由等比数列{}n a 的公比为q 得出2413a a q a a ==，利用两直线平行与重合的性质得到结论． 【详解】 解：等比数列{}n a 的公比为q ，∴2413a a q a a ==， ∴当32q ≠时，则关于x 、y 的二元一次方程组132423a x a y a x a y +=⎧⎨+=⎩无解，当且仅当32q =时，方程组无穷多解 故选：D ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查等比数列、直线平行等基础知识，考查推理能力，运算能力，属于基础题．4．正六边形ABCDEF 中，令AB a =，AF b =，P 是△CDE 内含边界的动点（如图），AP xa yb =+，则x y +的最大值是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】由AP xa yb =+ 可得1x yAP a b x y x y x y=++++，然后再利用三点共线，数形结合可以求出x y +的最大值． 【详解】 解：AP xa yb =+，∴1x yAP a b x y x y x y=++++． 令1AQ AP x y=+，则有x y AQ AB AF x y x y =+++． 又1x yx y x y+=++， Q ∴，B ，F 三点共线． ||||AP x y AQ ∴+=．当||AP 达到最大为||AD 时，AG BF ⊥，∴点A 到线段BF 的最短距离为AG ，即||AQ 恰好达到最小为AG ． ||4||AD x y AG ∴+=…．【点睛】本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时，构建三点共线位置关系是本题的关键．二、填空题5．若线性方程组的增广矩阵是122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，其解为11x y =⎧⎨=⎩，则12c c +=________ 【答案】6【解析】本题可先根据增广矩阵还原出相应的线性方程组，然后将解11x y =⎧⎨=⎩代入线性方程组即可得到1c 、2c 的值，最终可得出结果． 【详解】解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：1223x y c y c +=⎧⎨=⎩， 将解11x y =⎧⎨=⎩代入上面方程组，可得： 1251c c =⎧⎨=⎩． 126c c ∴+=．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求参数．本题属基础题．6．已知行列式4513732xx 中元素4的代数余子式是1，则实数x 的值是________【解析】利用代数余子式的性质直接求解． 【详解】解：行列式4513732xx 中元素4的代数余子式是1，∴329132x x =-=，解得5x =， ∴实数x 的值为5．故答案为：5． 【点睛】本题考查实数值的求法，考查行列式、代数余子式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．求26100lim 3110045n n n n nn →∞⎧≤⎪⎪⎨+⎪>⎪+⎩（*n N ∈）=________【答案】0【解析】分lim n →+∞和lim n →-∞两种情况讨论，综合可得. 【详解】解：26100lim 3110045nn n n n n →∞⎧≤⎪⎪⎨+⎪>⎪+⎩31310044lim lim 05451014nnnn n n n→+∞→∞⎛⎫∴⎛⎫+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭===+++ 26lim 0n n →-∞=∴综上26100lim 03110045nn n n nn →∞⎧≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪+⎩故答案为：0本题考查了极限的计算问题，也考查了转化思想，是基础题．8．在△ABC 中，(0,0)A ，(3,5)B ，(4,4)C ，则△ABC 面积为________ 【答案】4【解析】由两点的距离公式得OC ，由点到直线的距离得：求得点B 到直线OC 的距离，即可得到三角形面积. 【详解】解：由(0,0)A ，(3,5)B ，(4,4)C ，得||OC ==OC 直线方程为y x =，则点B 到直线OC 的距离为d ==即ABC ∆面积为142ABC S ∆=⨯，故答案为：4 【点睛】本题考查了两点的距离公式，点到直线的距离及三角形面积公式，属中档题 9．已知(1,2)a =，(2,3)b =-，(2)a b +∥()a kb +，则实数k 的值是________ 【答案】12【解析】根据题意，由向量的坐标计算公式可得(2)a b +与()a kb -的坐标，进而由向量平行的坐标表示方法可得方程，解得k 的值，即可得答案． 【详解】解：(1,2)a =，(2,3)b =-，()20,7a b ∴+=，()12,23a kb k k +=-+()()2//a b a kb +-()()023712k k ∴⨯+=⨯-解得12k =故答案为：12本题考查向量平行的坐标计算，关键是求出(2)a b +与()a kb -的坐标，属于基础题． 10．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的n 、x 的值分别是3、2，则输出v 的值为________【答案】18【解析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i ，v 的值，当1i =-时，不满足条件0i …，跳出循环，输出v 的值为18． 【详解】解：初始值3n =，2x =，程序运行过程如下表所示：1v =，2i =，1224v =⨯+=，1i =， 4219v =⨯+=，0i =， 92018v =⨯+=，1i =-，跳出循环，输出v 的值为18． 故答案为：18．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i ，v 的值是解题的关键，属于基础题． 11．已知()()*111122f n n N n n n=+++∈++，则当*k N ∈时，()()1f k f k +-=___________.【答案】112122k k -++ 【解析】根据()f n 的表达式可得出()1f k +和()f k 的表达式，两式相减可得出结果. 【详解】()()*111122f n n N n n n=+++∈++， ()1111112322122f k k k k k k ∴+=+++++++++，()11111232f k k k k k=+++++++，因此，()()111111212212122f k f k k k k k k +=+-=-+-++++. 故答案为：112122k k -++. 【点睛】本题考查了数学归纳法中的相关计算，在解题时要观察两代数式之间的差异，考查计算能力，属于基础题.12．已知||1a =，1b ||=，a 、b的夹角是60°，若向量c 满足||1c a b --=，则||c 的最小值为________ 1【解析】由题意可设()1,0a =，12b ⎛= ⎝⎭r ，(),c x y =，然后根据1c a b --=，可求得22312x y ⎛⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，c r 到原点()0,0O 的最小值，根据圆的性质可求.【详解】解：由题意可设()1,0a =，1,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，(),c x y =，3,c a b x y ⎛∴--=--1c a b --=，∴22312x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，是以3,22⎛ ⎝⎭为圆心，以1为半径的圆，则c r ()0,0O 的最小值，根据圆的性质可知，圆心3,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭到()0,0O 的距离d =则c r1，1． 【点睛】本题主要考查了向量数量积的性质及圆外一点到圆上距离最值的求解，解题的关键是求出圆外一点到圆心的距离，属于基础题. 13．设函数2y nx n =-+和1122y x n =-+（*n N ∈，2n ≥）的图像与两坐标轴围成的封闭图形的面积为n S ，则lim n n S →∞=________ 【答案】14【解析】联立两直线，得到交点坐标，当n →+∞时，判断出两直线与坐标轴围成的封闭区间的形状，即可求出对应的面积． 【详解】解，当n →+∞时，直线2y nx n =-+斜率1k →-∞，此时，直线与x 轴交点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，当n →+∞时，直线1122y x n =-+斜率20k →，此时，直线与y 轴交点为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 此时函数2y nx n =-+和11(*,2)22y x n N n n =-+∈…的图象与两坐标轴围成的封闭图形近似于边长为12的正方形， 故111lim 224n n S →∞=⨯=， 故答案为：14． 【点睛】本题考查极限的计算，可以先由n →+∞，判断围成四边形的形状，再计算，属于中档14．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO ·BC 的值是【答案】8【解析】试题分析：设,,AOB AOC αβ∠=∠=那么利用余弦定理在三角形AOC 和三角形AOB 中，得到：22222222222222cos 2cos cos 2cos cos cos (+22+22()1)82AB AO OB A OB r r AC AO OC A OC r r r r AC AB O O AO BC AO BO OC AO BO AO OC ααββαβ→→→→→→→→→====∴+=-⨯--⨯-=+=+=-=故答案为8.【考点】本试题考查了向量的数量积的运算。
七宝中学高二期末综合复习一及答案
高二期末综合复习一一、填空题1、直线013=+-y x 的倾斜角 .2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是(0,2)，则椭圆的标准方程为__________________.3、经过点(1,0)A 且与直线10x y ++=平行的直线l 的方程为 ________ _.4已知()2f z i z z i +=+-，求(12)f i +的值 ___________ _.5、已知直线220310x y x y +-=-+=和的夹角是 ________ _.6、已知z 为虚数，且有||5z =，如果22z z +为实数，若z 为实系数一元二次方程20x bx c ++=的根，则此方程为______________ ____.7、已知方程 221104x y k k -=--表示双曲线，则实数k 的取值范围为________________ . 8、过点(1,2)且与圆221x y +=相切的直线的方程是 ________________ _.9、设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若点(1,2)A ， ABC ∆的重心与抛物线的焦点F 重合，则BC 边所在直线方程为 ________ .10、若方程0x k +=只有一个解，则实数k 的取值范围是 __________ .11、下列五个命题：①直线l 的斜率[1,1]k ∈-，则直线l 的倾斜角的范围是；②直线:1l y kx =+与过(1,5)A -，(4,2)B -两点的直线相交，则4k ≤-或34k ≥-；③如果实数,x y 满足方程22(2)3x y -+=，那么y x ④直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是1m ≥； ⑤方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是41<m 或1>m ； 正确的是_______ _____ _.12、直线320x y m ++=与直线2310x y +-=的位置关系是…………………………（ ）（A ）相交 （B ）平行 （C ）重合 （D ）由m 决定13、二次方程2330x ix --=的根的情况为…………………………( )（A ）有两个不相等的实根 （B ）有两个虚根（C ）有两个共轭虚根 （D ）有一实根和一虚根14、已知△ABC 的三个顶点是(3,4)A -、(0,3)B 、(6,0)C -，求（1） BC 边所在直线的一般式方程；（2） BC 边上的高AD 所在直线的一般式方程.15、已知：21,.(1)34,||b z i a R z z ωω=+∈=+-、若求；221z az b z z ++-+(2)若=1-i ，求a 、b 的值.16、已知双曲线1C ：2214y x -=（1）求与双曲线1C 有相同的焦点，且过点P 的双曲线2C 的标准方程；（2）直线l ：y x m =+分别交双曲线1C 的两条渐近线于A 、B 两点。
上海市闵行区七宝中学19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)
上海市闵行区七宝中学19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知平面内向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(m,3m −2)，且平面内的任意向量c⃗ 都可以唯一的表示成c ⃗ =λa ⃗ +μb ⃗ (λ,μ为实数)，则m 的取值范围是( )A. (−∞,2)B. (2,+∞)C. (−∞,+∞)D. (−∞,2)∪(2,+∞) 2. 直线l:y =k(x −1)与椭圆x 23+y 24=1的交点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4 3. 过点P (4,2)作一直线AB 与双曲线C:x 22−y 2=1相交于A ，B 两点，若P 为AB 中点，则|AB |=( ) A. 2√2 B. 2√3 C. 3√3 D. 4√34. 已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点A ，B ，C ，其中OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，存在实数λ，μ满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOA⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则实数λ，μ的关系为( ) A. λ2+μ2=1 B. 1λ+1μ=1 C. λμ=1 D. λ+μ=1二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 直线x +y +1=0的倾斜角是__________.6. 若焦点在y 轴上的椭圆x 2a +y 24=1的长轴长是短轴的2倍，则a = ______ ．7. 若抛物线y =ax 2的焦点F 的坐标为(0,−1)，则实数a 的值为______ ．8. 在复平面内，复数z 满足z =|√3+i|1+i，则z 对应点的坐标是______ ． 9. 若复数z =a 2−2a −3+(a +1)i 为纯虚数，则实数a =__________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为双曲线x 2−y 2=4的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，ΔABC 是等边三角形，则ΔABC 的面积为________．11. 已知点P(2,3)到经过原点的直线l 的距离为2，则直线l 的方程是________．12. 已知直线l ：y =k(x +2√2)与椭圆x 2+9y 2=9交于A ，B 两点，若|AB|=2，则k =________． 13. (1)在△ABC 中，已知AB =2，AC 2−BC 2=6，则tan C 的最大值是________.(2)已知直线l 过点P(1,2)且与圆C ：x 2+y 2=2相交于A ，B 两点，△ABC 的面积为1，则直线l 的方程为________．14.动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l:y=−4的距离小2，则动点P的轨迹方程为．15.已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2.若椭圆上存在一点P，满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为______ ．16.已知实数x，y满足x2+y2=3，则的取值范围为______ ．x−2√3三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知z=(x+1)+(y−1)i在复平面所对应的点在第二象限，求x与y的取值范围．18.已知直线l：y=k(x−n)与抛物线y2=4x交于A(x1,y1)，B(x2,y2)(x1x2≠0)两点．(Ⅰ)若直线l过抛物线的焦点F，求x1x2的值；(Ⅱ)若x1x2+y1y2=0，求n的值．19.已知圆C：x２+y２=r２，过圆上点P(x0,y0)(x0y0≠0)作圆的切线l，求切线l的方程．20.已知椭圆C：x28+y24=1的左右焦点分别为F1，F2，直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点．(1)若直线l过点F1，且|AF2|+|BF2|=16√23，求直线l的方程；(2)若以AB为直径的圆过点O，点P是线段AB上的点，满足OP⊥AB，求点P的轨迹方程．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(−√3,0)，且过点P(√32,√134).(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，Q为直线x=1上任意一点，直线A1Q，A2Q分别交椭圆C于不同的两点M，N.求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查平面向量基本定理的应用，考查向量共线问题和向量的坐标运算，属基础题．根据已知，由平面向量基本定理可得向量a⃗，b⃗ 不共线，利用向量共线的充分必要条件列出不等式，即可解得m≠2，从而得到m的取值范围．【解答】解：由题意可知，向量a⃗，b⃗ 不共线，所以1×(3m−2)−2m≠0，解得m≠2，即m的取值范围是(−∞,2)∪(2,+∞).故选D．2.答案：B解析：【分析】本题考查了直线和椭圆的位置关系，属于基础题．根据直线恒过椭圆内部的点(1,0)，易得直线和椭圆的交点个数．【解答】解：∵直线l恒过点(1,0)，而点(1,0)在椭圆的内部，∴直线l与椭圆恒有2个交点，故选B．3.答案：D解析：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查直线方程的求法，涉及弦中点问题，属于中档题．往往考虑利用“平方差法”加以解决.利用平方差法：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入双曲线方程然后作差，由中点坐标公式及斜率公式可求得直线l的斜率，再用点斜式即可求得直线方程.进而求弦长．解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=8，y1+y2=4，则12x12−y12=1，12x22−y22=1，两式相减得12(x 1−x 2)(x 1+x 2)−(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0，∴x 1−x 2=y 1−y 2，即k AB =1，故所求直线方程为y −2=1(x −4)，即x −y −2=0．联立{y =x −2x 22−y 2=1，整理得x 2−8x +10=0， 由韦达定理得x 1+x 2=8,x 1x 2=10，则|AB |=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2√82−40=4√3．故选D ．4.答案：A解析：【分析】本题考查平面向量基本定理运用，属于基础题．解法一：取特殊点进行求解；解法二：依题意得|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，−OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方得1=λ2+μ2即可求解．解：解法一取特殊点，取C 为优弧AB 的中点，此时由平面向量基本定理易得λ=μ=√22，只有选项A 符合.故选A ．解法二依题意得|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，−OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方得1=λ2+μ2.故选A ．5.答案：3π4解析：直线x +y +1=0的斜率k =−1，∴直线x +y +1=0的倾斜角3π4.故答案为：3π4. 6.答案：1解析：解：∵椭圆x 2a +y 24=1的焦点在y 轴上，∴4>a >0，且椭圆的长半轴长为2，短半轴长为√a ，由长轴长是短轴的2倍，得2=2√a ，即a =1．故答案为：1．由题意与椭圆方程得到椭圆的长半轴长和短半轴长，再由长轴长是短轴的2倍列式求得a 的值． 本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的几何性质，是基础题．7.答案：−14解析：解：抛物线y =ax 2的标准方程为x 2=1a y ，∵抛物线y =ax 2的焦点坐标为(0,−1)，∴14a =−1，∴a =−14故答案为：−14．先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的焦点坐标，可得a 的值．本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的性质．属基础题． 8.答案：(1,1)解析：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的定义、几何意义，属于基础题． 利用复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的定义、几何意义即可得出．解：复数z 满足z =|√3+i|1+i =√(√3)2+12(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1−i ，∴z =1+i ，∴z 对应点的坐标是(1,1)．故答案为：(1,1)．9.答案：3解析：本题考查复数的概念，属于基础题．由题意，{a 2−2a −3=0a +1≠0，解得即可．解：∵复数z=a2−2a−3+(a+1)i为纯虚数，∴{a2−2a−3=0，解得a=3，a+1≠0故答案为3．10.答案：12√3解析：本小题主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．先求出双曲线x2−y2=4的左顶点为A(−4,0)，根据双曲线的对称性，设出B(x1,y1)，C(x1,−y1)的坐标，根据△ABC是等边三角形得(x1+2)2+y12=(−y1−y1)2，求出x1和y1的值，由此得BC=4√3，从而可以算出面积．解：双曲线x2−y2=4的左顶点为A(−2,0)，根据双曲线的对称性，可设B(x1,y1)，C(x1,−y1).由△ABC是等边三角形⇒AB=BC，得：(x1+2)2+y12=(−y1−y1)2，又x12−y12=4，∴x12−2x1−8=0，∴x1=−2或x1=4右支的范围是x≥0，所以x1=4，从而y1=±2√3，由此BC=4√3，×(4√3)2=12√3．可以算出面积：S=√34故答案为12√3．11.答案：x=0或5x−12y=0解析：本题考查了直线的点斜式方程与点到直线的距离公式，属于基础题．当直线斜率不存在时方程可得，当直线斜率存在时，利用点到直线的距离公式求出k，则方程可求．解：当斜率不存在时，直线方程为x=0，此时点P到直线l的距离为2，当斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，即kx−y=0．由点P(2,3)到直线l的距离公式可知√k2+1=2，解得：k=512，直线方程为x=0或5x−12y=0，故答案为x=0或5x−12y=0．12.答案：±√33解析：由题意，由直线y=k(x+2√2)，得直线过椭圆的左焦点F(−2√2,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线y=k(x+2√2)代入椭圆x2+9y2=9，可得(1+9k2)x2+36√2k2x+72k2−9=0，x1+x2=−36√2k21+9k2，x1x2=72k2−91+9k2，利用弦长公式得到关于k的方程，解得即可．解：椭圆x2+9y2=9，即椭圆x29+y2=1，所以椭圆的焦点坐标为(±2√2,0)，因为直线y=k(x+2√2)，所以直线过椭圆的左焦点F(−2√2,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线y=k(x+2√2)代入椭圆x2+9y2=9，可得(1+9k2)x2+36√2k2x+72k2−9=0，所以x1+x2=−36√2k21+9k2，x1x2=72k2−91+9k，所以|AB|=√1+k2·√(x1+x2)2−4x1x2=6(1+k2)1+9k2，因为|AB|=2，所以6(1+k 2)1+9k 2=2，所以k =±√33． 故答案为±√33．13.答案：(1)2√55(2)3x −4y +5=0或x =1解析：【分析】 (1)本题以三角形为背景，考查直线的斜率和基本不等式知识．其中到两个定点的距离的平方差为定值的点的轨迹是直线．为了刻画点C 的变化，可建立平面直角坐标系帮助解题． (2)在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若果用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．解：(1)建立平面直角坐标系xOy ，使得A(−1,0)，B(1,0)，设C(x,y)，其中y >0．由AC 2−BC 2=6，得(x +1)2+y 2−(x −1)2−y 2=6．得x =32，所以k AC =25，k BC =2y.因此tanC =k BC −k AC1+k BC ⋅k AC =8y 5+4y 2=85y +4y ≤2√55，当且仅当y =√52时取等号． (2)当直线斜率存在时，设直线的方程为y =k(x −1)+2，即kx −y −k +2=0．因为S =12CA ⋅CB ⋅sin∠ACB =1，所以12×√2×√2×sin∠ACB =1，所以sin∠ACB =1.即∠ACB =90°，所以圆心C 到直线AB 的距离为1.所以√k 2+1=1，解得k =34，所以直线方程为3x −4y +5=0． 当直线斜率不存在时，直线方程为x =1，经检验符合题意．综上所述，直线方程为3x −4y +5=0或x =1．方法突破 根据各种形式的方程，采用待定系数的方法求出其中的系数，在求直线方程时凡涉及斜率的要考虑其存在与否，凡涉及截距的要考虑截距是否为零以及其存在性．14.答案：x 2=8y解析：本题考查求轨迹方程，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 利用抛物线的定义即可求解．解：由题意，得动点P 到点A(0,2)的距离与到直线y =−2的距离相等， 故P 点的轨迹是以(0,2)为焦点的抛物线，其轨迹方程为x 2=8y ， 故答案为x 2=8y ．15.答案：√53解析：解：如图，设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF 2相切于M 点， 连接OM ，PF 2，∵M ，O 分别是PF 2，F 1F 2的中点， ∴MO//PF 1，且|PF 1|=2|MO|=2b ， OM ⊥PF 2，∴PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|=2c ， ∴|PF 2|=2√c 2−b 2，根据椭圆的定义，|PF 1|+|PF 2|=2a ， ∴2b +2√c 2−b 2=2a ， ∴a −b =√c 2−b 2，两边平方得：a 2−2ab +b 2=c 2−b 2， c 2=a 2−b 2代入并化简得：2a =3b ， ∴b =23，a =1，c =√1−49=√53，∴e =ca =√53，即椭圆的离心率为√53．故答案为：√53．先设切点为M，连接OM，PF1，根据已知条件即可得到|PF1|=2b，并且知道PF1⊥PF2，这样即可可求得|PF2|=2√c2−b2，这样利用椭圆的定义便得到2b+2√c2−b2=2a，化简即可得到b=23，根据离心率的计算公式即可求得离心率e．本题考查中位线的性质，圆心和切点的连线和切线的关系，以及椭圆的定义，c2=a2−b2，椭圆离心率的计算公式，属于中档题．16.答案：[−√33,√3 3]解析：解：画出满足条件的平面区域，如图示：，而x−2√3的几何意义表示过A(2√3,0)与圆上的点的直线的斜率，显然直线与圆在上方与圆相切时，斜率最小，在下方与圆相切时，斜率最大，由OA=2√3，OB=√3，得∠OAB=30°，∴直线AB的斜率是−√33，同理可求：直线在圆的下方时即蓝色直线的斜率是：√33故答案为：[−√33,√33]．画出满足条件的平面区域，根据x−23的几何意义结合图象求出其范围即可．本题考查了x−2√3的几何意义，考查数形结合思想，考查直线斜率公式，是一道基础题．17.答案：解：复数Z所对应的点在第二象限，Z为(x+1,y−1)，由题得{x +1<0,y −1>0,所以{x <−1,y >1.解析：本题目主要考查复数的代数表示及其几何意义，属于容易题．18.答案：解：(Ⅰ)由题设知，抛物线焦点F(1,0)，…2分于是直线l 方程为y =k(x −1)(k ≠0)，代入y 2=4x 得k 2x 2−2(k 2+2)x +k 2=0，…4分 显然△=4(k 2+2)2−4k 4=4(k 2+1)>0…5分 由根与系数的关系得x 1x 2=k 2k2=1.…6分(Ⅱ)显然k ≠0，由{y =k(x −n)y 2=4x 消去x 得y 2−4k y −4n =0由题设△=16k 2−16n >0，即1+nk 2>0①由根与系数的关系，得y 1+y 2=4k ，y 1y 2=−4n ，②…10分又x 1x 2+y 1y 2=0，y 12=4x 1，y 22=4x 2，得y 1y 2=−16，由②得n =4，代入①式检验成立， 所以n =4.…12分．解析：(Ⅰ)求出抛物线焦点，直线l 方程为y =k(x −1)(k ≠0)，代入y 2=4x 利用韦达定理求出x 1x 2的值即可．(Ⅱ)通过{y =k(x −n)y 2=4x 消去x 利用韦达定理，通过x 1x 2+y 1y 2=0，转化求解n 即可．本题考查抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．19.答案：解：k OP =y 0x 0，切线斜率k l =−x 0y 0，切线方程为y =−x 0y 0⋅(x −x 0)+y 0，即x 0x +y 0y =x 02+y 02， 又因为x 02+y 02=r 2，所以切线方程为x 0x +y 0y =r 2．解析：本题主要考查圆的切线方程的知识点，首先求出切线斜率k l =−xy 0，将切线方程设出，由已知过得点P(x 0,y 0)(x 0y 0≠0)，即可求出切线方程．20.答案：解：(1)由椭圆定义得|AB|+|AF 2|+|BF 2|=4a =8√2，则|AB|=8√23． 因为直线l 过点F 1(−2,0)，所以m =2k ，即直线l 的方程为y =k(x +2)． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立{y =k(x +2),x 2+2y 2−8=0,整理得(1+2k 2)x 2+8k 2x +8k 2−8=0． ∴ x 1+x 2=−8k 21+2k 2，x 1x 2=8k 2−81+2k 2．由弦长公式|AB|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=8√23，代入整理得1+k 21+2k 2=23，解得k =±1．所以直线l 的方程为y =±(x +2)，即x −y +2=0或x +y +2=0． (2)设直线l 方程y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立{y =kx +m,x 2+2y 2−8=0,整理得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−8=0． ∴ x 1+x 2=−4km2k +1，x 1x 2=2m 2−82k 2+1．以AB 为直径的圆过原点O ，即OA →⋅OB →=0． ∴ OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=0． 将y 1=kx 1+m ，y 2=kx 2+m 代入， 整理得(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0． 将x 1+x 2=−4km2k 2+1，x 1x 2=2m 2−82k 2+1代入，整理得3m 2=8k 2+8．∵点P 是线段AB 上的点，满足OP ⊥AB ， 设点O 到直线AB 的距离为d ，∴ |OP|=d ，于是|OP|2=d 2=m 2k 2+1=83(定值)，∴点P 的轨迹是以原点为圆心，√83为半径的圆，且去掉圆与x 轴的交点．故点P 的轨迹方程为x 2+y 2=83(y ≠0).解析：本题主要考查椭圆与直线的位置关系，定点和定值问题，动点的轨迹方程，考查学生的计算化简能力，问题分析转化能力．(1)根据椭圆定义得|AB|+|AF 2|+|BF 2|=4a =8√2，则|AB|=8√23，设出直线l 的方程y =k(x +2)，与椭圆联立，得到韦达定理 x 1+x 2=−8k 21+2k2，x 1x 2=8k 2−81+2k 2，利用弦长公式表示出线段AB 的长度，从而求出k 值．(2)设出直线l 的方程y =kx +m ，与椭圆联立，得到韦达定理 x 1+x 2=−4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2−82k 2+1，由圆过点O ，得到3m 2=8k 2+8，求出|OP|的表达式，发现|OP|2是个定值．21.答案：解：(1)椭圆的一个焦点F 1(−√3,0)，则另一个焦点为F 2(√3,0)，由椭圆的定义知：PF 1+PF 2=2a ，代入计算得a =2， 又b 2=a 2−c 2=1， 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1;(2)证明：设Q(1,t)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 则直线A 1Q 的方程为y =t 3(x +2)，与x 24+y 2=1联立，解得M(−8t 2+184t 2+9,12t4t 2+9)，同理N(8t 2−24t 2+1,4t4t 2+1)，所以直线MN 的斜率为12t 4t 2+9−4t4t 2+1−8t 2+184t 2+9−8t 2−24t 2+1=−2t4t 2+3，所以直线MN 的方程为y −12t 4t 2+9=−2t 4t 2+3(x −−8t 2+184t 2+9)，则y =−2t4t 2+3(x −4)，所以直线MN 恒过定点，且定点坐标为(4,0)．解析：(1)由由椭圆的定义知：PF 1+PF 2=2a ，代入计算得a =2，b 2=a 2−c 2求得b 的值，求得椭圆方程；(2)设Q(1,t)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，分别求出M ，N 的坐标，根据斜率公式和求出直线方程，则可得y =−2t4t 2+3(x −4)，即可求出定点坐标．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，直线方程，考查计算能力，属于中档题．。
上海市2018-2019学年七宝中学高二上期末数学期末试卷
2018-2019学年七宝中学高二上期末数学试卷2019.1一、填空题1.抛物线24y x =的准线方程是______.2.直线的倾斜角范围是______.3.直线1:210l x y --=，20ax y ++=，若12l l ⊥，则a =______.4.直线1:50l x y -+=被圆222440x y x y +---=所截得的弦长等于______.5.P 是双曲线221916x y -=上的一点，1F ，2F 为焦点，若17PF =，则2PF =______.6.过点()2,3，且与坐标原点距离为2的直线方程是______.7.已知p ：曲线C 上的点的坐标都是方程(),0F x y =的解，q ：曲线C 是方程(),0F x y =的曲线，则p 成立是q 成立的______条件。
8、已知P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一点，12,F F 为焦点，若120PF PF ⋅=uuu r uuu r ，121tan 2PF F ∠=，则椭圆的焦距与长轴的比值为______；9.直线2y kx =-与双曲线221x y -=有且仅有一个公共点，则k =______.122r r =，则直线l 的斜率为______.二、选择题13.与圆()2253x y ++=相切，且横截距与纵截距相等的直线条数是（ ） A.2B.4C.6D.以上说法都不对14.直线1:2310l x y -+=与直线2:3l x =的夹角为（ ）A.π-B.C.D.以上说法都不对15.下列说法正确的是（ ）A.平面中两个定点A ，B ，k 为非零常数，若PA PB k -=，则动点P 的轨迹是双曲线 B 、定图C 上有一定点A 和一动点B （不与A 重合），O 为坐标原点，若()12OP OA OB =+uu u r uu r uu u r，则动点P 的轨迹是椭圆；C 、斜率为定值的动直线与抛物线()220y px x =>相交于,A B 两点，O 为坐标原点，若()12OP OA OB =+uu u r uu r uu u r，则动点P 的轨迹是直线；D 、以上说法都不对；18.双曲线2222:1x y M a b -=过点P ⎛ ⎝⎭，且它的都近线方程是20x y ±= （1）求双曲线M 的方程：（2）设椭圆N 的中心在原点，它的短轴是双曲线M 的实轴，且椭圆N 中斜率为3-的弦的中点轨迹恰好是M 的一条渐近线截在椭圆N 内的部分，试求椭圆N 的方程。
精品解析：【全国百强校】上海市七宝中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题(原卷版)
2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题）1.与圆相切，且横截距与纵截距相等的直线条数是( )A. 2B. 4C. 6D. 以上说法都不对2.直线：与直线：的夹角为( )A. B.C. D. 以上说法都不对3.下列说法正确的是（）A. 平面中两个定点A，B，k为非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线B. 定圆C上有一定点A和一动点不与A重合，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹是椭圆C. 斜率为定值的动直线与抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点，，则动点P的轨迹是直线D. 以上说法都不对4.点A为椭圆C：的右顶点，P为椭圆C上一点(不与A重合)，若(是坐标原点)，则（c为半焦距）的取值范围是（）A. B.C. D. 以上说法都不对二、填空题（本大题共12小题）5.抛物线的准线方程为______．6.直线的倾斜角范围是______．7.直线：，直线：，若，则______．8.直线被圆所截得的弦长等于______．9.是双曲线上的一点，，为焦点，若，则______．10.过点且与原点距离为2的直线方程是______．11.已知p：曲线C上的点的坐标都是方程的解，q：曲线C是方程的曲线，则p成立是q成立的______条件．12.已知是椭圆上的一点，，为焦点，若，，则椭圆的焦距与长轴的比值为______．13.直线与双曲线有且仅有一个公共点，则______．14.若x，y满足约束条件，则的取值范围是______．15.已知曲线的参数方程为（为参数），则以下曲线的说法中：①关于原点对称；②在直线下方；③关于轴对称；④是封闭图形，正确的有______．16.已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线的右支分别交于A，B两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线l的斜率为______．三、解答题（本大题共5小题）17.已知两点，．（1）求直线AB的方程；（2）若A，B到直线l的距离都是2，求直线l的方程．18.双曲线M：过点，且它的渐近线方程是．（1）求双曲线M的方程；（2）设椭圆N的中心在原点，它的短轴是双曲线M的实轴，且椭圆N中斜率为的弦的中点轨迹恰好是M的一条渐近线截在椭圆N内的部分，试求椭圆N的方程．19.已知椭圆的两个焦点为，，且椭圆过点（1）求椭圆的方程．（2）已知斜率为的直线过，与椭圆分别交于P，Q；直线过，与直线垂直，与椭圆分别交于M，N，求四边形PMQN面积的函数解析式．20.设直线l：与抛物线相交于不同的两点A，B，M为线段AB中点，（1）若，且，求线段AB的长；（2）若直线l与圆C：相切于点M，求直线l的方程；（3）若直线l与圆C：相切于点M，写出符合条件的直线l的条数直接写出结论即可21.在平面直坐标系xOy中有曲线：．（1）如图1，点B为曲线上的动点，点，求线段AB的中点的轨迹方程；（2）如图2，点B为曲线上的动点，点，将绕点A顺时针旋转得到，求线段OC 长度的最大值．（3）如图3，点C为曲线上的动点，点，，延长AC到P，使，求动点P的轨迹长度．。
2018年七宝中学高二年级上学期期末考试数学试卷
2017-2018学年上海市闵行区七宝中学高二年级上学期期末考试数学试卷一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）1.已知复数z =（i 为虚数单位），则z z g =________【答案】13【解析】复数131311313393z z z z ===∴=∴=•==g故答案为132. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆2215x y +=的右焦点重合，则_________p =【答案】4p =【解析】椭圆的右焦点（2，0），抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，可得：22p=，解得4p =3. 如果复数z 满足-2z i z i ++=（i 是虚数单位），则z 的最大值为________【答案】1【解析】跟据复数满足的条件，可知复数z 的几何意义是到虚轴上的点到（0，1），（0，-1）的距离之和，z 的最大值为：1。
4. 二元一次方程组232x y a x y b -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵通过矩阵变换可得103011⎛⎫ ⎪-⎝⎭，则代数式_____________的值为b a + 【答案】9【解析】跟据已知条件可得3,1x y ==-{32=a912b +-=∴，解得5,4,a b ==549a b ∴+=+=。
5. 直线210ax y +-=与120a x y -++=（）平行，则______________a = 【答案】2【解析】第一个直线与第二个直线的斜率分别为,(1)2aa --，因为两直线平行所以斜率相等所以2a =6. 已知12,x x 是方程230()x mx m R ++=∈的两虚根，则12________x x +=【答案】【解析】12x x Q 与是两虚跟，2121212121,33,3,x x x x x x x x x ∴==∴=∴==g g1212x x x x ∴==∴+=7. 已知集合{}558,A z z z z C =+--=∈与{}4,B z z z C ==∈，则集合A B ⋂中元素个数为_____________【答案】2【解析】集合A 表示双曲线221169x y -=，集合B 表示2216x y += 的圆，双曲线和圆的交点有两个。
2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高二(上)期末数学试卷解析版
2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 与圆x 2+(y +5)2=3相切，且横截距与纵截距相等的直线条数是( )A. 2B. 4C. 6D. 以上说法都不对 【答案】B【解析】解：根据题意，圆x 2+(y +5)2=3的圆心为(0,−5)，半径r =√3， 分2种情况讨论，①，直线过原点，设直线的方程为y =kx ，即kx −y =0， 则有|5|√1+k 2=√3，解可得k =±√663，此时直线的方程为：y =±√663x ，②，直线不过原点，由于直线横截距与纵截距相等，设其方程为x +y =a ，即x +y −a =0， 则有|5+a|√2=√3，解可得a =±√6−5，此时直线的方程为x +y ±√6+5=0， 故一共有4条符合条件的直线； 故选：B ．根据题意，分析圆的圆心与半径，分2种情况讨论，①，直线过原点，设直线的方程为y =kx ，②，直线不过原点，设其方程为x +y =a ，由直线与圆的位置关系分析直线的条数，综合2种情况即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线在坐标轴上的截距，注意直线过原点的情况，属于基础题，2. 直线l 1：2x −3y +1=0与直线l 2：x =3的夹角为( )A. π−arccos 2√1313B. arccos 2√1313C. arcsin 2√1313D. 以上说法都不对【答案】B【解析】解：直线l 1：2x −3y +1=0的斜率为23，倾斜角为arctan 23，直线l 2：x =3的斜率不存在，倾斜角为90∘，故直线l 1：2x −3y +1=0与直线l 2：x =3的夹角为，故选：B ．先求出两条直线的倾斜角和斜率，可得两条直线的夹角．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，两条直线的夹角，属于基础题．3. 下列说法正确的是( )A. 平面中两个定点A ，B ，k 为非零常数，若||PA|−|PB||=k ，则动点P 的轨迹是双曲线B. 定圆C 上有一定点A 和一动点B(不与A 重合)，O 为坐标原点，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，则动点P 的轨迹是椭圆 C. 斜率为定值的动直线与抛物线y 2=2px(p >0)相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，则动点P 的轨迹是直线 D. 以上说法都不对【答案】C【解析】解：设A ，B 是两个定点，k 为非零常数，若|k|>|AB|，可得P 的轨迹为双曲线的一支；若|k|=|AB|，即为射线；若|k|>|AB|，则轨迹不存在，故A 错误；过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点.若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 则P 为AB 的中点，CP ⊥AB ，则动点P 的轨迹为以AC 为直径的圆，故B 错误；斜率为定值t 的动直线与抛物线y 2=2px(p >0)相交于A ，B 两点，设A(y 122p,y 1)，B(y 222p ,y 2)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，可得P 为AB 的中点， t =y 1−y 2y 122p −y 222p=2p y1+y 2=py P ，即有y P =p t，则动点P 的轨迹是直线，故C 正确． 故选：C ．由双曲线的定义可判断A ；由P 为AB 的中点，CP ⊥AB ，可得P 的轨迹为圆，可判断B ；由抛物线的方程，可设A(y 122p,y 1)，B(y 222p ,y 2)，运用直线的斜率公式和中点坐标公式，即可判断C ，进而判断D ．本题考查椭圆和双曲线的定义和方程、性质，考查中点坐标公式和直线的斜率公式，以及运算能力和推理能力，属于中档题．4. 点A 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点，P 为椭圆C 上一点(不与A 重合)，若PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0(O 是坐标原点)，则ca(c 为半焦距)的取值范围是(( ) A. (12,1)B. (√22,1) C. (√32,1) D. 以上说法都不对【答案】B【解析】解：∵设P(x,y)，∵PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0(O 是坐标原点)， ∴{(x −a2)2+y 2=a 24b 2x 2+a 2y 2=a 2b2⇒c 2x 2−a 3x +a 2b 2=0，⇒(c 2x −ab 2)(x −a)=0． ⇒x =a ，x =ab 2c 2，∴0<ab 2c 2<a ．∴b 2<c 2． ∴c a>√22， ∴则ca 的取值范围是(√22,1)故选：B ．设P(x,y)，由PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得{(x −a2)2+y 2=a 24b 2x 2+a 2y 2=a 2b2⇒c 2x 2−a 3x +a 2b 2=0，⇒x =a ，x =ab 2c2，0<ab 2c 2<a.即可求解．本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，考查椭圆性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 抛物线y =4x 2的准线方程为______． 【答案】y =−116【解析】解：整理抛物线方程得x 2=14y ，∴p =18 ∵抛物线方程开口向上， ∴准线方程是y =−116 故答案为：y =−116．先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p ，再根据抛物线性质得出准线方程． 本题主要考查抛物线的标准方程和简单性质.属基础题．6. 直线的倾斜角范围是______． 【答案】[0,π)【解析】解：直线的倾斜角的范围是[0,π)， 故答案为：[0,π)．根据直线倾斜角的定义判断即可．本题考查了直线的倾斜角的范围，考查基础知识的掌握．7. 直线l 1：2x −y −1=0，ax +y +2=0，若11⊥12，则a =______． 【答案】12【解析】解：∵直线l 1：2x −y −1=0，ax +y +2=0，11⊥12， ∴2a −1=0， 解得a =12． 故答案为：12．利用直线与直线垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.直线x−y+5=0被圆x2+y2−2x−4y−4=0所截得的弦长等于______．【答案】2【解析】解：x2+y2−2x−4y−4=0可变为(x−1)2+(y−2)2=9，故圆心坐标为(1,2)，半径为3圆心到直线x−y+5=0的距离是√2=2√2故弦长的一半是√9−8=1所以弦长为2故答案为：2．先求出圆心到直线的距离既得弦心距，求出圆的半径，利用勾股定理求出弦长的一半，即可求得弦长本题考查直线与圆相交的性质，解题的关键是了解直线与圆相交的性质，半径，弦心距，弦长的一半构成一个直角三角形，掌握点到直线的公式，会用它求点直线的距离．9.P是双曲线x29−y216=1上的一点，F1，F2为焦点，若|PF1|=7，则|PF2|=______．【答案】13【解析】解：双曲线x29−y216=1，其中a=3，b=4，c=5又由P是双曲线上一点，则有||PF1|−|PF2||=2a=6，又由|PF1|=7，则|PF2|=1<c−a=2(舍去)或13，故答案为：13．由双曲线的标准方程分析可得a、c的值，结合双曲线的定义可得||PF1|−|PF2||=2a= 6，计算可得|PF2|分析可得答案．本题考查双曲线的定义，注意由双曲线的标准方程求出a的值，属于基础题．10.过点(2,3)且与原点距离为2的直线方程是______．【答案】5x−12y+26=0或x=2【解析】解：当直线的斜率不存在时，直线x=2时满足条件；当直线的斜率存在时，设直线的方程为：y−3=k(x−2)，化为kx−y+3−2k=0，∴√k2+1=2，解得k=512．∴直线的方程为：512x−y+3−56=0，化为5x−12y+26=0．综上可得：直线的方程为：5x−12y+26=0；x=2．故答案为：5x−12y+26=0或x=2．分直线的斜率存在与不存在讨论，利用点到直线的距离公式即可得出．本题考查了点到直线的距离公式、点斜式、分类讨论方法，考查了计算能力，属于基础题．11.已知p：曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解，q：曲线C是方程F(x,y)=0的曲线，则p成立是q成立的______条件．【答案】必要不充分【解析】解：若曲线C是方程F(x,y)=0的曲线，则曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解，即充分性成立，若曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解，则曲线不一定是方程的曲线，即充分性不成立，比如：曲线y =x(x ≥0)上的点的坐标都满足方程x −y =0， 而方程x −y =0对应的曲线为直线y =x ， 则p 成立是q 成立的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分条件根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合曲线方程和方程曲线的关系是解决本题的关键．12. 已知P 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2为焦点，若PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，tan∠PF 1F 2=12，则椭圆的焦距与长轴的比值为______． 【答案】【解析】解：设PF 1=2m ，∵PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，tan∠PF 1F 2=12，则PF 2=m ． ∴2m +m =2a ，可得PF 1=4a3，PF 2=2a 3，∴(4a3)2+(2a3)2=(2c)2． ⇒c 2a 2=59，则椭圆的焦距与长轴的比值为ca=√53．故答案为：√53．可得PF 1=4a3，PF 2=2a3，由勾股定理可得c 2a 2=59，即可．本题考查了椭圆的性质，转化思想，属于基础题．13. 直线y =kx −2与双曲线x 2−y 2=1有且仅有一个公共点，则k =______． 【答案】±1或±√5【解析】解：联立{x 2−y 2=1y=kx−2，化为(1−k 2)x 2+4kx −5=0．①当1−k 2=0时，可得k =±1，此时直线l 的方程为y =±x +1， 分别与等轴双曲线的渐近线y =±x 平行，此时直线l 与双曲线有且只有一个交点，满足题意；②当1−k 2≠0时，由直线与双曲线有且只有一个公共点， 可得△=16k 2+20(1−k 2)=0， 解得k =±√5.此时满足条件． 综上可得：k =±1，±√5． 故答案为：±1，±√5．联立直线与双曲线方程，化为(1−k 2)x 2+4kx −5=0.分类讨论：当1−k 2=0时，可得k =±1，此时直线l 与等轴双曲线的渐近线，满足题意；当1−k 2≠0时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得△=0，解出即可．本题考查了直线与双曲线的位置关系及其性质、一元二次方程与△的关系、分类讨论等基础知识与基本方法，属于中档题和易错题．14. 若x ，y 满足约束条件{x ≥0x +y −3≥0x −2y ≤0，则z =x +2y 的取值范围是______．【答案】[4,+∞)【解析】解：x ，y 满足约束条件{x ≥0x +y −3≥0x −2y ≤0， 表示的可行域如图：目标函数z =x +2y 经过C 点时，函数取得最小值，由{x −2y =0x+y−3=0解得C(2,1)，目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4,+∞)． 故答案为：[4,+∞)．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．15. 已知曲线Γ的参数方程为{x =−t 31+t2y =t21+t 2(t 为参数)，则以下曲线Γ的说法中： ①关于原点对称；②在直线y =1下方；③关于y 轴对称；④是封闭图形，正确的有______． 【答案】②【解析】解：∵曲线Γ的参数方程为{x =−t 31+t 2y =t 21+t2(t 为参数)， ∴y =−1t x ，且0<y <1，在①中，曲线Γ不能关于原点对称，故①错误；在②中，曲线Γ在直线y =1下方，故②正确； 在③中，曲线Γ关于y 轴不对称，故③错误； 在④中，曲线Γ不是封闭图形，故④错误． 故答案为：②．由曲线Γ的参数方程推导出y =−1t x ，且0<y <1，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16. 已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与双曲线的右支分别交于A ，B 两点，△AF 1F 2的内切圆半径为r 1，△BF 1F 2的内切圆半径为r 2，若r 1=2r 2，则直线l 的斜率为______． 【答案】±2√2【解析】解：记△AF1F2的内切圆圆心为C，边AF1、AF2、F1F2上的切点分别为M、N、E，易见C、E横坐标相等，则|AM|=|AN|，|F1M|=|F1E|，|F2N|=|F2E|，由|AF1|−|AF2|=2a，即|AM|+|MF1|−(|AN|+|NF2|)=2a，得|MF1|−|NF2|=2a，即|F1E|−|F2E|=2a，记C的横坐标为x0，则E(x0,0)，于是x0+c−(c−x0)=2a，得x0=a，同样内心D的横坐标也为a，则有CD⊥x轴，设直线的倾斜角为θ，则∠OF2D=θ2，∠CF2O=90∘−θ2，在△CEF2中，tan∠CF2O=tan(90∘−θ2)=r1|EF|，在△DEF2中，tan∠DF2O=tanθ2=r2|EF|，由r1=2r2，可得2tanθ2=tan(90∘−θ2)=cotθ2，解得tanθ2=√22，则直线的斜率为tanθ=2tanθ21−tan2θ2=√21−12=2√2，由对称性可得直线l的斜率为±2√2．故答案为：±2√2．充分利用平面几何图形的性质解题.因从同一点出发的切线长相等，得|AM|=|AN|，|F1M|=|F1E|，|F2N|=|F2E|，再结合双曲线的定义得|F1E|−|F2E|=2a，从而即可求得△AF1F2的内心的横坐标a，即有CD⊥x轴，在△CEF2，△DEF2中，运用解直角三角形知识，运用正切函数的定义和二倍角公式化简即可得到直线的斜率．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查三角函数的化简和求值，考查直线斜率的求法，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知两点A(1,2)，B(5,−1)．(1)求直线AB的方程；(2)若A，B的到直线l的距离都是2，求直线l的方程．【答案】解：(1)∵两点A(1,2)，B(5,−1) ∴直线AB 的方程为：y+1x−5=2+11−5，整理，得3x +4y −11=0．(2)∵两点A(1,2)，B(5,−1).A ，B 的到直线l 的距离都是2， ∴当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =3，成立；当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 为y =kx +b ，即kx −y +b =0， ∵A ，B 的到直线l 的距离都是2，∴√k 2+1=2√k 2+1=2，解得k =−34，b =14或k =−34，b =214，或k =724，b =−38， ∴直线l 的方程为y =−34x +14或y =−34x +214或y =724x −38， 整理，得：3x +4y −1=0，或3x +4y −21=0，或7x −24y −9=0．综上，直线l 的方程为3x +4y −1=0，或3x +4y −21=0，或7x −24y −9=0，或x =3．【解析】(1)利用两点式方程能求出直线AB 的方程．(2)由两点A(1,2)，B(5,−1).A ，B 的到直线l 的距离都是2，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =3；当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 为kx −y +b =0，由A ，B 的到直线l 的距离都是2，能求出直线l 的方程．本题考查直线方程的求法，考查直线的两点式方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18. 双曲线M ：x 2a 2−y 2b 2=1过点P(4,√62)，且它的渐近线方程是x ±2y =0．(1)求双曲线M 的方程； (2)设椭圆N 的中心在原点，它的短轴是双曲线M 的实轴，且椭圆N 中斜率为−3的弦的中点轨迹恰好是M 的一条渐近线截在椭圆N 内的部分，试求椭圆N 的方程． 【答案】解：(1)∵双曲线M ：x 2a 2−y 2b 2=1过点P(4,√62)，且它的渐近线方程是x ±2y =0， ∴16a 2−64b 2=1，b a =12，解得a 2=10，b 2=52， ∴双曲线M 的方程为x 210−2y 25=1，(2)椭圆N 的中心在原点，它的短轴是双曲线M 的实轴，则设椭圆的方程为：y 2a2+x 2b 2=1，∴b 2=10，设椭圆N 中斜率为−3的弦所在直线方程为y =−3x +m ， 两端点分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，AB 的中点为P(x 0,y 0)，联立方程组{y 2a 2+x 210=1y =−3x +m ，消y 可得(90+a 2)x 2−60mx +10m 2−10a 2=0，∴x 1+x 2=60m90+a 2， 则x 0=30m90+a 2，∴y 0=−3x 0+m =a 2m 90+a 2，∴P(30m90+a 2,a 2m90+a 2)，∵点P 在双曲线M 渐近线x −2y =0上， ∴30m90+a 2=2×a 2m90+a 2， 解得a 2=15， ∴椭圆N 的方程为y 215+x 210=1．【解析】(1)根据双曲线的简单性质即可求出，(2)设椭圆N 中斜率为−3的弦所在直线方程为y =−3x +m ，两端点分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，AB 的中点为P(x 0,y 0)，根据韦达定理求出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入双曲线M 渐近线x −2y =0上，即可求出a 2=15，问题得以解决．本题考查了双曲线和椭圆的方程，以及直线和椭圆的位置关系，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题19. 已知椭圆的两个焦点为F 1(−1,0)，F 2(1,0)，且椭圆过点(1,√22).(1)求椭圆的方程．(2)已知斜率为k(k ≠0)的直线11过F 2，与椭圆分别交于P ，Q ；直线l 2过F 2，与直线11垂直，与椭圆分别交于M ，N ，求四边形PMQN 面积的函数解析式f(k)． 【答案】解：(1)设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1，a >b >0由题意可得{c =11a 2+12b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a 2=2，b 2=1(2)设直线l 1的方程为y =k(x −1)，则直线l 2的方程为y =−1k (x −1) 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立方程{x 22+y 2=1y =k(x +1)，化简得(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0．则x 1+x 2=4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2−21+2k 2，∴|PQ|=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√16k 4(1+2k 2)2−8k 2−81+2k 2=2√2⋅1+k 21+2k 2， 同理，得|MN|=2√2⋅1+k 22+k 2，∴S 四边形PMNQ ═12|PQ||MN|=4(1+k 2)2(1+2k 2)(2+k 2)， ∴f(k)=4(1+k 2)2(1+2k 2)(2+k 2)，k ≠0．【解析】(1)设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1，a >b >0，由题意可得{c =11a 2+12b 2=1a 2=b 2+c 2，解得即可，(2)设直线l 1的方程为y =k(x −1)，则直线l 2的方程为y =−1k (x −1)，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，根据弦长公式，分别求出|PQ|，|MN|，即可表示四边形的面积．本题考查直线和椭圆的位置关系，考查四边形面积的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．20. 设直线l ：x =ky +b 与抛物线y 2=4x 相交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 中点， (1)若M(3,2)，且b =1，求线段AB 的长；(2)若直线l 与圆C ：(x −5)2+y 2=16相切于点M ，求直线l 的方程；(3)若直线l 与圆C ：(x −5)2+y 2=r 2(0<r <5)相切于点M ，写出符合条件的直线l 的条数.(直接写出结论即可)【答案】解：(1)当b =1时，直线l 的方程为x =ky +1，设点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)， 将直线l 的方程与抛物线的方程联立得{y 2=4x x=ky+1，消去x 得y 2−4ky −4=0， 由韦达定理可得y 1+y 2=4k ，y 1y 2=−4， 由于点M(3,2)是线段AB 的中点，则y 1+y 22=2k =2，则k =1，所以，y 1+y 2=4，由弦长公式可得|AB|=√1+12⋅|y 1−y 2|=√2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√2×√42−4×(−4)=8；(2)设点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，将直线l 的方程与抛物线的方程联立{y 2=4x x=ky+b，消去x 得y 2−4ky −4b =0， 由韦达定理可得y 1+y 2=4k ，y 1y 2=−4b ， 设点M 的坐标为(x 0,y 0)，则y 0=y 1+y 22=2k ，x 0=ky 0+b =2k 2+b ，所以，点M 的坐标为(2k 2+b,2k)，①若k =0，则直线l 的方程为x =b ，则点A 、B 关于x 轴对称，而圆(x −5)2+y 2=16与x 轴的交点为(1,0)和(9,0)，点M 的坐标为(b,0)，则b =1或b =9，此时，直线l 的方程为x =1或x =9，符合题意！②若k ≠0，由CM ⊥AB 可知，k CM ⋅k AB =−1，即k2k 2+b−5⋅1k =−1，则有2k 2+b −5=−1，所以，2k 2+b −4=0． 另一方面，点M 在圆上，则有(2k 2+b −5)2+k 2=16，所以，1+k 2=16，则k 2=15，b =−26，此时，△=16k 2+16b =16(k 2+b)=−176<0，不合乎题意！ 综上所述，直线l 的方程为x =1和x =9； (3)当r ≥5时，1条；当0<r ≤2或4≤r <5时，2条； 当2<r <4时，4条．【解析】(1)将直线l 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出线段AB 的中点的纵坐标，从而求出k 的值，再利用弦长公式结合韦达定理可求出线段AB 的长度； (2)对k 是否为零进行分类讨论．当k =0时，得出点A 、B 关于x 轴对称，得知，点M 为圆与x 轴的交点，求出b 的值，可得出直线l的方程；当k≠0时，将直线l的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出点M的坐标，然后利用CM⊥AB，转化为这两条直线的斜率之积为−1《以及点M在圆上，求出k和b 的值，但同时还需满足△>0.结合这两种情况求出直线l的方程．(3)结合图形充分利用对称性可写出相应的结论．本题考查直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理在抛物线综合问题中的应用，同时也考查了对称性思想的应用，属于难题．21.在平面直坐标系xOy中有曲线Γ：x2+y2=1(y>0)．(1)如图1，点B为曲线Γ上的动点，点A(2,0)，求线段AB的中点的轨迹方程；(2)如图2，点B为曲线Γ上的动点，点A(2,0)，将△OAB绕点A顺时针旋转90∘得到△DAC，求线段OC长度的最大值．(3)如图3，点C为曲线Γ上的动点，点A(−1,0)，B(1,0)，延长AC到P，使CP=CB，求动点P的轨迹长度．【答案】解：(1)设点B的坐标为(x0,y0)，则y0>0，设线段AB的中点为点M(x,y)，由于点B在曲线Γ上，则x02+y02=1，①因为点M为线段AB的中点，则{x=x0+22y=y02，得{y=2yx0=2x−2，代入①式得(2x−2)2+y2=1，化简得(x−1)2+y2=14，其中y>0；(2)如下图所示，易知点D(2,2)，结合图形可知，点C在右半圆D：(x−2)2+y2=1上运动，问题转化为，原点O到右半圆D上一点C的距离的最大值，连接OD并延长交右半圆D于点，当点C与点重合时，|OC|取最大值，且|OC|max=|OD|+1=2√2+1；(3)如下图所示，由于点C是曲线Γ上一点，则∠ACB=90∘，则∠BCP=90∘，由于CP=CB，所以，∠APB= 45∘，由于AB=2，由正弦定理可知，△ABP的外接圆的直径为2R=ABsin∠APB=2√2，∴R=√2，设曲线Γ与y轴交于点D(0,1)，则AD=BD=√2，则△ABP的外接圆即为圆D：x2+(y−1)2=2，弦AB在圆D中所对的圆心角为∠ADB= 90∘，所以点P的轨迹是以√2为半径且圆心角为3π2的扇形，所以，点P的轨迹的长度为3π2R=3√22π．【解析】(1)设点B的坐标为(x0,y0)，设线段AB的中点为点M(x,y)，先将点M的坐标代入曲线Γ的方程，得出一个等式，由中点坐标公式得{x=x0+22y=y02，解得{y=2yx0=2x−2，代入等式可得出点M的轨迹方程，化简，同时标出相应变量的取值范围；(2)作出曲线Γ绕点A顺时针旋转90∘后得到的右半圆D，然后线段OC长度的最大值就转化为点O到右半圆D上一点距离的最大值，利用圆的性质可得出答案；(3)先求出∠APB=π4，由正弦定理知，动点P的轨迹在圆D上，求出弦AB所对的圆心角，可求出动点P轨迹在圆D中所对的圆心角，即可算出相应扇形的弧长．本题考查曲线方程的求法，考查数形结合思想在解题中的应用，属于中等题．。
精品解析：上海市七宝中学2017-2018学年高二上学期期末数学试题(解析版)
上海市七宝中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学试卷一、填空题1.将参数方程122x ty t=+⎧⎨=-⎩,(t R ∈,t 为参数)化为普通方程______________．【答案】250x y +-= 【解析】 【分析】可将2y t =-左右同乘2，再消参即可求解普通方程【详解】2242y t y t =-⇒=-，结合12x t =+可得250x y +-= 故答案为：250x y +-=【点睛】本题考查参数方程转化成普通方程，属于基础题2.已知椭圆22194x y +=，直线2180x y ++=，则椭圆上点到这条直线的最短距离是______________．【答案】5【解析】 【分析】可将椭圆的标准式转化为参数方程，再由点到直线距离公式求解即可【详解】由22194x y +=⇒对应参数方程为：3cos 2sin x y =⎧⎨=⎩θθ，由点到直线距离公式得d ==()sin 1+=-θϕ时，mind ==故答案为：5【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，点到直线的距离公式，属于中档题 3.123101011111111111392733C C C C -+-+--+除以5的余数是【答案】3【解析】试题分析：123101011111111111392733C C C C -+-+--+1111(13)2204820453=-+===+，它除以5余数为3．考点：二项式定理，整除的知识．4.如图为某几何体的三视图，则其侧面积为_______2cm【答案】4π 【解析】 【分析】根据三视图可知几何体为圆锥，利用底面半径和高可求得母线长；根据圆锥侧面积公式可直接求得结果.【详解】由三视图可知，几何体为底面半径为1∴4= ∴圆锥的侧面积：144S ππ=⨯⨯=本题正确结果：4π【点睛】本题考查圆锥侧面积的求解问题，关键是能够根据三视图准确还原几何体，考查学生对于圆锥侧面积公式的掌握情况.5.甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到 、、A B C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学，则甲、乙两人被分在同一个社区的概率是______________． 【答案】16【解析】 【分析】可把甲乙看成一个整体，再分到三个社区，算出对应的方法种数，再由题意算出所有的分配种数，结合古典概型公式求解即可【详解】把甲乙看作一个整体，再与其他两人分到、、A B C 三个社区共有33A 种方法，而所有的分配方法有2343C A种，则甲、乙两人被分在同一个社区的概率是33234316A P C A == 故答案为：16【点睛】本题考查排列组合公式的应用，古典概型的求法，属于基础题6.在侧棱长为S ABC -中，40ASB BSC CSA ∠=∠=∠=︒，过A 作截面AEF ，交SB 于E ，交SC 于F ，则截面AEF 周长的最小值为__________．【答案】6 【解析】将棱锥的侧面沿侧棱SA 展开，如图，'AA 的长就是截面AEF 周长的最小值，由题意'120ASA ∠=︒，由等腰三角形的性质得'2cos3026AA SA =︒=⨯=.【点睛】立体几何中的最短距离问题，主要是空间几何体表面上的距离问题，解决此问题的方法是把几何体的表面（或侧面）展开，化空间问题为平面问题，利用平面上两点间线段最短的性质求解．这部分我们要着重掌握直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的性质以及展开的方法． 7.长方体1111ABCD A B C D -内接于球O ，且AB BC 2==，1AA =A 、B 两点之间的球面距离为______． 【答案】2π3【解析】 【分析】利用长方体外接球直径为其体对角线长求得外接球半径，及AB 所对球心角，利用弧长公式求出答案．【详解】由2AB BC ==，1AA =得114AC BD ===，∴长方体1111ABCD A B C D -外接球的半径1122BO AO AC AB ==== ABO ∴为正三角形，∴3AOB π∠=，,A B ∴两点间的球面距离为π2π233⨯=， 故答案为：2π3． 【点睛】本题考查了长方体外接球问题，以及求两点球面距离，属于简单题．8.从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球()0,,m n m n N <≤∈，共有1mn C +种取法．在这1mn C +种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，一类是取出的m 个球中白球1m -个，则共有01111m m n n C C C C -⋅+⋅种取法，即有等式：011111m m mn n n C C C C C -+⋅+⋅=．试根据上述思想化简下列式子：1122m m m k m kn k n k n k n C C C C C C C ---+⋅+⋅++⋅= ．(1,,,)k m n k m n N ≤<≤∈．【答案】mn k C +【解析】解：在01122m m m k m kk n k n k n k n C C C C C C C C ---+⋅+⋅++⋅=中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n 个白球，k 个黑球的袋子里， 取出m 个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k 球中取出m 个球的不同取法数mn k C +故答案为：mn k C +9.在平行六面体ABCD A B C D '-''' 中，4AB = ，3AD = ，5A A '= ，90BAD ∠=︒ ，60A AB A AD ''∠=∠=︒ ，则AC '= __________．【解析】连接AC ，因为04,3,90AB AD BAD ==∠=，所以5AC =, 根据cos cos cos A AB A AC CAB ∠=∠⋅∠''，即1cos 2A AC '=∠045A AC ∠='，则0135C CA ∠=', 而5,5AC AA '==,根据余弦定理得AC '=.点睛：本题考查了几何体的对角线长的求解，以及余弦定理的应用，同时考查了空间象限能力，计算推理的能力，属于中档试题，立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点，此类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度距离的计算等两类问题．10.的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则+a b 的最大值为 ． 【答案】4 【解析】构造如图所示长方体，长方体的长、宽、高分别为，则，，，，所以。
2019-2020学年上海市七宝中学2018级高二上学期期末考试数学试卷及解析
2019-2020学年上海市七宝中学2018级高二上学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、填空题1.直线l 的倾斜角范围是__________；【答案】0,【解析】由直线的倾斜角定义来确定.【详解】由直线倾斜角的定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.范围：倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.故答案为：0,2.方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆,其焦点坐标是_________；【答案】(0,【解析】 根据方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆,确定22,4a m b ==,再由,,a b c的关系求出c ,写出坐标即可. 【详解】因为方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆,所以22,4a m b == ,所以c ==所以焦点坐标为：(0,.故答案为：(0,.3.抛物线()20y ax a =<的焦点坐标为____________. 【答案】10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】将抛物线的方程化为标准方程,可得出该抛物线的焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为21x y a =,因此,该抛物线的焦点坐标为10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.4.i 对应点的直线的倾斜角为_________； 【答案】56π 【解析】先利用复数的几何意义,i -对应点的坐标,直线又经过原点()0,0,根据斜率公式求得斜率,再根据斜率与倾斜角的关系求解.i 对应点)1- , 直线又经过原点()0,0 ,所以斜率103k ==- ,所以tan α= , 又因为[0,)απ∈ , 所以56πα= . 故答案为：56π. 5.下面四个命题：①,a b 是两个相等的实数,则()()a b a b i -++是纯虚数；②任何两个负数不能比较大小；③12,z z C ∈,且22120z z +=,则120z z ==；④两个共轭虚数的差为纯虚数.其中正确。
数学七宝2018学年第一学期高二期末卷(2019.01)(含解析)
2018-2019学年上海市七宝中学高二（上）期末数学试卷一、填空题1．抛物线24y x =的准线方程为 ． 2．直线的倾斜角范围是 ．3．直线1:210l x y −−=，20ax y ++=，若1211⊥，则a = ． 4．直线50x y −+=被圆222440x y x y +−−−=所截得的弦长等于 ．5．P 是双曲线221916x y −=上的一点，1F ，2F 为焦点，若1||7PF =，则2||PF = ．6．过点(2,3)且与原点距离为2的直线方程是 ．7．已知p ：曲线C 上的点的坐标都是方程(,)0F x y =的解，q ：曲线C 是方程(,)0F x y =的曲线，则p 成立是q 成立的 条件．8．已知P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，1F ，2F 为焦点，若120PF PF =，121tan 2PF F ∠=，则椭圆的焦距与长轴的比值为 ．9．直线2y kx =−与双曲线221x y −=有且仅有一个公共点，则k = ．10．若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+−⎨⎪−⎩，则2z x y =+的取值范围是 ．11．已知曲线Γ的参数方程为32221(1t x t t t y t ⎧=−⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数），则以下曲线Γ的说法中： ①关于原点对称；②在直线1y =下方；③关于y 轴对称；④是封闭图形，正确的有 ．12．已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1(,0)x y C a b a b−=>的左、右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支分别交于A ，B 两点，△12AF F 的内切圆半径为1r ，△12BF F 的内切圆半径为2r ，若122r r =，则直线l 的斜率为 ．二、选择题13．与圆22(5)3x y ++=相切，且横截距与纵截距相等的直线条数是( ) A ．2 B ．4C ．6D ．以上说法都不对14．直线1:2310l x y −+=与直线2:3l x =的夹角为( )A ．π−B ．C ．D ．以上说法都不对15．下列说法正确的是( )A ．平面中两个定点A ，B ，k 为非零常数，若||||||PA PB k −=，则动点P 的轨迹是双曲线 B ．定圆C 上有一定点A 和一动点B （不与A 重合），O 为坐标原点，若1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹是椭圆C ．斜率为定值的动直线与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹是直线 D ．以上说法都不对16．点A 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点，P 为椭圆C 上一点（不与A 重合），若0(PO PA O ⋅=是坐标原点），则(cc a为半焦距）的取值范围是（ ）A ．1(,1)2B ．(2C ．(2D ．以上说法都不对三、解答题17．已知两点(1,2)A ，(5,1)B −． （1）求直线AB 的方程；（2）若A ，B 的到直线l 的距离都是2，求直线l 的方程．22a b 2（1）求双曲线M 的方程；（2）设椭圆N 的中心在原点，它的短轴是双曲线M 的实轴，且椭圆N 中斜率为3−的弦的中点轨迹恰好是M 的一条渐近线截在椭圆N 内的部分，试求椭圆N 的方程．19．已知椭圆的两个焦点为1(1,0)F −，2(1,0)F ，且椭圆过点2． （1）求椭圆的方程．（2）已知斜率为(0)k k ≠的直线11过2F ，与椭圆分别交于P ，Q ；直线2l 过2F ，与直线11垂直，与椭圆分别交于M ，N ，求四边形PMQN 面积的函数解析式()f k ．20．设直线:l x ky b =+与抛物线24y x =相交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 中点， （1）若(3,2)M ，且1b =，求线段AB 的长；（2）若直线l 与圆22:(5)16C x y −+=相切于点M ，求直线l 的方程；（3）若直线l 与圆222:(5)(05)C x y r r −+=<<相切于点M ，写出符合条件的直线l 的条数．（直接写出结论即可）21．在平面直坐标系xOy 中有曲线22:1(0)x y y Γ+=>．（1）如图1，点B 为曲线Γ上的动点，点(2,0)A ，求线段AB 的中点的轨迹方程；（2）如图2，点B 为曲线Γ上的动点，点(2,0)A ，将OAB ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到DAC ∆，求线段OC 长度的最大值．（3）如图3，点C 为曲线Γ上的动点，点(1,0)A −，(1,0)B ，延长AC 到P ，使CP CB =，求动点P 的轨迹长度．参考答案一、填空题 1．116y =−2．[0，)π 3．124．2 5．13 6．512260x y −+=或2x =7．必要不充分条件8．539．1k =±，5±10．解：x ，y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+−⎨⎪−⎩，表示的可行域如图：目标函数2z x y =+经过C 点时，函数取得最小值，由3020x y x y +−=⎧⎨−=⎩解得(2,1)C ， 目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，)+∞． 故答案为：[4，)+∞．11．解：曲线Γ的参数方程为32221(1t x t t t y t ⎧=−⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数）， 1y x t∴=−，且01y <<，在①中，曲线Γ不能关于原点对称，故①错误； 在②中，曲线Γ在直线1y =下方，故②正确； 在③中，曲线Γ关于y 轴不对称，故③错误； 在④中，曲线Γ不是封闭图形，故④错误． 故答案为：②．12．解：记△12AF F 的内切圆圆心为C ，边1AF 、2AF 、12F F 上的切点分别为M 、N 、E ， 易见C 、E 横坐标相等，则||||AM AN =，11||||F M F E =，22||||F N F E =， 由12||||2AF AF a −=，即12||||(||||)2AM MF AN NF a +−+=，得12||||2MF NF a −=，即12||||2F E F E a −=，记C 的横坐标为0x ，则0(E x ，0)， 于是00()2x c c x a +−−=，得0x a =，同样内心D 的横坐标也为a ，则有CD x ⊥轴， 设直线的倾斜角为θ，则22OF D θ∠=，2902CF O θ∠=︒−，在2CEF ∆中，12tan tan(90)2||r CF O EF θ∠=︒−=，在2DEF ∆中，22tan tan 2||r DF O EF θ∠==， 由122r r =，可得2tan tan(90)cot 222θθθ=︒−=， 解得2tan22θ=， 则直线的斜率为22tan22tan 2211122tan θθθ===−−， 由对称性可得直线l 的斜率为22±． 故答案为：22±．二、选择题13．B 14．B 15．C 16．解：设(,)P x y ，0(PO PA O ⋅=是坐标原点），∴22222322222222()024a a x y c x a x a b b x a y a b ⎧−+=⎪⇒−+=⎨⎪+=⎩， 22()()0c x ab x a ⇒−−=．x a ⇒=，22ab x c=，220ab a c ∴<<．22b c ∴<．∴22c a >， ∴则c a 的取值范围是2(2，1) 故选：B ．三、解答题17．（1）34110x y +−=（2）3410x y +−=，或34210x y +−=，或72490x y −−=，或3x =18．（1）2221105x y −=， （2）2211510y x +=． 19．解：（1）设椭圆的方程为22221x y a b+=，0a b >>由题意可得2222211112c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得22a =，21b =（2）设直线1l 的方程为(1)y k x =−，则直线2l 的方程为1(1)y x k=−−设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立方程2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简得2222(21)4220k x k x k +−+−=．则2122412k x x k +=+，21222212k x x k −=+，22212121||||1()4PQ x x k x x x x ∴=−=++−42222221688122(12)1212k k k k k k −+=−=+++，同理，得221||22k MN k +=+，()()222214(1)2122PMNQk S PQ MN k k +∴===++四边形， 22224(1)()(12)(2)k f k k k +∴=++，0k ≠． 20．解：（1）当1b =时，直线l 的方程为1x ky =+，设点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ， 将直线l 的方程与抛物线的方程联立得214x ky y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ky −−=，由韦达定理可得124y y k +=，124y y =−， 由于点(3,2)M 是线段AB 的中点，则12222yy k +==，则1k =，所以，124y y +=， 由弦长公式可得221212||||2()48AB y y y y =−=+−==；（2）设点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立24x ky by x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ky b −−=，由韦达定理可得124y y k +=，124y y b =−， 设点M 的坐标为0(x ，0)y ，则12022y y y k +==，2002x ky b k b =+=+， 所以，点M 的坐标为2(2k b +，2)k ，①若0k =，则直线l 的方程为x b =，则点A 、B 关于x 轴对称，而圆22(5)16x y −+=与x 轴的交点为(1,0)和(9,0)，点M 的坐标为(,0)b ，则1b =或9b =，此时，直线l 的方程为1x =或9x =，符合题意！ ②若0k ≠，由CM AB ⊥可知，1CM AB k k =−，即21125k k b k=−+−，则有2251k b +−=−，所以，2240k b +−=．另一方面，点M 在圆上，则有222(25)16k b k +−+=，所以，2116k +=，则215k =，26b =−， 此时，△22161616()1760k b k b =+=+=−<，不合乎题意！ 综上所述，直线l 的方程为1x =和9x =； （3）当5r 时，1条； 当02r <或45r <时，2条； 当24r <<时，4条．21．解：（1）设点B 的坐标为0(x ，0)y ，则00y >，设线段AB 的中点为点(,)M x y ，由于点B 在曲线Γ上，则2201x y +=，① 因为点M 为线段AB 的中点，则00222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得00222x x y y =−⎧⎨=⎩，代入①式得22(22)1x y −+=，化简得221(1)4x y −+=，其中0y >； （2）如下图所示，易知点(2,2)D ，结合图形可知，点C 在右半圆22:(2)1D x y −+=上运动， 问题转化为，原点O 到右半圆D 上一点C 的距离的最大值，连接OD 并延长交右半圆D 于点C '，当点C 与点C '重合时，||OC 取最大值， 且||||1221max OC OD =+=+； （3）如下图所示，由于点C 是曲线Γ上一点，则90ACB ∠=︒，则90BCP ∠=︒，由于CP CB =，所以，45APB ∠=︒， 由于2AB =，由正弦定理可知，ABP ∆的外接圆的直径为222sin ABR APB==∠，∴2R =，设曲线Γ与y 轴交于点(0,1)D ，则2AD BD ==则ABP ∆的外接圆即为圆22:(1)2D x y +−=，弦AB 在圆D 中所对的圆心角为90ADB ∠=︒， 所以点P 2为半径且圆心角为32π的扇形， 所以，点P 的轨迹的长度为3322R π=．。
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2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题）1.与圆相切，且横截距与纵截距相等的直线条数是( )A. 2B. 4C. 6D. 以上说法都不对【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，分2种情况讨论，①直线过原点，设直线的方程为，②直线不过原点，设其方程为，由直线与圆的位置关系分析直线的条数，综合2种情况即可得答案。
【详解】解：根据题意，圆的圆心为，半径，分2种情况讨论，①直线过原点，设直线的方程为，即，则有，解可得，此时直线的方程为：，②直线不过原点，由于直线横截距与纵截距相等，设其方程为，即，则有，解可得，此时直线的方程为，故一共有4条符合条件的直线；故选：B．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线在坐标轴上的截距，注意直线过原点的情况，属于基础题。
2.直线：与直线：的夹角为( )A. B.C. D. 以上说法都不对【答案】B【解析】【分析】先求出两条直线的倾斜角和斜率，可得两条直线的夹角。
【详解】解：直线：的斜率为，倾斜角为，直线：的斜率不存在，倾斜角为，故直线：与直线：的夹角为，故选：B．【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，两条直线的夹角，属于基础题。
3.下列说法正确的是（）A. 平面中两个定点A，B，k为非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线B. 定圆C上有一定点A和一动点不与A重合，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹是椭圆C. 斜率为定值的动直线与抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点，，则动点P的轨迹是直线D. 以上说法都不对【答案】C【解析】【分析】由双曲线的定义可判断A错误；由P为AB的中点，，可得P的轨迹为圆，可判断B错误；由抛物线的方程，可设，，运用直线的斜率公式和中点坐标公式，即可判断C正确，进而可得到答案。
【详解】解：设A，B是两个定点，k为非零常数，若，则轨迹为两条射线；若，则轨迹不存在，若,则轨迹为双曲线，故A错误；过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点若，则P为AB的中点，，即恒为直角，则动点P的轨迹为以AC为直径的圆，故B错误；斜率为定值t的动直线与抛物线相交于A，B两点，设，，，可得P为AB的中点，，即有，则动点P的轨迹是直线，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的定义，考查动点的轨迹，考查中点坐标公式和直线的斜率公式，以及运算能力和推理能力，属于中档题。
4.点A为椭圆C：的右顶点，P为椭圆C上一点(不与A重合)，若(是坐标原点)，则（c为半焦距）的取值范围是（）A. B.C. D. 以上说法都不对【答案】B【解析】【分析】设，由，可知点在以为直径的圆上，可得到，，或，可得到，求解即可。
【详解】解：设，（是坐标原点），则点在以为直径的圆上，，．，或，，故，．，即，，则的取值范围是故选：B．【点睛】本题考查椭圆离心率的取值范围的求法，考查椭圆性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题。
二、填空题（本大题共12小题）5.抛物线的准线方程为______．【答案】【解析】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是考点：抛物线方程6.直线的倾斜角范围是______．【答案】【解析】【分析】根据直线倾斜角的定义即可得到答案。
【详解】解：直线的倾斜角的范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了直线的倾斜角的范围，考查基础知识的掌握，属于基础题。
7.直线：，直线：，若，则______．【答案】【解析】【分析】利用直线与直线垂直的性质求解即可。
【详解】解：直线：，直线：，，，解得．故答案为：．【点睛】本题考查直线与直线垂直的性质，考查运算求解能力，是基础题。
8.直线被圆所截得的弦长等于______．【答案】2【解析】【分析】先求出圆心到直线的距离既得弦心距，求出圆的半径，利用勾股定理求出弦长的一半，即可求得弦长.【详解】将圆x2+y2–2x–4y–4=0化为标准方程（x–1）2+（y–2）2=9，得圆心坐标为（1，2），半径为3，圆心到直线x–y+5=0的距离是=2，有勾股定理得弦长的一半是=1，所以弦长为2.故答案为：2．【点睛】本题考查直线与圆相交的性质，解题的关键是了解直线与圆相交的性质，半径，弦心距，弦长的一半构成一个直角三角形，掌握点到直线的公式，会用它求点直线的距离．9.是双曲线上的一点，，为焦点，若，则______．【答案】13【解析】【分析】由双曲线的标准方程分析可得a、c的值，结合双曲线的定义可得，计算可得的值。
【详解】解：双曲线，其中，，又由是双曲线上一点，则有，又由，解得或，因为，所以只有满足题意。
故答案为：13．【点睛】本题考查双曲线的定义，注意由双曲线的标准方程求出a的值，属于基础题。
10.过点且与原点距离为2的直线方程是______．【答案】或【解析】【分析】分直线的斜率存在与不存在两种情况进行讨论，利用点到直线的距离公式即可得到答案。
【详解】解：当直线的斜率不存在时，直线时满足条件；当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，化为，，解得．直线的方程为：，化为．综上可得：直线的方程为：；．故答案为：或．【点睛】本题考查了直线的斜率，直线的方程，点到直线的距离公式，考查了分类讨论的数学思想，考查了计算能力，属于基础题。
11.已知p：曲线C上的点的坐标都是方程的解，q：曲线C是方程的曲线，则p成立是q成立的______条件．【答案】必要不充分【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可。
【详解】解：若曲线C是方程的曲线，则曲线C上的点的坐标都是方程的解，即必要性成立，若曲线C上的点的坐标都是方程的解，则曲线不一定是方程的曲线，即充分性不成立，比如：曲线上的点的坐标都满足方程，而方程对应的曲线为直线，则p成立是q成立的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件。
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合曲线的方程和方程的曲线的关系是解决本题的关键，属于基础题。
12.已知是椭圆上的一点，，为焦点，若，，则椭圆的焦距与长轴的比值为______．【答案】【解析】【分析】设，由，，可得，结合和勾股定理，可得到的关系，从而可得到答案。
【详解】解：设，，，则．，可得，，．，则椭圆的焦距与长轴的比值为．故答案为：．【点睛】本题考查了椭圆的性质，向量垂直的性质，勾股定理的应用，转化思想，属于基础题。
13.直线与双曲线有且仅有一个公共点，则______．【答案】或【解析】【分析】联立直线与双曲线方程，化为，分类讨论：当时，此时直线双曲线的渐近线，满足题意；当时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得，解出即可。
【详解】解：联立，可得．①当时，可得，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有且只有一个交点，满足题意；②当时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得，解得，满足条件．综上可得：，．故答案为：，．【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系及其性质、一元二次方程的解与判别式的关系、分类讨论等基础知识与基本方法，属于中档题和易错题．14.若x，y满足约束条件，则的取值范围是______．【答案】【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再结合目标函数中z的几何意义，从而可以确定出目标函数在哪个点处取得最小值，之后由于可行域是开放区域，向上动的过程中，目标函数在逐渐的增大，能到正无穷，从而求得最后的结果.详解：根据题中所给的约束条件，画出对应的可行域，其为直线的上方，直线的上方，y轴的右侧的开放区域，且直线与直线交于点A，由得，由的几何意义可知该目标函数在点A处取得最小值，往上平移可到，由解得，所以的取值范围是.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，正确画出可行域是非常关键的，并且是一个开放的区域，这就决定了其没有最大值，并且会到正无穷，一定要分析清楚在哪个点处取得最小值，要明确对应的点是哪两条直线的交点，从而求得结果.15.已知曲线的参数方程为（为参数），则以下曲线的说法中：①关于原点对称；②在直线下方；③关于轴对称；④是封闭图形，正确的有______．【答案】②③【解析】【分析】由曲线的参数方程推导出，且，，对选项逐个分析即可得到答案。
【详解】解：曲线的参数方程为(t为参数)，则，，且，即，则，即，假设点在图形上，则，若曲线的图形关于原点对称，则点也在图形上，即，且，解得，显然不符合题意，故①错误；若曲线的图形关于轴对称，则点也在图形上，即，显然成立，故③正确；由于，故②正确；因为，所以不可能为封闭图形。
故答案为②③【点睛】本题考查命题真假的判断，考查参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题。
16.已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线的右支分别交于A，B两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线l的斜率为______．【答案】【解析】【分析】充分利用平面几何图形的性质解题，由同一点出发的切线长相等，可得，，，再结合双曲线的定义得，从而可求得的内心的横坐标，即有轴，在，中，运用解直角三角形知识，及正切函数的定义和二倍角公式化简即可得到直线的斜率。
【详解】解：记的内切圆圆心为C，边、、上的切点分别为M、N、E，易见C、E横坐标相等，则，，，由，即，得，即，记C的横坐标为，则，于是，得，同样内心D的横坐标也为a，则有轴，设直线的倾斜角为，则，，在中，，在中，，由，可得，解得，则直线的斜率为，由对称性可得直线l的斜率为．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查三角函数的化简和求值，考查直线斜率的求法，属于中档题。
三、解答题（本大题共5小题）17.已知两点，．（1）求直线AB的方程；（2）若A，B到直线l的距离都是2，求直线l的方程．【答案】(1)(2)，或，或，或．【解析】【分析】利用两点式方程能求出直线AB的方程；由两点，，A，B到直线l的距离都是2，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为；当直线l的斜率k存在时，设直线l为，由A，B的到直线l的距离都是2，能求出直线l的方程。
【详解】解：两点，直线AB的方程为：，整理，得．两点，，B到直线l的距离都是2，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，成立；当直线l的斜率k存在时，设直线l为，即，，B的到直线l的距离都是2，，解得，或，，或，，直线l的方程为或或，整理，得：，或，或．综上，直线l的方程为，或，或，或．【点睛】本题考查直线方程的求法，考查直线的两点式方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.双曲线M：过点，且它的渐近线方程是．（1）求双曲线M的方程；（2）设椭圆N的中心在原点，它的短轴是双曲线M的实轴，且椭圆N中斜率为的弦的中点轨迹恰好是M的一条渐近线截在椭圆N内的部分，试求椭圆N的方程．【答案】(1) (2)【解析】【分析】根据双曲线的简单性质即可求出方程；设椭圆N中斜率为的弦所在直线方程为，两端点分别为，，AB的中点为，根据韦达定理求出点P的坐标，再将点P的坐标代入双曲线M渐近线上，即可求出，问题得以解决。