函数基本性质经典例题

函数的基本性质组合卷

1、已知56)(2

+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是递增的，则)1(f 的取值范围是（ ） A.[)35∞，+ B.()35+∞， C.(]35-∞， D.()∞-，35 解析：

对称轴212

2-≤=-

=m

a b x 24-≤m m f -=11)1(),35[+∞∈

答案：A

2、函数①|x |y =，②x

|

x |y =，③|x |x y 2-=，④|x |x x y +=中，在)0,(-∞上为增函数的有（ ）

A 、①和④

B 、②和③

C 、③和④

D 、②和④

解析：

（提示：首先将各函数表达式化简，然后予以判断）

∵)0,(x -∞∈，将各函数式化简，即①x y -=，②1y -=，③x y =，④1x y -=。由增函数的定义，易知③

和④是增函数。 答案：C

3、函数x 21x y --=的最大值为（ ）。 A.0 B.

12 C.1 D.3

2

解析：函数的定义域为x 21y x y ,21x |x --==⎭⎬⎫⎩

⎨⎧

≤

及均在]2

1

,(-∞上单调递增。 ∴]21,(x 21x y -∞--=在上单调递增，x 21x y ,2

1

21f )x (f --=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤的最大值为21。

答案：B

4、若函数)a x ()1x (y -⋅+=为偶函数，则a 等于（ ） A 、2- B 、1- C 、1 D 、2

解析：∵a x )a 1(x )a x )(1x (y 2--+=-+=，函数y 是偶函数，)x (f )x (f =-∴，∴0a 1=-，∴a=1。 答案：C

5、设函数)x (f y =为奇函数，若3)2(f )1(f 3)1(f )2(f ++=--+-，则=+)2(f )1(f （ ）。 A.-1 B.-2 C.-3 D.0

解析：由)x (f 是奇函数得，)2(f )2(f -=-，3)2(f )1(f 3)1(f )2(f ),1(f )1(f ++=----=-，

3)2(f )1(f -=+

答案：C

6、若定义在R 上的函数)x (f 满足：对任意R x ,x 21∈有1)x (f )x (f )x x (f 2121++=+，则下列说法一定正确的是（ ）

A 、)x (f 为奇函数

B 、)x (f 为偶函数

C 、1)x (f +为奇函数

D 、1)x (f +为偶函数

解析：令0x x 21==，得1)0(f 2)0(f +=，所以1)0(f -=。

令12x x -=，得1)x (f )x (f )0(f 11+-+=，即1)x (f 1)x (f 11--=+-。所以1)x (f +为 奇函数。 答案：C

7、已知)x (f 在R 上是奇函数，且满足)x (f )4x (f =+，当)2,0(x ∈时，2x 2)x (f =，则)7(f =（ ） A 、2- B 、2 C 、98- D 、98

解析：)x (f )4x (f =+，∴212)1(f )1(f )87(f )7(f ,4T 2-=⨯-=-=-=-==。

答案：A

8、如果函数)x (f y =的图象与x 23y -=的图象关于坐标原点对称，则)x (f y =的表达式为（ ） A 、3x 2y -= B 、3x 2y += C 、3x 2y +-= D 、3x 2y --=

解析：

解析一：∵)1,1(M 在x 23y -=的图象上，点M 关于原点的对称点)1,1(N --只满足A 、B 、C 、D 中的3x 2y --=，故选D 。 解析二：根据)x (f y =关于原点对称的关系式为)x (f y -=-来求解。

∵x 23y )x (f y -==与的图象关于原点对称，又x 23y -=与x 23y +=-的图象关于原点对称，3x 2)x (f --=，故选D 。

答案：D

9、函数)x (f y =在]7a 2,1a [x +-∈上为奇函数，则=a （ ）。 A.-1 B.-2 C.-3 D.0

解析：定义域关于原点对称，即2a ),1a (7a 2-=∴--=+。

答案：B

12、)x (f 为偶函数，在),0[+∞上为减函数，若)3(f 021f >>⎪⎭

⎫

⎝⎛，则方程0)x (f =的根的个数为（ ）

A 、2个

B 、2个或1个

C 、2个或无数个

D 、无数个

解析：由)x (f 为偶函数且在),0[+∞上是减函数，有]0,()x (f -∞在上是增函数，又)3(f 021f >>⎪⎭

⎫

⎝⎛，∴

⎪⎭

⎫

⎝⎛-<<-21f 0)3(f ，则f （x ）=0的根有两个，故选A 。

答案：A

13、下列说法正确的有（ ）

①若I x ,x 21∈，当21x x <时，有)x (f )x (f 21<，则)x (f y =在I 上是增函数；

第13题解析：

分析：从函数单调性概念出发，逐个进行判断。

解：①函数单调性的定义是指定义在区间I 上的任意两个值21x ,x ，强调的是“任意”，所以不正确； ②2x y =在0x >时是增函数，x<0时是减函数，从而2x y =在整个定义域上不具有单调性，所以不正确；

③x

1

y -=在),0()0,(+∞-∞和分别都是增函数，但是在整个定义域内不是单调增函数，如53<-而)5(f )3(f >-，所以不正确；

④x 1

y =的单调递减区间不是),0()0,(+∞-∞Y 。而应写成),0()0,(+∞-∞和。所以不正确。

误区点拨：（1）函数的单调性是对于定义域内的某个区间而言的，有时函数在整个定义域内可能是单调的，如一次函数；

（2）有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数； （3）还有的函数是非单调的，如常数函数；

（4）对于在整个定义域上不是严格单调的函数，应注意单调区间的写法。如④ 答案：A

14、定义在R 上的函数)x (f 对任意两个不等实数y ,x ，总有0y

x )

y (f )x (f <--成立，则必有（ ）

A 、函数)x (f 在R 上是增函数

B 、函数)x (f 在R 上是减函数

C 、函数)x (f 在R 上是常数函数

D 、函数)x (f 在R 上的单调性不确定

解析：由y x )y (f )x (f 0y

x )

y (f )x (f --<--与得异号，

得当y x >时，)y (f )x (f <。当y x <时，)y (f )x (f >，说明)x (f 在R 上是减函数。 15、（创新题）已知x 2x )x (g |,x |23)x (f 2-=-=，⎩⎨⎧<≥=)

x (g )x (f ),x (f )x (g )x (f ),x (g )x (F 若若，则F （x ）的最值是（ ）

A 、最大值为3，最小值为1-

B 、最大值为727-，无最小值

C 、最大值为3，无最小值

D 、无最大值，无最小值

解析：此题可借助图象，1)1x (x 2x )x (g ,)

0x (,x 23)

0x (,x 23)x (f 22--=-=⎩⎨

⎧<+≥-=。将)x (f 、g(x)的图象画出，然后得出⎩⎨

⎧<≥=)

x (g )x (f ),x (f )x (g )x (f ),x (g )x (F 若若的图象为如图所示的实线部分，

由图知。)x (F 无最小值，有最大值，即A 点的纵坐标由⎩⎨⎧-=+=x

2x y x 23y 2

得727y -=，

∴选为B

答案：B

16、设⎪⎩

⎪⎨⎧<=>+=)0(,0)0(,)

0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f （ ）

A ． 1+π

B ． 0

C ． π

D ． 1-

答案：A

解析：因为f{f[f(-1)]}=f[f(0)]=f(π)=π+1.