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相似综合练习(压轴题)含答案

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苏科版数学中考专题复习：图形的相似综合压轴题 专项练习题汇编(Word版,含答案)

苏科版数学中考专题复习：图形的相似综合压轴题 专项练习题汇编(Word版,含答案)

苏科版数学中考专题复习：图形的相似综合压轴题专项练习题汇编1．已知四边形ABCD中，M，N两点分别在AB，BD上，且满足∠MCN＝∠BDC．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，①求证：△ACM∽△DCN；②求证：DN+BM＝CD；（2）如图2，当四边形ABCD为菱形时，若∠BAD＝120°，试探究DN，BM，CD的数量关系．2．在△ABC中，CA＝CB＝m，在△AED中，DA＝DE＝m，请探索解答下列问题．【问题发现】（1）如图1，若∠ACB＝∠ADE＝90°，点D，E分别在CA，AB上，则CD与BE的数量关系是，直线CD与BE的夹角为；【类比探究】（2）如图2，若∠ACB＝∠ADE＝120°，将△AED绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD与BE之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由．【拓展延伸】（3）在（1）的条件下，若m＝2，将△AED绕点A旋转过程中，当B，E，D三点共线．请直接写出CD的长．3．已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．问题发现：（1）①如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G，则＝；②如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G，AB＝m，AD＝n，则＝；拓展研究：（2）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC＝180°时，求证：；解决问题：（3）如图4，若BA＝BC＝5，DA＝DC＝10，∠BAD＝90°，DE⊥CF于G，请直接写出的值．4．在等边△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，且AD＝CE，连接BD、AE相交于点F．（1）如图1，当时，＝；（2）如图2，求证：△AFD∽△BAD；（3）如图3，当时，猜想AF与BF的数量关系，并说明理由．5．如图1，点D是△ABC中AB边上一点，∠ACD＝∠B，BC2＝AB•BD．（1）求证：∠ADC＝∠ACB；（2）求∠ACB的度数；（3）将图1中的△BCD绕点C顺时针旋转得到△ECF，BD的对应边EF经过点A（如图2所示），若AC＝2，求线段CD的长．6．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点M为AB边上一个动点，连接DM，过点M作MN ⊥DM，且MN＝DM，连接DN．（1）如图①，连接BD与BN，BD交MN于点E．①求证：△ABD∽△MND；②求证：∠CBN＝∠DNM；（2）如图②，当AM＝4BM时，求证：A，C，N三点在同一条直线上．7．在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上，AB＝8，AD＝6．（1）如图1，当点G在CD上时，求AE+DG的值；（2）如图2，FG与CD相交于点N，连接EN，当EF平分∠AEN时，求证：EN＝AE+DN；（3）如图3，EG，FG分别交CD于点M，N，当MG2＝MN•MD时，求AE的值．8．【问题背景】如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，由已知可以得到：①△≌△；②△∽△．【尝试应用】如图2，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE ＝30°，求证：△ACE∽△ABD．【问题解决】如图3，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE ＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC上，，求的值．9．已知正方形ABCD中，点E是边CD上一点（不与C、D重合），将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，如图1，连接EF分别交AC、AB于点P、G．（1）请判断△AEF的形状；（2）求证：P A2＝PG•PF；（3）如图2，当点E是边CD的中点时，PE＝1，求AG的长．10．如图，等边△ABC的边长为12，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝4，点F 为BA延长线上一点，过点F作直线l∥BC，G为射线BC上动点，连接GD并延长交直线l于点H，连接FE并延长交BC于点M，连接HE并延长交射线BC于点N．（1）若AF＝4，当BG＝4时，求线段HF和EH的长；（2）若AF＝a（a＞0），点G在运动过程中，请判断△HGN的面积是否改变．若不变，求出其值（用含a的代数式表示）；若改变，请说明理由．11．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．（1）如图1，点D为AC上一点，DE∥BC交AB边于点E，若＝，求AD及DE的长；（2）如图2，折叠△ABC，使点A落在BC边上的点H处，折痕分别交AC、AB于点G、F，且FH∥AC．①求证：四边形AGHF是菱形；②求菱形的边长；（3）在（1）（2）的条件下，线段CD上是否存在点P，使得△CPH∽△DPE？若存在，求出PD的长；若不存在，请说明理由．12．如图①，AB∥MH∥CD，AD与BC相交于点M，点H在BD上．求证：．小明的部分证明如下：证明：∵AB∥MH，∴△DMH∽△DAB，∴．同理可得：＝，…．（1）请完成以上的证明（可用其他方法替换小明的方法）；（2）求证：；（3）如图②，正方形DEFG的顶点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，E、F在边BC 上，AN⊥BC，交DG于M，垂足为N，求证：．13．【问题情境】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①CD2＝AD•BD；②AC2＝AB•AD；③BC2＝AB•BD，这些结论是由古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”．（1）请证明“射影定理”中的结论③BC2＝AB•BD．【结论运用】（2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF．①求证：△BOF∽△BED．②若CE＝2，求OF的长．14．如图①，在正方形ABCD中，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，将△ABP沿直线AP翻折得到△AEP，点Q是CD的中点，连接BQ交AE于点F，若BQ∥PE．（1）求证：△ABF∽△BQC；（2）求证：BF＝FQ；（3）如图②，连接DE交BQ于点G，连接EC，GC，若FQ＝6，求△GBC的面积．15．如图1，已知等边△ABC的边长为8，点D在AC边上，AD＝2，点P是AB边上的一个动点．（1）连接PC、PD．①当AP＝时，△APD∽△ACP；②若△APD与△BPC相似，求AP的长度；（2）已知点Q在线段PB上，且PQ＝2．①如图2，若△APD与△BQC相似，则∠ACQ与∠PDC之间的数量关系是；②如图3，若E、F分别是PD、CQ的中点，连接EF，线段EF的长是否是一个定值，若是，求出EF的长，若不是，说明理由．16．（1）如图①，点E，F分别在正方形边AB，BC上，且AF⊥DE，请直接写出AF与DE的关系．（2）如图②，点E，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD上，且AF⊥EG，求证：．（3）如图③，在（2）的条件下，连接AG，过点G作AG的垂线与CF交于点H，已知BH＝3，HG＝5，GA＝7.5，求的值．17．【问题背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如图①所示的位置摆放，点B，C，E在同一条直线上，其中∠ECF＝90°．【初步探究】（1）如图②，将等腰直角三角形CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE，请直接写出BF与DE的数量关系与位置关系：；【类比探究】（2）如图③，将（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分别改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且，其他条件不变．①判断线段BF与DE的数量关系，并说明理由；②连接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF2+BE2的值．18．在相似的复习课中，同学们遇到了一道题：已知∠C＝90°，请设计三种不同方法，将Rt△ABC分割成四个小三角形，使每个小三角形与原三角形相似．（1）甲同学设计了如图1分割方法：D是斜边AB的中点，过D分别作DE⊥AC，DF ⊥BC，请判断甲同学的做法是否正确，并说明理由．（2）乙同学设计了如图2分割方法，过点D作FD⊥AB，DE⊥BC，连结EF，易证△ADF∽△ACB，△DEB∽△ACB，但是只有D在AB特殊位置时，才能证明另两个三角形与原三角形相似，李老师通过几何画板，发现∠A＝30°时，，∠A＝45°时，，∠A＝60°时，．猜测对于任意∠A，当＝（用AC，BC或AB相关代数式表示），结论成立．请补充条件并证明．（3）在普通三角形中，显然连结三角形中位线分割成四个小三角形与原三角形相似．你能参考乙同学的分割方法找到其他分割方法吗？请做出示意图并作适当分割说明（不要求证明过程）．19．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在AB边上，点E在AC边上，连接DE，取BC边的中点O，连接DO并延长到点F，使OF＝OD，连接CF，EF，令＝＝k．（1）①如图1，若k＝1，填空：＝；△ECF是三角形．②如图2，将①中△ADE绕点A旋转，①中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2所示情况给出证明；若不成立，请说明理由．（2）如图3，若k＝，AB＝AD，将△ADE由图1位置绕点A旋转，当点C，E，D三点共线时，请直接写出sin∠1的值．20．【基础探究】如图1，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB，AC为对角线，AD•CB＝DC•AC．（1）求证：AC平分∠DAB．（2）若AC＝8，AB＝12，则AD＝．【应用拓展】如图2，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB＝90°，AC为对角线，AD•CB ＝DC•AC，E为AB的中点，连结CE、DE，DE与AC交于点F．若CB＝6，CE＝5，请直接写出的值．参考答案1．（1）①证明：∵四边形ABCD为正方形∴∠ACD＝∠BDC＝∠BAC＝45°，又∵∠MCN＝∠BDC，∴∠MCN＝∠ACD＝45°，∴∠MCA+∠ACN＝∠ACN+∠DCN，∴∠MCA＝∠DCN，∴△ACM∽△DCN．②证明：由①可知：△ACM∽△DCN，∴，∴DN＝AM，∴AM+BM＝AB＝CD，∴DN+BM＝CD．（2）解：如图所示：连接AC，在DN上取一点P使∠PCD＝∠PDC＝30°，过P作PQ ⊥CD于Q，∴∠PCD＝∠PDC＝30°，∴∠NPC＝60°，又∵四边形ABCD为菱形且∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∴∠NPC＝∠BAC，又∵∠ACP＝∠ACD﹣∠PCD＝30°，∠MCN＝∠BDC＝30°，∵∠MCN＝∠ACP，∴∠MCA+∠ACN＝∠ACN+∠NCP，∴∠MCA＝∠NCP，∴△AMC∽△PNC，∴，∵，∴CD＝CP，∴，∴AM，∴AM＝PN，∴AM+MB＝AB＝CD，∴PN+MB＝CD，∴（DN﹣DP）+MB＝CD，∴（DN﹣CD）+MB＝CD，即DN﹣CD+MB＝CD，∴DN+MB＝2CD．2．解：（1）∵∠ACB＝∠ADE＝90°，CA＝CB，DA＝DE，∴∠A＝∠B＝∠DEA＝45°，∴AB＝AC＝m，AE＝AD＝m，∴CD＝AC﹣AD＝m，BE＝AB﹣AE＝m，∴BE＝CD，∵∠A＝45°，∴直线CD与BE的夹角为45°，故答案为：BE＝CD，45°；（2）不满足，BE＝CD，直线CD与BE的夹角为30°，理由如下：如图2，过点C作CH⊥AB于H，延长CD、BE交于点F，∵CA＝CB，∴AH＝HB，∵∠ACB＝∠ADE＝120°，CA＝CB，DA＝DE，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠DAE＝∠DEA＝30°，∴AC＝2CH，∠CAD＝∠BAE，由勾股定理得：AH＝AC，∴AB＝AC，同理可得：AE＝AD，∵∠CAD＝∠BAE，∴△CAD∽△BAE，∴＝＝，∠ACD＝ABE，∴BE＝CD，∠F＝∠CAB＝30°，∴BE＝CD，直线CD与BE的夹角为30°；（3）如图3，点E在线段BD上，∵m＝2，∴AD＝DE＝1，AB＝2，由勾股定理得：BD＝＝，∴BE＝BD﹣DE＝﹣1，∴CD＝BE＝，如图4，点D在线段BE上，BE＝BD+DE＝+1，∴CD＝BE＝，综上所述：当B，E，D三点共线．CD的长为或．3．（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵DE⊥CF，∴∠DGF＝90°＝∠ADC，∴∠ADE+∠EDC＝90°＝∠EDC+∠DCF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE≌△DCF（ASA），∴DE＝CF，故答案为：1；②解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，AB＝CD＝m，∵CF⊥DE，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，∵∠A＝∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴＝，故答案为：；（2）证明：如图所示，∠B+∠EGC＝180°，∠EGC+∠EGF＝180°，∴∠B＝∠EGF，在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM，∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，∵AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∵∠B＝∠EGF，∴∠EGF+∠A＝180°，∴∠AED＝∠CFM＝∠CMF，∴△ADE∽△DCM，∴，即；（3）解：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD，∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，∴四边形AMCN是矩形，∴AM＝CN，AN＝CM，在△BAD和△BCD中，，∴△BAD≌△BCD（SSS），∴∠BCD＝∠A＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC+∠CBM＝180°，∴∠MBC＝∠ADC，∵∠CND＝∠M＝90°，∴△BCM∽△DCN，∴，∴，∴CM＝x，在Rt△CMB中，CM＝x，BM＝AM﹣AB＝x﹣5，由勾股定理得：BM2+CM2＝BC2，∴（x﹣5）2+（x）2＝52，解得：x1＝0（舍去），x2＝8，∴CN＝8，∵∠A＝∠FGD＝90°，∴∠AED+∠AFG＝180°，∵∠AFG+∠NFC＝180°，∴∠AED＝∠CFN，∵∠A＝∠CNF＝90°，∴△AED∽△NFC，∴＝＝．4．解：（1）如图，∵∠ABC＝∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝CE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠EAC＝∠DBA，∵，∴点D是AC中点，且△ABC是等边三角形，∴∠DBA＝30°，∴∠EAC＝30°，∴∠BAE＝∠DBA＝30°，∴AF＝BF，∴，故答案为：1；（2）由（1）可得△ABD≌△CAE，∴∠EAC＝∠DBA，∵∠ADF＝∠BDA，∴△AFD∽△BAD；（3）由（1）可得△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，∠EAC＝∠DBA，∴∠BFE＝∠DBA+∠BAF＝∠EAC+∠BAF＝∠BAD＝60°，设AF＝x，BF＝y，AB＝AC＝BC＝n，AD＝CE＝1，BD＝AE＝m，∵∠EAC＝∠DBA，∠ADB＝∠ADB，∴△ADF∽△BDA，∴，∴①，∵∠BFE＝∠C＝60°，∠DBC＝∠DBC，∴△BFE∽△BCD，∴，∴②，①÷②得：，∴，∵，即n＝4，∴．5．（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB．∴∠ADC＝∠ACB．（2）解：∵BC2＝AB•BD，∴．又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD．∴∠ACB＝∠CDB．∵∠ADC+∠CDB＝180°，∠ADC＝∠ACB，∴∠ACB＝∠CDB＝∠ADC＝90°．（3）解：∵△BCD绕点C顺时针旋转得到△ECF，∴CE＝BC，∠E＝∠B．∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝∠E．∴AC＝AE．∵∠ADC＝90°，∴CE⊥AB．∴CD＝DE＝CE．∴∵△ADC∽△ACB，∴．∴AD＝•AC＝1，在Rt△ADC中，．6．证明：（1）①∵四边形ABCD为矩形，DM⊥MN，∴∠A＝∠DMN＝90°，∵AB＝6，AD＝4，MN＝DM，∴，∴△ABD∽△MND；②∵四边形ABCD为矩形，DM⊥MN，∴∠ABC＝∠DMN＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，由①得△ABD∽△MND，∴∠ABD＝∠DNM，又∵∠MEB＝∠DEN，∴△MBE∽△DNE，∴，又∵∠MED＝∠BEN，∴△DME∽△NBE，∴∠NBE＝∠DME＝90°，∴∠CBN+∠CBD＝90°，∴∠CBN＝∠DNM；（2）如图②，过点N作NF⊥AB，交AB延长线于点F，连接AC，AN，则∠NF A＝90°，∵四边形ABCD为矩形，AD＝4，AB＝6，∴∠A＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，，则∠ADM+∠AMD＝90°，∵AM＝4BM，AB＝6，∴AM＝AB＝，又∵DM⊥MN，∴∠DMN＝90°，∴∠AMD+∠FMN＝90°，∴∠ADM＝∠FMN，∴△ADM∽△FMN，∴，，∴MF＝6，FN＝，∴，∴，∵∠ABC＝∠AFN＝90°，∴△ABC∽△AFN，∴∠BAC＝∠F AN，∴A，C，N三点在同一条直线上．7．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，EF＝FG，∵∠EFG＝90°，∴∠AFE+∠DFN＝90°，∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠DFN＝∠AEF．∴△DFG≌△AEF（AAS），∴AF＝DG，AE＝DF，∴AE+DG＝AF+DF＝AD＝6；（2）证明：如图，延长NF，EA相交于H，∴∠HFE＝90°，∠HAF＝90°，∵∠HFE＝∠NFE，EF＝EF，∠HEF＝∠NEF，∴△HFE≌△NFE（ASA），∴FH＝FN，HE＝NE，∵∠AFH＝∠DFN，∠HAF＝∠D，∴△HF A≌△NFD（AAS），∴AH＝DN，∵EH＝AE+AH＝AE+DN，∴EN＝AE+DN；（3）解：如图，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，∴∠P＝90°，∵MG2＝MN•MD，∴＝，∵∠GMN＝∠DMG，∴△MGN∽△MDG，∴∠GDM＝45°，∠PDG＝45°，∴△PDG是等腰直角三角形，PG＝PD，∵∠AFE+∠PFG＝90°，∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠PFG＝∠AEF，∵∠A＝∠P＝90°，EF＝FG，∴△PFG≌△AEF（AAS），∴AF＝PG，AE＝PF，∴AE＝PD+DF＝AF+DF＝AD＝6．8．【问题背景】∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴△ABC∽△ADE．∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，故答案为：①△ABD≌△ACE；②△ABC∽△ADE．【尝试应用】∵△ABC∽△ADE，∴，∠CAB＝∠EAD，∴∠CAE＝∠BAD，∴△ACE∽△ABD；【问题解决】连接CE，由【尝试应用】知，△ABD∽△ACE，∴∠ACE＝∠ABD＝∠ADE＝30°，∵∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴，∵，∴，∵，∴．9．（1）解：△AEF是等腰直角三角形，理由如下：由旋转的性质可知：AF＝AE，∠F AE＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∠CAB＝45°，由（1）知∠AFE＝45°，∴∠P AG＝∠AFP＝45°，又∵∠APG＝∠FP A，∴△APG∽△FP A，∴，∴P A2＝PG•PF；（3）解：设正方形的边长为2a，∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，∴∠ABF＝∠D＝90°，DE＝BF，∵∠ABC＝90°，∴∠FBC＝180°，∴F，B，C三点共线，∵DE＝EC＝BF＝a，BC＝2a，∴CF＝3a，EF＝＝＝a，∵BG∥EC，∴BG：EC＝FB：CF＝FG：FE＝1：3，∴BG＝，AG＝，GE＝a，∵∠GAP＝∠EG＝45°，∠AGP＝∠EGA，∴△AGP∽△EGA，∴，∴AG2＝GP•GE，∴（）2＝（）×，∴a＝或a＝0（舍去），∴AG＝．10．解：（1）如图1，由题意可得：BD＝DF＝8，∵HF∥BC，∴∠HFD＝∠B，在△HFD和△GBD中，，∴△HFD≌△GBD（ASA），∴HF＝BG＝4，连接DE，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，∵AD＝AE＝4，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝4，∠ADE＝60°，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴DE∥FH，∵FH＝DE＝4，∴四边形DEFH是平行四边形，∴HE和DF互相平分，∵DA＝AF，∴HE经过点A，∴HE＝2AE＝8；（2）如图2，面积不变，理由如下：连接DE，作FK⊥BC于K，在Rt△BFK中，∠B＝60°，BF＝12+a，∴FK＝BF•sin60°＝，由（1）得，DE∥FH＝BC，∴△HDE∽△HGN，△HFD∽△GBD，∴，，∴，∴，∴，∴GN＝，∴S△HGN＝＝＝，11．解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴AD＝2，；（2）①由翻折不变性可知：AF＝FH，AG＝GH，∠AFG＝∠GFH，∵FH∥AC，∴∠AGF＝∠GFH，∴∠AGF＝∠AFG，∴AG＝AF，∴AG＝AF＝FH＝HG，∴四边形AGHF是菱形；②∵FH∥AC，∴△FBH∽△ABC，∴，又∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BH：FH：BF＝3：4：5，∴设BH＝3a，则FH＝AF＝4a，BF＝5a，∴4 a+5a＝10，∴，∴FH＝，即菱形的边长为；（3）在点P使得△CPH∽△DPE，理由如下：∵△CPH∽△DPE，∴，∵BH＝，∴CH＝，∴，∴．12．证明：（1）∴＝，两边都除以MH，得，；（2）如图1，作AE⊥BD于E，MF⊥BD于F，CG⊥BD于G，∴AE∥MF∥CG，∴，∵HH∥AB，∴，∴，同理可得：，由（1）得，，两边乘以，得，（3）如图2，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，∵，∴，∵四边形DEFG是正方形，∴MN＝DE＝DG，∴，两边都除以DG，得，．13．（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°＝∠ACB，∵∠CBD＝∠ABC，∴△CBD∽△ABC，∴，∴BC2＝AB•BD；（2）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，∴BC2＝BO•BD，∵CF⊥BE，∴BC2＝BF•BE，∴BO•BD＝BF•BE，即，∵∠OBF＝∠EBD，∴△BOF∽△BED；②解：在Rt△BCE中，∵BC＝6，CE＝2，∴BE＝＝2，∴DE＝4，BO＝3，由①知△BOF∽△BED，∴，∴，∴OF＝．14．（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CQB，由翻折的性质可知，∠E＝∠ABC＝90°∵PE∥BQ，∴∠AFB＝∠E＝90°，∴△AFB∽△BCQ；（2）证明：如图①中，设AB＝BC＝CD＝AD＝2a，∵Q是CD的中点，∴CQ＝QD＝a，∵∠C＝90°，∴BQ＝＝＝a，∵△AFB∽△BCQ，∴＝，∴＝，∴BF＝a，∴QF＝a，∴＝＝，∴BF＝QF；（3）解：如图②，建立如图平面直角坐标系，过点E作EH⊥AB于点T．∵BF＝FQ，FQ＝6，∴BF＝4，∴BQ＝BF+FQ＝4+6＝10，∴CQ＝2，AB＝BC＝CD＝AD＝4，∴Q（4，2），∴直线BQ的解析式为y＝x，∵∠EAT＝∠CBQ，∠ATE＝∠BCQ＝90°，∴△ATE∽△BCQ，∴＝＝，∴＝＝，∴AT＝8，ET＝4，∴BT﹣AB﹣AT＝4﹣8，∴E（4，4﹣8），∵D（4，4），∴直线DE的解析式为：y＝x+2﹣10，由，解得，∴G（4﹣4，2﹣2），∴S△BCG＝××（2﹣2）＝20﹣4．15．解：（1）①∵等边△ABC的边长为8，∴AC＝8，∵△APD∽△ACP，∴，∵AD＝2，∴，∴AP＝4，故答案为4；②∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝8，∠A＝∠B＝60°，∵△APD与△BPC相似，∴△APD∽△BPC或△APD∽△BCP，Ⅰ、当△APD∽△BPC时，，∴，∴AP＝，Ⅱ、当△APD∽△BCP时，，∴，∴AP＝4，即△APD与△BPC相似时，AP的长度为或4；（2）①∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝8，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵△APD与△BQC相似，∴△APD∽△BQC或△APD∽△BCQ，Ⅰ、当△APD∽△BQC时，∠APD＝∠BQC，∴∠PDC＝∠A+∠APD＝60°+∠APD＝60°+∠BQC，∴∠BQC＝∠PDC﹣60°，∴∠ACQ＝∠ACB﹣∠BCQ＝60°﹣（180°﹣∠B﹣∠BAC）＝∠B+∠BQC﹣120°＝60°+∠PDC﹣60°﹣120°＝∠PDC﹣120°，∴∠PDC+∠ACQ＝120°；Ⅱ、当△APD∽△BCQ时，∠APD＝∠BCQ，∴∠PDC＝∠A+∠APD＝60°+∠APD＝60°+∠BCQ，∴∠BCQ＝∠PDC﹣60°，∴∠ACQ＝∠ACB﹣∠BCQ＝60°﹣（∠PDC﹣60°）＝120°﹣∠PDC，∴∠ACQ+∠PDC＝120°，即满足条件的∠ACQ与∠PDC之间的数量关系是∠ACQ+∠PDC＝120°或∠PDC﹣∠ACQ＝120°；②线段EF的长是一个定值，为．如图，连接AE并延长至G，使AE＝GE，连接PG，QG，∵点E是DP的中点，∴DE＝PE，∵∠AED＝∠GEP，∴△AED≌△GEP（SAS），∴AE＝GE，PG＝AD＝2，∠ADE＝∠GPE，∴PG∥AD，∴∠QPG＝∠BAC＝60°，∵PQ＝2＝PG，∴△PQG为等边三角形，∴QG＝2，∠PQG＝60°＝∠B，∴QG∥BC，连接GF并延长交BC于H，∴∠FQG＝∠FCH，∵点F是CQ的中点，∴FQ＝FC，∵∠QFG＝∠CFH，∴△QFG≌△CFH（ASA），∴FG＝FH，CH＝QG＝2，连接AH，过点A作AM⊥BC于M，∴∠AMC＝90°，CM＝BC＝4，在Rt△AMC中，AC＝8，根据勾股定理得，AM2＝AC2﹣CM2＝82﹣42＝48，在Rt△AMH中，MH＝CM﹣CH＝2，根据勾股定理得，AH＝＝＝2，∵AE＝GE，FG＝FH，∴EF是△AHG的中位线，∴EF＝AH＝，即线段EF的长是一个定值．16．解：（1）∵AF⊥DE，∴∠ADE+∠DAF＝90°，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠DAF＝∠AED，∵∠ADE＝∠ABF＝90°，AD＝AB，∴△ADE≌△DAF（AAS），∴AF＝DE；（2）过点G作GM⊥BA交于点M，∵AF⊥EG，∴∠F AB+∠AEG＝90°，∵∠F AB+∠AFB＝90°，∴∠AEG＝∠AFB，∵∠GME＝∠ABF＝90°，∴△GME∽△ABF，∴＝，∵AD＝GM，∴；（3）连接AH，∵AG⊥GH，∴△AGH是直角三角形，∵HG＝5，GA＝7.5，∴AH＝，在Rt△ABH中，BH＝3，AH＝，∴AB＝，∵∠AGH＝90°，∴∠DGA+∠CGH＝90°，∵∠DGA+∠GAD＝90°，∴∠GAD＝∠CGH，∴△DAG∽△CGH，∴＝＝，∴＝＝，∴AD＝6，由（2）知，∴＝＝．17．解：（1）如图②，BF与CD交于点M，与DE交于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°，∵△ECF是等腰直角三角形，∴CF＝CE，∠ECF＝90°，∴∠BCD＝∠ECF，∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，∴∠BCF＝∠DCE，∴△BCF≌△DCE（SAS），∴BF＝DE，∠CBF＝∠CDE，∵∠BMC＝∠DMF，∠CBF+∠BMC＝90°，∴∠CDE+∠DMF＝90°，∴∠BND＝90°，∴BF⊥DE，故答案为：BF＝DE，BF⊥DE；（2）①如图③，，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠ECF＝90°，∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，∴∠BCF＝∠DCE，∵，∴△BCF∽△DCE，∴＝；②如图③，连接BD，∵△BCF∽△DCE，∴∠CBF＝∠CDE，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝12，∵CE＝6，，∴＝，∴CF＝8，BC＝16，∵∠DBO+∠CBF+∠BDC＝∠BDO+∠CDE+∠BDC＝∠DBO+∠BDO＝90°，∴∠BOD＝90°，∴∠DOF＝∠BOE＝∠EOF＝90°，在Rt△DOF中，DF2＝OD2+OF2，在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，在Rt△DOB中，DB2＝OD2+OB2，在Rt△EOF中，EF2＝OE2+OF2，∴DF2+BE2＝OD2+OF2+OB2+OE2＝DB2+EF2，在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2＝162+122＝400，在Rt△CEF中，EF2＝EC2+CF2＝62+82＝100，∴BD2+EF2＝400+100＝500，∴DF2+BE2＝500．18．解：（1）甲的做法正确，理由如下：∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC＝∠DFC＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴∠EDF＝90°，DE∥BC，DF∥AC，∴，△AED∽△ACB，△BFD∽△BCA，即：AE＝CE，同理可得：BF＝CF，∴DF∥AC，EF∥AB，∴四边形AEFD是平行四边形，△CEF∽△CAB，同理可得：四边形DEFB是平行四边形，∴∠EFD＝∠A，∵∠AED＝∠EDF，∴△AED∽△FDE，∴四个小三角形与△ABC相似；（2）当时，△EDF∽△AFD∽△FEC，理由如下：∵△ADF∽△ACB，△DEB∽△ACB，∴①，②，得，，∴DE＝EF，∵DE∥AF，∴四边形ADFE是平行四边形，由（1）可得，△DEF和△CEF与△ABC相似，故答案是：；（3）如图，根据和AC和AB及AB的长度找出点D的位置，然后作DE∥AC交BC于E，作EF∥AB交AC于F，连接DF即可．19．解：（1）①∵O是BC的中点，∴OB＝OC，在△BOD和△COF中，，∴△BOD≌△COF（SAS），∴CF＝BD，∠OCF＝∠B，∵AD＝AE，AB＝AC，∴BD＝CE，∴CE＝CF，即：，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠OCF+∠ACB＝90°，∴∠ECF＝90°，∴△ECF是等腰直角三角形，故答案是：1，等腰直角三角形，解：（2）如图1，仍然成立，理由如下：连接BD，由（1）得：CF＝BD，CF∥BD，∴∠CFO＝∠DBO，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，∴∠CAE＝∠BAD，在△CAE和△BAD中，，∴△CAE≌△BAD（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABD，∴CE＝CF，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠ACE+∠EAO+∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠EAO+∠ABC＝90°，∴∠EAO+∠DBO＝90°，∴∠EAO+∠CFO＝90°，∴∠FCE＝90°，∴＝1，△ECF是等腰直角三角形；（3）如图2，连接BD，作AG⊥CD于G，设AD＝a，则AB＝，AC＝a，AE＝，由（2）得：∠CAE＝∠BAD，CF＝BD，∵，∴△CAE∽△BAD，∴，∠ACD＝∠ABD，∴，同理（2）得：∠CEF＝90°，∴∠ECF＝∠EAD＝90°，∴点C、A、B、D共圆，∴∠1＝∠ACG，∵AD＝a，AE＝，∠DAE＝90°，∴DE＝，由S△ADE＝得，AG＝a，∴sin∠ACD＝＝＝，∴sin∠1＝．20．（1）证明：∵∠ADC＝∠ACB，，∴△ADC∽△ACB，∴∠DAC＝∠CAB，∴AC平分∠DAB；（2）解：∵△ADC∽△ACB，∴，∴AC2＝AB×AD，∵AC＝8，AB＝12，∴64＝12AD，∴AD＝，故答案为：；（3）解：∵∠ACB＝90°，点E为AB的中点，∴AB＝2CE＝10，∴AC＝8，∵△ADC∽△ACB，∴AD＝＝6.4，由（1）知∠DAC＝∠EAC，∵CE＝AE，∴∠ECA＝∠EAC，∴∠DAC＝∠ECA，∴△AFD∽△CFE，∴．。

上册数学压轴题练习(Word版 含答案) 汇编经典

上册数学压轴题练习(Word版 含答案) 汇编经典

上册数学压轴题练习（Word版含答案）汇编经典一、压轴题1．[ 问题提出 ]一个边长为 ncm(n⩾3)的正方体木块，在它的表面涂上颜色，然后切成边长为1cm的小正方体木块，没有涂上颜色的有多少块？只有一面涂上颜色的有多少块？有两面涂上颜色的有多少块？有三面涂上颜色的多少块？[ 问题探究 ]我们先从特殊的情况入手（1）当n=3时，如图（1）没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有1×1×1=1个小正方体；一面涂色的：在面上，每个面上有1个，共有6个；两面涂色的：在棱上，每个棱上有1个，共有12个；三面涂色的：在顶点处，每个顶点处有1个，共有8个．（2）当n=4时，如图（2）没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有2×2×2=8个小正方体：一面涂色的：在面上，每个面上有4个，正方体共有个面，因此一面涂色的共有个；两面涂色的：在棱上，每个棱上有2个，正方体共有条棱，因此两面涂色的共有个；三面涂色的：在顶点处，每个顶点处有1个，正方体共有个顶点，因此三面涂色的共有个…[ 问题解决 ]一个边长为ncm(n⩾3)的正方体木块，没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有______个小正方体；一面涂色的：在面上，共有______个；两面涂色的：在棱上，共有______个；三面涂色的：在顶点处，共______个。

[ 问题应用 ]一个大的正方体，在它的表面涂上颜色，然后把它切成棱长1cm的小正方体，发现有两面涂色的小正方体有96个，请你求出这个大正方体的体积．2．如图，已知数轴上两点A，B表示的数分别为﹣2，6，用符号“AB”来表示点A和点B 之间的距离．（1）求AB的值；（2）若在数轴上存在一点C，使AC＝3BC，求点C表示的数；（3）在（2）的条件下，点C位于A、B两点之间．点A以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，2秒后点C以2个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，到达B点处立刻返回沿着数轴的负方向运动，直到点A到达点B，两个点同时停止运动．设点A运动的时间为t ，在此过程中存在t 使得AC ＝3BC 仍成立，求t 的值．3．阅读下列材料:根据绝对值的定义，|x| 表示数轴上表示数x 的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P 、Q 表示的数为x 1，x 2时，点P 与点Q 之间的距离为PQ=|x 1-x 2|.根据上述材料，解决下列问题:如图，在数轴上，点A 、B 表示的数分别是-4, 8(A 、B 两点的距离用AB 表示)，点M 、N 是数轴上两个动点，分别表示数m 、n.(1)AB=_____个单位长度；若点M 在A 、B 之间，则|m+4|+|m-8|=______；(2)若|m+4|+|m-8|=20，求m 的值；(3)若点M 、点N 既满足|m+4|+n=6，也满足|n-8|+m=28，则m= ____ ；n=______.4．（1）如图，已知点C 在线段AB 上，且6AC cm =，4BC cm =，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，求线段MN 的长度；（2）若点C 是线段AB 上任意一点，且AC a =，BC b =，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，请直接写出线段MN 的长度；（结果用含a 、b 的代数式表示）（3）在（2）中，把点C 是线段AB 上任意一点改为：点C 是直线AB 上任意一点，其他条件不变，则线段MN 的长度会变化吗？若有变化，求出结果．5．如图，在三角形ABC 中，8AB =，16BC =，12AC =．点P 从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿A B C A →→→的方向运动，点Q 从点B 沿B C A →→的方向与点P 同时出发；当点P 第一次回到A 点时，点P ，Q 同时停止运动；用t （秒）表示运动时间．（1）当t 为多少时，P 是AB 的中点；（2）若点Q 的运动速度是23个单位长度/秒，是否存在t 的值，使得2BP BQ =； （3）若点Q 的运动速度是a 个单位长度/秒，当点P ，Q 是AC 边上的三等分点时，求a 的值．6．已知线段AD ＝80，点B 、点C 都是线段AD 上的点．（1）如图1，若点M 为AB 的中点，点N 为BD 的中点，求线段MN 的长；（2）如图2，若BC ＝10，点E 是线段AC 的中点，点F 是线段BD 的中点，求EF 的长； （3）如图3，若AB ＝5，BC ＝10，点P 、Q 分别从B 、C 出发向点D 运动，运动速度分别为每秒移动1个单位和每秒移动4个单位，运动时间为t 秒，点E 为AQ 的中点，点F 为PD 的中点，若PE ＝QF ，求t 的值．7．对于数轴上的,,A B C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两点的“倍联点”. 例如数轴上点,,A B C 所表示的数分别为1，3，4，满足2AB BC =，此时点B 是点,A C 的“倍联点”.若数轴上点M 表示3-，点N 表示6，回答下列问题：（1）数轴上点123,,D D D 分別对应0，3. 5和11，则点_________是点,M N 的“倍联点”，点N 是________这两点的“倍联点”；（2）已知动点P 在点N 的右侧，若点N 是点,P M 的倍联点，求此时点P 表示的数.8．如图①，已知线段30cm AB =，4cm CD =，线段CD 在线段AB 上运动，E 、F 分别是AC 、BD 的中点.（1）若8cm AC ，则EF =______cm ；（2）当线段CD 在线段AB 上运动时，试判断EF 的长度是否发生变化？如果不变请求出EF 的长度，如果变化，请说明理由；（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知COD ∠在AOB ∠内部转动，OE 、OF 分别平分AOC ∠和BOD ∠，则EOF ∠、AOB ∠和COD ∠有何数量关系，请直接写出结果不需证明.9．小刚运用本学期的知识，设计了一个数学探究活动.如图1，数轴上的点M ，N 所表示的数分别为0，12.将一枚棋子放置在点M 处，让这枚棋子沿数轴在线段MN 上往复运动（即棋子从点M 出发沿数轴向右运动，当运动到点N 处，随即沿数轴向左运动，当运动到点M 处，随即沿数轴向右运动，如此反复⋯）.并且规定棋子按照如下的步骤运动：第1步，从点M 开始运动t 个单位长度至点1Q 处；第2步，从点1Q 继续运动2t 单位长度至点2Q 处；第3步，从点2Q 继续运动3t 个单位长度至点3Q 处…例如：当3t =时，点1Q 、2Q 、3Q 的位置如图2所示.解决如下问题：（1）如果4t =，那么线段13Q Q =______；（2）如果4t <，且点3Q 表示的数为3，那么t =______；（3）如果2t ≤，且线段242Q Q =，那么请你求出t 的值.10．已知∠AOB ＝110°，∠COD ＝40°，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ．（1）如图1，当OB 、OC 重合时，求∠AOE ﹣∠BOF 的值；（2）如图2，当∠COD 从图1所示位置绕点O 以每秒3°的速度顺时针旋转t 秒（0＜t ＜10），在旋转过程中∠AOE ﹣∠BOF 的值是否会因t 的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，当∠COF ＝14°时，t ＝ 秒．11．（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？在①135︒，②120︒，③75︒，④25︒中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是_________；（填序号）（2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种.如图，他先用三角板画出了直线EF ，然后将一副三角板拼接在一起，其中45角（AOB ∠）的顶点与60角（COD ∠）的顶点互相重合，且边OA 、OC 都在直线EF 上.固定三角板COD 不动，将三角板AOB 绕点O 按顺时针方向旋转一个角度α，当边OB 与射线OF 第一次重合时停止.①当OB 平分EOD ∠时，求旋转角度α；②是否存在2BOC AOD ∠=∠？若存在，求旋转角度α；若不存在，请说明理由.12．设A 、B 、C 是数轴上的三个点，且点C 在A 、B 之间，它们对应的数分别为x A 、x B 、x C ．（1）若AC ＝CB ，则点C 叫做线段AB 的中点，已知C 是AB 的中点．①若x A ＝1，x B ＝5，则x c ＝ ；②若x A ＝﹣1，x B ＝﹣5，则x C ＝ ；③一般的，将x C 用x A 和x B 表示出来为x C ＝ ；④若x C ＝1，将点A 向右平移5个单位，恰好与点B 重合，则x A ＝ ；（2）若AC ＝λCB （其中λ＞0）．①当x A ＝﹣2，x B ＝4，λ＝13时，x C ＝ ． ②一般的，将x C 用x A 、x B 和λ表示出来为x C ＝ ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．[ 问题探究 ] (2)6,24;12,24；8,8；[ 问题解决]（n-2）3，（n-2）2,12（n-2），8；[ 问题解决 ] 1000cm 3.【解析】【分析】[ 问题探究 ] （2）根据（1）即可填写；[ 问题解决 ] 可根据（1）、（2）的规律填写；[ 问题应用 ] 根据[ 问题解决 ]知两面涂色的为n-12（2），由此得到方程n-12（2）=96， 解得n 的值即可得到边长及面积.【详解】[ 问题探究 ]（2）没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有2×2×2=8个小正方体：一面涂色的：在面上，每个面上有4个，正方体共有 6个面，因此一面涂色的共有24个；两面涂色的：在棱上，每个棱上有2个，正方体共有12 条棱，因此两面涂色的共有24个；三面涂色的：在顶点处，每个顶点处有1个，正方体共有8 个顶点，因此三面涂色的共有8 个…[ 问题解决 ]一个边长为ncm(n ⩾3)的正方体木块，没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有_32n -（） _____个小正方体；一面涂色的：在面上，共有__22n -（）____个； 两面涂色的：在棱上，共有__122n -（）____个； 三面涂色的：在顶点处，共_8____个。

相似综合练习(压轴题)含答案

相似综合练习(压轴题)含答案

相似综合练习（压轴题）一．选择题（共12小题）1．如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形（相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．6S2C．4S2+3S3D．3S1+4S32．如图，Rt△AOB∽Rt△DOC，∠ABO=30°，∠AOB=∠COD=90°，M为OA的中点，OA=6，将△COD绕点O旋转一周，直线AD，CB交于点P，连接MP，则MP的最小值是（）A．6﹣3B．6﹣6 C．3 D．3．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，点F是AB 的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2BD；③AD•BC=AE•AB；④2CD2=EH2．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D．①△OB1C∽△OA1D；②OA•OC=OB•OD；③OC•G=OD•F1；④F=F1．其中正确的说法有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．如图，正方形ABCD中，E为BC中点连接AE，DF⊥AE于点F，连接CF，FG ⊥CF交AD于点G，下列结论：①CF=CD；②G为AD中点；③△DCF∽△AGF；④=，其中结论正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC边，CD边的中点，AE、AF分别交BD于点G，H，设△AGH的面积为S1，平行四边形ABCD的面积为S2，则S1：S2的值为（）A．B．C．D．7．如图所示，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于M，N，下列结论：①AF⊥BG；②BN=NF；③=；④S四边形CGNF=S四边形ANGD．其中正确的结论的序号是（）A．①③B．②④C．①②D．③④8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与四边形BCEF的面积之比为（）A．9：16 B．9：19 C．9：28 D．3：49．如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=2BG，S△BPG=1，则S▱AEPH=（）A．3 B．4 C．5 D．610．如图，在正方形ABCD中，AD=6，点E是边CD上的动点（点E不与端点C，D重合），AE的垂直平分线FG分别交AD，AE，BC于点F，H，G，当时，DE的长为（）A．2 B．C．D．411．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC 及AB的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，OD，连接CO并延长交AD于点M．则下列结论中：①FG=2AO；②OD∥HE；③=；④2OE2=AH•DE；⑤GO+BH=HC正确结论的个数有（）A．2 B．3 C．4 D．512．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD=60°，AD=AB，连接OE．下列结论：①S▱ABCD=AD•BD；②DB平分∠CDE；③AO=DE；④S△ADE =5S△OFE，其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共5小题）13．△AOC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA=4，将△AOC绕O点，逆时针旋转90°得到△A1OC1，A1C1，交y轴于B（0，2），若△C1OB∽△C1A1O，则点C1的坐标．14．已知，如图，P为△ABC中线AD上一点，AP：PD=2：1，延长BP、CP分别交AC、AB于点E、F，EF交AD于点Q．（1）PQ=EQ；（2）FP：PC=EC：AE；（3）FQ：BD=PQ：PD；（4）S△FPQ ：S△DCP=S PEF：S△PBC．上述结论中，正确的有．15．如图，在形状和大小不确定的△ABC中，BC=8，E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=y，PE=x．当CQ=CE（n为不小于2的常数）时，y与x之间的函数关系式为（不用写自变量的取值范围）．16．如图，平行四边形ABCD中，BC=12cm，P、Q是三等分点，DP延长线交BC 于E，EQ延长线交AD于F，则AF=．17．如图，已知CO1是△ABC的中线，过点O1作O1E1∥AC交BC于点E1，连接AE1交CO1于点O2；过点O2作O2E2∥AC交BC于点E2，连接AE2交CO1于点O3；过点O3作O3E3∥AC交BC于点E3，…，如此继续，可以依次得到点O4，O5，…，O n和点E4，E5，…，E n，则O2016E2016=AC．三．解答题（共6小题）18．如图1，在直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，且点C坐标为（4，3），将△CEF沿EF对折后，C 点恰好落在OB上．（1）求k的值；（2）如图2，在直角坐标系中，P点坐标为（2，﹣3），请在双曲线上找两点M、N，使四边形OPMN是平行四边形，求M、N的坐标．19．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．20．如图，在矩形ABCD中，EH垂直平分BD，交BD于点M，过BD上一点F作FG∥BE，FG恰好平分∠EFD，FG与EH交于点N．（1）求证：DE•DG=DF•BF；（2）若AB=3，AD=9，求FN的长．21．如图在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且∠ADE=∠B，∠ADF=∠C，线段EF交线段AD于点G．（1）求证：AE=AF；（2）若，求证：四边形EBDF是平行四边形．22．如图1，△ABC中，点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上，且BE=CD，EP∥AC交直线CD于点P，交直线AB于点F，∠ADP=∠ACB．（1）图1中是否存在与AC相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；（2）若将“点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上”改为“点D在线段BA延长线上，点E在线段BC延长线上”，其他条件不变（如图2）．当∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2时，求线段PE的长．23．如图，∠C=90°，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连接AB．点P 从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC的方向运动，到点C停止．当点P与B、C两点不重合时，作PD⊥BC交AB于点D，作DE⊥AC于点E．F为射线CB上一点，使得∠CEF=∠ABC．设点P运动的时间为x秒．（1）用含有x的代数式表示CE的长．（2）求点F与点B重合时x的值．（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）．求y与x之间的函数关系式．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形（相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．6S2C．4S2+3S3D．3S1+4S3【解答】解：如图，由A、B、C三种直角三角形相似，设相似比为k，EF=m，则GH=mk，FH=mk2．∴EH=m（1+k2），FM=，FK=km（1+k2），则有：Km（1+k2）+mk=，整理得：k4+k2﹣1=0，∴k2=或（舍弃），∴S2=S1，S3=（）2S1=S1，∴S2+S3=S1，∴这个矩形的面积=2S1+2（S2+S3）=4S1，故选：A．2．如图，Rt△AOB∽Rt△DOC，∠ABO=30°，∠AOB=∠COD=90°，M为OA的中点，OA=6，将△COD绕点O旋转一周，直线AD，CB交于点P，连接MP，则MP的最小值是（）A．6﹣3B．6﹣6 C．3 D．【解答】解：取AB的中点S，连接MS、PS，则PS﹣MS≤PM≤MS+PS，∵∠AOB=90°，OA=6，∠ABO=30°，∴AB=2OA=12，OB=6∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠COB=∠DOA，∵△AOB∽△DOC，∴=，∴△COB∽△DOA，∴∠OBC=∠OAD，∵∠OBC+∠PBO=180°，∴∠OAD+∠PBO=180°，∠AOB+∠APB=180°，∴∠APB=∠AOB=90°，又S是AB的中点，∴PS=AB=6，∵M为OA的中点，S是AB的中点，∴MS=OB=3，∴MP的最小值为6﹣3，故选：A．3．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，点F是AB 的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2BD；③AD•BC=AE•AB；④2CD2=EH2．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高，∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，∵点F是AB的中点，∴FD=AB，∵∠ABE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=BE，∵点F是AB的中点，∴FE=AB，∴FD=FE，①正确；∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠C，∴AB=AC，∵AD⊥BC，∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，在△AEH和△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA），∴AH=BC=2CD，②正确；∵•BC•AD=•AC•BE，∵AC=AB，BE=AE，∴BC•AD=AE•AB，故③正确，首先证明sin22.5°=，如图所示：AB=BE=a，AE=EC=a，AC=a∴sin22.5°==∵△ACD∽△BCE，∴===，∴=2+2，∵EH=EC，∴CD2=（2+2）EH2．故选：D．4．如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D．①△OB1C∽△OA1D；②OA•OC=OB•OD；③OC•G=OD•F1；④F=F1．其中正确的说法有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，∴B1C∥A1D，∴△OB1C∽△OA1D，故①正确；∴=，由旋转的性质得，OB=OB1，OA=OA1，∴OA•OC=OB•OD，故②正确；由杠杆平衡原理，OC•G=OD•F1，故③正确；∴===是定值，∴F1的大小不变，∴F=F1，故④正确．综上所述，说法正确的是①②③④．故选：D．5．如图，正方形ABCD中，E为BC中点连接AE，DF⊥AE于点F，连接CF，FG ⊥CF交AD于点G，下列结论：①CF=CD；②G为AD中点；③△DCF∽△AGF；④=，其中结论正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：如图，作CM⊥DF于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∴DAB=∠B=∠ADC=90°，∵∠ADF+∠CDF=90°，∠CDF+∠DCM=90°，∴∠ADF=∠DCM，∵DF⊥AE，CM⊥DF，∴∠AFD=∠CMD=90°，∴△DAF≌△CDM，∴CM=DF，DM=AF，∵∠ADF+∠DAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠ADF，∵BE=CE，∴AB=2BE，∴tan∠BAE=tan∠ADF==，∴=，∴DM=MF，∵CM⊥DF，∴CD=CF，故①正确，∴∠CDF=∠CFD，∵∠CDG=∠CFG=90°，∴∠GFD=∠GDF，∴GF=GD，∵∠GDF+∠DAF=90°，∠GFD+∠AFG=90°，∴∠GAF=∠GFA，∴GF=GA，∴GD=GA，∴G是AD中点，故②正确，∵∠AFD=∠GFC，∴∠AFG=∠CFD，∠GAF=∠CDF，∴△DCF∽△AGF，故③正确，设AF=a，则DF=2a，AB=a，BE=a，∴AE=a，EF=a，∴=，故④正确，故选：D．6．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC边，CD边的中点，AE、AF分别交BD于点G，H，设△AGH的面积为S1，平行四边形ABCD的面积为S2，则S1：S2的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∵DF=CF ，BE=CE ， ∴==，==，∴==， ∴BG=GH=DH ，∵△AGH 的面积为S 1，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH =S 1，∴S 平行四边形ABCD =6S 1，∴S 1：S 2，=1：6，故选：A ．7．如图所示，正方形ABCD 中，BE=EF=FC ，CG=2GD ，BG 分别交AE ，AF 于M ，N ，下列结论：①AF ⊥BG ；②BN=NF ；③=；④S 四边形CGNF =S 四边形ANGD ．其中正确的结论的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④【解答】解：①∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC=CD ，∵BE=EF=FC ，CG=2GD ，∴BF=CG ，∵在△ABF 和△BCG 中，，∴△ABF ≌△BCG ，∴∠BAF=∠CBG ，∵∠BAF +∠BFA=90°，∴∠CBG +∠BFA=90°，即AF ⊥BG ；①正确；②∵在△BNF和△BCG中，∠CBG=∠NBF，∠BCG=∠BNF=90°，∴△BNF∽△BCG，∴==，∴BN=NF；②错误；③作EH⊥AF，令AB=3，则BF=2，BE=EF=CF=1，AF==，∵S△ABF=AF•BN=AB•BF，∴BN=，NF=BN=，∴AN=AF﹣NF=，∵E是BF中点，∴EH是△BFN的中位线，∴EH=，NH=，BN∥EH，∴AH=，=，解得：MN=，∴BM=BN﹣MN=，MG=BG﹣BM=，∴=；③正确；④连接AG，FG，根据③中结论，则NG=BG﹣BN=，∵S四边形CGNF =S△CFG+S△GNF=CG•CF+NF•NG=1+=，S 四边形ANGD =S △ANG +S △ADG =AN•GN +AD•DG=+=，∴S 四边形CGNF ≠S 四边形ANGD ，④错误；故选：A ． 8．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与四边形BCEF 的面积之比为（ ）A ．9：16B ．9：19C ．9：28D ．3：4【解答】解：连接BE∵DE ：EC=3：1∴设DE=3k ，EC=k ，则CD=4k∵ABCD 是平行四边形∴AB ∥CD ，AB=CD=4k∴∴S △EFD ：S △BEF =3：4∵DE ：EC=3：1∴S △BDE ：S △BEC =3：1设S △BDE =3a ，S △BEC =a则S △EFD =，S △BEF =∴S BCEF =S △BEC +S △BEF =∴则△DEF 的面积与四边形BCEF 的面积之比9：19故选：B ．9．如图，在▱ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，且CG=2BG ，S △BPG =1，则S ▱AEPH =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：∵EF ∥BC ，GH ∥AB ，∴四边形HPFD 、BEPG 、AEPH 、CFPG 为平行四边形，∴S △PEB =S △BGP ，同理可得S △PHD =S △DFP ，S △ABD =S △CDB ，∴S △ABD ﹣S △PEB ﹣S △PHD =S △CDB ﹣S △BGP ﹣S △DFP ，即S 四边形AEPH =S 四边形PFCG ．∵CG=2BG ，S △BPG =1，∴S 四边形AEPH =S 四边形PFCG =4×1=4，故选：B ．10．如图，在正方形ABCD 中，AD=6，点E 是边CD 上的动点（点E 不与端点C ，D 重合），AE 的垂直平分线FG 分别交AD ，AE ，BC 于点F ，H ，G ，当时，DE 的长为（ ）A ．2B ．C ．D ．4【解答】解：如图作GM ⊥AD 于M ．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB=∠B=∠GMA=90°，∴四边形ABGM 是矩形，∴AB=GM=AD，∵FG⊥AE，∴∠AHF=90°，∵∠DAE+∠AFH=90°，∠AFH+∠FGM=90°，∴∠DAE=∠MGF，∵∠D=∠GMF=90°，∴△ADE≌△GMF，∴AE=FG，设FH=a，则FG=AE=5a，∵FG垂直平分线段AE，∴AH=HE=2.5a，∵tan∠FAH===，AD=6，∴DE=，故选：B．11．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC 及AB的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，OD，连接CO并延长交AD于点M．则下列结论中：①FG=2AO；②OD∥HE；③=；④2OE2=AH•DE；⑤GO+BH=HC正确结论的个数有（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：①如图，过G作GK⊥AD于K，∴∠GKF=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE=90°，AD=AB=GK，∴∠ADE=∠GKF，∵AE⊥FH，∴∠AOF=∠OAF+∠AFO=90°，∵∠OAF+∠AED=90°，∴∠AFO=∠AED，∴△ADE≌△GKF，∴FG=AE，∵FH是AE的中垂线，∴AE=2AO，∴FG=2AO，故①正确；②∵FH是AE的中垂线，∴AH=EH，∴∠HAE=∠HEA，∵AB∥CD，∴∠HAE=∠AED，Rt△ADE中，∵O是AE的中点，∴OD=AE=OE，∴∠ODE=∠AED，∴∠HEA=∠AED=∠ODE，当∠DOE=∠HEA时，OD∥HE，但AE＞AD，即AE＞CD，∴OE＞DE，即∠DOE≠∠HEA，∴OD与HE不平行，故②不正确；③设正方形ABCD的边长为2x，则AD=AB=2x，DE=EC=x，∴AE=x，AO=，易得△ADE∽△HOA，∴，∴，∴HO=x，Rt△AHO中，由勾股定理得：AH==，∴BH=AH﹣AB=﹣2x=，∴=，延长CM、BA交于R，∵RA∥CE，∴∠ARO=∠ECO，∵AO=EO，∠ROA=∠COE，∴△ARO≌△ECO，∴AR=CE，∵AR∥CD，∴，∴，∴，故③正确；④由①知：∠HAE=∠AEH=∠OED=∠ODE，∴△HAE∽△ODE，∴，∵AE=2OE，OD=OE，∴OE•2OE=AH•DE，∴2OE2=AH•DE，故④正确；⑤由③知：HC==x，∵AE=2AO=OH=x，tan∠EAD=，∵AO=，∴OF=x，∵FG=AE=x，∴OG=x﹣=x，∴OG+BH=x+x，∴OG+BH≠HC，故⑤不正确；本题正确的有；①③④，3个，故选：B．12．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD=60°，AD=AB，连接OE．下列结论：①S▱ABCD=AD•BD；②DB平分∠CDE；③AO=DE；④S△ADE =5S△OFE，其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED，∴△ADE是等边三角形，∴AD=AE=AB，∴E是AB的中点，∴DE=BE，∴∠BDE=∠AED=30°，∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∴S▱ABCD=AD•BD，故①正确；∵∠CDE=60°，∠BDE30°，∴∠CDB=∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正确；∵Rt△AOD中，AO＞AD，∴AO＞DE，故③错误；∵O是BD的中点，E是AB的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥AD，OE=AD，∴△OEF∽△ADF，∴S△ADF =4S△OEF，且AF=2OF，∴S△AEF =2S△OEF，∴S△ADE =6S△OFE，故④错误；故选：B．二．填空题（共5小题）13．△AOC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA=4，将△AOC绕O点，逆时针旋转90°得到△A1OC1，A1C1，交y轴于B（0，2），若△C1OB∽△C1A1O，则点C1的坐标（，）．【解答】解：如图作C1H⊥x轴于H．∵△C1OB∽△C1A1O，∴==，∵tan∠C1A1H===，设C1H=m，则A1H=2m，OH=2m﹣4，∴A1C1=m，OC1=，∴m=2，解得m=或（舍弃），∴C1（，）．14．已知，如图，P为△ABC中线AD上一点，AP：PD=2：1，延长BP、CP分别交AC、AB于点E、F，EF交AD于点Q．（1）PQ=EQ；（2）FP：PC=EC：AE；（3）FQ：BD=PQ：PD；（4）S△FPQ ：S△DCP=S PEF：S△PBC．上述结论中，正确的有（3）（4）．【解答】解：延长PD到M，使DM=PD，连接BM、CM，∵AD是中线，∴BD=CD，∴四边形BPCM是平行四边形，∴BP∥MC，CP∥BM，即PE∥MC，PF∥BM，∴AE：AC=AP：AM，AF：AB=AP：AM，∴AF：AB=AE：AC，∴EF∥BC；∴△AFQ∽△ABD，△AEQ∽△ACD，∴FQ：BD=EQ：CD，∴FQ=EQ，而PQ与EQ不一定相等，故（1）错误；∵△PEF∽△PBC，△AEF∽△ACB，∴PF：PC=EF：BC，EF：BC=AE：AC，∴PF：PC=AE：AC，故（2）错误；∵△PFQ∽△PCD，∴FQ：CD=PQ：PD，∴FQ：BD=PQ：PD；故（3）正确；∵EF∥BC，∴S△FPQ ：S△DCP=（）2，S△PEF：S△PBC=（）2，∴S△FPQ ：S△DCP=S PEF：S△PBC．故（4）正确．故答案为：（3）（4）．15．如图，在形状和大小不确定的△ABC中，BC=8，E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=y，PE=x．当CQ=CE（n为不小于2的常数）时，y与x之间的函数关系式为（不用写自变量的取值范围）y=8（n﹣1）﹣x．【解答】解：如图，延长BQ交EF于K，∵EK∥BC，∴∠EKB=∠KBC，又∵BQ为∠CBP的平分线，∴∠PBK=∠KBC，∴∠EKB=∠PBK，∴PB=PK=y．∵CQ=CE，∴EQ=（1﹣）CE，∵E，F为AB、AC的中点，∴∠KEQ=∠BCQ，∠EKQ=∠CBQ，∴△EQK∽△CQB，∴=，即=，解得y=8（n﹣1）﹣x．故答案为：y=8（n﹣1）﹣x．16．如图，平行四边形ABCD中，BC=12cm，P、Q是三等分点，DP延长线交BC 于E，EQ延长线交AD于F，则AF=3．【解答】解：如图，延长DP交AB的延长线于M，∵DC∥AB，∴△DCP∽△MAP，∴，∴AM=2CD，∴BM=CD，又∵AD∥BE，∴△CDE≌△BME，∴BE=CE=BC=6cm，∵AD∥BC，∴△AFQ∽△CEQ，则，∴AF=CE=3cm．故填空答案：3cm．17．如图，已知CO1是△ABC的中线，过点O1作O1E1∥AC交BC于点E1，连接AE1交CO1于点O2；过点O2作O2E2∥AC交BC于点E2，连接AE2交CO1于点O3；过点O3作O3E3∥AC交BC于点E3，…，如此继续，可以依次得到点O4，O5，…，O n和点E4，E5，…，E n，则O2016E2016=AC．【解答】解：∵O1E1∥AC，∴∠BO1E1=∠BAC，∠BE1O1=∠BCA，∴△BO1E1∽△BAC，∴=．∵CO1是△ABC的中线，∴==．∵O1E1∥AC，∴∠O1E1O2=∠CAO2，∠E1O1O2=∠ACO2，∴△E1O1O2∽△ACO2，∴==．∵O2E2∥AC，∴==，∴O2E2=AC．同理：O n E n=AC．∴O2016E2016==．故答案为：．三．解答题（共6小题）18．如图1，在直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，且点C坐标为（4，3），将△CEF沿EF对折后，C 点恰好落在OB上．（1）求k的值；（2）如图2，在直角坐标系中，P点坐标为（2，﹣3），请在双曲线上找两点M、N，使四边形OPMN是平行四边形，求M、N的坐标．【解答】解：（1）设E（，3），F（4，），将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的G点，作EH⊥OB，垂足为H，∵∠EGH+∠HEG=90°∠EGH+∠FGB=90°，∴∠HEG=∠FGB，又∵∠EHG=∠GBF=90°，∴△EGH∽△GFB（AA），∴=，代入解得：GB==，在Rt△GBF中，GF2=GB2+BF2，代入得，解得；（2）平行四边形OPMN，可以看成线段PM沿PO的方向平移至ON处所得．设M（a，），∵P（2，﹣3）的对应点O（0，0），∴N（a﹣2，+3），代入反比例解析式得：（a﹣2）（+3）=，整理得4a2﹣8a﹣7=0，解得：a=，a=（舍去），==，﹣2=，+3=，所以M（，），N（，）或M（，）N（，）．19．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．【解答】解：（1）结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴==，∴CF=2DG．（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC 的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，∴EH=2DH=2，∴HM==2，∴DM=CN=NK==1，在Rt△DCK中，DK===2，∴△PCD的周长的最小值为10+2．20．如图，在矩形ABCD中，EH垂直平分BD，交BD于点M，过BD上一点F作FG∥BE，FG恰好平分∠EFD，FG与EH交于点N．（1）求证：DE•DG=DF•BF；（2）若AB=3，AD=9，求FN的长．【解答】（1）证明：如图．∵EH垂直平分BD，∴BE=DE，∠1=∠2．∵FG平分∠EFD，∴∠3=∠4．∴FG∥BE，∴∠4=∠5，∴∠3=∠5，∴△BEF∽△DFG，∴=，∵BE=DE，∴=，∴DE•DG=DF•BF；（2）解：设DE=x，则BE=x，∵AB=3，AD=9，∴AE=9﹣x．在Rt△ABE中，∵∠A=90°，∴AB2+AE2=BE2，即32+（9﹣x）2=x2，解得x=5．在Rt△ABD中，∵∠A=90°，AB=3，AD=9，∴BD==3，∴BM=DM=．由（1）得=，∵FG∥BE，∴=，∴=，∵BE=DE，∴BE2=BF•DB，∴BF===，∴FM=BM﹣BF=﹣=．∵FN∥BE，∴△MNF∽△MEB，∴=，即=，解得FN=．21．如图在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且∠ADE=∠B，∠ADF=∠C，线段EF交线段AD于点G．（1）求证：AE=AF；（2）若，求证：四边形EBDF是平行四边形．【解答】证明：（1）∵∠ADE=∠B，∠BAD=∠EAD，∴△BAD∽△DAE，∴=，∴AD2=AE•AB，同法可证：AD2=AF•AC，∴AE•AB=AF•AC，∵AB=AC，∴AE=AF．（2）∵△BAD∽△DAE，∴∠AED=∠ADB=∠DAC+∠C，∵∠DFC=∠DAC+∠ADF，∠ADF=∠C，∴∠AED=∠DFC，∵，∴△AED∽△CFD，∴∠ADE=∠CDF=∠B，∴DF∥BE，∵AE=AF，AB=AC，∴∠AEF=∠AFE，∠B=∠C，∵2∠AEF+∠BAC=180°，2∠B+∠BAC=180°，∴∠AEF=∠B，∴EF∥BC，∴四边形EBDF是平行四边形．22．如图1，△ABC中，点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上，且BE=CD，EP∥AC交直线CD于点P，交直线AB于点F，∠ADP=∠ACB．（1）图1中是否存在与AC相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；（2）若将“点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上”改为“点D在线段BA延长线上，点E在线段BC延长线上”，其他条件不变（如图2）．当∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2时，求线段PE的长．【解答】解：（1）AC=BF．证明如下：如图1，∵∠ADP=∠ACD+∠A，∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠ADP=∠ACB，∴∠BCD=∠A，又∵∠CBD=∠ABC，∴△CBD∽△ABC，∴=，①∵FE∥AC，∴=，②由①②可得，=，∵BE=CD，∴BF=AC；（2）如图2，∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠ACB=30°=∠ADP，∴∠BCD=60°，∠ACD=60°﹣30°=30°，∵PE∥AC，∴∠E=∠ACB=30°，∠CPE=∠ACD=30°，∴CP=CE，∵BE=CD，∴BC=DP，∵∠ABC=90°，∠D=30°，∴BC=CD，∴DP=CD，即P为CD的中点，又∵PF∥AC，∴F是AD的中点，∴FP是△ADC的中位线，∴FP=AC，∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴AB=AC，∴FP=AB=2，∵DP=CP=BC，CP=CE，∴BC=CE，即C为BE的中点，又∵EF∥AC，∴A为FB的中点，∴AC是△BEF的中位线，∴EF=2AC=4AB=8，∴PE=EF﹣FP=8﹣2=6．23．如图，∠C=90°，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连接AB．点P 从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC的方向运动，到点C停止．当点P与B、C两点不重合时，作PD⊥BC交AB于点D，作DE⊥AC于点E．F为射线CB上一点，使得∠CEF=∠ABC．设点P运动的时间为x秒．（1）用含有x的代数式表示CE的长．（2）求点F与点B重合时x的值．相似综合练习(压轴题)含答案 41 / 41（3）当点F 在线段CB 上时，设四边形DECP 与四边形DEFB 重叠部分图形的面积为y （平方单位）．求y 与x 之间的函数关系式．【解答】解：（1）∵∠C=90°，PD ⊥BC ，∴DP ∥AC ，∴△DBP ∽△ABC ，四边形PDEC 为矩形，∴，CE=PD ． ∴．∴CE=6x ； （2）∵∠CEF=∠ABC ，∠C 为公共角，∴△CEF ∽△CBA ， ∴． ∴． 当点F 与点B 重合时，CF=CB ，9x=20．解得．（3）当点F与点P 重合时，BP +CF=CB ，4x +9x=20，解得．当时，如图①，=﹣51x 2+120x ．当≤x ≤时，如图②， ==（20﹣4x ）2．（或）．。

上册数学压轴题练习(Word版 含答案)

上册数学压轴题练习(Word版 含答案)
请问： 的值是否随着时间 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值.
5．如图，数轴上点A、B表示的点分别为-6和3
（1）若数轴上有一点P，它到A和点B的距离相等，则点P对应的数字是________（直接写出答案）
（2）在上问的情况下，动点Q从点P出发，以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左移动，是否存在某一个时刻，Q点与B点的距离等于Q点与A点的距离的2倍？若存在，求出点Q运动的时间，若不存在，说明理由．
上册数学压轴题练习（Word版 含答案）
一、压轴题
1．如图，已知数轴上两点A，B表示的数分别为﹣2，6，用符号“AB”来表示点A和点B之间的距离．
（1）求AB的值；
（2）若在数轴上存在一点C，使AC＝3BC，求点C表示的数；
（3）在（2）的条件下，点C位于A、B两点之间．点A以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，2秒后点C以2个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，到达B点处立刻返回沿着数轴的负方向运动，直到点A到达点B，两个点同时停止运动．设点A运动的时间为t，在此过程中存在t使得AC＝3BC仍成立，求t的值．
2．概念学习：
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．
如： ， 等，类比有理数的乘方，我们把 记作 ，读作“2的3次商”， 记作 ，读作“ 的4次商”．一般地，我们把 个 相除记作 ，读作“ 的 次商”．
（1）直接写出结果： ______， ______．
（2）关于除方，下列说法错误的是（）
A．任何非零数的2次商都等于1
B．对于任何正整数 ，
C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ奇数次商互为相反数
D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．

九年级数学 相似三角形(压轴必刷30题专项训练)(解析版)

九年级数学 相似三角形(压轴必刷30题专项训练)(解析版)

相似三角形(压轴必刷30题专项训练)一．填空题(共9小题)1(2020秋•虹口区校级月考)一张等腰三角形纸片，底边长为15cm ，底边上的高长22.5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第6张．【分析】设第x 张为正方形，如图，△ADE ∽△ABC ，则DE BC =AM AN，从而计算出x 的值即可．【解答】解：如图，设第x 张为正方形，则DE =3(cm )，AM =(22.5-3x )(cm )，∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC =AM AN ，即315=22.5-3x 22.5，解得x =6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及正方形的性质，注：相似三角形的对应边之比等于对应边上的高之比．2(2019秋•浦东新区校级月考)如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果BE BC=23，那么BF FD =23．【分析】由平行四边形的性质可证△BEF ∽△DAF ，再根据相似三角形的性质得BE ：DA =BF ：DF 即可解．【解答】解：ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，BC =AD∴△BEF ∽△DAF∴BE ：DA =BF ：DF∵BC =AD∴BF ：DF =BE ：BC =2：3．【点评】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理和性质．3(2017秋•虹口区校级月考)如图，直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，在线段AB上取一点D ，作DF ⊥AB 交AC 于点F ，现将△ADF 沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点记为A 1；AD 的中点E 的对应点记为E 1，若△E 1FA 1∽△E 1BF ，则AD =165．【分析】利用勾股定理列式求出AC ，设AD =2x ，得到AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ，然后求出BE 1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF ，然后利用勾股定理列式求出E 1F ，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x 的值，从而可得AD 的值．【解答】解：∵∠ACB =90°，AB =10，BC =6，∴AC =AB 2-BC 2=102-62=8，设AD =2x ，∵点E 为AD 的中点，将△ADF 沿DF 折叠，点A 对应点记为A 1，点E 的对应点为E 1，∴AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ，∵DF ⊥AB ，∠ACB =90°，∠A =∠A ，∴△ABC ∽△AFD ，∴AD AC =DF BC ，即2x 8=DF 6，解得DF =32x ，在Rt △DE 1F 中，E 1F =DF 2+DE 12=3x 22+x 2=13x 2，又∵BE 1=AB -AE 1=10-3x ，△E 1FA 1∽△E 1BF ，∴E 1F A 1E 1=BE 1E 1F ，∴E 1F 2=A 1E 1•BE 1，即(13x 2)2=x (10-3x )，解得x =85，∴AD 的长为2×85=165．故答案为：165．【点评】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键．4(2021秋•普陀区校级月考)如图，在△ABC 中，4AB =5AC ，AD 为△ABC 的角平分线，点E 在BC 的延长线上，EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG =FD ，连接EG 交AC 于点H ．若点H 是AC 的中点，则AG FD的值为43．【分析】解题关键是作出辅助线，如解答图所示：第1步：利用角平分线的性质，得到BD =54CD ；第2步：延长AC ，构造一对全等三角形△ABD ≌△AMD ；第3步：过点M 作MN ∥AD ，构造平行四边形DMNG ．由MD =BD =KD =54CD ，得到等腰△DMK ；然后利用角之间关系证明DM ∥GN ，从而推出四边形DMNG 为平行四边形；第4步：由MN ∥AD ，列出比例式，求出AG FD的值．【解答】解：已知AD 为角平分线，则点D 到AB 、AC 的距离相等，设为h ．∵BD CD =S △ABD S △ACD =12AB ⋅h 12AC ⋅h =AB AC =54，∴BD =54CD ．如图，延长AC ，在AC 的延长线上截取AM =AB ，则有AC =4CM ．连接DM ．在△ABD 与△AMD 中，AB =AM ∠BAD =∠MAD AD =AD ∴△ABD ≌△AMD (SAS )，∴MD =BD =54CD ．过点M 作MN ∥AD ，交EG 于点N ，交DE 于点K ．∵MN ∥AD ，∴CK CD =CM AC =14，∴CK =14CD ，∴KD =54CD ．∴MD =KD ，即△DMK 为等腰三角形，∴∠DMK =∠DKM ．由题意，易知△EDG 为等腰三角形，且∠1=∠2；∵MN ∥AD ，∴∠3=∠4=∠1=∠2，又∵∠DKM =∠3(对顶角)∴∠DMK =∠1，∴DM ∥GN ，∴四边形DMNG 为平行四边形，∴MN =DG =2FD ．∵点H 为AC 中点，AC =4CM ，∴AH MH=23．∵MN ∥AD ，∴AG MN =AH MH ，即AG 2FD =23，∴AG FD =43．故答案为：43．方法二：如图，有已知易证△DFE ≌△GFE ，故∠5=∠B +∠1=∠4=∠2+∠3，又∠1=∠2，所以∠3=∠B ，则可证△AGH ∽△ADB设AB =5a ，则AC =4a ，AH =2a ，所以AG /AD =AH /AB =2/5，而AD =AG +GD ，故GD /AD =3/5，所以AG ：GD =2：3，F 是GD 的中点，所以AG ：FD =4：3．【点评】本题是几何综合题，难度较大，正确作出辅助线是解题关键．在解题过程中，需要综合利用各种几何知识，例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等，对考生能力要求较高．5(2022秋•普陀区校级月考)如图，点A 1，A 2，A 3，A 4在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3．若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为10.5．【分析】已知△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，且两三角形相似，因此可得出A 2B 2：A 3B 3=1：2，由于△A 2B 2A 3与△B 2A 3B 3是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底边之比，因此这两个三角形的面积比为1：2，根据△A 3B 2B 3的面积为4，可求出△A 2B 2A 3的面积，同理可求出△A 3B 3A 4和△A 1B 1A 2的面积．即可求出阴影部分的面积．【解答】解：△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，又∵A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2，∴∠OB 2A 2=∠OB 3A 3，∠A 2B 1B 2=∠A 3B 2B 3，∴△B 1B 2A 2∽△B 2B 3A 3，∴B 1B 2B 2B 3=12=A 2B 2A 3B 3，∴A 2A 3A 3A 4=12．∵S △A 2B 2A 3S △B 2A 3B3=12，△A 3B 2B 3的面积是4，∴△A 2B 2A 3的面积为=12×S △A 2B 2B 3=12×4=2(等高的三角形的面积的比等于底边的比)．同理可得：△A 3B 3A 4的面积=2×S △A 3B 2B 3=2×4=8；△A 1B 1A 2的面积=12S △A 2B 1B 2=12×1=0.5．∴三个阴影面积之和=0.5+2+8=10.5．故答案为：10.5．【点评】本题的关键是利用平行线证明三角形相似，再根据已给的面积，求出相似比，从而求阴影部分的面积．6(2017秋•徐汇区校级月考)设△ABC 的面积为1，如图①，将边BC 、AC 分别2等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 1；如图②将边BC 、AC 分别3等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 2；⋯，依此类推，则S n 可表示为　12n +1　．(用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)【分析】连接D 1E 1，设AD 1、BE 1交于点M ，先求出S △ABE 1=1n +1，再根据AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n 得出S △ABM ：S △ABE 1=(n +1)：(2n +1)，最后根据S △ABM ：1n +1=(n +1)：(2n +1)，即可求出S n ．【解答】解：如图，连接D 1E 1，设AD 1、BE 1交于点M ，∵AE1：AC =1：(n +1)，∴S △ABE 1：S △ABC =1：(n +1)，∴S △ABE 1=1n +1，∵AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n ，∴BM BE 1=n +12n +1，∴S △ABM ：S △ABE 1=(n +1)：(2n +1)，∴S △ABM ：1n +1=(n +1)：(2n +1)，∴S n =12n +1．故答案为：12n +1．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的面积，关键是根据题意作出辅助线，得出相似三角形．7(2018秋•南岗区校级月考)已知菱形ABCD 的边长是6，点E 在直线AD 上，DE =3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MC AM的值是　2或23　．【分析】由菱形的性质易证两三角形相似，但是由于点E 的位置未定，需分类讨论．【解答】解：分两种情况：(1)点E 在线段AD 上时，△AEM ∽△CBM ，∴MC AM =BC AE=2；(2)点E在线段AD的延长线上时，△AME∽△CMB，∴MCAM =BCAE=23．【点评】本题考查了相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．8(2020秋•虹口区校级月考)如图，在△ABC中，∠ACB的内、外角平分线分别交BA及其延长线于点D、E，BC=2.5AC，则ABAD+ABAE=5．【分析】根据CD平分∠ACB，可得ABDA=BCAC，根据CE平分∠ACB的外角，可得DEAE=BCAC，进而可得结果．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴AB DA =BC AC，∴BD+DADA =BC+ACAC，∴AB DA =BC+ACAC，①∵CE平分∠ACB的外角，∴DE AE =BC AC，∴BE-AEAE =BC-ACAC，∴AB AE =BC-ACAC，②①+②得，AB AD +ABAE=BC+ACAC+BC-ACAC=2BCAC=2×2.5=5．故答案为：5．【点评】主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的性质来分析、判断、推理或解答．9(2022秋•黄浦区校级月考)如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点P在BA的延长线上，PA=1 4AB，点D在BC边上，PD=PC，则CDBC的值是　34　．【分析】过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证PB =PE ，再证△PCE ≌△PDB ，可得BD =CE ，再利用平行线分线段成比例的PA AB=CE BC ，结合线段的等量关系以及比例的性质即可得出结论．【解答】解：如图，过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ，∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB ，∵AC ∥PE ，∴∠ACB =∠E ，∴∠B =∠E ，∴PB =PE ，∵PC =PD ，∴∠PDC =∠PCD ，∴∠BPD =∠EPC ，∴在△PCE 和△PDB 中，PC =PD ∠BPD =∠EPC PB =PE，∴△PCE ≌△PDB (SAS )，∴BD =CE ，∵AC ∥PE ，∴PA AB =CE BC ，∵PA =14AB ，∴CE BC =14，∴BD BC =14，∴CD BC =34．故答案为：34．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解决问题的关键是正确作出辅助线，列出比例式．二．解答题(共21小题)10(2017秋•虹口区校级月考)在△ABC 中，∠CAB =90°，AD ⊥BC 于点D ，点E 为AB 的中点，EC 与AD交于点G ，点F 在BC 上．(1)如图1，AC ：AB =1：2，EF ⊥CB ，求证：EF =CD ．(2)如图2，AC ：AB =1：，EF ⊥CE ，求EF ：EG 的值．【分析】(1)根据同角的余角相等得出∠CAD =∠B ，根据AC ：AB =1：2及点E 为AB 的中点，得出AC =BE ，再利用AAS 证明△ACD ≌△BEF ，即可得出EF =CD ；(2)作EH ⊥AD 于H ，EQ ⊥BC 于Q ，先证明四边形EQDH 是矩形，得出∠QEH =90°，则∠FEQ =∠GEH ，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ ∽△EGH ，得出EF ：EG =EQ ：EH ，然后在△BEQ 中，根据正弦函数的定义得出EQ =12BE ，在△AEH 中，根据余弦函数的定义得出EH =32AE ，又BE =AE ，进而求出EF ：EG 的值．【解答】(1)证明：如图1，在△ABC 中，∵∠CAB =90°，AD ⊥BC 于点D ，∴∠CAD =∠B =90°-∠ACB ．∵AC ：AB =1：2，∴AB =2AC ，∵点E 为AB 的中点，∴AB =2BE ，∴AC =BE ．在△ACD 与△BEF 中，∠CAD =∠B ∠ADC =∠BFE =90°AC =BE，∴△ACD ≌△BEF ，∴CD =EF ，即EF =CD ；(2)解：如图2，作EH ⊥AD 于H ，EQ ⊥BC 于Q ，∵EH ⊥AD ，EQ ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴四边形EQDH 是矩形，∴∠QEH =90°，∴∠FEQ =∠GEH =90°-∠QEG ，又∵∠EQF =∠EHG =90°，∴△EFQ ∽△EGH ，∴EF ：EG =EQ ：EH ．∵AC ：AB =1：3，∠CAB =90°，∴∠B =30°．在△BEQ 中，∵∠BQE =90°，∴sin B =EQ BE =12，∴EQ =12BE ．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH=EHAE =32，∴EH=32AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=12BE：32AE=1：3=3：3=33．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．11(2021秋•杨浦区校级月考)如图，已知在菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF、ED、DF，DE交AF于点G，且DE⊥EF．(1)求证：AE2=EG•ED；(2)求证：BC2=2DF•BF．【分析】(1)根据直角三角形的性质得到AE=FE，根据菱形的性质得到AD∥BC，求得∠DAG=∠AFB =90°，然后证明△AEG∽△DEA，即可得到结论；(2)由AE=EF，AE2=EG•ED，得到FE2=EG•ED，推出△FEG∽△DEF，根据相似三角形的性质得到∠EFG=∠EDF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB=90°，∵点E是AB的中点，∴AE=FE，∴∠EAF=∠AFE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAG=∠AFB=90°，∵DE⊥EF，∴∠FEG=90°，∴∠DAG=∠FEG，∵∠AGD=∠FGE，∴∠EFG=∠ADG，∴∠EAG=∠ADG，∵∠AEG=∠DEA，∴△AEG∽△DEA，∴AE DE =EG AE，∴AE2=EG•ED；(2)∵AE=EF，AE2=EG•ED，∴FE2=EG•ED，∴EF DE =EGEF，∵∠FEG=∠DEF，∴△FEG∽△DEF，∴∠EFG=∠EDF，∴∠BAF=∠EDF，∵∠DEF=∠AFB=90°，∴△ABF∽△DFE，∴AB DF =BF EF，∵四边形ACBD是菱形，∴AB=BC，∵∠AFB=90°，∵点E是AB的中点，∴FE=12AB=12BC，∴BC DF =BF12BC，∴BC2=2DF•BF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．12(2021秋•杨浦区校级月考)如图，已知在平行四边形ABCD中，AE：ED=1：2，点F为DC的中点，连接BE、AF，BE与AF交于点H．(1)求EH：BH的值；(2)若△AEH的面积为1，求平行四边形ABCD的面积．【分析】(1)延长AF，BC交于点G，证明△ADF≌△GCF(AAS)，可得AD=CG=BC，所以BG=2BC，根据AE：ED=1：2，可得AE：AD=1：3，AE：BG=1：6，，证明△AEH∽△GBH，即可解决问题；(2)在△AEH中，设AE=x，AE边上的高为h，△BGH中，BG边上的高为h′，可得平行四边形ABCD的高为h+h′，BC=3x，根据△AEH的面积为1，可得x•h=2，所以h′=6h，进而可以求平行四边形ABCD 的面积．【解答】解：(1)如图，延长AF，BC交于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∴∠D =∠DCG ，∠DAF =∠G ，∵点F 为DC 的中点，∴DF =CF ，在△ADF 和△GCF 中，∠D =∠FCG ∠DAF =∠G DF =CF，∴△ADF ≌△GCF (AAS )，∴AD =CG ，∴AD =CG =BC ，∴BG =2BC ，∵AE ：ED =1：2，∴AE ：AD =1：3，∴AE ：BG =1：6，∵AD ∥BC ，∴△AEH ∽△GBH ，∴EH ：BH =AE ：BG =1：6；(2)在△AEH 中，设AE =x ，AE 边上的高为h ，△BGH 中，BG 边上的高为h ′，∴平行四边形ABCD 的高为h +h ′，BC =3x ，∵△AEH 的面积为1，∴12x •h =1，∴x •h =2∵△AEH ∽△GBH ，∴h ：h ′=1：6，∴h ′=6h ，∴h +h ′=7h ，∴平行四边形ABCD 的面积=BC •(h +h ′)=3x •7h =21xh =42．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．13(2021春•徐汇区校级月考)如图，在菱形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在BC 的延长线上，EF =EB ，EF 与CD 相交于点G ；(1)求证：EG •GF=CG •GD ；(2)联结DF ，如果EF ⊥CD ，那么∠FDC 与∠ADC 之间有怎样的数量关系？证明你的结论．【分析】(1)先证明△BCE ≌△DCE ，得∠EDC =∠EBC ；利用此条件再证明∠DGE ∽△FGC ，即可得到EG •GF =CG •GD．(2)利用第(1)题的结论，可证明△DGE ∽△FGC ，再利用三角形内角外角关系，即可得到∠ADC 与∠FDC 的关系．【解答】解：(1)证明：∵点E 在菱形ABCD 的对角线AC 上，∴∠ECB =∠ECD ，∵BC =CD ，CE =CE ，∴△BCE ≌△DCE ，∴∠EDC =∠EBC ，∵EB =EF ，∴∠EBC =∠EFC ；∴∠EDC =∠EFC ；∵∠DGE =∠FGC ，∴△DGE ∽△FGC ；∴EGCG =GD FG∴EG •GF =CG •GD ；(2)∠ADC =2∠FDC ．证明：∵EG CG =GD FG ，∴EG DG =CG FG，又∵∠DGF =∠EGC ，∴△CGE ∽△FGD ，∵EF ⊥CD ，DA =DC ，∴∠DAC =∠DCA =∠DFG =90°-∠FDC ，∴∠ADC =180°-2∠DAC =180°-2(90°-∠FDC )=2∠FDC ．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、菱形的性质等知识点的综合应用，解题时注意：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．14(2021秋•宝山区校级月考)如图，四边形DEFG 是△ABC 的内接正方形，AB =BC =6cm ，∠B =45°，则正方形DEFG 的面积为多少？【分析】过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，于是得到△ABH 是等腰直角三角形，求得AH =BH =2222AB =32cm ，由△AGF ∽△ABC ，得到GF BC =AM AH，求得GF =(62-6)cm ，即可得到结论．【解答】解：过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，∵∠B =45°，∴AH =BH =22AB =32cm ，∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴GF BC =AM AH，即GF 6=32-GF 32，∴GF =(62-6)cm ，∴正方形DEFG 的面积=GF 2=(62-6)2=(108-722)cm ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的四条边都相等的性质，利用相似的性质：对应边的比值相等求出正方形的边长是解答本题的关键．15(2021秋•松江区月考)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为边BC 上一点，联结AE 并延长AE 交DC 的延长线于点M ，交BD 于点G ，过点G 作GF ∥BC 交DC 于点F ．求证：DF FC =DM CD．【分析】由GF ∥BC ，根据平行线分线段成比例定理，可得DF FC，又由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB =CD ，AB ∥CD ，继而可证得DM AB =DG BG ，则可证得结论．【解答】证明：∵GF ∥BC ，∴DF FC =DG BG，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∴DM AB =DG BG ，∴DF FC =DM CD．【点评】此题考查了平行分线段成比例定理以及平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16(2021秋•松江区月考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，DE 的延长线与BC 的延长线交于点F ．(1)求证：FD FC =BD DC ；(2)若BC FC =54，求BD DC的值．【分析】(1)根据直角三角形斜边上中线性质求出DE =EC ，推出∠EDC =∠ECD ，求出∠FDC =∠B ，根据∠F =∠F 证△FBD ∽△FDC ，即可；(2)根据已知和三角形面积公式得出S △BDC S △FDC =54，S △BDF S △FDC =94，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出S △BDFS △FDC =BD DC 2=94，即可求出BD DC．【解答】(1)证明：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC =90°，∵E 是AC 的中点，∴DE =EC ，∴∠EDC =∠ECD ，∵∠ACB =90°，∠BDC =90°∴∠ECD +∠DCB =90°，∠DCB +∠B =90°，∴∠ECD =∠B ，∴∠FDC =∠B ，∵∠F =∠F ，∴△FBD ∽△FDC ，∴FD FC =BD DC(2)解：∵BC FC =54，∴S △BDCS △FDC =54，∴S △BDFS △FDC =94，∵△FBD ∽△FDC ，∴S △BDF S △FDC =BD DC2=94，∴BD DC=32．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，注意：相似数据线的面积比等于相似比的平方，题目比较好，有一定的难度．17(2021春•黄浦区校级月考)如图，四边形ABCD 是矩形，E 是对角线AC 上的一点，EB =ED 且∠ABE =∠ADE ．(1)求证：四边形ABCD 是正方形；(2)延长DE 交BC 于点F ，交AB 的延长线于点G ，求证：EF •AG =BC •BE ．【分析】(1)根据邻边相等的矩形是正方形即可证明；(2)由AD ∥BC ，推出EF DE =EC EA ，同理DC AG =EC EA，由DE =BE ，四边形ABCD 是正方形，推出BC =DC，可得EFBE =BCAG解决问题；【解答】(1)证明：连接BD．∵EB=ED，∴∠EBD=∠EDB，∵∠ABE=∠ADE，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形．(2)证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∴EF DE =EC EA，同理DCAG=ECEA，∵DE=BE，四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∴EF BE =BC AG，∴EF•AG=BC•BE．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、正方形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18(2021秋•浦东新区校级月考)如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，求证：AD2=AF•AB．【分析】由DE∥BC，EF∥CD，可得△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．【解答】证明：∵DE∥BC，EF∥CD，∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，∴AD：AB=AE：AC，AF：AD=AE：AC，∴AD：AB=AF：AD，∴AD2=AF•AB．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握相似三角形的对应边成比例．19(2020秋•浦东新区月考)在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．【分析】(1)由DE⊥BC，D是BC的中点，根据线段垂直平分线的性质，可得BE=CE，又由AD=AC，易得∠B=∠DCF，∠FDC=∠ACB，即可证得△ABC∽△FCD；(2)首先过A作AG⊥CD，垂足为G，易得△BDE∽△BGA，可求得AG的长，继而求得△ABC的面积，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得△FCD的面积．【解答】(1)证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴BE=CE，∴∠B=∠DCF，∵AD=AC，∴∠FDC=∠ACB，∴△ABC∽△FCD；(2)解：过A作AG⊥CD，垂足为G．∵AD=AC，∴DG=CG，∴BD：BG=2：3，∵ED⊥BC，∴ED∥AG，∴△BDE∽△BGA，∴ED：AG=BD：BG=2：3，∵DE=3，∴AG=92，∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴S△FCDS△ABC=(CDBC)2=14．∵S△ABC=12×BC×AG=12×8×92=18，∴S△FCD=14S△ABC=92．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．20(2021春•静安区校级月考)已知：如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，点F在BA的延长线上，BE=AF，CF∥AE，CF与边AD相交于点G．求证：(1)FD=CG；(2)CG2=FG•FC．【分析】(1)根据菱形的性质得到∠FAD =∠B ，根据全等三角形的性质得到FD =EA ，于是得到结论；(2)根据菱形的性质得到∠DCF =∠BFC ，根据平行线的性质得到∠BAE =∠BFC ，根据全等三角形的性质得到∠BAE =∠FDA ，等量代换得到∠DCF =∠FDA ，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠FAD =∠B ，在△ADF 与△BAE 中，AF =BE ∠FAD =∠B AD =BA，∴△ADF ≌△BAE ，∴FD =EA ，∵CF ∥AE ，AG ∥CE ，∴EA =CG ，∴FD =CG ；(2)∵在菱形ABCD 中，CD ∥AB ，∴∠DCF =∠BFC ，∵CF ∥AE ，∴∠BAE =∠BFC ，∴∠DCF =∠BAE ，∵△ADF ≌△BAE ，∴∠BAE =∠FDA ，∴∠DCF =∠FDA ，又∵∠DFG =∠CFD ，∴△FDG ∽△FCD ，∴FD FC=FG FD ，FD 2=FG •FC ，∵FD =CG ，∴CG 2=FG •FC ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．21(2021秋•浦东新区校级月考)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =2AD ，点E 为边DC 的中点，BE 交AC 于点F ．求：(1)AF ：FC 的值；(2)EF ：BF 的值．【分析】(1)延长BE 交直线AD 于H ，如图，先由AD ∥BC 得到△DEH ∽△CEB ，则有DH BC =DE CE，易得DH =BC ，加上BC =2AD ，所以AH =3AD ，然后证明△AHF ∽△CFB ，再利用相似比可计算出AF ：FC 的值；(2)由△DEH ∽△CEB 得到EH ：BE =DE ：CE =1：1，则BE =EH =12BH ，由△AHF ∽△CFB 得到FH ：BF =AF ：FC =3：2；于是可设BF =2a ，则FH =3a ，BH =BF +FH =5a ，EH =52a ，接着可计算出EF =FH -EH =12a ，然后计算EF ：BF 的值．【解答】解：(1)延长BE 交直线AD 于H ，如图，∵AD ∥BC ，∴△DEH ∽△CEB ，∴DH BC =DE CE，∵点E 为边DC 的中点，∴DE =CE ，∴DH =BC ，而BC =2AD ，∴AH =3AD ，∵AH ∥BC ，∴△AHF ∽△CFB ，∴AF ：FC =AH ：BC =3：2；(2)∵△DEH ∽△CEB ，∴EH ：BE =DE ：CE =1：1，∴BE =EH =12BH ，∵△AHF ∽△CFB ，∴FH ：BF =AF ：FC =3：2；设BF =2a ，则FH =3a ，BH =BF +FH =5a ，∴EH =52a ，∴EF =FH -EH =3a -52a =12a ，∴EF ：BF =12a ：2a =1：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．22(2021秋•浦东新区校级月考)已知：如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，过点D 作DE ∥CB ，交AB 于点E ，AD DC =13，DE =6．(1)求AB 的长；(2)求S △ADE S △BCD．【分析】(1)由∠ABD =∠CBD ，DE ∥BC 可推得∠EDB =∠CBD ，进而推出∠ABD =∠EDB ，由此可得BE =DE =6，由DE ∥BC 可得AE EB =AD DC=13，进而证得AE =2，于是可得结论；(2)△ADE 看成以DE 为底，高为h 1，△BCD 看成以BC 为底，高为h 2，由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质可得h 1h 2=AD DE =13，DE BC =14，进而证得结论．【解答】解：(1)BD 平∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ，∵DE ∥BC ，∴∠EDB =∠CBD ，∴∠ABD =∠EDB ，∴BE =DE =6，∵DE ∥BC ，∴AE EB =AD DC =13，∴AE 6=13，∴AE =2，∴AB =AE +BE =8；(2)△ADE 看成以DE 为底，高为h 1，△BCD 看成以BC 为底，高为h 2，∵DE ∥CB ，∴△AED ∽△ABC ，∴h 1h 2=AD DE =13，DE BC =14，∴S △ADE S △BCD =12DE ⋅h 112BC ⋅h 2=112．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练应用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解决问题的关键．23(2022春•长宁区校级月考)已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、DB 交于点E ，点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且∠DEF =∠ADC ．(1)求证：EFBF =AB DB；(2)如果BD 2=2AD •DF ，求证：平行四边形ABCD 是矩形．【分析】(1)由已知条件和平行四边形的性质易证△ADB ∽△EBF ，再由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明：EF BF =AB DB；(2)由(1)可得BD 2=2AD •BF ，又因为BD 2=2AD •DF ，所以可证明BF =DF ，再由等腰三角形的性质可得∠DEF =90°，所以∠ADC =∠DEF =90°，进而可证明平行四边形ABCD 是矩形．【解答】解：(1)证明：∵平行四边形ABCD ，∴AD ∥BC ，AB ∥DC∴∠BAD +∠ADC =180°，又∵∠BEF +∠DEF =180°，∴∠BAD +∠ADC =∠BEF +∠DEF ，∵∠DEF =∠ADC ，∴∠BAD =∠BEF ，∵AD ∥BC ，∴∠EBF =∠ADB ，∴△ADB ∽△EBF ，∴EF BF =AB DB；(2)∵△ADB ∽△EBF ，∴AD BD =BE BF，在平行四边形ABCD 中，BE =ED =12BD ，∴AD •BF =BD •BE =12BD 2，∴BD 2=2AD •BF ，又∵BD 2=2AD •DF ，∴BF =DF ，∴△DBF 是等腰三角形，∵BE =DE ，∴FE ⊥BD ，即∠DEF =90°，∴∠ADC =∠DEF =90°，∴平行四边形ABCD 是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判断和性质以及矩形的判断，其中(2)小题证明△DBF 是等腰三角形是解题的关键．24(2021秋•宝山区校级月考)已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=6，点P是射线AD上的点，BP交AC于点E，∠CBP的角平分线交AC于点F，且CF=13AC时．求AP+BP的值．【分析】延长BF交射线AP于M，根据AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出AP+BP=AM，再根据AC=13CF求出AE=2CF，然后根据△MAF和△BCF相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：如图，延长BF交射线AP于M，∵AD∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BF是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴AP+BP=AP+PM=AM，∵CF=13AC，则AF=2CF，由AD∥BC得，△MAF∽△BCF，∴AMBC =AFCF=2，∴AM=2BC=2×6=12，即AP+BP=12．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BF构造出相似三角形，求出AP+BP=AM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．25(2020秋•虹口区校级月考)已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA=BC，DA= DE．如果点D在BC边上，且∠EDC=∠BAD．点O为AC与DE的交点．(1)求证：△ABC∽△ADE；(2)求证：DA•OC=OD•CE．【分析】(1)根据三角形的外角的性质和角的和差得到∠B=∠ADE，由于BABC=DADE=1，根据得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到∠BAC=∠DAE，于是得到∠BAD=∠CAE=∠CDE，证得△COD∽△EOA，根据相似三角形的性质得到OCOE =ODOA，由∠AOD=∠COE，推出△AOD∽△COE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵∠ADC =∠ABC +∠BAD =∠ADE +∠EDC ，∴∠B =∠ADE ，∵BA BC=DA DE =1，∴△ABC ∽△ADE ；(2)∵△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE =∠CDE ，∵∠COD =∠EOA ，∴△COD ∽△EOA ，∴OC OE =OD OA，∵∠AOD =∠COE ，∴△AOD ∽△EOC ，∴DA ：CE =OD ：OC ，即DA •OC =OD •CE ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．26(2021秋•金山区校级月考)已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在边AD 上，CE 与BD 相交于点F ，AD =4，AB =5，BC =BD =6，DE =3．(1)求证：△DFE ∽△DAB ；(2)求线段CF 的长．【分析】(1)AD ∥BC ，DE =3，BC =6，DF FB =DE BC=36=12，DF DA =DE DB ．又∠EDF =∠BDA ，即可证明△DFE ∽△DAB ．(2)由△DFE ∽△DAB ，利用对应边成比例，将已知数值代入即可求得答案．【解答】证明：(1)∵AD ∥BC ，DE =3，BC =6，∴DF FB =DE BC =36=12，∴DF BD =12，∵BD =6，∴DF =2．∵DA =4，∴DF DA =24=12，DE DB =36=12．∴DF DA=DE DB ．又∵∠EDF =∠BDA ，∴△DFE ∽△DAB ．(2)∵△DFE ∽△DAB ，∴EF AB =DE DB ．∵AB =5，∴EF 5=36，∴EF =52=2.5．∵DE ∥BC ，∴CFEF =BC DE ．∴CF 2.5=63，∴CF =5．(或利用△CFB ≌△BAD )．【点评】此题考查学生对梯形和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，第(2)问也可利用△CFB ≌△BAD 求得线段CF 的长，不管学生用了哪种方法，只要是正确的，就要积极地给予表扬，以此激发学生的学习兴趣．27(2020秋•宝山区月考)如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知△ABC 的边BC =15，高AH =10，求正方形DEFG 的边长和面积．【分析】高AH 交DG 于M ，如图，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE =MH =x ，所以AM =10-x ，再证明△ADG ∽△ABC ，则利用相似比得到x 15=10-x 10，然后根据比例的性质求出x ，再计算x 2的值即可．【解答】解：高AH 交DG 于M ，如图，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE =MH =x ，∴AM =AH -MH =10-x ，∵DG ∥BC ，∴△ADG ∽△ABC ，∴DG BC =AM AH，即x 15=10-x 10，∴x =6，∴x 2=36．答：正方形DEFG 的边长和面积分别为6，36．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质．28(2021秋•闵行区校级月考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，M 是CD 上的点，DH ⊥BM 于H ，DH 的延长线交AC 的延长线于E ．求证：(1)△AED ∽△CBM ；(2)AE •CM =AC •CD ．【分析】(1)由于△ABC 是直角三角形，易得∠A +∠ABC =90°，而CD ⊥AB ，易得∠MCB +∠ABC =90°，利用同角的余角相等可得∠A =∠MCB ，同理可证∠1=∠2，而∠ADE =90°+∠1，∠CMB =90°+∠2，易证∠ADE =∠CMB ，从而易证△AED ∽△CBM ；(2)由(1)知△AED ∽△CBM ，那么AE ：AD =CB ：CM ，于是AE •CM =AD •CB ，再根据△ABC 是直角三角形，CD 是AB 上的高，易知△ACD ∽△CBD ，易得AC •CD =AD •CB ，等量代换可证AE •CM =AC •CD ．【解答】证明：(1)∵△ABC 是直角三角形，∴∠A +∠ABC =90°，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB =90°，即∠MCB +∠ABC =90°，∴∠A =∠MCB ，∵CD ⊥AB ，∴∠2+∠DMB =90°，∵DH ⊥BM ，∴∠1+∠DMB =90°，∴∠1=∠2，又∵∠ADE =90°+∠1，∠CMB =90°+∠2，∴∠ADE =∠CMB ，∴△AED ∽△CBM ；(2)∵△AED ∽△CBM ，∴AE BC =AD CM，∴AE •CM =AD •CB ，∵△ABC 是直角三角形，CD 是AB 上的高，∴△ACD ∽△CBD ，∴AC ：AD =CB ：CD ，∴AC •CD =AD •CB ，∴AE •CM =AC •CD ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的高所分成的两个三角形与这个直角三角形相似．解题的关键是证明∠A =∠MCB 以及∠ADE =∠CMB ．29(2022秋•徐汇区校级月考)如图，在直角坐标平面内有点A (6，0)，B (0，8)，C (-4，0)，点M 、N 分别为线段AC 和射线AB 上的动点，点M 以2个单位长度/秒的速度自C 向A 方向做匀速运动，点N 以5个单位长度/秒的速度自A 向B 方向做匀速运动，MN 交OB 于点P ．(1)求证：MN ：NP 为定值；(2)若△BNP 与△MNA 相似，求CM 的长；(3)若△BNP 是等腰三角形，求CM 的长．【分析】(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，然后分两种情况进行讨论，综合两种情况，求得MN ：NP 为定值53．(2)当△BNP 与△MNA 相似时，当点M 在CO 上时，只可能是∠MNB =∠MNA =90°，所以△BNP ∽△MNA ∽△BOA ，所以AM AN =AB AO ，所以10-2k 5k =106，k =3031，即CM =6031；当点M 在OA 上时，只可能是∠NBP =∠NMA ，所以∠PBA =∠PMO ，根据题意可以判定不成立，所以CM =6031．(3)由于等腰三角形的特殊性质，应分三种情况进行讨论，即BP =BN ，PB =PN ，NB =NP 三种情况进行讨论．【解答】证明：(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，设AN =5k ，得：AH =3k ，CM =2k ，①当点M 在CO 上时，点N 在线段AB 上时：∴OH =6-3k ，OM =4-2k ，∴MH =10-5k ，∵PO ∥NH ，∴MN NP =MH OH=10-5k 6-3k =53，②当点M 在OA 上时，点N 在线段AB 的延长线上时：∴OH =3k -6，OM =2k -4，∴MH =5k -10，∵PO ∥NH ，∴MN NP =MH OH=5k -103k -6=53；解：(2)当△BNP 与△MNA 相似时：①当点M 在CO 上时，只可能是∠MNB =∠MNA =90°，∴△BNP ∽△MNA ∽△BOA ，∴AMAN =AB AO，。

相似综合练习(压轴题)含答案

相似综合练习(压轴题)含答案

相似综合练习（压轴题）一．选择题（共12小题）1．如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形（相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．6S2C．4S2+3S3D．3S1+4S32．如图，Rt△AOB∽Rt△DOC，∠ABO=30°，∠AOB=∠COD=90°，M为OA的中点，OA=6，将△COD绕点O旋转一周，直线AD，CB交于点P，连接MP，则MP的最小值是（）A．6﹣3B．6﹣6 C．3 D．3．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，点F是AB 的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2BD；③AD•BC=AE•AB；④2CD2=EH2．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D．①△OB1C∽△OA1D；②OA•OC=OB•OD；③OC•G=OD•F1；④F=F1．其中正确的说法有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．如图，正方形ABCD中，E为BC中点连接AE，DF⊥AE于点F，连接CF，FG ⊥CF交AD于点G，下列结论：①CF=CD；②G为AD中点；③△DCF∽△AGF；④=，其中结论正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC边，CD边的中点，AE、AF分别交BD于点G，H，设△AGH的面积为S1，平行四边形ABCD的面积为S2，则S1：S2的值为（）A．B．C．D．7．如图所示，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于M，N，下列结论：①AF⊥BG；②BN=NF；③=；④S四边形CGNF=S四边形ANGD．其中正确的结论的序号是（）A．①③B．②④C．①②D．③④8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与四边形BCEF的面积之比为（）A．9：16 B．9：19 C．9：28 D．3：49．如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=2BG，S△BPG=1，则S▱AEPH=（）A．3 B．4 C．5 D．610．如图，在正方形ABCD中，AD=6，点E是边CD上的动点（点E不与端点C，D重合），AE的垂直平分线FG分别交AD，AE，BC于点F，H，G，当时，DE的长为（）A．2 B．C．D．411．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC 及AB的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，OD，连接CO并延长交AD于点M．则下列结论中：①FG=2AO；②OD∥HE；③=；④2OE2=AH•DE；⑤GO+BH=HC正确结论的个数有（）A．2 B．3 C．4 D．512．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD=60°，AD=AB，连接OE．下列结论：①S▱ABCD=AD•BD；②DB平分∠CDE；③AO=DE；④S△ADE =5S△OFE，其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共5小题）13．△AOC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA=4，将△AOC绕O点，逆时针旋转90°得到△A1OC1，A1C1，交y轴于B（0，2），若△C1OB∽△C1A1O，则点C1的坐标．14．已知，如图，P为△ABC中线AD上一点，AP：PD=2：1，延长BP、CP分别交AC、AB于点E、F，EF交AD于点Q．（1）PQ=EQ；（2）FP：PC=EC：AE；（3）FQ：BD=PQ：PD；（4）S△FPQ ：S△DCP=S PEF：S△PBC．上述结论中，正确的有．15．如图，在形状和大小不确定的△ABC中，BC=8，E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=y，PE=x．当CQ=CE（n为不小于2的常数）时，y与x之间的函数关系式为（不用写自变量的取值范围）．16．如图，平行四边形ABCD中，BC=12cm，P、Q是三等分点，DP延长线交BC 于E，EQ延长线交AD于F，则AF=．17．如图，已知CO1是△ABC的中线，过点O1作O1E1∥AC交BC于点E1，连接AE1交CO1于点O2；过点O2作O2E2∥AC交BC于点E2，连接AE2交CO1于点O3；过点O3作O3E3∥AC交BC于点E3，…，如此继续，可以依次得到点O4，O5，…，O n和点E4，E5，…，E n，则O2016E2016=AC．三．解答题（共6小题）18．如图1，在直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，且点C坐标为（4，3），将△CEF沿EF对折后，C 点恰好落在OB上．（1）求k的值；（2）如图2，在直角坐标系中，P点坐标为（2，﹣3），请在双曲线上找两点M、N，使四边形OPMN是平行四边形，求M、N的坐标．19．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．20．如图，在矩形ABCD中，EH垂直平分BD，交BD于点M，过BD上一点F作FG∥BE，FG恰好平分∠EFD，FG与EH交于点N．（1）求证：DE•DG=DF•BF；（2）若AB=3，AD=9，求FN的长．21．如图在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且∠ADE=∠B，∠ADF=∠C，线段EF交线段AD于点G．（1）求证：AE=AF；（2）若，求证：四边形EBDF是平行四边形．22．如图1，△ABC中，点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上，且BE=CD，EP∥AC交直线CD于点P，交直线AB于点F，∠ADP=∠ACB．（1）图1中是否存在与AC相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；（2）若将“点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上”改为“点D在线段BA延长线上，点E在线段BC延长线上”，其他条件不变（如图2）．当∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2时，求线段PE的长．23．如图，∠C=90°，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连接AB．点P 从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC的方向运动，到点C停止．当点P与B、C两点不重合时，作PD⊥BC交AB于点D，作DE⊥AC于点E．F为射线CB上一点，使得∠CEF=∠ABC．设点P运动的时间为x秒．（1）用含有x的代数式表示CE的长．（2）求点F与点B重合时x的值．（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）．求y与x之间的函数关系式．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形（相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．6S2C．4S2+3S3D．3S1+4S3【解答】解：如图，由A、B、C三种直角三角形相似，设相似比为k，EF=m，则GH=mk，FH=mk2．∴EH=m（1+k2），FM=，FK=km（1+k2），则有：Km（1+k2）+mk=，整理得：k4+k2﹣1=0，∴k2=或（舍弃），∴S2=S1，S3=（）2S1=S1，∴S2+S3=S1，∴这个矩形的面积=2S1+2（S2+S3）=4S1，故选：A．2．如图，Rt△AOB∽Rt△DOC，∠ABO=30°，∠AOB=∠COD=90°，M为OA的中点，OA=6，将△COD绕点O旋转一周，直线AD，CB交于点P，连接MP，则MP的最小值是（）A．6﹣3B．6﹣6 C．3 D．【解答】解：取AB的中点S，连接MS、PS，则PS﹣MS≤PM≤MS+PS，∵∠AOB=90°，OA=6，∠ABO=30°，∴AB=2OA=12，OB=6∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠COB=∠DOA，∵△AOB∽△DOC，∴=，∴△COB∽△DOA，∴∠OBC=∠OAD，∵∠OBC+∠PBO=180°，∴∠OAD+∠PBO=180°，∠AOB+∠APB=180°，∴∠APB=∠AOB=90°，又S是AB的中点，∴PS=AB=6，∵M为OA的中点，S是AB的中点，∴MS=OB=3，∴MP的最小值为6﹣3，故选：A．3．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，点F是AB 的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2BD；③AD•BC=AE•AB；④2CD2=EH2．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高，∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，∵点F是AB的中点，∴FD=AB，∵∠ABE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=BE，∵点F是AB的中点，∴FE=AB，∴FD=FE，①正确；∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠C，∴AB=AC，∵AD⊥BC，∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，在△AEH和△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA），∴AH=BC=2CD，②正确；∵•BC•AD=•AC•BE，∵AC=AB，BE=AE，∴BC•AD=AE•AB，故③正确，首先证明sin22.5°=，如图所示：AB=BE=a，AE=EC=a，AC=a∴sin22.5°==∵△ACD∽△BCE，∴===，∴=2+2，∵EH=EC，∴CD2=（2+2）EH2．故选：D．4．如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D．①△OB1C∽△OA1D；②OA•OC=OB•OD；③OC•G=OD•F1；④F=F1．其中正确的说法有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，∴B1C∥A1D，∴△OB1C∽△OA1D，故①正确；∴=，由旋转的性质得，OB=OB1，OA=OA1，∴OA•OC=OB•OD，故②正确；由杠杆平衡原理，OC•G=OD•F1，故③正确；∴===是定值，∴F1的大小不变，∴F=F1，故④正确．综上所述，说法正确的是①②③④．故选：D．5．如图，正方形ABCD中，E为BC中点连接AE，DF⊥AE于点F，连接CF，FG ⊥CF交AD于点G，下列结论：①CF=CD；②G为AD中点；③△DCF∽△AGF；④=，其中结论正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：如图，作CM⊥DF于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∴DAB=∠B=∠ADC=90°，∵∠ADF+∠CDF=90°，∠CDF+∠DCM=90°，∴∠ADF=∠DCM，∵DF⊥AE，CM⊥DF，∴∠AFD=∠CMD=90°，∴△DAF≌△CDM，∴CM=DF，DM=AF，∵∠ADF+∠DAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠ADF，∵BE=CE，∴AB=2BE，∴tan∠BAE=tan∠ADF==，∴=，∴DM=MF，∵CM⊥DF，∴CD=CF，故①正确，∴∠CDF=∠CFD，∵∠CDG=∠CFG=90°，∴∠GFD=∠GDF，∴GF=GD，∵∠GDF+∠DAF=90°，∠GFD+∠AFG=90°，∴∠GAF=∠GFA，∴GF=GA，∴GD=GA，∴G是AD中点，故②正确，∵∠AFD=∠GFC，∴∠AFG=∠CFD，∠GAF=∠CDF，∴△DCF∽△AGF，故③正确，设AF=a，则DF=2a，AB=a，BE=a，∴AE=a，EF=a，∴=，故④正确，故选：D．6．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC边，CD边的中点，AE、AF分别交BD于点G，H，设△AGH的面积为S1，平行四边形ABCD的面积为S2，则S1：S2的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∵DF=CF ，BE=CE ， ∴==，==，∴==， ∴BG=GH=DH ，∵△AGH 的面积为S 1，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH =S 1，∴S 平行四边形ABCD =6S 1，∴S 1：S 2，=1：6，故选：A ．7．如图所示，正方形ABCD 中，BE=EF=FC ，CG=2GD ，BG 分别交AE ，AF 于M ，N ，下列结论：①AF ⊥BG ；②BN=NF ；③=；④S 四边形CGNF =S 四边形ANGD ．其中正确的结论的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④【解答】解：①∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC=CD ，∵BE=EF=FC ，CG=2GD ，∴BF=CG ，∵在△ABF 和△BCG 中，，∴△ABF ≌△BCG ，∴∠BAF=∠CBG ，∵∠BAF +∠BFA=90°，∴∠CBG +∠BFA=90°，即AF ⊥BG ；①正确；②∵在△BNF和△BCG中，∠CBG=∠NBF，∠BCG=∠BNF=90°，∴△BNF∽△BCG，∴==，∴BN=NF；②错误；③作EH⊥AF，令AB=3，则BF=2，BE=EF=CF=1，AF==，∵S△ABF=AF•BN=AB•BF，∴BN=，NF=BN=，∴AN=AF﹣NF=，∵E是BF中点，∴EH是△BFN的中位线，∴EH=，NH=，BN∥EH，∴AH=，=，解得：MN=，∴BM=BN﹣MN=，MG=BG﹣BM=，∴=；③正确；④连接AG，FG，根据③中结论，则NG=BG﹣BN=，∵S四边形CGNF =S△CFG+S△GNF=CG•CF+NF•NG=1+=，S 四边形ANGD =S △ANG +S △ADG =AN•GN +AD•DG=+=，∴S 四边形CGNF ≠S 四边形ANGD ，④错误；故选：A ． 8．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与四边形BCEF 的面积之比为（ ）A ．9：16B ．9：19C ．9：28D ．3：4【解答】解：连接BE∵DE ：EC=3：1∴设DE=3k ，EC=k ，则CD=4k∵ABCD 是平行四边形∴AB ∥CD ，AB=CD=4k∴∴S △EFD ：S △BEF =3：4∵DE ：EC=3：1∴S △BDE ：S △BEC =3：1设S △BDE =3a ，S △BEC =a则S △EFD =，S △BEF =∴S BCEF =S △BEC +S △BEF =∴则△DEF 的面积与四边形BCEF 的面积之比9：19故选：B ．9．如图，在▱ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，且CG=2BG ，S △BPG =1，则S ▱AEPH =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：∵EF ∥BC ，GH ∥AB ，∴四边形HPFD 、BEPG 、AEPH 、CFPG 为平行四边形，∴S △PEB =S △BGP ，同理可得S △PHD =S △DFP ，S △ABD =S △CDB ，∴S △ABD ﹣S △PEB ﹣S △PHD =S △CDB ﹣S △BGP ﹣S △DFP ，即S 四边形AEPH =S 四边形PFCG ．∵CG=2BG ，S △BPG =1，∴S 四边形AEPH =S 四边形PFCG =4×1=4，故选：B ．10．如图，在正方形ABCD 中，AD=6，点E 是边CD 上的动点（点E 不与端点C ，D 重合），AE 的垂直平分线FG 分别交AD ，AE ，BC 于点F ，H ，G ，当时，DE 的长为（ ）A ．2B ．C ．D ．4【解答】解：如图作GM ⊥AD 于M ．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB=∠B=∠GMA=90°，∴四边形ABGM 是矩形，∴AB=GM=AD，∵FG⊥AE，∴∠AHF=90°，∵∠DAE+∠AFH=90°，∠AFH+∠FGM=90°，∴∠DAE=∠MGF，∵∠D=∠GMF=90°，∴△ADE≌△GMF，∴AE=FG，设FH=a，则FG=AE=5a，∵FG垂直平分线段AE，∴AH=HE=2.5a，∵tan∠FAH===，AD=6，∴DE=，故选：B．11．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC 及AB的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，OD，连接CO并延长交AD于点M．则下列结论中：①FG=2AO；②OD∥HE；③=；④2OE2=AH•DE；⑤GO+BH=HC正确结论的个数有（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：①如图，过G作GK⊥AD于K，∴∠GKF=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE=90°，AD=AB=GK，∴∠ADE=∠GKF，∵AE⊥FH，∴∠AOF=∠OAF+∠AFO=90°，∵∠OAF+∠AED=90°，∴∠AFO=∠AED，∴△ADE≌△GKF，∴FG=AE，∵FH是AE的中垂线，∴AE=2AO，∴FG=2AO，故①正确；②∵FH是AE的中垂线，∴AH=EH，∴∠HAE=∠HEA，∵AB∥CD，∴∠HAE=∠AED，Rt△ADE中，∵O是AE的中点，∴OD=AE=OE，∴∠ODE=∠AED，∴∠HEA=∠AED=∠ODE，当∠DOE=∠HEA时，OD∥HE，但AE＞AD，即AE＞CD，∴OE＞DE，即∠DOE≠∠HEA，∴OD与HE不平行，故②不正确；③设正方形ABCD的边长为2x，则AD=AB=2x，DE=EC=x，∴AE=x，AO=，易得△ADE∽△HOA，∴，∴，∴HO=x，Rt△AHO中，由勾股定理得：AH==，∴BH=AH﹣AB=﹣2x=，∴=，延长CM、BA交于R，∵RA∥CE，∴∠ARO=∠ECO，∵AO=EO，∠ROA=∠COE，∴△ARO≌△ECO，∴AR=CE，∵AR∥CD，∴，∴，∴，故③正确；④由①知：∠HAE=∠AEH=∠OED=∠ODE，∴△HAE∽△ODE，∴，∵AE=2OE，OD=OE，∴OE•2OE=AH•DE，∴2OE2=AH•DE，故④正确；⑤由③知：HC==x，∵AE=2AO=OH=x，tan∠EAD=，∵AO=，∴OF=x，∵FG=AE=x，∴OG=x﹣=x，∴OG+BH=x+x，∴OG+BH≠HC，故⑤不正确；本题正确的有；①③④，3个，故选：B．12．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD=60°，AD=AB，连接OE．下列结论：①S▱ABCD=AD•BD；②DB平分∠CDE；③AO=DE；④S△ADE =5S△OFE，其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED，∴△ADE是等边三角形，∴AD=AE=AB，∴E是AB的中点，∴DE=BE，∴∠BDE=∠AED=30°，∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∴S▱ABCD=AD•BD，故①正确；∵∠CDE=60°，∠BDE30°，∴∠CDB=∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正确；∵Rt△AOD中，AO＞AD，∴AO＞DE，故③错误；∵O是BD的中点，E是AB的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥AD，OE=AD，∴△OEF∽△ADF，∴S△ADF =4S△OEF，且AF=2OF，∴S△AEF =2S△OEF，∴S△ADE =6S△OFE，故④错误；故选：B．二．填空题（共5小题）13．△AOC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA=4，将△AOC绕O点，逆时针旋转90°得到△A1OC1，A1C1，交y轴于B（0，2），若△C1OB∽△C1A1O，则点C1的坐标（，）．【解答】解：如图作C1H⊥x轴于H．∵△C1OB∽△C1A1O，∴==，∵tan∠C1A1H===，设C1H=m，则A1H=2m，OH=2m﹣4，∴A1C1=m，OC1=，∴m=2，解得m=或（舍弃），∴C1（，）．14．已知，如图，P为△ABC中线AD上一点，AP：PD=2：1，延长BP、CP分别交AC、AB于点E、F，EF交AD于点Q．（1）PQ=EQ；（2）FP：PC=EC：AE；（3）FQ：BD=PQ：PD；（4）S△FPQ ：S△DCP=S PEF：S△PBC．上述结论中，正确的有（3）（4）．【解答】解：延长PD到M，使DM=PD，连接BM、CM，∵AD是中线，∴BD=CD，∴四边形BPCM是平行四边形，∴BP∥MC，CP∥BM，即PE∥MC，PF∥BM，∴AE：AC=AP：AM，AF：AB=AP：AM，∴AF：AB=AE：AC，∴EF∥BC；∴△AFQ∽△ABD，△AEQ∽△ACD，∴FQ：BD=EQ：CD，∴FQ=EQ，而PQ与EQ不一定相等，故（1）错误；∵△PEF∽△PBC，△AEF∽△ACB，∴PF：PC=EF：BC，EF：BC=AE：AC，∴PF：PC=AE：AC，故（2）错误；∵△PFQ∽△PCD，∴FQ：CD=PQ：PD，∴FQ：BD=PQ：PD；故（3）正确；∵EF∥BC，∴S△FPQ ：S△DCP=（）2，S△PEF：S△PBC=（）2，∴S△FPQ ：S△DCP=S PEF：S△PBC．故（4）正确．故答案为：（3）（4）．15．如图，在形状和大小不确定的△ABC中，BC=8，E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=y，PE=x．当CQ=CE（n为不小于2的常数）时，y与x之间的函数关系式为（不用写自变量的取值范围）y=8（n﹣1）﹣x．【解答】解：如图，延长BQ交EF于K，∵EK∥BC，∴∠EKB=∠KBC，又∵BQ为∠CBP的平分线，∴∠PBK=∠KBC，∴∠EKB=∠PBK，∴PB=PK=y．∵CQ=CE，∴EQ=（1﹣）CE，∵E，F为AB、AC的中点，∴∠KEQ=∠BCQ，∠EKQ=∠CBQ，∴△EQK∽△CQB，∴=，即=，解得y=8（n﹣1）﹣x．故答案为：y=8（n﹣1）﹣x．16．如图，平行四边形ABCD中，BC=12cm，P、Q是三等分点，DP延长线交BC 于E，EQ延长线交AD于F，则AF=3．【解答】解：如图，延长DP交AB的延长线于M，∵DC∥AB，∴△DCP∽△MAP，∴，∴AM=2CD，∴BM=CD，又∵AD∥BE，∴△CDE≌△BME，∴BE=CE=BC=6cm，∵AD∥BC，∴△AFQ∽△CEQ，则，∴AF=CE=3cm．故填空答案：3cm．17．如图，已知CO1是△ABC的中线，过点O1作O1E1∥AC交BC于点E1，连接AE1交CO1于点O2；过点O2作O2E2∥AC交BC于点E2，连接AE2交CO1于点O3；过点O3作O3E3∥AC交BC于点E3，…，如此继续，可以依次得到点O4，O5，…，O n和点E4，E5，…，E n，则O2016E2016=AC．【解答】解：∵O1E1∥AC，∴∠BO1E1=∠BAC，∠BE1O1=∠BCA，∴△BO1E1∽△BAC，∴=．∵CO1是△ABC的中线，∴==．∵O1E1∥AC，∴∠O1E1O2=∠CAO2，∠E1O1O2=∠ACO2，∴△E1O1O2∽△ACO2，∴==．∵O2E2∥AC，∴==，∴O2E2=AC．同理：O n E n=AC．∴O2016E2016==．故答案为：．三．解答题（共6小题）18．如图1，在直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，且点C坐标为（4，3），将△CEF沿EF对折后，C 点恰好落在OB上．（1）求k的值；（2）如图2，在直角坐标系中，P点坐标为（2，﹣3），请在双曲线上找两点M、N，使四边形OPMN是平行四边形，求M、N的坐标．【解答】解：（1）设E（，3），F（4，），将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的G点，作EH⊥OB，垂足为H，∵∠EGH+∠HEG=90°∠EGH+∠FGB=90°，∴∠HEG=∠FGB，又∵∠EHG=∠GBF=90°，∴△EGH∽△GFB（AA），∴=，代入解得：GB==，在Rt△GBF中，GF2=GB2+BF2，代入得，解得；（2）平行四边形OPMN，可以看成线段PM沿PO的方向平移至ON处所得．设M（a，），∵P（2，﹣3）的对应点O（0，0），∴N（a﹣2，+3），代入反比例解析式得：（a﹣2）（+3）=，整理得4a2﹣8a﹣7=0，解得：a=，a=（舍去），==，﹣2=，+3=，所以M（，），N（，）或M（，）N（，）．19．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．【解答】解：（1）结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴==，∴CF=2DG．（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC 的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，∴EH=2DH=2，∴HM==2，∴DM=CN=NK==1，在Rt△DCK中，DK===2，∴△PCD的周长的最小值为10+2．20．如图，在矩形ABCD中，EH垂直平分BD，交BD于点M，过BD上一点F作FG∥BE，FG恰好平分∠EFD，FG与EH交于点N．（1）求证：DE•DG=DF•BF；（2）若AB=3，AD=9，求FN的长．【解答】（1）证明：如图．∵EH垂直平分BD，∴BE=DE，∠1=∠2．∵FG平分∠EFD，∴∠3=∠4．∴FG∥BE，∴∠4=∠5，∴∠3=∠5，∴△BEF∽△DFG，∴=，∵BE=DE，∴=，∴DE•DG=DF•BF；（2）解：设DE=x，则BE=x，∵AB=3，AD=9，∴AE=9﹣x．在Rt△ABE中，∵∠A=90°，∴AB2+AE2=BE2，即32+（9﹣x）2=x2，解得x=5．在Rt△ABD中，∵∠A=90°，AB=3，AD=9，∴BD==3，∴BM=DM=．由（1）得=，∵FG∥BE，∴=，∴=，∵BE=DE，∴BE2=BF•DB，∴BF===，∴FM=BM﹣BF=﹣=．∵FN∥BE，∴△MNF∽△MEB，∴=，即=，解得FN=．21．如图在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且∠ADE=∠B，∠ADF=∠C，线段EF交线段AD于点G．（1）求证：AE=AF；（2）若，求证：四边形EBDF是平行四边形．【解答】证明：（1）∵∠ADE=∠B，∠BAD=∠EAD，∴△BAD∽△DAE，∴=，∴AD2=AE•AB，同法可证：AD2=AF•AC，∴AE•AB=AF•AC，∵AB=AC，∴AE=AF．（2）∵△BAD∽△DAE，∴∠AED=∠ADB=∠DAC+∠C，∵∠DFC=∠DAC+∠ADF，∠ADF=∠C，∴∠AED=∠DFC，∵，∴△AED∽△CFD，∴∠ADE=∠CDF=∠B，∴DF∥BE，∵AE=AF，AB=AC，∴∠AEF=∠AFE，∠B=∠C，∵2∠AEF+∠BAC=180°，2∠B+∠BAC=180°，∴∠AEF=∠B，∴EF∥BC，∴四边形EBDF是平行四边形．22．如图1，△ABC中，点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上，且BE=CD，EP∥AC交直线CD于点P，交直线AB于点F，∠ADP=∠ACB．（1）图1中是否存在与AC相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；（2）若将“点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上”改为“点D在线段BA延长线上，点E在线段BC延长线上”，其他条件不变（如图2）．当∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2时，求线段PE的长．【解答】解：（1）AC=BF．证明如下：如图1，∵∠ADP=∠ACD+∠A，∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠ADP=∠ACB，∴∠BCD=∠A，又∵∠CBD=∠ABC，∴△CBD∽△ABC，∴=，①∵FE∥AC，∴=，②由①②可得，=，∵BE=CD，∴BF=AC；（2）如图2，∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠ACB=30°=∠ADP，∴∠BCD=60°，∠ACD=60°﹣30°=30°，∵PE∥AC，∴∠E=∠ACB=30°，∠CPE=∠ACD=30°，∴CP=CE，∵BE=CD，∴BC=DP，∵∠ABC=90°，∠D=30°，∴BC=CD，∴DP=CD，即P为CD的中点，又∵PF∥AC，∴F是AD的中点，∴FP是△ADC的中位线，∴FP=AC，∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴AB=AC，∴FP=AB=2，∵DP=CP=BC，CP=CE，∴BC=CE，即C为BE的中点，又∵EF∥AC，∴A为FB的中点，∴AC是△BEF的中位线，∴EF=2AC=4AB=8，∴PE=EF﹣FP=8﹣2=6．23．如图，∠C=90°，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连接AB．点P 从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC的方向运动，到点C停止．当点P与B、C两点不重合时，作PD⊥BC交AB于点D，作DE⊥AC于点E．F为射线CB上一点，使得∠CEF=∠ABC．设点P运动的时间为x秒．（1）用含有x的代数式表示CE的长．（2）求点F与点B重合时x的值．相似综合练习(压轴题)含答案 41 / 41（3）当点F 在线段CB 上时，设四边形DECP 与四边形DEFB 重叠部分图形的面积为y （平方单位）．求y 与x 之间的函数关系式．【解答】解：（1）∵∠C=90°，PD ⊥BC ，∴DP ∥AC ，∴△DBP ∽△ABC ，四边形PDEC 为矩形，∴，CE=PD ． ∴．∴CE=6x ； （2）∵∠CEF=∠ABC ，∠C 为公共角，∴△CEF ∽△CBA ， ∴． ∴． 当点F 与点B 重合时，CF=CB ，9x=20．解得．（3）当点F与点P 重合时，BP +CF=CB ，4x +9x=20，解得．当时，如图①，=﹣51x 2+120x ．当≤x ≤时，如图②， ==（20﹣4x ）2．（或）．。

相似三角形综合题锦(含答案)

相似三角形综合题锦(含答案)

一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC 中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P 沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t ＜6）。

中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案)

中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案)

中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．【证明体验】如图1，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点90DPC A B ∠=∠=∠=︒，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅． 【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点，当DPC A B β∠=∠=∠=时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABC 中22AB =45B ∠=︒以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △，点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =CD 的长．2．综合实践问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在ABC 中90,4B AB BC ∠=︒==分别取AB ，AC 的中点D ，E ，作ADE ．如图2所示，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连接BD ，CE ．(1)探究发现旋转过程中线段BD 和CE 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用如图3，当DE 所在直线首次经过点B 时，求CE 的长． (3)延伸思考如图4，在Rt ABC △中90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，分别取AB ，BC 的中点D ，E ．作BDE ，将BDE 绕点B 逆时针旋转，连接AD ，CE ．当边AB 平分线段DE 时，求tan ECB ∠的值．3．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中两对相似三角形；(2)连接FG ，如果45α=︒，42AB =3AF =，求FG 的长．4．如图，在ABC 中6cm AB =，12cm BC =和90B ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设移动时间为()s t ．(1)当2t =时，求PBQ 的面积； (2)当t 为多少时，PBQ 的面积是28cm ？ (3)当t 为多少时，PBQ 与ABC 是相似三角形？5．下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形ABCD 中点E 为边AB 上一点（不与点A 、点B 重合），先将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在点F 处，CF 交AD 于点H ．(1)观察发现：写出图1中一个与AEG △相似的三角形：______．（写出一个即可）(2)迁移探究：如图2，若4AB =，6BC =当CF 与AD 的交点H 恰好是AD 的中点时，求阴影部分的面积． (3)如图③，当点F 落在边AD 上时，延长EF ，与FCD ∠的角平分线交于点M ，CM 交AD 于点N ，当FN AF ND =+时，请直接写出ABBC的值．6．【阅读】如图1，若ABD ACE ∽，且点B 、D 、C 在同一直线上，则我们把ABD △与ACE △称为旋转相似三角形．(1)【理解】如图2，ABC 和ADE 是等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE ．求证：ABD △与ACE △是旋转相似三角形．(2)【应用】如图3，ABD △与ACE △是旋转相似三角形AD CE ，求证：③ABC ADE △△∽；③AC DE =；(3)【拓展】如图4，AC 是四边形ABCD 的对角线90,D B ACD ∠=︒∠=∠，25,20BC AC ==和16AD =，试在边BC 上确定一点E ，使得四边形AECD 是矩形，并说明理由．7．综合与实践如图1，已知纸片Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 上的高（AD BC ⊥于点D ）． 观察发现（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）实践操作第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿BE 折叠（点E 为AC 上一点），使点A 落在BC 边上的点F 处； 第二步：BE 与AD 交于点G 连接GF ，然后将纸片展平． 猜想探究（2）猜想四边形AEFG 是哪种特殊的四边形，并证明猜想． （3）探究线段GF ，BE ，GE 之间的数量关系，并说明理由．8．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=．证明思路是如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB BDAC CD=．(1)利用图2证明AB BDAC CD=； (2)如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，AB=2，求DE 的长．9．【教材原题】如图③，在ABC 中DE BC ∥，且3AD =，2DB =图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；【改编】将图③中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到如图③所示的位置，连接BD 、CE ．求证：ABD ACE ∽△△；【应用】如图③，在ABC 和ADE 中90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒点D 在边BC 上，连接CE ，则ACE △与ABD △的面积比为__________．10．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB BDAC CD=； (2)基础训练：如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，2AB =求DE 的长；(3)拓展升华：如图4，ABC 中6AB = ，AC=4，AD 为BAC ∠的角平分线，AD 的中垂线EF 交BC 延长线于F ，当3BD =时，求AF 的长．11．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在ABC 与AED △中ABC AED ∽△△．所以称ABC 与AED △为“阳似三角形”，连接EB DC ，，则DCEB为“阳似比”．(1)如图1，已知R ABC 与Rt AED △为“阳似三角形”，其中90CBA DEA ∠=∠=︒，当30BAC ∠=︒时，“阳似比”DCEB=______； (2)如图2，二次函数234y x x =-++交x 轴于点A 和B 两点，交y 轴于点C ．点M 为直线12y x =在第一象限上的一个动点，且OMB △与CNB 为“阳似三角形”，连接CM ③当点N 落在二次函数图象上时，求出线段OM 的长度； ③若32CN =34BM MC +的最小值．12．已知在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．(1)在图1中写出其中的两对相似三角形．(2)已知1BD =，DC=2，将CBD △绕着点D 按顺时针方向进行旋转得到C BD '，连接AC '，BC ． ③如图2，判断AC '与BC 之间的位置及数量关系，并证明； ③在旋转过程中当点A ，B ，C '在同一直线上时，求BC 的长．13．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．(1)如图1，在44⨯的正方形网格中有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“和谐四边形”的是______．(2)如图2，BD 平分ABC ∠，43BD =10BC =，四边形ABCD 是被BD 分割成的“和谐四边形”，求AB 长； (3)如图3，A 为抛物线24y x =-+的顶点，抛物线与x 轴交于点B ，C ．在线段AB 上有一个点P ，在射线BC 上有一个点Q ．P 、Q 5/秒，5个单位/秒的速度同时从B 出发分别沿BA ，BC 方向运动，设运动时间为t ，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M ，使得四边形BQMP 是以PQ 为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．14．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：ABC 中D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，延长DE 、CA 交于点F ，DE=EF ，AB=5，求AE 的长．小白的想法是：过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比，从而得出AE 的长．请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：ABC 中AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 为AB 边上一点，AE=AD ，H 、Q 为BC 上两点，CQ DH =和DQ mDH =，G 为AC 上一点，连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ，180EFG EAD ∠+∠=︒猜想并验证EP 与GH的数量关系．15．【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P 91第13题：如图1，在正方形ABCD 中E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且3CF DF =，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由．③小华很快找出ABE DEF △△∽，他的思路为：设正方形的边长4AB a =，则2,AE DE a DF a ===，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程； ③小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF △与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；【拓展创新】（2）如图2，在矩形ABCD 中E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连结FC ．()AB AE > ③求证：AEF ECF ∽△△；③设2,BC AB a ==，是否存在a 值，使得AEF △与BFC △相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（3）52．(1)2BD CE =(2)6CE =(3)1tan 2ECB ∠=3．(1)DMG ③DBM △，EMF ③EAM △ (2)53FG =4．(1)8(2)2秒或4秒(3)当t 为3或1.2秒钟，使PBQ 与ABC 相似．5．(1)FHG △或DHC （写出一个即可）(2)阴影部分的面积是23 (3)AB BC 的值为357．（1）ABC DBA ∽ ABC CAD ∽ DBA DAC ∽（其中一个即可，答案不唯一）；（2）四边形AEFG是菱形，（3）212GF GE BE =⋅ 8． 5 9．【教材原题】ADE ABC △△∽，35【应用】13 10．5(3)611．23105337 12．(1)BCD ACD ∽ BCD BAC ∽△△ CAD BAC △∽△（任写两对即可）(2)③2AC BC '= AC BC '⊥ ③BC 2595+2595-+13．(1)四边形ABCE ；(2)10AB =或245； (3)1118t = 2881t = 1825t = 180169t =．14．阅读理解 54AE =；解决问题，猜想：12EP m GH m +=+． 15．③存在 3。

中考数学复习---相似三角形综合压轴题练习(含答案解析)

中考数学复习---相似三角形综合压轴题练习(含答案解析)

中考数学复习---相似三角形综合压轴题练习（含答案解析）一．平行线分线段成比例（共1小题）1．（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE 交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为．【答案】5【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，∴FM＝FN，∴＝＝＝3，∴AB＝3AD，设AD＝DC＝a，则AB＝3a，∵AD＝DC，DT∥AE，∴ET＝CT，∴＝＝3，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，∵AB+BE＝3，∴3a+3b＝3，∴a+b＝，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，故答案为：5．二．相似三角形的性质和判定2．（2022•鞍山）如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，CE，BD交于点H，DF⊥CE于点F，FM平分∠DFE，分别交AD，BD于点M，G，延长MF交BC于点N，连接BF．下列结论：①tan∠CDF＝；②S△EBH：S△DHF ＝3：4；③MG：GF：FN＝5：3：2；④△BEF∽△HCD．其中正确的是.（填序号即可）．【答案】①③④【解答】解：如图，过点G作GQ⊥DF于点Q，GP⊥EF于点P．设正方形ABCD的边长为2a．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∵AE＝EB＝a，BC＝2a，∵DF⊥CE，∴∠CFD＝90°，∴∠ECB+∠DCF＝90°，∵∠DCF+∠CDF＝90°，∴∠CDF＝∠ECB，∴tan∠CDF＝，故①正确，∵BE∥CD，∴＝＝＝，∵EC＝＝＝a，BD＝CB＝2a，∴EH＝EC＝a，BH＝BD＝a，DH＝BD＝a，在Rt△CDF中，tan∠CDF＝＝，CD＝2a，∴CF＝a，DF＝a，∴HF＝CE﹣EH﹣CF＝a﹣a﹣a＝a，∴S△DFH＝•FH•DF＝×a×a＝a2，∵S△BEH＝S△ECB＝××a×2a＝a2，∴S△EBH：S△DHF＝a2：a2＝5：8，故②错误．∵FM平分∠DFE，GQ⊥EF，GP⊥FE，∴GQ＝GP，∵＝＝，∴＝，∴BG＝DG，∵DM∥BN，∴＝＝1，∴GM＝GN，∵S△DFH＝S△FGH+S△FGD，∴×a×a＝××GP+×a×GQ，∴GP＝GQ＝a，∴FG＝a，过点N作NJ⊥CE于点J，设FJ＝NJ＝m，则CJ＝2m，∴3m＝a，∴m＝a，∴FN＝m＝a，∴MG＝GN＝GF+FN＝a+a＝a，∴MG：GF：FN＝a：a：a＝5：3：2，故③正确，∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠HCD，∵＝＝，＝＝，∴＝，∴△BEF∽△HCD，故④正确．故答案为：①③④．3．（2022•眉山）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB＝2，HG＝3．以下结论：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD•CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解答】解：∵△EDC旋转得到△HBC，∴∠EDC＝∠HBC，∵ABCD为正方形，D，B，H在同一直线上，∴∠HBC＝180°﹣45°＝135°，∴∠EDC＝135°，故①正确；∵△EDC旋转得到△HBC，∴EC＝HC，∠ECH＝90°，∴∠HEC＝45°，∴∠FEC＝180°﹣45°＝135°，∵∠ECD＝∠ECF，∴△EFC∽△DEC，∴，∴EC2＝CD•CF，故②正确；设正方形边长为a，∵∠GHB+∠BHC＝45°，∠GHB+∠HGB＝45°，∴∠BHC＝∠HGB＝∠DEC，∵∠GBH＝∠EDC＝135°，∴△GBH∽△EDC，∴，即，∵△HEC是等腰直角三角形，∴，∵∠GHB＝∠FHD，∠GBH＝∠HDF＝135°，∴△HBG∽△HDF，∴，即，解得：EF＝3，∵HG＝3，∴HG＝EF，故③正确；过点E作EM⊥FD交FD于点M，∴∠EDM＝45°，∵ED＝HB＝2，∴，∵EF＝3，∴，∵∠DEC+∠DCE＝45°，∠EFC+∠DCE＝45°，∴∠DEC＝∠EFC，∴，故④正确综上所述：正确结论有4个，故选：D．4．（2022•东营）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM．以下四个结论正确的是（）①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是；③当MN最小时S△CMN＝S菱形ABCD；④当OM⊥BC时，OA2＝DN•AB．A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACD＝60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴∠ABM＝∠ACN＝60°，AB＝AC，∵∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN＝60°﹣∠，∴△BAM≌△CAN（ASA），∴AM＝AN，∴△AMN是等边三角形，故①正确；当AM⊥BC时，AM的值最小，此时MN的值也最小，∵∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2，∴MN＝AM＝AB•sin60°＝2×＝，∴MN的最小值是，故②正确；∵AM⊥BC时，MN的值最小，此时BM＝CM，∴CN＝BM＝CB＝CD，∴DN＝CN，∴MN∥BD，∴△CMN∽△CBD，∴＝＝＝，∴S△CMN＝S△CBD，∵S△CBD＝S菱形ABCD，∴S△CMN＝×S菱形ABCD＝S菱形ABCD，故③正确；∵CB＝CD，BM＝CN，∴CB﹣BM＝CD﹣CN，∴CM＝DN，∵OM⊥BC，∴∠CMO＝∠COB＝90°，∵∠OCM＝∠BCO，∴△OCM∽△BCO，∴＝，∴OC2＝CM•CB，∴OA2＝DN•AB，故④正确，故选：D．5．（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB ＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）A．B．C．10D．【答案】A【解答】解：如右图1所示，由已知可得，△DFE∽△ECB，则，设DF＝x，CE＝y，则，解得，∴DE＝CD+CE＝6+＝，故选项B不符合题意；EB＝DF+AD＝+2＝，故选项D不符合题意；如图2所示，由已知可得，△DCF∽△FEB，则，设FC＝m，FD＝n，则，解得，∴FD＝10，故选项C不符合题意；BF＝FC+BC＝8+7＝15；如图3所示：此时两个直角三角形的斜边长为6和7；故选：A．6．（2022•连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE ＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④【答案】B【解答】解：由折叠性质可得：DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，∴∠FGE+∠GEC＝180°，∴GF∥CE，故①正确；设AD＝2a，AB＝2b，则＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，∴CG＝OG+OC＝3a，在Rt△CGE中，CG2＝GE2+CE2，（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，解得：b＝a，∴AB＝AD，故②错误；在Rt△COF中，设OF＝DF＝x，则CF＝2b﹣x＝2a﹣x，∴x2+（2a）2＝（2a﹣x）2，解得：x＝a，∴DF＝×a＝a，2OF＝2×a＝2a，在Rt△AGE中，GE＝＝a，∴GE＝DF，OC＝2OF，故③④正确；无法证明∠FCO＝∠GCE，∴无法判断△COF∽△CEG，故⑤错误；综上，正确的是①③④，故选：B．7．（2022•遂宁）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（）①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；A．①③B．①②③C．②③D．①②④【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴∠BAG＝∠BCE，∵∠BAG+∠APB＝90°，∴∠BCE+∠APB＝90°，∴∠BCE+∠OPC＝90°，∴∠POC＝90°，∴EC⊥AG，故①正确；取AC的中点K，如图：在Rt△AOC中，K为斜边AC上的中点，∴AK＝CK＝OK，在Rt△ABC中，K为斜边AC上的中点，∴AK＝CK＝BK，∴AK＝CK＝OK＝BK，∴A、B、O、C四点共圆，∴∠BOA＝∠BCA，∵∠BPO＝∠CPA，∴△OBP∽△CAP，故②正确，∵∠AOC＝∠ADC＝90°，∴∠AOC+∠ADC＝180°，∴A、O、C、D四点共圆，∵AD＝CD，∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正确，由已知不能证明OB平分∠CBG，故③错误，故正确的有：①②④，故选：D．8．（2022•金华）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C．若＝，则的值为（）A．2B．C．D．【答案】A【解答】解：连接FG，CA′，过点G作GT⊥AD于点T．设AB＝x，AD＝y．∵＝，∴可以假设BF＝2k，CG＝3k．∵AE＝DE＝y，由翻折的性质可知EA＝EA′＝y，BF＝FB′＝2k，∠AEF＝∠GEF，∵AD∥CB，∴∠AEF＝∠EFG，∴∠GEF＝∠GFE，∴EG＝FG＝y﹣5k，∴GA′＝y﹣（y﹣5k）＝5k﹣y，∵C，A′，B′共线，GA′∥FB′，∴＝，∴＝，∴y2﹣12ky+32k2＝0，∴y＝8k或y＝4k（舍去），∴AE＝DE＝4k，∵四边形CDTG是矩形，∴CG＝DT＝3k，∴ET＝k，∵EG＝8k﹣5k＝3k，∴AB＝CD＝GT＝＝2k，∴＝＝2．解法二：不妨设BF＝2，CG＝3，连接CE，则Rt△CA'E≌Rt△CDE，推出A'C ＝CD＝AB＝A'B'，＝＝1，推出GF＝CG＝3，BC＝8，在Rt△CB'F，勾股得CB'＝4则A'B'＝2，故选：A．9．（2022•乐山）如图，等腰△ABC的面积为2，AB＝AC，BC＝2．作AE∥BC且AE＝BC．点P是线段AB上一动点，连结PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B 点时，点M的运动路径长为（）A．B．3C．2D．4【答案】B【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H．当点P与A重合时，点F与C重合，当点P与B重合时，点F的对应点为F″，点M的运动轨迹是△ECF″的中位线，M′M″＝CF″，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH，∵AE∥BC，AE＝BC，∴AE＝CH，∴四边形AHCE是平行四边形，∵∠AHC＝90°，∴四边形AHCE是矩形，∴EC⊥BF″，AH＝EC，∵BC＝2，S△ABC＝2，∴×2×AH＝2，∴AH＝EC＝2，∵∠BEF″＝∠ECB＝∠ECF″，∴∠BEC+∠CEF″＝90°，∠CEF″+∠F″＝90°，∴∠BEC＝∠F″，∴△ECB∽△F″CE，∴EC2＝CB•CF″，∴CF″＝＝6，∴M′M″＝3故选：B．10．（2022•海南）如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF：CE＝1：2，EF＝，则菱形ABCD的边长是（）A．3B．4C．5D．【答案】B【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝CD，AB∥CD．∵EF⊥AB，DH⊥AB，∴DH∥EF，∴四边形DHFE为平行四边形，∴HF＝DE，DH＝EF＝．∵点E是边CD的中点，∴DE＝CD，∴HF＝CD＝AB．∵BF：CE＝1：2，∴设BF＝x，则CE＝2x，∴CD＝4x，DE＝HF＝2x，AD＝AB＝4x，∴AF＝AB+BF＝5x．∴AH＝AF﹣HF＝3x．在Rt△ADH中，∵DH2+AH2＝AD2，∴．解得：x＝±1（负数不合题意，舍去），∴x＝1．∴AB＝4x＝4．即菱形ABCD的边长是4，故选：B．11．（2022•黑龙江）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F 是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①AE⊥BF；②∠OPA＝45°；③AP﹣BP＝OP；④若BE：CE ＝2：3，则tan∠CAE＝；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（）A．①②④⑤B．①②③⑤C．①②③④D．①③④⑤【答案】B【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，AC⊥BD，∠ABD＝∠DBC＝∠ACD＝45°．∴∠BOE+∠EOC＝90°，∵OE⊥OF，∴∠FOC+∠EOC＝90°．∴∠BOE＝∠COF．在△BOE和△COF中，，∴△BOE≌△COF（ASA），∴BE＝CF．在△BAE和△CBF中，，∴△BAE≌△CBF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF．∵∠ABP+∠CBF＝90°，∴∠ABP+∠BAE＝90°，∴∠APB＝90°．∴AE⊥BF．∴①的结论正确；②∵∠APB＝90°，∠AOB＝90°，∴点A，B，P，O四点共圆，∴∠APO＝∠ABO＝45°，∴②的结论正确；③过点O作OH⊥OP，交AP于点H，如图，∵∠APO＝45°，OH⊥OP，∴OH＝OP＝HP，∴HP＝OP．∵OH⊥OP，∴∠POB+∠HOB＝90°，∵OA⊥OB，∴∠AOH+∠HOB＝90°．∴∠AOH＝∠BOP．∵∠OAH+BAE＝45°，∠OBP+∠CBF＝45°，∠BAE＝∠CBF，∴∠OAH＝∠OBP．在△AOH和△BOP中，，∴△AOH≌△BOP（ASA），∴AH＝BP．∴AP﹣BP＝AP﹣AH＝HP＝OP．∴③的结论正确；④∵BE：CE＝2：3，∴设BE＝2x，则CE＝3x，∴AB＝BC＝5x，∴AE＝＝x．过点E作EG⊥AC于点G，如图，∵∠ACB＝45°，∴EG＝GC＝EC＝x，∴AG＝＝x，在Rt△AEG中，∵tan∠CAE＝，∴tan∠CAE＝＝＝．∴④的结论不正确；⑤∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，∴△OAB≌△OBC≌△OCD≌△DOA（SAS）．∴．∴．由①知：△BOE≌△COF，∴S△OBE＝S△OFC，∴．即四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．∴⑤的结论正确．综上，①②③⑤的结论正确．故选：B．12．（2022•辽宁）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OD的中点，连接CE并延长交AD于点G，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接EF，点H为EF的中点．连接OH，则的值为．【答案】【解答】解：以O为原点，平行于AB的直线为x轴，建立直角坐标系，过E 作EM⊥CD于M，过F作FN⊥DC，交DC延长线于N，如图：设正方形ABCD的边长为2，则C（1，1），D（﹣1，1），∵E为OD中点，∴E（﹣，），设直线CE解析式为y＝kx+b，把C（1，1），E（﹣，）代入得：，解得，∴直线CE解析式为y＝x+，在y＝x+中，令x＝﹣1得y＝，∴G（﹣1，），∴GE＝＝，∵将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，∴CE＝CF，∠ECF＝90°，∴∠MCE＝90°﹣∠NCF＝∠NFC，∵∠EMC＝∠CNF＝90°，∴△EMC≌△CNF（AAS），∴ME＝CN，CM＝NF，∵E（﹣，），C（1，1），∴ME＝CN＝，CM＝NF＝，∴F（，﹣），∵H是EF中点，∴H（，0），∴OH＝，∴＝＝．故答案为：．13．（2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是．【答案】3或2【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4，∴AC＝＝＝2，当∠APQ＝90°时，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4，∴AC＝＝＝2，∵∠APQ＝∠ACB＝90°，∠CAP＝∠BAC，∴△CAP∽△BAC，∴，即，∴AP＝3，当∠AQP＝90°时，如图2，∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形DPEC是矩形，∴CQ＝QP，∵∠AQP＝90°，∴AQ垂直平分CP，∴AP＝AC＝2，综上所述，当△APQ为直角三角形时，AP的长是3或2，故答案为：3或2．14．（2022•绍兴）如图，AB＝10，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD ⊥AC，CD＝AC，动点E在AB延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE的长是．【答案】或5【解答】解：如图，过点C作CT⊥AE于点T，过点D作DJ⊥CT交CT的延长线于点J，连接EJ．∵tan∠CBT＝3＝，∴可以假设BT＝k，CT＝3k，∵∠CAT+∠ACT＝90°，∠ACT+∠JCD＝90°，∴∠CAT＝∠JCD，在△ATC和△CJD中，，∴△ATC≌△CJD（AAS），∴DJ＝CT＝3k，AT＝CJ＝10+k，∵∠CJD＝∠CED＝90°，∴C，E，D，J四点共圆，∵EC＝DE，∴∠CJE＝∠DJE＝45°，∴ET＝TJ＝10﹣2k，∵CE2＝CT2+TE2＝（CD）2，∴（3k）2+（10﹣2k）2＝[•]2，整理得4k2﹣25k+25＝0，∴（k﹣5）（4k﹣5）＝0，∴k＝5和，∴BE＝BT+ET＝k+10﹣2k＝10﹣k＝5或，故答案为：5或．15．（2022•甘肃）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为cm．【答案】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6cm，∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∵AE＝2cm，∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4（cm），∵G是EF的中点，∴EG＝BG＝EF，∴∠BEG＝∠ABD，∴∠BEG＝∠BDC，∴△EBF∽△DCB，∴＝，∴＝，∴BF＝6，∴EF＝＝＝2（cm），∴BG＝EF＝（cm），故答案为：．16．（2022•新疆）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心，将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF 恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若AQ•DP＝3，则BQ＝．【答案】【解答】解：如图，连接DQ，∵将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，∴DE＝DF，∠FDE＝90°，∴∠DFE＝∠DEF＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝45°＝∠BAC，∴∠DAC＝∠DFQ＝45°，∴点A，点F，点Q，点D四点共圆，∴∠BAQ＝∠FDQ＝45°，∠DAF＝∠DQF＝90°，∠AFD＝∠AQD，∴DF＝DQ，∵AD＝AB，∠BAC＝∠＝45°，AQ＝AQ，∴△ABQ≌△ADQ（SAS），∴BQ＝QD，∠AQB＝∠AQD，∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠FDC，∴∠FDC＝∠AQB，又∵∠BAC＝∠DFP＝45°，∴△BAQ∽△PFD，∴，∴AQ•DP＝3＝BQ•DF，∴3＝BQ•BQ，∴BQ＝，故答案为：．17．（2022•苏州）如图，在矩形ABCD中，＝．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1＜v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N．若在某一时刻，点B的对应点B′恰好与CD的中点重合，则的值为．【答案】【解答】解：如图，设AD交A′B′于点Q．设BN＝NB′＝x．∵＝，∴可以假设AB＝2k，CB＝3k，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3k，CD＝AB＝2k，∠C＝∠D＝90°，在Rt△CNB′中，CN2+CB′2＝NB′2，∴（3k﹣x）2+k2＝x2，∴x＝k，∴NB′＝k，CN＝3k﹣k＝k，由翻折的性质可知∠A′B′N＝∠B＝90°，∴∠DB′Q+∠CB′N＝90°，∠CB′N+∠CNB′＝90°，∴∠DB′Q＝∠CNB′，∵∠D＝∠C＝90°，∴△DB′Q∽△CNB′，∴DQ：DB′：QB′＝CB′：：NB′＝3：4：5，∵DB′＝k，∴DQ＝k，∵∠DQB′＝∠MQA′，∠D＝∠A′，∴△DQB′∽△A′QM，∴A′Q：A′M：QM＝DQ：DB′：QB′＝3：4：5，设AM＝MA′＝y，则MQ＝y，∵DQ+QM+AM＝3k，∴k+y+y＝3k，∴y＝k，∴＝＝＝，解法二：连接BB′，过点M作MH⊥BC于点H．设AB＝CD＝6m，CB＝9m，设BN＝NB′＝n，则n2＝（3m）2+（9m﹣n）2，∴n＝5m，CN＝4m，由△BB′C∽△MNH，可得＝2m，∴AM＝BH＝3m，∴＝＝＝，故答案为：．18．（2022•湖北）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时t的值为．【答案】2+2【解答】解：如图，连接AP，由图2可得AB＝BC＝4cm，∵∠B＝36°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠C＝72°，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°，∴AP＝BP，∠APC＝72°＝∠C，∴AP＝AC＝BP，∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△APC∽△BAC，∴，∴AP2＝AB•PC＝4（4﹣AP），∴AP＝2﹣2＝BP，（负值舍去），∴t＝＝2+2，故答案为：2+2．19．（2022•随州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别为AB，AD的中点，连接EF．如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），使EF⊥AD，连接BE并延长交DF于点H．则∠BHD的度数为，DH的长为．【答案】90°，．【解答】解：如图，设EF交AD于点J，AD交BH于点O，过点E作EK⊥AB于点K．∵∠EAF＝∠BAD＝90°，∴∠DAF＝∠BAE，∴＝，∴△DAF∽△BAE，∴∠ADF＝∠ABE，∵∠DOH＝∠AOB，∴∠DHO＝∠BAO＝90°，∴∠BHD＝90°，∵AF＝3，AE＝4，∠EAF＝90°，∴EF＝＝5，∵EF⊥AD，∴•AE•AF＝•EF•AJ，∴AJ＝，∴EJ＝＝＝，∵EJ∥AB，∴＝，∴＝，∴OJ＝，∴OA＝AJ+OJ＝+＝4，∴OB＝＝＝4，OD＝AD﹣AO＝6﹣4＝2，∵cos∠ODH＝cos∠ABO，∴＝，∴DH＝．故答案为：90°，．20．（2022•娄底）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′．给出下列结论：①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值．其中正确的结论有（填结论对应的应号）．【答案】①②③【解答】解：由题意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，∴△ACD≌△ABD′，故①正确；∵AC＝AB，AD＝AD′，∠BAC＝∠D′AD＝θ，∴＝，∴△ACB∽△ADD′，故②正确；∵△ACB∽△ADD′，∴＝（）2，∵当AD⊥BC时，AD最小，△ADD′的面积取得最小值．而AB＝AC，∴BD＝CD，∴当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值，故③正确；故答案为：①②③．21．（2022•牡丹江）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①AC＝CD；②AD2＝BC•AF；③若AD＝3，DH＝5，则BD＝3；④AH2＝DH•AC，正确的是．【答案】②③【解答】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，而∠BAD的度数不确定，∴∠ADC与∠CAD不一定相等，∴AC与CD不一定相等，故①错误；②∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠B＝∠AED＝45°，∴△AEF∽△ABD，∴＝，∵AE＝AD，AB＝BC，∴AD2＝AF•AB＝AF•BC，∴AD2＝AF•BC，故②正确；④∵∠DAH＝∠B＝45°，∠AHD＝∠AHD，∴△ADH∽△BAH，∴＝，∴AH2＝DH•BH，而BH与AC不一定相等，故④不一定正确；③∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠ADG＝45°，∵AH⊥DE，∴∠AGD＝90°，∵AD＝3，∴AG＝DG＝，∵DH＝5，∴GH＝＝＝，∴AH＝AG+GH＝2，由④知：AH2＝DH•BH，∴（2）2＝5BH，∴BH＝8，∴BD＝BH﹣DH＝8﹣5＝3，故③正确；本题正确的结论有：②③故答案为：②③．22．（2022•丹东）如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AB，AC上的动点（不与端点重合），且BE＝AF，BF与CE交于点P，延长BF交边AD（或边CD）于点G，连接OP，OG，则下列结论：①△ABF≌△BCE；②当BE＝2时，△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；③当BE＝4时，BE：CG＝2：1；④线段OP的最小值为2﹣2．其中正确的是．（请填写序号）【答案】①②【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，在△ABF和△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（SAS），故①正确；②由①知：△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝6，∵AF＝BE＝2，∴CF＝AC﹣AF＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB＝OD，OA＝OC，∴△AGF∽△CBF，S△BOG＝S△DOG，S△AOD＝S△COD，∴，∴，∴AG＝3，∴AG＝，∴S△AOD＝2S△DOG，∴S△COD＝2S△DOG，∴S四边形OCDG＝S△DOG+S△COD＝3S△DOG＝3S△BOG，故②正确；③如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴△CGF∽△ABF，∴，∴，∴CG＝3，∴BE：CG＝4：3，故③不正确；④如图2，由①得：△ABF≌△BCE，∴∠BCE＝∠ABF，∴BCE+∠CBF＝∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝60°，∴∠BPC＝120°，作等边三角形△BCH，作△BCH的外接圆I，则点P在⊙I上运动，点O、P、I共线时，OP最小，作HM⊥BC于M，∴HM＝＝3，∴PI＝IH＝，∵∠ACB+∠ICB＝60°+30°＝90°，∴OI＝＝＝，∴OP最小＝OI﹣PI＝﹣2，故④不正确，故答案为：①②．三．相似三角形的应用23．（2022•衢州）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，A，B是两侧山脚的入口，从B出发任作线段BC，过C作CD⊥BC，然后依次作垂线段DE，EF，FG，GH，直到接近A点，作AJ⊥GH于点J．每条线段可测量，长度如图所示．分别在BC，AJ上任选点M，N，作MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得＝＝k，此时点P，A，B，Q共线．挖隧道时始终能看见P，Q处的标志即可．（1）CD﹣EF﹣GJ＝km．（2）k＝．【答案】1.8；．【解答】解：（1）CD﹣EF﹣GJ＝5.5﹣1﹣2.7＝1.8（km）；（2）连接AB，过点A作AZ⊥CB，交CB的延长线于点Z．由矩形性质得：AZ＝CD﹣EF﹣GJ＝1.8，BZ＝DE+FG﹣CB﹣AJ＝4.9+3.1﹣3﹣2.4＝2.6，∵点P，A，B，Q共线，∴∠MBQ＝∠ZBA，又∵∠BMQ＝∠BZA＝90°，∴△BMQ∽△BZA，∴＝k＝＝＝．故答案为：1.8；．24．（2022•温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD ＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则点O，M之间的距离等于米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于米．【答案】10，（10+）【解答】解：解法一：如图，过点O作OP∥BD，交MG于P，过P作PN ⊥BD于N，则OB＝PN，∵AC∥BD，∴AC∥OP∥BD，∴＝，∠EGF＝∠OPM，∵OA＝OB，∴CP＝PD＝CD＝6.5，∴MP＝CM+CP＝8.5+6.5＝15，tan∠EGF＝tan∠OPM，∴OM＝×15＝10；∵DB∥EG，∴∠EGF＝∠NDP，∴sin∠EGF＝sin∠NDP，即＝，∴OB＝PN＝，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．解法二：如图，设AC与OM交于点H，过点C作CN⊥BD于N，∵HC∥EG，∴∠HCM＝∠EGF，∵∠CMH＝∠EFG＝90°，∴△HMC∽△EFG，∴＝＝，即＝，∴HM＝，∵BD∥EG，∴∠BDC＝∠EGF，∴tan∠BDC＝tan∠EGF，设CN＝2x，DN＝3x，则CD＝x，∴x＝13，∴x＝，∴AB＝CN＝2，∴OA＝OB＝AB＝，在Rt△AHO中，∵∠AHO＝∠CHM，∴sin∠AHO＝＝，∴＝，∴OH＝，∴OM＝OH+HM＝+＝10（米），以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．故答案为：10，（10+）．49。

相似三角形练习题

相似三角形练习题

相似三角形练习题题目一已知三角形ABC中，∠A = 60°，AC = 6 cm，BC = 8 cm。

将三角形ABC沿着边BC剪开，使得三角形ABD与三角形ACD相似，连接BD。

求BD的长度。

解答一由已知条件可知∠A = ∠ADC = 60°，而∠ABD与∠ACD互为对应角，故∠ABD = ∠ACD = 60°，说明三角形ABD与三角形ACD相似。

根据相似三角形的性质，相似三角形中对应边的比例相等，即有：BD/AD = AC/CD将已知数值代入，得到：BD/AD = 6/8进一步化简，可得：BD/AD = 3/4将上式两侧同乘以AD，可得：BD = (3/4) * AD由直角三角形ADC中，利用三角函数可得AD的值：AD = AC * sin(60°) = 6 * √3 / 2 = 3√3 cm代入上式，可得：BD = (3/4) * 3√3 = 9√3 / 4 cm所以，BD的长度为9√3 / 4 cm。

题目二已知∆ABC与∆DEF相似，∠B = 40°，∠E = 20°，AB = 5 cm，FE = 3 cm。

求BC、DE的长度。

解答二由已知条件可知∠B = ∠F，即∠B = 40°。

而∆ABC与∆DEF相似，根据相似三角形的性质，相似三角形中对应边的比例相等，即有：AB/FE = BC/DE将已知数值代入，得到：5/3 = BC/DE进一步化简，可得：5DE = 3BC根据已知条件，我们还可以得到∠E = ∠C。

联立上述两个条件，可以列出方程组：{5DE = 3BC∠E = ∠C}要求BC和DE的长度，需要求解以上方程组。

我们可以通过求解方程组来得到BC和DE的长度。

题目三AG和EK是∆ABC和∆EFD的高，点G和点K分别位于边BC和边DE上，且∆AGK和∆EKG相似。

已知∠B = 45°，AB = 12 cm，BC = 10 cm，ED = 8 cm。

2022年上海初三数学一模(期末)压轴题模拟汇编 第23题精选30道-相似三角形综合问题(练习版)

2022年上海初三数学一模(期末)压轴题模拟汇编 第23题精选30道-相似三角形综合问题(练习版)

压轴第23题精选30道-相似三角形综合问题（学生版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在矩形ABCD 中，将△ABE 沿着BE 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处，再将△DEG 沿着EG 翻折，使点D 落在EF 边上的点H 处．若点A ，H ，C 在同一直线上，AB=1，则AD 的长为（ ）A．32 B C D2．如图，四边形ABCD 为菱形，BF △AC ，DF 交AC 的延长线于点E ，交BF 于点F ，且CE ：AC ＝1：2．则下列结论不正确的有（ ）A ．△ABE △△ADE ；B ．△CBE ＝△CDF ；C ．DE ＝FE ；D ．S △BCE ：S 四边形ABFD ＝1：93．如图，在Rt ABC ∆中，90,BAC BA CA ∠=︒==D 为BC 边的中点，点E 是CA 延长线上一点，把CDE ∆沿DE 翻折，点C 落在C '处，EC '与AB 交于点F ，连接BC '．当43FA EA =时，BC '的长为（ ）AB ．CD ．4．如图，正方形ABCD 边长为8，E 为AD 中点，线段PQ 在边DC 上从左向右以1个单位/秒的速度运动，3PQ =，从P 点与D 点重合时开始计时，到Q 点与C 点重合时停止，设运动时间为t 秒，连结BE EP BQ ､､，在运动过程中，下列4个结论：△当1t =时，BAE BCQ ≌；△只有当53t =时，以点E D P ､､构成的三角形与BCQ △相似；△四边形EPQB 的周长最小等于16+△四边形EPQB 的面积最大等于38．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 、F 分别在矩形的边AB 、AD 上，将矩形纸片沿CE 、CF 折叠，点B 落在H 处，点D 落在G 处，点C 、H 、G 恰好在同一直线上，若AB ＝6，AD ＝4，BE ＝2，则DF 的长是（ ）A ．2B ．74CD ．36．如图，ABC 是边长为1的等边三角形，D 、E 为线段AC 上两动点，且30DBE ∠=︒，过点D 、E 分别作AB 、BC 的平行线相交于点F ，分别交BC 、AB 于点H 、G ．现有以下结论：△ABC S △当点D 与点C 重合时，12FH =；△AE CD +=；△当AE CD =时，四边形BHFG 为菱形，其中正确结论为（ ）A ．△△△B ．△△△C ．△△△△D ．△△△7．如图，在正方形ABCD 中，M 是AB 上一动点，E 是CM 的中点，AE 绕点E 顺时针旋转90°得EF ，连接DE ，DF ，CF ．下列结论：△DE EF =；△45CDF ∠=︒；△AEM FEC ∠=∠；△45BCM DCF ∠+∠=︒．其中结论正确的序号是（ ）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△ 8．如图，点P 是函数()110,0k y k x x=>>的图像上一点，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A 、B ，交函数()220,0k y k x x=>>的图像于点C 、D ，连接OC 、OD 、CD 、AB ，其中12k k >，下列结论：△//CD AB ；△122OCD k k S-=；△()21212DCP k k S k -=，其中正确的是（ ）A ．△△B ．△△C ．△△D ．△9．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(1,0)，点D 的坐标为(0,2)，延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C …按这样的规律进行下去，正方形2021202120212020A B C C 的面积为（ ）A ．2021352⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2020954⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．4040954⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4042352⎛⎫ ⎪⎝⎭10．如图，ABC 中，△C =90o ，BC ＝8，AC ＝6，点P 在AB 上，AP =3.6，点E 从点A 出发，沿AC 运动到点C ，连接PE ，作射线PF 垂直于PE ，交直线BC 于点F ，EF 的中点为Q ，则在整个运动过程中，线段PQ 扫过的面积为（ ）A ．8B ．6C ．94πD ．2516π二、填空题11．如图，菱形111OA B C 中，1160AOC ∠=︒，1B 坐标为()2,0，再以1B 为对称中心作菱形222OA B C ，再以2B 为对称中心作菱形333OA B C ，按此规律继续作下去，得到菱形n n n OA B C ，则n A 的坐标为_______．12．已知：如图，在Rt ABC 中，点1D 是斜边AB 的中点，过点1D 作11D E AC ⊥于点1E ，连接1BE 交1CD 于点2D ；过点2D 作2DE AC ⊥于点2E ，连接2BE 交1CD 于点3D ；过点3D 作33D E AC ⊥于点3E ，…，如此继续，可以依次得到点4D ，5D ，…，n D ，分别记11BD E ，22BD E △，33BD E △，…，n n BD E △的面积为1S ，2S ，3S ，…，n S 设ABC 的面积为1，则n S =______（用含n 的代数式表示）.13．如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以O为位似中心的位似图形，且位似比为12，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB1于点B3，以A3B3为边作正方形A3B3C3A4；延长A4C3，交射线OB1于点B4，以A4B4为边作正方形A4B4C4A5；．．．按照这样的规律继续作下去，若OA1＝1，则正方形A2021B2021C2021A2022的面积为____________．14．如图，函数kyx=（k为常数，0k>）的图象与过原点O的直线相交于A、B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴、y轴于C、D两点，连接BM分别交x轴、y轴于点E、F．若25MFMB=，则MDMA=________．15．如图在矩形ABCD中，点E是线段AB上一点，且满足5AE＝13BE，将AED沿ED所在直线翻折，点A恰好落在线段BC上点A'处，连接AC交线段A D'于点M，若AB的长为9，则A MC的面积为_______．16．如图，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点，连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90︒得到线段PE ，PE 交边BC 于点F ，连接BE 、DF ．如果AB =2，PF 平分DFB ∠，则BF =_______．17．黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原．如图，在正方形ABCD 中，点G 为边BC 延长线上一动点，连接AG 交对角线BD 于点H ，△ADH 的面积记为S 1，四边形DHCG 的面积记为S 2．如果点C 是线段BG 的黄金分割点，则12S S 的值为___．18．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分△BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且△ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ．下列结论：△EO △AC ；△S △AOD ＝S △OCF ；△AC △BD；△FB 2＝OF •DF 其中正确的是______．（填序号）19．如图，在ABC 与CDE △都是等边三角形，且点A ､C ､E 在同一条直线上，AD 与BE ､BC 分别交于点F ､M ，BE 与CD 交于点N ．有以下结论：△AM BN =；△ABF DNF ≌；△180FMC FNC ∠+∠=︒；△111AC MN CE=-．其中正确的是_______．（填序号）20．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，F 是线段OD 上的动点（点F 不与点O ，D 重合），连接CF ，过点F 作FG CF ⊥分别交AC ，AB 于点H ，G ，连接CG 交BD 于点M ，作//OE CD 交CG 于点E ，EF 交AC 于点N ．有下列结论：△当BG BM =时，AG =；△OH OF OM OC=；△当GM HF =时，2CF CN BC =⋅；△222CN BM DF =+．其中正确的是_______（填序号即可）．三、解答题21．已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x=的图象交于点A ，与x 轴交于点(5,0)B ，若OB AB =，且152OAB S ∆=． （1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P 为x 轴上一点，ABP ∆是等腰三角形，直接写出点P 的坐标．（3）若点Q 为x 轴上一点，ACQ 是直角三角形，直接写出点Q 的坐标．22．如图，在直角ABC 中，90,6,8A AB AC ∠=︒==．D 、E 分别是AC 、BC 边的中点，点P 从A 出发沿线段AD DE EB --以每秒3个单位长的速度向B 匀速运动；点Q 从点A 出发沿射线AB 以每秒2个单位长的速度匀速运动，当点P 与点B 重合时停止运动，点Q 也随之停止运动，设点P 、Q 运动时间是t 秒，（0t >）．（1）当t =______时，点P 到达终点B ；（2）当点P 运动到点D 时，求BPQ 的面积；（3）设BPQ 的面积为S ，求出点Q 在线段AB 上运动时，S 与t 的函数关系式； 23．如图，在直角坐标系中，直线BC 经过点B （﹣4，0）和点C （0，3），A 点坐标为（3，0），点P 为直线BC 上一点，连接AC 、AP ．（1）求直线BC 的教师式；（2）如图1，当点P 在线段BC 上，△APC ＝45°时，求P 点坐标；（3）如图2，当点P 在直线BC 上移动，将△APC 沿AC 翻折得到△AP ′C ，直线AP ′与直线BC 交于点D ，△DCA 的面积为7，求点D 坐标（直接写出结果）．24．问题背景：如图（1），已知△ABC △△ADE ，求证：△ABD △△ACE ；尝试应用：如图（2），在△ABC 和△ADE 中，△BAC ＝△DAE ＝90°，△ABC =△ADE =30°，AC与DE 相交于点F ，点D 在BC 边上，AD BD DF CF的值； 拓展创新：如图（3），D 是△ABC 内一点，△BAD ＝△CBD ＝30°，△BDC =90°，AB ＝4，AC＝AD 的长．25．某艺术馆一扇窗户(矩形ABCD )上的窗花设计如图所示，已知AC ，BD 是矩形ABCD 的对角线，EF ，GH ，IJ ，KL 将矩形ABCD 分割成8块全等的小矩形，EF 与KL 相交于点N ，M 是KN 上一点，2MN KM ，ME 与AC 相交于点P ，这8块小矩形图案均可以由其中的一块经过一次或两次变换得到．设矩形ABCD 的面积为S ，则阴影部分的面积之和为______．(用含S 的代数式表示)．26．（阅读）定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是4：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．（理解）（1）如图1，在△ABC 中，AC ＝8，BC ＝5，△ACB ＝30°，试判断△ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．（应用）（2）如图2，△ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把△ABC 沿BC 翻折得到△DBC ，AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是△ABD 的重心，求AB BC的值． （拓展）（3）如图3，a △b ，且直线a 与b 之间的距离为4，“准黄金”△ABC 的“金底”BC 在直线b 上，点A 在直线a 上，AB BC △ABC 是钝角，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转得到△A ′B ′C ，线段A ′C 交a 于点D ．当点B ′落在直线b 上时，求AD CD的值．27．如图，平面直角坐标系中()2,0A ，()0,1D ，过O 作OB AD ⊥于点E ，B 为第一象限的点，过点B 作BC y ⊥轴于点C ，连接BC 、BA ．（1）求直线AD 的教师式；（2）若CD BC =，求证：OBC ADO ≌△△； （3）在第（2）问条件下，若点M 是直线AD 上的一个动点，在x 轴上存在另一个点N ，且以O 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N 的坐标． 28．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，△OAC 是直角三角形，点A 坐标是（0，2），△OCA ＝30°，以线段OA 、OC 为邻边作矩形点ABCO ，D 是线段AC 上的一动点（不与A ，C重合），连结BD作DE△DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为．（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由．（3）试判断DEDB的值是否为定值？若是定值，请求出DEDB的值；若不是定值，请说明理由．29．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上的一点，将ADM沿直线AM翻折，得ANM．连接BN．（1）当点B、M、N在同一直线时，求DM的长；（2）当DM=1时，求ANB的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．30．在Rt△ABC中，△ACB＝90°，D是BC上一点，BD＝AC，F是AC上一点，连接BF交AD于E．（1）如图1，若AC＝5，CD＝2，△CAD＝△CBF，求EF：DE的值；（2）如图2，若△DEB＝45°，求证：AF＝CD；（3）如图3，在（2）问条件下，过B作AD的垂线，交AD延长线于H，过C点作CG△AD垂足为G，若DH＝a，BH＝b，直接写出DGAE的值（用a，b的式子表示）。

相似三角形(8大题型)(48道压轴题专练)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册单元速记巧

相似三角形(8大题型)(48道压轴题专练)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册单元速记巧

相似三角形（8大题型）（48道压轴题专练） 压轴题型一 相似形压轴题型1．（20-21九年级上·重庆渝中·期末）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A （－2，2），B （－4，1），C （－1，－1）．以点C 为位似中心，在x 轴下方作△ABC 的位似图形△A'B'C ．并把△ABC 的边长放大为原来的2倍，那么点A'的坐标为( )A ．（1，－6）B ．（1，－7）C ．（2，－6）D ．（2，－7）2．（23-24八年级下·山东淄博·(2)ABCD AD AB AD <<纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形ABCD 相似，则平行四边形ABCD 的相邻两边AD 与AB 的比值是 ．3．（2024·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，四边形ABCD的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)在图1中，先以点A为位似中心，将四边形ABCD缩小为原来的12，画出缩小后的四边形111AB C D，再在AB上画点E，使得DE平分四边形ABCD的周长；(2)在图2中，先在AB上画点F，使得CF BC=，再分别在AD，AB上画点M，N，使得四边形BCMN 是平行四边形．4．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为()1a a³，宽为1．一分为二（1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则a的值为______．（2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则a的值为______．一分为多（3）有同学说“无论a为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例．一分为三（4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的a 的值．5．（20-21八年级下·山东淄博·期末）如图，四边形ABCD ∽四边形A B C D ¢¢¢¢，且62A Ð=°，75B Ð=°，140D Т=°，9AD =，11A B ¢¢=，6A D ¢¢=，8B C ¢¢=．(1)请直接写出：C Ð= 度；(2)求边AB 和BC 的长．6．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的三个顶点坐标分别为()1,1A ，()3,2B ，()2,3C （每个方格的边长均为1个单位长度），请按下列要求画图：(1)111A B C △与ABC V 关于原点O 成中心对称，画出111A B C △并写出点1A 的坐标；(2)以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将ABC V 放大，画出放大后的222A B C △并写出点2B 的坐标；(3)根据信息回答问题：已知ABC V 的面积为32，AB ，请直接写出222A B C △的面积和22A B 边上的高的值．压轴题型二 比例线段压轴题型1．（2020古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底0.618≈，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ）A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm2．（2024·四川乐山·一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MG GN MN MG ==这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在ABC V 中，已知3AB AC ==，4BC =，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则ADE V 的面积为 ．3．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）已知a ，b ，c ，d ，e ，f 六个数，如果()0a c e k b d f b d f ===++¹，那么a c e k b d f++=++．理由如下：∵()0a c e k b d f b d f===++¹∴a bk =，c dk =，e fk =（第一步）∴()k b d f a c e bk dk fk k b d f b d f b d f++++++===++++++（第二步）(1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，()k b d f k b d f ++=++应用了______的基本性质；(2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题：①如果22567a b c ===，则218a b c ++=______；②已知0345x y z ==¹，求23x y z x y z -++-的值．4．（23-24九年级上··的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD 的宽1AB =．(1)黄金矩形ABCD 的长BC = ；(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，猜想矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论；(3)在图②中，连接AE ，求点D 到线段AE 的距离．5．（22-23九年级上·浙江·周测）若实数a b c ，，满足a b c b c a a c b c a b +-+-+-==，求()()()a b b c a c abc+×+×+的值．6．（23-24九年级下·山东淄博·期末）已知a ，b ，c ，d 为四个不为0的数．(1)如果3a b =，求a b b +与a b a b -+的值；(2)如果(),a c a b c d b d =¹¹，求证a c b a d c =--；(3)如果a c a b d b +=+，求证a c b d=．压轴题型三 相似三角形的判定压轴题型1．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ^F ，连接DF ，分析下列四个结论，①AEF CAB △∽△，②CF 2AF =；③DF DC =；④CD AC =．其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角ABC V 中，4AB BC ==，D 为BC 上一点，E 为BC 延长线上一点，且45DAE =°∠，2AE AD =，则BD = ．3．（2024·广东梅州·模拟预测）（1）如图1，在矩形ABCD 中，点C ，D 分别在边DC ，BC 上，AB AB ^，垂足为点G ．求证：ADE DCF ∽V V ．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，AE DF =，延长BC 到点H ，使CH DE =，连接DH ．求证：ADF H Ð=Ð．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD 中，E F 分别在边DC ，BC 上，10AE DF ==，7DE =，60AED Ð=°，求CF 的长．4．（2024·山西晋中·二模）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以正方形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，正方形ABCD 中，4AB =，点E ，F 分别是边AB ，AD 的中点，连接EF ，点G 是线段EF 上的一个动点，连接AG ，将线段AG 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到AH ，连接HD ，GB ．猜想证明：（1）针对老师给出的问题背景，“智慧小组”发现GB HD =，请你证明这一结论；操作探究：（2）“善思小组”提出问题：如图2，当点G 为线段EF 的中点时，连接FH ，试判断四边形AGFH 的形状，并说明理由；深入探究：（3）“创新小组”BG 与直线DH 交于点M ，当AHD V 为直角三角形时，请直接写出四边形AGMH 的面积．5．（2024·安徽蚌埠·一模）如图1，在四边形ABCD 中，120ABC Ð=°，60ADC Ð=°，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC AD =，BD 平分ABC Ð．(1)求证：DB AB CB =+；(2)如图2，过点D 作DE AB ∥，使DE BC =，连接AE ，取AE 中点 F ，连接DF ，求证：22AC DF OD =×．6．（23-24九年级上·湖南常德·期中）（1）如图1，在四边形ABCD 中，90BAD BCD Ð=Ð=°，连接AC BD ，，过点A 作AE AC ^交CB 的延长线于点E ，求证：E ACD Ð=Ð．（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，（1）中的其它条件不变，点M ，N 分别是BD EC ，的中点，连接AN AM ，，MN ．①求证：AE AC =﹔②求证：N ABE AM ∽△△．压轴题型四 相似三角形的性质压轴题型1．（22-23九年级上·上海长宁·期中）已知点D 在ABC V 的边BC 上，联结AD ，如果ABD △与ACD V 相似，那么下列四个说法：①BAD C Ð=Ð；②AD BC ^；③2AD BD CD =×；④22AB BD AC CD =．一定成立的是（ ）．A ．②④B ．①③C ．①②③D ．②③④2．（2024·上海浦东新·三模）如图，在ABC V 中，3AC BC ==，90C Ð=°，点D 在边BC 上（不与点B ，点C 重合），连接AD ，点E 在边AB 上，EDB ADC Ð=Ð．已知点H 在射线AC 上，连接EH 交线段AD 于点G ，当1CH =，且AEH BED Ð=Ð时，则BE AB = ．3．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图1，矩形ABCD ，点E ，点F 分别为AD ，BC 上的点，将矩形沿EF 折叠，使点B 的对应点B ¢落在CD 上，连接BB ¢．(1)如图2，当点B ¢与点D 重合时，连接BE ，试判断四边形BEB F ¢的形状，并说明理由；(2)若6AB =，8BC =，求折痕EF 的最大值．4．（23-24八年级下·山东东营·期末）综合与探究(1)如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC CD ，上，且AE BF ^，则线段AE 与BF 的之间的数量关系为_____________；(2)【类比探究】如图2，在矩形ABCD 中，35AB AD ==，，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且AE BF ^，请写出线段AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论．(3)【拓展延伸】如图3，在Rt ABC V 中，9046ABC AB BC Ð=°==，，，D 为BC 上一点，且2BD =，连接AD ，过点B 作BE AD ^于点F ，交AC 于点E ，求BE 的长．5．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）已知等边ABC V ，以AC 为斜边向外作Rt ACD △，定义Rt ACD △为等边ABC V 的“关联直角三角形”，连接BD 交AC 于点E ，下面我们来研究与DE BE的值有关的问题．(1)如图①，当“关联直角三角形”是等腰直角三角形时，DE BE的值为______；(2)如图②，当“关联直角三角形”是含30°的直角三角形时，求DE BE的值；(3)如图③，当“关联直角三角形”是一般的直角三角形时，若16,3DE AB BE ==，求BD 的值．6．（2024·安徽·中考真题）如图1，ABCD Y 的对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，且AM CN =．点E ，F 分别是BD 与AN ，CM 的交点．(1)求证：OE OF =；(2)连接BM 交AC 于点H ，连接HE ，HF ．（ⅰ）如图2，若HE AB ∥，求证：HF AD ∥；（ⅱ）如图3，若ABCD Y 为菱形，且2MD AM =，60EHF Ð=°，求AC BD 的值．压轴题型五 相似三角形的应用压轴题型1．（2024·浙江温州·三模）图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径CD 为5尺，不知其深AD ．立5尺长的木CE 于井上，从木的末梢E 点观察井水水岸A 处，测得“入径CF ”为4寸，问井深AD 是多少？（其中1尺10=寸）”根据译文信息，则井深AD 为（ ）A ．500寸B ．525寸C ．550寸D ．575寸2．（2022·浙江金华·一模）将一本高为17cm （即17cm EF =）的词典放入高（AB ）为16cm 的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F 离收纳盒最左端B 处8cm ，若此时将词典无滑动向右倒，书角H 的对应点H ¢恰为CD 中点．（1）收纳盒的长BC = ；（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有本书可与边BC 有公共点．3．（2024·江苏南京·一模）在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，而光线能会聚的是因为折射．图中，凸透镜EF 的焦距为f ，主光轴l EF ^，A ，B ，C ，D 都在l 上，其中O 是光心，2OB OD f ==，蜡烛PQ l ^（蜡烛可移动，且OQ f >），光线PG l ∥，其折射光线GC 与另一条经过光心的光线PP ¢相交于点P ¢（P Q l ¢¢^）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高()PQ 为h ，像高()P Q ¢¢为h ¢，物距()OQ ，像距()OQ ¢为v ．(1)若10cm f =，10cm h =，15cm u =，=v cm ．(2)求证111u v f+=．(3)当f 一定时，画出v 与u 之间的函数图象()u f >，并结合图象描述v 是怎么随着u 的变化而变化的？4．（23-24九年级上·河北邢台·1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB 、CD 相交于点O ，B 、D 两点在地面上，经测量得到136cm AB CD ==，51cm OA OC ==，34cm OE OF ==，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条线段．发现：连接AC ．则AC 与EF 有何位置关系?并说明理由；探究：若32cm EF =，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?5．（22-23九年级上·浙江·单元测试）如图，Rt ABC V 为一块铁板余料，90B Ð=°，6cm BC =，8cm AB =，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．6．（2022九年级·全国·专题练习）阅读理解：如图1，AD 是△ABC 的高，点E 、F 分别在AB 和AC 边上，且EF //BC ，可以得到以下结论：AH EF AD BC=．拓展应用：(1)如图2，在△ABC 中，BC ＝3，BC 边上的高为4，在△ABC 内放一个正方形EFGM ，使其一边GM 在BC 上，点E 、F 分别在AB 、AC 上，则正方形EFGM 的边长是多少？(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm ，底边长为160cm 的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm 分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC 的长度看作是0排隔板的长度．①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表：排数/排0123…隔板长度/厘米160__________________…若用n 表示排数，y 表示每排的隔板长度，试求出y 与n 的关系式；②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？压轴题型六 重心的性质压轴题型1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，点G 是ABC V 的重心，过点G 作MN BC ∥分别交AB AC ，于点M ，N ，过点N 作ND AB ∥交BC 于点D ，则四边形BDNM 与ABC V 的面积之比是（ ）A ．1:2B ．2:3C ．4:9D ．7:92．（2023·上海·一模）在Rt ABC △中，9030B BAC BC Ð=°Ð=°=，，1，以AC 为边在ABC V 外作等边ACD V ，设点E 、F 分别是ABC V 和ACD V 的重心，则两重心E 与F 之间的距离是 ．3．（2024·江苏盐城·中考真题）如图1，E 、F 、G 、H 分别是平行四边形ABCD 各边的中点，连接AF CE 、交于点M ，连接AG 、CH 交于点N ，将四边形AMCN 称为平行四边形ABCD 的“中顶点四边形”．(1)求证：中顶点四边形AMCN 为平行四边形；(2)①如图2，连接AC BD 、交于点O ，可得M 、N 两点都在BD 上，当平行四边形ABCD 满足________时，中顶点四边形AMCN 是菱形；②如图3，已知矩形AMCN 为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）4．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）作图．(1)直尺作图：如图1，已知D 、E 分别为AB 、AC 中点，过点A 作AF 平分ABC V 面积；(2)直尺作图：如图2，已知AD BC ∥，在四边形ABCD 中作一点O ，使AOB COD S S =△△；(3)尺规作图：如图3，已知D 为AC 中点，点M 在BC ，在AC 上作点N 使MN 平分ABC V 面积．5．（2024·辽宁丹东·二模）阅读与思考：三角形的重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的13．下面是小明证明性质的过程．如图，在ABC V 中，D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，AD 、BE 相交于点G ，求证：13GE GD BE AD ==证明：连接ED ，∵D ，E 是边BC ，AC 的中点，∴DE AB ∥，12DE AB =（依据1）∴ABG DEGV V ∽∴12GE GD DE GB GA AB ===（依据2）∴13GE GD BE AD ==(1)任务一，在小明的证明过程中，依据1和依据2的内容分别是：依据1：______________________依据2：______________________(2)应用①如图，在ABC V 中，点G 是ABC V 中的重心，连接AG 并延长交BC 与点E ，若 3.5GE =，求AG 长．②在ABC V 中，中线AD 、BE 相交于点O ，若ABC V 的面积等于30，求BOD V 的面积．6．（2024·河南周口·三模）（1）古往今来，人们在生产和生活中对三角形的应用层出不穷，三角形也是我们平时研究的重点，如图1，已知ABC V 是等边三角形． P 是ABC V 的重心，连接BP CP ，并延长分别交边AC AB ，于点E ，D ．试判断：①BPD Ð的度数为 ；②线段PB PD PE ，，之间的数量关系：PB PD PE +；（填写“>”“<”或“=”）（2）如图2，若在等边ABC V 中，点E 是射线AC 上一动点（其中点E 不与点A 重合，且12CE AC <），连接BE ，作边BA 关于直线 BE 的对称线段 BD ，直线CD ，BE 相交于点 P ，试探究线段PB PC PD ，，的数量关系，并说明理由．压轴题型七 平面向量的线性运算压轴题型1．（23-24九年级上·上海·期中）下列判断不正确的是（ ）A ．()222a b a b +=+r r r r ；B ．如果向量a r 与b r 均为单位向量，那么a b =r r 或a b =-r r ；C ．如果a b =r r ，那么a b =r r ；D ．对于非零向量b r ，如果()0a k b k =×¹r r ，那么a b r r P ．2．（2024·上海普陀·二模）如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，过点A 作AE DC ∥分别交BD 、BC 于点F 、E ，23BE BC =，设AD a =uuu r r ，AB b =uuu r r ，那么向量FE uuu r 用向量a r 、b r 表示为 ．3．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如图，点E 在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线上．(1)填空：BA AB +uuu r uuu r ＝ ，BA AE ED DC +++uuu r uuu r uuu r uuu r ＝ ；(2)图中与AB uuu r 相等的向量是 ，与AD uuu r 相反的向量是 ；(3)求作：DC DE +uuu r uuu r （不写作法，保留作图痕迹，写出结论）．4．（23-24八年级下·上海·期末）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点O 是对角线AC 的中点，DO 的延长线与BC 相交于点E ，设AB a uuu r r =，AD b =uuu r r ，BE c =uuu r r ．(1)试用向量a r 、b r 、c r 表示向量：ED =uuu r ______；(2)写出图中所有与AD uuu r 互为相反向量的向量：______；(3)求作：AD OC +uuu r uuu r．（画出所求向量，并直接写出结论）5．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，已知梯形ABCD 中，AB DC P ，点E 在AB 上，ED BC ∥．(1)填空：BE ED DC CB +++=uuu r uuu r uuu r uuu r ，(2)填空：BA AD DC EA ++-=uuu r uuu r uuu r uuu r ；(3)在图中直接作出AE ED AB +-uuu r uuu r uuu r ．（不写作法，写结论）6．（2022八年级下·上海·专题练习）如图，已知点M 是△ABC 边BC 上一点，设AB uuu r ＝a r ，AC uuu r ＝b r ．(1)当BM MC＝2时，AM uuuu r ＝______；（用a r 与b r 表示）(2)当AM uuuu r ＝4377a b +r r 时，BM MC ＝______；(3)在原图上作出AM uuuu r 在AB uuu r 、AC uuu r 上的分向量．压轴题型八 相似三角形的动点问题1．（2020·山西·一模）如图，在ABC V 中，8AB AC ==，6BC =，点P 从点B 出发以1个单位长度/秒的速度向点A 运动，同时点Q 从点C 出发以2个单位长度/秒的速度向点B 运动，其中一点到达另一点即停．当以B ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC V 相似时，运动时间为（ ）A ．2411秒B ．95秒C ．2411秒或95秒D ．以上均不对2．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 中，90C Ð=°，3AC =，4BC =，动点P 从点B 出发以每秒1个单位长度的速度沿B A ®匀速运动；同时点Q 从点A 出发同样的速度沿A C B ®®匀速运动．当点P 到达点A 时，P 、Q 同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为 时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形．3．（2024·吉林长春·三模）如图，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，8AB =，6BC =，点D 为AC 中点，动点P 从点A 出发，沿边AB 以每秒5个单位长度的速度向终点B 运动，连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转90°得线段DE ，连结PE ．设点P 运动的时间为t 秒．(1)用含t 的代数式表示点P 到AC 的距离为________；(2)当点E 落在ABC V 内部（不包括边界）时，求t 的取值范围；(3)当PE 与ABC V 的一边平行时，求线段PE 的长度；(4)当经过点E 与ABC V 的一个顶点的直线平分ABC V 面积时，直接写出t 的值．4．（2024·江苏苏州·二模）如图，矩形ABCD 中，4AB ＝厘米，3BC ＝厘米，点E 从A 出发沿AB BC -匀速运动，速度为1厘米/秒；同时，点F 从C 出发沿对角线CA 向A 匀速运动，速度为1厘米/秒，连接DE DF EF 、、，设运动时间为t 秒．请解答以下问题：(1)当0 2.5t ＜＜时①t 为何值时，EF AD ∥；②设DEF V 的面积为y ，求y 关于t 的函数；5．（2023·吉林松原·模拟预测）已知ABC V 中，90C Ð=°，3cm AC =，4cm CD =，BD AD =．点F 从点A 出发，沿AC CD -运动，速度为1cm/s ，同时点E 从点B 出发，沿BD DA -运动，运动速度为1cm/s ，一个点到达终点，另一点也停止运动．设AEF △ 的面积为S 2cm ，点E ，F 运动时间为t s ．(1)求BD 的长；(2)用含t 的代数式表示DE ；(3)求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．6．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图1和2，在矩形ABCD 中，6,8AB BC ==，点K 在CD 边上．且73CK =．点M N ，分别在,AB BC 边上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN -匀速运动，点E 在CD 边上随P 移动，且始终保持^PE AP ；点Q 从点D 出发沿DC 匀速运动，点P Q ，同时出发，点Q 的速度是点P 的一半，点P 到达点N 时停止，点Q 随之停止．设点P 移动的路程为x ．(1)当点Q 与点K 重合时，通过计算确定点P 的位置；(2)若点P 在BN 上，当BP CE =时，如图2，求x 的值；(3)在点P 沿折线MB BN -运动过程中，求点Q ，E 的距离（用含x 的式子表示）；(4)已知点P 从点M 到点B 再到点N 共用时20秒，请直接写出点K 在线段QE 上（包含端点）的总时长．。

2023年中考数学真题汇编几何综合压轴问题专项练习(共40题)(解析版)

2023年中考数学真题汇编几何综合压轴问题专项练习(共40题)(解析版)

几何综合压轴问题专项练习答案（40题）(1)将CDE 绕顶点C 旋转一周，请直接写出点M ，N 距离的最大值和最小值；(2)将CDE 绕顶点C 逆时针旋转120︒（如图2），求MN 【答案】(1)最大值为3，最小值为1(2)7【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出,CM CN 解；（2）过点N 作NP MC ⊥，交MC 的延长线于点P ，根据旋转的性质求得进而可得1CP =，勾股定理解Rt ,Rt NCP MCP ，即可求解．【详解】（1）解：依题意，112CM DE ==，12CN AB =当M 在NC 的延长线上时，,M N 的距离最大，最大值为（2）解：如图所示，过点N 作NP MC ⊥，交MC 的延长线于点∵CDE 绕顶点C 逆时针旋转∴120BCE ∠=︒，∵45BCN ECM ∠=∠=︒，∴MCN BCM ECM ∠=∠-∠=∴60NCP ∠=︒，∴30CNP ∠=︒，∴112CP CN ==，在Rt CNP 中，2NP NC =-在Rt MNP △中，MP MC CP =+∴2234MN NP MP =+=+【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含(1)如图1，求证：DE BF =；(2)如图2，若2AD BF =，的延长线恰好经过DE 的中点【答案】(1)见解析(2)22BE =+△∵点G 是DE 的中点，∴GH 是FCD 的中位线，∴11122GH CD AD ===，设BE a =，则CH EH ==(1)如图1，求AB边上的高CH的长．''．(2)P是边AB上的一动点，点,C D同时绕点P按逆时针方向旋转90︒得点,C D①如图2，当点C'落在射线CA上时，求BP的长．△是直角三角形时，求BP的长．②当AC D''∴90C PQ PC Q '∠+∠='︒∵90C PQ CPH ∠+∠='︒∴PC Q CPH ∠=∠'．由旋转知PC PC '=，设C D ''与射线BA 的交点为作CH AB ⊥于点H ．∵PC PC ⊥'，∴90CPH TPC ∠'+∠=︒，∵C D AT ''⊥，∴90PC T TPC ∠'+∠='︒，【答案】（1）①见解析；②AD DF BD =+，理由见解析；【分析】（1）①证明：ABE CBD ∠=∠，再证明ABE ≅△可得DF DC =．证明AE DF =，从而可得结论；（2）如图，过点B 作BE AD ⊥于点E ，得90BED ∠=︒，证明2DE BD =，证明2AB BC =，ABE CBD ∠=∠，可得②AD DF BD=+．理由如下：∵DF和DC关于AD对称，=．∴DF DC=，∵AE CD∴AE DF=．∴AD AE DE DF BD=+=+∵DF 和DC 关于AD 对称，∴DF DC =，ADF ADC ∠=∠．∵CD BD ⊥，∴45ADF ADC ∠=∠=︒，∴45EBD ∠=︒．∴2DE BD =．∵AB AC AF ==，∴()11222HF BF BD DF ==-=，222262210BC BD CD =+=+=∴2221022AF AC BC ===⨯=25HF (2)知识应用：如图2Y是菱形；①求证：ABCD②延长BC至点E，连接OE交【答案】(1)见解析5∴1BG BO GC OD==，∴115222CG BC AD ===，∴552OF GC ．处从由60PC P C PCP ''=∠=︒，，可知PCP '△为①三角形，故PP PC '=，又P A PA ''=，故PA PB PC PA PB PP A B '''++=++≥，由②可知，当B ，P ，P '，A 在同一条直线上时，PA PB PC ++取最小值，如图2，最小值为(3)如图5，设村庄A ，B ，C 的连线构成一个三角形，且已知4km 23km AC BC ==，，建一中转站P 沿直线向A ，B ，C 三个村庄铺设电缆，已知由中转站P 到村庄A ，B ，C 元/km ，a 元/km ，2a 元/km ，选取合适的P 的位置，可以使总的铺设成本最低为___________用含的式子表示）∵ACP A CP ''∠=∠，∴ACP BCP A CP BCP ∠+∠=∠+∠''又∵60PCP '∠=︒过点A '作A H BC '⊥，垂足为H ，∵60ACB ∠=︒，90ACA '∠=︒，∴30A CH '∠=︒，1猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点∵1122 CHGS CH HG=⋅=∴154302CG HE⋅=⨯=，①求证：PD PB =；②将线段DP 绕点P 逆时针旋转，化时，DPQ ∠的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ 与OP 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①见解析；②不变化，（2）AQ CP =，理由见解析【分析】（1）①根据正方形的性质证明②作,PM AB PN AD ⊥⊥，垂足分别为点∵四边形ABCD 是正方形，∴45DAC BAC ∠=∠=︒，∴四边形AMPN 是矩形，∴90MPN ∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴45BAC ∠=︒，90AOB ∠=∴45AEP ∠=︒，四边形OPEF=作PM AB⊥于点M，则QM MB=，∴QA BE=．∴AQ CP（1）求BCF ∠的度数；（2）求CD 的长．深入探究：（3）若90BAC ∠<︒，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，连接AE ，CF 满足0360α︒<<︒，点,,C E F 在同一直线上时，利用所提供的备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系，并说明理由．【答案】初步尝试：（1）1MN AC =；MN AC ∥；（2）特例研讨：（1）30BCF ∠=︒；（2）CD∵MN 是BAC 的中位线，∴MN AC ∥，∴90BMN BAC ∠=∠=︒∵将BMN 绕点B 顺时针旋转α∴,BE BM BF BN ==；BEF ∠=∵点,,A E F 在同一直线上时，2∵,ADN BDE ANB BED ∠=∠∠=∠∴ADN BDE ∽,∴2222DN AN DE BE ===,设DE x =，则2DN x =，在Rt ABE △中，2,2BE AE ==在Rt ADN △中，22AD DN AN =+∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，设ABC ACB θ∠=∠=，则1802BAC θ∠=︒-，∵MN 是ABC 的中位线，∴MN AC∥∴MNB MBN θ∠=∠=，∵将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，∴EBF MBN ≌，MBE NBF α∠=∠=，∴EBF EFB θ∠=∠=∴1802BEF θ∠=︒-，∵点,,C E F 在同一直线上，∴2BEC θ∠=∴180BEC BAC ∠+∠=︒，∴,,,A B E C 在同一个圆上，∴EAC EBC αθ∠=∠=-∴()()1802BAE BAC EAC θαθ∠=∠-∠=︒---180αθ=︒--∵ABF αθ∠=+，∴180BAE ABF ∠∠=+︒；如图所示，当F 在EC 上时，∵,BEF BAC BC BC∠=∠=∴,,,A B E C 在同一个圆上，设ABC ACB θ∠=∠=，则1802BAC BEF θ∠=∠=︒-，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，设NBF β∠=，则EBM β∠=，则360αβ+=︒，∴ABF θβ∠=-，∵BFE EBF θ∠=∠=,EFB FBC FCB∠=∠+∠∴ECB FCB EFB FBC θβ∠=∠=∠-∠=-，∵ EBEB =∴EAB ECB θβ∠=∠=-∴BAE ∠ABF=∠综上所述，BAE ABF ∠=∠或180BAE ABF ∠∠=+︒【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．10．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）【问题呈现】CAB △和CDE 都是直角三角形，90,,ACB DCE CB mCA CE mCD ∠=∠=︒==，连接AD ，BE ，探究AD ，BE 的位置关系．(1)如图1，当1m =时，直接写出AD ，BE 的位置关系：____________；(2)如图2，当1m ≠时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当3,47,4m AB DE ===时，将CDE 绕点C 旋转，使,,A D E 三点恰好在同一直线上，求（2）解：成立；理由如下：∵90DCE ACB ∠=∠=︒，∴DCA ACE ACE ∠+∠=∠+（3）解：当点E 在线段AD设AD y =，则AE AD DE =+根据解析（2）可知，DCA △∴3BE BC m AD AC===，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．(1)若点P 在AB 上，求证：A P AP '=；(2)如图2．连接BD ．①求CBD ∠的度数，并直接写出当180n =时，x 的值；②若点P 到BD 的距离为2，求tan A MP '∠的值；∵PM 平分A MA '∠∴90PMA ∠=︒∴PM AB∥∴DNM DBA V V ∽∴DN DM MN DB DA BA ==∵8,6,90AB DA A ==∠=︒，∴2226BD AB AD =+=+∴2103sin 3BQ BP DBA ===∠，∵90PQB CBD DAB ∠=∠=∠=︒，∴90QPB PBQ DBA ∠=︒-∠=∠，∵A MP AMP ' ≌，∴90PA M A '∠=∠=︒，（2）如图②，在矩形ABCD 的BC 边上取一点E ，将四边形ABED 沿DE 翻折，使点B '处，若24,6BC CE AB ⋅==，求BE 的值；（3）如图③，在ABC 中，45,BAC AD BC ∠=︒⊥，垂足为点,10,D AD AE ==于点F ，连接DF ，且满足2DFE DAC ∠=∠，直接写出53BD EF +的值．∵EF BC ∥，∴2CDF DFE ∠=∠=∴CDH FDH ∠=∠，又∵DH DH =，CHD ∠∴(ASA CHD FHD ≌【点睛】本题考查矩形的性质、翻折性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，综合性强，较难，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线求解是解答的关键．13．（2023·湖南郴州·=，连接点E，使CE AD(1)如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设4AB=，若AEB DEB∠=∠，求四边形BDFC的面积．【答案】(1)1CF BD=，理由见解析∴60,ADG ABC AGD ∠=∠=︒∠=∠∴ADG △为等边三角形，∴AD AG DG ==，∵AD CE =，AD AB AG AC -=-∴DG CE =，BD CG =，于点由①知：ADG △为等边三角形，∵ABC 为等边三角形，∴4,AB AC BC BH CH =====∴2223AH AB BH =-=，(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当90FEC ∠=︒时，求证：AEF DCE ∽△△；②如图2，当2tan 3FCE ∠=时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点G ，当1,sin 3GE DE FCE =∠=时，求证：，可得结论；正方形ABCD 中，①ADC BAD ∠=∠ ∴AEF CED ∠+∠=AEF ECD ∴∠=∠，延长DA ，CF 交于点G ，作GH CE ⊥，垂足为H ，90EDC EHG ∠=∠=︒ 且∠问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当90α=︒时，直接写出GCF ∠的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求GCF ∠与α的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当120α=︒时，若12DG CG =，求BE CE 的值．故答案为：45︒．（2）解：在AB上截取ANABC BAE AEB∠+∠+∠=∠=∠，ABC AEF22⎝⎭（3）解：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似．16．（2023·山西·统考中考真题）问题情境：“综合与实践沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为∠=∠=︒∠=∠．将ABCACB DEF A D90,和DFE△(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的DBE绕点B逆时针方向旋转，使点问题．∠①“善思小组”提出问题：如图3，当ABE②“智慧小组”提出问题：如图AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．【答案】(1)正方形，见解析(2)①AM BE=，见解析；【分析】（1）先证明四边形形；∠（2）①由已知ABE【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．17．（2023·湖北十堰·统考中考真题）过正方形E ，连接AE ，直线AE 交直线(1)如图1，若25CDP ∠=︒，则DAF ∠=___________(2)如图1，请探究线段CD ，EF ，AF 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)在DP 绕点D 转动的过程中，设AF a =，EF 【答案】(1)20︒。

2023中考数学一轮复习专题4

2023中考数学一轮复习专题4

专题4.27 圆中的相似压轴题专题训练（专项练习） 1．已知，在Rt △ABC 中，△BAC ＝90°，以AB 为直径的△O 与BC 相交于点E ，在AC 上取一点D ，使得DE ＝AD ，(1)求证：DE 是△O 的切线．(2)当BC ＝10，AD ＝4时，求△O 的半径．2．如图，在BCD △中，BD CD =，以BC 为直径作△O ，交BD 于点E ，交CD 于点F ，连接EF ，BG 平分FBC ∠，交△O 于点G ，GH 为△O 的切线，交BC 的延长线于点H ．(1)求证：DE DF =．(2)若△O 的直径为10，1CH =，求BE 的长．3．如图，AB 是△O 的直径，AD 是△O 的切线，点C 在△O 上，OD △BC 交AC 相交于点E ．(1)若AC=2CB，求证：△ABC△△DAE；(2)若AB=6，OD=8，求BC的长．4．如图，已知AB为圆O的弦（非直径），E为AB的中点，EO的延长线交圆于点C，CD△AB，且交AO的延长线于点D．EO：OC＝1：2，CD＝4，求圆O的半径．5．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝6，△B＝30°，M是AB上一点，以点M为圆心，MB为半径作△M交BC于点D．(1)如图1，若△M恰好与AC相切，求△M的半径．(2)如图2，若AM＝2MB，连接AD，求证：AD是△M的切线．6．如图，在△O中，AB为直径，OC△AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有一点E，且EF=ED．(1)求证：DE是△O的切线；(2)若tan A=1，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；2(3)在（2）的条件下，若OF=1，求△O的半径和CD的长．7．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，以BC为直径的△O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F．(1)若△BCD=30°，BC=10，求BD的长；(2)判断直线DE与△O的位置关系，并说明理由；(3)求证：2=⋅．2CE AB EF∠的外角的平分线，F为AD上一点，8．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为BCA=，延长DF与BA的延长线交于E．BC AF(1)求证：ABD △为等腰三角形．(2)求证：AC AF DF FE ⋅=⋅．9．如图，已知点C 在以AB 为直径的半圆O 上，点D 为弧BC 中点，连结AC 并延长交BD的延长线于点E ，过点E 作EG AB ⊥，垂足为点F ，交AD 于点G ，连结OG ，1DG =，2DB =．(1)求证：AE AB =．(2)求FB 的长．(3)求OG 的长．10．如图，已知AB 是△P 的直径，点C 在△P 上，D 为△P 外一点，且△ADC =90°，2△B +△DAB =180°．(1)证明：直线CD 为△P 的切线；(2)在“△DC；△AD=4；△AP=5”中选择两个．．作为结论组成一个．．作为条件，剩余的一个真命题，并完成解答过程．．．．．．．．．条件结论（只要填写序号）．11．如图，四边形ABCD内接于△O，AB＝AC，BD△AC，垂足为E．(1)若△BAC＝40°，则△ADC＝°；△DAC＝°(2)求证：△BAC＝2△DAC；(3)若AB＝10，CD＝5，求BC的值．12．如图，点C是以AB为直径的半圆O上一动点，作半径OA的垂直平分线交OA于点F，交AC于点E，交切线CD于点D．△的形状，并说明理由；(1)判断CDE(2)若O 的半径是2，1cos 4B =，求CE 的长．13．如图，在Rt ABC △中，90,B D ∠=︒为AC 上一点，以DC 为直径的O 与边AB 交于点F ，与边BC 交于点E ，且弧DF 等于弧EF ．(1)证明：AB 与O 相切；(2)若18,10CE AD ==，求BF 长．14．如图，以BC 为直径的△O 交△ABC 的边AB 于点D ，过点D 作△O 的切线交AC 于点E ，且AC ＝BC ．(1)求证：DE △AC ；(2)若BC ＝4cm ，AD ＝3cm ，求AE 的长．15．如图，在ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的△O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作DF △AC ，垂足为点F ．(1)求证：直线DF 是△O 的切线；(2)求证：BC2＝4CF•AC．16．如图，点C在以AB为直径的△O上，BD平分△ABC交△O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E.(1)求证：DE与△O相切；(2)若AB＝5，BE＝4，求BD的长；(3)请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．17．如图，AC是△O的直径，B在△O上，BD平分△ABC交△O于点D，过点D作DE△AC 交BC的延长线于点E．(1)求证：DE是△O的切线．(2)若AB＝4，BC＝2，求BE的长．18．如图，AB是O的直径，点C在O上，ABC∠的平分线与AC相交于点D，交AC于点F，且经过圆外一点E，连EA，测得EA AD=．(1)求证：EA是O的切线．319．如图，直线33y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，以A 为圆心，AB 为半径作半圆，AC AB ⊥交半圆弧于点C ，弦CD x ∥轴，交y 轴正半轴于点E ，连结,OD BD ．(1)求A 的半径长及直线BC 的函数表达式．(2)求tan ABD ∠的值．(3)P 为x 轴上一点．△当PC 平行于四边形OABD 的一边时，求出所有符合条件的AP 的长．△若直线EP 恰好平分五边形OACBD 的面积，求点P 的横坐标．（直接写出答案即可）20．如图，AB 为O 的直径，CD 为O 的弦，且CD AB ⊥垂足为M ，CAB ∠的平分线AE 交O 于点E ，过点E 作EF AC ⊥交AC 的延长线于点F ．(1)求证：EF 是O 的切线；9BM21．定义：有两边之比为1(1)如图1，在智慧三角形△ABC中，AB＝2，BC＝AD为BC边上的中线，求AD AC的值；(2)如图2，△ABC是△O的内接三角形，AC为直径，过AB的中点D作DE△OA，交线段OA 于点F，交△O于点E，连接BE交AC于点G．△求证：△ABE是智慧三角形；△设sin△ABE＝x，OF＝y，若△O的半径为2，求y关于x的函数表达式；(3)如图3，在（2）的条件下，当AF：FG＝5：3时，求△BED的余弦值．22．如图，AC为△O的直径，CF切△O于点C，AF交△O于点D，点B在DF上，BC交△O 于点E，且∠CAF=2∠BCF，BG△CF于点G，连接AE．(1)求∠AEB的度数；(2)求证：△CBG△△ABE；(3)若∠F=60°，GF=2，求△O的半径长．23．如图，AB是△O的直径，点F在△O上，BAF∠的平分线AE交△O于点E，过点E作ED AF⊥，交AF的延长线于点D，延长DE，AB相交于点C．(1)求证：CD是△O的切线；(2)若△O的半径为5，1tan2EAD∠=，求BC的长．24．如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边CD上的动点P重合（点P不与C、D重合），MN为折痕，点M、N分别在边BC、AD上．连接AM、MP、AP，其中，AP与MN相交于点F，△O过点M、C、P．(1)求证：AFN ADP ∽△△； (2)若AB CM =，求证：△AMP 为等腰直角三角形；(3)随着点P 的运动，若△O 与AM 相切于点M ，又与AD 相切于点H ，且4AB =，求△O 的直径．25．已知△O 是边长为3的正∆ABC 的外接圆，点P 为弧AC 上一点． (1)如图1，当BP 恰为△O 的直径时，求BP 的长；(2)如图2，点M 在线段BP 上，点N 在线段CP 上，且BM ＝CN ，连接CM ，MN ，若△CMN ＝30°，求CM 2＋MN 2的值；(3)如图3，延长CP 交BA 延长线于点E ，连接AP 并延长交BC 延长线于点F ．请判断PE ·PF 是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．26．如图△，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，D 是AC 上一点(不与点A ，C 重合)，以A 为圆心，AD 长为半径作A 交AB 于点E ，连结BD 并延长交A 于点F ，连结ED ，EF ，AF ．(1)求证：2EAF BDE ∠=∠；(2)如图△，若2EBD EFD ∠=∠，求证：2DF CD =； (3)如图△，6BC =，8AC =． △若90EAF ∠=︒，求A 的半径长；△求BE DE ⋅的最大值．参考答案1．(1)见解析；(2)3【解析】 【分析】（1）连接OE ，OD ，只需要△OAD △△OED 得到△OED =△OAD =90°即可； （2）证明△BEO =△EOD ，得到∥OD BC ，则△AOD △△ABC ，求出152OD BC ==，则3OA ==．(1)解：如图所示，连接OE ，OD ， 在△OAD 和△OED 中， OA OE OD OD AD ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩， △△OAD △△OED （SSS ）， △△OED =△OAD =90°， △ED 是圆O 的切线；(2)解：△△OAD △△OED ， △△AOD =△EOD ， △OB =OE ， △△B =△OEB ， △△AOE =△B +△BEO ， △△BEO =△EOD ， △∥OD BC ， △△AOD △△ABC ，12OD OA BC AB ==， △152OD BC ==，△3OA =，△圆O的半径为3．【点拨】本题主要考查了圆切线的判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，平行线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）圆的内接四边形的性质可得△DEF=△DCB，△DFE=△DBC，再根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）连接OG，根据圆周角定理得到△BFC=90°，根据切线的性质得到OG△GH，根据相似三角形的性质得到BF的值，再根据勾股定理即可得到结论．(1)证明：△△DEF+△BEF=△BEF+△BCD=180°，△△DEF=△DCB，同理△DFE=△DBC，△ BD=CD，△△DBC=△DCB，△△DEF=△DFE，△DE=DF；(2)解：连接OG，△△O的直径为10，△BC=10，OG=5，△CH=1，△OH=6，△BC是△O的直径，△△BFC=90°，△GH为△O的切线，△BG平分△FBC，△△FBG=△CBG，△FG CG=，△．OG△CF，△CF△HG，△△H=△BCF，△△BCF△△OHG，△BC BF CH OG=，△1065BF=，△253 BF=，△CF==△BD=CD，DE=DF，△BD-DE=DC-DF，即BE CF==【点拨】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．3．(1)见解析；(2)94 BC=【解析】【分析】（1）根据圆的切线的性质，平行线的性质，即可证三角形的全等．（2）由（1）的全等可得到证相似三角形的条件，通过相似的性质，即可求得BC的值．(1)证明：△AB是△O的直径，△△ACB=90°，△△B+△BAC=90°．△AD是△O的切线，△△CAD+△BAC=90°．△BC//OD，△△AED=△BCA=90°．△OD△AC，△AE=CE．△AC=2CB，△AE=BC．△△ABC△△DAE；(2)△△B=△AOD，△C=△OAD △△ABC△△DOA，△::BC OA AB OD=，△:36:8BC=，△94 BC=．【点拨】本题主要考查圆的切线的性质，掌握圆的切线的性质并结合全等三角形、相似三角形的性质进行求解是解题的关键．4【解析】【分析】根据E为AB的中点，则OE ⊥AB，根据CD ∥AB，可以得到△AEO △△DCO，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出AE，在Rt△AOE中，根据勾股定理，就得到半径．【详解】解：△E是AB的中点，△OE△AB，即△3＝90°，△AB△CD，△△4＝90°，△△1＝△2，△△AOE△△DOC，△AE：DC＝OE：OC＝1：2，△AE1=CD＝2，2又△OA＝OC＝2OE，而AE2+OE2＝OA2，△OE2+4＝（2OE）2，△OE=△圆O的半径OA＝2OE=2=【点拨】本题主要考查了垂径定理，利用勾股定理把求半径的问题转化为解方程的问题，熟练掌握知识点是解题的关键．5．36(2)见解析【解析】【分析】（1）过点M作MN△AC于N，根据切线的性质得到MB＝MN，根据直角三角形的性质分别求出AB、BC，证明△ANM△△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可；（2）证明△AMD△△BAC，根据相似三角形的对应角相等得到△A DM＝△BCA＝90°，根据切线的判定定理证明结论．(1)解：如图1，过点M作MN△AC于N，则MN△BC，△△M恰好与AC相切，△MB＝MN，在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝6，△B ＝30°， △AB ＝2AC ＝12，BC ACtanB== △MN △BC ， △△ANM △△ACB ， △MN AMBC AB= 1212MN -=解得：MN ＝36，即△M 的半径为36； (2)证明：△MB ＝MD ，△B ＝30°， △△MDB ＝△B ＝30°， △△AMD ＝60°， △△AMD ＝△BAC ， △AM ＝2MB ，MB ＝MD ， △12MD AM =， △12AC AB =， △12MD AC AM AB == ， △△AMD △△BAC ，△△A DM ＝△BCA ＝90°，即MD △AD ， △MD 为△M 的半径， △AD 是△M 的切线．【点拨】本题考查了圆的相关知识，掌握切线的判定以及相似是解题的关键． 6．(1)见解析(2)3AB BE =，证明见解析(3)△O 的半径为3，CD =【解析】 【分析】（1）根据等边对等角可得34∠=∠，2EDF ∠=∠，根据OC △AB ，可得1390∠+∠=︒，进而根据等量代换可得490EDF ∠+∠=︒，根据切线的判定定理即可证明DE 是△O 的切线；（2）证明ADE DBE △∽△，在Rt ABD △中，1tan 2BD A AD ==，可得DE BE AE DE =12=，设DE a =，分别表示出AB BE ,即可得到3AB BE =；（3）过点F 作FG BC ⊥于点G ，设FG m =，则,GB m FB ==，22CG FG m ==，在Rt OBC 中，BC =，求得m 进而求得3OC OB ==，过点O 作OH CD ⊥，根据1tan tan 3OH OF OCH OCF CH OC ∠====，解直角三角形即可求得CH 的长，进而求得CD 的长．(1)证明：连接OD ，如图，OC OD = 3=4∴∠∠ EF ED =2EDF ∴∠=∠12∠=∠1EDF ∴∠=∠OC △AB ，∴1390∠+∠=︒41490EDF ∴∠+∠=∠+∠=︒即90ODE ∠=︒OD 是O 的半径DE ∴是O 的切线 (2)3AB BE =，理由如下， 如图，连接OD ，OA OD =OAD ODA ∠=∠∴AB 是O 的直径90ADB ∴∠=︒即ADO ODB 90∠+∠=︒DE ∴是O 的切线90ODE ∴∠=︒即90EDB ODB ∠+∠=︒AOD BDE ∴∠=∠ E E ∠=∠ADE DBE ∴∽DB DE BEDA AE DE∴== 在Rt ABD △中，1tan 2BD A AD == ∴DE BE AE DE =12= 设DE a =1122,22AE DE a BE DE a ∴==== 32AB AE BE a ∴=-=3AB BE ∴= (3)如图，过点F 作FG BC ⊥于点G ，OC AB ⊥，AC AC =1452ABC AOC ∴∠=∠=︒BFG ∴△是等腰直角三角形，DB DB =FCG A ∴∠=∠1tan 2A =1tan 2GCF ∴∠=∴12FG CG =设FG m =，则,GB m FB ==，22CG FG m == 3BC m ∴=在Rt OBC 中，OC =1OB OF FB =+=BC =即(13m解得m 2FB ∴=123OC OB OF FB ∴==+=+=过点O 作OH CD ⊥，OC OD = 2CD CH ∴=在Rt OCF 中，CF ，OF OC OH CF ⨯=== 在Rt OCH 中，1tan 3OH OF OCH CH OC ∠===∴3CH OH ==2CD CH ∴==【点拨】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．7．(1)BD =5(2)DE 是△O 的切线，理由见解析 (3)见解析 【解析】 【分析】（1）先推出△BDC =90°，即可利用含30度角的直角三角形的性质求解；（2）如图，连接OD ，先证OE 是△ABC 的中位线，得到OE AB ∥，推出OE △CD ，得到△DOE =△COE ，证明ΔEOD △△EOC (SAS)，得到△EDO =△ECO =90°则DE 是OO 的切线（3）先证EF 是△ACD 的中位线，得到AD =2EF ．再证△ABC △△ACD ，得到2AC AD AB =⋅，由此即可证明．(1)解：△BC 是直径． △△BDC =90°，在 Rt △BCD 中，△BC =10，△BCD =30°， △BD =12BC =5； (2)解：DE 是圆O 的切线 理由：如图，连接OD ．△E 是AC 的中点，O 是BC 的中点， △OE 是△ABC 的中位线， △OE AB ∥， △CD △AB ， △OE △CD ， △OD =OC ， △△DOE =△COE ， 在△EOD 和△EOC 中=OD OC DOE COE OE OE =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， △ΔEOD △△EOC (SAS)， △△EDO =△ECO =90° △OD △DE ， △DE 是OO 的切线 (3)解：△OE △CD △DF =CF ， △F 是CD 的中点， △EF 是△ACD 的中位线， △AD =2EF ．△△CAD=△CAB，△ADC=△ACB=90°，△△ABC△△ACD，AD AC∴=AC AB△2=⋅AC AD AB△AC=2CE，△242=⋅=⋅CE AD AB AB EF△2=⋅2CE AB EF【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆与三角形综合，切线的判定，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线等等，熟知相关知识是解题的关键．8．(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）先由圆内接四边形的性质，得出△MCD=△BAD，又由角平分线可得△MCD=△ACD，又由圆周角定理知△ACD=△ABD，即可证得△ABD=△BAD，利用等角对等边即可得出结论；（2）证先CD=DF，再证△ADC△△EF A，利用相似三角形的性质即可得出结论．(1)证明：△四边形ABCD内接于圆，△△MCD=△BAD，∠的外角的平分线，△CD为BCA△△MCD=△ACD，△△ACD=△ABD，△△ABD=△BAD，△AD=BD，△为等腰三角形．即ABD(2)证明：由（1）知：AD=BD，△AD BD=，△BC=AF，△AF BC=，△AD AF BD BC-=-，AB AF AB BC+=+，△=DF CD，△CD=DF，△ABC BAF=，△△ADC=△BDF，△四边形ABDF内接于圆，△△EAF=△BDF，△EF A=△DBA，△△DBA=△DCA，△△DCA=△EF A，△△ADC△△EF A，△CD AC AF EF=，△DF AC AF EF=，△AC AF DF FE⋅=⋅．【点拨】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧与弦的关系，等腰三角形的判定，三角形相似的判定与性质，解题的关键是证CD=DF，△ADC△△EF A．9．(1)见解析【解析】【分析】（1）根据点D为弧BC中点得到CD＝BD，又根据AB是直径得到△ECB＝90°，再根据等角的余角相等可以推导出△ECD＝△DEC，从而有ED＝CD，得到ED＝BD，由AD是BE的垂直平分线得到AE＝AB；（2）根据△DEG△△FEB，写出比例式，可以求出BF；（3）先由△ABD△△EBF，写出比例式求出AB，接着在直角三角形BFG和直角三角形FOG中，由勾股定理求出OG.(1)如图，连接CB，连接CD，△D是BC的中点，△CD＝BD.△AB是圆O的直径，C、D在圆O上，△△ACB＝90°，△ADB＝90°.在Rt△ECB中，△ECB＝90°，△CD＝BD，△△DCB＝△DBC.又△DCB＋△ECD＝90°，△DBC＋△DEC＝90°，△△ECD＝△DEC.△ED＝CD.又CD＝BD，△ED＝BD.△AD△EB，ED＝BD，△AD是EB的垂直平分线，△AE＝AB.(2)△D是BE中点，△BE＝2BD＝4.在Rt△EGD中，根据勾股定理得：EG△△DEG＝△FEB，△GDE＝△EFB＝90°，△△DEG△△FEB.△DG EGFB EB =，即1FB =△FB(3)△△ABD ＝△EBF ，△ADB ＝△EFB ， △△ABD △△EBF . △AB BDEB BF=，即4AB =△AB ＝△OB△OF ＝OB －BF在Rt△GFB 中，根据勾股定理得FG=在Rt△GOF中，根据勾股定理得OG == 【点拨】本题考查了圆的综合知识、相似三角形的判定定理和性质定理、勾股定理，熟练掌握相似形和勾股定理求线段长度是解题关键.10．(1)见解析(2)△DC △AD =4为条件，△AP =5为结论；解答见解析 【解析】 【分析】（1）连接PC ，则△APC =2△B ，可证PC △DA ，证得PC △CD，则结论得证； （2）△DC △AD =4为条件，△AP =5为结论；连接AC ，先求出AC 长，可证△ADC △△ACB ，可求出AB 长．(1)证明：连接PC ，△PC=PB，△△B=△PCB，△△APC=2△B，△2△B+△DAB=180°，△△DAP+△APC=180°，△PC△DA，△△ADC=90°，△△DCP=90°，即DC△CP，△直线CD为△P的切线；(2)解：△DC，△AD=4为条件，△AP=5为结论；连接AC，△DC，AD=4，△ADC=90°，△AC=△AP=CP，△△P AC=△ACP，△AD△PC，△△DAC=△ACP，△△P AC=△DAC，△AB是△P的直径，△△BCA=90°，△△BCA=△ADC，△AB AC AC AD=，△AB=10，△AP=5．【点拨】本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．11．(1)110；20；(2)见解析；(3)BC=【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可求△ADC，根据圆周角定理和三角形内角和定理即可求△DAC；（2）根据等腰三角形的性质和圆周角定理及三角形内角和定理即可求解；（3）过A作AH△BC于H，根据等腰三角形的性质得到12BAH CAH CAB∠∠∠＝＝，CH＝BH，过C作CG△AD交AD的延长线于G，根据全等三角形的性质得到AG＝AH，CG＝CH，根据形似三角形的性质得到12BHAH=，设BH＝k，AH＝2k，由勾股定理即可求解．(1)△AB＝AC，△BAC＝40°，△△ABC＝△ACB＝70°，△四边形ABCD内接于△O，△△ADC＝180°﹣△ABC＝110°，△BD△AC，△△AED＝90°，△△ADB＝△ACB＝70°，△△DAC＝180°﹣△ADB﹣△AED＝20°，故答案为：110；20△△AEB＝△BEC＝90°，△△ACB＝90°﹣△CBD，△AB＝AC，△△ABC＝△ACB＝90°﹣△CBD，△△BAC＝180°﹣2△ABC＝2△CBD，△△DAC＝△CBD，△△BAC＝2△DAC；(3)过A作AH△BC于H，过C作CG△AD交AD的延长线于G，△AB＝AC，△12BAH CAH CAB∠∠∠＝＝，CH＝BH，△△BAC＝2△DAC，△△CAG＝△CAH，△△G＝△AHC＝90°，△AC＝AC，△△AGC△△AHC（AAS），△AG＝AH，CG＝CH，△△CDG＝△ABC，△△CDG△△ABH，△51102 CG CDAH AB=＝＝，△12 BHAH=，设BH＝k，AH＝2k，△10 AB===△k＝△BC＝2k＝【点拨】本题考查圆内接四边形、全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、形似三角形的判定及其性质，勾股定理，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键．12．(1)等腰三角形，见解析【解析】【分析】（1）根据线段的中垂线的定义，切线的性质以及等腰三角形的性质和判定，证出△DEC =△DCE 即可；（2）在Rt △ABC 中，根据锐角三角函数和勾股定理求出BC 、AC ，然后证明AEF ABC∽求出AE 即可．(1)CDE △是等腰三角形理由：连接OC ，如图：△CD 是O 的切线，△OC CD ⊥，△90OCD ∠=︒，即90DCE OCA ∠+∠=︒，△OA OC =，△A OCA ∠=∠，△90DCE A ∠+∠=︒，△DF OA ⊥，△90AEF A ∠+∠=︒，△DCE AEF ∠=∠，△DEC AEF ∠=∠，△DCE DEC ∠=∠，△DC DE =，即CDE △是等腰三角形；(2)△O 的半径是2，△4AB =，△AB 为O 的直径，△90ACB ∠=︒， △1cos 414BC AB B =⋅=⨯=，△AC =△DF 垂直平分OA ， △112AF OA ==， △AFE ACB ，EAF BAC ∠=∠，△AEF ABC ∽， △AE AFAB AC=，即4AE =，△AE =△CE AC AE =-==． 【点拨】本题考查切线的性质，线段垂直平分线的性质，圆周角定理以及解直角三角形，掌握相关性质定理是正确解答的前提．13．(1)见解析(2)12【解析】【分析】（1）连接DF ，EF ，OF ，根据圆周角定理得到△DOF ＝12△DOE ，得到△DOF ＝△C ，根据平行线的性质得到△OF A ＝△B ＝90°，于是得到AB 与△O 相切；（2）过O作OH△NC于H，则四边形OFBH是矩形，CH＝EH＝12CE＝9，求得BH＝OF，设△O的半径为r，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．(1)连接DF，EF，OF，OE，如图所示：△DF EF=，△△DOF＝12△DOE，△△C＝12△DOE，△△DOF＝△C，△OF∠BC，△△OF A＝△B＝90°，△AB与△O相切；(2)过O作OH△CB于H，△△OHB=90°，△△OFA＝△B＝90°，则四边形OFBH是矩形，CH＝EH＝12CE＝9，△BH＝OF，设△O的半径为r，△OC＝OF＝BH＝r，AC＝2r＋10，BC＝9＋r，△OH∠AB，△△COH△△CAB，△OC CH AC BC=，△9 2109rr r=++，解得：r＝15或6r=-，经检验r＝15或r=-6都是方程的根，但r=-6不合题意舍去△BF＝OH12=．【点拨】本题考查了切线的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，分式方程，勾股定理正确的作出辅助线是解题的关键．14．(1)见解析(2)9 cm 4【解析】【分析】（1）如图所示，连接OD，证明△A=△ODB，得到OD AC∥，再由DE是圆O的切线，即可得到△DEA=△ODE=90°，即DE△AC；（2）如图所示，连接OD，CD，由BC是圆O的直径，推出△AED=△ADC，即可证明△ADE△△ACD，得到AE ADAD AC=由此求解即可，(1)解：如图所示，连接OD，△OD=OB，△△B=△ODB，△AC=BC，△△A=△B，△△A=△ODB，△OD AC∥，△DE是圆O的切线，△△ODE=90°，△△DEA=△ODE=90°，即DE△AC；(2)解：如图所示，连接OD，CD，△BC是圆O的直径，△△BDC=90°，△△ADC=90°△△AED=△ADC，又△△A=△A，△△ADE△△ACD，△AE ADAD AC=，即334AE=，△9cm4AE=．【点拨】本题主要考查圆切线的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，平行线的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．15．(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)连接OD、AD，由AB为圆的直径得到△ADB=90°，由等腰△ABC的“三线合一”得到D为BC的中点，进而得到OD为△ABC的中位线，由此得到OD∠AC，即可得到△ODF=△DFC=90°进而证明；(2)连接AD，证明△CDF△△CAD，进而得到CD²=CF·CA，再由BC=2CD代入即可证明．(1)证明：连接OD、AD，如下图所示：△AB为圆O的直径，△△ADB=90°，△AB=AC，由等腰三角形的“三线合一”可知，△D为BC的中点，又O为AB的中点，△OD为△ABC的中位线，△OD∠AC，△△ODF=△DFC，由已知DF△AC，△△ODF=△DFC=90°，△DF为△O的切线．(2)证明：连接AD，如下图所示：由(1)中可知：△ADC=△ADB=90°=△DFC，又△C=△C，△△CDF△△CAD，△CD CF CA CD，整理得到：CD²=CF·CA，又CD =12BC ，代入上式，14BC ²=CF •AC ， △BC 2＝4CF •AC ．【点拨】本题考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定及性质等，熟练掌握等腰三角形的性质、圆的性质及相似三角形的判定方法是解题的关键．16．(1)见解析(2)(3)CE =AB -BE ，理由见解析【解析】【分析】（1）连接OD ，先证OD BE ∥，再根据BE DE ⊥，可得OD DE ⊥，即可得证结论； （2）证△ABD △△DBE ，根据线段比例关系即可求出BD 的长度；（3）过点D 作DH △AB 于H ，根据HL 证Rt △BED △Rt △BHD ，再根据AAS 证△ADH △△CDE ，再利用等量代换即可得出CE =AB −BE ．(1)证明△如图：连接OD ，OD OB =，ODB OBD ∴∠=∠， BD 平分ABC ∠，OBD CBD ∴∠=∠，ODB CBD ∴∠=∠，OD BE ∴∥，BE DE ⊥，OD DE ∴⊥， OD 是△O 的半径，∴DE 与△O 相切；(2)解：AB 为△O 的直径，∠=90ADB ∴︒，BE DE ⊥，==90ADB BED ∴∠∠︒， BD 平分ABC ∠，OBD CBD ∴∠=∠，ABD DBE ∴△∽△，=AB BD BD BE ∴， 5=4BD BD ∴，BD ∴(3)解：CE =AB -BE ；理由如下如图：过点D 作DH AB ⊥于点H ，则=90DHA ∠︒，BD 平分ABC ∠，BE DE ⊥，DH AB ⊥，=DH DE ∴，=90DEC ∠︒，在Rt BED △与Rt BHD △中，==BD BD DE DH ⎧⎨⎩()Rt BED Rt BHD HL ∴△≌△，=BE BH ∴，四边形ABCD 内接于△O ，A DCE ∠=∠∴，在ADH △与CDE △中===90=A DCE DHA DEC DH DE ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩()ADH CDE AAS ∴△≌△，=AH CE ∴，=AB AH BH +，AB CE BE ∴=+，=CE AB BE ∴-．【点拨】本题主要考查了切线的判定，角平分线的定义，平行线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．17．(1)见解析 (2)92【解析】【分析】（1）连接OD ，得到△DOC ＝90°，再利用平行线的性质得到△ODE ＝90°，证明得到结论．（2）利用勾股定理得到AC ＝ODFC 得到FC ＝O CΔCEF △ΔACB 得出结果．(1)证明：连接OD ，△AC 是△O 的直径，△△ABC ＝90°，△BD 平分△ABC△△DBE ＝45°，△△DOC ＝90°，△DE△AC，△△ODE＝90°，△DE是△O的切线(2)作CF△DE，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，△AC＝△△COD＝△ODF＝△CFD＝90°，△四边形ODFC是矩形，△OC＝OD，△四边形ODFC是正方形，△FC＝O C△DE△AC，△△ACB＝△E，△ΔCEF△ΔACB，△CFCE ＝ABAC，△CE＝52．△BE＝92．【点拨】本题考查圆中切线的判定，圆周角定理的推论以及相似三角形的判定和性质，解决问题的关键是在圆中利用弧确定角的度数．18．(1)见解析(2)【解析】【分析】(1)首先由圆周角定理可得90C ∠=︒，2390=+︒∠∠，再由=AE AD 及对顶角的性质，可得=3E ∠∠，可得2=90E ∠+∠︒，由角平分线的定义可得1=2∠∠，可得1=90E ∠+∠︒，据此即可证得结论；(2)首先由2cos cos 33CD E BD =∠==，可求得4=3CD ，BC D 作DG AB ⊥于点G ，可证得BGD BCD △≌△，可得=BG BC 4==3GD CD ，再证得ADG ABC △∽△，222416===39AD AD AG GD --，可得43AD AG -，据此可求得AG ，OA 的长，即可求得．(1)证明：AB 是O 的直径，90C ∴∠=︒，23=90∴∠+∠︒，=AE AD ，=4E ∴∠∠，又4=3∠∠，=3E ∴∠∠，2=90E ∴∠+∠︒， BE 平分ABC ∠，1=2∴∠∠，1=90E ∴∠+∠︒，=90EAB ∴∠︒，即AB AE ⊥，又OA 是O 的半径，EA ∴是O 的切线；(2)解：=3E ∠∠，90C ∠=︒，2cos 3E =， 2cos cos 33CD E BD =∠==， =2BD ，224==2=333CD BD ∴⨯，BC ∴如图：过点D 作DG AB ⊥于点G ，==90BGD C ∴∠∠︒，在BGD △与BCD △中，1=2==BGD C BD BD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩()BGD BCD AAS ∴△≌△，=BG BC ∴4==3GD CD =DAG BAC ∠∠，==90AGD C ∠∠︒，ADG ABC ∴△∽△，=AD AG AB AC∴， =AD AC AG AB ∴⋅⋅，4=3AD AD AG AG ⎛⎛⎫∴+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，224=3AD AD AG AG ∴+，22224416====339AG AD AD AG GD ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，43AD AG ∴-，把43AD AG -代入2216=9AD AG -，得22416=39AG AG ⎫--⎪⎪⎝⎭，解得AG AG =0(舍去)，=AB AG BG ∴+ 1=2OA AB ∴O ∴的半径为【点拨】本题考查了圆周角定理，等边对等角，角平分线的定义，切线的判定，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点，正确地作出辅助线是解决本题的关键．19．，132y x =-+ (2)2 (3)△102,53，，△1405⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【解析】【分析】（1）根据直线33y x =-+与坐标轴的交点，求得,A B 的坐标，进而勾股定理求解即可得圆的半径，过点C 作CF x ⊥轴，证明OAB FCA ≌，进而求得C 的坐标，待定系数法求解解析式即可；（2）证明CBE ABD ∠=∠，进而在Rt BEC △中即可求得CBE ∠的正切值，从而求解； （3）△过点D 作DG x ⊥轴，分别求得直线,,DO BD AB ，△根据题意分PC 行与平,,DB OD AB 三种情形讨论，分别求得直线解析式，进而求得直线PC 与x 轴的交点坐标即可；△设EP 与BC ，DO 分别交于,M N ，过点M 作MT x ⊥，根据题意求得 BEM △与DEN 的面积和为114，进而求得MS 的长，根据（2）的结论即可求得BS 的长，进而求得M 的坐标，根据E 的坐标，待定系数法求解析式，进而求得与x 轴的交点坐标即为所求(1)如图，过点C 作CF x ⊥轴，33y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，令0x =，则3y =，令0y =，则1x =，()()1,0,0,3A B ∴13OA OB ∴==,，AB AC AB ⊥，90OAB CAF ∴∠+∠=︒90OAB OBA ∠+∠=︒OBA FAC ∴∠=∠又AC AB =，90AOB CFA ∠=∠=︒∴OAB FCA ≌1,3CF OA AF OB ∴====()4,1C ∴设过点()()0,3,4,1B C 的直线为y kx b =+，则143k b b =+⎧⎨=⎩解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为132y x =-+(2)如图，连接AD ，过点D 作DG x ⊥轴，AC AD ==CD x ∥1OE ∴=3AG ∴=()2,1D ∴-2,2DE BE BO EO ∴==-=DEB ∴是等腰直角三角形45DBE ∴∠=︒,AB AC BA AC =⊥∴ABC 是等腰直角三角形45ABC ∴∠=︒DBE ABC ∴∠=∠ABD ABO EBD ABO ABC EBC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠在Rt EBC 中，2,4BE CE ==4tan tan 22EC ABD EBC BE ∴∠=∠=== tan 2ABD ∴∠=(3) △()2,1D -tan 2DE EOD EO ∴∠== 由（2）可知tan 2EBC ∠=EOD EBC ∴∠=∠BC DO ∴∥i )当PC OD ∥时，BC DO ∥，132BC y x =-+ 令0y =，得6x =∴()6,0P∴当PC OD ∥时，()6,0P()()6,0,1,0P A5PA ∴=i i )当PC BD ∥时，()()0,3,2,1B D -∴3BD y x =+设PC y x s =+，过点()4,1C解得3s =-∴3PC y x =-令0y =，得3x =∴()3,0P()()3,0,1,0P A2PA ∴=i i i )当PC AB ∥时，设直线PC 的解析式为3y x t =-+()4,1C13t ∴=313y x ∴=-+令0x =，得133y =， 13,03P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ 103AP ∴= 综上所述，AP 的长为：102,53， △如图，设EP 与BC ，DO 分别交于,M N ，过点M 作MS x ⊥轴， 11123133 1.559.5222BDO ABO ABC ACBDO S S S S =++=⨯⨯+⨯⨯+++=五边形EP 平分五边形ACBDO ，BDNM S ∴四边形19.5 4.752=⨯= 122BDE SBE ED =⨯⨯=112.754BEM DEN S S ∴+==，1124422BEC S BE CE =⨯⨯=⨯⨯= 设12,BEM EMC S S S S== 124S S ∴+=△由△可知BC DO ∥，∴EMC END ∽，24EMC END SEC S DE ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 214END S S ∴= 2111144S S ∴+=△ 联立△△得1221411144S S S S +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得173S = 1723MS BE ∴⨯= 73MS ∴= tan tan 2MBS CBE ∴∠=∠=7tan 6MS BS MBS ∴==∠ 711366OS OB BS ∴=-=-= 711,36M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭()0,1E设直线EP 解析式为y mx n =+711361m n n ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩ 5141m n ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ 5114y x ∴=+令0y =，得 145x =- 14,05P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭【点拨】本题考查了圆的基本概念，坐标与图形，求一次函数解析式，直线与坐标轴的交点问题，一次函数的平移，求正切值，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．20．(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）利用等腰三角形性质和角平分线的性质，求得△CAE =△AEO ，再根据平行线的判定和性质即可证明；（2）由矩形的判定得出四边形CGEF 是矩形；再由垂径定理可得EF =CG =BG =12BC ，CM =12CD =12；由△AMC △△CMB ，49AM BM =，设AM =4x 列方程求出BM 的长；再由勾股定理求得BC 的长即可解答．(1)解：如图，连接OE 交BC 于点G ，△OA=OE，△△AEO=△EAO，△AE平分△BAC，△△CAE=△EAO，△△CAE=△AEO，△AF△OE，△△F=90°，△△OEF=90°，△EF是圆的切线．(2)解：由（1）问图；△AB为圆的直径，△△ACB=90°，△△F=△FEO=90°，△四边形CGEF是矩形，△OE△BC，△EF=CG=BG=12BC，△AB△CD，△CM=12CD=12，Rt△ABC中，CM△AB，△△AMC△△CMB，△AM MC CM MB=，△49AMBM=，设AM=4x，则BM=9x，△4x×9x=122，解得x=2或x=-2（舍去），△BM=18，BC△EF=12BC=．【点拨】本题考查了切线的判定，圆周角定理，矩形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理；熟练掌握相关定理和性质是解题关键．21．(1)2(2)△见解析；△y =2－4x 2(3)cos BED ∠=【解析】【分析】（1）根据中线的定义及相似三角形的判定与性质可得答案；（2）△连接OE ，设△ABE =α，由圆周角定理及垂直定义可得△AED =△ABE =a ，然后根据相似三角形的判定与性质可得结论；△过点O 作OH △AE 交于点H ，由圆周角定理及三角函数可得答案；（3）过点G 作GI △AB 交DE 于点I ，设EG =3a ，则BE =5a ，根据相似三角形的性质可得答案．(1)△AD 是BC 的中线△12BD BC ==△BD AB AB BC ==△△B =△B△△ABD △△CBA △22ADBD AC AB (2)△如图，连接OE ，设△ABE =α，△△AOE =2△ABE =2α，△OA =OE ，△△OAE =90°-α，△DE △OA ，。

相似三角形压轴题

相似三角形压轴题

相似三角形压轴题1. 题目- 在△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，∠ADE = ∠B，已知AB = 5，BD = 3，BC = 9，求CE的长。

2. 解析- 因为∠ADE = ∠B，∠A = ∠A，所以△ADE∽△ABC。

- 根据相似三角形的性质，对应边成比例。

- 首先求DC的长，DC = BC - BD = 9 - 3 = 6。

- 由△ABD∽△ABC，可得(AB)/(BC)=(BD)/(DC)。

- 设CE = x，则AE = AC - x，AC=(AB× DC)/(BD)。

- 因为(AD)/(AB)=(AE)/(AC)（由△ADE∽△ABC得到）。

- 先求AC的值，AC=(5×6)/(3)=10。

- 再由(AD)/(AB)=(AE)/(AC)，设AD = y，(y)/(5)=(10 - x)/(10)。

- 又因为(AD)/(BD)=(AE)/(EC)（由△ADE∽△ABC得到的比例关系变形），(y)/(3)=(10 - x)/(x)。

- 解方程组(y)/(5)=(10 - x)/(10) (y)/(3)=(10 - x)/(x)，先由(y)/(5)=(10 - x)/(10)得y=(5(10 - x))/(10)=(10 - x)/(2)。

- 把y=(10 - x)/(2)代入(y)/(3)=(10 - x)/(x)，(frac{10 - x)/(2)}{3}=(10 - x)/(x)。

- 化简得(10 - x)/(6)=(10 - x)/(x)，因为10 - x≠0（若10 - x = 0，则x = 10，不符合三角形边长关系），所以x = 6，即CE = 6。

1. 题目- 已知△ABC和△DEF相似，相似比为2:3，△ABC的面积为16，求△DEF的面积。

2. 解析- 对于相似三角形，它们面积的比等于相似比的平方。

- 设△DEF的面积为S。

- 因为相似比为2:3，所以((2)/(3))^2=(16)/(S)。

八年级上册数学 压轴题 期末复习试卷练习(Word版 含答案)

八年级上册数学 压轴题 期末复习试卷练习(Word版 含答案)

八年级上册数学压轴题期末复习试卷练习（Word版含答案）一、压轴题1．如图，直线11 2y x b=-+分别与x轴、y轴交于A，B两点，与直线26y kx=-交于点()C4,2．（1）b= ；k= ；点B坐标为；（2）在线段AB上有一动点E，过点E作y轴的平行线交直线y2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以O、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形；（3）若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P，Q，A，B四个点能构成一个菱形．若存在，直接写出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．2．已知三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D（0，－4），M（4，－4）．（1）如图1，若点C与点O重合，A（－2，2）、B（4，4），求△ABC的面积；（2）如图2，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，若∠AOG＝55°，求∠CEF的度数；（3）如图3，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，N为AC上一点，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，∠NEC+∠CEF＝180°，求证∠NEF＝2∠AOG．3．(1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．①请直接写出∠AEB的度数为_____；②试猜想线段AD与线段BE有怎样的数量关系，并证明；(2)拓展探究：图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E 在同－直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．4．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，求∠HPQ的度数．5．在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问：（1）如图1，在爬行过程中，CD和BE始终相等吗，请证明？（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE=60°；（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，证明：DF=EF6．在平面直角坐标系中，点A 、B 在坐标轴上，其中()0,A a 、(),0B b 满足|21|280a b a b --++-=．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）将线段AB 平移到CD ，点A 的对应点为()2,C t -，如图1所示，若三角形ABC 的面积为9，求点D 的坐标；（3）平移线段AB 到CD ，若点C 、D 也在坐标轴上，如图2所示．P 为线段AB 上的一动点（不与A 、B 重合），连接OP 、PE 平分OPB ∠，2BCE ECD ∠=∠．求证：3()BCD CEP OPE ∠=∠-∠．7．阅读下列材料，并按要求解答．（模型建立）如图①，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD ⊥ED 于点D ，过B 作BE ⊥ED 于点E ．求证：△BEC ≌△CDA ． （模型应用）应用1：如图②，在四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AD ＝6，CD ＝8，BC ＝10，AB 2＝200．求线段BD 的长．应用2：如图 ③，在平面直角坐标系中，纸片△OPQ 为等腰直角三角形，QO ＝QP ，P （4，m ），点Q 始终在直线OP 的上方．（1）折叠纸片，使得点P 与点O 重合，折痕所在的直线l 过点Q 且与线段OP 交于点M ，当m ＝2时，求Q 点的坐标和直线l 与x 轴的交点坐标；（2）若无论m 取何值，点Q 总在某条确定的直线上，请直接写出这条直线的解析式 ．8．如图1中的三种情况所示，对于平面内的点M ，点N ，点P ，如果将线段PM 绕点P 顺时针旋转90°能得到线段PN ，就称点N 是点M 关于点P 的“正矩点”．（1）在如图2所示的平面直角坐标系xOy 中，已知(3,1),(1,3),(1,3)S P Q ---，(2,4)M -．①在点P ，点Q 中，___________是点S 关于原点O 的“正矩点”； ②在S ，P ，Q ，M 这四点中选择合适的三点，使得这三点满足：点_________是点___________关于点___________的“正矩点”，写出一种情况即可； （2）在平面直角坐标系xOy 中，直线3(0)y kx k =+<与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点A 关于点B 的“正矩点”记为点C ，坐标为(,)C C C x y ．①当点A 在x 轴的正半轴上且OA 小于3时，求点C 的横坐标C x 的值； ②若点C 的纵坐标C y 满足12C y -<≤，直接写出相应的k 的取值范围．9．问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC是等边三角形，点D 是BC的中点，且满足∠ADE＝60°，DE交等边三角形外角平分线于点E．试探究AD与DE 的数量关系．操作发现：（1）小明同学过点D作DF∥AC交AB于F，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD与DE的数量关系，并进行证明．类比探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点(除B、C外)，其他条件不变，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．拓展应用：（3）当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC，在图3中补全图形，直接判断△ADE的形状(不要求证明)．10．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x ＝3+a c ，y ＝3+b d，那么称点T 是点A 和B 的融合点．例如：M （﹣1，8），N （4，﹣2），则点T （1，2）是点M 和N 的融合点．如图，已知点D （3，0），点E 是直线y ＝x +2上任意一点，点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点．（1）若点E 的纵坐标是6，则点T 的坐标为 ； （2）求点T （x ，y ）的纵坐标y 与横坐标x 的函数关系式：（3）若直线ET 交x 轴于点H ，当△DTH 为直角三角形时，求点E 的坐标．11．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E .（1）如图1，连接EC ，求证：EBC 是等边三角形；（2）如图2，点M 是线段CD 上的一点（不与点,C D 重合），以BM 为一边，在BM 下方作60BMG ∠=︒，MG 交DE 延长线于点G .求证：AD DG MD =+；（3）如图3，点N 是线段AD 上的点，以BN 为一边，在BN 的下方作60BNG ∠=︒，NG 交DE 延长线于点G .直接写出ND ，DG 与AD 数量之间的关系.12．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，点D 在边AB 上，点E 在边AC 的左侧，连接AE ．（1）求证：AE ＝BD ；（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：，CD ，求线段AB 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）4；2；(0，4)；（2）125m =或285m =；（3）存在．Q 点坐标为()-，()4，()0,4-或()5,4．【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，将点C (4，2)代入解析式可求解； （2）设点E (m ，142m +)，F (m ，2m -6)，得()154261022EF m m m =-+--=-，由平行四边形的性质可得BO =EF =4，列出方程即可求解；（3）分两种情况讨论，由菱形的性质按照点平移的坐标规律，先确定P 点坐标，再确定O 点坐标即可求解． 【详解】解：（1）（1）∵直线y 2=kx -6交于点C (4，2)， ∴2=4k -6， ∴k =2， ∵直线212y x b =-+过点C (4，2)， ∴2=-2+b ， ∴b =4，∴直线解析式为：212y x b =-+，直线解析式为y 2=2x -6， ∵直线212y x b =-+分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点， ∴当x =0时，y =4，当y =0时，x =8， ∴点B (0，4)，点A (8，0)， 故答案为：4；2；(0，4)（2）∵点E 在线段AB 上，点E 的横坐标为m ， ∴1,42E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(),26F m m -，∴()154261022EF m m m =-+--=-． ∵四边形OBEF 是平行四边形， ∴EF BO =， ∴51042m -=， 解得：125m =或285m =时， ∴当125m =或285m =时，四边形OBEF 是平行四边形． （3）存在．此时Q 点坐标为()45,4-，()45,4，()0,4-或()5,4． 理由如下：假设存在．以P ，Q ，A ，B 为顶点的菱形分两种情况： ①以AB 为边，如图1所示．因为点()8,0A，()0,4B ，所以45AB =．因为以P ，Q ，A ，B 为顶点的四边形为菱形， 所以AP AB =或BP BA =．当AP AB =时，点()845,0P -或()845,0+； 当BP BA =时，点()8,0P -．当()845,0P -时，()8458,04Q -+，即()45,4-；当()845,0P +时，()8458,04Q ++，即()45,4；当()8,0P -时，()880,004Q -+-+-，即()0,4-． ②以AB 为对角线，对角线的交点为M ，如图2所示．可得5AP =， 点P 坐标为()3,0．因为以P ，Q ，A ，B 为顶点的四边形为菱形， 所以点Q 坐标为()5,4．综上可知：若点P 为x 轴上一点，则在平面直角坐标系中存在一点Q ，使得P ，Q ，A ，B 四个点能构成一个菱形，此时Q 点坐标为()45,4-，()45,4，()0,4-或()5,4．【点睛】本题是一次函数综合题，利用待定系数法求解析式，平行四边形的性质，菱形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 2．（1）8;（2）145°;（3）详见解析． 【解析】 【分析】（1）作AD ⊥ x 轴于D,BE ⊥x 轴于E,由点A,B 的坐标可得出AD=OD=2,BE=EO=4,DE=6,由面积公式可求出答案;（2）作CH ∥x 轴,如图2,由平行线的性质可得出∠AOG=∠ACH,∠DEC=∠HCE,求出∠DEC+∠AOG=∠ACB=90°,可求出∠DEC=35°,则可得出答案;（3）证得∠NEC=∠HEC,则∠NEF=180°-∠NEH=180°-2∠HEC,可得出结论． 【详解】解：（1）作AD ⊥x 轴于D,BE ⊥x 轴于E,如图1,∵A （﹣2,2）、B （4,4）, ∴AD ＝OD ＝2,BE ＝OE ＝4,DE ＝6, ∴S △ABC ＝S 梯形ABED ﹣S △AOD ﹣S △AOE ＝12×（2+4）×6﹣12×2×2﹣12×4×4＝8; （2）作CH // x 轴,如图2,∵D（0,﹣4）,M（4,﹣4）,∴DM // x轴,∴CH // OG // DM,∴∠AOG＝∠ACH,∠DEC＝∠HCE,∴∠DEC+∠AOG＝∠ACB＝90°,∴∠DEC＝90°﹣55°＝35°,∴∠CEF＝180°﹣∠DEC＝145°;（3）证明：由（2）得∠AOG+∠HEC＝∠ACB＝90°,而∠HEC+∠CEF＝180°,∠NEC+∠CEF＝180°,∴∠NEC＝∠HEC,∴∠NEF＝180°﹣∠NEH＝180°﹣2∠HEC,∵∠HEC＝90°﹣∠AOG,∴∠NEF＝180°﹣2（90°﹣∠AOG）＝2∠AOG．【点睛】本题是三角形综合题,考查了坐标与图形的性质,三角形的面积,平行线的性质,三角形内角和定理,熟练掌握平行的性质及三角形内角和定理是解题的关键．3．（1）①60°；②AD=BE.证明见解析；（2）∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由见解析.【解析】【分析】（1）①由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．②由△ACD≌△BCE，可得AD=BE；（2）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°；根据DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM．【详解】（1）①∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ACD ≌△BCE ，∴AD=BE ，∠CEB=∠ADC=180°−∠CDE=120°，∴∠AEB=∠CEB−∠CED=60°；②AD=BE.证明：∵△ACD ≌△BCE ，∴AD=BE ．（2）∠AEB ＝90°；AE=2CM+BE ；理由如下：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 90°，∴AC = BC ， CD = CE ， ∠ACB =∠DCB =∠DCE －∠DCB ， 即∠ACD = ∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE ，∴AD = BE ，∠BEC = ∠ADC=135°．∴∠AEB =∠BEC －∠CED =135°－ 45°= 90°．在等腰直角△DCE 中，CM 为斜边DE 上的高，∴CM =DM= ME ，∴DE = 2CM ．∴AE = DE+AD=2CM+BE ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，解题时需注意运用已有的知识和经验解决相似问题．4．（1）AB ∥CD ，理由见解析；（2）证明见解析；（3）45°．【解析】【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，所以易证AB ∥CD ；（2）利用（1）中平行线的性质推知∠BEF+∠EFD=180°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，故结合已知条件GH ⊥EG ，易证PF ∥GH ； （3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得90902KPG PKG HPK ︒︒∠=-∠=-∠；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知1452QPK EPK HPK ︒∠=∠=+∠；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ =45°．【详解】（1）AB ∥CD ，理由如下：∵∠1与∠2互补，∴∠1+∠2=180°，又∵∠1=∠AEF ，∠2=∠CFE ，∴∠AEF+∠CFE=180°，∴AB∥CD；（2）由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°．又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴1()902FEP EFP BEF EFD︒∠+∠=∠+∠=∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．∵GH⊥EG，∴PF∥GH；（3）∵∠PHK=∠HPK，∴∠PKG=2∠HPK．又∵GH⊥EG，∴∠KPG=90°﹣∠PKG=90°﹣2∠HPK，∴∠EPK=180°﹣∠KPG=90°+2∠HPK．∵PQ平分∠EPK，∴1452QPK EPK HPK︒∠=∠=+∠，∴∠HPQ=∠QPK﹣∠HPK=45°．答：∠HPQ的度数为45°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质．解题过程中，注意“数形结合”数学思想的运用．5．（1)相等，证明见解析；（2)证明见解析；（3)证明见解析．【解析】【分析】（1）先证明△ACD≌△CBE，再由全等三角形的性质即可证得CD=BE；（2）先证明△BCD≌△ABE，得到∠BCD=∠ABE，求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC，∠CQE=180°-∠DQB，即可解答；（3）如图3，过点D作DG∥BC交AC于点G，根据等边三角形的三边相等，可以证得AD=DG=CE；进而证明△DGF和△ECF全等，最后根据全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）解：CD和BE始终相等，理由如下：如图1，AB=BC=CA，两只蜗牛速度相同，且同时出发，∴CE=AD，∠A=∠BCE=60°在△ACD与△CBE中，AC=CB，∠A=∠BCE，AD=CE∴△ACD≌△CBE（SAS），∴CD=BE，即CD和BE始终相等；（2）证明：根据题意得：CE=AD，∵AB=AC，∴AE=BD ，∴△ABC 是等边三角形，∴AB=BC ，∠BAC=∠ACB=60°，∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，∴∠EAB=∠DBC ，在△BCD 和△ABE 中，BC=AB ，∠DBC=∠EAB ，BD=AE∴△BCD ≌△ABE （SAS ），∴∠BCD=∠ABE∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；（3）解：爬行过程中，DF 始终等于EF 是正确的，理由如下：如图，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E ，∴△ADG 为等边三角形，∴AD=DG=CE ，在△DGF 和△ECF 中，∠GFD=∠CFE ，∠GDF=∠E ，DG=EC∴△DGF ≌△EDF （AAS ），∴DF=EF.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质；题弄懂题中所给的信息，再根据所提供的思路寻找证明条件是解答本题的关键．6．（1）A ，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；（2）点D 的坐标是141,3⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据非负数的性质得出二元一次方程组，求解即可；（2）过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，根据三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积）列出方程，求解得出点C 的坐标，由平移的规律可得点D 的坐标；（3）过点E 作//EF CD ，交y 轴于点F ，过点O 作//OG AB ，交PE 于点G ，根据两直线平行，内错角相等与已知条件得出3BCD CEF ∠=∠，同样可证OGP OPE ∠=∠，由平移的性质与平行公理的推论可得FEP OGP ∠=∠，最后根据CEP CEF FEP ∠=∠+∠，通过等量代换进行证明．【详解】解：（1）210a b --=，又∵|21|0a b --≥0， |21|0a b ∴--=0=，即210280a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解方程组2128a b a b -=⎧⎨+=⎩得23a b =⎧⎨=⎩， A ∴，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；（2）如图，过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，∴三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积），根据题意得，11195(2||)232(2||)5||222t t t ⎡⎤=⨯+-⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯⎢⎥⎣⎦， 化简，得3||42t =， 解得，83t =±， 依题意得，0t <， 83t ∴=-，即点C 的坐标为82,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴依题意可知，点C 的坐标是由点A 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移143个单位长度得到的，从而可知，点D 的坐标是由点B 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移143个单位长度得到的， ∴点D 的坐标是141,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）证明：过点E作//EF CD，交y轴于点F，如图所示，则ECD CEF∠=∠，2BCE ECD∠=∠，33BCD ECD CEF∴∠=∠=∠，过点O作//OG AB，交PE于点G，如图所示，则OGP BPE∠=∠，PE平分OPB∠，OPE BPE∴∠=∠，OGP OPE∴∠=∠，由平移得//CD AB，//OG FE∴，FEP OGP∴∠=∠，FEP OPE∴∠=∠，CEP CEF FEP∠=∠+∠，CEP CEF OPE∴∠=∠+∠，CEF CEP OPE∴∠=∠-∠，3()BCD CEP OPE∴∠=∠-∠．【点睛】本题综合性较强，考查非负数的性质，解二元一次方程组，平行线的性质，平移的性质，坐标与图形的性质，第（3）题巧作辅助线构造平行线是解题的关键．7．模型建立：见解析；应用1：652：（1）Q(1，3)，交点坐标为(52，0)；（2）y＝﹣x+4【解析】【分析】根据AAS证明△BEC≌△CDA，即可；应用1：连接AC，过点B作BH⊥DC，交DC的延长线于点H，易证△ADC≌△CHB，结合勾股定理，即可求解；应用2：（1）过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥y轴于点K，直线KQ和直线NP 相交于点H，易得：△OKQ≌△QHP，设H(4，y)，列出方程，求出y的值，进而求出Q(1，3)，再根据中点坐标公式，得P(4，2)，即可得到直线l的函数解析式，进而求出直线l与x轴的交点坐标；（2）设Q(x，y)，由△OKQ≌△QHP，KQ＝x，OK＝HQ＝y，可得：y＝﹣x+4，进而即可得到结论．【详解】如图①，∵AD⊥ED，BE⊥ED，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，∵AC＝BC，∴△BEC≌△CDA（AAS）；应用1：如图②，连接AC，过点B作BH⊥DC，交DC的延长线于点H，∵∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，∴AC＝10，∵BC＝10，AB2＝200，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵∠ADC＝∠BHC＝∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠CBH，∵AC＝BC＝10，∴△ADC≌△CHB（AAS），∴CH＝AD＝6，BH＝CD＝8，∴DH=6+8=14，∵BH⊥DC，∴BD＝应用2：（1）如图③，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥y轴于点K，直线KQ和直线NP相交于点H，由题意易：△OKQ≌△QHP（AAS），设H(4，y)，那么KQ＝PH＝y﹣m＝y﹣2，OK＝QH＝4﹣KQ＝6﹣y，又∵OK＝y，∴6﹣y＝y，y＝3，∴Q(1，3)，∵折叠纸片，使得点P与点O重合，折痕所在的直线l过点Q且与线段OP交于点M，∴点M是OP的中点，∵P(4，2)，∴M(2，1)，设直线Q M 的函数表达式为：y ＝kx+b ，把Q (1，3)，M(2，1)，代入上式得：213k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：25k b =-⎧⎨=⎩∴直线l 的函数表达式为：y ＝﹣2x +5，∴该直线l 与x 轴的交点坐标为(52，0)； （2）∵△OKQ ≌△QHP ，∴QK ＝PH ，OK ＝HQ ，设Q (x ，y )，∴KQ ＝x ，OK ＝HQ ＝y ，∴x +y ＝KQ +HQ ＝4，∴y ＝﹣x +4，∴无论m 取何值，点Q 总在某条确定的直线上，这条直线的解析式为：y ＝﹣x +4， 故答案为：y ＝﹣x +4．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，勾股定理，一次函数的图象和性质，掌握“一线三垂直”模型，待定系数法是解题的关键．8．（1）①点P ；②见解析；（2）①点C 的横坐标C x 的值为-3；②334k -≤<-【解析】【分析】（1）①在点P ，点Q 中，点OS 绕点O 顺时针旋转90°能得到线段OP ，故S 关于点O 的“正矩点”为点P ；②利用新定义得点S 是点P 关于点M 的“正矩点”（答案不唯一）；（2）①利用新定义结合题意画出符合题意的图形，利用新定义的性质证明△BCF ≌△AOB ，则FC=OB 求得点C 的横坐标；②用含k 的代数式表示点C 纵坐标，代入不等式求解即可．【详解】解：（1）①在点P ，点Q 中，点OS 绕点O 顺时针旋转90°能得到线段OP ，故S 关于点O 的“正矩点”为点P ，故答案为点P ；②因为MP 绕M 点顺时针旋转90︒得MS ，所以点S 是点P 关于点M 的“正矩点”，同理还可以得点Q 是点P 关于点S 的“正矩点”．（任写一种情况就可以）（2）①符合题意的图形如图1所示，作CE ⊥x 轴于点E ，CF ⊥y 轴于点F ，可得 ∠BFC=∠AOB=90°．∵直线3(0)y kx k =+<与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴点B 的坐标为3(0,3),(,0)B A k -在x 轴的正半轴上，∵点A 关于点B 的“正矩点”为点(,)C C C x y ，∴∠ABC=90°，BC=BA ，∴∠1＋∠2=90°，∵∠AOB=90°，∴∠2＋∠3=90°，∴∠1=∠3．∴△BFC ≌△AOB ，∴3FC OB ==，可得OE ＝3．∵点A 在x 轴的正半轴上且3OA <，0C x ∴<，∴点C 的横坐标C x 的值为－3．②因为△BFC ≌△AOB ，3(,0)A k -，A 在x 轴正半轴上，所以BF ＝OA ，所以OF ＝OB-OF ＝33k +点3(3,3)C k -+，如图2， -1＜C y ≤2，即：-1＜33k + ≤2，则334k -≤<-．【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、解不等式，新定义等，此类新定义题目，通常按照题设的顺序，逐次求解．9．（1）AD＝DE，见解析；（2）AD＝DE，见解析；（3）见解析，△ADE是等边三角形，【解析】【分析】（1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明ADF EDC∆∆≌即可得解；（2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明AFD DCE∆∆≌即可得解；（3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可.【详解】（1）如下图，数量关系：AD＝DE.证明：∵ABC∆是等边三角形∴AB＝BC，60B BAC BCA∠∠∠︒＝＝＝∵DF∥AC∴BFD BAC∠∠＝，∠BDF＝∠BCA∴60B BFD BDF∠∠∠︒＝＝＝∴BDF∆是等边三角形，120AFD∠︒＝∴DF＝BD∵点D是BC的中点∴BD＝CD∴DF＝CD∵CE是等边ABC∆的外角平分线∴120DCE AFD∠︒∠＝＝∵ABC∆是等边三角形，点D是BC的中点∴AD⊥BC∴90ADC∠︒＝∵60BDF ADE∠∠︒＝＝∴30ADF EDC∠∠︒＝＝在ADF∆与EDC∆中AFD ECDDF CDADF EDC∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴()ADF EDC ASA∆∆≌∴AD＝DE；（2）结论：AD＝DE.证明：如下图，过点D作DF∥AC，交AB于F ∵ABC∆是等边三角形∴AB＝BC，60B BAC BCA∠∠∠︒＝＝＝∵DF∥AC∴BFD BAC BDF BCA∠∠∠∠＝，＝∴60B BFD BDF∠∠∠︒＝＝＝∴BDF∆是等边三角形，120AFD∠︒＝∴BF＝BD∴AF＝DC∵CE是等边ABC∆的外角平分线∴120DCE AFD∠︒∠＝＝∵∠ADC是ABD∆的外角∴60ADC B FAD FAD∠∠∠︒∠＝＋＝＋∵60ADC ADE CDE CDE ∠∠∠︒∠＝＋＝＋∴∠FAD＝∠CDE在AFD∆与DCE∆中AFD DCEAF CDFAD EDC∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴()AFD DCE ASA∆∆≌∴AD＝DE；（3）如下图，ADE∆是等边三角形.证明：∵BC CD=∴AC CD=∵CE平分ACD∠∴CE 垂直平分AD∴AE =DE∵60ADE ∠=︒∴ADE ∆是等边三角形.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键.10．（1）（73，2）；（2）y ＝x ﹣13；（3）E 的坐标为（32，72）或（6，8） 【解析】【分析】（1）把点E 的纵坐标代入直线解析式，求出横坐标，得到点E 的坐标，根据融合点的定义求求解即可；（2）设点E 的坐标为（a ，a+2），根据融合点的定义用a 表示出x 、y ，整理得到答案；（3）分∠THD=90°、∠TDH=90°、∠DTH=90°三种情况，根据融合点的定义解答．【详解】解：（1）∵点E 是直线y ＝x +2上一点，点E 的纵坐标是6，∴x +2＝6，解得，x ＝4，∴点E 的坐标是（4，6），∵点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点，∴x ＝343+＝73，y ＝063+＝2， ∴点T 的坐标为（73，2）， 故答案为：（73，2）； （2）设点E 的坐标为（a ，a +2），∵点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点，∴x ＝33a +，y ＝023a ++， 解得，a ＝3x ﹣3，a ＝3y ﹣2，∴3x ﹣3＝3y ﹣2，整理得，y ＝x ﹣13； （3）设点E 的坐标为（a ，a +2），则点T 的坐标为（33a +，23a +）， 当∠THD ＝90°时，点E 与点T 的横坐标相同，∴33a +＝a ， 解得，a ＝32， 此时点E 的坐标为（32，72）， 当∠TDH ＝90°时，点T 与点D 的横坐标相同， ∴33a +＝3， 解得，a ＝6，此时点E 的坐标为（6，8），当∠DTH ＝90°时，该情况不存在，综上所述，当△DTH 为直角三角形时，点E 的坐标为（32，72）或（6，8） 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、融合点的定义，解题关键是灵活运用分情况讨论思想．11．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD DG ND =-，证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质得出60ABC ∠=︒，再根据角平分线的性质可得CD ED =，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC BE =，最后根据等边三角形的判定即可得证；（2）如图（见解析），延长ED 使得DF MD =，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出MDF ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；（3）如图（见解析），参照题（2），先证HDN ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．【详解】（1）3,090A ACB ∠=︒∠=︒9060ABC A ∴∠=︒-∠=︒ BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥CD ED ∴=在BCD ∆和BED ∆中，CD ED BD BD =⎧⎨=⎩()BCD BED HL ∴∆≅∆BC BE∴=EBC∴∆是等边三角形；（2）如图，延长ED使得DF MD=，连接MF3,090AACB∠=︒∠=︒，BD是ABC∠的角平分线，DE AB⊥60,ADE BDE AD BD∴∠=∠=︒=60,18060 MDF ADE MDB ADE BDE∴∠=∠=︒∠=︒-∠-∠=︒MDF∴∆是等边三角形,60MF DM F DMF∴=∠=∠=︒60BMG∠=︒DMF DM B MGG DM G∴∠+∠=+∠∠，即FMG DMB∠=∠在FMG∆和DMB∆中，60F MDBMF MDFMG DMB∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()FMG DMB ASA∴∆≅∆GF BD∴=，即DF DG BD+=AD DF DG MD DG∴=+=+即AD DG MD=+；（3）结论：AD DG ND=-，证明过程如下：如图，延长BD使得DH ND=，连接NH由（2）可知，60,18060,ADE HDN ADE BDE AD BD∠=︒∠=︒-∠-∠=︒= HDN∴∆是等边三角形,60NH ND H HND∴=∠=∠=︒60BNG∠=︒HND BND BNDBNG∠+∠=+∠∴∠，即NHNB D G∠=∠在HNB∆和DNG∆中，60H NDGNH NDHNB DNG∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()HNB DNG ASA∴∆≅∆HB DG∴=，即DH BD DG+=ND AD DG∴+=即AD DG ND=-．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键．12．（1）见解析；（2）BD2+AD2＝2CD2；（3）AB＝22+4．【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE≌△BCD即可得到结论；（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；（3）连接EF，设BD＝x，利用（1）、（2）求出EF=3x，再利用勾股定理求出x，即可得到答案.【详解】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠CAE＝45°，∴∠EAD＝90°，在Rt△ADE中，AE2+AD2＝ED2，且AE＝BD，∴BD2+AD2＝ED2，∵ED＝2CD，∴BD2+AD2＝2CD2，（3）解：连接EF，设BD＝x，∵BD ：AF ＝1：AF ＝x ，∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，由 （1）、（2）可得，在Rt △FAE 中，EF 3x ，∵AE 2+AD 2＝2CD 2，∴2223)x x ++=，解得x ＝1，∴AB ＝+4．【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.。

压轴题综合练习2021--2022学年浙教版九年级数学上册 含答案

压轴题综合练习2021--2022学年浙教版九年级数学上册 含答案

压轴题综合1．如图，在等边三角形ABC 中，点E 、F 分别是边AB 、AC 上两点，将△ABC 沿EF 翻折，点A 正好落在线段BC 上的点D 处，若BD ＝3CD ．若AE ＝13，则点C 到线段DF 的距离是____．2．如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，点E 是边AB 的中点，连接CE ，将△BCE 沿CE 折叠得到△FCE ，CF 与BD 交于点P ，则DP 的长为 ___．3．如图在Rt ABC 中，△BAC =90°，AB = AC =10，等腰直角三角形ADE 绕点A 旋转，△DAE =90°，AD = AE =4，连接DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，连接MP 、PN 、MN ，则△PMN 面积的最小值是_______．4．如图，在正方形ABCD 中，点E 为BC 边上一点，且2CE BE =，点F 为对角线BD 上一点，且2BF DF =，连接AE 交BD 于点G ，过点F 作FH AE ⊥于点H ，若2HG cm =，则正方形ABCD 的边长为_______cm ．5．问题发现：（1）如图△，点A 和点B 均在△O 上，且△AOB ＝90°，点P 和点Q 均在射线AM 上，若△APB ＝45°，则点P 与△O 的位置关系是 ；若△AQB ＜45°，则点Q 与△O 的位置关系是 ． 问题解决：如图△、图△所示，四边形ABCD 中，AB △BC ，AD △DC ，△DAB ＝135°，且AB ＝1，AD ＝22，点P 是BC 边上任意一点．（2）当△APD ＝45°时，求BP 的长度．（3）是否存在点P ，使得△APD 最大？若存在，请说明理由，并求出BP 的长度；若不存在，也请说明理由．6．已知抛物线()()213y x m x m =--+-（m 为常数，1m ）．()14,A m y +，()22,B m y 是该抛物线上不同的两点，现将抛物线的对称轴绕坐标原点O 逆时针旋转90︒得到直线a ，过抛物线顶点P 作PH a ⊥于H ． （1）当3m =时，求出这条抛物线的顶点坐标；（2）若无论m 取何值，抛物线与直线34m y x m k m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（k 为常数）有且仅有一个公共点，求k 的值；（3）当24PH <≤时，试比较1y ，2y 之间的大小．7．已知△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，AB ＝AC ，AD ＝AE ，△DAE ＝△BAC ．（初步感知）（1）特殊情形：如图△，若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则DB EC ．（填＞、＜或＝）（2）发现证明：如图△，将图△中△ADE 的绕点A 旋转，当点D 在△ABC 外部，点E 在△ABC 内部时，求证：DB ＝EC ． （深入研究）（3）如图△，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点C ，E ，D 在同一条直线上，则△CDB 的度数为 ；线段CE ，BD 之间的数量关系为 ．（4）如图△，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，△BAC ＝△DAE ＝90°，点C 、D 、E 在同一直线上，AM 为△ADE 中DE 边上的高，则△CDB 的度数为 ；线段AM ，BD ，CD 之间的数量关系为 ．8．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，a 、b 、c 为实数，且a ≠0（1）当a ＝1且b ＝c ＋1时，在－1＜x ＜3中，恒有y ＜0，求c 的取值范围；（2）抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点D 的纵坐标为－1，若△ABC 是直角三角形，当Rt △ABC 面积取得最大值时，求抛物线的解析式；（3）若抛物线与x 轴只有一个公共点M （2，0），与y 轴交于（0，：直线l ：y ＝kx ＋2k 与抛物线交于点P 、Q ，过点P 且与y 轴平行的直线与直线MQ 相交于点N ，求证：对于每个给定的实数k ，点N 的纵坐标均为定值． 9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△是△ABC 的外接圆，连接BO 并延长交边AC 于点D ． （1）如图1，求证：△BAC ＝2△ABD ；（2）如图2，过点B 作BH △AC 于点H ，延长BH 交△O 于点G ，连接OC ，CG ，OC 交BG 于点F ，求证：BF ＝2HG ； （3）如图3，在（2）的条件下，若AD ＝2，CD ＝3，求线段BF 的长．10．如图，菱形ABCD 与菱形EBGF 的顶点B 重合，顶点F 在射线AC 上运动，且120BCD BGF ∠=∠=︒，对角线AC 、BD 相交于点O ．（1）如图1．当点F 与点O 重合时，直接写出AEFD的值为 ； （2）当顶点F 运动到如图2的位置时，连接CG ，CG BG ⊥，且CG BC =，试探究CG 与DF 的数量关系，说明理由，并直接写出直线CG 与DF 所夹锐角的度数；（3）如图3，取点P 为AD 的中点，若B 、E 、P 三点共线，且当CF ＝2时，请直接写出BP 的长．11．已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （11，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点（点P 不与点B 、C 重合），经过点O 、P 折叠该纸片，得点B ′和折痕OP ．设BP ＝t ．（1）如图△，当△BOP ＝30°时，直接写出点B ′的坐标为 ；（2）如图△，经过点P 再次折叠纸片，使点C 落在直线PB ′上，得点C ′和折痕PQ ，若AQ ＝m ，试用含有t 的式子表示m ；（3）如图△，在（2）的条件下，当点C ′恰好落在边OA 上时，求点P 的坐标．12．在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，D 是BC 上一点，BD ＝AC ，F 是AC 上一点，连接BF 交AD 于E ． （1）如图1，若AC ＝5，CD ＝2，△CAD ＝△CBF ，求EF ：DE 的值； （2）如图2，若△DEB ＝45°，求证：AF ＝CD ；（3）如图3，在（2）问条件下，过B 作AD 的垂线，交AD 延长线于H ，过C 点作CG △AD 垂足为G ，若DH ＝a，BH ＝b ，直接写出DGAE的值（用a ，b 的式子表示）13．函数2223y x mx m =+-+（m 为常数）的顶点为点P ，设其图象为G ． （1）若点()3,2在图象G 上，求m 的值．（2）设直线y m =-与图象G 交于A 、B 两点，当6AB =时，求m 的值． （3）当02x ≤≤时，该函数的最大值为5，求m 的值．（4）若图象G 在直线12x m =+和直线2x m =-间的部分的满足y 随x 的增大而增大时，且点()21,1Q m m --在直线12x m =+和直线2x m =-以及图象G 、x 轴围城的封闭区域内，直接写出m 的取值范围．14．如图，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ，点E 为AC 边上一点，连接ED 并延长至F ，使ED FD =，以EF 为底边作等腰Rt EGF ．（1）如图1，若30ADE ∠=︒，4AE =，求CE 的长；（2）如图2，连接BF ，DG ，点M 为BF 的中点，连接DM ，过D 作DH AC ⊥，垂足为H ，连接AG 交DH 于点N ，求证：=DM NG ；（3）如图3，点K 为平面内不与点D 重合的任意一点，连接KD ，将KD 绕点D 顺时针旋转90︒得到K D '，连接K A '，KB ，直线K A '与直线KB 交于点P ，D 为直线BC 上一动点，连接AD '并在AD '的右侧作C D AD '''⊥且C D AD '''=，连接AC '，Q 为BC 边上一点，3CD CQ =，122AB =，当QC C P ''+取到最小值时，直线C P '与直线BC 交于点S ，请直接写出BPS △的面积．15．以BC 为斜边在它的同侧作Rt△DBC 和Rt△ABC ，其中△A ＝△D ＝90°，AB ＝AC ，AC 、BD 交于点P ． （1）如图1，BP 平分△ABC ，求证：BC ＝AB +AP ；（2）如图2，过点A 作AE △BP ，分别交BP 、BC 于点E 、点F ，连接AD ，过A 作AG △AD ，交BD 于点G ，连接CG ，交AF 于点H ，△求证：△ABG △△ADC ；△求证：GH ＝CH ；（3）如图3，点M 为边AB 的中点，点Q 是边BC 上一动点，连接MQ ，将线段MQ 绕点M 逆时针旋转90°得到线段MK ，连接PK 、CK ，当△DBC ＝15°，AP ＝2时，请直接写出PK +CK 的最小值．16．已知抛物线22y ax bx =++与x 轴交于(1,0)A -和B 两点，且5AB =，与y 轴交于C ，且对于该二次函数图象上的任意两点()111,P x y ，()222,P x y ，当121x x <≤-时，总有12y y <． （1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线:l y kx b =+与该抛物线交于另一点E ，与线段BC 交于点F ． △若45EFB ∠=︒，求点E 的坐标；△当14t k t ≤≤+时，AFEF 的最小值是52，求t 的值．17．如图1，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 上一点，等腰△CDE ，CD ＝DE ，△BAC ＝△EDC ，DE 交BC 于点M ，连接BE ．（1）如图1，若△BAC ＝30°，AC ＝3，AD 32=，求DE 的长度； （2）如图2．若DM △BC 求证：2MB +EB ＝BC ．（3）如图3，△A ＝30°，AC △DE ，CN △AB ，EF △CE ，延长DB 至点H ，使得DH ＝DE ，试判断FM 与FN 的数量关系，并写出证明过程．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线215222y x x =-+交x 轴于A 、B ，交y 轴于点C ．（1）求ABC 的面积；（2）D 为抛物线的顶点，连接BD ，点P 为抛物线上点C 、D 之间一点，连接CP ，DP ，过点P 作//PM BD 交直线BC 于点M ，连接DM ，求四边形CPDM 面积的最大值以及此时P 点的坐标：（3）将抛物线沿射线BC 方向平移35个单位后得到新的抛物线2(0)y ax bx c a '=++≠），新抛物线'y 与原抛物线的交点为E ，在原抛物线上是否存在点Q ，使得以B ，E ，Q 为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标：若不存在，请说明理由．19．如图，已知AB 是△O 的弦，OB ＝1，C 是弦AB 上的任意一点（不与点A 、B 重合），连接CO 并延长CO 交△O 于点D ，连接AD ．设△B ＝α，△ADC ＝β．（1）求△BOD 的度数（用含α，β的代数式表示）；（2）若α＝30°，当AC 的长度为多少时，以点A 、C 、D 为顶点的三角形与B 、C 、O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程．（3）若α＝β，连接AO ，记△AOD 、△AOC 、△COB 的面积分别为S 1，S 2，S 3，如果S 2是S 1和S 3的比例中项，求OC 的长．20．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是AB 外一动点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接CE ，DE ，BC 与DE 交于点F ，且AB BD ⊥． （1）如图1，若102,CB =6CE =，求DE 的长；（2）如图2，若点H 、G 分别为线段CF 、AE 的中点，连接HG ，求证：12HG BF =； （3）如图3，在（2）的条件下，若22,CE =4CF =，将BDF 绕点F 顺时针旋转角3(060)αα︒<≤︒，得到B D F ''，连接B G '，取B G '中点Q ，连接BQ ，当线段BQ 最小时，请直接写出BQB '的面积．21．已知直线10y kx =+与x 轴相交于B 两点，交y 轴于点A ，且ABO 的面积为45．（1）求直线AB 的解析式；（2）若(),0D t ，点()0,4E ，连接DE ，将线段DE 绕点E 逆时针转90︒得到线段EK ，连接OK ，KD ，设ODK 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F 为OB 上一点，过F 作OB 的垂线交AB 于点G ，在AE 上取点C ，使得CE ED =，连接CG 、GE ，EF ，且2180FEO EDO ∠+∠=︒，当20CEG S =△时，求CK 的长．22．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）如图1，在四边形ABCD 中，DB 平分ABC ∠，180A C ∠+∠=︒，请说明四边形ABCD 是“等邻边四边形”； （2）如图2，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB =，4BC =，并将Rt ABC 沿ABC ∠的平分线'BB 方向平移得到'''A B C ，连接'AA ，'BC ，要使平移后的四边形''ABC A 是“等邻边四边形”，应平移多少距离？（即线段'BB 的长）？请直接写出平移的距离；（3）如图3，“等邻边四边形”ABCD 中，AB BC =，90ABC ADC ∠+∠=︒，BD nBC =，试探究AD ，AC ，CD 之间的数量关系（用含n 的等式表示）．23．ABC 内接于O ，点D 在BC 边上，射线AD 交O 于点E ，点F 在弧BE 上，连接AF ，ADB AFE ∠=∠．（1）如图1，求证：AB AC =；（2）如图2，BE 交弦AF 于点G ，BC 经过O 点，2AGE EAF ∠=∠，求证：AF BE =；（3）如图3，在（2）的条件下，H 为EG 的中点，连接OH 、CH ，若2180ACH ABE ∠+∠=︒，26AB =，求线段OH 的长．24．如图，函数y ＝﹣x 2＋bx ＋c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ）两点，m ，n 分别是方程x 2﹣2x ﹣3＝0的两个实数根，且m ＜n ．（1）求m ，n 的值以及函数的解析式；（2）设抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ，连接AB ，BC ，BD ，CD ．求证：△BCD △△OBA ；（3）对于（1）中所求的函数y ＝﹣x 2＋bx ＋c ，连接AD 交BC 于E ，在对称轴上是否存在一点F ，连接EF ，将线段EF 绕点E 顺时针旋转90°，使点F 恰好落在抛物线上？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 25．已知矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝10，点E 是AD 边上一动点，连接BE 、CE ，以BE 为直径作△O ，交BC 于点F ，过点F 作FH △CE 于H ．（1）当F 为BC 中点时，求证EB ＝EC ； （2）当FH △BE 时，求AE 的长；（3）若线段FH 交△O 于点G ，在点E 运动过程中，如果△FOG ＝90°，请求出此时AE 的长．26．如图，在等边ABC 的AC ，BC 边上各取一点E ，D ，使AE ＝CD ，AD ，BE 相交于点O ． （1）求证：AD ＝BE ；（2）若BO ＝6OE =，求CD 的长． （3）在（2）的条件下，动点P 在CE 上从点C 向终点E 匀速运动，点Q 在BC 上，连结OP ，PQ ，满足△OPQ ＝60°，记PC 为x ，DQ 的长为y ，求y 关于x 的函数表达式．27．已知，点A 是平面直角坐标系内的一点，将点A 绕坐标原点O 逆时针旋转90︒得到点B ，经过A 、O 、B 三点的二次函数的图象记为G ． （1）若点A 的坐标为()1,2． △点B 的坐标为___________． △求图象G 所对应的函数表达式．（2）若点A 的坐标为()(),20m m m ≠，图象G 所对应的函数表达式为2y ax bx =+（a 、b 为常数，0a ≠）．写出b 的值，并用含m 的代数式表示a ．（直接写出即可）（3）在（2）的条件下，直线2x =-与图象G 交于点P ，直线1x =与图象G 交于点Q ．图象G 在P 、Q 之间的部分（包含P 、Q 两点）记为1G ．△当图象G 在21x -≤≤上的函数值y 随自变量x 的增大而增大时，设图象1G 的最高点的纵坐标为1h ，最低点的纵坐标为2h ，记12h h h =-，求h 的取值范围．△连结PQ ，当PQ 与图象1G 围成的封闭图形与x 轴交于点D （点D 不与坐标原点重合）．当12OD ≥时，直接写出m 的取值范围．28．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）与x 轴交于A (﹣1，0)，B 两点，与y 轴交于点C (0，﹣3a )． （1）求点B 的坐标；（2）若a ＝12，点M 和点N 在抛物线上，且M 的横坐标为4，点N 在第二象限，若△AMN ＝2△OAM ，求点N 的坐标； （3）P 是第四象限内抛物线上的一个动点，直线P A 、PB 分别交y 轴于点M 、N ，判断CM 与CN 的数量关系，并说明理由．29．已知，在ABC 中，AB AC =，1902D BCD B ∠+∠=︒+∠．（1）如图1，求证：AD DC =（2）如图2，连接BD ，交AC 于点E ，若60ADC ∠=︒，求CBD ∠的度数（3）如图3，在（2）的条件下，延长BA 、CD 交于点F ，若1AE =，3DF =，求BF 的长．30．如图，AB 是△O 的直径，C 、D 是△O 上两点．AE 与过点C 的切线垂直，垂足为E ，直线EC 与直径AB 的延长线相交于点P ，弦CD 交AB 于点F ，连接AC 、AD 、BC 、BD ． （1）若△ABC ＝△ABD ＝60°，判断△ACD 的形状，并证明你的结论； （2）若CD 平分△ACB ，求证：PC ＝PF ；（3）在（2）的条件下，若AD ＝52，PF ＝53，求由线段PC 、CB 和线段BP 所围成的图形（阴影部分）的面积．31．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝25，tan△CAB ＝12，P 为AC 上一点，PD △AB 交AB 于点E ，AD △AC 交PD 于点D ，连结BD ，CD ，CD 交AB 于点Q ．（1）若CD △BC ，求证：△AED △△QCB ； （2）若AB 平分△CBD ，求BQ 的长； （3）连结PQ 并延长交BD 于点M ． △当点P 是AC 的中点时，求tan△BQM 的值△当PM 平行于四边形ADBC 中的某一边时，求BMDM的值．32．如图1，已知抛物线2y x bx c =-++过点(1,0)A ，(3,0)B -． （1）求抛物线的解析式及其顶点C 的坐标；（2）设点D 是x 轴上一点，当CDO ACO ∠=∠时，求点D 的坐标；（3）如图2，抛物线与y 轴交于点E ，点P 是该抛物线上位于第二象限的点，线段P A 交BE 于点M ，交y 轴于点N ，BMP 和EMN 的面积相等时，求P 的坐标．33．在ABC 中，3AC BC ==，120ACB ∠=︒，在ADE 中，90DAE ∠=︒，30AED ∠=︒，1AD =，连接BD ，BE ，点F 是BD 的中点，连接CF ．（1）如图1，当顶点D 在边AB 上时，线段BE 与线段CF 的数量关系是______，线段BE 与线段CF 的位置关系是 ；（2）将ADE 绕点A 旋转，转到图2的位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；（3）在ADE 绕点A 旋转的过程中，线段AF 的最大值为______；当//DE CF 时，线段CF 的长为______． 34．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）（1）若抛物线的对称轴为x ＝3，若抛物线与x 轴的两个交点的横坐标比为1：2，求这两个交点的坐标； （2）抛物线的顶点为点C ，抛物线与x 轴交点分别为A 、B ，若△ABC 为等边三角形，求证：b 2—4ac ＝12； （3）若当x ＞—1时，y 随x 的增大而增大，且抛物线与直线y ＝ax —1a ＋c 相切于点D ，若OD ≥22恒成立，求c 的取值范围．参考答案1 【分析】过点C 作CN △FD 于点N ，过点E 作EM △BC 于点M ，首先证明BED CDF △△，得到BE ED BD CD DF CF==，设=CD x ，通过计算用x 表示出相关线段，根据相似比解出x 的值，再证明EMD CNF △△，得到EM ED CN CF=，代入数值计算即可． 【详解】解：过点C 作CN △FD 于点N ，过点E 作EM △BC 于点M ，作图如下：△ABC 为等边三角形△60A B ACB ∠=∠=∠=△折叠△160A ∠=∠=△2+1801120FDC ∠∠=-∠=又△60FCD ∠=△3+=180120FDC FCD ∠∠-∠=△2=3∠∠又△=60B FCD ∠∠=△BED CDF △△ △BE ED BD CD DF CF== 又△3BD CD =△设=CD x ，则3,4BD x BC x ==△=13,AE AE BE AB +=△413BE x =- △4133x x x CF-= △23413x CF x =- △折叠△AF FD =，13AE ED == △234413x AF DF x x ==-- △13413x DF x-= 即：21341334413x x x x x -=-- 化简得：213650x x -=解得：12=5=0x x ，（舍）△1341320137BE AB x =-=-=-=，3257577CF ⨯== 在Rt BME △中，60B ∠= △1722BM BE ==,ME == △7723315222MD BD BM x =-=-=-= 又△2390EMD N ∠=∠∠=∠=，△EMD CNF △△ △EM ED CN CF=即：132=757CN△CN =【点睛】本题考查三角形的相似性质和判定，等边三角形的性质，含30︒的直角三角等知识点，牢记定理内容是解题关键．2 【分析】由勾股定理可求出BD 、EC 的长，连接BF 交CE 于点G ，作FH △BC 于点H ，PQ △BC 于点Q ，根据相似三角形的性质求出BG 的长，再根据面积等式列方程求出FH 的长，再根据相似三角形的性质求出BQ 与CQ 的比，进而求出DP 的长．【详解】解：如图，连接BF 交CE 于点G ，作FH △BC 于点H ，PQ △BC 于点Q ，△四边形ABCD 是矩形，△AB =DC =2，△ABC =△BCD =90°，△BC =3，△.BD =△AE =BE =12AB =12×2=1，△EC =由折叠得，CE 垂直平分BF ，△△BGC =△EBC =90°，△△GCB =△BCE ，△△BGC △△EBC ， △GB BC BE EC=，△BC BE GB EC ⋅==△22BF GB ===，CG =由12BC•FH=12BF•CG得，12×3FH=12解得，FH=95；△△CHF=90°，FC=BC=3，△125CH=；△PQ△FH，△△CPQ△△CFH，△CQ PQCH FH=，△1245935CQ CHPQ FH===，△CQ=43PQ，△△BQP=△BCD=90°，△PQ△DC，△△BPQ△△BDC，△BQ PQBC DC=，△32BQ BCPQ DC==，△BQ=32PQ，△392483PQBP BQDP CQ PQ===，△881717DP BD==，．【点睛】本题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简以及用面积等式列方程等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，此题难度较大，计算烦琐，应注意检验所求的结果是否正确．3．92【分析】通过ABC 和ADE 为等腰直角三角形，判定出ADB AEC ≅，得到,,DB EC ABD ACE =∠= 通过已知条件，再设,,ACE x ACD y ∠=︒∠=︒得到PMN 为等腰直角三角形，所以2211,28PMN S PN BD ==当BD 最小时，PMN 的面积最小，D 是以A 为圆心，AD =4为半径的圆上的点，所以点D 在AB 上时，BD 最小，即可得到最终结果．【详解】 Rt ABC 中，△BAC =90°，AB = AC =10，∴ABC 为等腰直角三角形， 又△DAE =90°，AD = AE =4，∴ADE 为等腰直角三角形，(),,,,,BAC DAC DAE DAC BAD CAE ADB AEC SAS DB EC ABD ACE ∴∠-∠=∠-∠∴∠=∠∴≅∴=∠= 点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，11//,,//,,22,,,MP EC MP EC NP BD NP BD MP NP DPM DCE PNC DBC ∴==∴=∠=∠∠=∠ 设,,ACE x ACD y ∠=︒∠=︒,45,45,90,,90,ABD x DBC x PNC DCB y DPN DCB PNC x y DPM DCE x y MPN DPM DPN ∴=︒∠=︒-︒=∠∠=︒-︒∴∠=∠+∠=︒-︒-︒∠=∠=︒+︒∴∠=∠+∠=︒ PMN ∴△是等腰直角三角形，2211,28PMN S PN BD ∴== ∴当BD 最小时，PMN 的面积最小， D 是以A 为圆心，AD =4为半径的圆上的点，∴点D 在AB 上时，BD 最小，1046,BD AB AD =-=-=221196,882PMN S BD ∴==⨯=∴△PMN 面积的最小值是92． 故答案为：92． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，涉及全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，有一定难度和综合性，属于压轴题，熟练掌握这些性质，利用旋转解题是关键．4【分析】如图，过F 作FI BC ⊥于I 点，连接FE 和F A ，得到BIF BCD ，设23BE EI IC acm CE FI acm AB acm ======，，，求出FE ，AH ，AG ，证明BEG DAG ， 得到1122)33cm c GE AG GE HE GH m ⎫==+=-=-⎪⎪⎝⎭，， 最后求值即可． 【详解】如图，过F 作FI BC ⊥于I 点，连接FE 和F A ，FI BC ⊥，四边形ABCD 为正方形，//FI CD ∴，BIF BCD ∴，2BF DF =，23BI BF BC BD ∴==， I ∴ 为BC 的三等分点，2CE BE =，E ∴为 BC 的三等分点，BE EI IC ∴==，∴设BE EI IC acm ===，∴3AB BC acm ==， BFI 为等腰直角三角形，2BI FI acm ∴==，FE FC FA ∴==， H ∴ 为AE 的中点，AE AB ===，122)AH HE AE AG AH GH cm ∴===∴=+=+，， 四边形ABCD 为正方形，∴//BE AD ， BEG DAG ∴，13112332)122)33GE BE AG AD GE AG G cm cm cm c E HE GH a m AB a ∴==⎫∴==+⎪⎪⎝⎭=-=-⎫∴+=-⎪⎪⎝⎭∴=∴==，，，，． 【点睛】 本题属于四边形综合题，是填空题压轴题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是CE= 2BE ，BF=2DF 的利用以及这些性质的熟记．5．（1）点P 在△O 上，点Q 在△O 外；（2）PB2（3−1【分析】（1）如图△中，根据圆周角与圆心角的关系即可判断；（2）如图2中，造等腰直角三角形△AOD，与O为圆心作△O交BC于P、P′，易知△APD ＝△AP′D＝45°．求出BP′和BP的长即可解决问题；（3）作线段AD的垂直平分线，交AD于E，交BC于F，点O在EF上，以OA为半径作△O，当△O与BC相切于点P时，△APD最大，求出此时BP的值即可；【详解】解：（1）如图△中，△AOB＝45°，△△APB＝12△点P在△O上，△△AQB＜45°，△点Q在△O外．故答案为点P在△O上，点Q在△O外．（2）如图2中，如图构造等腰直角三角形△AOD，与O为圆心，OA为半径作△O交BC于P、P′，易知△APD＝△AP′D＝45°．延长DO交BC于H，△△DAB＝135°，△DAO＝45°，△△OAB＝△B＝90°，△OA△BC，△△DOA＝△OHB＝90°，△四边形ABHO是矩形，△AB＝OH＝1，OA＝BH，△AD＝△OA＝OD＝OP＝OP′＝2，在Rt△OPH和Rt△OP′H中，易知HP＝HP′=，△BH＝OA＝2，△BP′＝，PB＝2（3）如图△中，存在．作线段AD的垂直平分线，交AD于E，交BC于F，点O在EF上，以OA为半径作△O，当△O与BC相切于点P时，△APD最大，理由：在BC上任意取一点M，连接MA、MD，MD交△O于N，连接AN．△△AND＞△AMD，△APD＝△AND，△△APD＞△AND，连接OP，延长DA交CB的延长线于点G．△AB△BC，△DAB＝135°，△△G＝△EFG＝45°，△△ABG，△EFG都是等腰直角三角形，△AB＝BG＝1，△AG△AD＝OE△AD，△AE＝ED△EG＝EF＝GF EG＝4，设OP ＝PF ＝r ，则OF，OE ＝EF −OF ＝， 在Rt △AOE 中，AE 2＋OE 2＝OA 2，△()222+r =，解得r ＝或4（舍弃）， △BP ＝GF −GB −PF ＝4−1−r−1． 【点睛】本题考查圆综合题、圆周角与圆心角的关系、点与圆的位置关系、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用辅助圆解决问题．6．（1）()1,1-；（2）1k =-;（3）当34m <<时，12y y >，当4m =时，12y y =当45m <≤时，12y y >【分析】（1）将m 3=代入解析式，进而化为顶点式即可求得抛物线的顶点坐标；（2）联立抛物线与直线解析式，根据题意，令0∆=，根据结果与m 无关，令m 的系数为0，即可求得k 的值；（3）先根据顶点公式求得抛物线的顶点为21613,24m m m ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭，根据旋转可得四边形ODHC 是正方形，进而根据坐标与图形的关系求得24114m m PH -+=，根据24PH <≤，又1m ，求得m 的范围，由()14,A m y +，()22,B m y 是抛物线()()213y x m x m =--+-上不同的两点，求得12,y y ，进而根据函数图像比较1y ，2y 之间的大小． 【详解】 （1）3m =()22211y x x x ∴=-=--∴这条抛物线的顶点坐标为()1,1-；（2）()()21334y x m x m m y x m k m ⎧=--+-⎪⎨⎛⎫=-++ ⎪⎪⎝⎭⎩即()2313()4m x m x m x m k m--+-=-++ ()22104m x mx k m -+++=若无论m 取何值，抛物线与直线34m y x m k m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（k 为常数）有且仅有一个公共点，∴0∆=()224104m m k m ⎡⎤∴-⨯++=⎢⎥⎣⎦即1k =- （3）122b m a --=， ()2224(3)14613444m m ac b m m -----+-==， ∴抛物线的顶点为21613,24m m m ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭将抛物线的对称轴绕坐标原点O 逆时针旋转90︒得到直线a ，过抛物线顶点P 作PH a ⊥于H ，如图，设PH 交x 轴于点C ，a 交y 轴于点D ，设点P 旋转后的对应点为P '，根据旋转的性质可得 OCP ODP '△≌△，则OC OD =，PH a ⊥，PH x ⊥轴，90DOC ∠=︒∴四边形ODHC 是矩形OC OD=∴四边形ODHC是正方形，∴PH HC CP=+,2161324m m mPH--+-∴=-24114m m-+=()22411270m m m-+=-+≥24114m mPH-+∴=24PH<≤，又1m∴224304501m mm mm⎧-+>⎪--≤⎨⎪>⎩即3,1151m mmm><⎧⎪-≤≤⎨⎪>⎩35m∴<≤()14,A m y+，()22,B m y是抛物线()()213y x m x m=--+-上不同的两点，()()()()214413617y m m m m m∴=+-+-+-=+()()()2222213233y m m m m m m=--+-=+-223332()48y m=+-即当34m≥-时，y随m的增大而增大，∴当35m<≤，y随m的增大而增大，当42m m+=，即4m=时，,A B两点重合，根据图像可知，4m <时，12y y > 当4m =时，12y y = 当4m >时，12y y >35m <≤∴当34m <<时，12y y >，当4m =时，12y y =当45m <≤时，12y y >【点睛】本题考查了二次函数综合，求抛物线顶点坐标，二次函数与一元二次方程的关系，与不等式的关系，二次函数的性质，正方形的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 7．（1）=；（2）见解析；（3）60︒，DB CE =；（4）90︒，2AM BD CD += 【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得到DB EC =；（2）由旋转得到的结论判断出DAB EAC ∆≅∆，得到DB CE =；（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明DAB EAC ∆≅∆，根据全等三角形的性质求出结论；（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）AD AE =，AB AC =，AB AD AC AE ∴-=-，即BD CE =故答案为：=， （2）成立．理由：由旋转性质可知DAB EAC ∠=∠，在DAB ∆和EAC ∆中AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAB EAC SAS ∴∆≅∆，DB CE ∴=；（3）如图△，设AB ，CD 交于O ， ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，AD AE ∴=，AB AC =，60∠∠︒DAE BAC ==，DAB EAC ∴∠=∠，在DABDAB ∆和EAC ∆中AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAB EAC SAS ∴∆≅∆，DB CE ∴=，ABD ACE ∠=∠， BOD AOC ∠=∠，60CDB BAC ∴∠=∠=︒；故答案是：60︒，DB CE =； （4）DAE ∆是等腰直角三角形，45AED ∴∠=︒， 135∴∠=︒AEC ，在DAB ∆和EAC ∆中AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAB EAC SAS ∴∆≅∆，135ADB AEC ∴∠=∠=︒，BD CE =，45ADE ∠=︒，90BDC ADB ADE ∴∠=∠-∠=︒，ADE ∆都是等腰直角三角形，AM 为ADE ∆中DE 边上的高，AM EM MD ∴==， 2AM BD CD ∴+=；故答案为：90︒，2AM BD CD +=； 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解题的关键是掌握三角形全等的判定． 8．（1）3c ≤-；（2）21y x =-；（3）见解析 【分析】（1）由－1＜x ＜3中，恒有y ＜0，得出1x =-或3x =时，函数值不大于0，列不等式组即可求得c 的范围；（2）令0y =，设12,x x 是方程20ax bx c ++=的两根，则()()()12,0,00,A x B x C c ，，，根据题意，90C ∠=︒，120x x <<，证明AOC COB ∽，可得212c x x =-，根据根与系数的关系可得2c c a =-，即1ac =-，由顶点D 的纵坐标为－1，2241144b b a +==+≥，计算121=2ABC S c x x ⨯⋅-，根据1a ≥可得1ABC S ≤，进而确定,,a b c 的值，即可求得解析式；（3）根据已知条件，设抛物线的解析式为()22y a x =-，将（0，解析式)22y x =-，设直线2y kx k =+与抛物线交于点P 、Q ，()(),,,P P Q Q P x y Q x y ，联立直线与抛物线解析式，利用根与系数的关系求得,P Q P Q x x x x +=，根据题意求得直线MQ 的直线解析式，进而求得N 的纵坐标，将)22Q Q y x =-，代入N y ，根据,P Q P Q x x x x +=计算即可求得N 的纵坐标为一定值，进而即可得证． 【详解】（1）当1a =且1b c =+时，()21y x c x c =+++，－1＜x ＜3中，恒有y ＜0，1x ∴=-或3x =时，函数值不大于0，即()()()()2211103310c c c c ⎧-++⨯-+≤⎪⎨+++≤⎪⎩3c ∴≤-（2）令0y =，设12,x x 是方程20ax bx c ++=的两根，则()()()12,0,00,A x B x C c ，， 抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，△ABC 是直角三角形，90C ∴∠=︒，120x x <<如图，90AOC BOC ACB ∴∠=∠=∠=︒ 90,90ACO A A B ∴∠+∠=︒∠+∠=︒B ACO ∴∠=∠ AOC COB ∴∽OC AOOB CO∴= 2CO AO BO ∴=⋅12,,OA x OB x OC c =-==- 212c x x ∴=-1212,b cx x x x a a +=-=2cc a∴=-0c ≠1c a∴=-即1ac =-顶点D 的纵坐标为－1，2414ac b a -∴=-244a b ∴=+2241144b b a +∴==+≥121=2ABCS c x x ∴⨯⋅-=====1ABCS∴≤此时1,0,1a b c ===-∴抛物线的解析式为21y x =-（3）抛物线与x 轴只有一个公共点M （2，0），与y 轴交于（0，∴设抛物线的解析式为()22y a x =-，将（0，得()202a -解得a =∴抛物线的解析式为)222y x =-=-+设直线2y kx k =+与抛物线交于点P 、Q ， 设()(),,,P P Q Q P x y Q xy联立得22kx k x +=-+()2240k x k -+=,P Q P Q x x x x ∴+= 设MQ 的直线解析式为y mx n =+，将()2,0M ，(),Q Q Q x y 代入得20Q Q m n mx n y +=⎧⎨+=⎩解得222Q Q Q Q y m x y n x ⎧=⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩∴直线MN 的解析式为222Q Q Q Q y y y x x x =---过点P 且与y 轴平行的直线与直线MQ 相交于点N ， 当P x x =时， N y =222Q Q P Q Q y y x x x ---()22Q P Q y x x =--)2322Q Qy x =-))()222222P N Q Q P Q x y x x x x -∴=---- ()24P Q P Q x x x x⎤=-++⎦24⎤⎛⎫=-+⎥ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =-∴对于每个给定的实数k ，点N的纵坐标均为定值-【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与抛物线交点，不等式组的应用，一元二次方程根与系数的关系，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数最值问题，综合运用以上知识是解题的关键． 9．（1）证明见解析；（2）证明见解析，（3）BF =． 【分析】（1）连接OA 并延长AO 交BC 于E ，证明△BAC =2△BAE 和△ABD =△BAE 即可得结论， （2）利用直角三角形两锐角互余、圆周角定理进行导角，得出MCG △和△FCG 是等腰三角形，得出BM =MC =FG =CG ，MH =HG ，进而由BF =BM +MH -FH =FG -FH +HG ，得出结论； （3）过O 点作OP △AC ，由垂径定理得出12PD =，再由52ABO ADOS AB BO S AD OD ===和平行线分线段成比例定理求出7724DH DP ==，由勾股定理进而可求BH ，再利用相似三角形对应边成比例求出HG ，即可得BF 长． 【详解】解：（1）连接OA 并延长AO 交BC 于E ，△AB =AC ， △AB AC =， △AE 过圆心O ， △AE BC ⊥，BE EC =， △△BAC =2△BAE ， △OA =OB ， △△ABD =△BAE ， △△BAC =2△ABD ；（2）如解图（2），连接OA 并延长AO 交BC 于E ，AE 交BF 于M ，连接MC ， 设2BAC α∠=，则ABD BAE EAC α∠=∠=∠=△AE =EC ，AE △BC ，△BM =MC ，△△MBC =△MCB ，△BG △AC ，AE △BC ，△△EAC +△ACE =90°，△HBC +△ACE =90°，△EAC HBC MCB α∠=∠=∠=，△2CMG MBC MCB α∠=∠+∠=，△BC BC =，△2G BAC α∠=∠=，△△G =△CMG ，△CG =CM =BM ，△AC △BG ，△MH =HG ，△OA =OC ，△ACO EAC α∠=∠=△9090CFG ACO α∠=︒-∠=︒-，△180FCG CFG G ∠=︒-∠-∠，即180(90)290FCG ααα∠=︒-︒--=︒-，△FCG CFG ∠=∠，△FG =CG ，△BM =MC =FG =CG ，又△MH =HG ，△BF =BM +MH -FH =FG -FH +HG ，△BF =2HG ．（3）过O 点作OP △AC ，如解图（3）△AO 是△BAC 的角平分线，△点O 到AB 、AC 的距离相等， △ABO ADO SAB BO S AD OD==， △AD =2，CD =3，△AB =AC =5， △5=2BO OD ，即：2=7OD BD ， △OP △AC ，△52AP PC ==，12PD =， △BH AC ⊥， △OP //BH ，△27DP OP OD DH BH BD ===， △7724DH DP ==， △154AH AD DH =+=，5-4HC DC DH ==，△在Rt ABH中，BH == △BAH G ∠=∠，AHB GHC ∠=∠， △AHB GHC △△，△AH BH HG CH = 即：AH HC BHHG =， 51544=⨯， △HG =， 由（2）得BF =2HG ，△BF =【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，涉及了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键是利用同弧或等弧所对圆周角相等、直角三角形的两锐角相等找出图中角之间的关系，从而利用相似或勾股定理解题．10．（1（2）FD ，30；（3）【分析】（1）设菱形ABCD 边长=2AB a ，由菱形性质和已知得出30ABD ∠=︒，60BAO ∠=︒，=BF FD AB =，再由含30度角的直角三角形的性质求出=BF FD AB =，1=2AE EF BE AB a ===，进而求得AE FD 的值；（2）菱形ABCD 的边长为2a ，由BGC 是等腰直角三角形CG ==，再已知菱形的条件，求出BOF 是等腰直角三角形，继而得出BF DF ==，从而求出FD =，由B 、D 是关于AC 的轴对称可知15CDF CBF ∠=∠=︒，再由三角形外角的性质可得直线CG 与DF 所夹锐角的度数为30；（3）利用半角模型将BCF △逆时针旋转60°到BAM 位置，从而得出BNF BNM ≅（SAS ），得到一个由CF 、NF 、AN 三条线段长组成的三角形，而且有内角为120°，从而确定三条线段关系，再利用中位线定理和三角形相似在菱形中得出NF 、AN 与菱形边长关系，求出菱形边长即可解答．【详解】解：（1）设菱形ABCD 边长=2AB a ，△在菱形ABCD 中，120BCD BGF ∠=∠=︒，△AC BD ⊥， 60ABC ∠=︒，120BAD ∠=︒，△30ABD ∠=︒，60BAO ∠=︒，=BF FD AB =， △在四边形EBGF 是菱形，120BGF ∠=︒，BE EF =，∴30EBH EFH ∠=∠=︒，60AFE ∴∠=︒，△=60AFE EAO ∠=∠︒，△AE EF =，△1=2AE EF BE AB a ===，AE FD ∴==（2）FD =，直线CG 与DF 所夹锐角的度数为30．理由如下，如图，连接BF ，延长GC 交FD 于N ，设菱形ABCD 的边长为2a ，△CG BG ⊥，且CG BG =，△=45GBC GCB ∠=∠︒，CG == △60GBE ∠=︒，△四边形EBGF 是菱形， 120BGF ∠=︒，1=302GBF BFG GBE ∴∠=∠∠=︒， △15CBF GBC GBF ∠=∠-∠=︒，△301545OBF OBC CBF ∠=∠+∠=︒+︒=︒，△AC BD ⊥，BO DO =，△45BFO OBF ∠=∠=︒，BF DF =，由（2）可知：BO =，△BF DF ==，△DF ，由B 、D 是关于AC 的轴对称可知，15CDF CBF ∠=∠=︒，又△18015DCN BCG BCD ∠=︒-∠-∠=︒，△30GNF CDF DCN ∠=∠+∠=︒，即直线CG 与DF 所夹锐角的度数为30；（3）BP =过程如下：依题意，作出图形，此时B 、E 、P 三点共线，连接BF ，并将线段BF 绕点B 逆时针旋转60°到BM 位置，连接MG 、MA ，△=60CBA FBM ∠=∠︒，BC BA =△BCF BAM ≅（SAS ）△AM=CF=2，60MAB FCB ∠=∠=︒， △1302EBF GBE ∠=∠=︒， △-30MBN FBM FBN ∠=∠∠=︒，△30MBG FBG ∠=∠=︒，△BNF BNM ≅（SAS ），△=FN MN过M 点作MH △CH ，△60BAO ∠=︒，△60MAH ∠=︒，30HMA ∠=︒，△112AH AM ==，MH == 取OD 的中点Q ，连接QP ，△AP =PD ，△12PQ OA =，//PQ OA ， △BNO BPQ ~， △2233NO BO OQ PQ BQ OQ ===， △2133NO PQ OA ==， 设菱形ABCD 的边长为2a ，则12AO CO AB a ===， △1233AN AO ON a a a =-=-=， 142233MN FN CO ON CF a a a ==+-=+-=-， 213NH NA AH a =+=+， 在Rt MGH 中，222NH MH MN +=，△222241233a a ⎛⎫⎛⎫++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得1=0a （舍去），2=3a ，△1322PQ a ==，32BQ OD ===， △在Rt BPQ 中，222BQ PQ BP +=，△223)2BP += 【点睛】本题是几何旋转综合题，主要考查了菱形的性质、旋转全等、30°直角三角形性质和勾股定理解三角形等，解题关键是利用特殊角进行计算得出其他角度数，利用旋转得到由CF 、NF 、AN 三条线段长组成的三角形，而且有内角为120°，从而通过已知计算．11．（1）()；（2）()2111601166m t t t =-+<<；（3）⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭ 【分析】(1)根据题意得，△OBP =90°，OB =6，在Rt △OBP 中，由△BOP =30°，如图，过点B ′作B M OA '⊥于M 点，根据折叠可得30,6,B OP BOP OB OB ''∠=∠=︒==推出30,B OM ∠=︒'得到13,2B M OB ''==再利用勾股定理求出OM 的长，即可求得答案； (2）由△O B 'P 、△QC 'P 分别是由△OBP 、△QCP 折叠得到的，可知△O B 'P ≅△OBP ，△Q C '。

相似三角形压轴题含答案

相似三角形压轴题含答案

21F DECAB1、(2011学年度九年级第二学期普陀区期终调研)如图，四边形ABCD 中，BC AD //，点E 在CB 的延长线上，联结DE ，交AB 于点F ，联结DB ，AFD DBE ∠=∠，且2DE BE CE =⋅.(1) 求证：DBE CDE ∠=∠；（2）当BD 平分ABC ∠时，求证：四边形ABCD 是菱形.答案：（1）证明：∵CE BE DE ⋅=2，∴DEBECE DE =． …………………………………………（2分） ∵E E ∠=∠， …………………………………………（1分）∴DBE ∆∽CDE ∆．……………………………………… （1分） ∴CDE DBE ∠=∠． ……………………………………………（1分）（2） ∵CDE DBE ∠=∠，又∵AFD DBE ∠=∠，∴=∠CDE AFD ∠．………………………………………………（1分） ∴DC AB //． ………………………………………………（1分） 又∵BC AD //，∴四边形ABCD 是平行四边形 ………………………………………（1分） ∵BC AD //，∴1∠=∠ADB ． ……………………………………………（1分） ∵DB 平分ABC ∠，∴21∠=∠． …………………………………………（1分） ∴2∠=∠ADB ．∴AD AB =． ……………………………………………（1分）∴四边形ABCD 是菱形． ……………………………………………………（1分）2、（2010•山东省泰安市）如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点，且满足AD=AB ，∠ADE=∠C（1）求证：∠AED=∠ADC ，∠DEC=∠B ； （2）求证：AB 2=AE·AC 2．（本小题满分8分）证明：（1）在△ADE 和△ACD 中∵∠ADE=∠C ，∠DAE=∠DAE ∴∠AED=180°—∠DAE —∠ADE ∠ADC=180°—∠ADE —∠C ∴∠AED=∠ADC（2分）∵∠AED+∠DEC=180° ∠ADB+∠ADC=180° ∴∠DEC=∠ADB 又∵AB=AD ∴∠ADB=∠B ∴∠DEC=∠B（4分）（2）在△ADE 和△ACD 中由（1）知∠ADE=∠C ，∠DAE=∠DAE ∴△ADE ∽△ACD（5分）∴ADACAE AD 即AD 2=AE·AC（7分）又AB=AD ∴AB 2=AE·AC （8分）3.（2009泰安）如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，C D ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F 。

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相似综合练习（压轴题）
一．选择题（共12小题）
1．如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形（相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（）
A．4S1B．6S2C．4S2+3S3D．3S1+4S3
2．如图，Rt△AOB∽Rt△DOC，∠ABO=30°，∠AOB=∠COD=90°，M为OA的中点，OA=6，将△COD绕点O旋转一周，直线AD，CB交于点P，连接MP，则MP的最小值是（）
A．6﹣3B．6﹣6 C．3 D．
3．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，点F是AB 的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；
②AH=2BD；③AD•BC=AE•AB；④2CD2=EH2．其中正确的结论有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速
拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D．
①△OB1C∽△OA1D；
②OA•OC=OB•OD；
③OC•G=OD•F1；
④F=F1．
其中正确的说法有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，正方形ABCD中，E为BC中点连接AE，DF⊥AE于点F，连接CF，FG ⊥CF交AD于点G，下列结论：①CF=CD；②G为AD中点；③△DCF∽△AGF；
④=，其中结论正确的个数有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC边，CD边的中点，AE、AF分
别交BD于点G，H，设△AGH的面积为S1，平行四边形ABCD的面积为S2，则S1：S2的值为（）
A．B．C．D．
7．如图所示，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于M，N，下列结论：①AF⊥BG；②BN=NF；③=；④S四边形CGNF=S四边形ANGD．其中正确的结论的序号是（）
A．①③B．②④C．①②D．③④
8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与四边形BCEF的面积之比为（）
A．9：16 B．9：19 C．9：28 D．3：4
9．如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=2BG，S△BPG=1，则S▱AEPH=（）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在正方形ABCD中，AD=6，点E是边CD上的动点（点E不与端点C，
D重合），AE的垂直平分线FG分别交AD，AE，BC于点F，H，G，当时，DE的长为（）
A．2 B．C．D．4
11．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC 及AB的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，OD，连接CO并延长交AD于点M．则下列结论中：
①FG=2AO；②OD∥HE；③=；④2OE2=AH•DE；⑤GO+BH=HC
正确结论的个数有（）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD=60°，AD=AB，连接OE．下列结论：①S▱ABCD=AD•BD；②DB平分∠CDE；
③AO=DE；④S
△ADE =5S
△OFE
，其中正确的个数有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共5小题）
13．△AOC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA=4，将△AOC绕O点，逆时针旋转90°得到△A1OC1，A1C1，交y轴于B（0，2），若△C1OB∽△C1A1O，则点C1的坐标．
14．已知，如图，P为△ABC中线AD上一点，AP：PD=2：1，延长BP、CP分别交AC、AB于点E、F，EF交AD于点Q．
（1）PQ=EQ；
（2）FP：PC=EC：AE；
（3）FQ：BD=PQ：PD；
（4）S
△FPQ ：S
△DCP
=S PEF：S△PBC．
上述结论中，正确的有．
15．如图，在形状和大小不确定的△ABC中，BC=8，E、F分别是AB、AC的中点，
P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=y，PE=x．当CQ=CE（n为不小于2的常数）时，y与x之间的函数关系式为（不用写自变量的取值范围）．
16．如图，平行四边形ABCD中，BC=12cm，P、Q是三等分点，DP延长线交BC 于E，EQ延长线交AD于F，则AF=．
17．如图，已知CO1是△ABC的中线，过点O1作O1E1∥AC交BC于点E1，连接AE1交CO1于点O2；过点O2作O2E2∥AC交BC于点E2，连接AE2交CO1于点O3；过点O3作O3E3∥AC交BC于点E3，…，如此继续，可以依次得到点O4，O5，…，O n和点E4，E5，…，E n，则O2016E2016=AC．
三．解答题（共6小题）
18．如图1，在直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，且点C坐标为（4，3），将△CEF沿EF对折后，C 点恰好落在OB上．
（1）求k的值；
（2）如图2，在直角坐标系中，P点坐标为（2，﹣3），请在双曲线上找两点M、N，使四边形OPMN是平行四边形，求M、N的坐标．
19．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过
点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．
（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；
（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．
20．如图，在矩形ABCD中，EH垂直平分BD，交BD于点M，过BD上一点F作FG∥BE，FG恰好平分∠EFD，FG与EH交于点N．
（1）求证：DE•DG=DF•BF；
（2）若AB=3，AD=9，求FN的长．
21．如图在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且∠ADE=
∠B，∠ADF=∠C，线段EF交线段AD于点G．
（1）求证：AE=AF；
（2）若，求证：四边形EBDF是平行四边形．
22．如图1，△ABC中，点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上，且BE=CD，EP∥AC交直线CD于点P，交直线AB于点F，∠ADP=∠ACB．
（1）图1中是否存在与AC相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；
（2）若将“点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上”改为“点D在线段BA延长线上，点E在线段BC延长线上”，其他条件不变（如图2）．当∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2时，求线段PE的长．
23．如图，∠C=90°，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连接AB．点P 从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC的方向运动，到点C停止．当点P与B、C两点不重合时，作PD⊥BC交AB于点D，作DE⊥AC于点E．F为射线CB上一点，使得∠CEF=∠ABC．设点P运动的时间为x秒．
（1）用含有x的代数式表示CE的长．
（2）求点F与点B重合时x的值．
（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）．求y与x之间的函数关系式．
11/ 41。

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