2017-2018年湖南省永州四中、祁阳一中、宁远一中联考高二上学期期中数学试卷及解析(理科)

2017-2018学年湖南省永州四中、祁阳一中、宁远一中联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤12．（5分）在命题“若m＞﹣n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0 个3．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，74．（5分）在区间[0，π]上随机取一个数x，则的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知双曲线的离心率，则其渐近线方程为（）A．B．C．D．y=±x6．（5分）不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的一个必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜3 B．0＜x＜3 C．﹣2＜x＜3 D．﹣2＜x＜17．（5分）已知A（1，2，﹣1），B（5，6，7），则直线AB与平面xOz交点的坐标是（）A．（0，1，1）B．（0，1，﹣3）C．（﹣1，0，3）D．（﹣1，0，﹣5）8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．39．（5分）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）在空间直角坐标系中，A（2，0，0），B（1，0，1）为直线l1上的点，M（1，0，0），N（1，1，1）为直线l2上的两点，则异面直线l1与l2所成角的大小是（）A．75°B．60°C．45°D．30°11．（5分）已知点F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，2） C．（1，1+） D．（2，+∞）12．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是平面A1B1C1D1内一点，且BM∥平面ACD1，则tan∠DMD1的最大值为（）A．B．1 C．2 D．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如右统计数据表，根据右表可得回归直线方程中=0.76，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为14．（5分）四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=1，E、F在线段AB、CD上，EF∥BC且AE=2EB，沿EF将矩形折成一个120°的二面角A﹣EF﹣B，则此时BD的长是．15．（5分）已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若|AF|=4，则|BF|=．16．（5分）直线x﹣y﹣=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，函数y=f（x）的图象是该椭圆在第一、三象限两段弧，则不等式：f（x）＜f（﹣x）+x的解集是．三、解答题（第17题10分，18～22题每题12分，共70分）17．（10分）已知命题p：曲线C：（m+2）x2+my2=1表示双曲线，命题q：方程y2=（m2﹣1）x表示的曲线是焦点在x轴的负半轴上的抛物线，若p∨q为真命题，求实数m的取值范围．18．（12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（3）为了了解学生学习情况决定在第1、2、6组中用分层抽样抽取6位学生进行谈话，求第2组应该抽取多少位学生．19．（12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．20．（12分）已知动圆M经过点A（﹣2，0），且与圆B：（x﹣2）2+y2=4相内切（B为圆心）．（1）求动圆的圆心M的轨迹C的方程；（2）过点B且斜率为2的直线与轨迹C交于P，Q两点，求△APQ的周长．21．（12分）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=2，E，F，G，H分别为棱PA，PB，AD，CD的中点．（1）求CD与平面CFG所成角的正弦值；（2）是探究棱PD上是否存在点M，使得平面CFG⊥平面MEH，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．2017-2018学年湖南省永州四中、祁阳一中、宁远一中联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤1【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1，故选：B．2．（5分）在命题“若m＞﹣n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0 个【解答】解：命题“若m＞﹣n，则m2＞n2”是假命题，所以它的逆否命题也是假命题；逆命题是“若m2＞n2，则m＞﹣n”，是假命题，所以否命题也是假命题；即它的逆命题、否命题和逆否命题中，假命题有3个．故选：C．3．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65，故乙组数据的中位数也为65，即y=5，则乙组数据的平均数为：66，故x=3，故选：A．4．（5分）在区间[0，π]上随机取一个数x，则的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：在区间[0，π]上随机取一个数x，对应事件的集合为区间长度π，而满足的x范围为[0，]∪[，π]，所以所求概率为；故选：C．5．（5分）已知双曲线的离心率，则其渐近线方程为（）A．B．C．D．y=±x【解答】解：根据题意，双曲线的焦点在y轴上，其渐近线方程为y=±x，又由其离心率e=，则有e2===1+=3，解可得：=，则双曲线的渐近线方程为：y=±x；故选：C．6．（5分）不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的一个必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜3 B．0＜x＜3 C．﹣2＜x＜3 D．﹣2＜x＜1【解答】解：对于不等式x2﹣2x﹣3＜0，解可得﹣1＜x＜3，即x2﹣2x﹣3＜0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，根据题意，分析选项可得，A中，当﹣1＜x＜3时，必有x2﹣2x﹣3＜0成立，反之若有x2﹣2x﹣3＜0成立，则﹣1＜x＜3也成立，即“﹣1＜x＜3”是“x2﹣2x﹣3＜0”成立的充要条件，不合题意；B中，当0＜x＜3时，必有x2﹣2x﹣3＜0成立，反之若有x2﹣2x﹣3＜0成立，则0＜x＜3不一定成立，如x=﹣0.5时，即“﹣1＜x＜3”是“x2﹣2x﹣3＜0”成立的充分不必要条件，不合题意；C中，当﹣2＜x＜3时，x2﹣2x﹣3＜0不一定成立，如x=﹣1.5时，反之若有x2﹣2x﹣3＜0成立，则必有﹣2＜x＜3成立，即“﹣1＜x＜3”是“x2﹣2x﹣3＜0”成立的必要不充分条件，符合题意；D中，当﹣2＜x＜1时，x2﹣2x﹣3＜0不一定成立，如x=﹣1.5时，反之若有x2﹣2x﹣3＜0成立，则﹣2＜x＜3不一定成立，如x=2时，即“﹣1＜x＜3”是“x2﹣2x﹣3＜0”成立的既不充分，又不必要条件，不合题意；故选：C．7．（5分）已知A（1，2，﹣1），B（5，6，7），则直线AB与平面xOz交点的坐标是（）A．（0，1，1）B．（0，1，﹣3）C．（﹣1，0，3）D．（﹣1，0，﹣5）【解答】解：直线AB与平面xoz交点的坐标是M（x，0，z），则=（x﹣1，﹣2，z+1），=（4，4，8）；又与共线，∴=λ；即，解得x=﹣1，z=﹣5；∴点M（﹣1，0，﹣5）．故选：D．8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3【解答】解：第一次运行程序时i=1，s=3；第二次运行程序时，i=2，s=4；第三次运行程序时，i=3，s=1；第四次运行程序时，i=4，s=0，此时执行i=i+1后i=5，推出循环输出s=0，故选：B．9．（5分）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p==．故选：D．10．（5分）在空间直角坐标系中，A（2，0，0），B（1，0，1）为直线l1上的点，M（1，0，0），N（1，1，1）为直线l2上的两点，则异面直线l1与l2所成角的大小是（）A．75°B．60°C．45°D．30°【解答】解：∵在空间直角坐标系中，A（2，0，0），B（1，0，1）为直线l1上的点，M（1，0，0），N（1，1，1）为直线l2上的两点，∴=（﹣1，0，1），=（0，1，1），设异面直线l1与l2所成角的大小为θ，则cosθ===，∴θ=60°．∴异面直线l1与l2所成角的大小是60°．故选：B．11．（5分）已知点F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，2） C．（1，1+） D．（2，+∞）【解答】解：∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，∴∠AEF=∠BEF，∵△ABE是钝角三角形，∴∠AEB是钝角，即有|AF|＞|EF|，∵F为左焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，∴|AF|=，∵|EF|=a+c，∴＞a+c，即c2﹣ac﹣2a2＞0，由e=，可得e2﹣e﹣2＞0，解得e＞2或e＜﹣1（舍去），则双曲线的离心率的范围是（2，+∞）．故选：D．12．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是平面A1B1C1D1内一点，且BM∥平面ACD1，则tan∠DMD1的最大值为（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接A1C1，B1D1，交于点M，则点M满足条件；证明如下，连接BD，交AC于点O，连接BM，OD1，则A1A∥C1C，且A1A=C1C，∴四边形ACC1A1是平行四边形，∴AC∥A1C1，又AC⊂平面ACD1，且A1C1⊄平面ACD1，∴A1C1∥平面ACD1；同理BM∥D1O，BM∥平面ACD1，∴当M在直线A1C1上时，都满足BM∥ACD1；∴tan∠DMD1===是最大值．故选：D．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如右统计数据表，根据右表可得回归直线方程中=0.76，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为11.8万元【解答】解：=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8．∴=8﹣0.76×10=0.4．所以回归方程为：=0.76x+0.4，当x=15时，=0.76×15+0.4=11.8．故答案为：11.8万元14．（5分）四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=1，E、F在线段AB、CD上，EF∥BC且AE=2EB，沿EF将矩形折成一个120°的二面角A﹣EF﹣B，则此时BD的长是．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=1，E、F在线段AB、CD上，EF ∥BC且AE=2EB，沿EF将矩形折成一个120°的二面角A﹣EF﹣B，∴，∴=（）2=+2=1+1+4+2×1×2×cos60°=8，∴BD的长||=2．故答案为：2．15．（5分）已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若|AF|=4，则|BF|=．【解答】解：易知F坐标（1，0）准线方程为x=﹣1．设过F点直线方程为y=k（x﹣1）代入抛物线方程，得k2（x﹣1）2=4x．化简后为：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有x1x2=1根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1∴====1，又由|AF|=4，则|BF|=．故答案为：．16．（5分）直线x﹣y﹣=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，函数y=f（x）的图象是该椭圆在第一、三象限两段弧，则不等式：f（x）＜f（﹣x）+x的解集是．【解答】解：由已知中函数y=f（x）的图象是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的两段弧，可得函数y=f（x）为奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴原不等式可化为f（x）＜．∵直线x﹣y﹣=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，∴∴椭圆方程为与直线y=联立得+=1，∴x2=，x=±．观察图象知：﹣＜x＜0，或＜x＜2，故答案为：（，0）．三、解答题（第17题10分，18～22题每题12分，共70分）17．（10分）已知命题p：曲线C：（m+2）x2+my2=1表示双曲线，命题q：方程y2=（m2﹣1）x表示的曲线是焦点在x轴的负半轴上的抛物线，若p∨q为真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若（m+2）x2+my2=1表示双曲线，则m（m+2）＜0，解得：﹣2＜m＜0，故p：（﹣2，0），若方程y2=（m2﹣1）x表示的曲线是焦点在x轴的负半轴上的抛物线，则m2﹣1＜0，解得：﹣1＜m＜1，故q：（﹣1，1），若p∨q为真命题，则p真或q真，故﹣2＜m＜0或﹣1＜m＜1，故m∈（﹣2，1）．18．（12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（3）为了了解学生学习情况决定在第1、2、6组中用分层抽样抽取6位学生进行谈话，求第2组应该抽取多少位学生．【解答】解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4=1﹣（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3…（2分）直方图如图所示…．（4分）（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75所以，抽样学生成绩的合格率是75%…（6分）利用组中值估算抽样学生的平均分45•f1+55•f2+65•f3+75•f4+85•f5+95•f6…．（8分）=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71估计这次考试的平均分是71（分）…．（9分）（3）由已知可得：第1、2、6组的频率分别为：0.1，0.15，0.05，用分层抽样抽取6位学生进行谈话，求第2组应该抽取3学生…．（12分）19．（12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，从6个国家里任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共15个，所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：（A 1，A2），（A1，A3），（A2，A3），共3个，这2个国家都是亚洲国家的概率P==；（Ⅱ）所2从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），共9个，包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：（A1，B2），（A1，B3），共2个．所以所求事件的概率为．20．（12分）已知动圆M经过点A（﹣2，0），且与圆B：（x﹣2）2+y2=4相内切（B为圆心）．（1）求动圆的圆心M的轨迹C的方程；（2）过点B且斜率为2的直线与轨迹C交于P，Q两点，求△APQ的周长．【解答】解：（1）动圆M经过点A（﹣2，0），且与圆B：（x﹣2）2+y2=4相内切（B为圆心），可得|MA|=|MT|，|MB|=|MT|﹣|BT|=|MA|﹣2，|MA|﹣|MB|=2＜|AB|=4，由双曲线的定义可得，M的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的右支，且c=2，a=1，b=，即有动圆的圆心M的轨迹C的方程为x2﹣=1（x＞0）；（2）过点B且斜率为2的直线方程为y=2x﹣4，代入双曲线的方程x2﹣=1，可得x2﹣16x+19=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2=16，x1x2=19，则|PQ|=•=•=30，则△APQ的周长为|AP|+|PB|+|BQ|+|AQ|=2a+2|PB|+2|BQ|+2a=4a+2|PQ|=4+60=64．21．（12分）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=2，E，F，G，H分别为棱PA，PB，AD，CD的中点．（1）求CD与平面CFG所成角的正弦值；（2）是探究棱PD上是否存在点M，使得平面CFG⊥平面MEH，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=2，∴PA2+AB2=PB2，PA2+AD2=PD2，∴PA⊥AB，PA⊥AD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵E，F，G，H分别为棱PA，PB，AD，CD的中点．∴C（2，2，0），D（0，2，0），B（2，0，0），P（0，0，2），F（1，0，1），G（0，1，0），=（﹣2，0，0），=（﹣1，﹣2，1），=（﹣2，﹣1，0），设平面CFG的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣2，﹣3），设CD与平面CFG所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|===．∴CD与平面CFG所成角的正弦值为．（2）假设棱PD上是否存在点M（a，b，c），且，（0≤λ≤1），使得平面CFG⊥平面MEH，则（a，b，c﹣2）=（0，2λ，﹣2λ），∴a=0，b=2λ，c=2﹣2λ，即M（0，2λ，2﹣2λ），E（0，0，1），H（1，2，0），=（1，2，﹣1），=（0，2λ，1﹣2λ），设平面MEH的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（，1，），平面CFG的法向量=（1，﹣2，﹣3），∵平面CFG⊥平面MEH，∴=﹣2﹣=0，解得∈[0，1]．∴棱PD上存在点M，使得平面CFG⊥平面MEH，此时=．22．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S=|FN||y1﹣y2|，△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．。