全等三角形小结与复习

全等三角形复习考点呈现考点一 全等三角形的概念和性质例1 下列命题：①形状相同的三角形是全等三角形；②面积相等的三角形是全等三角形；③全等三角形的对应边相等，对应角相等；④经过平移得到的三角形与原图形是全等形.其中正确的命题有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个解析：全等三角形是指两个完全重合的三角形，不仅形状相同，大小也相同，两者缺一不可.互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角，平移、翻折、旋转不改变图形的大小与形状，所以③④正确.故选B.点评：本题主要考查了全等三角形的概念和性质，注意把一个图形平移、旋转、折叠后得到的图形与原来的图形全等.例2 如图1，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若︒=∠64CDE ，则ADP ∠等于 （ ）A ．42°B ．48°C ．52°D ．58° 解析：由题意知△CDE ≌△PDE ，所以︒=∠=∠64CDE PDE ,则︒=︒-︒-︒=∠-∠︒=∠526464180-180PDE CDE ADP .故选C.点评：本题以折叠为背景，主要考查全等三角形的性质，运用全等三角形的对应角相等结合平角的概念解决问题.考点二 三角形全等的判定例3 （2010年四川巴中）如图2，AB = AC ，要说明△ADC ≌△AEB ，需添加的条件 不能是 （ ）A ．∠B ＝∠C B. AD = AE C ．∠ADC ＝∠AEB D. DC = BE解析：已知AB =AC ，还有一个公共角∠A ，具备了一边一角的条件，可根据“SAS ”添加AD =AE ；可根据“ASA ”添加∠B =∠C ；可根据“AAS ”添加∠ADC =∠AEB ；若添加ＤC ＝ＢE ，则是“ＳＳＡ”不能判定两个三角形全等.故选D. 点评：本题目是一道条件开放型问题，判定三角形全等的方法有“SSS 、SAS 、AAS 、ASA ”，要根据已知条件添加一条边或一个角满足以上四个判定方法即可，但是需注意添加边时，不能构成“SSA ”的形式. 例4 （2010年四川凉山州）如图3，已知∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝ ∠C ，AE ＝AF .有下列结论：①EM ＝FN ；②CD ＝DN ；③∠F AN ＝ ∠EAM ；④△ACN ≌△ABM .其中正确的有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：因为∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C ，AE ＝AF ，所以△AEB ≌△AFC .所以AC ＝AB, ∠EAB ＝∠F AC .在△ACN 和△ABM 中，∠C ＝∠B ，AC ＝AB ，∠CAB ＝∠BAC ，所以△ACN ≌△ABM ，④正确；因为∠EAB ＝∠F AC ，所以∠EAB －∠CAB ＝∠F AC －∠CAB ，即∠EAM ＝∠F AN ，③正确；在△EAM 和△F AN 中，∠EAM ＝∠F AN ，AE ＝AF ，∠E ＝∠F ＝A EFB CD M N90°，所以△EAM ≌△F AN . 所以EM ＝FN ，①正确；由已知条件不能判断出CD ＝DN .故正确的有3个，应选C.点评：本题主要考查三角形全等的判定，求解时应同时从题设条件和图形出发，寻求三角形全等的条件，准确判定.考点三 运用三角形全等证明线段（或角）相等例5 (2010年呼和浩特)如图4，点A ，E ，F ，C 在同一条直线上，AD ∥BC ，AD =CB ，AE =CF .求证BE =DF .分析：要证明的两条线段BE 和 DF 分别为△CBE 和△ADF 中的边，可以考虑通过证明△ADF ≌△CBE 来解决.证明：∵ AD ∥BC ，∴ ∠A ＝∠C .∵ AE ＝FC ， ∴ AF ＝CE .在△ADF 和△CBE 中，AD =CB ，∠A ＝∠C ， AF ＝CE ， ∴ △ADF ≌△CBE . ∴ BE ＝DF . 点评：如果要证明的两条线段分别是两个三角形的边时，通常可以尝试通过三角形全等进行证明.例6 （2010年北京，改编）如图5，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，EC =BF ，AB =DC ．求证∠ACE =∠DBF ．分析：要使∠ACE =∠DBF ，只要Rt △EAC ≌Rt △FDB 即可，两个三角形显然满足“HL ”．证明：∵ AB =DC , ∴ AC =DB .∵ EA ⊥AD ，FD ⊥AD ， ∴ ∠A=∠D=90°.在Rt △EAC 和Rt △FDB 中，EC =FB ，AC =DB ， ∴ Rt △EAC ≌Rt △FDB . ∴ ∠ACE =∠DBF ．点评：注意“HL ”只适用于直角三角形，而“SSS 、SAS 、ASA 、AAS ”适用于所有的三角形．考点四 三角形全等的实际应用例7 （2010年广安）某学校花台上有一块形如图6所示的三角形ABC 地砖，现已破损．管理员要对此地砖测量后再去市场加工一块形状和大小与此完全相同的地砖来换，现只有尺子和量角器，请你帮他设计一个测量方案，使其加工的地砖能符合要求，并说明理由.解析：本题是要利用尺子和量角器测量得到的数据作一个三角形与△ABC 全等，根据全等三角形的判定可以有多种测量方案. 如：⑴用量角器分别量出∠A 、∠B 的大小；⑵用尺子量出AB 的长，根据这三个数据，按照原来的位置关系加工地砖.点评：本题是一道方案设计问题，主要考查运用三角形全等解决实际问题的能力，具有一定的开放性，主要依据“SAS 、ASA 、AAS 、SSS ”设计测量方案.考点五 角的平分线的性质DOBA 例8 有下列说法：①角的平分线上任意一点到这个角两边的距离相等；②到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上；③三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等；④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等.其中正确的有 （ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解析：由角的平分线的性质可知①②④正确.故选C.点评：解题时要注意用角的平分线的性质，不要总是用全等去证明. 例9 （2010年曲靖）如图7，在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，若BC ＝10，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且BD ︰CD ＝3︰2，则点D 到线段AB 的距离为_________．解析：要求点D 到AB 的距离，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，线段DE 长度即为所求. 因为AD 平分∠BAC ，所以DE ＝CD . 因为BD ︰CD ＝3︰2，所以4105252=⨯==BC CD ．故DE ＝CD ＝4．点评：解决本题的而关键是运用角的平分线的性质把求点D 到线段AB 的距离转化为求线段CD 的长度.误区点拨误区一 对“对应”二字理解不深、不透例1 已知两个直角三角形中，有一锐角相等，又有一边相等，说明这两个三角形是否全等.错解：这两个三角形全等.剖析：对全等三角形判定定理中的“对应边相等”没有理解，错把边相等当成对应边相等.正解：这两个三角形不一定全等，如图1，在Rt △ABC 与Rt △EDC 中，CD =AB ，∠1=∠2，∠C =∠C =90°，显然△ABC 与△EDC 不全等.误区二 臆造全等的判定方法例2 如图2，AC 和BD 相交点于O ，且C D ∠=∠， BC AD =.求证△DAB ≌△CBA . 错解：在△DAB 和△CBA 中，AD =BC ，AB =BA ，∠D =∠C ，所以△DAB ≌△CBA .剖析：“SSA ”不能判定三角形全等，属于臆造三角形全等的判定方法导致错误. 正解：在△ODA 和△OCB 中，∠D =∠C ，∠AOD =∠BOC ，AD =BC ，所以△ODA ≌△OCB . 所以OD =OC ,OA =OB .所以OD +OB =OC +OA ，即BD =AC .在△DAB 和△CBA 中，AD =BC ，∠D =∠C ，BD =AC ,所以△DAB ≌△CBA . 误区三 忽视图形的多种情况例3 已知△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB ＝A ′B ′，AC ＝A ′C ′，若AD ，A ′D ′分别是BC ，B ′C ′边上的高，且AD ＝A ′D ′.问△ABC 与△A ′B ′C ′是否全等？如果全等，给出证明；如果不全等，请举出反例.错解：这两个三角形全等.证明如下：如图3，在Rt △ABD 和Rt △A ′B ′D ′中，因为AB ＝A ′B ′，AD ＝A ′D ′，所以Rt △ABD ≌Rt △A ′B ′D ′. 所以BD ＝B ′D ′. 同理可得DC ＝D ′C ′，所以BC ＝B ′C ′.在△ABC 和△A ′B ′C ′中，因为AB ＝A ′B ′，AC ＝A ′C ′，BC ＝B ′C ′，所以△ABC ≌△A ′B ′C ′.EDCBAB D剖析：这两个三角形不一定全等.当这两个三角形均为钝角(或锐角)三角形时全等；若一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时就不可能全等.正解：这两个三角形不一定全等.如图4，虽有BD ＝B ′D ′，DC ＝D ′C ′，但BC ≠B ′C ′，因此这两个三角形不全等.跟踪训练1．如果NMQ ∆∆≌MNP ，且8cm MN =，7cm PN =，6cm PM =，则MQ 的长为 （ ）A ．cm 8B ．cm 7C ．cm 6D ．cm 52．如图1，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△ 的是 （ ）A ．CB CD = B ．BAC DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠D ．90B D ==︒∠∠3．如图2，BOP CPO ∠=∠，PC ∥OA ，4=PD ，则点P 到OB的距离是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OBA B CD图1PODCB AA ′B ′C ′D ′A BC D图3AB C D图4A ′B ′ D ′于C ，D ，再分别以点C ，D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是 （ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS5．如果△ABC ≌△DEF ，△DEF 周长是32 cm ，DE=9cm ，EF=13 cm ，∠E=∠B ， 则AC=____ cm.6．如图3，已知AD AB =，DAC BAE ∠=∠，要使ABC △≌ADE △，可补充的条件是 ．（写出一个即可）7．如图4，ABE △和ACD △是ABC △分别沿着150BAC ∠=，则θ∠的度数是．8.如图5，在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，AB 为斜边， AC =BD ，BC ，AD 相交于点E ．求证A D=BC ．9. 如图6，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，CE BE ⊥，CE AD ⊥，垂足分别为E ，D ，且cm AD 5=，cm DE 3=，求BE 的长度．10. 如图7，正方形网格中有一个ABC △，请你在方格内画出满足条件1111A B AB BC BC ==，，1A A ∠=∠的所有的111A B C △，（形状相同算一个），并判断111A B C △与ABC △是否一定全等？你能够得到什么结论？ACE B D 图3CDA EBθ图4BA C图7跟踪训练参考答案1.B2.C3.C4.D5. 106.答案不唯一，如AC AE=或D B ∠=∠等 7．︒608.证明：在Rt △ABC 和Rt △BAD 中,AB =BA ,AC =BD ,∴ Rt △ABC ≌Rt △BAD . ∴ A D=BC ．9.解：∵ ︒=∠90ACB ， ∴ ︒=∠+∠90BCE ACD ． ∵ CE BE ⊥，CE AD ⊥，∴ ︒=∠=∠90CEB ADC ,︒=∠+∠90CAD ACD .∴ ∠CAD =∠BCE . ∵ BC AC =，∴ ACD ∆≌CBE ∆.∴ cm CE AD 5==，BE CD =． ∵ )(235cm DE CE CD =-=-=． ∴ cm BE 2=.10.解：如图所示：ABC △与111A B C △不一定全等．结论：由两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．BACB 1A 1C 1C 1B 1 A 1。