高考一轮第五章 第三节 等比数列

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a1 n (3)等比数列{an}的通项公式an＝a1q 可改写为an＝ q · .当 q a1 x x q>0，且q≠1时，y＝q 是一个指数函数，而y＝ q · 是一 q
n－1
个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{an}的图 a1 x 像是函数y＝ q · 的图像上的一群孤立的点． q
(1)如果三个数x，G，y组成等比数列，则G G y 等比 叫做x和y的等比中项． x ＝G ， (2)如果G是x和y的等比中项，那么 中项 即 G2＝xy .
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二、等比数列的性质 1．通项公式的推广：an＝am· n－m. q
2．对于任意正整数p、q、r、s，只要满足p＋q＝r＋s， a a 则有 ap·q＝ar·s .
，或
a1<0 0<q<1
时，{an}是递增数列；
a1<0 ，或 q>1
时{an}是 递减数列 ；当q＝1时，
{an}是 常数列 ；当q<0时，{an}为摆动数列．
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6．三个数成等比数列且积一定，通常设这三个数为， a q，a，aq比较方便． 7．Sn为等比数列{an}的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n
第 五 章 数 列
第 三 节 等 比 数 列
抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练
提 能 力
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[备考方向要明了]
考 什 么 1.理解等比数列的概念． 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有
关知识解决相应的问题． 4.了解等比数列与指数函数的关系.
C．16
解析：a2·6＝a2＝16. a 4
D．32
答案： C
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3．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4， 则an＝
3n A．4· 2 3n－1 C．4· 2 2n B．4· 3 2n－1 D．4· 3
(
)
解析：(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)⇒a＝5，
1 1－2n 2 1 ＝ ＝2n－1－2. 1－2
答案：2 1 － 2n 1－2
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等比数列通项公式的理解 (1)在已知等比数列a1和q的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1，可求 出等比数列中的任意一项． (2)在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an＝amqn－m可求等比 数列中任意一项．
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1，n为偶数， 3＋－1n－1 解：(1)由 bn＝ ，n∈N＋，可得 bn＝ 2 2，n为奇数.
又 bn＋1an＋an＋1＋bnan＋2＝0， 当 n＝1 时，a1＋a2＋2a3＝0， 由 a1＝2，a2＝4，可得 a3＝－3；
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(2)证明：对任意n∈N＋， a2n－1＋a2n＋2a2n＋1＝0， 2a2n＋a2n＋1＋a2n＋2＝0， a2n＋1＋a2n＋2＋2a2n＋3＝0. ②－③，得a2n＝a2n＋3. 将④代入①，可得a2n＋1＋a2n＋3＝－(a2n－1＋a2n＋1)， 即cn＋1＝－cn(n∈N*)．又c1＝a1＋a3＝－1，故cn≠0， cn＋1 因此 c ＝－1，所以{cn}是等比数列． n ① ② ③ ④
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S2n－1 S2n S1 S2 ＋ ＋…＋ ＋ ＝ a1 a2 a2n－1 a2n
S2n－1 S S1 S2 S3 S4 2n ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＝ a a1 a2 a3 a4 2n－1 a2n 1 2 1 1 1 1－ － ＋1－ 2－ 2 2 1－ n－ 4 12 4 4 4 －1＋…＋ 4 n n n 4 4 －1
－
＝22k 1， 故对任意 k∈N＋，a2k－1＝22k 1. 由①得 22k－1＋2a2k＝－22k－1＋1， 1 所以 a2k＝ －22k－1，k∈N＋. 2
－
－
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k 因此，S2k＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2k－1＋a2k)＝ . 2 k－1 － 于是，S2k－1＝S2k－a2k＝ ＋22k 1. 2 k－1 k 2k－1 ＋2 S2k－1 S2k k－1＋22k 2 2 故 ＋ ＝ ＋ ＝ － － 1 22k a2k－1 a2k 22k 1 －22k－1 2 k 1 k ＝1－ k－ k k . 4 4 4 －1 22k－1 所以，对任意n∈N＋，
＝n－
1 1 ＋ 4 12
－
1 2 2＋ 2 2 4 4 4 －1
－…－
1 1 n 1 1 ＋ ＝n－ . n＋ n n 4 4 4 －1≤n－4 12 3
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若本例中“bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1”改为“bn＋1an＋an＋1 ＋bnan＋2＝0且a2＝4”,其它条件不变， (1)求a3的值； (2)设cn＝a2n－1＋a2n＋1，n∈ N＋ ，证明{cn}是等比数列．
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怎 么 考 从近两年的高考试题来看，等比数列的定义、性质、
通项公式及前n项和公式是高考的热点，题型既有选择
题、填空题又有解答题，难度中等偏高．客观题突出“ 小而巧”，考查学生对基础知识的掌握程度，主观题考 查较为全面，在考查基本运算、基本概念的基础上，又 注重考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想方法.
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(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·n－1(c，q q 均为不为0的常数，n∈ N＋)，则{an}是等比数列． (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·n－k(k q 为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．
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注：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后
3 － 3 a1＝4，q＝ ，∴an＝4· n 1. 2 2
答案： C
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4．(2012· 广州调研)已知等比数列{an}的公比是2，a3＝3， 则a5的值是________． 解析：a5＝a3q2＝3×4＝12.
答案： 12
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1 5．(2011· 北京高考)在等比数列{an}中，若 a1＝ ，a4＝4，则公 2 比 q＝________,a1＋a2＋…＋an＝________. 1 解析：a4＝a1q3，得4＝2q3，解得q＝2，a1＋a2＋…＋an
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[冲关锦囊]
等比数列的判定方法有 an＋1 an (1)定义法：若 a ＝q(q 为非零常数)或 ＝q(q 为非零常数且 an－1 n n≥2)，则{an}是等比数列． (2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0 且 a2 ＋1＝an·n＋2(n∈ a n N＋)，则数列{an}是等比数列．
2n－1
cn＋1 .于是 c ＝4. n
所以{cn}是等比数列．
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(3)证明：a1＝2，由(2)知，当 k∈N＋且 k≥2 时， a2k－1＝a1＋(a3－a1)＋(a5－a3)＋(a7－a5)＋…＋(a2k－1－ 21－4k 1 a2k－3)＝2＋3(2＋23＋25＋…＋22k－3)＝2＋3× 1－4
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一、等比数列的相关概念
相关名词
等比数列{an}的有关概念及公式
如果一个数列从第二项 起，每一项与它的前一项 的比都等于 同一个常数，那么这个数列就叫做等
定义
比数列，这个常数叫做等比数列的公比． n－1 通项公式 an＝ a1q
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相关 名词 前n项 和公 式
等比数列{an}的有关概念及公式
2．(2012· 辽阳联考)已知正项数列{an}为等比数列，且 5a2 是 a4 与 3a3 的 等差中项，若 a2＝2，则该数列的前 5 项的和为 33 A. 12 31 C. 4 B．31 D．以上都不正确 ( )
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解析：设{an}的公比为q，q>0. 由已知得a4＋3a3＝2×5a2＝10a2， 即a2q2＋3a2q＝10a2,2q2＋6q＝20， 解得q＝2或q＝－5(舍去)， a11－q5 1×1－25 则a1＝1，所以S5＝ ＝ ＝31. 1－q 1－2
两种方法常用于选择、填空中的判定．
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任 意的连续三项不成等比即可.
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[精析考题] [例2] (2011· 全国高考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，
已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.
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[自主解答]
a ＝3， 1 解得 q＝2，
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[例1]
(2011· 天津高考)已知数列{an}与{bn}满足bn＋1an＋
－
3＋－1n 1 bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝ ，n∈N＋，且a1＝2. 2 (1)求a2，a3的值； (2)设cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N＋，证明{cn}是等比数列； S2n－1 S2n S1 S2 (3)设Sn为{an}的前n项和，证明 ＋ ＋…＋ ＋ a1 a2 a2n－1 a2n 1 ≤n－ (n∈N＋)． 3
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
2 8 1．(2012· 锦州模拟)已知数列{an}中，a1＝ ，a2＝ .当 n≥2 3 9 时，3an＋1＝4an－an－1(n∈N＋)． (1)证明：{an＋1－an}为等比数列； (2)求数列{an}的通项．
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2 8 解：(1)证明：数列{an}中a1＝ ，a2＝ ， 3 9 当n≥2时，3an＋1＝4an－an－1(n∈N＋)． ∴当n≥2时3an＋1－3an＝an－an－1， 1 即an＋1－an＝ (an－an－1)． 3 2 1 ∴{an＋1－an}是以a2－a1＝ 为首项，以 为公比的等比数列． 9 3
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3＋－1n 1 [自主解答] (1)由bn＝ ，n∈N＋， 2
2，n为奇数， 可得bn＝ 1，n为偶数
－
又bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1， 3 当n＝1时，a1＋2a2＝－1，由a1＝2，可得a2＝－ ； 2 当n＝2时，2a2＋a3＝5，可得a3＝8.
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(2)证明：对任意 n∈N＋， a2n－1＋2a2n＝－22n－1＋1，①， 2a2n＋a2n＋1＝22n＋1.② ②－①，得 a2n＋1－a2n－1＝3×22n－1， 即 cn＝3×2
a q＝6， 1 设{an}的公比为q，由题设得 6a1＋a1q2＝30. a ＝2， 1 或 q＝3.
当a1＝3时，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)； 当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n 1，Sn＝3n－1.
－
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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
答案： B
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3．(2012· 临沂模拟)已知{an}是各项均为正数的等比数
1 1 1 1 列，且a1＋a2＝2a ＋a ，a3＋a4＝32a ＋a . 1 3 2 4
(1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝an2＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
1 3．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，{a }， n an {a2 }，{an·n}，{b }(λ≠0)仍是等比数列． b n
n
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4．若数列{logaan}成等差数列，则数列{an}成 等比数列 ． 5．单调性：当
a1>0 当 0<q<1 a1>0 q>1
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21n－1 (2)由(1)知an＋1－an＝93 ， 21n－2 21n－3 故an－an－1＝93 ，an－1－an－2＝93 ， … 210 1 1n a2－a1＝93 ，累加得an－a1＝3－3 ，
1n ∴an＝1－3 .
满足(S2n－Sn)2＝Sn· 3n－S2n)，但不一定成等比数列． (S
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1．在等比数列{an}中，a2 012＝8a2 009，则公比q的值为
( A．2 C．4
2百度文库009
)
B．3 D．8
a2 012 解析：∵a ＝q3＝8，∴q＝2.
答案： A
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2．(教材习题改编)等比数列{an}中，a4＝4，则a2·6等于 a ( A．4 B．8 )