中考数学一轮复习 第一章 数与式 第5讲 二次根式及其运算

(2)已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，试化简： （a＋b＋c）2＋ （a－b－c）2＋ （b－c－a）2＋
（c－a－b）2. 解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－
b|＝(a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)＝2a＋ 2b＋2c
【点评】 (1)对于二次根式，它有意义的条件是被开方数大于或等 于 0；(2)注意二次根式性质( a)2＝a(a≥0)， a2＝|a|的区别，判断出各
ba＝
a，被开方 b
数应≥0，a，b 不能当作被开方数，所以①是错误的；②
a b·
ba＝1，
a b·
ba＝
ba×ba＝ 1＝1 是正确的；③ ab÷
ba＝－b， ab÷
a b
＝
ab÷－abb＝
ab×－b＝－b 是正确的．故选：B ab
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(2)计算： 24－ 23＋ 23－2 61； 解：原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6
式的正负性，再化简．
对应训练
1．(1)(－ 2)2 的平方根是__± 2__；9 的算术平方根是 __3__；__－4__是－64 的立方根．
(2)(2014·达州)二次根式 －2x＋4有意义，则实数 x 的 取值范围是( D )
A．x≥－2
B．x＞－2
C．x＜2
D．x≤2
(3)如果 （2a－1）2＝1－2a，则( B )
简之后合并同类二次根式；(3)二次根式乘除结果要化为
最简二次根式．
对应训练
2．(1)(2012·安顺)计算3 27的结果是( D )
A．±3 3
B．3 3
C．±3
D．3
(2)(2012·福州)若 20n是整数，则正整数 n 的最小值为__5__．
解析： 20n＝ 4×5n＝2 5n，∴当 n 最小值为 5 时，5n 是
考点4：二次根式运算中的技巧
【例 4】 (1)已知 x＝2－ 3，y＝2＋ 3，求 x2＋xy＋y2 的值； (2)已知 x＋1x＝－3，求 x－1x的值． 解：(1)∵x＝2－ 3，y＝2＋ 3，x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3)＝4， xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1，∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15 (2)∵(x－1x)2＝(x＋1x)2－4＝(－3)2－4＝5，∴x－1x＝± 5
完全平方数
(3)(2014·抚州)计算： 27－ 3＝__2 3__．
考点3: 二次根式混合运算
【例 3】 计算： (1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2； 解：原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]＝18－1－8 ＋4 2－1＝8＋4 2
【点评】 (1)二次根式混合运算，把若干个知识点综合
m2＋n2－3mn的值为( C )
A．9
B．±3
C．3
D．5
解 析 ： m2＋n2－3mn ＝ m2－2mn＋n2－mn ＝ （m－n）2－mn，∵m－n＝1＋ 2－1＋ 2＝2 2，mn
＝ (1 ＋ 2 )(1 － 2 ) ＝ － 1 ， ∴ （m－n）2－mn ＝
（2 2）2＋1＝ 9＝3，故选 C
【点评】 (1)x2＋xy＋y2 是一个对称式，可先求出基本对称 式 x＋y＝4，xy＝1，然后将 x2＋xy＋y2 转化为(x＋y)2－xy，整 体代入即可；(2)注意到(x－1x)2＝(x＋1x)2－4，可得(x－1x)2＝5，x －1x＝± 5.
对应训练
4 ． (1) 已 知 m ＝ 1 ＋ 2 ， n ＝ 1 － 2 ， 则 代 数 式
A．a＜12
B．a≤12
C．a＞12
D．a≥12
考点2：二次根式的运算
【例 2】 (1)(2014·济宁)如果 ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：
①
ba＝
a，② b
a b·
ba＝1，③ ab÷
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
ba＝－b，其中正确的是( B )
解析：∵ab＞0，a＋b＜0，∴a＜0，b＜0；①
在一起，计算时要认真仔细；(2)可以运用运算律或适当
改变运算顺序，使运算简便．
对应训练
3．(1)(2014·荆门)计算： 24× 13－4× 81×(1－ 2)0. 解：原式＝2 6× 33－4× 42×1＝2 2－ 2＝ 2
(2)已知 10的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a2－b2 的值． 解：∵3＜ 10＜4，∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b＝ 10－ 3.∴a2－b2＝32－( 10－3)2＝9－(10－6 10＋9)＝－10＋6 10
求值问题“五招” (1)巧用平方；(2)巧用乘法公式； (3)巧用配方；(4)巧用换元；(5)巧用倒数．
典例探究
考点一：二次根式概念与性质
【例 1】
(1)等式
2k－1＝ k－3
2kk－－31成立，则实数 k 的范围是
(D) A．k＞3 或 k＜12
B．0＜k＜3
C．k≥12
D．k＞3
解析：要使等式成立，必须2kk－－31＞≥00，，有kk≥＞123，. ∴k＞3
第一章 数与式
第5讲 二次根式及其运算
知识盘点
1．二次根式的概念 2．二次根式的性质 3．二次根式的运算法则 4．最简二次根式
难点与易错点
“双重非负性” 算术平方根具有双重非负性，一是被开方数a
必须是非负数，即a≥0；二是算术平方根的值是非 负数，即≥0.算术平方根的非负性主要用于两方面：
(1)某些二次根式的题目中隐含着“a≥0”这个条 件，做题时要善于挖掘隐含条件，巧妙求解；
(3)(2012·南通)计算： 48÷ 3－ 21× 12＋ 24. 解：原式＝ 16－ 6＋2 6＝4＋ 6
【点评】 (1)二次根式化简，依据 ab＝ a· b(a≥0，
b≥0)，
ba＝
a(a≥0，b＞0)，前者将被开方数分解， b
后者分子、分母同时乘一个适当的数使分母变成一个完全
平方数，即可将其移到根号外；(2)二次根式加减，即化
两个防范 (1)求时，一定要注意确定a的大小，应注意利用等式 ＝|a|，当问题中已知条件不能直接判定a的大小时就要 分类讨论； (2)一般情况下，我们解题时，总会习惯地把重点放 在探求思路和计算结果上，而忽视了一些不太重要、 不直接影响求解过程的附加条件和隐含条件．要特别 注意，问题中的条件没有主次之分，都必须认真对 待．