中考数学一轮复习 第一章 数与式 第5讲 二次根式及其运算
数学中考一轮复习专题05二次根式课件
【例14】（3分）（202X•天津6/25）估计 17 的值在（ ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【考点】估算无理数的大小． 【分析】本题需先根据 17 的整数部分是多少，即可求出它的范围． 【解答】解：∵ 17 4.12 ， ∴ 17 的值在4和5之间． 故选：C． 【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，在解题时确定无理数的整数部分即 可解决问题．
典型例题
知识点1 ：数的乘方与开方
【例3】若a满足 a 3 a ，则a的值为（ ）
A. 1
B. 0
C. 0或1
D. 0或1或–1
【分析】∵ a 3 a ，∴a为0或1． 故选C． 【答案】C ．
知识点梳理
知识点2：二次根式的概念和性质
1. 二次根式：形如(a≥0)的式子叫做二次根式．
2. 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于 0 ．
202X年中考数学一轮复习
05 二次根式
中考命题说明
考点
课标要求
考查角度
了解平方根、算术平方根、
会用平方运算求百以内整数的平方根，会
立方根的概念，会用根号
乘方与
用立方运算求百以内整数（对应的负整数）
1
表示数的平方根、算术平
开方
的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
方根、立方根．了解乘方
常以选择、填空题为主.
知识点3 ：非负性
典型例题
【例7】（3分）（202X•云南9/23）已知a，b都是实数．若 a 1 (b 2)2 0 ，
则a-b=
．
【解答】解：∵ a 1 (b 2)2 0 ， a 1 0，(b-2)2≥0， ∴a+1=0，b-2=0， 解得a=-1，b=2， ∴a-b=-1-2=-3． 故答案为：-3． 【点评】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值； （2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其 中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
浙江省中考数学总复习第一章数与式第5讲二次根式及其运算讲解篇
第5讲 二次根式及其运算1．二次根式的有关概念考试内容考试要求二次根式一般地，形如a( )的式子叫做二次根式．a最简二次根式必须同时满足：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号)．2.二次根式的性质考试内容考试要求两个重要的性质(a)2＝a(a____________________)；a 2＝|a|＝错误!a积的算术平方根 ab ＝a ·b (a≥0，b ≥0)． 商的算术平方根a b ＝ab(a≥0，b>0)． 3.二次根式的运算考试内容考试要求二次根式的加减先将各根式化为 ，然后合并被开方数的二次根式．b二次根式的乘法a ·b ＝ (a≥0，b ≥0)．二次根式的除法a b＝ (a≥0，b ＞0)．二次根式的混合运算与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算 ，最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去括号)．考试内容考试要求基本方法1.整式运算法则也适用于二次根式的运算． c2.估算一个根号表示的无理数可用“逐步逼近”的方法，即首先找出与该数邻近的两个完全平方数，可估算出该无理数的整数部分，然后再取一位小数进一步估算即可．3.绝对值：|a|；偶次幂：a 2n；非负数的算术平方根：a (a≥0)是常见的三种非负数形式．非负数具有以下两条重要性质：①非负数形式有最小值为零；②几个非负数的和等于零，那么每个非负数都等于零．1．(2015·湖州)4的算术平方根是( )A ．±2B ．2C ．－2D . 22．(2017·宁波)要使二次根式x －3有意义，则x 的取值范围是( )A ．x ≠3B ．x ＞3C ．x ≤3D ．x ≥33．(2016·杭州)下列各式变形中，正确的是( )A ．x 2·x 3＝x 6B .x 2＝|x|C .⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x÷x ＝x －1D ．x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋144．(2017·宁波)实数－8的立方根是____________________．5．(2017·湖州)计算：2×(1－2)＋8.【问题】下列各式已给出计算结果：①8－2＝6； ②（－3）2＝－3；③2×3＝6； ④8÷2＝4 (1)其中正确的是____________； (2)对于错误的结果，请给出正确答案；(3)通过以上的解答，联想二次根式有哪些性质、运算法则？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次根式的性质和运算法则，以及注意的问题．类型一 平方根、算术平方根、立方根例1 (1)(2015·黄冈)9的平方根是( )A ．±3B ．±13C ．3D ．－3(2)(2017·黄冈)16的算术平方根是________． (3)(2016·宁波)实数－27的立方根是________．【解后感悟】一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根；注意算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误；开立方和立方互为逆运算是解题的关键．1．(1)(2016·唐山模拟)下列式子中，计算正确的是( )A ．－ 3.6＝－0.6B .（－13）2＝－13C .36＝±6D ．－9＝－3(2)如果一个正数的两个平方根为a ＋1和2a －7，则这个数为____________________．类型二 二次根式的有关概念与性质例2 (1)式子2x ＋1x －1有意义的x 的取值范围是________； (2)(2017·邵阳模拟)将45化成最简二次根式是________． (3)计算：（1－2）2＝________.【解后感悟】(1)此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零列不等式组，转化为求不等式组的解集．(2)此题根据二次根式的性质化简，是解本题的关键．2．(1)(2017·荆州)下列根式是最简二次根式的是( )A .13B .0.3C . 3D .20 (2)k 、m 、n 为三个整数，若135＝k 15，450＝15m ，180＝6n ，则下列有关于k 、m 、n 的大小关系，何者正确( )A ．k ＜m ＝nB ．m ＝n ＜kC ．m ＜n ＜kD ．m ＜k ＜n(3)(2016·金华)能够说明“x 2＝x 不成立”的x 的值是____________________(写出一个即可)．(4)若实数a 、b 满足||a ＋2＋b －4＝0，则a2b＝____________________.(5)若整数x 满足|x|≤3，则使7－x 为整数的x 的值是____________________(只需填一个)．类型三 二次根式的运算与求值例3 (1)(2017·滨州)下列计算：(1)(2)2＝2，(2)（－2）2＝2，(3)(－23)2＝12，(4)(2＋3)(2－3)＝－1，其中结果正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)计算：8－312＋2＝______； (3)化简：3(2－3)－24－|6－3|＝________.【解后感悟】(1)二次根式的加减运算，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并；(2)二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．3．(1)下列计算正确的是( )A．43－33＝1 B.2＋3＝ 5C．212＝ 2 D．3＋22＝5 2(2)算式(6＋10×15)×3之值为( )A．242 B．12 5 C．1213D．18 2 4．(1)计算(10－3)2018·(10＋3)2017＝____________________；(2)(2016·聊城)计算：27·83÷12＝.类型四二次根式的大小比较例4已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋15，乙＝3＋17，丙＝1＋19，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确( )A．丙＜乙＜甲B．乙＜甲＜丙C．甲＜乙＜丙D．甲＝乙＝丙【解后感悟】比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内．5．(1)(2015·河北)在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在( )A．段① B．段② C．段③ D．段④(2)(2015·杭州)若k＜90＜k＋1(k是整数)，则k＝( )A．6 B．7 C．8 D．9(3)(2017·白银)估计5－12与0.5的大小关系是：5－12____________________0.5.(填“＞”、“＝”、“＜”)类型五二次根式的综合型问题例5(1)已知实数x，y满足||x－4＋y－8＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是________．(2)在日常生活中，取款、上网都需要密码，有的人把自己的出生年月作为密码，有的人把生活中的重要数字或自己认为吉利的数字作为密码，这样很容易被知情人窃用．有一种用二次根式法产生的密码，如：对于二次根式121，计算的结果是11，取被开方数和计算结果，再在中间加一个数字0，于是就得到一个六个数字的密码“121011”．对于二次根式0.81，用上述方法产生的密码是________．【解后感悟】常见的非负数有三种形式：|a|，a，a2；若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．6．(1)矩形相邻两边长分别为2，8，则它的周长是____________________，面积是____________________．(2)观察分析下列数据，寻找规律：0，3，6，3，23，…，那么第10个数据应是____________________．(3)若y＝3x－6＋6－3x＋x3，则10x＋2y的平方根为____________________．7．已知x＝3＋1，y＝3－1，求下列各式的值：(1)x2＋2xy＋y2；(2)x2－y2.【探索规律题】如图，以O(0，0)、A(2，0)为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是________．【方法与对策】根据O(0，0)，A(2，0)为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中点B为顶点作△P1BP2，再以P2和P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，结合图形求出点P6的坐标．本题由特殊到一般的规律解题是关键，这类题型是中考的热点．【二次根式的化简符号不明确】下列各式中，正确的是( )A.（－3）2＝－3 B．－32＝－3 C.（±3）2＝±3D.32＝±3参考答案第5讲二次根式及其运算【考点概要】1．a≥02.≥0a－a3.最简二次根式相同ab ab乘除【考题体验】1．B2.D3.B4. －25.原式＝2－22＋22＝2. 【知识引擎】【解析】(1)③； (2)①8－2＝2，②（－3）2＝3，④8÷2＝2； (3)主要从二次根式性质、运算法则方面去思考．【例题精析】例1 (1)A ；(2)4；(3)－3 例2 (1)根据题意得，2x ＋1≥0且x －1≠0，解得x≥－12且x≠1.(2)35；(3)2－1. 例3 (1)D ；(2)原式＝22－322＋2＝322，故答案为：322；(3)3(2－3)－24－|6－3|＝6－3－26－(3－6)＝－6.故答案为：－6. 例4 ∵3＝9<15<16＝4， ∴8＜5＋15＜9，∴8＜甲＜9.∵4＝16＜17＜25＝5，∴7＜3＋17＜8，∴7＜乙＜8.∵4＝16＜19＜25＝5，∴5＜1＋19＜6，∴5＜丙＜6.∴丙＜乙＜甲．故选A . 例5 (1)由||x －4＋y －8＝0得，x －4＝0，y －8＝0，即x ＝4，y ＝8.若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形．若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4＋8＋8＝20；即等腰三角形的周长是20.(2)0.81＝0.9，所以得到一个六个数字的密码081009.【变式拓展】1．(1)D (2)9 2.(1)C (2)D (3)－1 (4)1 (5)－2 3. (1)C (2)D 4.(1)10－3 (2)12 5．(1)C (2)D (3)＞6.(1)6 2 4 (2)3 3 (3)±67.(1)因为x ＝3＋1，y ＝3－1，所以x ＋y ＝23，x －y ＝2.则(1)x 2＋2xy ＋y 2＝(x ＋y)2＝(23)2＝12. (2)x 2－y 2＝(x ＋y)(x －y)＝4 3.【热点题型】【分析与解】每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的12，第六个正三角形的边长是116，故顶点P 6的横坐标是6332，P 5纵坐标是3－34－38＝538，P 6的纵坐标为538＋332＝21332，故答案为：(6332，21332)．【错误警示】（－3）2＝9＝32＝3，选项A 错误；（±3）2＝9＝32＝3，选项C 错误；32＝3，选项D 错误．故选B .。
初中数学中考一轮复习专题1数与式重点、考点知识、方法总结及真题练习
在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）仸何一个实数 a 的绝对值是非负数，即| a |≥0； （2）仸何一个实数 a 的平方是非负数，即 a2 ≥0； （3）仸何非负数的算术平方根是非负数，即 a 0 ( a 0 ).
非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数乊和仍是非负数； （3）几个非负数乊和等于 0，则每个非负数都等于 0. 4.实数的运算
a a (a 0, b 0) bb
②.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数丌变，
即合并同类二次根式.
【典例】
1.计算：5 +
﹣×+ ÷．
【答案】 【解析】解：原式= + ﹣
+3 ÷
=2 ﹣1+3
=2 +2．
x xy xy y
2.若 x 0 ，化简
注：单独一个字母戒一个数也是代数式.
2.代数式的分类：
3.代数式的书写规则： （1）数字不字母相乘戒字母不字母相乘，通常把乘号写作“ ”戒省略丌写，字母乊间的
顺序可以交换，但一般按字母表中的先后顺序写.数字应在字母乊前.如： 3b 丌要写成 b3 （2）在代数式中出现除法运算时，一般都变成分数和乘法来计算.如： 2a b 写成 2a
x
2
0
即
x
1 且x 2
2
.
【难度】易
【结束】
2.若
，则 ( )
A. b＞3B. b＜3C. b≥3D. b≤3
【答案】D.
【解析】
3 b = 3 b ,所以 3 b ≥0,即 b 3 .
2020年春数学中考一轮复习5.重庆数学 第5讲数的开方与二次根式
＝0”时，每个部分
3.二次根式运算时，一定要先化简，再运算.步骤是先乘方开方，再乘除， 最后加减；有括号的由内到外、由小到大进行计算. 4.重要技巧：y＝ x－a+ a－x＋1. 解：∵x－a≥0，a－x≥0(保证二次根式有意义，才能运算)， ∴x≥a，且x≤a，即x＝a， ∴y＝1.
03 考场 ·笑傲全国题
10.(2019·梧州)计算：3 8=____2_.
11.(2019·内江)若|1001-a|+ a−1002=a，则a-10012＝__1_0_0_2__. 1
12.(2019·重庆模拟)已知y= x−3+ 3−x-2，则xy的值为__9___.
13.(2019·扬州)计算：( 5-2)2018( 5+2)2019的结果是____5_+_2__.
第一单元 数与式
第5讲 数的开方与二次根式
01 考点 ·梳理知识点
考标点击
1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会表示数的平方根、算术平 方根、立方根. 2.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会 用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根. 3.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 4.了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下仅限于数) 加、减、乘、除运算法则，会用它数的开方
样题1 (2019·重庆A)估计(2 3+6 2)× 13的值应在( C )
A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间
［解析］先根据二次根式的乘法进行计算，再进行估算.
(2
3+6
2)×
1 3
＝2+6
23＝2+
36×
九年级初三数学总复习 第一单元第一章
第1讲 实数
第一单元
例10 (2018广东)一个正数的平方根分别是x＋1和x－5，则x＝___2_____．
例11 (2018广东)已知
＝0，则a＋1＝____2____．
例12 (2017怀化)计算：
第一单元
第1讲 实数
1．(2015广东) |－ 2 |＝( A )
2．(2015广东)在0，2，(－3)0，－5这四个数中，最大的数是( B )
，这个数叫做a的立方根，记为________．
(2)一个正数的平方根有两个，它们互为________，0的平方根是________，
负数没有平方根．
例7 (2016广东)9的算术平方根为____3____．
考点六：非负数的性质(6年2考)
1．常见的非负数的形式：|a| ≥ 0；a2≥0， ≥0(a≥0)
第一章 数与式
第1讲 实数 第2讲 整式 第3讲 因式分解 第4讲 分式 第5讲 二次根式
第一单元
第一章 数与式
第1讲 实数
第一单元
1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小． 2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握有理数的相反数与绝对值，知
道|a|的含义(绝对值符号内不含字母)．
把一个整数或有限小数记成________的形式，其中1≤|a|≤10，n为整数，这
种记数法叫科学记数法．
例4 (2017眉山)某微生物的直径为0.00005035 m，用科学记数法表示该数
为( A )
A．5.035×10－6
B．50.35×10－5
C．5.035×106
D．5.035×0－5
例5 (2018广东)据有关部门统计，2018年“五一小长假”期间，广东各大景
中考数学复习 1.5 二次根式课件
.
2.算术平a 方根：一个正数(zhèngshù)x的平方等于a，则x叫做a的算术平方根，
记作 ，0的算术平方根是0.
3.立方根a ：一个数x的立方等于a，那么x叫做a的立方根,记作 .
3a
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1.5.2 二次根式(gēnshì)的有关概念
要点 梳理 (yàodiǎn)
2021/12/9
第十三页，共十六页。
【例3】下列计算正确(zhèngquè)的是
A. 12=2 3
C. x3 x x
B. 3 = 3 22
D. x2 x
经典 考题 (jīngdiǎn)
（）
【解析】 3 3 3 2，所6以B错误. 2 2 2 2 2
要 使 x3在 实 数 范 围 内 有 意 义 ，
1.二次根式：一般地，我们把形如 (aa≥0)的式子叫做(jiàozuò)二次根式.
2.二次根式 a(a≥0)中,当a≥时,
条件是被开方数大于等于0.
有a意义,即二次根式有意义的
3.最简二次根式应满足的两个条件是：
（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
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第一章 数与式。（1）二次根式、最简二次根式的概念.。1.5.1 平方根、算术平方根与立方根。1.加减法：先将二次根式进行(jìnxíng)化简，再将
被开方数相同的二次根式。3.把分母中的根号化去的方法。1. 二次根式的运算顺序与有理数的运算顺序相同.。（2） 的算术平方根为4.。【答案】
（1）±3（2）4。THANK YOU
ab ab
第八页，共十六页。
1.5.5 二次根式(gēnshì)的估值
第一单元 数与式 第5课时 数的开方及二次根式
第一单元 数与式第5课时 数的开方及二次根式考点知识清单考点一 数的开方1.算术平方根：非负数x 满足x 2=a(a ≥0)，则x 叫做a 的算术平方根，记作①____________。
2.平方根：若x 2=a(a ≥0)，则x 叫做a 的平方根，记作②_____________。
3.立方根：如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根（或三次方根），记作③_____________。
【温馨提示】1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根与算术平方根都是0本身，负数没有平方根。
2.一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.考点二 二次根式的有关概念1.二次根式：式子a （④__________）叫做二次根式。
【温馨提示】a （a ≥0）其实就是a 的算术平方根。
2.最简二次根式：同时满足以下两个条件：被开方数都不含⑤___________，也不能含能开得尽方的因数或因式。
【温馨提示】分母中含有根式的不是最简二次根式。
如21的最简形式应为22。
考点三 二次根式的性质三个重要性质（1）a （a ≥0）是⑥_______________；（2）=2)(a ⑦______________（a ≥0）;（3）=2a ⑧________________。
积的算术平方根 )0,0(≥≥⋅=b a b a ab商的算术平方根 ).0,0(≥>=b a ab a b【温馨提示】2)(a 与2a 的被开方数的取值范围是不相同的，前者a ≥0，后者a 为任意实数。
考点四 二次根式的运算【温馨提示】二次根式运算的结果必须是最简二次根式，若含有分母，则分母中不能含有根号。
题型归类探究类型一 数的开方与估算（易错点）【典例1】（1）（2018·安顺）4的算术平方根是（ ） A.2±B.2C.±2D.2（2）（2018·昆明）黄金分割数215-是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面。
中考数学总复习 第一章 数与式 第5课 二次根式课件精品
易错警示 易错易混点：忽略被开方式的非负性 【例题】 小莉在学习了 a ＝ b a b后，认为 a a ＝ 也成立，因此她认 b b
为一个化简题过程：
－20 －20 －5×4 －5· 4 ＝ ＝ ＝ ＝ 4＝2 是正确 －5 －5 －5 －5
的．你认为她的化简对吗？说说你的理由．
【错因分析】 忽略了二次根式的被开方数是非负数这一重要条件．
8．(2015· 扬州)下列二次根式中，是最简二次根式的是( A )
9．将 32×8化简，正确的结果是( C ) A. 3 8 C. 6 2 A. 5 C. 9 B. ± 3 8 D. ± 6 2 B. 7 D. 11
•最新中小学课件 •5
10．已知 a，b 为两个连续整数，且 a＜ 7＜b，则 a＋b＝( A )
2 3 5．已知等边三角形的边长为 4 cm，它的高线长等于_____cm.
6．下列等式一定成立的是( B ) A. C. 9－ 4＝ 5 9＝± 3 B. 3× 5＝ 15
－92 ＝9
D. －
•最新中小学课件
•4
7. 2的相反数是( A ) A. － 2 2 C. － 2 A. C. 30 8 B. 2 2 D. 2 B. D. 12 1 2
0
1－1 ＋ . 2
解析
原式第一项化为最简二次根式，第二项利用绝对值的代数意义
化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，第四项利用零指数幂法则计算， 最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
2 答案 原式＝－2 2＋ 2＋2× 2 ＋1＋2＝3.
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•10
题型三
(2)
a（a>0）， |a| ＝ a2＝____ 0（a＝0）， －a（a<0）.
中考数学复习 第一章 数与式 第5课时 二次根式数学课件
x2 y2 xy2x2yxy2 2xyxy
2
2 2 2 2 2 1
12/9/202174 2
第九页，共十四页。
D典例解析
变式：(2017·河南省)先化简，再求值：(2x＋y)2＋(x－y)
x 21,y 21 (x＋y)－5x(x－y)，其中(qízhōng)
1.二次根式的乘法、除法法则：
(1) a b.a ba0 ,b0
(2) a a.a0,b0
2.二次b根式的b性质：
2
1 a a a 0
2 a2 a 3 a2 a b a 0,b 0
4 a a a 0,b 0
b b 12/9/2021
第七页，共十四页。
K考点梳理
考点(kǎo diǎn)三 二次根式混合运算
.
解：原式＝4x2＋4xy＋y2＋x2－y2－5x2＋5xy＝9xy.
当 x 21,y 2时1，
原式 9 21 21.9
12/9/2021
第十页，共十四页。
D典例解析
【例题2】如果式子有意义，那么x的取值范围在数轴(shùzhóu)上 可表示为( C)
A
B
C
D
考点：①二次根式的意义；②在数轴(shùzhóu)上表示不等式
K课前自测
6.(2018·绵阳市)使等式(děngshì) x 3 x1
在数轴上可表示为( ) B
x 3 成立的x的取值范围
x1
A.
B.
C.
D.
7.若 y x4 4x，2则 2
x ＝y _y_____.14
8.(2018·广州市)如图，数轴(shùzhóu)上点A表示的数为a，化简：
第一章数与式第5课二次根式及其运算课件
(3)计算：－
4 1 × 15 45 5 2
解：原式＝－
4 1 × × 45×15 5 2 ＝－ 4 × 1×15× 3 ＝－6 3 . 5 2
探究提高
1.二次根式化简，依据 ab ＝ a b(a≥0，b≥0)， ·
a ＝ a (a≥0，b＞0)，前者将被开方数变形为有m2 b b (m为正整数)因式，后者分子、分母同时乘一个适当的
基础自测
1．(2011· 泉州)(－2)2的算术平方根是( A )
A. 2
B．±2 －22 ＝ －2＝2.
2．(2011· 广安)下列运算正确的是( C ) A．－(－x＋1)＝x＋1 B. 9 － 5 ＝ 4 C. 3－2＝2－ 3 D．(a－b)2＝a2－b2 解析：因为 3 <2， 3 －2<0，所以＝ 3－2－( 3 －2) ＝－ 3 ＋2＝2－ 3 .
(2)已知a、b、c是△ABC的三边长，试化简：
a＋b＋c2＋
a－b－c2＋ b－c－a2 ＋ c－a－b2 .
解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b| ＝(a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)
＝2a＋2b＋2c.
探究提高
1.对于二次根式，它有意义的条件是被开方数非负.
题型三
二次根式混合运算
【例3】 计算： (1)(3 2 －1)(1＋3 2 )－(2 2 －1)2； (2)( 10 －3)2010·( 10 ＋3)2010. 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：(1)原式＝(3 2 )2－1－[(2 2 )2－4 2 ＋1] ＝18－1－8＋4 2 －1 [2分] ＝8＋4 2 (2)原式＝[( 10 －3)( [4分]
中考数学一轮新优化复习第一部分教材同步复习第一章数与式第5讲二次根式课件
第 10 页
☞ 错因分析
在化简根式时，首先要保证根号下的式子为正，因为－1x＞0，即 x＜0，所以化 简结束时根号下应是－x.
【正解】原式＝ －x·－x2＋ －x2·－1x ＝－x －x＋ －x ＝(－x＋1) －x.
第 11 页
2. 若 2<m<3，则 m－22＋|m－5|的值为___3_____次根式的运算 难点
例 1 计算： 48÷ 3－ 12× 12＋ 24. 【解答】原式＝ 16－ 6＋2 6
＝4＋ 6.
第7页
☞ 方法指导
• (1)二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算 法则的综合运用．二次根式的混合运算应注意以下几点：① 与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加 减，有括号的先算括号里面的；②在运算中每个根式可以看 作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作 “多项式”．(2)二次根式的运算结果要化为最简二次根 式．(3)在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活 运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功 倍．
第一部分 教材同步复习
第一章 数与式
第5讲 二次根式
知识要点·归纳
知识点一 二次根式的概念与性质 1．概念：形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号． 2．二次根式有意义的条件 (1)被开方数①____大__于__或__等__于__0____； (2)若根式在分母中出现，则被开方数大于②___0_____(利用分式有意义的条件， 分母不为 0)，解题时列不等式(组)求解集．
精选最新中小学教学课件
一、“超前思考，比较听课”
什么叫“超前思考，比较听课”？简单地说，就是同学们在上课的时候不仅要跟着老师的思路走，还要力争走在老师思路的前面，用自己的思路和老师的思路进行对 比，从而发现不同之处，优化思维。
中考数学一轮复习第1单元第5讲 二次根式课件(共21张)
C. 2＋ 3＝ 5
D. 2× 3＝ 6
5．(2017·益阳)下列各式化简后的结果为 3 2的是( C )
A. 6
B. 12
C. 18
D. 36
6．(2020·益阳)若计算 12×m 的结果为正整数，则无理数 m 的值可以是 3(答案不唯一) .(写出一个符合条件的即可)
7．(2018·益阳) 12× 3＝ 6 . 8．(2015·益阳)计算： 2× 8＝ 4 .
“＋”“－”“×”“÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则 x 不可
能是( C )
A. 3＋1
B. 3－1
C.2 3
D.1－ 3
12．(2021·台州)大小在 2和 5之间的整数有( B )
A.0 个
B.1 个
C．2 个
D.3 个
13．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为 2 和 8，则图中阴影 部分的面积为( B )
A. 2 B.2 C.2 2 D.6
14．(2021·达州)已知 a，b 满足等式 a2＋6a＋9＋ ＝ －3 .
b－31＝0，则 a2021b2020
15．(2021·安徽)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方
形，侧面是全等的等腰三角形．底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边
上的高的比值是 5－1，它介于整数 n 和 n＋1 之间，则 n 的值是 1 .
第一单元 数与式
第5讲 二次根式
考法聚焦 素养提升
二次根式有意义的条件(10 年 1 考)
1．(2017·益阳)代数式 x3－－22x有意义，则 x 的取值范围是 x≤1.5
.
2.(2021·绥化)若式子 xx＋0 1在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是( C )
中考数学第一轮复习 第一章《数与式》第5节《二次根式》导学案 新人教版
§1.5 二次根式学习目标1.能根据二次根式及其性质进行运算.2.了解最简二根式的定义.知识梳理1.二次根式的定义: 形如式子2.二次根式的性质：(1)公式()2=a(2)(3)(4)注：()2表示非负实数a的算术平方根的平方；表示a的平方的算术平方根。
3.最简二次根式的定义：(1)被开方数不含字母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.4.二次根式的加减：就是合并化成最简二次根式后被开方数相同的根式.5.二次根式的乘除：(1)二次根式的乘法：(2)二次根式的除法：注：二次根式的乘除法公式与二次根式的性质是互逆的，其运算顺序与实数中的运算顺序相同，有理数运算中的运算律和多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.考点精析考点１二次根式的性质的应用【思考】若x<1，化简 .【点拨】要注意算术平方根的非负性，化简要注意字母的取值范围，保证开方后代数式为非负数，如不能保证开方后代数式为非负数，就需要分类讨论，否则易出错.考点2 二次根式的混合运算【思考】计算：|-2|+【点拨】根据实数的混合运算顺序，本题应先把根式化简、去绝对值、零指数和负指数幂化简.考点3 乘法公式在二次根式运算中的应用【思考】化简：+【点拨】本题主要根据二次根式的性质来化为最简二次根式和运算，及零次幂公式等.考点巩固1. 下列根式中最简二次根式的个数有（ ）22x 、2ab 、53xy 、)(522b a -、3375y x 、22y x +、c y 22 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个2. 如果最简二次根式83-a 与a 217-是同类二次根式，则=a _____3. 若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．以上都不是4. 若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]3322,3-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=π等），则 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-200120002001132312121 _______________ 5. 观察分析下列数据，寻找规律：0，3，,32,3,6……那么第10个数据应是6.计算：1-︒-+学案整理注意点：1.对于二次根式的混合运算,关键在于深刻理解二次根式的性质和有关运算公式,并且善于将实数中的运算顺序、运算律和乘法公式在二次根式运算中的灵活、大胆地使用.知识点：运用到数学方法与数学思想：。
中考数学 第一章 数与式 第5讲 二次根式及其运算课件
并同类二次根式；(2)二次根式化简，依据 ab＝ a· b(a≥0，b≥0)，
ba＝
a(a≥0，b＞0)， b
前者将被开方数分解，后者分子、分母同时乘一个适当的数使分母变成一个完全平方数，即
可将其移到根号外；(3)二次根式加减，即化简之后合并同类二次根式；(4)二次根式乘除结果
要化为最简二次根式．
[对应训练] 2．(1)(2015·聊城)计算：( 2＋ 3)2－ 24＝__5__． (2)计算：
【点评】 (1)对于二次根式，它有意义的条件是被开方数大于或等于 0；(2)注意二次根
式性质( a)2＝a(a≥0)， a2＝|a|的区别，判断出各式的正负性，再化简．
[对应训练] 1．(1)(2015·随州)若代数式x－1 1＋ x有意义，则实数 x 的取值范围是( D ) A．x≠1 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0 且 x≠1
C．k≥12
D．k＞3
(3)已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，试化简：
（a＋b＋c）2＋ （a－b－c）2＋ （b－c－a）2＋ （c－a－b）2. 解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|＝(a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)
＋(a＋b－c)＝2a＋2b＋2c
①
ba＝
a，② b
a b·
ba＝1，③
ab÷
ba＝－b，其中正确的是( B )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
(3)计算： 24－ 32＋ 23－2 16；
解：原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6
(4)计算： 48÷ 3－ 12× 12＋ 24.
解：原式＝ 16－ 6＋2 6＝4＋ 6 【点评】 (1)先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合
中考数学总复习 第一轮 横向基础复习 第一单元 数与式 第5课 二次根式课件
第十一页，共二十四页。
对应 训练 (duìyìng)
1.（2018·连云港）使
x有意2义的x的取值范围是
x≥2
．
2.（2013·广东）若实数a、b满足│a+2│+
=0，b 4
则 a2=
1
．
3.（2018b ·广州）如图，数轴(shùzhóu)上点A表示的数为a，
化简：
=
a a24a4
2
．
12/10/2021
A. 9
B. 3
C.
32
D.
23
12/10/2021
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经典 回顾 (jīngdiǎn)
考点 一 (kǎo diǎn)
二次根式的意义
例1 （2016·广州）代数式
的取值范围是 x≤9
9 有x意义时，实数x
．
【点拨】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式 中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
(或先去括号).
12/10/2021
第五页，共二十四页。
课前小测
1.（二次根式的意义）二次根式
A 取值范围(fànwéi)是（ ）
A． x≥-1
x 有1 意义，则x的
B． x＞-1
C． x≥0
D． x≠-1
2.（最简二次根式）下列二次根式中，属于最简二次根
式的是（
A．
1 2
12/10/2021
）
DB．
12/10/2021
第二页，共二十四页。
知识 清单 (zhī shi)
知识点1
二次根式(gēnshì)的有关概念
二次根式 一般地，形如 a (a ≥ 0)的式子叫做二次根式
2020宁夏中考数学一轮复习课件 第5讲二次根式
焦点2 二次根式的双重非负性
-3
变式训练
1 1002
焦点3 二次根式的化简与运算
D
变式训练
D
3 0
焦点4 二次根式的估算
2
变式训练
D
C
B
6
考场 · 走进宁夏中考
体验宁夏中考 命题点1 二次根式有意义的条件(未单独考查)
C
D
x>3
命题点2 二次根式的化简与运算(必考，常与整式的运算、实数的运算等一起考查)
第一单元 数与式
第5讲 二次根式
考点 · 梳理知识点
思维导图
考点导学 考点1 二次根式的相关概念
基础点对点
1
0
-1
1
考点2 二次根式的性质
易错提醒
基础点对点
× × √ × √
考点3 二次根式的运算
4.二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序相同.有理 数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律以及多项式的乘法公 式，都适用于二次根式的运算.
D
D
B
延伸训练
D
命题点3 二次根式的估算(10年1考)
延伸训练
7
A
培养核心素养
B
D
温馨示
二次根式运算的最后结果应化为最简二次根式.
基础点对点
1
4
7 1
考点4 二次根式的估算
考法 · 聚焦重难点
焦点1 二次根式有意义的条件
A
变式训练
B
D
方法指导
对于二次根式有意义的判断，通常会有三种形式： (1)只需保证根号下的式子大于或等于0即可； (2)二次根式在分母上，要考虑到分母不为0，就要保证根号下的式子大于0； (3)二次根式在分子上，根号下的式子大于或等于0，同时要保证分母不为0.
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改变运算顺序，使运算简便．
对应训练
3．(1)(2014·荆门)计算： 24× 13－4× 81×(1－ 2)0. 解：原式＝2 6× 33－4× 42×1＝2 2－ 2＝ 2
(2)已知 10的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a2－b2 的值． 解：∵3＜ 10＜4，∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b＝ 10－ 3.∴a2－b2＝32－( 10－3)2＝9－(10－6 10＋9)＝－10＋6 10
完全平方数
(3)(2014·抚州)计算： 27－ 3＝__2 3__．
考点3: 二次根式混合运算
【例 3】 计算： (1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2； 解：原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]＝18－1－8 ＋4 2－1＝8＋4 2
【点评】 (1)二次根式混合运算，把若干个知识点综合
A．a＜12
B．a≤12
C．a＞12
D．a≥12
考点2：二次根式的运算
【例 2】 (1)(2014·济宁)如果 ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：
①
ba＝
a，② b
a b·
ba＝1，③ ab÷
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
ba＝－b，其中正确的是( B )
解析：∵ab＞0，a＋b＜0，∴a＜0，b＜0；①
式的正负性，再化简．
对应训练
1．(1)(－ 2)2 的平方根是__± 2__；9 的算术平方根是 __3__；__－4__是－64 的立方根．
(2)(2014·达州)二次根式 －2x＋4有意义，则实数 x 的 取值范围是( D )
A．x≥－2
B．x＞－2
C．x＜2
D．x≤2
(3)如果 （2a－1）2＝1－2a，则( B )
考点4：二次根式运算中的技巧
【例 4】 (1)已知 x＝2－ 3，y＝2＋ 3，求 x2＋xy＋y2 的值； (2)已知 x＋1x＝－3，求 x－1x的值． 解：(1)∵x＝2－ 3，y＝2＋ 3，x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3)＝4， xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1，∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15 (2)∵(x－1x)2＝(x＋1x)2－4＝(－3)2－4＝5，∴x－1x＝± 5
(3)(2012·南通)计算： 48÷ 3－ 21× 12＋ 24. 解：原式＝ 16－ 6＋2 6＝4＋ 6
【点评】 (1)二次根式化简，依据 ab＝ a· b(a≥0，
b≥0)，
ba＝
a(a≥0，b＞0)，前者将被开方数分解， b
后者分子、分母同时乘一个适当的数使分母变成一个完全
平方数，即可将其移到根号外；(2)二次根式加减，即化
简之后合并同类二次根式；(3)二次根式乘除结果要化为
最简二次根式．
对应训练
2．(1)(2012·安顺)计算3 27的结果是( D )
A．±3 3
B．3 3
C．±3
D．3
(2)(2012·福州)若 20n是整数，则正整数 n 的最小值为__5__．
解析： 20n＝ 4×5n＝2 5n，∴当 n 最小值为 5 时，5n 是
【点评】 (1)x2＋xy＋y2 是一个对称式，可先求出基本对称 式 x＋y＝4，xy＝1，然后将 x2＋xy＋y2 转化为(x＋y)2－xy，整 体代入即可；(2)注意到(x－1x)2＝(x＋1x)2－4，可得(x－1x)2＝5，x －1x＝± 5.
对应训练
4 ． (1) 已 知 m ＝ 1 ＋ 2 ， n ＝ 1 － 2 ， 则 代 数 式
第一章 数与式
第5讲 二次根式及其运算
知识盘点
1．二次根式的概念 2．二次根式的性质 3．二次根式的运算法则 4．最简二次根式
难点与易错点
“双重非负性” 算术平方根具有双重非负性，一是被开方数a
必须是非负数，即a≥0；二是算术平方根的值是非 负数，即≥0.算术平方根的非负性主要用于两方面：
(1)某些二次根式的题目中隐含着“a≥0”这个条 件，做题时要善于挖掘隐含条件，巧妙求解；
(2)已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，试化简： （a＋b＋c）2＋ （a－b－c）2＋ （b－c－a）2＋
（c－a－b）2. 解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－
b|＝(a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)＝2a＋ 2b＋2c
【点评】 (1)对于二次根式，它有意义的条件是被开方数大于或等 于 0；(2)注意二次根式性质( a)2＝a(a≥0)， a2＝|a|的区别，判断出各
两个防范 (1)求时，一定要注意确定a的大小，应注意利用等式 ＝|a|，当问题中已知条件不能直接判定a的大小时就要 分类讨论； (2)一般情况下，我们解题时，总会习惯地把重点放 在探求思路和计算结果上，而忽视了一些不太重要、 不直接影响求解过程的附加条件和隐含条件．要特别 注意，问题中的条件没有主次之分，都必须认真对 待．
求值问题“五招” (1)巧用平方；(2)巧用乘法公式； (3)巧用配方；(4)巧用换元；(5)巧用倒数．
典例探究
考点一：二次根式概念与性质
【例 1】
(1)等式
2k－1＝ k－3
2kk－－31成立，则实数 k 的范围是
(D) A．k＞3 或 k＜12
B．0＜k＜3
C．k≥12
D．k＞3
解析：要使等式成立，必须2kk－－31＞≥00，，有kk≥＞123，. ∴k＞3
m2＋n2－3mn的值为( C )
A．9
B．±3
C．3
D．5
解 析 ： m2＋n2－3mn ＝ m2－2mn＋n2－mn ＝ （m－n）2－mn，∵m－n＝1＋ 2－1＋ 2＝2 2，mn
＝ (1 ＋ 2 )(1 － 2 ) ＝ － 1 ， ∴ （m－n）2－mn ＝
（2 2）2＋1＝ 9＝3，故选 C
ba＝
a，被开方 b
数应≥0，a，b 不能当作被开方数，所以①是错误的；②
a ·
ba＝1，
a b·
ba＝
ba×ba＝ 1＝1 是正确的；③ ab÷
ba＝－b， ab÷
a b
＝
ab÷－abb＝
ab×－b＝－b 是正确的．故选：B ab
(2)计算： 24－ 23＋ 23－2 61； 解：原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6