2019届高三数学一轮复习经典学案(理科专用)：第10章 概率 第9讲离散型随机变量的均值

第9讲 离散型随机变量的均值、方差和正态分布

板块一 知识梳理·自主学习

[必备知识]

考点1 离散型随机变量的均值与方差 1．若离散型随机变量X 的分布列为

x p

(1)均值

称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或

数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(2)方差

称D (X )＝∑i ＝1n

[x i －E (X )]2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变

量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．

2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .

(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) (3)两点分布与二项分布的均值、方差

考点2正态分布

1．正态曲线的性质

(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

(3)曲线在x＝μ处达到峰值1

σ2π；

(4)曲线与x轴之间的面积为1；

(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；

(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．

2．正态分布的三个常用数据

(1)P(μ－σ

(2)P(μ－2σ

(3)P(μ－3σ

[必会结论]

均值与方差的作用

均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量平均水平的估计，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，常用于对随机变量稳定于均值情况的估计．

[考点自测]

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．( )

(2)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．( )

(3)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( )

(4)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×

2．[2018·九江模拟]已知随机变量X 服从正态分布N (5,4)，且P (ξ>k )＝P (ξ

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

答案 B

解析 ∵(k －4)＋k 2

＝5，∴k ＝7.故选B. 3．马老师从课本上抄录的一个随机变量X 的概率分布列如下表：

3 ？

且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同，据此，小牛给出了正确答案E (X )＝________.

答案 2

解析 令“？”为a ，“！”为b ，则2a ＋b ＝1.

又E (X )＝a ＋2b ＋3a ＝2(2a ＋b )＝2.

4．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为2

3，则此人得分的数学期望与方差分别为________．

答案 20，200

3

解析 记此人三次射击击中目标X 次，得分为Y 分，则X ～B ⎝

⎛⎭

⎪⎫3，23，Y ＝10X ，∴E (Y )＝10E (X )＝10×3×2

3＝20，D (Y )＝100D (X )

＝100×3×23×13＝200

3.

5．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为

则q ＝答案 12 34

解析 由分布列的性质得：

⎩⎪⎨⎪⎧

0≤q 2≤1，①

0≤1－q ≤1，②0≤5q

2－1≤1，③q 2

＋(1－q )＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫

5q 2－1＝1，④

由①②③，得25≤q ≤4

5.

由④，得q 2

＋32q －1＝0，即⎝ ⎛⎭

⎪⎫q －12(q ＋2)＝0，解得q ＝1

2或q ＝－

2(舍去)．故q ＝1

2.

由分布列可知X 的可能取值只有1,2,3，故P (X ≤2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝q 2

＋(1－q )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛

⎭

⎪⎫1－12＝34. 板块二 典例探究·考向突破 考向

离散型随机变量的均值与方差

例 1 [2016·天津高考]某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．

(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；

(2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．

解 (1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 2

3

C 210

＝13.

所以，事件A 发生的概率为13. (2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.

P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24

C 2

10

＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 1

4

C 2

10

＝715，

P (X ＝2)＝C 13C 14C 210

＝4

15.

所以，随机变量X 的分布列为

随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×4

15＝1. 触类旁通

求离散型随机变量的均值与方差的方法

(1)先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解；